$course$/QCM de maths/Seconde/Vecteurs du plan Égalité de deux vecteurs, coordonnées d'un vecteur et de
$\overrightarrow{AB}$, somme et produit par un réel, relation de
Chasles, colinéarité et déterminant, norme, milieu d'un segment,
alignement et parallélisme.

]]> Vecteurs du plan — Q01 : Égalité de vecteurs et parallélogramme Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan (non alignés).
Que signifie l'égalité $\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}$ ?

]]> $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ $\Leftrightarrow$
$ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati). La
translation qui envoie $A$ sur $B$ envoie alors $D$ sur $C$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $ABCD$ est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
signifie que $[AB]$ et $[DC]$ ont même direction, même sens
et même longueur : c'est la caractérisation vectorielle du
parallélogramme $ABCD$.

]]> $ABCD$ est un rectangle

]]> Trop fort : l'égalité vectorielle ne dit rien des angles.
Elle garantit un parallélogramme, rectangle seulement si un
angle droit s'y ajoute.

]]> Les segments $[AB]$ et $[DC]$ ont la même longueur

]]> Incomplet : l'égalité de vecteurs exige aussi même
direction et même sens. Deux segments de même
longueur peuvent pointer n'importe où.

]]> $A = D$ et $B = C$

]]> Erreur : deux vecteurs égaux peuvent avoir des
représentants d'origines différentes ; c'est tout l'intérêt
de la notion.

]]> Vecteurs du plan — Q02 : Lire les coordonnées d'un vecteur Repère orthonormé avec quadrillage. Le point A est en (1 ; 1) et le point B en (4 ; 3). Le vecteur u, tracé en bleu de A vers B, avance de 3 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut.

Sur la figure ci-dessous, quelles sont les coordonnées du
vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ ?

]]> Les coordonnées d'un vecteur se lisent comme un déplacement :
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A) =
(4-1\,;\,3-1) = (3\,;\,2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(3\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on se déplace de
$3$ carreaux vers la droite et de $2$ vers le haut :
$\vec{u}(3\,;\,2)$.

]]> $\vec{u}(4\,;\,3)$

]]> Erreur : $(4\,;\,3)$ sont les coordonnées du point
$B$. Celles du vecteur mesurent le déplacement de $A$
vers $B$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,3)$

]]> Coordonnées inversées : le déplacement horizontal ($3$)
s'écrit en premier, le vertical ($2$) en second.

]]> $\vec{u}(5\,;\,4)$

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées de $A$ et
$B$. Un vecteur se lit par différence (arrivée moins
départ).

]]> Vecteurs du plan — Q03 : Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ Soient $A(2\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,3)$. Quelles sont les
coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

]]> $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : toujours
« arrivée moins départ ». Attention aux doubles signes :
$3 - (-1) = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,4)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,
y_B - y_A) = (5 - 2\,;\,3 - (-1)) = (3\,;\,4)$.

]]> $(7\,;\,2)$

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées des points. La
formule est une différence : arrivée moins départ.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Erreur de signe : $y_B - y_A = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
Soustraire un négatif revient à additionner.

]]> $(-3\,;\,-4)$

]]> Sens inversé : $(-3\,;\,-4)$ est le vecteur
$\overrightarrow{BA}$, du point d'arrivée vers le point de
départ.

]]> Vecteurs du plan — Q04 : Somme de deux vecteurs Soient $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(-1\,;\,4)$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$ ?

]]> $\vec{u}(x\,;\,y) + \vec{v}(x'\,;\,y') =
(x + x'\,;\,y + y')$ : les déplacements s'enchaînent, les
coordonnées s'ajoutent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1\,;\,7)$

]]> Bonne réponse : on additionne coordonnée par coordonnée :
$(2 + (-1)\,;\,3 + 4) = (1\,;\,7)$.

]]> $(3\,;\,7)$

]]> Erreur de signe : $2 + (-1) = 1$, pas $3$ (tu as soustrait
$-1$ au lieu de l'ajouter).

]]> $(1\,;\,-1)$

]]> Erreur : la deuxième coordonnée vaut $3 + 4 = 7$. Chaque
coordonnée s'additionne indépendamment.

]]> $(-2\,;\,12)$

]]> Erreur : tu as multiplié les coordonnées. La somme de
vecteurs est une addition coordonnée par coordonnée.

]]> Vecteurs du plan — Q05 : Produit d'un vecteur par un réel Soit $\vec{u}(2\,;\,-1)$. Quelles sont les coordonnées de
$-3\vec{u}$ ?

]]> $k\,\vec{u}(x\,;\,y) = (kx\,;\,ky)$. Pour $k = -3$ :
$(-6\,;\,3)$, vecteur de sens opposé et trois fois plus long.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-6\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
$-3$ : $(-3 \times 2\,;\,-3 \times (-1)) = (-6\,;\,3)$.

]]> $(-6\,;\,-3)$

]]> Erreur de signe : $-3 \times (-1) = +3$. Le produit de
deux négatifs est positif.

]]> $(6\,;\,3)$

]]> Erreur : la première coordonnée vaut $-3 \times 2 = -6$.
Le facteur $-3$ s'applique avec son signe.

]]> $(-1\,;\,-4)$

]]> Erreur : tu as soustrait $3$ aux coordonnées.
Multiplier un vecteur par un réel multiplie chaque
coordonnée.

]]> Vecteurs du plan — Q06 : Relation de Chasles Pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques, que vaut la somme
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

]]> Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : la lettre
intermédiaire ($B$) s'efface quand elle termine le premier
vecteur et commence le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AC}$

]]> Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$
revient à aller directement de $A$ à $C$ : c'est la
relation de Chasles.

]]> $\overrightarrow{CA}$

]]> Sens inversé : l'enchaînement part de $A$ et aboutit à
$C$, donc $\overrightarrow{AC}$ (et non le retour
$\overrightarrow{CA}$).

]]> $\overrightarrow{BB}$

]]> Erreur : $\overrightarrow{BB} = \vec{0}$. La somme ne
s'annule que pour un aller-retour, comme
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$.

]]> $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$

]]> Erreur de nature : on ne « multiplie » pas deux vecteurs
en seconde. La relation de Chasles concerne la somme.

]]> Vecteurs du plan — Q07 : Tester la colinéarité par le déterminant Soient $\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$. Ces vecteurs
sont-ils colinéaires ?

