$course$/QCM de maths/Seconde/Variations et extremums Croissance et décroissance sur un intervalle, tableaux de
variations, maximum et minimum, variations des fonctions affines
(signe du coefficient directeur), des fonctions carré et inverse,
lectures graphiques et problèmes d'optimisation.

]]> Variations et extremums — Q01 : Définition d'une fonction croissante Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?

]]> $f$ croissante sur $I$ : pour tous $a, b \in I$, $a < b
\Rightarrow f(a) \leq f(b)$ (ordre conservé) ; décroissante :
ordre renversé. À bien distinguer du signe de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors
$f(a) \leq f(b)$

]]> Bonne réponse : une fonction croissante conserve
l'ordre : des antécédents rangés donnent des images
rangées dans le même sens.

]]> $f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Confusion signe/variations : une fonction peut être
négative et croissante (elle monte en restant sous
l'axe). Le signe dit où est la courbe, pas où elle va.

]]> La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses

]]> Même confusion : être au-dessus de l'axe signifie
$f > 0$. La croissance parle du sens de parcours de la
courbe (elle monte).

]]> $f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$

]]> Insuffisant : « pour certains » ne suffit pas ; la
définition exige la conservation de l'ordre pour tous
les couples de $I$.

]]> Variations et extremums — Q02 : Lire un maximum sur la courbe Repère orthonormé avec une courbe qui monte depuis (-4 ; -0,9) environ, passe par l'origine, culmine au point (1 ; 2) marqué en pointillés, puis redescend vers (4 ; 0,9). Elle possède aussi un minimum en (-1 ; -2), marqué en pointillés.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur
$[-4\,;\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur
est-il atteint ?

]]> Le maximum de $f$ est la plus grande valeur prise
(ordonnée du point le plus haut), « atteint en » son
antécédent : ici $f(1) = 2$. Formulation complète : « le
maximum de $f$ vaut $2$, atteint en $x = 1$ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$

]]> Bonne réponse : le point le plus haut de la courbe est
$(1\,;\,2)$ : la plus grande image est $2$, prise en
l'antécédent $1$.

]]> Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$

]]> Inversion classique : le maximum est l'ordonnée du
sommet ($2$), et il est atteint en l'abscisse $1$.
Ne pas échanger les deux nombres.

]]> Le maximum vaut $4$

]]> Erreur : $4$ est la borne de l'intervalle de définition
(un antécédent extrême), pas la plus grande image. La
courbe ne monte jamais au-dessus de $2$.

]]> Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend

]]> Contresens : c'est justement parce qu'elle monte puis
redescend que le sommet $(1\,;\,2)$ est un maximum,
atteint par la fonction.

]]> Variations et extremums — Q03 : Lire les variations sur la courbe Repère orthonormé avec une courbe qui descend de (-4 ; -0,9) environ jusqu'au minimum (-1 ; -2), monte ensuite jusqu'au maximum (1 ; 2) en traversant l'origine, puis redescend vers (4 ; 0,9). Les points extrêmes sont marqués en pointillés.

D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction
$f$ est-elle croissante ?

]]> Les intervalles de variations se délimitent aux abscisses
des extremums : décroissante sur $[-4\,;\,-1]$, croissante
sur $[-1\,;\,1]$, décroissante sur $[1\,;\,4]$. On les
consigne dans un tableau de variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : la courbe monte du creux $(-1\,;\,-2)$
jusqu'au sommet $(1\,;\,2)$ : c'est l'intervalle de
croissance.

]]> Sur $[0\,;\,2]$

]]> Erreur de bornes : la montée commence dès le minimum en
$x = -1$ et s'arrête au maximum en $x = 1$ (après quoi la
courbe redescend).

]]> Sur $[-2\,;\,2]$

]]> Trop large : en $x = -1{,}5$ la courbe descend encore, et
en $x = 1{,}5$ elle redescend déjà. Les variations changent
exactement aux extremums.

]]> Sur $[-4\,;\,-1]$

]]> Erreur : sur cet intervalle la courbe descend (elle
plonge vers le minimum). C'est un intervalle de
décroissance.

]]> Variations et extremums — Q04 : Comparer des images sans calcul Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\,;\,10]$. Comment se
comparent $f(3)$ et $f(7)$ ?

]]> Utilisation type des variations : $f$ croissante sur $I$ et
$a < b$ dans $I$ $\Rightarrow$ $f(a) \leq f(b)$. Comparer des
images sans formule, juste avec le tableau de variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(3) \leq f(7)$

]]> Bonne réponse : $3 < 7$ et $f$ croissante : l'ordre des
antécédents se transmet aux images.

]]> $f(3) \geq f(7)$

]]> Erreur : c'est le comportement d'une fonction
décroissante (qui renverse l'ordre).

]]> $f(3) = f(7)$

]]> Erreur : l'égalité systématique caractérise une fonction
constante. La croissance ne l'impose pas.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$

]]> Erreur : c'est toute la puissance de l'information
« croissante » : elle permet de comparer les images
sans aucun calcul.

]]> Variations et extremums — Q05 : Variations d'une fonction affine Quel est le sens de variation de la fonction affine $f(x) =
3x - 5$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Variations d'une affine $f(x) = mx + p$ (démonstration au
programme) : croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$,
constante si $m = 0$. L'ordonnée à l'origine $p$ n'y joue
aucun rôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement croissante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : pour une affine $f(x) = mx + p$, tout se
lit sur le signe de $m$ : ici $m = 3 > 0$, la fonction
monte de $3$ par unité ($f(0) = -5$, $f(1) = -2$).

]]> Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $-5$ est l'ordonnée à l'origine, elle place la
droite mais ne donne pas son inclinaison. Le sens de
variation dépend de $m = 3 > 0$ : $f(0) = -5$ puis $f(1)
= -2$, la fonction monte.

]]> Décroissante sur $]-\infty\,;\,\tfrac{5}{3}]$, puis
croissante

]]> Erreur : une fonction affine est représentée par une
droite, elle garde le même sens de variation sur
tout $\mathbb{R}$. En $x = \frac{5}{3}$ la fonction
s'annule, elle ne change pas de sens : $f(1) = -2$,
$f(2) = 1$, $f(3) = 4$.

]]> Constante, égale à $-5$, sur $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $-5$ n'est que la valeur en $0$. Constante
exigerait $m = 0$ ; ici $m = 3$, la fonction monte de
$3$ par unité.

]]> Variations et extremums — Q06 : Retrouver une fonction affine Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et
$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?

]]> Déterminer une affine : $p = f(0)$ (ordonnée à l'origine) et
$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (taux d'accroissement). Ici
$f(x) = 2x + 2$, à vérifier sur les deux valeurs données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 2x + 2$

]]> Bonne réponse : $p = f(0) = 2$, et le taux
d'accroissement $m = \dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0} =
\dfrac{8}{4} = 2$.

