$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Concentration et loi des grands nombres
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration pour
la moyenne d'un échantillon, loi des grands nombres :
interprétation, calculs de bornes, détermination d'une taille
d'échantillon, limites de ces majorations.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q01 : Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de
variance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
tout réel $\delta > 0$ ?]]>
Bienaymé-Tchebychev : $P(|X - \mu| \geq \delta) \leq
\dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Plus la variance est petite ou le
seuil grand, plus les grands écarts sont improbables.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Bonne réponse : la probabilité d'un écart à la moyenne d'au
moins $\delta$ est majorée par $\dfrac{V}{\delta^2}$.]]>
$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \geq
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Sens inversé : l'inégalité majore la probabilité des
grands écarts (c'est une garantie de rareté), elle ne la
minore pas.]]>
$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta}$]]>
Erreur d'exposant : le seuil $\delta$ intervient au
carré, en cohérence avec la variance (qui est en unités
au carré).]]>
$P\left(X \geq \delta\right) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Erreur : l'inégalité contrôle l'écart à l'espérance
$|X - \mu|$, pas la valeur brute de $X$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q02 : Appliquer l'inégalité
Soit $X$ d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - 10| \geq 4\right)$ ?]]>
$P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2} =
\dfrac{4}{4^2} = 0{,}25$ : au plus une chance sur quatre de
s'écarter d'au moins $4$ (soit $2\sigma$) de la moyenne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}25$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V}{\delta^2} = \dfrac{4}{16} =
0{,}25$.]]>
$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 1$]]>
Erreur de calcul : $\dfrac{4}{4}$ oublie le carré du seuil.
$\delta^2 = 16$, la borne vaut $\dfrac{4}{16} = 0{,}25$.
(Une borne de $1$ ne dirait d'ailleurs rien.)]]>
$P\left(|X - 10| \geq 4\right) = 0{,}25$]]>
Attention au statut : l'inégalité fournit une
majoration, pas la valeur exacte. La probabilité réelle
peut être bien plus petite.]]>
$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}5$]]>
Erreur : $0{,}5 = \dfrac{2}{4}$ mélange l'écart-type
($\sigma = 2$) et la variance. La formule utilise la
variance : $\dfrac{4}{16}$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q03 : Rôle de la variance
Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait
que la borne $\dfrac{V}{\delta^2}$ est proportionnelle à la
variance $V$ ?]]>
L'écart-type $\sigma$ est l'unité naturelle de dispersion : la
borne se réécrit $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq
\dfrac{1}{k^2}$. Les écarts de plusieurs écarts-types
deviennent vite improbables.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Moins la variable est dispersée, plus les grands écarts
sont rares]]>
Bonne réponse : la variance mesure la dispersion ; une
petite variance rend les écarts importants d'autant plus
rares. C'est le sens profond de l'inégalité.]]>
Plus la variance est grande, plus la variable est proche de
sa moyenne]]>
Contresens : une grande variance signifie une grande
dispersion, donc des écarts plus fréquents ; la borne
grossit avec $V$.]]>
La variance donne la probabilité exacte des écarts]]>
Erreur : l'inégalité ne fournit qu'une majoration
universelle, valable pour toute loi. La probabilité exacte
dépend de la loi précise de $X$.]]>
La borne n'a d'intérêt que lorsque $V = 0$]]>
Erreur : si $V = 0$ la variable est constante et tout est
trivial. C'est justement pour $V > 0$ que l'inégalité
quantifie la rareté des écarts.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q04 : Inégalité de concentration
Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que dit
l'inégalité de concentration pour $\delta > 0$ ?]]>
Inégalité de concentration :
$P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$. Quand
$n$ grandit, la borne tend vers $0$ : la moyenne d'échantillon
se concentre autour de $\mu$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{n\,\delta^2}$]]>
Bonne réponse : c'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à
$M_n$, dont la variance vaut $\dfrac{V}{n}$. Le facteur $n$
au dénominateur fait toute la force du résultat.]]>
$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Il manque le facteur $n$ : la moyenne d'échantillon est
moins dispersée qu'une observation isolée
($V(M_n) = V/n$), la borne doit en profiter.]]>
$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{nV}{\delta^2}$]]>
Erreur : $nV$ est la variance de la somme $S_n$, pas de
la moyenne. Pour $M_n$, on divise : $\dfrac{V}{n}$.]]>
$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) = \dfrac{V}{n\,
\delta^2}$]]>
Statut incorrect : c'est une majoration ($\leq$), pas
une égalité. La probabilité réelle est souvent bien plus
faible.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q05 : Déterminer une taille d'échantillon
Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via
l'inégalité de concentration, que
$P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right) \leq 0{,}05$. Quelle
taille $n$ suffit ?]]>
Méthode (capacité attendue) : imposer
$\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \alpha$ et isoler $n$ :
$n \geq \dfrac{V}{\alpha\,\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}05 \times 0{,}25} = 80$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n \geq 80$]]>
Bonne réponse : la borne est $\dfrac{V}{n\delta^2} =
\dfrac{1}{0{,}25\,n}$ ; exiger $\dfrac{1}{0{,}25\,n} \leq
0{,}05$ donne $n \geq \dfrac{1}{0{,}25 \times 0{,}05} =
80$.]]>
$n \geq 20$]]>
Erreur : avec $n = 20$, la borne vaut
$\dfrac{1}{0{,}25 \times 20} = 0{,}2$, quatre fois trop
grand. Le carré de $\delta = 0{,}5$ au dénominateur
pénalise fortement.]]>
$n \geq 400$]]>
Erreur : $400 = \dfrac{1}{0{,}05^2}$ mélange le risque et
le seuil. Le calcul correct : $n \geq
\dfrac{V}{\delta^2 \times 0{,}05} = 80$.]]>
$n \geq 8$]]>
Erreur d'un facteur $10$ : $\dfrac{1}{0{,}25 \times 8} =
0{,}5$, dix fois au-dessus du risque visé.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q06 : Loi des grands nombres
Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un
échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ ?]]>
Loi des grands nombres : pour tout $\delta > 0$,
$P(|M_n - \mu| \geq \delta) \to 0$ quand $n \to +\infty$
(conséquence directe de l'inégalité de concentration). La
moyenne empirique converge vers l'espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(|M_n - \mu| \geq \delta) \to 0$ pour tout $\delta >
0$]]>
Bonne réponse : pour tout $\delta > 0$, $P\left(|M_n -
\mu| \geq \delta\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend
vers $+\infty$ : la probabilité qu'un écart donné
persiste s'évanouit quand l'échantillon grandit, $M_n$
se concentre sur $\mu$.]]>
$M_n$ devient exactement égale à $\mu$ pour $n$ assez grand]]>
Erreur : $M_n$ reste aléatoire pour tout $n$ ; c'est la
probabilité des écarts qui s'éteint, pas l'aléa
lui-même.]]>
$M_n$ devient constante pour $n$ assez grand]]>
Erreur : chaque nouvel échantillon donne une moyenne
légèrement différente. La dispersion diminue
(en $1/\sqrt{n}$) sans jamais s'annuler.]]>
La somme $S_n$ devient égale à $n\mu$ pour $n$ assez
grand]]>
Erreur d'objet : la somme s'écarte de $n\mu$ de plus en
plus en valeur absolue (écart-type $\sigma\sqrt{n}$).
