$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Calcul intégral Intégrale d'une fonction continue : définition par l'aire sous la
courbe, lien avec les primitives ($F(b) - F(a)$), linéarité,
positivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par
parties, aire entre deux courbes, méthode des rectangles.

]]> Calcul intégral — Q01 : Sens géométrique de l'intégrale Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$. Que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?

]]> Pour $f$ continue positive sur $[a\,;\,b]$,
$\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire du domaine sous la courbe,
exprimée en unités d'aire du repère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire sous la courbe entre $x = a$ et $x = b$

]]> Bonne réponse : c'est la définition de l'intégrale d'une
fonction continue positive : l'aire, en unités d'aire,
du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des
abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

]]> La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$

]]> Erreur : l'intégrale mesure une aire, pas une longueur
d'arc (notion hors programme).

]]> L'accroissement $f(b) - f(a)$ de la fonction

]]> Confusion : $f(b) - f(a)$ est la variation de $f$. La
formule $F(b) - F(a)$ fait intervenir une primitive
$F$, pas $f$ elle-même.

]]> La pente moyenne de la courbe entre $a$ et $b$

]]> Erreur : la pente moyenne est $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
(taux de variation). L'intégrale, elle, cumule les valeurs
de $f$ : c'est une aire.

]]> Calcul intégral — Q02 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ?

]]> $\int_0^1 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 =
\dfrac{1}{3}$. Le tiers de l'unité d'aire : c'est l'aire sous
la parabole entre $0$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : une primitive de $x^2$ est
$\dfrac{x^3}{3}$, donc l'intégrale vaut
$\dfrac{1^3}{3} - \dfrac{0^3}{3} = \dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de primitive : $\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de
$x$, pas de $x^2$. Pour $x^2$, on monte à
$\dfrac{x^3}{3}$.

]]> $\dfrac{1}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{4}$ viendrait de $\dfrac{x^4}{4}$,
qui est une primitive de $x^3$. Pour $x^2$, la primitive
est $\dfrac{x^3}{3}$, d'où $\dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur : $\dfrac{2}{3}$ est $\displaystyle\int_{-1}^{1}
x^2\,dx$, sur un intervalle deux fois plus long. Entre
$0$ et $1$, l'aire vaut $\dfrac{1}{3}$.

]]> Calcul intégral — Q03 : Une intégrale avec $\dfrac{1}{x}$ Que vaut $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ ?

]]> Sur $]0\,;\,+\infty[$, $\int \dfrac{1}{x}$ se calcule avec
$\ln$ : $\int_1^e \dfrac{dx}{x} = [\ln x]_1^e = 1$. C'est même
la définition historique de $e$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est
$\ln(x)$, donc l'intégrale vaut
$\ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

]]> $e - 1$

]]> Erreur : $e - 1$ correspondrait à la primitive $x$
(c'est-à-dire à l'intégrale de la constante $1$). Ici la
primitive est $\ln x$.

]]> $e$

]]> Erreur : il faut la différence $F(e) - F(1)$. Avec
$F = \ln$ : $1 - 0 = 1$, pas $e$.

]]> $-\dfrac{1}{e^2} + 1$

]]> Erreur de primitive : tu as utilisé $-\dfrac{1}{x}$, qui
primitive $\dfrac{1}{x^2}$. Pour $\dfrac{1}{x}$, la
primitive de référence est $\ln x$.

]]> Calcul intégral — Q04 : Utiliser la linéarité On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^2 g = -1$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^2 \left(2f + 3g\right)$ ?

]]> Linéarité de l'intégrale :
$\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$.
Ici : $2 \times 4 + 3 \times (-1) = 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : par linéarité,
$2\int f + 3\int g = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 8 - 3 =
5$.

]]> $11$

]]> Erreur de signe : $\int g = -1$ est négative (c'est
possible pour une intégrale). $8 + 3 = 11$ oublie ce
signe : le bon calcul est $8 - 3 = 5$.

]]> $3$

]]> Erreur : $4 - 1 = 3$ ignore les coefficients $2$ et $3$.
La linéarité les conserve : $2 \times 4 + 3 \times (-1)$.

]]> $8$

]]> Incomplet : $8 = 2\int f$ seul. Il faut ajouter la
contribution $3\int g = -3$.

]]> Calcul intégral — Q05 : Intégrale d'une fonction négative Soit $f$ continue et négative sur $[0\,;\,2]$, avec
$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = -3$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et
les droites $x = 0$ et $x = 2$ ?

]]> Sous l'axe, l'intégrale compte l'aire négativement : pour
$f \leq 0$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire du domaine vaut
$-\int_a^b f$. Ici : $3$ unités d'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : pour une fonction négative, l'aire est
l'opposé de l'intégrale :
$\mathcal{A} = -\int_0^2 f = 3$. Une aire est toujours
positive.

]]> $-3$ unités d'aire

]]> Erreur : une aire est une grandeur positive. C'est
l'intégrale qui peut être négative ; l'aire correspondante
en est l'opposé.

]]> $0$

]]> Erreur : le domaine entre la courbe et l'axe est bien réel
et étendu ; son aire vaut $|-3| = 3$.

]]> $6$ unités d'aire

]]> Erreur : aucun doublement n'intervient. Aire $=$ opposé de
l'intégrale $= 3$.

]]> Calcul intégral — Q06 : Relation de Chasles On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 3$ et
$\displaystyle\int_0^5 f = 10$. Que vaut
$\displaystyle\int_2^5 f$ ?

]]> Relation de Chasles :
$\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$. On en tire
$\int_2^5 f = \int_0^5 f - \int_0^2 f = 7$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : par la relation de Chasles,
$\int_0^5 = \int_0^2 + \int_2^5$, donc
$\int_2^5 f = 10 - 3 = 7$.

]]> $13$

]]> Erreur : tu as ajouté au lieu de soustraire. Le morceau
$[2\,;\,5]$ est ce qui reste quand on retire $[0\,;\,2]$ de
$[0\,;\,5]$ : $10 - 3$.

]]> $-7$

]]> Erreur de sens : $\int_2^5 f = 10 - 3 = +7$. (Le signe
moins apparaîtrait pour $\int_5^2 f$, bornes échangées.)

]]> $30$

]]> Erreur : les intégrales s'ajoutent quand on met les
intervalles bout à bout, elles ne se multiplient pas.

]]> Calcul intégral — Q07 : Valeur moyenne d'une fonction Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec
$\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 9$. Quelle est la valeur
moyenne de $f$ sur $[1\,;\,4]$ ?