]]> $f(x) = 2x + 10$

]]> Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0) = 2$, pas
$10$. Contrôle : ta formule donnerait $f(0) = 10$.

]]> $f(x) = 4x + 2$

]]> Erreur de taux : $m = \dfrac{10 - 2}{4 - 0} = 2$, pas
$4$. Contrôle : $4 \times 4 + 2 = 18 \neq 10$.

]]> $f(x) = 8x + 2$

]]> Erreur : $8$ est la variation totale $f(4) - f(0)$ ;
le coefficient directeur la rapporte à l'écart des
antécédents : $8 \div 4 = 2$.

]]> Variations et extremums — Q07 : Variations de la fonction carré Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;\,0]$ et croît sur
$[0\,;\,+\infty[$ (démonstration au programme) ; son minimum
est $0$, atteint en $0$. Image mentale : la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : la parabole descend jusqu'à son sommet
$(0\,;\,0)$ puis remonte : minimum $0$ atteint en $0$.

]]> Croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : $(-3)^2 = 9 > (-2)^2 = 4$ alors que $-3 < -2$ :
sur les négatifs, le carré décroît.

]]> Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, décroissante sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversés : ce tableau décrirait une parabole tournée
vers le bas (comme $x \mapsto -x^2$).

]]> Décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : sur les positifs, le carré croît sans conteste
($2^2 < 3^2$). Le sens change en $0$.

]]> Variations et extremums — Q08 : L'inverse est-elle décroissante partout ? La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et
sur $]-\infty\,;\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante
sur l'ensemble $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ tout
entier ?

]]> Subtilité au programme : la fonction inverse est décroissante
sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et
$]0\,;\,+\infty[$, mais pas sur leur réunion (contre-exemple :
$f(-1) < f(1)$). La monotonie est une notion d'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, la décroissance ne vaut que sur chaque intervalle

]]> Bonne réponse : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) =
-1 < f(1) = 1$ : entre les deux branches, l'ordre est
conservé et non renversé. La monotonie se déclare
toujours sur un intervalle.

]]> Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout

]]> Piège : le recollement échoue en traversant $0$ :
$-1 < 1$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.
Ordre conservé, pas renversé.

]]> Oui, car sa courbe descend de gauche à droite sur tout
son tracé

]]> Erreur de lecture : chaque branche descend, mais la
branche de droite est entièrement au-dessus de celle
de gauche : globalement, l'ordre n'est pas renversé.

]]> Non, car la fonction inverse est croissante sur les
négatifs

]]> Erreur : sur $]-\infty\,;\,0[$, l'inverse est bien
décroissante ($-2 < -1$ et $-\frac{1}{2} > -1$). Le
problème est le passage d'une branche à l'autre.

]]> Variations et extremums — Q09 : Extremum d'une expression $(x - a)^2 + b$ Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de
$f$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Lecture d'une forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$ :
minimum $\beta$ atteint en $x = \alpha$, car le carré est
positif et s'annule en $\alpha$. Ici : minimum $1$ en $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$

]]> Bonne réponse : $(x-2)^2 \geq 0$ avec égalité seulement en
$x = 2$ : donc $f(x) \geq 1$ et $f(2) = 1$.

]]> $f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$

]]> Erreur de sens : le carré, positif, s'ajoute à $1$ :
les valeurs partent de $1$ vers le haut. $1$ est un
plancher, pas un plafond.

]]> $f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$

]]> Nombres échangés : le carré s'annule quand $x - 2 = 0$,
c'est-à-dire en $x = 2$, et la valeur minimale est
alors $1$.

]]> $f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur
$\mathbb{R}$

]]> Erreur : un domaine infini n'empêche pas un extremum : la
parabole a bien un point le plus bas, $(2\,;\,1)$.

]]> Variations et extremums — Q10 : Maximum sur un intervalle Soit $f$ une fonction croissante sur $[1\,;\,5]$. Où $f$
atteint-elle son maximum sur cet intervalle ?

]]> Fonction croissante sur $[a\,;\,b]$ : minimum $f(a)$ à
gauche, maximum $f(b)$ à droite. (L'inverse pour une
décroissante.) Distinguer toujours l'extremum (une image) de
l'endroit où il est atteint (un antécédent).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 5$

]]> Bonne réponse : une fonction croissante culmine à la
borne droite de l'intervalle, les images grandissent
avec les antécédents ; ce maximum vaut $f(5)$.

]]> En $x = 1$

]]> Erreur : la borne gauche porte le minimum d'une
fonction croissante (elle part d'en bas).

]]> Le maximum vaut $5$

]]> Confusion antécédent/image : $5$ est l'abscisse où le
maximum est atteint ; le maximum lui-même est la valeur
$f(5)$, inconnue sans plus d'information.

]]> Elle n'a pas de maximum

]]> Erreur : sur un intervalle fermé $[1\,;\,5]$, une
fonction croissante atteint ses deux extrêmes aux bornes.

]]> Variations et extremums — Q11 : Un problème d'optimisation Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos
rectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire
maximale possible ?

]]> Modélisation : $x + \ell = 10$, aire $A(x) = x(10 - x)$,
parabole tournée vers le bas de sommet $x = 5$ : maximum
$A(5) = 25$ m$^2$. À périmètre fixé, le carré maximise l'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$

]]> Bonne réponse : périmètre $20$ donne largeur $x$ et
longueur $10 - x$ ; l'aire $x(10 - x)$ culmine en $x = 5$
(sommet de la parabole) : un carré $5 \times 5$.

]]> $24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \times 4$

]]> Presque : $6 \times 4 = 24$ respecte bien le périmètre,
mais le carré $5 \times 5 = 25$ fait mieux. Le sommet de
la parabole $x(10-x)$ est en $x = 5$.

]]> $100$ m$^2$

]]> Erreur : $100 = 10 \times 10$ exigerait $40$ m de
grillage. Avec un périmètre de $20$, largeur $+$ longueur
$= 10$.

]]> Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il
est grand

]]> Erreur : allonger oblige à amincir (le périmètre est
fixe) : un enclos $9 \times 1$ ne fait que $9$ m$^2$.
L'aire monte puis redescend : maximum au carré.

]]> Variations et extremums — Q12 : Exploiter un tableau de variations Une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,7]$ décroît de $f(0) = 5$
à $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel
est le minimum de $f$ sur $[0\,;\,7]$ ?