C'est la moyenne qui se stabilise.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q07 : Fréquences et pile ou face
On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit
la loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?]]>
La loi des grands nombres relie fréquences et probabilités :
la fréquence observée converge vers la probabilité théorique.
Aucune « mémoire » de la pièce n'est en jeu : l'écart absolu
peut croître, mais il est dilué par $n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart
qui tend vers $0$]]>
Bonne réponse : la fréquence est la moyenne d'un
échantillon de Bernoulli d'espérance $0{,}5$ : elle se
concentre sur $0{,}5$.]]>
Après une série de « pile », un « face » devient plus
probable pour compenser]]>
C'est l'illusion du joueur : les lancers sont
indépendants, la pièce n'a pas de mémoire. La
compensation se fait par dilution (les écarts pèsent de
moins en moins dans la fréquence), pas par correction.]]>
Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de
« face » dès que $n$ est pair]]>
Erreur : l'égalité exacte est même de plus en plus rare.
C'est la proportion qui se rapproche de $0{,}5$, pas
les effectifs qui s'égalisent.]]>
La fréquence oscille sans se stabiliser]]>
Erreur : c'est précisément ce que la loi des grands nombres
exclut (en probabilité) : la fréquence se stabilise autour
de $0{,}5$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q08 : Une borne universelle mais grossière
Pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type
$\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| \geq 2\sigma\right)$ ?]]>
Avec $\delta = k\sigma$ : $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq
\dfrac{1}{k^2}$. Pour $k = 2$ : au plus $25\,\%$. La force de
l'inégalité est son universalité, sa faiblesse est d'être
souvent très pessimiste (simulations : autour de $5\,\%$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Au plus $\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V}{(2\sigma)^2} =
\dfrac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \dfrac{1}{4}$. C'est
universel, valable pour toute loi admettant une
variance.]]>
Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations]]>
Piège du programme : $0{,}05$ est un ordre de grandeur
empirique observé pour beaucoup de lois usuelles, pas
la borne de Tchebychev. L'inégalité, universelle, ne
garantit que $\dfrac{1}{4}$ : elle est loin d'être
optimale.]]>
Exactement $\dfrac{1}{4}$]]>
Statut incorrect : $\dfrac{1}{4}$ est une majoration.
Pour la plupart des lois, la probabilité réelle est très
inférieure.]]>
Au plus $\dfrac{1}{2}$]]>
Erreur de calcul : $\dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} =
\dfrac{1}{4}$, pas $\dfrac{1}{2}$ (le seuil entre au
carré).]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q09 : Quadrupler l'échantillon
Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille
d'échantillon $n$ par $4$ (à $\delta$ fixé). Que devient la
borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ ?]]>
La borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ est en $\dfrac{1}{n}$ :
multiplier $n$ par $4$ la divise par $4$. (L'écart-type de
$M_n$, lui, n'est divisé que par $2$ : deux échelles à ne pas
confondre.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est divisée par $4$]]>
Bonne réponse : la borne est inversement proportionnelle à
$n$ : quatre fois plus de données, une garantie quatre fois
plus forte.]]>
Elle est divisée par $2$]]>
Erreur : la division par $2$ concernerait l'écart-type de
$M_n$ (en $1/\sqrt{n}$). La borne de concentration, elle,
est en $1/n$ : division par $4$.]]>
Elle est divisée par $16$]]>
Erreur : la borne dépend de $n$ à la puissance $1$, pas au
carré. Facteur $4$, pas $16$.]]>
Elle est inchangée, seul $\delta$ compte]]>
Erreur : le dénominateur contient le produit $n\delta^2$ :
la taille d'échantillon améliore directement la garantie.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q10 : Passer à l'événement contraire
Soit $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que peut-on
déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| < \delta\right)$ ?]]>
Version « rassurante » de l'inégalité :
$P(|X - \mu| < \delta) \geq 1 - \dfrac{V}{\delta^2}$. C'est
sous cette forme qu'on garantit qu'une variable reste proche
de sa moyenne avec un niveau de confiance donné.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \geq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Bonne réponse : l'événement $|X - \mu| < \delta$ est le
contraire de $|X - \mu| \geq \delta$ : sa probabilité est
minorée par $1 - \dfrac{V}{\delta^2}$.]]>
$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Sens inversé : en passant au complémentaire, la majoration
des grands écarts devient une minoration de la
probabilité de rester proche.]]>
$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$]]>
Erreur : $\dfrac{V}{\delta^2}$ majore la probabilité des
grands écarts, pas celle de l'événement contraire.]]>
On ne peut rien en déduire]]>
Erreur : le passage au complémentaire est immédiat :
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$ transforme la majoration en
minoration.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q11 : Variance d'une fréquence
Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $F_n = \dfrac{S_n}{n}$
la fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?]]>
$F_n = M_n$ pour un échantillon de Bernoulli : $E(F_n) = p$ et
$V(F_n) = \dfrac{p(1-p)}{n}$. Appliquer la concentration à
$F_n$ fonde l'estimation d'une proportion par sondage.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{p(1-p)}{n}$]]>
Bonne réponse : $V(F_n) = \dfrac{V(S_n)}{n^2} =
\dfrac{np(1-p)}{n^2} = \dfrac{p(1-p)}{n}$. La fréquence se
concentre sur $p$ quand $n$ grandit.]]>
$np(1-p)$]]>
Erreur : $np(1-p)$ est la variance de la somme $S_n$.