]]> Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.
Interprétation : le rectangle de base $b - a$ et de hauteur
$\mu$ a exactement l'aire de l'intégrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f =
\dfrac{9}{4-1} = 3$. C'est la hauteur du rectangle de base
$[1\,;\,4]$ ayant la même aire que le domaine sous la
courbe.

]]> $9$

]]> Erreur : $9$ est l'intégrale elle-même. La moyenne s'obtient
en divisant par la longueur de l'intervalle,
$b - a = 3$.

]]> $\dfrac{9}{4}$

]]> Erreur : on divise par $b - a = 4 - 1 = 3$, pas par la
borne $4$.

]]> $27$

]]> Erreur : tu as multiplié par la longueur au lieu de
diviser. Moyenne $= \dfrac{\text{intégrale}}{\text{longueur}}
= 3$.

]]> Calcul intégral — Q08 : Intégration par parties Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ ?

]]> Intégration par parties :
$\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$. Avec $u = x$
(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^x$ :
$e - (e - 1) = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : par parties avec $u = x$, $v' = e^x$ :
$\left[x\,e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1)
= 1$.

]]> $e - 1$

]]> Erreur : $e - 1 = \int_0^1 e^x\,dx$, l'intégrale sans
le facteur $x$. Le facteur $x$ exige une intégration par
parties.

]]> $e$

]]> Incomplet : $e = [x\,e^x]_0^1$ n'est que le terme tout
intégré ; il faut lui retrancher $\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$.

]]> $\dfrac{e^2}{2}$

]]> Erreur : tu as primitivé chaque facteur séparément
($\frac{x^2}{2}$ et $e^x$ mélangés). Un produit ne se
primitive pas facteur par facteur : c'est précisément le
rôle de l'intégration par parties.

]]> Calcul intégral — Q09 : Aire sous une parabole Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée vers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses en -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des abscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.

Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$
et $x = 2$. Quelle est son aire ?

]]> $\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \left[4x -
\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) -
\left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$. (Au passage :
exactement les deux tiers du rectangle $4 \times 4$, résultat
d'Archimède.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{32}{3}$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : $f$ est positive sur $[-2\,;\,2]$, donc
l'aire vaut $\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx =
\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} =
\dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3} = \dfrac{32}{3} \approx
10{,}7$.

]]> $\dfrac{16}{3}$ unités d'aire

]]> Erreur de bornes : $\dfrac{16}{3} =
\int_0^2 (4 - x^2)\,dx$, la moitié droite seulement. Le
domaine s'étend de $-2$ à $2$.

]]> $16$ unités d'aire

]]> Erreur : $16 = 4 \times 4$ est l'aire du rectangle
englobant (base $4$, hauteur $4$). La parabole en occupe
les deux tiers : $\dfrac{32}{3}$.

]]> $8$ unités d'aire

]]> Erreur : $8$ serait l'aire du triangle de sommets
$(-2\,;\,0)$, $(2\,;\,0)$, $(0\,;\,4)$. La parabole est
plus « bombée » qu'un triangle : $\dfrac{32}{3} > 8$.

]]> Calcul intégral — Q10 : La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On pose
$F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que vaut $F'(x)$ ?

]]> Théorème fondamental de l'analyse : pour $f$ continue,
$x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable, de dérivée $f$.
C'est le pont entre aire et primitive, et la preuve que toute
fonction continue admet des primitives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x)$

]]> Bonne réponse : c'est le théorème fondamental : $F$ est la
primitive de $f$ qui s'annule en $a$, donc $F' = f$.

]]> $f'(x)$

]]> Erreur d'étage : dériver l'intégrale rend $f$ elle-même,
pas sa dérivée. Intégrer puis dériver ramène au point de
départ.

]]> $F(x) - F(a)$

]]> Erreur : c'est un mélange avec la formule
$\int_a^b f = F(b) - F(a)$. La dérivée de
$x \mapsto \int_a^x f$ est $f(x)$.

]]> $f(x) - f(a)$

]]> Erreur : la borne fixe $a$ ne réapparaît pas dans la
dérivée (elle ne pilote qu'une constante d'intégration).
$F'(x) = f(x)$ tout court.

]]> Calcul intégral — Q11 : Rectangles et fonction décroissante Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ avec $f$
continue et décroissante, on découpe $[0\,;\,1]$ en $n$
morceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche de chaque morceau. Cette
somme est :

]]> Méthode des rectangles avec fonction monotone : bords gauches
et droits fournissent un encadrement de l'intégrale. Pour
$f$ décroissante : somme à gauche $\geq \int \geq$ somme à
droite, et l'écart fond quand $n$ grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : $f$ décroissant, sa valeur au bord gauche
est la plus grande du morceau : chaque rectangle dépasse
la courbe. La somme majore l'intégrale.

]]> Inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Erreur de sens : ce serait le cas des rectangles à bord
droit (ou d'une fonction croissante avec bord gauche).
Ici chaque rectangle englobe la courbe.

]]> Exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : les rectangles laissent un écart avec la courbe
(sauf fonction constante). L'égalité n'apparaît qu'à la
limite $n \to +\infty$.

]]> Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon $n$

]]> Erreur : la monotonie fixe le sens pour tout $n$ :
bord gauche et fonction décroissante donnent une majoration systématique.

]]> Calcul intégral — Q12 : Aire entre deux courbes Sur $[0\,;\,1]$, on a $x \geq x^2$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et de
$g(x) = x^2$ sur cet intervalle ?

]]> Si $f \geq g$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire entre les deux courbes
vaut $\int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx$. Ici :
$\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} =
\frac{1}{6}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{6}$ unité d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire entre deux courbes est
$\int_0^1 \left(x - x^2\right) dx =
\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$ unité d'aire

]]> Incomplet : $\dfrac{1}{2} = \int_0^1 x\,dx$ est l'aire sous
la droite seule. Il faut lui retrancher l'aire sous la
parabole.

]]> $\dfrac{1}{3}$ unité d'aire

]]> Erreur : $\dfrac{1}{3} = \int_0^1 x^2\,dx$ est l'aire sous
la parabole. L'aire entre les deux courbes est la
différence $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{5}{6}$ unité d'aire

]]> Erreur : tu as ajouté les deux aires
($\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$). Le domaine entre les courbes
correspond à leur différence.

]]> Calcul intégral — Q13 : Intégrale d'une constante Que vaut $\displaystyle\int_2^5 3\,dt$ ?