]]> $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ sont colinéaires
$\Leftrightarrow$ $\det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 0$
(produit en croix). Ici $12 - 12 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = 2 \times 6 - 3
\times 4 = 0$

]]> Bonne réponse : le déterminant $xy' - yx'$ est nul, c'est
le critère de colinéarité (on voit d'ailleurs que
$\vec{v} = 2\vec{u}$).

]]> Non, car leurs coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité,
pas l'égalité. Ici $\vec{v} = 2\vec{u}$ : colinéaires.

]]> Non, car $2 \times 6 + 3 \times 4 = 24 \neq 0$

]]> Erreur de formule : le déterminant est une différence
en croix, $xy' - yx'$, pas une somme.

]]> Oui, car toutes leurs coordonnées sont positives

]]> La conclusion est bonne mais l'argument est faux : les
signes ne disent rien de la colinéarité. Seul le
déterminant nul (ou la proportionnalité) conclut.

]]> Vecteurs du plan — Q08 : Calculer un déterminant Que vaut le déterminant de $\vec{u}(2\,;\,3)$ et
$\vec{v}(1\,;\,5)$, et que peut-on en déduire ?

]]> $\det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' = 10 - 3 = 7$.
Déterminant non nul $\Leftrightarrow$ vecteurs non
colinéaires : ils forment deux directions distinctes du plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\det = 7$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Bonne réponse : $2 \times 5 - 3 \times 1 = 10 - 3 = 7 \neq
0$ : les directions sont distinctes.

]]> $\det = 13$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires

]]> Erreur de formule : $13 = 2 \times 5 + 3 \times 1$
additionne au lieu de soustraire. Le déterminant est
$xy' - yx' = 7$ (la conclusion reste bonne, pas le
calcul).

]]> $\det = 0$ : les vecteurs sont colinéaires

]]> Erreur de calcul : $2 \times 5 = 10$ et $3 \times 1 = 3$
ne se compensent pas : $\det = 7 \neq 0$.

]]> $\det = 7$ : les vecteurs sont colinéaires

]]> Calcul juste, conclusion inversée : la colinéarité
correspond à un déterminant nul. Ici $7 \neq 0$ :
non colinéaires.

]]> Vecteurs du plan — Q09 : Coordonnées du milieu Soient $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,8)$. Quelles sont les
coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

]]> Milieu de $[AB]$ :
$I\!\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$
: la moyenne des coordonnées. Ici $(3\,;\,5)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I(3\,;\,5)$

]]> Bonne réponse : le milieu moyenne les coordonnées :
$I\!\left(\dfrac{1 + 5}{2}\,;\,\dfrac{2 + 8}{2}\right) =
(3\,;\,5)$.

]]> $I(6\,;\,10)$

]]> Oubli de la division par $2$ : $(6\,;\,10)$ est la
somme des coordonnées. Le milieu en est la moitié.

]]> $I(2\,;\,3)$

]]> Erreur : $(2\,;\,3)$ est la demi-différence
(la moitié de $\overrightarrow{AB}$), pas le milieu. On
moyenne : $\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,
\frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

]]> $I(4\,;\,6)$

]]> Erreur de calcul : $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et
$\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Vérifie tes moyennes.

]]> Vecteurs du plan — Q10 : Norme d'un vecteur Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur
$\vec{u}(3\,;\,4)$ ?

]]> En repère orthonormé : $\|\vec{u}(x\,;\,y)\| =
\sqrt{x^2 + y^2}$ (théorème de Pythagore). Ici
$\sqrt{9 + 16} = 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} =
\sqrt{25} = 5$.

]]> $7$

]]> Erreur : $3 + 4$ additionne les coordonnées. La norme
passe par les carrés : $\sqrt{9 + 16}$.

]]> $25$

]]> Oubli de la racine : $25$ est le carré de la norme.
$\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5$.

]]> $\sqrt{7}$

]]> Erreur : $\sqrt{3 + 4}$ oublie d'élever les coordonnées
au carré : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25}$.

]]> Vecteurs du plan — Q11 : Alignement de trois points Soient $A(0\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(6\,;\,10)$. Ces trois
points sont-ils alignés ?

]]> $A$, $B$, $C$ alignés $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$
et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires $\Leftrightarrow$
$\det = 0$. Ici $\det = 2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ :
alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
sont colinéaires

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,3)$ et
$\overrightarrow{AC}(6\,;\,9)$ ont un déterminant nul,
$2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$ : les vecteurs
sont colinéaires ($\overrightarrow{AC} =
3\overrightarrow{AB}$), donc les points alignés.

]]> Non, car les longueurs $AB$ et $AC$ sont différentes

]]> Erreur : des points alignés n'ont aucune raison d'être
équidistants. L'alignement se teste par la
colinéarité des vecteurs, pas par les longueurs.

]]> Non, car les trois points ont des ordonnées différentes

]]> Erreur : seuls les points d'une droite horizontale
partagent la même ordonnée. Une droite oblique traverse
toutes les ordonnées.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la figure dans un
repère

]]> Erreur : le calcul du déterminant tranche sans figure :
$\det(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}) = 0$,
points alignés. C'est la force du calcul vectoriel.

]]> Vecteurs du plan — Q12 : Caractérisation vectorielle du milieu Soit $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. Quelle égalité vectorielle caractérise « $I$ est le milieu de
$[AB]$ » ?

]]> Caractérisation vectorielle du milieu (au programme) : $I$
milieu de $[AB]$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow$
$\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. La
version « longueurs » $IA = IB$ décrit la médiatrice entière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$

]]> Bonne réponse : depuis le milieu, les vecteurs vers $A$ et
vers $B$ sont opposés, leur somme est nulle. Formulation
équivalente : $\overrightarrow{AI} =
\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

]]> $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}$

]]> Piège : deux vecteurs égaux ont le même sens ; ici
$\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ pointent
dans des sens opposés. L'égalité forcerait $A = B$.

]]> $IA = IB$

]]> Insuffisant : l'égalité des longueurs caractérise
toute la médiatrice de $[AB]$, pas seulement son milieu.
Il faut l'information vectorielle (direction comprise).

]]> $\overrightarrow{AI} = 2\,\overrightarrow{AB}$

]]> Erreur de coefficient : ce point serait au-delà de
$B$, deux fois trop loin. Le milieu correspond à
$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

]]> Vecteurs du plan — Q13 : Image par une translation Quelle est l'image du point $A(2\ ;\ 1)$ par la translation
de vecteur $\vec{u}(3\ ;\ -2)$ ?