Diviser par $n$ élève $n$ au carré dans la variance :
$V(S_n/n) = V(S_n)/n^2$.]]>
$\dfrac{p(1-p)}{n^2}$]]>
Erreur : $V(F_n) = \dfrac{V(S_n)}{n^2} =
\dfrac{np(1-p)}{n^2}$ ; le $n$ du numérateur simplifie
l'un des deux du dénominateur : $\dfrac{p(1-p)}{n}$.]]>
$\dfrac{p}{n}$]]>
Erreur : il manque le facteur $(1-p)$. La variance d'une
Bernoulli est $p(1-p)$, d'où $\dfrac{p(1-p)}{n}$ pour la
fréquence.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q12 : Force et faiblesse de l'inégalité
Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?]]>
À retenir en deux phrases : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
est universelle (aucune hypothèse sur la loi) mais loin d'être
optimale. Elle suffit pourtant à démontrer la loi des grands
nombres et à dimensionner des échantillons par condition
suffisante.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle vaut pour toute variable admettant une variance]]>
Bonne réponse : son universalité, sans rien connaître de
la loi. Elle permet des garanties a priori (tailles
d'échantillon, loi des grands nombres) là où la loi
exacte est inconnue.]]>
Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart]]>
Erreur : c'est une majoration, souvent très pessimiste
(pour $2\sigma$ : borne $0{,}25$ contre environ $0{,}05$
observé sur les lois usuelles).]]>
Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales]]>
Erreur : elle s'applique à toute variable ayant une
variance, binomiale ou non. C'est précisément sa force.]]>
Elle dispense de calculer l'espérance et la variance]]>
Erreur : elle utilise l'espérance et la variance ;
elle ne les fournit pas et n'en dispense pas.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q13 : Doubler le seuil d'écart
Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la
borne $\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?]]>
$P(|X - \mu| \geq a) \leq \frac{V(X)}{a^2}$ : la décroissance
en $\frac{1}{a^2}$ est le message quantitatif de
l'inégalité : s'éloigner deux fois plus est au moins quatre
fois plus rare.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Elle est divisée par $4$]]>
Bonne réponse : le seuil intervient au carré :
doubler $a$ quadruple $a^2$ : les grands écarts sont
quadratiquement plus rares.]]>
Elle est divisée par $2$]]>
Carré oublié : la borne dépend de $a^2$, pas de $a$ :
facteur $4$, pas $2$.]]>
Elle double]]>
Sens inverse : un seuil plus exigeant (plus grand)
rend l'événement plus rare : la borne descend.]]>
Elle ne change pas]]>
Erreur : le seuil est au dénominateur : la borne dépend
directement de lui.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q14 : Fréquence sur un grand échantillon
On simule $10\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de
quelle valeur la fréquence d'apparition du six
doit-elle se stabiliser ?]]>
Loi des grands nombres : la moyenne (ou fréquence)
d'échantillon converge vers l'espérance (ou probabilité)
théorique. La simulation la rend visible : courbe des
fréquences qui s'aplatit sur $\frac{1}{6}$.]]>
1.0
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true
abc
Autour de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$]]>
Bonne réponse : loi des grands nombres : la fréquence
observée converge vers la probabilité théorique
$\frac{1}{6}$ quand le nombre de lancers grandit.]]>
Autour de $\dfrac{1}{2}$]]>
Erreur : $\frac{1}{2}$ vaudrait pour pile ou face ; le
six est une face sur six : fréquence limite
$\frac{1}{6}$.]]>
Autour de $6$]]>
Confusion : une fréquence est une proportion entre
$0$ et $1$, pas la valeur de la face.]]>
Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais]]>
Erreur : c'est précisément le contenu de la loi des
grands nombres : les fluctuations s'amortissent et la
fréquence se cale sur $\frac{1}{6}$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q15 : Appliquer l'inégalité avec des valeurs
$X$ a pour espérance $\mu = 100$ et pour variance $V(X) =
25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P(|X - 100| \geq 10)$ ?]]>
Application mécanique : identifier $\mu$, $V$, $a$, puis
$\frac{V}{a^2}$. Bien dire « au plus » : l'inégalité borne,
elle n'évalue pas.]]>
1.0
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abc
$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V(X)}{a^2} = \dfrac{25}{10^2}$ :
au plus une chance sur quatre de s'écarter d'au moins
$10$ de la moyenne.]]>
$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{10} = 2{,}5$]]>
Carré oublié : le dénominateur est $a^2 = 100$ (et une
borne de $2{,}5$ pour une probabilité ne dirait de toute
façon rien).]]>
$P(|X - 100| \geq 10) = 0{,}25$ exactement]]>
Nature du résultat : Tchebychev fournit une
majoration, jamais la valeur exacte : la vraie
probabilité peut être bien plus petite.]]>
$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{10}{25} = 0{,}4$]]>
Fraction renversée : la variance est au numérateur, le
carré du seuil au dénominateur.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q16 : Une borne qui ne dit rien
Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \mu| \geq 4)
\leq \dfrac{25}{16} \approx 1{,}56$. Que faut-il en
conclure ?]]>
Tchebychev n'informe que pour $a > \sigma$ (borne $< 1$).
En deçà de l'écart-type, les écarts sont fréquents : aucune
inégalité universelle ne peut les rendre rares.]]>
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abc
Rien, la borne dépasse $1$]]>
Bonne réponse : une probabilité est toujours $\leq 1$,
la borne est ici sans contenu. Majorer par $1{,}56$ une
quantité qui ne dépasse jamais $1$ n'apprend rien :
Tchebychev n'est utile que pour $a > \sigma$ (ici $a = 4
< 5 = \sigma$).]]>
Que l'événement est certain]]>
Erreur : une majoration ne rend rien certain : elle
plafonne. Et un plafond au-dessus de $1$ ne plafonne
rien du tout.]]>
Que l'inégalité est fausse dans ce cas]]>
Erreur : l'inégalité reste vraie ($P \leq 1 \leq
1{,}56$) : elle est simplement inutile, nuance
importante.]]>
Qu'il faut recalculer la variance]]>
Erreur : le calcul est correct : c'est le seuil $a$,
trop petit devant l'écart-type, qui vide la borne de
son intérêt.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q17 : Dimensionner un échantillon
$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \leq
\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par
Bienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \geq 0{,}05) \leq
0{,}05$ ?]]>
Schéma d'estimation : $V(F) \leq \frac{1}{4n}$, borne
$\frac{1}{4n\delta^2}$, qu'on force sous le risque voulu.