]]> $\int_a^b c\,dt = c(b - a)$ : le rectangle de base. Point de
contrôle des calculs plus élaborés : toute primitive de $3$
($3t + C$) redonne $15 - 6 = 9$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : l'aire d'un rectangle de largeur $5 - 2
= 3$ et de hauteur $3$ : $3 \times 3 = 9$.

]]> $3$

]]> Largeur oubliée : la hauteur $3$ doit être multipliée
par la longueur de l'intervalle ($3$) : l'intégrale
d'une constante n'est pas la constante.

]]> $15$

]]> Erreur : $15 = 3 \times 5$ prend la borne au lieu de la
largeur $5 - 2 = 3$ de l'intervalle.

]]> $\dfrac{9}{2}$

]]> Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle ;
une constante dessine un rectangle plein.

]]> Calcul intégral — Q14 : Échanger les bornes Sachant que $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$,
que vaut $\displaystyle\int_1^0 x^2\,dx$ ?

]]> $\int_b^a f = -\int_a^b f$ : conséquence directe de
$[F]_a^b = F(b) - F(a)$. Utile pour remettre les bornes dans
le bon ordre avant tout calcul ou toute relation de Chasles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe :
$\int_b^a = -\int_a^b$ (avec $F$ primitive : $F(0) -
F(1) = -(F(1) - F(0))$).

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : l'intégrale est orientée : parcourir
l'intervalle à rebours renverse le signe.

]]> $0$

]]> Erreur : $\int_a^a = 0$ exige des bornes égales ;
ici elles sont échangées : signe opposé.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur : aucun doublement : seule l'orientation change,
donc seulement le signe.

]]> Calcul intégral — Q15 : Une intégrale d'exponentielle Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^t\,dt$ ?

]]> $\int_a^b e^t dt = e^b - e^a$. L'oubli du $-F(a)$, surtout
quand $F(a) \neq 0$ comme ici, est l'étourderie la plus
fréquente du chapitre : toujours écrire le crochet complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e - 1$

]]> Bonne réponse : $e^t$ est sa propre primitive :
$[e^t]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72$.

]]> $e$

]]> Borne basse oubliée : le crochet soustrait la valeur en
$0$, et $e^0 = 1$ ne vaut pas zéro !

]]> $1 - e$

]]> Signe : $F(0) - F(1) = 1 - e$ est l'opposé du résultat ;
le crochet se lit $F(1) - F(0) = e - 1$, et une
intégrale de fonction positive est positive.

]]> $e + 1$

]]> Signe : le crochet est $F(1) \textbf{−} F(0)$ : on
soustrait, on n'additionne pas.

]]> Calcul intégral — Q16 : Positivité de l'intégrale $f$ est continue et positive sur $[a\ ;\ b]$ (avec $a <
b$). Que peut-on dire de $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ ?

]]> Positivité : $f \geq 0$ sur $[a\ ;\ b]$ (et $a \leq b$)
$\Rightarrow \int_a^b f \geq 0$. Combinée à la linéarité,
elle fournit la comparaison des intégrales : le duo
théorique du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est positive ou nulle

]]> Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de
l'axe ne peut pas être négative : la positivité passe de
la fonction à l'intégrale.

]]> Elle est strictement positive

]]> Trop fort : la fonction nulle est positive et son
intégrale vaut $0$ : l'inégalité large est la bonne
conclusion.

]]> On ne peut rien dire sans calculer

]]> Erreur : c'est un théorème général (la positivité), qui
donne le signe sans aucun calcul : l'argument le plus
économique des sujets.

]]> Elle vaut $f(b) - f(a)$

]]> Confusion : $F(b) - F(a)$ fait intervenir une
primitive $F$, pas la fonction elle-même.

]]> Calcul intégral — Q17 : Comparer deux intégrales Sur $[0\ ;\ 1]$, on sait que $f(t) \leq g(t)$ pour tout
$t$. Que peut-on en déduire ?

]]> Croissance : $f \leq g$ sur $[a\ ;\ b] \Rightarrow \int_a^b
f \leq \int_a^b g$ (pour $a \leq b$). C'est l'outil des
encadrements d'intégrales qu'on ne sait pas calculer : on
encadre la fonction, on intègre l'encadrement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt$

]]> Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre (dans
le sens croissant des bornes) : l'aire sous la courbe la
plus basse est la plus petite.

]]> $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \geq \int_0^1 g(t)\,dt$

]]> Sens renversé : intégrer ne retourne pas les
inégalités : plus la fonction est haute, plus l'aire est
grande.

]]> Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités

]]> Erreur : la croissance de l'intégrale est un théorème
(conséquence de la positivité appliquée à $g - f$).

]]> $f(t) = g(t)$ quelque part

]]> Hors sujet : l'hypothèse n'exige aucun contact entre les
courbes ; la conclusion porte sur les aires.

]]> Calcul intégral — Q18 : Une intégrale de cosinus Que vaut $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos t\,dt$ ?

]]> $\int \cos = \sin$, $\int \sin = -\cos$ : les deux crochets
trigonométriques à connaître. $\int_0^{\pi/2}\cos t\,dt = 1$
est le résultat de référence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $[\sin t]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}
- \sin 0 = 1 - 0 = 1$ : l'arche montante du cosinus
enferme une aire exactement égale à $1$.

]]> $0$

]]> Erreur : $0$ serait $\int_0^{\pi}$ (l'arche complète
symétrique)… non : $\int_0^{\pi}\cos = 0$ par
compensation ; sur $[0\ ;\ \frac{\pi}{2}]$, le cosinus
reste positif : aire $1$.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\frac{\pi}{2}$ est la largeur de
l'intervalle : l'aire sous le cosinus se calcule avec la
primitive $\sin$.

]]> $-1$

]]> Signe : la primitive de $\cos$ est $+\sin$ (le moins
appartient à la primitive de $\sin$, qui est $-\cos$).

]]> Calcul intégral — Q19 : Intégrale d'une fonction impaire Que vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} t^3\,dt$ ?

]]> Fonction impaire sur $[-a\ ;\ a]$ : intégrale nulle, par
symétrie. Réflexe d'économie ($t^3$, $t^5$, $\sin$…), et
leçon en creux : intégrale nulle ne signifie pas aire nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : la fonction cube est impaire et
l'intervalle est centré en $0$ : les aires de part et
d'autre de l'origine sont opposées et se compensent
exactement. Calcul de contrôle :
$\left[\frac{t^4}{4}\right]_{-2}^2 = 4 - 4 = 0$.

]]> $8$

]]> Erreur : $8 = \frac{2^4}{4} + \frac{2^4}{4}$ additionne
ce qui doit se soustraire : $(-2)^4 = +16$ aussi : le
crochet donne $4 - 4 = 0$.