]]> Translation de vecteur $\vec{u}(a\ ;\ b)$ : chaque point
glisse de $a$ horizontalement et $b$ verticalement : $A'(x_A
+ a\ ;\ y_A + b)$. Le vecteur EST le déplacement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A'(5\ ;\ -1)$

]]> Bonne réponse : appliquer une translation revient à ajouter les coordonnées du vecteur : $(2 + 3\ ;\ 1 - 2)$.

]]> $A'(-1\ ;\ 3)$

]]> Soustraction : $(2 - 3\ ;\ 1 + 2)$ applique le vecteur
opposé : la translation ajoute $\vec{u}$, elle ne le
retire pas.

]]> $A'(6\ ;\ -2)$

]]> Multiplication : les coordonnées du vecteur
s'ajoutent à celles du point, elles ne les
multiplient pas.

]]> $A'(3\ ;\ -2)$

]]> Point de départ oublié : $(3\ ;\ -2)$ sont les
coordonnées du vecteur : l'image part de $A$ et se
décale de $\vec{u}$.

]]> Vecteurs du plan — Q14 : Vecteur opposé Quel est l'opposé du vecteur $\vec{u}(4\ ;\ -3)$ ?

]]> $-\vec{u}$ : mêmes coordonnées avec signes opposés.
Propriété clé : $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$, et
$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\vec{u}(-4\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : l'opposé change le signe des deux
coordonnées : même direction, même longueur, sens
contraire.

]]> $(-4\ ;\ -3)$

]]> Une seule coordonnée basculée : l'opposé retourne le
vecteur entier : les deux signes changent.

]]> $(4\ ;\ 3)$

]]> Erreur : seul le signe du $-3$ a changé : ce vecteur
n'est ni $\vec{u}$ ni son opposé.

]]> $\left(\dfrac{1}{4}\ ;\ -\dfrac{1}{3}\right)$

]]> Confusion : les inverses concernent les nombres ;
l'opposé d'un vecteur change les signes, pas les
valeurs.

]]> Vecteurs du plan — Q15 : Multiplier un vecteur par un réel Soit $\vec{u}(2\ ;\ -1)$. Quelles sont les coordonnées de
$3\vec{u}$ ?

]]> $k\vec{u}$ : les deux coordonnées multipliées par $k$.
Géométriquement : longueur multipliée par $|k|$, sens
conservé si $k > 0$, retourné si $k < 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(6\ ;\ -3)$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée est multipliée par
$3$ : même direction et même sens, longueur multipliée
par $3$.

]]> $(5\ ;\ 2)$

]]> Addition : $(2 + 3\ ;\ -1 + 3)$ ajoute $3$ au lieu de
multiplier par $3$.

]]> $(6\ ;\ -1)$

]]> Multiplication partielle : le facteur $3$ s'applique aux
deux coordonnées.

]]> $(6\ ;\ 3)$

]]> Signe : $3 \times (-1) = -3$ : multiplier par un
positif conserve les signes.

]]> Vecteurs du plan — Q16 : Coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$ Soient $\vec{u}(5\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(1\ ;\ 4)$. Quelles
sont les coordonnées de $\vec{u} - \vec{v}$ ?

]]> $\vec{u} - \vec{v}$ : soustraction coordonnée par
coordonnée, dans l'ordre. (C'est aussi $\vec{u} +
(-\vec{v})$ : ajouter l'opposé.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(4\ ;\ -2)$

]]> Bonne réponse : coordonnée par coordonnée : $(5 - 1\ ;\
2 - 4) = (4\ ;\ -2)$.

]]> $(6\ ;\ 6)$

]]> Addition : $(5 + 1\ ;\ 2 + 4)$ calcule $\vec{u} +
\vec{v}$ : la différence soustrait.

]]> $(-4\ ;\ 2)$

]]> Ordre inversé : $(1 - 5\ ;\ 4 - 2)$ calcule $\vec{v} -
\vec{u}$, l'opposé du résultat cherché.

]]> $(4\ ;\ 2)$

]]> Signe : $2 - 4 = -2$ ; on soustrait dans l'ordre,
$\vec{u}$ moins $\vec{v}$.

]]> Vecteurs du plan — Q17 : Construire le quatrième sommet Soient $A(0\ ;\ 0)$, $B(3\ ;\ 1)$ et $C(4\ ;\ 3)$. Où
placer $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

]]> $ABCD$ parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}$ (attention à l'ordre des lettres :
les sommets se suivent le long du bord). Le calcul : une
égalité vectorielle et une soustraction de coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $D(1\ ;\ 2)$

]]> Bonne réponse : $ABCD$ parallélogramme $\iff
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ : avec
$\overrightarrow{AB}(3\ ;\ 1)$ : $D = C - (3\ ;\ 1) =
(1\ ;\ 2)$.

]]> $D(7\ ;\ 4)$

]]> Mauvais côté : $(7\ ;\ 4) = C + \overrightarrow{AB}$
construit $ABDC$ (ordre des lettres différent) : pour
$ABCD$, le côté $[DC]$ est parallèle à $[AB]$ : $D = C -
\overrightarrow{AB}$.

]]> $D(4\ ;\ 3)$

]]> Erreur : c'est le point $C$ : un parallélogramme a
quatre sommets distincts.

]]> $D(-3\ ;\ -1)$

]]> Erreur : $A - \overrightarrow{AB}$ prolonge $[BA]$ :
le quatrième sommet se construit à partir de $C$.

]]> Vecteurs du plan — Q18 : Chasles en chaîne Que vaut la somme $\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ ?

]]> Chasles se cascade : dans une somme de vecteurs « bout à
bout », seuls comptent le départ et l'arrivée. Boucle
fermée ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CA}$) : vecteur nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AD}$

]]> Bonne réponse : les points intermédiaires s'effacent en
cascade : $A \to B \to C \to D$ revient à $A \to D$.

]]> $\vec{0}$

]]> Erreur : la somme ne s'annule que si le chemin
revient à son départ ($+\overrightarrow{DA}$
manquerait pour boucler).

]]> $\overrightarrow{DA}$

]]> Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $D$ :
$\overrightarrow{AD}$.

]]> $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ : on ne
peut pas simplifier

]]> Erreur : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AC}$ d'abord, puis $\overrightarrow{AC}
+ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ : tout
s'enchaîne.