]]> Dans un tableau de variations, le minimum global se lit au
point le plus bas des flèches (ici $-2$ en $x = 3$) et le
maximum au point le plus haut (ici $5$ en $x = 0$) : penser à
comparer toutes les valeurs charnières.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : le creux du tableau de variations est la
plus petite valeur : $-2$, prise en $x = 3$.

]]> $3$

]]> Confusion : $3$ est l'abscisse où le minimum est
atteint. Le minimum lui-même est l'image $-2$.

]]> $0$, car c'est le début de l'intervalle

]]> Erreur : ni la borne $0$ ni son image $f(0) = 5$ ne sont
minimales : la fonction descend en dessous, jusqu'à $-2$.

]]> $4$, la dernière valeur du tableau

]]> Erreur : $4 = f(7)$ n'est même pas la plus grande valeur
(c'est $5 = f(0)$). Le minimum se lit au creux du
tableau : $-2$.

]]> Variations et extremums — Q13 : Minimum d'une expression $x^2 + k$ Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> $x^2 + k$ : la parabole de référence décalée verticalement :
minimum $k$ en $x = 0$. L'argument complet en deux temps :
minorer ($f(x) \geq 3$) ET montrer que la borne est atteinte
($f(0) = 3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$, atteint en $x = 0$

]]> Bonne réponse : $x^2 \geq 0$ avec égalité en $0$ : donc
$f(x) \geq 3$, et la valeur $3$ est atteinte : minimum
$3$ en $x = 0$.

]]> $0$, atteint en $x = 0$

]]> Constante oubliée : $f(0) = 0 + 3 = 3$ : le $+3$
soulève toute la parabole.

]]> $3$, atteint en $x = 3$

]]> Position fausse : $f(3) = 12$ : le creux de la parabole
reste en $x = 0$ (le $+3$ soulève sans décaler).

]]> Il n'y a pas de minimum

]]> Erreur : la parabole tournée vers le haut a un point le
plus bas : son sommet $(0\ ;\ 3)$.

]]> Variations et extremums — Q14 : Croissance stricte et images égales Une fonction est strictement croissante sur $I$. Deux nombres
distincts de $I$ peuvent-ils avoir la même image ?

]]> La croissance au sens large autorise des images égales, la croissance
stricte les interdit. C'est cette différence qui garantit l'unicité de
la solution d'une équation $f(x) = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, jamais

]]> Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) < f(b)$, l'inégalité étant
stricte.

]]> Oui, si les deux nombres sont proches

]]> La proximité ne change rien : l'inégalité stricte vaut pour tout
couple de nombres distincts.

]]> Oui, aux bornes de l'intervalle

]]> Les bornes ne bénéficient d'aucune exception, la définition les
inclut.

]]> Oui, si la fonction est constante par endroits

]]> Un palier contredirait la croissance stricte : celle-ci serait
seulement large.

]]> Variations et extremums — Q15 : Comparer via un tableau de variations Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\ ;\ 5]$.
Comment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?

]]> Un tableau de variations est une machine à comparer : deux
antécédents dans un même intervalle monotone se classent
immédiatement. (Deux antécédents à cheval sur un extremum :
le tableau ne suffit plus.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(1) \leq f(4)$

]]> Bonne réponse : $1 < 4$, tous deux dans l'intervalle de
croissance : l'ordre des images suit celui des
antécédents.

]]> $f(1) \geq f(4)$

]]> Renversement injustifié : ce serait la conclusion sur un
intervalle de décroissance : ici la flèche monte.

]]> $f(1) = f(4)$

]]> Erreur : l'égalité systématique caractérise les
fonctions constantes : une flèche croissante sépare les
images.

]]> Impossible sans les valeurs de $f$

]]> Erreur : c'est exactement le service rendu par le
tableau : comparer sans calculer, par le seul sens de
variation.

]]> Variations et extremums — Q16 : Variations de $f(x) = -2x + 7$ Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +
7$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Affine $y = mx + p$ : croissante si $m > 0$, décroissante si
$m < 0$, constante si $m = 0$. Le signe de la pente EST le
sens de variation : la lecture la plus rapide du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : pour une fonction affine, tout est dans le
signe du coefficient directeur $m$ : ici $m = -2 < 0$, la
droite descend de $2$ par unité ($f(0) = 7$, $f(1) = 5$).

]]> Strictement croissante sur $\mathbb{R}$

]]> Mauvais paramètre : c'est le signe du coefficient directeur
$-2$ qui décide, pas celui de l'ordonnée à l'origine $7$ :
la hauteur de départ ne dit rien de la pente. Contrôle :
$f(0) = 7$ et $f(1) = 5$, la fonction descend.

]]> Décroissante sur $]-\infty\,;\,3{,}5]$, puis croissante

]]> Erreur : une droite ne change jamais de direction. En
$x = 3{,}5$ la fonction s'annule ($f(3{,}5) = 0$), elle
n'atteint pas un minimum : $f(4) = -1$ puis $f(5) = -3$,
la descente continue. Les variations en deux temps
appartiennent aux paraboles.

]]> Constante, égale à $7$, sur $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $7$ n'est que la valeur en $0$ : $f(0) = 7$ mais
$f(1) = 5$. Constante exigerait $m = 0$ ; ici $m = -2$, la
fonction descend de $2$ par unité.

]]> Variations et extremums — Q17 : Nombre de solutions d'après un tableau La courbe de $f$ se trace d'un seul trait, sans lever le
crayon. $f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\ ;\ 3]$, puis croît de
$-2$ à $6$ sur $[3\ ;\ 7]$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Compter les solutions de $f(x) = k$ sur un tableau : une par
flèche dont les valeurs encadrent $k$ strictement. Esquisser
mentalement la courbe (descente, creux, remontée) sécurise
le décompte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : une solution dans chaque phase. En
descendant de $8$ à $-2$, la fonction traverse $0$ une
fois ; en remontant de $-2$ à $6$, une seconde fois :
deux passages par zéro.

]]> Une seule

]]> Remontée oubliée : après le creux à $-2$, la fonction
retraverse le niveau $0$ en remontant vers $6$.

]]> Aucune

]]> Erreur de lecture : $0$ n'apparaît pas dans le tableau,
mais celui-ci n'affiche que les valeurs extrêmes ; $0$,
compris entre $-2$ et $8$, est atteint en chemin, puisque
la courbe se trace sans lever le crayon.

]]> Trois

]]> Trop : chaque flèche monotone traverse un niveau donné
au plus une fois : deux flèches encadrant le creux :
deux solutions.

]]> Variations et extremums — Q18 : Maximum d'une expression $-(x - a)^2 + b$ Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Expression $-(x - \alpha)^2 + \beta$ : maximum $\beta$ atteint
en $x = \alpha$ (le carré, toujours positif, est retranché : au
mieux nul). Cette écriture permet de lire l'extremum sans
aucun calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$, atteint en $x = 1$

]]> Bonne réponse : $(x - 1)^2 \geq 0$, donc $-(x-1)^2 \leq
0$ et $f(x) \leq 4$, avec égalité quand le carré
s'annule : en $x = 1$.