]]> $16$

]]> Erreur : $16 = 2^4$ est la primitive $t^4$ prise sans
le facteur $\frac{1}{4}$ et évaluée à la seule borne
supérieure. La primitive de $t^3$ est $\frac{t^4}{4}$,
et le crochet entre $-2$ et $2$ vaut $4 - 4 = 0$.

]]> $4$

]]> Erreur : $4 = \frac{2^4}{4}$ n'est qu'une moitié du
crochet : l'autre borne apporte $-4$… c'est-à-dire
$-\frac{(-2)^4}{4}$ : total nul.

]]> Calcul intégral — Q20 : Intégrale nulle, fonction nulle ? On sait que $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0$ avec
$f$ continue. Peut-on en déduire que $f$ est nulle sur
$[-1\ ;\ 1]$ ?

]]> $\int f = 0$ : bilan équilibré, pas fonction nulle. Le
complément vrai : si $f \geq 0$, continue, d'intégrale
nulle, alors $f = 0$ : c'est la positivité stricte qui
interdit la compensation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $f(t) = t$ a une intégrale nulle sans être nulle

]]> Bonne réponse : les zones positives et négatives peuvent
se compenser : une intégrale nulle dit que le bilan
est équilibré, pas que la fonction est plate.

]]> Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle

]]> Faux : $\int_{-1}^1 t\,dt = 0$ par imparité, et $f(t) =
t$ n'est pas la fonction nulle : la compensation des
signes fait le travail.

]]> Oui, si $f$ est continue

]]> La continuité ne sauve pas l'énoncé : $f(t) = t$ est
continue. (Le résultat devient vrai en ajoutant $f
\geq 0$ : là, aucune compensation possible.)

]]> Non, mais $f$ doit s'annuler en $0$ précisément

]]> Presque : $f$ doit s'annuler quelque part (elle
change de signe), mais pas nécessairement en $0$.

]]> Calcul intégral — Q21 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ Par intégration par parties, que vaut
$\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ ?

]]> $\int_a^b uv' = [uv]_a^b - \int_a^b u'v$ : choisir $u = t$
(qui se simplifie en dérivant) et $v' = e^t$. Résultat à
contrôler : $\int_0^1 te^t = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $u = t$, $v' = e^t$ : $[t\,e^t]_0^1 -
\int_0^1 e^t dt = e - (e - 1) = 1$.

]]> $e - 1$

]]> Incomplet : $e - 1$ est le terme $\int e^t$ seul ; il
faut le soustraire du crochet $[te^t]_0^1 = e$ :
$e - (e - 1) = 1$.

]]> $\dfrac{e^2}{2}$

]]> Erreur : primitiver chaque facteur ($\frac{t^2}{2}$,
$e^t$) puis multiplier n'est pas une règle : le produit
exige l'intégration par parties.

]]> $e$

]]> Arrêt au crochet : $[te^t]_0^1 = e$, mais l'intégration
par parties retranche encore $\int_0^1 e^t = e - 1$.

]]> Calcul intégral — Q22 : Encadrer une intégrale Sur $[0\ ;\ 2]$, on sait que $1 \leq f(t) \leq 3$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$ en
découle ?

]]> $m \leq f \leq M$ sur $[a\ ;\ b]$ $\Rightarrow$ $m(b-a) \leq
\int_a^b f \leq M(b-a)$ : l'inégalité de la moyenne.
Autrement dit, la valeur moyenne de $f$ reste entre $m$ et
$M$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 6$

]]> Bonne réponse : intégrer l'encadrement : $\int_0^2 1 =
2$ en bas, $\int_0^2 3 = 6$ en haut : les bornes sont
multipliées par la largeur $2$.

]]> $1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 3$

]]> Largeur oubliée : l'encadrement de $f$ se multiplie par
la longueur de l'intervalle ($2$) : c'est la valeur
moyenne qui reste entre $1$ et $3$.

]]> $0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 1$

]]> Erreur : la fonction vaut au moins $1$ sur une largeur
$2$ : l'aire ne peut pas être inférieure à $2$.

]]> Aucun : il faut connaître $f$ exactement

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt de la comparaison :
encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale, sans
la calculer.

]]> Calcul intégral — Q23 : Dériver $x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$ Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Que vaut
$F'(x)$ ?

]]> Théorème fondamental : pour $f$ continue, $F(x) = \int_a^x
f(t)\,dt$ est dérivable et $F' = f$. Il fabrique des
primitives même quand aucune formule n'existe : c'est le cas
de $e^{-t^2}$ (la gaussienne).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F'(x) = e^{-x^2}$

]]> Bonne réponse : théorème fondamental : $x \mapsto
\int_0^x f(t)\,dt$ est LA primitive de $f$ qui s'annule
en $0$ : sa dérivée est $f(x)$, ici $e^{-x^2}$.

]]> $F'(x) = -2x\,e^{-x^2}$

]]> Erreur : $-2xe^{-x^2}$ est la dérivée de $e^{-x^2}$ :
mais $F$ n'est pas $e^{-x^2}$, c'est son intégrale : la
dérivation la ramène à $e^{-x^2}$ exactement.

]]> $F'(x) = e^{-t^2}$

]]> Variable fantôme : $t$ est la variable muette
d'intégration : la dérivée s'exprime en $x$ :
$e^{-x^2}$.

]]> Impossible : $e^{-t^2}$ n'a pas de primitive explicite

]]> Confusion : pas de primitive par formule, certes,
mais la primitive existe (fonction continue) et c'est
précisément $F$ : sa dérivée se lit sans calcul.

]]> Calcul intégral — Q24 : Aire quand la fonction change de signe Sur $[0\ ;\ 2\pi]$, $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin
t\,dt = 0$. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de
sinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?

]]> L'aire entre la courbe et l'axe est $\int |f|$ : découper l'intervalle
aux zéros de $f$, intégrer morceau par morceau, sommer les
valeurs absolues. L'intégrale brute, elle, fait le bilan
algébrique : $0$ ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire se découpe aux changements de
signe : $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin t\,dt =
[-\cos t]_0^{\pi} = 2$ pour l'arche au-dessus de l'axe,
et l'arche en dessous contribue autant, comptée
positivement ($|-2| = 2$) : total $4$.

]]> $0$ unité d'aire

]]> Confusion aire/intégrale : l'intégrale vaut $0$ parce
qu'elle compte les zones sous l'axe négativement ;
l'aire, toujours positive, les compte en valeur absolue.