]]> Vecteurs du plan — Q19 : Paramètre de colinéarité Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(3\ ;\ m)$
et $\vec{v}(6\ ;\ 10)$ sont-ils colinéaires ?

]]> Colinéarité : $xy' - x'y = 0$. Avec un paramètre, le
déterminant devient une équation du premier degré. Contrôle
final par la proportionnalité des colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 5$

]]> Bonne réponse : déterminant nul : $3 \times 10 - 6
\times m = 30 - 6m = 0 \iff m = 5$. (Cohérent :
$\vec{v} = 2\vec{u}$.)

]]> $m = 20$

]]> Équation mal posée : le déterminant est $xy' - x'y = 30
- 6m$, qui s'annule en $5$ (pas $\frac{60}{3}$).

]]> $m = 7$

]]> Erreur : $30 - 42 = -12 \neq 0$ : la proportionnalité
exige $\frac{m}{10} = \frac{3}{6}$, soit $m = 5$.

]]> Aucune : les premières coordonnées sont différentes

]]> Erreur : la colinéarité demande la proportionnalité
($6 = 2 \times 3$ passe très bien), pas l'égalité.

]]> Vecteurs du plan — Q20 : Le vecteur nul Que vaut $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$ ?

]]> $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, donc leur
somme est $\vec{0}$ (coordonnées $(0\ ;\ 0)$, aucune
direction). Distinguer soigneusement $\vec{0}$ (vecteur) de
$0$ (nombre).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{0}$, le vecteur nul

]]> Bonne réponse : aller de $A$ à $B$ puis revenir :
déplacement total nul ($\overrightarrow{BA} =
-\overrightarrow{AB}$).

]]> $2\overrightarrow{AB}$

]]> Erreur : $2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AB}$ (deux fois le MÊME sens) : ici le
retour annule l'aller.

]]> Le nombre $0$

]]> Erreur de nature : la somme de deux vecteurs est un
vecteur : le vecteur nul $\vec{0}$, pas le réel $0$.

]]> $\overrightarrow{AB}$

]]> Erreur : ajouter $\overrightarrow{BA}$ n'est pas neutre :
c'est l'opposé exact de $\overrightarrow{AB}$ : tout
s'annule.

]]> Vecteurs du plan — Q21 : Distance entre deux points Soient $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ 6)$. Que vaut la distance
$AB$ ?

]]> $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ : la norme du
vecteur $\overrightarrow{AB}$ : écarts, carrés, somme,
racine : quatre gestes dans cet ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(3\ ;\ 4)$, et $AB
= \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ : le
triangle $3$-$4$-$5$.

]]> $7$

]]> Erreur : $3 + 4$ additionne les écarts : la distance
« à vol d'oiseau » passe par Pythagore : $\sqrt{9 +
16}$.

]]> $25$

]]> Racine oubliée : $25$ est $AB^2$ : la distance vaut
$5$.

]]> $\sqrt{7}$

]]> Erreur : $\sqrt{3 + 4}$ oublie les carrés : la
formule est $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

]]> Vecteurs du plan — Q22 : Quel parallélogramme pour $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ? On sait que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$
(points non alignés). Quel quadrilatère est un
parallélogramme ?

]]> $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC$
parallélogramme ; $\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC} \iff ABCD$ parallélogramme. L'ordre des
lettres du contour suit les flèches : dessiner deux flèches
égales rend l'ordre évident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $ABDC$ (dans cet ordre)

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CD}$ envoie $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$
par la même translation : les côtés $[AB]$ et $[CD]$
sont parallèles de même sens : le tour du quadrilatère
se lit $A, B, D, C$.

]]> $ABCD$ (dans cet ordre)

]]> Le piège de l'ordre des lettres : $ABCD$ parallélogramme
correspond à $\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}$ (le $D$ et le $C$ inversés) : ici
les sommets se suivent en $A, B, D, C$.

]]> $ACBD$

]]> Erreur : cet ordre croise les côtés (papillon) :
l'égalité donnée apparie $[AB]$ avec $[CD]$ dans le même
sens : contour $A, B, D, C$.

]]> Aucun : une égalité vectorielle ne fait pas un
parallélogramme

]]> Erreur : c'est LA caractérisation vectorielle du
parallélogramme : deux côtés opposés portés par des
vecteurs égaux.

]]> Vecteurs du plan — Q23 : La règle du parallélogramme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tracés depuis la même origine
$O$. Comment se construit géométriquement $\vec{u} +
\vec{v}$ ?

]]> Deux visualisations de $\vec{u} + \vec{v}$ : mettre
$\vec{v}$ au bout de $\vec{u}$ (Chasles), ou compléter le
parallélogramme depuis l'origine commune : sa diagonale
issue de $O$ est la somme (l'autre diagonale : la
différence).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la diagonale issue de $O$ du parallélogramme
construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$

]]> Bonne réponse : compléter le parallélogramme : la somme
part de $O$ et rejoint le sommet opposé : équivalent du
« bout à bout » de Chasles.

]]> C'est l'autre diagonale du parallélogramme

]]> Erreur : l'autre diagonale représente la différence
$\vec{u} - \vec{v}$ (elle joint les extrémités des deux
vecteurs).

]]> C'est le vecteur qui joint l'extrémité de $\vec{u}$ à
celle de $\vec{v}$

]]> C'est la différence $\vec{v} - \vec{u}$ : la somme, elle,
part de l'origine commune vers le sommet opposé.

]]> On ne peut pas additionner deux vecteurs de même origine

]]> Erreur : deux constructions existent : bout à bout
(Chasles) ou parallélogramme (même origine) : le
résultat est le même vecteur.

]]> Vecteurs du plan — Q24 : Multiplier par un réel négatif Comment $-2\vec{u}$ se compare-t-il à $\vec{u}$ (non nul) ?

]]> $k\vec{u}$ : direction inchangée, longueur $\times |k|$,
sens conservé si $k > 0$, inversé si $k < 0$. Les trois
attributs d'un vecteur (direction, sens, norme) réagissent
chacun à sa façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Même direction, sens contraire, longueur doublée

]]> Bonne réponse : le signe retourne le sens, le $|{-2}| =
2$ double la longueur, la direction (la droite) ne
change jamais.

]]> Direction différente, même sens, longueur doublée

]]> Erreur : $k\vec{u}$ reste toujours sur la même droite
que $\vec{u}$ (c'est la définition de la colinéarité),
et le signe négatif retourne le sens.