]]> $4$, atteint en $x = -1$

]]> Signe du sommet : le carré $(x - 1)^2$ s'annule en $x =
1$ (la valeur qui annule la parenthèse).

]]> $1$, atteint en $x = 4$

]]> Rôles échangés : $1$ est l'abscisse du sommet, $4$ sa
valeur : le maximum est la valeur $4$.

]]> Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée

]]> Erreur : le signe moins retourne la parabole : branches
vers le bas, sommet au plus haut : maximum $4$ (c'est
vers $-\infty$ qu'elle n'est pas bornée).

]]> Variations et extremums — Q19 : Où se situe le maximum Une fonction croît sur $[0\,;\,3]$ puis décroît sur $[3\,;\,8]$.
En quelle valeur son maximum est-il atteint ?

]]> Sur un tableau de variations, un maximum se lit au sommet d'une flèche
montante suivie d'une flèche descendante. La valeur du maximum est
l'ordonnée $f(3)$, atteinte en $x = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $3$

]]> Bonne réponse : le maximum est atteint au changement de sens, là où la
montée s'arrête et la descente commence.

]]> En $8$

]]> La fonction décroît jusqu'en $8$, donc elle y prend au contraire sa
plus petite valeur sur $[3\,;\,8]$.

]]> En $0$

]]> La fonction croît à partir de $0$, donc toutes les images suivantes
dépassent $f(0)$.

]]> En $4$

]]> La valeur $4$ appartient à la phase de décroissance, donc $f(4)$ est
déjà inférieur à $f(3)$.

]]> Variations et extremums — Q20 : Images d'un intervalle Une fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,4]$ et sa courbe se trace
sur cet intervalle d'un seul trait, sans lever le crayon. On a
$f(0) = -1$ et $f(4) = 7$. Quelles valeurs les images prennent-elles
sur cet intervalle ?

]]> Une fonction croissante dont la courbe se trace d'un seul trait sur un
intervalle fermé y prend pour valeurs exactement l'intervalle délimité
par les images des bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toutes celles de $[-1\,;\,7]$

]]> Bonne réponse : la croissance et le tracé sans lever le crayon font
parcourir aux images tout l'intervalle entre les deux valeurs extrêmes.

]]> Seulement $-1$ et $7$

]]> Ce sont les images des bornes : entre elles, $f$ prend toutes les
valeurs intermédiaires.

]]> Toutes celles de $[0\,;\,4]$

]]> Ensembles confondus : $[0\,;\,4]$ contient les nombres de départ, pas
leurs images.

]]> Toutes celles de $[-7\,;\,1]$

]]> Signes inversés : le minimum vaut $-1$ et le maximum $7$, dans cet
ordre.

]]> Variations et extremums — Q21 : Le cas d'une fonction constante Une fonction constante sur un intervalle est-elle croissante sur cet
intervalle ?

]]> La croissance au sens large se définit par $a < b \Rightarrow
f(a) \leq f(b)$, et la croissance stricte par une inégalité stricte sur
les images. Une constante vérifie la première, pas la seconde.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, au sens large

]]> Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$, puisque les deux
images sont égales. La définition large est satisfaite.

]]> Non, car ses images ne changent pas

]]> La croissance au sens large n'exige pas que les images augmentent,
seulement qu'elles ne diminuent pas.

]]> Non, une fonction est croissante ou constante

]]> Les deux qualificatifs ne s'excluent pas : une fonction constante est
à la fois croissante et décroissante au sens large.

]]> Oui, et elle est strictement croissante

]]> La croissance stricte exigerait $f(a) < f(b)$, or les deux images sont
égales.

]]> Variations et extremums — Q22 : Variations de la fonction racine carrée Comment varie la fonction racine carrée sur son ensemble de
définition ?

]]> La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. C'est ce
qui permet de comparer deux racines en comparant les nombres qu'elles
contiennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante

]]> Bonne réponse : si $0 \leq a < b$, alors $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Ainsi
$\sqrt{4} = 2$ est inférieur à $\sqrt{9} = 3$.

]]> Elle est décroissante

]]> Contre-exemple : $1 < 4$ et pourtant $\sqrt{1} = 1$ est plus petit que
$\sqrt{4} = 2$.

]]> Elle décroît puis croît

]]> Aucun changement de sens : la fonction est définie seulement sur
$[0\,;\,+\infty[$, où elle monte sans interruption.

]]> Elle croît puis décroît

]]> Les images continuent d'augmenter aussi loin que l'on aille :
$\sqrt{100} = 10$ dépasse $\sqrt{81} = 9$.

]]> Variations et extremums — Q23 : Variations de la fonction cube Comment varie la fonction cube sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Contrairement au carré, le cube conserve le signe et l'ordre. Sa courbe
monte sans interruption, en traversant l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : le cube conserve l'ordre, y compris sur les négatifs,
car $(-3)^3 = -27$ est inférieur à $(-2)^3 = -8$.

]]> Elle décroît puis croît

]]> C'est le comportement de la fonction carré. Le cube, lui, ne change
jamais de sens de variation.

]]> Elle est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ seulement

]]> La croissance vaut aussi sur les négatifs : $-5 < -1$ donne
$-125 < -1$.

]]> Elle est décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Contre-exemple : $1 < 2$ et pourtant $1 < 8$. Les images augmentent
avec les nombres.

]]> Variations et extremums — Q24 : Somme de deux fonctions croissantes Les fonctions $f$ et $g$ sont croissantes sur un intervalle $I$.
Que peut-on dire de la fonction $f + g$ sur $I$ ?

]]> Les inégalités s'additionnent membre à membre sans changer de sens. Ce
raisonnement ne vaut pas pour le produit, où le signe des fonctions
intervient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante sur $I$

]]> Bonne réponse : si $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$ et
$g(a) \leq g(b)$, et l'addition de ces deux inégalités conclut.

]]> Elle est décroissante sur $I$

]]> Contre-exemple : avec $f(x) = x$ et $g(x) = x$, la somme vaut $2x$,
qui est croissante.

]]> Son sens dépend des deux fonctions

]]> L'addition des deux inégalités vaut dans tous les cas, sans hypothèse
supplémentaire.

]]> Elle est croissante si $f$ et $g$ sont positives

]]> Le signe n'intervient pas : $f(x) = x - 10$ et $g(x) = x - 10$ sont
négatives sur $[0\,;\,1]$ et leur somme reste croissante.