]]> $2$ unités d'aire

]]> Une arche oubliée : chaque arche vaut $2$ unités d'aire,
et il y en a deux sur $[0\ ;\ 2\pi]$.

]]> $2\pi$ unités d'aire

]]> Erreur : $2\pi$ est la largeur de l'intervalle ; l'aire
se calcule avec la primitive de $\sin$, arche par arche.

]]> Calcul intégral — Q25 : Une intégrale de polynôme Combien vaut $\displaystyle\int_1^2 (2x + 1)\,dx$ ?

]]> Une intégrale se calcule en prenant une primitive, puis en soustrayant ses
valeurs aux deux bornes. Le choix de la constante est sans importance,
elle disparaît dans la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : une primitive est $x^2 + x$, et $6 - 2 = 4$.

]]> $6$

]]> Borne inférieure oubliée : $6$ est la valeur de la primitive en $2$,
il reste à retrancher sa valeur en $1$.

]]> $5$

]]> Valeur de la fonction : $2 \times 2 + 1$ donne $5$, mais une intégrale
n'est pas une image.

]]> $3$

]]> Primitive incomplète : le terme constant $1$ donne $x$ dans la
primitive, souvent oublié.

]]> Calcul intégral — Q26 : Aire et signe de la fonction Une fonction est négative sur $[a\,;\,b]$. Que représente
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?

]]> L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,
négative en dessous. Pour obtenir une aire géométrique, on intègre la
valeur absolue, ou l'on découpe selon le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'opposé de l'aire entre la courbe et l'axe

]]> Bonne réponse : l'intégrale est négative, l'aire géométrique étant sa
valeur absolue.

]]> L'aire entre la courbe et l'axe

]]> Une aire est positive, alors que cette intégrale est négative.

]]> Zéro, faute d'aire au-dessus de l'axe

]]> L'intégrale d'une fonction strictement négative n'est jamais nulle.

]]> La moitié de l'aire concernée

]]> Aucun facteur $\dfrac{1}{2}$ n'apparaît : seul le signe distingue
l'intégrale de l'aire.

]]> Calcul intégral — Q27 : Calculer une valeur moyenne Quelle est la valeur moyenne de $f(x) = x$ sur $[0\,;\,4]$ ?

]]> La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vaut
$\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$. C'est la hauteur du
rectangle de même aire que celle sous la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : l'intégrale vaut $8$, que l'on divise par l'amplitude
$4$.

]]> $8$

]]> Division oubliée : $8$ est la valeur de l'intégrale, pas la moyenne.

]]> $4$

]]> Borne supérieure recopiée : elle sert de diviseur, elle n'est pas le
résultat.

]]> $1$

]]> Calcul inversé : diviser $4$ par $8$ ne correspond à aucune étape.

]]> Calcul intégral — Q28 : Choisir les fonctions d'une intégration par parties Pour calculer $\displaystyle\int_0^1 x e^{x}\,dx$ par parties, que
choisit-on de dériver ?

]]> On choisit de dériver le facteur dont la dérivée se simplifie, ici le
polynôme, et de primitiver celui dont la primitive reste simple, ici
l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le facteur $x$

]]> Bonne réponse : sa dérivée vaut $1$, ce qui simplifie l'intégrale
restante.

]]> Le facteur $e^x$

]]> Sa dérivée ne se simplifie pas, et l'intégrale obtenue serait plus
compliquée que celle de départ.

]]> Les deux facteurs à la fois

]]> La formule impose de dériver l'un et de primitiver l'autre, jamais les
deux.

]]> Aucun, on primitive le produit

]]> Un produit n'a pas de primitive immédiate : c'est justement le rôle de
l'intégration par parties.

]]> Calcul intégral — Q29 : Découper une intégrale Sachant $\displaystyle\int_0^3 f = 7$ et
$\displaystyle\int_0^5 f = 12$, combien vaut
$\displaystyle\int_3^5 f$ ?

]]> La relation de Chasles décompose une intégrale selon un point
intermédiaire. Elle se réarrange pour obtenir l'intégrale sur une portion
manquante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : la relation de Chasles donne $12 - 7$.

]]> $19$

]]> Intégrales additionnées : elles se retranchent, la première portion
étant incluse dans la seconde.

]]> $-5$

]]> Sens de la soustraction : on retranche l'intégrale sur la portion la
plus courte.

]]> $2$

]]> Bornes soustraites : $5 - 3$ donne l'amplitude, pas la valeur de
l'intégrale.

]]> Calcul intégral — Q30 : Comparer deux intégrales sans les calculer Sur $[0\,;\,1]$, on a $x^3 \leq x^2$. Que peut-on en déduire pour
leurs intégrales sur cet intervalle ?

]]> Si $f \leq g$ sur $[a\,;\,b]$ avec $a \leq b$, alors l'intégrale de $f$ y
est inférieure à celle de $g$. Cette propriété sert à encadrer une
intégrale que l'on ne sait pas calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\displaystyle\int_0^1 x^3 \leq \displaystyle\int_0^1 x^2$

]]> Bonne réponse : l'intégration conserve l'ordre sur un intervalle
parcouru dans le sens croissant.

]]> $\displaystyle\int_0^1 x^3 \geq \displaystyle\int_0^1 x^2$

]]> Ordre inversé : les valeurs sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{3}$.

]]> Les deux intégrales sont égales

]]> Les deux fonctions ne coïncident qu'en $0$ et en $1$, l'inégalité est
stricte ailleurs.

]]> On ne peut rien conclure

]]> La croissance de l'intégrale conclut directement à partir de
l'inégalité entre les fonctions.

]]> Calcul intégral — Q31 : Retrouver une borne Pour quelle valeur strictement positive de $b$ a-t-on
$\displaystyle\int_0^b 4\,dt = 20$ ?

]]> Sur $[0\,;\,b]$, le domaine sous la droite d'équation $y = 4$ est un
rectangle de hauteur $4$ et de largeur $b$ : son aire vaut $4b$.
L'égalité demandée devient une simple équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $b = 5$

]]> Bonne réponse : l'intégrale d'une constante vaut la constante
multipliée par la longueur de l'intervalle, soit $4b$. On
résout donc $4b = 20$, ce qui donne $b = 5$.

]]> $b = 20$

]]> La valeur de l'intégrale a été recopiée : il reste à la diviser
par la hauteur $4$, ce qui donne $b = 5$.

]]> $b = 80$

]]> Multiplication au lieu d'une division : de $4b = 20$ on tire
$b = \dfrac{20}{4} = 5$.