]]> Même direction, même sens, longueur doublée

]]> Signe ignoré : le facteur négatif retourne le
vecteur : sens contraire.

]]> Même direction, sens contraire, longueur divisée par $2$

]]> Erreur : la longueur est multipliée par $|k| = 2$, pas
par $\frac{1}{2}$.

]]> Vecteurs du plan — Q25 : Parallélisme de deux droites Dans un repère, $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(0\,;\,0)$ et
$D(6\,;\,2)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?

]]> Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs directeurs sont
colinéaires, ce que le déterminant détecte : il est nul si et seulement
s'il y a colinéarité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car le déterminant est nul

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et
$\overrightarrow{CD}(6\,;\,2)$ donnent
$3 \times 2 - 1 \times 6 = 0$.

]]> Non, car les points sont distincts

]]> Deux droites parallèles peuvent être distinctes : c'est même le cas
général. Le critère porte sur les vecteurs directeurs.

]]> Non, car les vecteurs ont des normes différentes

]]> La norme n'intervient pas : $\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}$
reste colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.

]]> Oui, car les quatre points sont alignés

]]> Conclusion juste, raison fausse : $C$ n'appartient pas à $(AB)$,
puisque $\overrightarrow{AC}(-1\,;\,-2)$ n'est pas colinéaire à
$\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$.

]]> Vecteurs du plan — Q26 : Ce qui définit un vecteur Deux flèches tracées à des endroits différents du plan peuvent-elles
représenter le même vecteur ?

]]> Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une longueur. Il
admet donc une infinité de représentants, tous parallèles et de même
longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, si direction, sens et longueur coïncident

]]> Bonne réponse : un vecteur n'a pas de position, seuls ces trois
caractères le définissent.

]]> Non, chaque vecteur a une origine fixée

]]> L'origine n'appartient pas au vecteur : elle sert seulement à en
tracer un représentant.

]]> Oui, à condition qu'elles se coupent

]]> Deux représentants d'un même vecteur sont parallèles, donc ils ne se
coupent généralement pas.

]]> Non, sauf si les deux flèches sont opposées

]]> Des flèches opposées représentent au contraire deux vecteurs
différents, $\vec{u}$ et $-\vec{u}$.

]]> Vecteurs du plan — Q27 : Retrouver un point à partir du milieu On donne $A(-1\,;\,4)$ et $B(2\,;\,1)$. Quelles sont les coordonnées du
point $C$ tel que $B$ soit le milieu de $[AC]$ ?

]]> Dire que $B$ est le milieu de $[AC]$ équivaut à
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$. On ajoute donc à $B$ les
coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $C(5\,;\,-2)$

]]> Bonne réponse : de $x_B = \dfrac{x_A + x_C}{2}$ on tire
$x_C = 2x_B - x_A = 5$, et de même $y_C = -2$.

]]> $C(0{,}5\,;\,2{,}5)$

]]> Rôles échangés : ce sont les coordonnées du milieu de $[AB]$, alors que
$B$ est déjà le milieu cherché.

]]> $C(3\,;\,-3)$

]]> Vecteur pris pour un point : $(3\,;\,-3)$ sont les coordonnées de
$\overrightarrow{AB}$, qu'il faut ajouter à celles de $B$.

]]> $C(1\,;\,6)$

]]> Sens inversé : on a retranché $\overrightarrow{AB}$ au lieu de
l'ajouter, ce qui place $C$ du mauvais côté de $B$.

]]> Vecteurs du plan — Q28 : Le vecteur nul et la colinéarité Le vecteur nul $\vec{0}$ est-il colinéaire au vecteur
$\vec{u}(2\,;\,-5)$ ?

]]> Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l'un est le produit de l'autre par
un réel. Le vecteur nul vérifie cette condition avec tout vecteur, ce qui
explique la convention.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$

]]> Bonne réponse : le vecteur nul s'obtient en multipliant n'importe quel
vecteur par $0$, il est donc colinéaire à tous.

]]> Non, car il n'a pas de direction

]]> L'absence de direction n'empêche pas la colinéarité : la définition
demande seulement un réel $k$ tel que $\vec{0} = k\vec{u}$.

]]> Non, car ses coordonnées sont nulles

]]> Le déterminant conclut : $0 \times (-5) - 0 \times 2 = 0$, donc les
deux vecteurs sont bien colinéaires.

]]> Oui, mais seulement si $\vec{u}$ est nul

]]> Aucune condition sur $\vec{u}$ : le facteur $0$ convient quel que soit
le vecteur choisi.

]]> Vecteurs du plan — Q29 : Reconnaître un parallélogramme On donne $A(0\,;\,1)$, $B(3\,;\,2)$, $C(4\,;\,5)$ et $D(1\,;\,4)$.
Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?

]]> Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. L'ordre des lettres compte :
on parcourt le contour dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et
$\overrightarrow{DC}(3\,;\,1)$ sont égaux.

]]> Oui, car $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

]]> Sommets mal ordonnés : $\overrightarrow{CD}(-3\,;\,-1)$ est l'opposé de
$\overrightarrow{AB}$, il faut comparer avec $\overrightarrow{DC}$.

]]> Non, car les côtés n'ont pas la même longueur

]]> Ils l'ont : $AB = DC = \sqrt{10}$, et $AD = BC = \sqrt{10}$ également.

]]> Non, car les diagonales ne se coupent pas

]]> Elles se coupent en leur milieu commun $(2\,;\,3)$, ce qui confirme au
contraire le parallélogramme.

]]> Vecteurs du plan — Q30 : Norme d'un vecteur multiplié Le vecteur $\vec{u}$ a pour norme $2$.
Quelle est la norme du vecteur $-3\vec{u}$ ?

]]> Pour tout réel $k$, la norme de $k\vec{u}$ vaut $|k|$ fois celle de
$\vec{u}$. Le signe de $k$ n'agit que sur le sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : la longueur est multipliée par $|-3| = 3$, donc elle
passe de $2$ à $6$.

]]> $-6$

]]> Une norme est une longueur, donc toujours positive. Le signe change
seulement le sens du vecteur.

]]> $2$

]]> Le facteur est oublié : multiplier par $-3$ triple la longueur, seul
un facteur de valeur absolue $1$ la laisserait inchangée.

]]> $-1$

]]> Somme au lieu de produit : le calcul fait est $2 - 3$, alors que la
norme se multiplie.