Une précision fine et un risque faible exigent un grand échantillon : le
coût, chiffré, des sondages sérieux.]]>
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abc
$n \geq 2000$]]>
Bonne réponse : $V(F) \leq \dfrac{1}{4n}$ donne la borne
$\dfrac{1/(4n)}{0{,}05^2} = \dfrac{100}{n}$ ; exiger
$\dfrac{100}{n} \leq 0{,}05$ donne $n \geq 2000$, soit
$n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}05^3}$.]]>
$n \geq 400$]]>
Erreur : $n = 400$ donne une borne $\frac{100}{400} =
0{,}25$ : cinq fois trop lâche pour l'objectif
$0{,}05$.]]>
$n \geq 20$]]>
Erreur d'échelle : avec $n = 20$, la borne vaut $5$ :
totalement vide. La double exigence (écart fin ET risque
faible) coûte cher en taille.]]>
Aucun $n$ ne suffit]]>
Erreur : la borne $\frac{100}{n}$ fond avec $n$ : tout
objectif est atteignable, ici dès $n = 2000$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q18 : La fréquence vise juste
$F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants
de probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?]]>
$E(F) = p$ et $V(F) = \frac{p(1-p)}{n}$ : viser juste
(espérance) et trembler de moins en moins (variance en
$\frac{1}{n}$) : les deux moteurs de la loi des grands
nombres.]]>
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abc
$E(F) = p$]]>
Bonne réponse : la fréquence vise la bonne cible, quelle
que soit la taille $n$. $F = \frac{X}{n}$ avec $X$
binomiale : $E(F) = \frac{np}{n} = p$, l'estimateur est
sans biais ; $n$ ne joue que sur la dispersion
autour de $p$.]]>
$E(F) = np$]]>
Division oubliée : $np$ est l'espérance du nombre de
succès $X$ ; la fréquence divise par $n$ : $E(F) = p$.]]>
$E(F)$ tend vers $p$ quand $n$ grandit]]>
Nuance mal placée : l'espérance vaut exactement $p$
dès $n = 1$ : c'est la fréquence observée (pas son
espérance) qui converge quand $n$ grandit.]]>
$E(F) = \dfrac{p}{n}$]]>
Erreur : $\frac{p}{n}$ tendrait vers $0$ : la fréquence
moyenne serait systématiquement trop basse. La division
par $n$ s'applique à $X$, dont l'espérance est $np$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q19 : Appliquer l'inégalité à un exemple
Une variable a pour espérance $50$ et pour variance $25$. Que majore
l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - 50| \geq 10)$ ?]]>
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore $P(|X - E(X)| \geq \delta)$ par
$\dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Elle vaut pour toute variable, sans hypothèse sur
sa loi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}25$]]>
Bonne réponse : la borne vaut $\dfrac{V(X)}{\delta^2} =
\dfrac{25}{100}$.]]>
$2{,}5$]]>
Écart non élevé au carré : le dénominateur vaut $10^2$, pas $10$. Une
probabilité ne dépasse d'ailleurs jamais $1$.]]>
$0{,}5$]]>
Racine prise à tort : la formule divise la variance par le carré de
l'écart.]]>
$0{,}04$]]>
Quotient inversé : $\dfrac{100}{25}$ ne correspond pas non plus, et le
calcul proposé donne $\dfrac{1}{25}$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q20 : Appliquer l'inégalité de concentration
$M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n = 100$ d'une
variable de variance $V = 4$. Quelle majoration de
$P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right)$ donne l'inégalité de
concentration ?]]>
Inégalité de concentration : $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right)
\leq \dfrac{V}{n\delta^2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}16$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V}{n\delta^2} = \dfrac{4}{100 \times
0{,}25}$.]]>
$0{,}08$]]>
Erreur : $\delta$ doit être élevé au carré, pas multiplié par
$n$ seul.]]>
$16$]]>
Erreur : $\dfrac{V}{\delta^2}$ oublie la taille $n$ de
l'échantillon.]]>
$0{,}04$]]>
Erreur : $\dfrac{V}{n}$ oublie de diviser par $\delta^2$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q21 : Ce qu'affirme la loi des grands nombres
Que garantit la loi des grands nombres pour la moyenne d'un
échantillon ?]]>
La loi des grands nombres énonce que la probabilité d'un écart supérieur à
un seuil fixé tend vers zéro quand la taille de l'échantillon augmente.
Elle découle de l'inégalité de concentration.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un écart à l'espérance aussi petit qu'on veut, pour $n$ assez grand]]>
Bonne réponse : la probabilité d'un écart dépassant un seuil fixé tend
vers $0$.]]>
Une égalité exacte avec l'espérance à partir d'un certain rang]]>
Aucune taille finie ne supprime le hasard : l'écart devient petit,
jamais nul.]]>
Une décroissance de la moyenne vers zéro]]>
La moyenne se rapproche de l'espérance, qui n'a aucune raison d'être
nulle.]]>
Une répartition symétrique des observations]]>
La symétrie dépend de la loi étudiée, elle n'est pas une conséquence de
la taille.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q22 : Une borne parfois inutile
Pour une variable de variance $9$, que donne l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev avec un écart de $2$ ?]]>
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est universelle mais grossière. Elle
n'apporte une information que si l'écart considéré dépasse nettement
l'écart-type.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une borne supérieure à $1$, donc sans intérêt]]>
Bonne réponse : $\dfrac{9}{4}$ dépasse $1$, alors qu'une probabilité y
est toujours inférieure.]]>
Une borne de $0{,}25$]]>
Quotient inversé : la formule divise la variance par le carré de
l'écart, soit $\dfrac{9}{4}$.]]>
Une borne de $4{,}5$, donc utile]]>
La valeur est fausse, et toute borne supérieure à $1$ n'apprend rien.]]>
Aucune borne, l'inégalité ne s'applique pas]]>
Elle s'applique toujours : c'est seulement son résultat qui peut être
trivial.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q23 : S'écarter de deux écarts-types
Soit $X$ une variable d'espérance $\mu$ et d'écart-type
$\sigma > 0$. Quelle majoration de
$P\left(|X - \mu| \geq 2\sigma\right)$ donne l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev ?]]>
Avec $\delta = k\sigma$, l'inégalité donne
$P\left(|X - \mu| \geq k\sigma\right) \leq \dfrac{1}{k^2}$, quelle
que soit la loi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{4}$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V(X)}{(2\sigma)^2} =
\dfrac{\sigma^2}{4\sigma^2}$.]]>
$\dfrac{1}{2}$]]>
Erreur : le seuil $2\sigma$ est élevé au carré.]]>
$0{,}05$]]>
Erreur : $0{,}05$ ne découle pas de l'inégalité, qui donne ici
$\dfrac{1}{2^2}$.]]>
$\dfrac{3}{4}$]]>
Erreur : $\dfrac{3}{4}$ minore la probabilité de l'événement
contraire.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q24 : Quadrupler la taille
On multiplie par $4$ la taille d'un échantillon.