]]> $b = 4$

]]> La hauteur a été confondue avec la longueur : c'est $b$ qui mesure
l'intervalle, et il vaut $5$.

]]> Calcul intégral — Q32 : Somme de deux intégrales opposées Soit $f$ une fonction continue sur $[1\,;\,3]$. Que vaut
$\displaystyle\int_3^1 f(t)\,dt + \int_1^3 f(t)\,dt$ ?

]]> Par convention, $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$. Ajouter les
deux intégrales revient donc à ajouter un nombre et son opposé, ce qui
donne $0$ quelle que soit la fonction continue $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe de
l'intégrale, donc les deux termes sont opposés et leur somme est
nulle.

]]> $2\displaystyle\int_1^3 f(t)\,dt$

]]> Les deux intégrales ne sont pas égales : celle de $3$ à $1$ est
l'opposée de celle de $1$ à $3$, pas sa copie.

]]> $\displaystyle\int_1^3 f(t)\,dt$

]]> Un des deux termes a été oublié : celui de $3$ à $1$ ne vaut pas
zéro, il vaut l'opposé de l'autre.

]]> $f(3) - f(1)$

]]> Confusion avec les primitives : c'est $F(3) - F(1)$ qui intervient
dans un calcul d'intégrale, et non $f(3) - f(1)$.

]]> Calcul intégral — Q33 : Ajouter une constante à la fonction Soit $f$ une fonction continue telle que
$\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^3 \bigl(f(x) - 2\bigr)\,dx$ ?

]]> La linéarité permet d'écrire
$\displaystyle\int_0^{3}(f + k) = \int_0^{3} f + \int_0^{3} k$.
La seconde intégrale est celle d'une constante : elle vaut la
constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : par linéarité, l'intégrale se coupe en deux, et
celle de la constante $-2$ sur $[0\,;\,3]$ vaut
$-2 \times 3$. On obtient $5 - 6 = -1$.

]]> $3$

]]> La longueur de l'intervalle a été oubliée : la constante $-2$
apporte $-2 \times 3$, et non $-2$.

]]> $-10$

]]> La constante a été multipliée par l'intégrale : elle s'ajoute,
puisque c'est une somme qui figure sous le signe d'intégration.

]]> $11$

]]> Signe inversé : le terme constant apporte $-2 \times 3$, qu'il
faut ajouter à $5$.

]]> Calcul intégral — Q34 : Choisir la primitive utile Pour calculer $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\,dx$, quelle
primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ utilise-t-on ?

]]> Calculer une intégrale commence toujours par le choix d'une primitive,
que l'on contrôle en la dérivant. Ici $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ a pour
primitive $-x^{-1}$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $-\dfrac{1}{x}$ vaut
$\dfrac{1}{x^2}$. L'intégrale vaut alors
$-\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Signe oublié : la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est
$-\dfrac{1}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction à intégrer.

]]> $x \mapsto \ln(x^2)$

]]> Confusion avec $\dfrac{1}{x}$ : le logarithme intervient pour
l'inverse, pas pour l'inverse du carré.

]]> $x \mapsto -\dfrac{2}{x^3}$

]]> C'est la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$, pas une primitive : les deux
opérations ont été échangées.

]]> Calcul intégral — Q35 : Intégrale d'une exponentielle composée Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^{2t}\,dt$ ?

]]> Une primitive de $t \mapsto e^{at}$ est $t \mapsto \dfrac{e^{at}}{a}$.
L'intégrale vaut donc $\dfrac{e^{a} - e^{0}}{a}$, soit
$\dfrac{e^{a} - 1}{a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{e^{2} - 1}{2}$

]]> Bonne réponse : une primitive de $e^{2t}$ est
$\dfrac{e^{2t}}{2}$, d'où
$\dfrac{e^{2}}{2} - \dfrac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{e^{2}}{2} - 1$

]]> La borne $0$ a été mal traitée : elle donne
$\dfrac{e^{0}}{2} = \dfrac{1}{2}$, et non $1$.

]]> $2\,\bigl(e^{2} - 1\bigr)$

]]> Ajustement inversé : on divise par $2$, puisque la dérivation de
$e^{2t}$ ferait sortir ce facteur.

]]> $e^{2} - 1$

]]> Ajustement oublié : la primitive de $e^{2t}$ comporte un facteur
$\dfrac{1}{2}$ que l'on ne peut pas omettre.

]]> Calcul intégral — Q36 : Une intégrale imposée Pour quelle valeur de $b$, supérieure à $1$, a-t-on
$\displaystyle\int_1^b \dfrac{1}{x}\,dx = 2$ ?

]]> Sur $]0\,;\,+\infty[$, une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln$, donc
$\displaystyle\int_1^b \dfrac{1}{x}\,dx = \ln b$. L'équation
$\ln b = k$ se résout en appliquant l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $b = e^{2}$

]]> Bonne réponse : l'intégrale vaut $\ln b - \ln 1 = \ln b$.
L'équation $\ln b = 2$ a pour unique solution $b = e^{2}$.

]]> $b = 2e$

]]> L'exponentielle ne se transforme pas en produit : $\ln b = 2$
équivaut à $b = e^{2}$, et non à $b = 2e$.

]]> $b = 2$

]]> La valeur de l'intégrale a été prise pour la borne : il faut
encore résoudre $\ln b = 2$.

]]> $b = \ln(2)$

]]> Opération appliquée à l'envers : c'est l'exponentielle qui défait
le logarithme, donc $b = e^{2}$.

]]> Calcul intégral — Q37 : Calculer une intégrale avec une primitive Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ et $F$ une primitive de
$f$ sur cet intervalle. Que vaut $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?

]]> Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$, alors
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Le choix de la
primitive est sans importance : une constante ajoutée s'élimine dans
la soustraction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(b) - F(a)$

]]> Bonne réponse : l'intégrale est la variation de la primitive entre
les deux bornes, ce que l'on note
$\bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)$.

]]> $F(a) - F(b)$

]]> Bornes inversées : on retranche la valeur en $a$ à celle en $b$.
Ce choix donnerait l'opposé de l'intégrale.

]]> $f(b) - f(a)$

]]> C'est la primitive $F$, et non $f$, que l'on évalue aux bornes.
La fonction $f$ ne sert qu'à la déterminer.

]]> $F(b) \times F(a)$

]]> L'intégrale est une différence, pas un produit : elle mesure ce
que la primitive a gagné entre $a$ et $b$.