]]> Vecteurs du plan — Q31 : Coordonnées du vecteur opposé Dans un repère, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$(5\,;\,-2)$. Quelles sont celles de $\overrightarrow{BA}$ ?

]]> Échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur donne son opposé :
$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, de coordonnées
$(-x\,;\,-y)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-5\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, donc
les deux coordonnées changent de signe.

]]> $(5\,;\,-2)$

]]> Ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : parcourir le
chemin en sens inverse ne laisse pas le vecteur inchangé.

]]> $(-5\,;\,-2)$

]]> Seule l'abscisse a changé de signe : l'opposé retourne le vecteur
entier, donc l'ordonnée change elle aussi.

]]> $(5\,;\,2)$

]]> Seule l'ordonnée a changé de signe : l'abscisse doit basculer de la
même façon, puisque tout le vecteur se retourne.

]]> Vecteurs du plan — Q32 : Retrouver le vecteur d'une translation Une translation de vecteur $\vec{t}$ transforme le point
$A(2\,;\,5)$ en le point $B(7\,;\,1)$. Quelles sont les
coordonnées de $\vec{t}$ ?

]]> Le vecteur d'une translation se lit sur un point et son image :
$\vec{t} = \overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,-4)$

]]> Bonne réponse : $\vec{t} = \overrightarrow{AB}$, dont les
coordonnées valent $(7 - 2\,;\,1 - 5)$.

]]> $(-5\,;\,4)$

]]> Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est
$\overrightarrow{BA}$, qui ramènerait $B$ sur $A$.

]]> $(9\,;\,6)$

]]> Addition au lieu d'une soustraction : les coordonnées d'un vecteur
s'obtiennent par la différence « arrivée moins départ ».

]]> $(7\,;\,1)$

]]> Ce sont les coordonnées du point $B$ : celles du vecteur mesurent
le déplacement qui mène de $A$ jusqu'à $B$.

]]> Vecteurs du plan — Q33 : Faire apparaître un point intermédiaire On souhaite faire apparaître le point $B$ dans l'écriture du vecteur
$\overrightarrow{AC}$. Par quelle somme peut-on le remplacer ?

]]> La relation de Chasles se lit dans les deux sens : elle permet aussi de
découper un vecteur en passant par un point choisi, à condition que ce
point termine le premier vecteur et commence le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

]]> Bonne réponse : le point ajouté termine le premier vecteur et
commence le second, si bien que le trajet mène encore de $A$ à $C$.

]]> $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$

]]> Le second vecteur est retourné : il faut partir de $B$ pour
rejoindre $C$, donc écrire $\overrightarrow{BC}$.

]]> $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$

]]> Le premier vecteur est retourné : le trajet doit commencer en $A$,
donc débuter par $\overrightarrow{AB}$.

]]> $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}$

]]> Les deux vecteurs sont retournés : cette somme vaut
$\overrightarrow{CA}$, soit l'opposé du vecteur cherché.

]]> Vecteurs du plan — Q34 : Ce qui manque pour conclure à l'égalité Deux vecteurs non nuls ont la même direction et la même longueur.
Que faut-il vérifier de plus pour affirmer qu'ils sont égaux ?

]]> Un vecteur est déterminé par trois caractères : sa direction, son sens
et sa longueur. Deux vecteurs sont égaux exactement quand ces trois
caractères coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Qu'ils sont orientés dans le même sens

]]> Bonne réponse : direction, sens et longueur définissent un vecteur.
Les deux premiers caractères étant acquis, il reste le sens.

]]> Qu'ils partent tous deux du même point

]]> L'origine ne fait pas partie du vecteur : deux représentants tracés
à des endroits différents décrivent le même vecteur.

]]> Qu'ils sont portés par une même droite

]]> Cette condition est déjà contenue dans « même direction », et elle
ne dit toujours rien du sens des deux flèches.

]]> Qu'ils ont tous deux des coordonnées positives

]]> Le signe des coordonnées ne joue aucun rôle : deux vecteurs de
coordonnées négatives peuvent parfaitement être égaux.

]]> Vecteurs du plan — Q35 : Traduire une symétrie par une égalité Le point $C$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $B$.
Quelle égalité vectorielle traduit cette situation ?

]]> Dire que $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ revient à dire
que $B$ est le milieu de $[AC]$, ce que traduit l'égalité
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$

]]> Bonne réponse : $B$ est le milieu de $[AC]$, donc le déplacement de
$A$ vers $B$ se répète à l'identique de $B$ vers $C$.

]]> $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$

]]> Le second vecteur est retourné : cette égalité imposerait
$A = C$, alors que $B$ doit se trouver entre les deux.

]]> $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}$

]]> Ces deux vecteurs partent de $B$ dans des sens opposés : leur
égalité forcerait encore une fois $A = C$.

]]> $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$

]]> Cette égalité signifierait $A = B$ : c'est le déplacement de $A$ à
$B$ qu'il faut retrouver de $B$ à $C$.

]]> Vecteurs du plan — Q36 : Retrouver un vecteur dans une somme Le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\,;\,-2)$ et la somme
$\vec{u} + \vec{w}$ a pour coordonnées $(7\,;\,3)$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{w}$ ?

]]> De $\vec{u} + \vec{w} = \vec{s}$ on tire $\vec{w} = \vec{s} - \vec{u}$,
et la soustraction se fait coordonnée par coordonnée, dans cet ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(4\,;\,5)$

]]> Bonne réponse : on retranche $\vec{u}$ coordonnée par coordonnée,
soit $(7 - 3\,;\,3 - (-2))$.

]]> $(10\,;\,1)$

]]> Addition au lieu d'une soustraction : $\vec{u}$ a déjà été compté
dans la somme, il faut donc le retirer.

]]> $(-4\,;\,-5)$

]]> Soustraction faite à l'envers : ce vecteur est l'opposé de
$\vec{w}$, car les termes ont été inversés.

]]> $(4\,;\,-5)$

]]> L'abscisse est juste, mais l'ordonnée a été soustraite dans le
mauvais ordre : il faut calculer $3 - (-2)$.

]]> Vecteurs du plan — Q37 : Différence de deux vecteurs de même origine Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. Quel vecteur est égal à
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ ?