Que devient la borne de l'inégalité de concentration, à écart fixé ?]]>
La borne varie comme $\dfrac{1}{n}$ à écart fixé. À borne fixée, c'est en
revanche l'écart garanti qui varie comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est divisée par $4$]]>
Bonne réponse : la borne $\dfrac{1}{4n\delta^2}$ est inversement
proportionnelle à $n$.]]>
Elle est divisée par $2$]]>
La racine carrée intervient pour l'écart-type, pas pour cette borne.]]>
Elle est multipliée par $4$]]>
Un échantillon plus grand améliore la garantie, il ne la dégrade pas.]]>
Elle est inchangée]]>
La taille figure au dénominateur de la borne, elle agit donc
directement.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q25 : Écart-type d'une moyenne d'échantillon
Une variable a pour écart-type $\sigma = 6$. Quel est l'écart-type
de la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n = 36$ ?]]>
$V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, donc $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ :
quadrupler la taille divise l'écart-type par deux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =
\dfrac{6}{6}$.]]>
$\dfrac{1}{6}$]]>
Erreur : on divise par $\sqrt{n}$, pas par $n$.]]>
$6$]]>
Erreur : moyenner un échantillon réduit la dispersion.]]>
$36$]]>
Erreur : $36$ est la taille de l'échantillon.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q26 : Pourquoi le facteur un quart
D'où vient le $\dfrac{1}{4}$ dans la borne
$\dfrac{1}{4n\delta^2}$ ?]]>
Le produit $p(1-p)$ est maximal en $p = 0{,}5$, où il vaut
$\dfrac{1}{4}$. Majorer la variance par cette valeur rend la borne
utilisable sans connaître $p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
De la valeur maximale de $p(1-p)$]]>
Bonne réponse : ce produit atteint $\dfrac{1}{4}$ pour $p = 0{,}5$ et
ne le dépasse jamais.]]>
Du nombre de cas possibles]]>
Aucun comptage n'intervient : la borne vient d'une majoration de
variance.]]>
D'une convention de calcul]]>
La valeur se démontre : $p(1-p)$ est un trinôme dont le maximum vaut
$\dfrac{1}{4}$.]]>
De la division par quatre de l'écart]]>
L'écart apparaît au carré au dénominateur, il n'est pas divisé.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q27 : Diviser l'écart garanti par deux
À garantie fixée, que faut-il faire pour diviser par deux l'écart
garanti entre fréquence et probabilité ?]]>
La précision d'une estimation progresse comme la racine carrée de la
taille. Chaque gain d'un facteur deux sur la précision coûte quatre fois
plus d'observations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Multiplier la taille par $4$]]>
Bonne réponse : l'écart varie comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, donc
quadrupler $n$ le divise par deux.]]>
Multiplier la taille par $2$]]>
L'écart serait divisé par $\sqrt{2}$, soit environ $1{,}41$.]]>
Diviser la taille par $2$]]>
Réduire l'échantillon dégrade la précision au lieu de l'améliorer.]]>
Multiplier la taille par $16$]]>
Ce facteur diviserait l'écart par quatre, bien au-delà du but visé.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q28 : Ce que la loi des grands nombres ne dit pas
Après une longue série de piles, la loi des grands nombres
annonce-t-elle un rattrapage par les faces ?]]>
La fréquence converge parce que les lancers récents pèsent de moins en
moins, pas parce que le hasard corrigerait le passé. L'écart entre le
nombre de piles et celui de faces peut au contraire augmenter.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, les lancers restent indépendants]]>
Bonne réponse : la fréquence se rapproche de $0{,}5$ par dilution des
écarts passés, non par compensation.]]>
Oui, l'équilibre finit par se rétablir]]>
C'est l'erreur du joueur : aucune force ne corrige les résultats déjà
obtenus.]]>
Oui, sinon la loi serait fausse]]>
La loi porte sur la fréquence, pas sur l'écart entre les effectifs, qui
peut même grandir.]]>
Non, car la pièce n'est pas équilibrée]]>
Conclusion juste, raison fausse : le raisonnement vaut aussi pour une
pièce parfaitement équilibrée.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q29 : Les hypothèses de l'inégalité
Que faut-il connaître d'une variable pour appliquer l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev ?]]>
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne demande que l'espérance et la
variance. Sa généralité explique qu'elle donne des bornes assez larges.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Son espérance et sa variance]]>
Bonne réponse : aucune hypothèse sur la loi elle-même n'est
nécessaire.]]>
Sa loi de probabilité complète]]>
C'est justement l'intérêt de l'inégalité : elle se passe de cette
connaissance.]]>
Qu'elle suit une loi binomiale]]>
L'inégalité vaut pour toute variable admettant une espérance et une
variance.]]>
Qu'elle prend des valeurs positives]]>
Le signe des valeurs n'intervient nulle part dans l'énoncé.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q30 : Garantie chiffrée d'un sondage
Pour évaluer la proportion $p$ de personnes favorables à un projet, on en interroge $2\,500$ au hasard, ce qu'on modélise par un échantillon de variables de Bernoulli de paramètre $p$. La fréquence observée $F$ est leur moyenne, et la variance commune vérifie $p(1-p) \leq \dfrac{1}{4}$. Quel majorant de $P(|F - p| \geq 0{,}05)$ l'inégalité de concentration fournit-elle ?]]>
Inégalité de concentration : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$. Ici $M_n$ est la fréquence $F$, $\mu = p$, $n = 2\,500$, $\delta = 0{,}05$ et $V \leq \dfrac{1}{4}$ : un écart d'au moins $5$ points a une probabilité au plus égale à $0{,}04$, quelle que soit la valeur de $p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}04$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \dfrac{0{,}25}{2\,500 \times 0{,}05^2} = \dfrac{0{,}25}{6{,}25} = 0{,}04$.]]>
$0{,}08$]]>
L'écart type $\dfrac{1}{2}$ a pris la place de la variance : l'inégalité de concentration utilise $V \leq \dfrac{1}{4}$, ce qui donne $0{,}04$.]]>
$0{,}002$]]>
Le seuil $\delta = 0{,}05$ n'a pas été élevé au carré : $\dfrac{0{,}25}{2\,500 \times 0{,}05} = 0{,}002$ n'est pas la borne de l'inégalité.]]>
$0{,}96$]]>
$0{,}96$ minore la probabilité de l'événement contraire $|F - p| < 0{,}05$ ; la question porte sur un écart d'au moins $0{,}05$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q31 : Retrouver le facteur appliqué au seuil
Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, par quel facteur
faut-il multiplier le seuil $\delta$ pour que la borne
$\dfrac{V}{\delta^2}$ soit divisée par $9$ ?]]>
La borne varie comme $\dfrac{1}{\delta^2}$. La diviser par un
nombre donné revient donc à multiplier le seuil par la racine
carrée de ce nombre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : le seuil intervient au carré, donc
multiplier $\delta$ par $3$ divise la borne par
$3^2 = 9$.]]>
$9$]]>
Carré oublié : un seuil multiplié par $9$ diviserait la
borne par $9^2$, bien plus que demandé. Le facteur
cherché est la racine carrée de $9$, soit $3$.]]>
$4{,}5$]]>
Moitié prise à la place de la racine carrée : c'est
$\sqrt{9} = 3$ qui convient, car seul le carré du
facteur agit sur la borne.]]>
$6$]]>
Facteur deux de trop : avec $6$, la borne serait
divisée par $6^2$, soit quatre fois trop. On garde
$3$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q32 : Moyenne simulée des numéros d'un dé
On simule un très grand nombre de lancers d'un dé équilibré à
$6$ faces, numérotées de $1$ à $6$, et on affiche au fur et
à mesure la moyenne des numéros obtenus. Autour de quelle
valeur cette moyenne se stabilise-t-elle ?]]>
La loi des grands nombres porte aussi bien sur une moyenne que
sur une fréquence : la moyenne des numéros obtenus se
rapproche de l'espérance du numéro tiré.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3{,}5$]]>
Bonne réponse : la moyenne d'un échantillon se stabilise
autour de l'espérance, ici la moyenne des numéros
$1$ à $6$, soit $3{,}5$.]]>
$3$]]>
Moitié du plus grand numéro : les numéros commencent à
$1$ et non à $0$, et leur moyenne vaut $3{,}5$.]]>
$\dfrac{1}{6}$]]>
Confusion entre moyenne et fréquence : c'est la fréquence
d'une face donnée qui se stabilise autour de $\dfrac{1}{6}$.]]>
$6$]]>
Valeur maximale et non moyenne : le numéro $6$ ne sort
qu'une fois sur $6$, les petits numéros tirent la
moyenne vers le bas.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q33 : Variance de la moyenne d'un échantillon
Une variable aléatoire a pour variance $9$. On prélève un
échantillon de taille $25$ de cette variable et on note $M_n$
la moyenne obtenue. Que vaut $V(M_n)$ ?]]>
Pour un échantillon de taille $n$, $E(M_n) = \mu$ et
$V(M_n) = \dfrac{V}{n}$. C'est cette division par $n$ qui
resserre la moyenne autour de l'espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}36$]]>
Bonne réponse : $V(M_n) = \dfrac{V}{n} =
\dfrac{9}{25} = 0{,}36$, ce qui fonde l'inégalité de
concentration.]]>
$225$]]>
Somme et moyenne confondues : $225$ est la variance
de la somme des $25$ variables, à diviser par $25^2$
pour la moyenne.]]>
$0{,}0144$]]>
Division de trop : le facteur $\dfrac{1}{n^2}$ s'applique
à la variance de la somme, déjà égale à $225$, d'où
$0{,}36$.]]>
$0{,}6$]]>
Écart-type et variance confondus : $0{,}6$ est
l'écart-type de $M_n$, dont le carré vaut $0{,}36$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q34 : Deux sondages de tailles différentes
Deux instituts étudient la même population, dans laquelle une
proportion $p$ de personnes est favorable à un projet. Le
premier interroge $200$ personnes au hasard, le second
$2\,000$. On note $F_1$ et $F_2$ les fréquences obtenues. Que
peut-on dire de $E(F_1)$ et de $E(F_2)$ ?]]>
Une fréquence est la moyenne d'un échantillon de variables de
Bernoulli : son espérance vaut $p$ pour toute taille $n$, et sa
variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$ décroît quand $n$ augmente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elles sont égales toutes les deux à la proportion $p$]]>
Bonne réponse : l'espérance d'une fréquence vaut $p$ quelle
que soit la taille de l'échantillon. Celle-ci agit sur la
variance, pas sur l'espérance.]]>
Celle du grand échantillon est plus proche de $p$]]>
Nuance mal placée : les deux espérances valent déjà
exactement $p$. C'est la fréquence observée, non son
espérance, qui se rapproche de $p$.]]>
Celle du grand échantillon est dix fois plus petite]]>
Rapport appliqué au mauvais indicateur : la taille divise
la variance par dix, alors que l'espérance reste $p$.]]>
Elles dépendent des réponses effectivement recueillies]]>
Observation et espérance confondues : les réponses font
varier les fréquences obtenues, jamais leur espérance, qui
vaut $p$ avant tout sondage.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q35 : Variance d'une fréquence avec des valeurs
On répète $100$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont
la probabilité de succès vaut $0{,}2$, et on note $F$ la
fréquence de succès obtenue. Que vaut $V(F)$ ?]]>
La fréquence de succès vérifie $E(F) = p$ et
$V(F) = \dfrac{p(1-p)}{n}$ : on applique la formule aux valeurs
de l'énoncé, sans jamais oublier la division par $n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}0016$]]>
Bonne réponse : $V(F) = \dfrac{p(1-p)}{n} =
\dfrac{0{,}2 \times 0{,}8}{100} = 0{,}0016$.]]>
$16$]]>
Nombre de succès et fréquence confondus : $16$ est la
variance du nombre de succès, qu'il reste à diviser par
$100^2$.]]>
$0{,}16$]]>
Effectif oublié : $0{,}16$ est la variance d'une seule
épreuve. La moyenne de $100$ épreuves est $100$ fois moins
dispersée.]]>
$0{,}002$]]>
Facteur $(1-p)$ oublié : la variance d'une épreuve vaut
$p(1-p)$ et non $p$, d'où $0{,}0016$ après division par
$100$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q36 : Ce que suppose l'inégalité de concentration
L'inégalité de concentration
$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{n\delta^2}$ porte sur la moyenne $M_n$ de $n$
variables aléatoires. Que suppose-t-elle sur ces variables ?]]>
Un échantillon de taille $n$ est une liste de $n$ variables
aléatoires indépendantes et de même loi. C'est cette hypothèse
qui donne $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$, donc l'inégalité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elles sont indépendantes et de même loi]]>
Bonne réponse : c'est la définition d'un échantillon de
taille $n$, la seule hypothèse qui permette d'écrire
$V(M_n) = \dfrac{V}{n}$.]]>
Elles suivent une loi binomiale de paramètre $p$]]>
Hypothèse trop forte : le cas binomial n'est qu'un exemple.