]]> Calcul intégral — Q38 : Aire sous une droite Repère orthonormé avec la droite d'équation y = x + 1, qui passe par les points de coordonnées (0 ; 1) et (3 ; 4). Le domaine compris entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites verticales d'abscisses 0 et 3 est colorié en bleu clair : c'est un trapèze de bases 1 et 4 et de hauteur 3.

La droite tracée ci-dessous est la courbe de la fonction $f$ définie
par $f(x) = x + 1$. Quelle est l'aire du domaine coloré, compris entre
cette droite, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ ?

]]> Quand la courbe est une droite, l'aire se lit directement comme celle
d'un trapèze : $\dfrac{(\text{petite base} + \text{grande base})
\times \text{hauteur}}{2}$. Le calcul intégral redonne ce résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7{,}5$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : le domaine est un trapèze de bases $1$ et $4$ et
de hauteur $3$, d'aire $\dfrac{(1 + 4) \times 3}{2} = 7{,}5$. Le
calcul $\int_0^3 (x+1)\,dx$ donne la même valeur.

]]> $\dfrac{9}{2}$ unités d'aire

]]> Le $+1$ a été oublié : $\dfrac{9}{2}$ est l'aire sous la droite
d'équation $y = x$, c'est-à-dire le triangle seul.

]]> $3$ unités d'aire

]]> Seul le rectangle de hauteur $1$ a été compté : il faut y ajouter
le triangle situé au-dessus, d'aire $4{,}5$.

]]> $12$ unités d'aire

]]> C'est l'aire du rectangle $3 \times 4$ qui contient le domaine :
la partie située au-dessus de la droite n'en fait pas partie.

]]> Calcul intégral — Q39 : Lire le signe à partir de l'intégrale Une fonction $f$ est continue sur $[0\,;\,2]$ et vérifie
$\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt = -1$. Que peut-on affirmer ?

]]> La positivité de l'intégrale se lit dans un seul sens : une fonction
positive a une intégrale positive. Par contraposée, une intégrale
strictement négative interdit à $f$ de rester positive partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ prend des valeurs strictement négatives

]]> Bonne réponse : si $f$ était positive sur tout l'intervalle, son
intégrale le serait aussi. Une intégrale négative impose donc au
moins une valeur strictement négative.

]]> $f$ est négative sur tout l'intervalle $[0\,;\,2]$

]]> Trop fort : la fonction peut être positive par endroits, pourvu
que la partie négative l'emporte sur l'ensemble.

]]> $f$ est positive sur au moins une partie de $[0\,;\,2]$

]]> Rien ne l'impose : une fonction négative partout convient aussi et
donne bien une intégrale négative.

]]> Le signe de $f$ reste totalement indéterminé

]]> On sait au moins une chose : $f$ ne peut pas rester positive sur
tout l'intervalle, sans quoi l'intégrale le serait.

]]> Calcul intégral — Q40 : Intégrale d'une fonction paire La fonction $f$ est continue et paire sur $\mathbb{R}$, et
$\displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt = 4$. Que vaut
$\displaystyle\int_{-3}^{3} f(t)\,dt$ ?

]]> Pour une fonction paire, $\displaystyle\int_{-a}^{a} f =
2\int_0^{a} f$ : les deux moitiés du domaine sont symétriques par
rapport à l'axe des ordonnées et ont donc la même aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$

]]> Bonne réponse : la courbe d'une fonction paire est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées, donc les deux moitiés apportent la
même contribution : $2 \times 4 = 8$.

]]> $4$

]]> Une seule moitié a été comptée : l'intervalle
$[-3\,;\,3]$ est deux fois plus long que $[0\,;\,3]$.

]]> $0$

]]> C'est le résultat pour une fonction impaire, dont les deux
moitiés se compensent. Ici la symétrie les fait s'ajouter.

]]> $12$

]]> La longueur de l'intervalle a servi de facteur : la symétrie
double l'intégrale, quelle que soit la valeur de $3$.

]]> Calcul intégral — Q41 : Reconnaître une fonction impaire Que vaut $\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{t}{t^2 + 1}\,dt$ ?

]]> Sur un intervalle symétrique $[-a\,;\,a]$, l'intégrale d'une fonction
impaire est nulle. Repérer cette parité évite tout calcul : ici
$f(-t) = -f(t)$ pour tout réel $t$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : la fonction est impaire, car remplacer $t$ par
$-t$ change le numérateur en son opposé sans toucher au
dénominateur. Sur un intervalle symétrique, les deux moitiés se
compensent.

]]> $\ln 2$

]]> C'est ce que donnerait la primitive évaluée en $1$ seulement : la
borne $-1$ fournit exactement la même valeur, qui se retranche.

]]> $\dfrac{1}{2}\ln 2$

]]> La primitive $\dfrac{1}{2}\ln(t^2+1)$ est correcte, mais elle
prend la même valeur en $-1$ et en $1$ : la différence est nulle.

]]> $2\ln 2$

]]> Les deux moitiés ont été ajoutées comme pour une fonction paire,
alors qu'ici elles sont de signes contraires.

]]> Calcul intégral — Q42 : Somme de deux rectangles On approche $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$ en découpant
$[0\,;\,2]$ en deux intervalles de même longueur et en prenant, sur
chacun, la hauteur du rectangle au bord droit. Que vaut la somme
des aires de ces deux rectangles ?

]]> La méthode des rectangles remplace l'aire sous la courbe par des
rectangles de même largeur. Avec les hauteurs prises au bord droit et
une fonction croissante, la somme obtenue majore l'intégrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur $\dfrac{2}{2}$
et pour hauteurs respectives
$\left(\dfrac{2}{2}\right)^2$ et $2^2$, d'où la somme $5$.

]]> $1$

]]> Les hauteurs ont été prises au bord gauche : le premier
rectangle est alors de hauteur nulle et la somme vaut $1$.

]]> $\dfrac{8}{3}$

]]> C'est la valeur exacte de l'intégrale : la méthode des rectangles
n'en donne qu'une approximation, ici par excès.

]]> $10$

]]> La largeur a été prise égale à $2$ au lieu de $\dfrac{2}{2}$ :
le résultat obtenu est deux fois trop grand.

]]> Calcul intégral — Q43 : Aire entre une parabole et une droite Les courbes de $f(x) = x^2$ et de $g(x) = 3x$ se coupent aux points
d'abscisses $0$ et $3$, et $g(x) \geq f(x)$ sur $[0\,;\,3]$.
Quelle est l'aire du domaine compris entre ces deux courbes ?