]]> Une différence se ramène à une somme :
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}$. Deux vecteurs de même
origine ont pour différence le vecteur qui joint leurs extrémités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{CB}$

]]> Bonne réponse : soustraire revient à ajouter l'opposé, donc
$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

]]> $\overrightarrow{BC}$

]]> Sens inversé : c'est $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
qui vaut $\overrightarrow{BC}$, l'opposé du vecteur cherché.

]]> $\overrightarrow{CA}$

]]> Calcul arrêté trop tôt : $-\overrightarrow{AC}$ vaut bien
$\overrightarrow{CA}$, mais il reste à lui ajouter
$\overrightarrow{AB}$.

]]> $\overrightarrow{BA}$

]]> Le point $C$ a disparu du résultat alors qu'il figure dans le
calcul : c'est lui qui devient l'origine du vecteur obtenu.

]]> Vecteurs du plan — Q38 : Distance exacte entre deux points Le plan est muni d'un repère orthonormé. Quelle est la valeur exacte de
la distance $AB$, avec $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,4)$ ?

]]> Dans un repère orthonormé,
$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Quand le résultat n'est
pas un carré parfait, la valeur exacte garde le symbole racine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{20}$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,2)$, donc
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$.

]]> $20$

]]> Racine oubliée : $20$ est le carré de la distance, il reste à en
prendre la racine.

]]> $\sqrt{6}$

]]> Carrés oubliés : les écarts $4$ et $2$ ont été additionnés
tels quels, alors que la formule les élève au carré.

]]> $\sqrt{12}$

]]> Soustraction au lieu d'une addition : les deux carrés s'ajoutent,
comme dans le théorème de Pythagore.

]]> Vecteurs du plan — Q39 : Colinéarité et position de deux droites Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont
colinéaires et non nuls. Que peut-on affirmer des droites $(AB)$ et
$(CD)$ ?

]]> Deux droites sont parallèles, au sens large, exactement quand leurs
vecteurs directeurs sont colinéaires. Distinguer le cas confondu
demande une information supplémentaire, par exemple un point commun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont parallèles, voire confondues

]]> Bonne réponse : la colinéarité donne une direction commune, mais
rien n'interdit aux quatre points d'être sur une même droite.

]]> Elles sont parallèles et forcément distinctes

]]> Trop fort : si $C$ appartient à la droite $(AB)$, les deux droites
sont confondues et la colinéarité reste vraie.

]]> Elles sont sécantes en un unique point du plan

]]> Deux droites sécantes ont des directions différentes, donc des
vecteurs directeurs non colinéaires.

]]> Elles sont confondues, comme les deux vecteurs

]]> Deux vecteurs colinéaires ne sont pas confondus pour autant : ils
peuvent être portés par deux droites parallèles distinctes.

]]> Vecteurs du plan — Q40 : Retrouver le coefficient de colinéarité Les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(-9\,;\,6)$ sont
colinéaires. Pour quel réel $k$ a-t-on $\vec{v} = k\,\vec{u}$ ?

]]> Deux vecteurs colinéaires vérifient $\vec{v} = k\,\vec{u}$ pour un réel
$k$ unique, obtenu en divisant coordonnée par coordonnée. Son signe
indique si les deux vecteurs vont dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $k = -3$

]]> Bonne réponse : $-3 \times 3 = -9$ et
$-3 \times -2 = 6$. Le facteur étant négatif, les deux
vecteurs sont de sens contraires.

]]> $k = 3$

]]> Signe perdu : avec ce facteur positif, $\vec{v}$ pointerait dans le
même sens que $\vec{u}$, ce que les coordonnées démentent.

]]> $k = -\dfrac{1}{3}$

]]> Quotient renversé : $k$ s'obtient en divisant les coordonnées de
$\vec{v}$ par celles de $\vec{u}$, et non l'inverse.

]]> $k = -12$

]]> Soustraction au lieu d'un quotient : $k$ multiplie les coordonnées
de $\vec{u}$, il ne s'y ajoute pas.

]]> Vecteurs du plan — Q41 : Longueur d'une somme de vecteurs Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. À quelle
condition a-t-on $\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$ ?

]]> Additionner deux vecteurs revient à enchaîner deux déplacements. Le
trajet direct est au plus aussi long que le trajet en deux étapes, avec
égalité exactement quand les deux étapes vont dans le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsqu'ils ont même direction et même sens

]]> Bonne réponse : les deux déplacements s'enchaînent alors en ligne
droite, et les longueurs s'ajoutent bout à bout.

]]> Pour n'importe quels vecteurs non nuls du plan

]]> Faux dès que les directions diffèrent : le chemin direct est plus
court que le détour par l'extrémité de $\vec{u}$.

]]> Lorsqu'ils ont même direction et des sens contraires

]]> Les deux déplacements se compensent alors en partie : la somme est
plus courte que chacune des deux longueurs additionnées.

]]> Jamais, car une longueur ne s'additionne pas ainsi

]]> Le cas de deux vecteurs de même sens fournit un contre-exemple
immédiat, en alignant les deux déplacements.

]]> Vecteurs du plan — Q42 : Chasles avec des termes en désordre Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan. Que vaut la somme
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC}$ ?

]]> L'addition de vecteurs est commutative : on peut réordonner les termes
pour que les points intermédiaires s'enchaînent, puis appliquer la
relation de Chasles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AD}$

]]> Bonne réponse : une somme se réordonne librement, et
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$
mène de $A$ à $D$.

]]> $\overrightarrow{AC}$

]]> Un terme a été laissé de côté : après $\overrightarrow{AC}$, il
reste à ajouter $\overrightarrow{CD}$.

]]> $\overrightarrow{BD}$

]]> Le trajet commence en $A$, pas en $B$ : seul le point de départ et
le point d'arrivée subsistent dans le résultat.

]]> $\overrightarrow{DA}$

]]> Sens inversé : l'enchaînement part de $A$ et aboutit en $D$, ce qui
donne $\overrightarrow{AD}$.

]]> Vecteurs du plan — Q43 : Paramètre et alignement de trois points Soient $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,6)$ et $C(6\,;\,m)$. Pour
quel réel $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés quand $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Le déterminant nul donne une
équation du premier degré, dont la solution est la valeur cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 12$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,4)$ et
$\overrightarrow{AC}(6 - 1\,;\,m - 2)$ ont un déterminant
nul pour $m = 12$.

]]> $m = 8$

]]> Point de départ mal choisi : l'écart d'abscisses doit se compter
depuis $A$, et non depuis $B$.

