$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Continuité Continuité en un point et sur un intervalle, lien avec la
dérivabilité, image d'une suite convergente par une fonction
continue (suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$), théorème des
valeurs intermédiaires, cas des fonctions strictement monotones,
méthode de dichotomie.

]]> Continuité — Q01 : Continuité en un point Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.
Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?

]]> Définition : $f$ est continue en $a$ si
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Trois exigences en une : la
fonction est définie en $a$, la limite existe, et les deux
coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$

]]> Bonne réponse : la limite en $a$ existe et coïncide avec
la valeur $f(a)$. Graphiquement, la courbe se trace sans
lever le crayon au voisinage de $a$.

]]> $f$ est définie en $a$

]]> Insuffisant : une fonction peut être définie en $a$ avec un
saut (par exemple $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = 1$ si
$x \geq 0$, définie en $0$ mais discontinue).

]]> $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe

]]> Incomplet : il faut de plus que cette limite soit égale
à $f(a)$. Une limite existante mais différente de $f(a)$
laisse un point décroché.

]]> $f$ est dérivable en $a$

]]> Erreur de sens : la dérivabilité entraîne la continuité,
mais ce n'est pas la définition, et la réciproque est fausse
(valeur absolue en $0$).

]]> Continuité — Q02 : Continuité et dérivabilité Quelle affirmation est vraie ?

]]> Hiérarchie à retenir : dérivable $\Rightarrow$ continue, mais
continue $\not\Rightarrow$ dérivable. Contre-exemple canonique :
$x \mapsto |x|$ en $0$ (continue, point anguleux).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle

]]> Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La dérivabilité
est une exigence plus forte que la continuité.

]]> Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle

]]> Faux : $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais
pas dérivable en $0$ (la courbe a un point anguleux).

]]> Continuité et dérivabilité sont équivalentes

]]> Faux : l'implication ne marche que dans un sens. La valeur
absolue est continue partout sans être dérivable en $0$.

]]> Une fonction continue n'est jamais dérivable

]]> Faux : toutes les fonctions dérivables (polynômes,
exponentielle…) sont continues. Les deux propriétés
coexistent très souvent.

]]> Continuité — Q03 : Théorème des valeurs intermédiaires Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> TVI : si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$, alors $f$ prend
toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ au moins une fois.
Ici $0 \in [-2\,;\,5]$, donc $f(x) = 0$ a au moins une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet au moins une solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$, et $f$ est continue : le théorème des valeurs
intermédiaires garantit au moins un antécédent de $0$.

]]> Elle admet exactement une solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Trop fort : sans monotonie stricte, la courbe peut traverser
l'axe plusieurs fois. L'unicité demande une hypothèse
supplémentaire.

]]> Elle n'admet aucune solution

]]> Erreur : la fonction passe d'une valeur négative à une
valeur positive en restant continue ; elle ne peut pas
« sauter » par-dessus $0$.

]]> On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$

]]> Erreur : c'est justement la force du théorème des valeurs
intermédiaires, il conclut à partir de la continuité et des
valeurs aux bornes, sans formule.

]]> Continuité — Q04 : Unicité de la solution Soit $f$ continue et strictement croissante sur
$[1\,;\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire
de l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Corollaire du TVI (fonctions strictement monotones) : $f$
continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, avec $k$
compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : l'équation $f(x) = k$ admet
une unique solution dans $[a\,;\,b]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une unique solution dans $[1\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : l'existence vient du théorème des valeurs
intermédiaires, l'unicité de la stricte monotonie (la
fonction ne peut pas repasser deux fois par la même
valeur).

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Impossible : une fonction strictement croissante prend
chaque valeur au plus une fois ; deux antécédents de $0$
contrediraient la croissance stricte.

]]> Elle peut ne pas avoir de solution

]]> Erreur : $0$ est entre $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$ et $f$ est
continue : l'existence est garantie.

]]> La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle

]]> Erreur : rien n'indique où la courbe coupe l'axe. Le
théorème donne existence et unicité, pas la valeur (on
l'approche ensuite, par exemple par dichotomie).

]]> Continuité — Q05 : L'hypothèse de continuité est essentielle Soit $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ (mais pas nécessairement
continue) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation
$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?

]]> Réflexe de vérification des hypothèses : le TVI demande la
continuité. Contre-exemple sans elle : la fonction en escalier
qui vaut $-1$ puis $1$ change de signe sans s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, la fonction peut sauter par-dessus $0$

]]> Bonne réponse : sans continuité, par exemple $f(x) = -1$
sur $[0\,;\,1[$ et $f(x) = 1$ sur $[1\,;\,2]$ change de
signe sans jamais s'annuler. La continuité est une
hypothèse indispensable du théorème.