]]> Lorsque $g \geq f$ sur $[\alpha\,;\,\beta]$, l'aire entre les deux
courbes vaut $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\bigl(g(x) -
f(x)\bigr)\,dx$. On intègre toujours la différence, jamais les deux
aires séparément.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{9}{2}$ unités d'aire

]]> Bonne réponse : l'aire vaut
$\displaystyle\int_0^{3}\bigl(3x - x^2\bigr)\,dx =
\dfrac{27}{2} - 9 = \dfrac{9}{2}$.

]]> $\dfrac{27}{2}$ unités d'aire

]]> Seule l'aire sous la droite a été calculée : il faut encore
retirer celle qui se trouve sous la parabole.

]]> $9$ unités d'aire

]]> C'est l'aire sous la parabole seule : le domaine demandé est
compris entre les deux courbes.

]]> $\dfrac{9}{4}$ unités d'aire

]]> Une division de trop : la différence des deux aires vaut $\dfrac{9}{2}$, il
n'y a pas lieu de la partager ensuite.

]]> Calcul intégral — Q44 : Fonction positive d'intégrale nulle Une fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;\,1]$, et
$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt = 0$. Que peut-on en déduire ?

]]> Pour une fonction continue et positive, l'intégrale mesure une aire :
elle ne peut s'annuler que si cette aire est vide, donc si la fonction
est nulle sur tout l'intervalle. La continuité est indispensable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est nulle sur $[0\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : si $f$ prenait une valeur strictement positive,
sa continuité la maintiendrait positive sur tout un intervalle
autour de ce point, ce qui donnerait une aire strictement
positive.

]]> $f$ change de signe sur $[0\,;\,1]$

]]> L'énoncé l'interdit : la fonction est positive, aucune
compensation entre parties positives et négatives n'est possible.

]]> $f$ s'annule seulement en $0$ et en $1$

]]> Beaucoup trop peu : s'annuler en deux points isolés laisserait une
aire strictement positive entre les deux.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître $f$

]]> La conclusion est au contraire complète : positivité et intégrale
nulle forcent la fonction à être nulle partout.

]]> Calcul intégral — Q45 : Intégrale d'un sinus sur une arche Que vaut $\displaystyle\int_0^{\pi} 2\sin t\,dt$ ?

]]> Une primitive de $\sin$ est $-\cos$, donc
$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\,dt = -\cos\pi + \cos 0 = 2$. Un
coefficient devant le sinus se retrouve simplement en facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : une primitive de $2\sin t$ est
$-2\cos t$, d'où
$-2\cos \pi + 2\cos 0 = 2 + 2 = 4$.

]]> $0$

]]> C'est le résultat sur $[0\,;\,2\pi]$, où les deux arches se
compensent. Sur $[0\,;\,\pi]$, le sinus reste positif.

]]> $2$

]]> Une seule des deux bornes a été prise en compte : les valeurs
$-2\cos \pi$ et $2\cos 0$ s'ajoutent toutes les deux.

]]> $2\pi$

]]> La longueur de l'intervalle a servi de facteur, comme pour une
fonction constante. Ici la hauteur varie tout au long de l'arche.

]]> Calcul intégral — Q46 : Une suite d'intégrales Pour tout entier naturel $n$, on pose
$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,dx$. Que peut-on dire de la suite
$(I_n)$ ?

]]> Même sans calcul, on voit que $(I_n)$ est décroissante, car
$x^{n+1} \leq x^n$ sur $[0\,;\,1]$, et minorée par $0$, car
$x^n \geq 0$ ; elle converge donc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I_n = \dfrac{1}{n + 1}$, donc $(I_n)$ tend vers $0$

]]> Bonne réponse : une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$,
d'où $I_n = \dfrac{1}{n + 1}$, qui tend vers $0$.

]]> $I_n = \dfrac{1}{n}$, donc $(I_n)$ tend vers $0$

]]> Erreur : une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ ;
d'ailleurs $I_0 = 1$, alors que $\dfrac{1}{0}$ n'existe pas.

]]> $I_n = 1$ pour tout $n$, car $1^n = 1$

]]> Erreur : $x^n$ ne vaut $1$ qu'en $x = 1$ ; sur $[0\,;\,1[$, il est
strictement inférieur à $1$.

]]> $(I_n)$ est croissante, car $x^n$ augmente avec $n$

]]> Erreur : pour $0 \leq x \leq 1$, on a $x^{n+1} \leq x^n$ ; la
suite est décroissante.

]]> Calcul intégral — Q47 : Une relation de récurrence par parties Pour tout entier naturel $n$, on pose
$I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\,dx$. Une intégration par
parties donne une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$. Laquelle ?

]]> Avec $I_0 = e - 1$, la relation donne $I_1 = e - (e - 1) = 1$, ce
que l'on vérifie par un calcul direct.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I_{n+1} = e - (n + 1)\,I_n$

]]> Bonne réponse : avec $u = x^{n+1}$ et $v' = e^x$, on obtient
$I_{n+1} = \left[x^{n+1}e^x\right]_0^1 - (n + 1)\,I_n$, et le
crochet vaut $e$.

]]> $I_{n+1} = e + (n + 1)\,I_n$

]]> Erreur de signe : la formule d'intégration par parties
retranche l'intégrale de $u'v$.

]]> $I_{n+1} = e - n\,I_n$

]]> Erreur : la dérivée de $x^{n+1}$ est $(n + 1)x^n$, pas $nx^n$.

]]> $I_{n+1} = (n + 1)\,I_n$

]]> Erreur : le terme entre crochets, $\left[x^{n+1}e^x\right]_0^1 = e$,
a été oublié.

]]> Calcul intégral — Q48 : Intégrale lue comme une aire Fonction affine par morceaux : segment de (0 ; 1) à (2 ; 3), puis segment horizontal de (2 ; 3) à (4 ; 3). Le domaine sous la courbe entre 0 et 4 est grisé.

La fonction $f$ représentée ci-contre est positive sur
$[0\,;\,4]$. Que vaut $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx$ ?

]]> Pour une fonction positive, l'intégrale est l'aire du domaine sous
la courbe, en unités d'aire ; on la découpe en figures simples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : un trapèze d'aire $\dfrac{(1 + 3) \times 2}{2} =
4$, puis un rectangle d'aire $3 \times 2 = 6$.

]]> $12$

]]> Erreur : $3 \times 4 = 12$ est l'aire du rectangle qui contient
le domaine.

]]> $8$

]]> Erreur : la première partie est un trapèze d'aire $4$, pas un
triangle d'aire $2$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est la valeur maximale de $f$, pas une aire.

]]>