L'inégalité vaut pour tout échantillon admettant une
variance.]]>
Elles ne prennent que des valeurs positives]]>
Le signe des valeurs n'intervient pas : seul compte l'écart
à l'espérance, mesuré en valeur absolue.]]>
Elles ont la même espérance, sans plus]]>
Condition incomplète : sans indépendance, la variance de la
moyenne n'est plus $\dfrac{V}{n}$ et la borne tombe.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q37 : Majorer la variance par un quart
Pour dimensionner un sondage, un institut majore la variance
$p(1-p)$ par $\dfrac{1}{4}$ alors que la proportion réelle vaut
$0{,}1$. Quel effet cette majoration a-t-elle sur la borne
obtenue ?]]>
Le produit $p(1-p)$ ne dépasse jamais $\dfrac{1}{4}$ : le
remplacer par cette valeur donne une borne plus grande, donc
une garantie toujours vraie, parfois trop prudente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle reste valable, mais plus grande que nécessaire]]>
Bonne réponse : majorer la variance ne peut qu'agrandir la
borne. Celle-ci reste donc vraie, simplement plus prudente
que la borne exacte.]]>
Elle devient fausse, la variance étant mal évaluée]]>
Une majoration ne rend rien faux : remplacer $0{,}09$ par
$0{,}25$ agrandit la borne, donc conserve l'inégalité.]]>
Elle est inchangée, la variance valant bien un quart]]>
Valeur réelle négligée : ici $p(1-p) = 0{,}09$, nettement
moins que $0{,}25$. Les deux bornes diffèrent.]]>
Elle n'a plus de sens sans la valeur exacte de $p$]]>
C'est tout l'intérêt de la majoration : elle fournit une
garantie valable pour toute valeur de $p$, connue ou non.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q38 : Estimer une probabilité inconnue
On lance $2000$ fois une pièce dont on ignore si elle est
équilibrée et l'on obtient $1240$ fois « pile ». Quelle
estimation de la probabilité d'obtenir « pile » la loi des
grands nombres justifie-t-elle ?]]>
La loi des grands nombres justifie l'estimation d'une
probabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand
nombre de répétitions.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}62$]]>
Bonne réponse : la fréquence observée
$\dfrac{1240}{2000} = 0{,}62$ se stabilise autour de la
probabilité cherchée, qu'elle estime donc.]]>
$0{,}38$]]>
Événement contraire estimé : $0{,}38$ est la fréquence de
« face ». Celle de « pile » vaut $0{,}62$.]]>
$0{,}5$]]>
Équilibre supposé à tort : rien ne l'assure ici, et la
fréquence observée pointe vers $0{,}62$.]]>
$1240$]]>
Division oubliée : $1240$ compte les « pile ». Une
probabilité s'obtient en divisant par $2000$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q39 : Écart garanti par un sondage
Un sondage porte sur $1000$ personnes et l'on majore la variance
par $\dfrac{1}{4}$. Quel écart $\delta$ entre la fréquence
observée et la proportion cherchée l'inégalité de concentration
garantit-elle, avec un risque d'au plus $0{,}1$ ?]]>
On écrit la borne $\dfrac{1}{4n\delta^2}$, on la force sous le
risque accepté, puis on isole $\delta$ : l'écart garanti varie
comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}05$]]>
Bonne réponse : on impose $\dfrac{1}{4n\delta^2} \leq 0{,}1$,
d'où $\delta^2 \geq 0{,}0025$ puis
$\delta = 0{,}05$.]]>
$0{,}0025$]]>
Racine oubliée : $0{,}0025$ est la valeur de
$\delta^2$. L'écart cherché en est la racine carrée, soit
$0{,}05$.]]>
$0{,}1$]]>
Majoration de la variance par $1$ au lieu de
$\dfrac{1}{4}$ : la racine de $4$ double l'écart annoncé,
qui vaut $0{,}05$.]]>
$0{,}025$]]>
Racine mal prise : diviser par $4$ n'est pas extraire la
racine carrée de $4$, qui vaut $2$. On obtient
$0{,}05$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q40 : Renforcer la garantie d'un sondage
À écart $\delta$ fixé, on veut faire passer la garantie de
l'inégalité de concentration de $90$ % à $99$ %. Par
combien faut-il multiplier la taille de l'échantillon ?]]>
La borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ est inversement
proportionnelle à $n$ : diviser le risque par un facteur donné
impose de multiplier la taille par ce même facteur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : le risque passe de $0{,}1$ à $0{,}01$, donc la
borne doit être divisée par $10$. Comme elle varie en
$\dfrac{1}{n}$, la taille suit le même facteur.]]>
$100$]]>
Carré injustifié : la borne dépend de $n$ à la puissance
$1$. Diviser le risque par $10$ demande $10$ fois
plus d'observations.]]>
$9$]]>
Différence des pourcentages : ce sont les risques $0{,}1$ et
$0{,}01$ qu'il faut comparer par quotient, non par
soustraction.]]>
$2$]]>
Doubler ne suffit pas : la borne serait seulement divisée
par $2$, alors que le risque visé est $10$ fois plus
petit.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q41 : Minorer la probabilité de rester proche
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $20$ et de
variance $4$. On pose $q = P\left(|X - 20| < 5\right)$.
Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $q$ ?]]>
On calcule d'abord la borne $\dfrac{V}{\delta^2}$, puis on
passe à l'événement contraire :
$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \geq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$q \geq 0{,}84$]]>
Bonne réponse : l'inégalité majore par $0{,}16$ la
probabilité d'un écart d'au moins $5$, donc l'événement
contraire a une probabilité d'au moins
$1 - 0{,}16 = 0{,}84$.]]>
$q \leq 0{,}84$]]>
Sens inversé : majorer la probabilité des grands écarts
revient à minorer celle de rester proche, d'où
$q \geq 0{,}84$.]]>
$q \geq 0{,}16$]]>
Borne non complémentée : $0{,}16$ majore la probabilité
d'un écart d'au moins $5$. Il reste à écrire
$1 - 0{,}16$.]]>
$q = 0{,}84$]]>
Statut incorrect : l'inégalité donne une minoration, pas
une valeur. La probabilité réelle peut dépasser $0{,}84$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q42 : À partir de quel seuil la borne informe
Une variable aléatoire a pour variance $9$. Pour quelles
valeurs du seuil $\delta$ l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle une borne strictement
inférieure à $1$ ?]]>
La borne $\dfrac{V}{\delta^2}$ n'apprend quelque chose que
lorsqu'elle est inférieure à $1$, c'est-à-dire pour un seuil
supérieur à l'écart-type.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\delta > 3$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{9}{\delta^2} < 1$ équivaut à
$\delta^2 > 9$, soit $\delta > 3$ : le seuil doit
dépasser l'écart-type.]]>
$\delta > 9$]]>
Variance et écart-type confondus : la condition
$\delta^2 > 9$ porte sur le carré du seuil et donne
$\delta > 3$.]]>
$\delta > 4{,}5$]]>
Moitié prise à la place de la racine carrée : la borne
descend sous $1$ dès que $\delta$ dépasse $3$.]]>
$\delta > 6$]]>
Condition trop exigeante : deux écarts-types donnent déjà
une borne de $\dfrac{1}{4}$, alors que $3$ suffit pour
passer sous $1$.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q43 : Majorer un écart d'un seul côté
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de
variance $V$, et soit $\delta > 0$. Peut-on majorer
$P\left(X \geq \mu + \delta\right)$ à l'aide de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev ?]]>
Si $A \subset B$ alors $P(A) \leq P(B)$ : tout événement inclus
dans $|X - \mu| \geq \delta$ hérite de la majoration
$\dfrac{V}{\delta^2}$, souvent très large pour un seul côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, par $\dfrac{V}{\delta^2}$, en raison d'une inclusion]]>
Bonne réponse : l'événement $X \geq \mu + \delta$ est
inclus dans $|X - \mu| \geq \delta$, sa probabilité est
donc au plus aussi grande.]]>
Non, elle ne porte que sur la valeur absolue de l'écart]]>
Conclusion trop rapide : l'inclusion d'un événement dans un
autre transmet la majoration, sans autre hypothèse.]]>
Oui, par $\dfrac{V}{2\delta^2}$, l'écart étant symétrique]]>
Symétrie supposée à tort : la loi de $X$ n'a aucune raison
d'être symétrique et les deux côtés peuvent peser très
inégalement.]]>
Oui, par $1 - \dfrac{V}{\delta^2}$, en passant au contraire]]>
Complémentaire mal placé : cette quantité minore la
probabilité de rester proche de $\mu$, elle ne majore pas
les écarts.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q44 : Une fréquence est une moyenne
Pourquoi l'inégalité de concentration s'applique-t-elle à la
fréquence $F$ de succès obtenue sur $n$ épreuves identiques et
indépendantes ?]]>
Une fréquence de succès est la moyenne d'un échantillon de
variables de Bernoulli : tout ce qui vaut pour $M_n$ vaut donc
pour elle, avec $\mu = p$ et $V = p(1-p)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que $F$ est la moyenne de $n$ variables de Bernoulli]]>
Bonne réponse : chaque épreuve fournit $1$ en cas de succès
et $0$ sinon ; la moyenne de ces valeurs est exactement la
fréquence de succès.]]>
Parce que $F$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$]]>
C'est le nombre de succès qui suit cette loi, pas la
fréquence, qui en est le quotient par $n$.]]>
Parce que $F$ est toujours comprise entre $0$ et $1$]]>
Argument sans rapport : l'inégalité ne demande pas que la
variable soit bornée, mais qu'elle soit une moyenne
d'échantillon.]]>
Parce que $F$ se rapproche de $p$ quand $n$ grandit]]>
Conclusion prise pour hypothèse : cette convergence est ce
que l'inégalité démontre, elle ne justifie pas son emploi.]]>
Concentration et loi des grands nombres — Q45 : Application avec un écart-type
Dans un atelier, la masse en grammes d'un paquet est une
variable aléatoire $X$ d'espérance $500$ et d'écart-type
$4$. Quel majorant de
$P\left(|X - 500| \geq 12\right)$ l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev fournit-elle ?]]>
L'énoncé donne l'écart-type : on le met d'abord au carré pour
obtenir la variance, puis on applique
$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{9}$]]>
Bonne réponse : la variance vaut $4^2 = 16$, d'où
$\dfrac{16}{12^2} = \dfrac{1}{9}$.]]>
$\dfrac{1}{36}$]]>
Écart-type non élevé au carré : l'inégalité fait intervenir
la variance $16$, et non $4$.]]>
$\dfrac{4}{3}$]]>
Seuil non élevé au carré : le dénominateur vaut $12^2$.
Une borne supérieure à $1$ n'apprendrait d'ailleurs rien.]]>
$9$]]>
Quotient renversé : la variance est au numérateur et le
carré du seuil au dénominateur, ce qui donne $\dfrac{1}{9}$.]]>