]]> Variations et extremums — Q25 : Maximum, abscisse ou ordonnée Une fonction atteint son maximum au point de coordonnées
$(2\,;\,9)$. Quel est ce maximum ?

]]> On distingue toujours le maximum, qui est une valeur de $f$, et la valeur
de $x$ en laquelle il est atteint. La phrase type est « le maximum vaut
$9$, atteint en $x = 2$ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : le maximum est la plus grande valeur prise par la
fonction, donc une ordonnée.

]]> $2$

]]> Confusion fréquente : $2$ est la valeur en laquelle le maximum est
atteint, pas le maximum lui-même.

]]> $11$

]]> Coordonnées additionnées : le maximum se lit sur un seul axe, celui
des ordonnées.

]]> Le point $(2\,;\,9)$

]]> Le maximum est un nombre, pas un point. Le point indique où il est
atteint.

]]> Variations et extremums — Q26 : Lire une flèche descendante Dans un tableau de variations, que signifie une flèche descendante
sur un intervalle ?

]]> La première ligne d'un tableau de variations donne les valeurs de $x$ dans
l'ordre croissant, et les flèches décrivent le comportement des images.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction y est décroissante

]]> Bonne réponse : la flèche indique le sens dans lequel évoluent les
images quand $x$ augmente.

]]> Les images y sont négatives

]]> Le signe des images ne se lit pas sur la flèche : une fonction peut
décroître en restant positive, de $10$ à $3$ par exemple.

]]> La courbe y passe sous l'axe des abscisses

]]> La position par rapport à l'axe relève du signe, pas des variations.

]]> Les valeurs de $x$ y diminuent

]]> Dans un tableau, $x$ se lit toujours de gauche à droite en
augmentant : ce sont les images qui diminuent.

]]> Variations et extremums — Q27 : Une affine de coefficient nul Quelles sont les variations de la fonction affine définie par
$f(x) = 0 \times x + 4$ ?

]]> Le sens de variation d'une fonction affine est donné par le signe de son
coefficient directeur : positif elle croît, négatif elle décroît, nul elle
est constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : toutes les images valent $4$, la courbe est une droite
horizontale.

]]> Elle est croissante sur $\mathbb{R}$

]]> La croissance stricte exigerait des images qui augmentent, or elles
valent toutes $4$.

]]> Elle est décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Aucune image ne diminue : $f(0)$ et $f(100)$ valent tous deux $4$.

]]> Elle croît puis décroît en $4$

]]> Le nombre $4$ est une ordonnée, il ne peut pas marquer un changement
de sens sur l'axe des abscisses.

]]> Variations et extremums — Q28 : Un enclos le long d'un mur On dispose de $12$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire
adossé à un mur, qui en tient lieu sur un côté. Quelle aire maximale
peut-on obtenir ?

]]> Le mur remplace un côté, donc le grillage couvre deux largeurs et une
longueur. L'aire s'écrit $x(12 - 2x)$, c'est-à-dire
$-2(x - 3)^2 + 18$, dont le maximum se lit directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $18$ m²

]]> Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, la longueur vaut $12 - 2x$
et l'aire $x(12 - 2x)$, maximale pour $x = 3$.

]]> $9$ m²

]]> Cette aire correspond à un carré de côté $3$ m, qui n'utilise que
$9$ m de grillage sur les $12$ disponibles.

]]> $36$ m²

]]> Le mur ne dispense que d'un seul côté : un carré de $6$ m de côté
demanderait $18$ m de grillage.

]]> $16$ m²

]]> Cette aire s'obtient avec $x = 2$, soit un enclos de $2$ m sur $8$ m,
qui n'est pas le meilleur partage.

]]> Variations et extremums — Q29 : Deux intervalles qui se chevauchent Une fonction peut-elle être strictement croissante sur $[0\,;\,2]$ et
strictement décroissante sur $[1\,;\,3]$ ?

]]> Deux intervalles de variation ne peuvent se chevaucher que si le sens y
est le même. C'est pourquoi un tableau de variations découpe l'axe en
intervalles qui ne se recouvrent pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, les deux se contredisent sur $[1\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : sur cette partie commune, les images devraient à la
fois augmenter et diminuer.

]]> Oui, si elle change de sens en $2$

]]> Le changement devrait alors avoir lieu avant $1$, sans quoi la
décroissance annoncée sur $[1\,;\,2]$ est fausse.

]]> Oui, si les intervalles sont fermés

]]> Le type de bornes ne change rien : la contradiction porte sur tout
l'intérieur de la partie commune.

]]> Non, une fonction a un seul sens de variation

]]> Conclusion juste, raison fausse : la fonction carré change bien de
sens en $0$, sur deux intervalles qui ne se chevauchent pas.

]]> Variations et extremums — Q30 : Comparer deux images par décroissance La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,10]$.
Comment $f(2)$ et $f(7)$ se comparent-ils ?

]]> Sur un intervalle où $f$ décroît, comparer deux images revient à comparer
les nombres de départ, puis à renverser l'inégalité obtenue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(2) > f(7)$

]]> Bonne réponse : la décroissance renverse l'ordre, donc le plus petit
nombre de départ a la plus grande image.

]]> $f(2) < f(7)$

]]> Ordre conservé à tort : ce serait le cas pour une fonction
croissante.

]]> $f(2) = f(7)$

]]> La décroissance stricte interdit deux images égales pour deux nombres
distincts.

]]> Cela dépend du signe de $f$

]]> Le signe des images n'intervient pas : seule compte la façon dont
elles évoluent.

]]> Variations et extremums — Q31 : Coefficient directeur d'une fonction affine Une fonction affine $f$ vérifie $f(1) = 5$ et $f(4) = 17$.
Quel est son coefficient directeur ?

]]> Le coefficient directeur d'une fonction affine est le taux
d'accroissement $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, quel que soit le couple de
points choisi. Son signe donne aussitôt le sens de variation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur est le taux d'accroissement
$\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{12}{3}
= 4$.

]]> $-4$

]]> Soustractions inversées : le numérateur s'écrit
$f(4) - f(1)$, dans le même ordre que $4 - 1$ au
dénominateur. Le taux vaut $4$.

]]> $12$

]]> Division oubliée : $12$ est la variation totale des images. Il
reste à la rapporter à l'écart $3$ des antécédents, ce qui donne
$4$.

]]> $\dfrac{1}{4}$

]]> Fraction renversée : les images se placent au numérateur et les
antécédents au dénominateur. Le taux vaut $4$.

]]> Variations et extremums — Q32 : Images d'un intervalle par la fonction carré Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-3\,;\,2]$, quel ensemble
décrivent les carrés $x^2$ ?