]]> $m = -8$

]]> Signe inversé : l'ordonnée varie dans le même sens que sur
$\overrightarrow{AB}$, pas dans le sens contraire.

]]> $m = 6$

]]> Ce choix place $C$ à la même hauteur que $B$ : la droite $(AB)$
n'étant pas horizontale, les trois points ne sont pas alignés.

]]> Vecteurs du plan — Q44 : Quatrième sommet de $ABDC$ Soient $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$.
Quelles sont les coordonnées du point $D$ pour que $ABDC$ soit un
parallélogramme ?

]]> Les sommets d'un parallélogramme se lisent en parcourant son contour :
$ABDC$ équivaut à $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, d'où
$D$ obtenu en translatant $C$ du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,6)$

]]> Bonne réponse : le contour $A$, $B$, $D$, $C$ impose
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, donc on ajoute
$(3\,;\,1)$ aux coordonnées de $C$.

]]> $(-1\,;\,4)$

]]> Ordre des lettres mal lu : retrancher $\overrightarrow{AB}$ à $C$
construit le parallélogramme $ABCD$, pas $ABDC$.

]]> $(3\,;\,0)$

]]> Rôles échangés : ce point complète $ACBD$, où $C$ et $B$ occupent
des sommets opposés.

]]> $(6\,;\,8)$

]]> Coordonnées simplement additionnées : $\overrightarrow{AB}$ se
calcule par une différence, que la somme $B + C$ ignore.

]]> Vecteurs du plan — Q45 : Coordonnées de $2\vec{u} - \vec{v}$ Soient $\vec{u}(3\,;\,-1)$ et $\vec{v}(4\,;\,2)$. Quelles sont
les coordonnées du vecteur $2\vec{u} - \vec{v}$ ?

]]> Une combinaison de vecteurs se calcule coordonnée par coordonnée :
$2\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées
$(2x_u - x_v\,;\,2y_u - y_v)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,-4)$

]]> Bonne réponse : on double d'abord $\vec{u}$, puis on retranche
$\vec{v}$ : $(2 \times 3 - 4\,;\,2 \times -1 - 2)$.

]]> $(10\,;\,0)$

]]> Addition au lieu d'une soustraction : le calcul mené est celui de
$2\vec{u} + \vec{v}$.

]]> $(-2\,;\,-6)$

]]> Facteur mal placé : le $2$ ne multiplie que $\vec{u}$, il ne
s'applique pas à la différence entière.

]]> $(-1\,;\,-3)$

]]> Facteur oublié : les coordonnées de $\vec{u}$ doivent d'abord être
doublées avant la soustraction.

]]> Vecteurs du plan — Q46 : Écrire un vecteur avec $\vec{i}$ et $\vec{j}$ Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$, le vecteur
$\vec{u}$ a pour coordonnées $(3\,;\,-2)$. Quelle écriture
lui correspond ?

]]> Tout vecteur du plan s'écrit de façon unique
$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ : $x$ et $y$ sont ses
coordonnées dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$

]]> Bonne réponse : $\vec{u}(x\,;\,y)$ signifie
$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$, ici avec $x = 3$ et
$y = -2$.

]]> $\vec{u} = -2\vec{i} + 3\vec{j}$

]]> Ordre inversé : la première coordonnée multiplie $\vec{i}$,
la seconde multiplie $\vec{j}$.

]]> $\vec{u} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$

]]> Erreur de signe sur la seconde coordonnée, qui vaut $-2$.

]]> $\vec{u} = 3(\vec{i} - 2\vec{j})$

]]> Erreur : en développant, on obtient
$3\vec{i} - 6\vec{j}$ ; le coefficient de $\vec{j}$
serait $-6$ au lieu de $-2$.

]]> Vecteurs du plan — Q47 : Repérer la somme de deux vecteurs Quadrillage. Depuis O, un vecteur bleu va vers U, trois carreaux à droite et un en haut, et un vecteur rouge va vers V, un carreau à droite et trois en haut. Quatre points sont marqués, avec O pour origine : A (4 ; 4), B (2 ; -2), C (-2 ; 2) et D (2 ; 2).

Sur la figure, $\overrightarrow{OU}$ représente $\vec{u}$ et
$\overrightarrow{OV}$ représente $\vec{v}$. Quel point $M$ vérifie
$\overrightarrow{OM} = \vec{u} + \vec{v}$ ?

]]> Règle du parallélogramme : avec des représentants de même origine
$O$, $\vec{u} + \vec{v}$ est représenté par la diagonale issue de
$O$ du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point $A$

]]> Bonne réponse : $OUAV$ est un parallélogramme ; $A$ s'obtient
en appliquant à $U$ la translation de vecteur $\vec{v}$
(un carreau à droite, trois en haut).

]]> Le point $B$

]]> Confusion : $\overrightarrow{OB} = \vec{u} - \vec{v}$. Pour
la somme, on enchaîne $\vec{u}$ puis $\vec{v}$.

]]> Le point $C$

]]> Confusion : $\overrightarrow{OC} = \vec{v} - \vec{u}$, l'autre
diagonale du parallélogramme orientée de $U$ vers $V$.

]]> Le point $D$

]]> Erreur : $D$ est le milieu de $[OA]$ ;
$\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})$, pas
la somme elle-même.

]]> Vecteurs du plan — Q48 : Placer l'extrémité d'un vecteur On représente le vecteur $\vec{u}(-1\,;\,2)$ à partir du point
$A(2\,;\,1)$. Quelles sont les coordonnées de son extrémité
$B$ ?

]]> $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : pour placer $B$,
on ajoute aux coordonnées de $A$ celles du vecteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $B(1\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ donne
$x_B = 2 + (-1)$ et $y_B = 1 + (2)$.

]]> $B(3\,;\,-1)$

]]> Erreur : on a soustrait les coordonnées de $\vec{u}$. Ce
point $C$ vérifie $\overrightarrow{CA} = \vec{u}$, et non
$\overrightarrow{AB} = \vec{u}$.

]]> $B(-1\,;\,2)$

]]> Confusion entre point et vecteur : ce sont les coordonnées de
$\vec{u}$, pas celles de l'extrémité d'un représentant
d'origine $A$.

]]> $B(4\,;\,0)$

]]> Erreur : les coordonnées de $\vec{u}$ ont été échangées ;
l'abscisse $-1$ s'ajoute à $x_A$, l'ordonnée $2$ à $y_A$.

]]>