]]> Pour déterminer les images d'un intervalle, on suit le tableau de
variations sur cet intervalle. Comme $0$ appartient à
$[-3\,;\,2]$, le minimum $0$ est atteint, et le maximum est la plus
grande des images des deux bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0\,;\,9]$

]]> Bonne réponse : la fonction carré décroît de $9$ à $0$ sur
$[-3\,;\,0]$, puis croît de $0$ à $4$. Toutes les valeurs
comprises entre $0$ et $9$ sont donc prises.

]]> $[4\,;\,9]$

]]> Images des bornes seulement : l'intervalle contient $0$, dont
l'image $0$ est plus petite que $4$.

]]> $[0\,;\,4]$

]]> Borne oubliée : l'image de $-3$ vaut $9$, un nombre qui dépasse
largement $4$.

]]> $[-9\,;\,4]$

]]> Un carré n'est jamais négatif : la plus petite image possible est
$0$, atteinte en $x = 0$.

]]> Variations et extremums — Q33 : Minorer une image grâce à la croissance Une fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,10]$ et l'on sait que
$f(2) = 5$. Que peut-on affirmer à propos de $f(8)$ ?

]]> Une fonction croissante conserve l'ordre : un encadrement des
antécédents se transmet aux images. Une seule valeur connue suffit donc
à minorer toutes les images situées à sa droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(8) \geq 5$

]]> Bonne réponse : $2 < 8$ et la croissance conserve l'ordre, donc
$f(8)$ est au moins égal à $f(2)$.

]]> $f(8) \leq 5$

]]> Ordre renversé : cette conclusion vaudrait pour une fonction
décroissante. Ici les images grandissent avec les antécédents.

]]> $f(8) = 5$

]]> Égalité impossible à affirmer : la croissance autorise $f(8) = 5$,
mais aussi $f(8) = 100$. Elle ne donne qu'une minoration.

]]> On ne peut rien affirmer sans la formule de $f$

]]> La formule est inutile : le sens de variation suffit à minorer
$f(8)$ par une valeur déjà connue.

]]> Variations et extremums — Q34 : Extremum de la fonction racine carrée La fonction racine carrée admet-elle un extremum sur son ensemble de
définition $[0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Une fonction croissante sur un intervalle dont la borne gauche est
incluse atteint son minimum en cette borne. La racine carrée a donc pour
minimum $0$, et elle n'a pas de maximum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, un minimum égal à $0$, atteint en $0$

]]> Bonne réponse : la fonction croît à partir de $0$, et
$\sqrt{0} = 0$ est donc la plus petite de toutes ses images.

]]> Oui, un maximum égal à $0$, atteint en $0$

]]> Sens de l'extremum inversé : toutes les autres images dépassent
$0$, qui joue donc le rôle d'un plancher et non d'un plafond.

]]> Non, elle ne cesse de croître sans jamais s'arrêter

]]> La croissance n'interdit pas un extremum : la borne $0$ appartient
à l'ensemble de définition, et son image est la plus petite.

]]> Oui, un minimum égal à $1$, atteint en $1$

]]> Le nombre $1$ n'a rien de particulier ici :
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ est déjà plus petit que $1$.

]]> Variations et extremums — Q35 : La fonction cube a-t-elle un maximum La fonction cube admet-elle un maximum sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Une fonction croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier n'a ni maximum ni
minimum. Un extremum suppose toujours un changement de sens de variation
ou une borne incluse dans l'intervalle d'étude.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, ses images grandissent sans fin

]]> Bonne réponse : la fonction cube croît sur $\mathbb{R}$ sans
s'arrêter, puisque $10^3 = 1000$ et $100^3 = 1\,000\,000$.

]]> Oui, son maximum vaut $0$, atteint en $0$

]]> Le nombre $0$ n'est ni un plafond ni un plancher : $2^3 = 8$ le
dépasse et $(-2)^3 = -8$ lui est inférieur.

]]> Oui, son maximum vaut $1$, atteint en $1$

]]> Contre-exemple immédiat : $2^3 = 8$ dépasse $1$, qui n'est donc pas
la plus grande image.

]]> Non, mais elle admet un minimum en $0$

]]> Pas de minimum non plus : $(-10)^3 = -1000$ descend en dessous de
toute valeur fixée à l'avance.

]]> Variations et extremums — Q36 : Maximum d'une affine sur un intervalle Sur l'intervalle $[-2\,;\,6]$, en quelle valeur la fonction
$f(x) = -4x + 1$ atteint-elle son maximum ?

]]> Une fonction affine est monotone sur tout intervalle, donc ses
extremums se trouvent toujours aux bornes. Avec un coefficient
directeur négatif, le maximum est à gauche et le minimum à droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = -2$

]]> Bonne réponse : le coefficient $-4$ est négatif, donc $f$ décroît.
Le maximum est atteint à la borne gauche et vaut
$f(-2) = 9$.

]]> En $x = 6$

]]> Sens de variation inversé : comme $-4$ est négatif, la borne
droite porte le minimum, $f(6) = -23$.

]]> En $x = 0$

]]> La valeur $0$ ne joue aucun rôle particulier : une droite ne change
jamais de direction en chemin.

]]> Elle n'a pas de maximum sur cet intervalle

]]> Sur un intervalle fermé, une fonction affine atteint ses deux
extrêmes aux bornes : ici le maximum vaut $f(-2) = 9$.

]]> Variations et extremums — Q37 : Extremum d'une fonction constante Une fonction constante sur un intervalle y admet-elle un maximum ?

]]> Le maximum de $f$ sur $I$ est une image atteinte par $f$ et supérieure
ou égale à toutes les autres. Une fonction constante remplit cette
condition en chacun des points de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, égal à sa valeur, atteint partout

]]> Bonne réponse : toutes les images sont égales, donc chacune est la
plus grande, et elle est bien prise par la fonction.

]]> Non, aucune image ne dépasse les autres

]]> Un maximum n'a pas à dépasser strictement les autres images : il
suffit qu'aucune ne lui soit supérieure.

]]> Oui, mais seulement à la borne droite

]]> Aucune borne n'est privilégiée : la valeur maximale est atteinte en
tout point de l'intervalle.

]]> Non, un maximum suppose une montée puis une descente

]]> Ce n'est pas la définition : un maximum est une image qu'aucune
autre ne dépasse, quelles que soient les variations.

]]> Variations et extremums — Q38 : Extremum lu sur un carré décalé Soit $f(x) = 3(x + 1)^2 - 4$. Quel extremum la fonction $f$
admet-elle sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Dans une écriture $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$, le carré est
positif et s'annule en $\alpha$ : la fonction admet le minimum $\beta$,
atteint en $x = \alpha$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = -1$

]]> Bonne réponse : $3(x + 1)^2$ est positif ou nul et s'annule
pour $x = -1$. La plus petite valeur de $f$ est donc $-4$.

]]> Un minimum égal à $-4$, atteint en $x = 1$

]]> Signe du sommet : la parenthèse $x + 1$ s'annule pour
$x = -1$, et non pour $x = 1$.

]]> Un maximum égal à $-4$, atteint lui aussi en $x = -1$

]]> Sens de l'extremum : le coefficient $3$ est positif, donc le
carré s'ajoute à $-4$ et les images partent de $-4$ vers le haut.

]]> Un minimum égal à $-1$, atteint en $x = -4$

]]> Rôles échangés : $-4$ est la valeur de l'extremum et $-1$
l'endroit où il est atteint.

]]> Variations et extremums — Q39 : Retrouver une expression depuis son maximum Une fonction définie sur $\mathbb{R}$ admet pour maximum $7$, atteint en
$x = -2$. Parmi ces expressions, laquelle peut être la sienne ?

]]> Une expression $-(x - \alpha)^2 + \beta$ atteint son maximum $\beta$ en
$x = \alpha$, car le carré, toujours positif, est retranché et vaut au
mieux $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-(x + 2)^2 + 7$

]]> Bonne réponse : le signe moins devant le carré tourne la parabole
vers le bas, la parenthèse s'annule en $-2$ et il reste $7$.

]]> $-(x - 2)^2 + 7$

]]> Sommet mal placé : la parenthèse $x - 2$ s'annule en $x = 2$, donc
le maximum serait atteint en $2$.

]]> $(x + 2)^2 + 7$

]]> Sans le signe moins, le carré s'ajoute à $7$ : la valeur $7$
deviendrait un minimum et non un maximum.

]]> $-2(x + 7)^2 + 2$

]]> Nombres échangés : cette expression donne un maximum égal à $2$,
atteint en $x = -7$.

]]> Variations et extremums — Q40 : Maximum de l'inverse sur un intervalle Sur l'intervalle $[2\,;\,5]$, en quelle valeur la fonction inverse
atteint-elle son maximum ?

]]> La fonction inverse décroît sur $]0\,;\,+\infty[$ : sur un intervalle
$[a\,;\,b]$ formé de nombres positifs, son maximum vaut
$\dfrac{1}{a}$ et son minimum $\dfrac{1}{b}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 2$, où elle vaut $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : la fonction inverse décroît sur
$]0\,;\,+\infty[$, donc la plus grande image est celle de la borne
gauche.

]]> En $x = 5$, où elle vaut seulement $\dfrac{1}{5}$

]]> Borne inversée : $\dfrac{1}{5}$ est la plus petite image sur cet
intervalle, c'est donc le minimum de la fonction.

]]> Au milieu de l'intervalle

]]> Aucun extremum au milieu : la fonction inverse ne change pas de
sens sur cet intervalle, elle décroît d'un bout à l'autre.

]]> Elle n'y admet pas de maximum

]]> Sur un intervalle fermé où elle est définie et décroissante, la
fonction atteint bien son maximum, à la borne gauche.

]]> Variations et extremums — Q41 : Une parabole qui ne coupe pas l'axe Soit $f(x) = x^2 + 4$. Quelle est la plus petite valeur prise par
$f$, et la courbe de $f$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

]]> L'expression $x^2 + k$ a pour minimum $k$, atteint en $x = 0$. Quand
$k$ est strictement positif, toutes les images le dépassent et la courbe
ne rencontre jamais l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le minimum vaut $4$ et la courbe évite cet axe

]]> Bonne réponse : $x^2 \geq 0$ donne $f(x) \geq 4$, avec égalité en
$x = 0$. Aucune image ne vaut $0$, donc la courbe reste au-dessus
de l'axe.

]]> Le minimum vaut $4$ et la courbe coupe cet axe en deux points

]]> Contradiction : si toutes les images valent au moins $4$, aucune
ne peut être nulle.

]]> Le minimum vaut $0$ et la courbe touche cet axe en un point

]]> Constante oubliée : $f(0) = 0 + 4 = 4$, car le terme $4$
soulève toute la parabole.

]]> Le minimum vaut $-4$ et la courbe coupe cet axe en deux points

]]> Signe faux : le nombre $4$ s'ajoute au carré, il ne s'en retranche
pas. Le sommet est le point $(0\,;\,4)$.

]]> Variations et extremums — Q42 : Compter les antécédents d'un nombre Le tableau de variations de $g$ sur $[-3\,;\,6]$ montre une montée de
$-4$ jusqu'à $9$, puis une descente de $9$ jusqu'à $1$, la courbe se
traçant sans lever le crayon. Combien de nombres ont pour image $0$
par $g$ ?

]]> Sur chaque flèche d'un tableau de variations, un nombre admet un
antécédent exactement lorsqu'il est compris entre les deux valeurs
extrêmes de cette flèche. On compte ensuite flèche par flèche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un seul, pendant la montée

]]> Bonne réponse : $0$ est compris entre $-4$ et $9$, donc la montée le
traverse une fois ; la descente s'arrête à $1$, toujours au-dessus
de $0$.

]]> Deux, un par flèche du tableau

]]> Descente mal lue : elle s'arrête à $1$, un nombre supérieur à $0$,
donc cette flèche ne traverse pas le niveau $0$.

]]> Aucun, car $0$ n'apparaît pas

]]> Un tableau n'affiche que les valeurs extrêmes : entre $-4$ et $9$,
toutes les valeurs intermédiaires sont prises, dont $0$.

]]> Trois, une par valeur du tableau

]]> Trois antécédents supposeraient trois flèches : le tableau n'en
comporte que deux, donc au plus deux antécédents.

]]> Variations et extremums — Q43 : Deux images égales sous une croissance large Une fonction $f$ est croissante au sens large sur $[0\,;\,5]$ et
vérifie $f(1) = f(4)$. Que peut-on en déduire sur $[1\,;\,4]$ ?

]]> La croissance au sens large autorise des paliers. Deux images égales aux
extrémités d'un intervalle forcent la fonction à rester constante entre
les deux, puisque ses images y sont encadrées par deux valeurs égales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ y est constante

]]> Bonne réponse : pour $x$ entre $1$ et $4$, la croissance donne
$f(1) \leq f(x) \leq f(4)$. Les deux bornes étant égales, toutes ces
images le sont aussi.

]]> $f$ y est strictement croissante

]]> La croissance stricte est exclue : elle imposerait
$f(1) < f(4)$, ce que l'énoncé contredit.

]]> $f$ y est strictement décroissante

]]> La décroissance contredirait l'hypothèse : la fonction est
croissante au sens large sur tout $[0\,;\,5]$.

]]> On ne peut rien en déduire de plus

]]> L'encadrement $f(1) \leq f(x) \leq f(4)$ suffit à conclure, sans
connaître la moindre formule.

]]> Variations et extremums — Q44 : Maximum d'une température La température d'un four monte de $20$ degrés à $240$ degrés pendant les
$15$ premières minutes de chauffe. Sur l'intervalle de temps
$[0\,;\,15]$, quel est le maximum de la température ?

]]> Sur un intervalle où une grandeur ne fait que croître, son maximum est
atteint à la borne droite. Il faut toujours distinguer la valeur
maximale de l'instant où elle est atteinte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $240$ degrés, après $15$ minutes

]]> Bonne réponse : la température ne fait que croître, donc sa plus
grande valeur est celle de la borne droite.

]]> $20$ degrés, au moment du départ

]]> C'est la valeur de départ, donc le minimum sur cet intervalle,
puisque la température ne fait que monter.

]]> $15$ minutes, la fin de la chauffe

]]> Confusion entre l'instant et la température : $15$ minutes est
l'antécédent, alors que le maximum est une image.

]]> $220$ degrés, la hausse enregistrée

]]> L'écart entre les deux températures mesure la hausse totale, pas la
température atteinte, qui vaut $240$ degrés.

]]> Variations et extremums — Q45 : Ce que garantit un minimum Une fonction $f$ admet un minimum égal à $-3$ sur $[0\,;\,8]$. Que
peut-on affirmer de ses images sur cet intervalle ?

]]> Dire que $-3$ est le minimum de $f$ sur un intervalle, c'est affirmer
deux choses : toutes les images valent au moins $-3$, et la valeur $-3$
est atteinte par la fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles valent toutes au moins $-3$

]]> Bonne réponse : un minimum est une image qu'aucune autre ne descend
en dessous, et qui est effectivement prise par la fonction.

]]> Elles valent toutes au plus $-3$

]]> Sens inversé : c'est la définition d'un maximum. Un minimum sert de
plancher, pas de plafond.

]]> Elles valent toutes exactement $-3$

]]> Seule une fonction constante prendrait toujours la même image : ici
$-3$ est seulement la plus petite.

]]> Elles sont toutes négatives ou nulles

]]> Le signe des images n'est pas imposé : la fonction peut monter
jusqu'à $100$ tout en restant minorée par $-3$.

]]> Variations et extremums — Q46 : Approcher un maximum par balayage Une fonction $f$ est croissante puis décroissante sur $[0\,;\,1]$.
On calcule $f(x)$ pour $x = 0$ ; $0{,}1$ ; $0{,}2$ ; … ; $1$ et la plus
grande valeur obtenue est $f(0{,}6)$. Que peut-on en déduire ?

]]> Un balayage avec un pas plus petit sur $[0{,}5\,;\,0{,}7]$ affine
l'approximation de l'abscisse du maximum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le maximum est atteint entre $0{,}5$ et $0{,}7$

]]> Bonne réponse : $f(0{,}5) < f(0{,}6)$ et $f(0{,}7) < f(0{,}6)$,
donc $f$ n'a pas encore changé de sens de variation en $0{,}5$ et
l'a déjà fait en $0{,}7$.

]]> Le maximum est atteint exactement en $0{,}6$

]]> Erreur : le balayage n'examine que des valeurs espacées de
$0{,}1$ ; le maximum peut se situer entre deux d'entre elles.

]]> Le maximum est atteint entre $0{,}6$ et $0{,}7$

]]> Erreur : rien n'exclut que le maximum soit un peu avant $0{,}6$ :
il faut garder les deux voisins.

]]> Le maximum de $f$ vaut $0{,}6$

]]> Erreur : $0{,}6$ est une abscisse. Le maximum est une valeur de
$f$, proche de $f(0{,}6)$.

]]> Variations et extremums — Q47 : Longueur approchée d'une courbe Pour approcher la longueur de la courbe de $f(x) = x^2$ entre les
points d'abscisses $0$ et $2$, on la remplace par les segments
joignant les points d'abscisses $0$, $1$ et $2$. Quelle valeur
obtient-on ?

]]> En multipliant les points intermédiaires, la somme des longueurs des
segments se rapproche de la longueur de la courbe : c'est l'idée
d'un algorithme de calcul approché.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{2} + \sqrt{10}$

]]> Bonne réponse : de $(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$, la longueur est
$\sqrt{1 + 1}$ ; de $(1\,;\,1)$ à $(2\,;\,4)$, elle est
$\sqrt{1 + 9}$. On additionne.

]]> $\sqrt{20}$

]]> Erreur : c'est la longueur du seul segment de $(0\,;\,0)$ à
$(2\,;\,4)$, qui ne suit pas la courbe.

]]> $\sqrt{1 + 1} \times \sqrt{1 + 9}$

]]> Erreur : les longueurs des segments mis bout à bout
s'additionnent, elles ne se multiplient pas.

]]> $\sqrt{12}$

]]> Erreur : on ne peut pas additionner les nombres sous deux
racines : $\sqrt{2} + \sqrt{10} \neq \sqrt{12}$.

]]> Variations et extremums — Q48 : Nombre d'étapes d'une dichotomie Pour encadrer l'abscisse du maximum d'une fonction sur
$[0\,;\,4]$, on applique une dichotomie : à chaque étape,
l'intervalle qui contient le maximum est remplacé par l'une de
ses deux moitiés. Combien d'étapes faut-il au minimum pour
obtenir un intervalle d'amplitude inférieure ou égale à $0{,}1$ ?

]]> La dichotomie est bien plus rapide qu'un balayage : l'amplitude
est divisée par $2$ à chaque étape, soit par $2^n$ après $n$
étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ étapes

]]> Bonne réponse : après $n$ étapes, l'amplitude vaut
$\dfrac{4}{2^n}$. Pour $n = 5$, $\dfrac{4}{32} = 0{,}125$ ;
pour $n = 6$, $\dfrac{4}{64} = 0{,}0625 \leq 0{,}1$.

]]> $5$ étapes

]]> Une étape de moins : après $5$ étapes, l'amplitude vaut
$\dfrac{4}{32} = 0{,}125$, encore supérieure à $0{,}1$.

]]> $40$ étapes

]]> Erreur : $40 = \dfrac{4}{0{,}1}$ serait le nombre de pas d'un
balayage de pas $0{,}1$. La dichotomie divise l'amplitude
par $2$ à chaque étape.

]]> $20$ étapes

]]> Erreur : retirer $0{,}2$ à chaque étape n'est pas une
dichotomie ; l'amplitude est divisée par $2$, d'où $6$
étapes seulement.

]]>