]]> Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème exige la continuité. Sans elle, sa
conclusion s'effondre : une fonction en escalier change de
signe sans s'annuler.

]]> Oui, car $f$ change de signe entre $0$ et $2$

]]> Erreur : le changement de signe ne suffit que pour une
fonction continue. Une fonction discontinue peut passer
de $-1$ à $1$ d'un coup.

]]> Oui, à condition que $f$ soit croissante

]]> Erreur : même croissante, une fonction discontinue peut
sauter par-dessus $0$ (escalier croissant de $-1$ à $1$).
C'est bien la continuité qui interdit le saut.

]]> Continuité — Q06 : Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la
suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$
converge vers un réel $\ell$. Que vérifie $\ell$ ?

]]> Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$, alors
$f(u_n) \to f(\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1} \to \ell$. Par
unicité de la limite : $f(\ell) = \ell$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(\ell) = \ell$

]]> Bonne réponse : par continuité de $f$, en passant à la
limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient
$\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.

]]> $f(\ell) = 0$

]]> Erreur : rien ne relie la limite aux zéros de $f$. Le
passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ donne
$\ell = f(\ell)$, pas $f(\ell) = 0$.

]]> $\ell = u_0$

]]> Erreur : la suite évolue à partir de $u_0$, elle n'a aucune
raison d'y rester. Sa limite est déterminée par l'équation
de point fixe.

]]> $f'(\ell) = 0$

]]> Erreur : la dérivée n'intervient pas dans ce passage à la
limite (et $f$ n'est même pas supposée dérivable). La
propriété utilisée est la continuité.

]]> Continuité — Q07 : Une étape de dichotomie Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$,
avec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de $f(x) = 0$ ?

]]> Dichotomie : on évalue $f$ au milieu $m$ de l'intervalle. Si
$f(m)$ a le même signe que la borne gauche, la racine est dans
$[m\,;\,b]$ ; sinon dans $[a\,;\,m]$. Ici $f(1{,}5) < 0$ comme
$f(1)$ : on garde $[1{,}5\,;\,2]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[1{,}5\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : le changement de signe se produit entre
$f(1{,}5) < 0$ et $f(2) > 0$ : la racine est dans la moitié
droite.

]]> $[1\,;\,1{,}5]$

]]> Erreur de lecture des signes : sur $[1\,;\,1{,}5]$, la
fonction reste négative aux deux bornes ($f(1) < 0$ et
$f(1{,}5) < 0$) : pas de traversée de zéro garantie là.

]]> $[1{,}25\,;\,1{,}75]$

]]> Erreur : la dichotomie ne recentre pas l'intervalle autour
du milieu, elle choisit la moitié où le signe change.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : c'est tout le principe de la méthode. Le signe de
$f$ au milieu désigne sans ambiguïté la moitié qui contient
la racine.

]]> Continuité — Q08 : Continuité des fonctions usuelles Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout
entier ?

]]> Sont continues sur leur ensemble de définition toutes les
fonctions construites usuellement (polynômes, exponentielle,
racine, inverse…). Pour être continue sur $\mathbb{R}$, il
faut d'abord être définie sur $\mathbb{R}$ : seul le polynôme
convient ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto x^3 - 2x + 1$

]]> Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur
$\mathbb{R}$, comme les fonctions exponentielle, sinus et
cosinus.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : la fonction inverse n'est pas définie en $0$, elle
n'est donc pas continue sur $\mathbb{R}$ (elle l'est sur
chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et
$]0\,;\,+\infty[$).

]]> $x \mapsto \sqrt{x}$

]]> Erreur : la racine carrée n'est définie que sur
$[0\,;\,+\infty[$, elle ne peut pas être continue sur
$\mathbb{R}$ entier.

]]> La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \geq 0$

]]> Erreur : cette fonction saute de $-1$ à $1$ en $0$ : elle
est définie sur $\mathbb{R}$ mais discontinue en $0$.

]]> Continuité — Q09 : Localiser la solution après un calcul Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,1]$,
avec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\alpha$ l'unique
solution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que
peut-on dire de $\alpha$ ?

]]> On encadre $\alpha$ par les points où $f$ change de signe :
$f(0) < 0 < f(0{,}5)$ et $f$ strictement croissante donnent
$\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$. Chaque nouvelle évaluation de $f$
resserre l'encadrement (principe de la dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$

]]> Bonne réponse : $f(0) = -1 < 0$ et $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ :
le changement de signe (donc $\alpha$) se situe entre $0$ et
$0{,}5$.

]]> $\alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[$

]]> Erreur de lecture : $f(0{,}5) = 0{,}8 > 0$ signifie qu'en
$0{,}5$ la fonction a déjà dépassé $0$. Comme elle
croît, elle s'est annulée avant.

]]> $\alpha = 0{,}8$

]]> Confusion : $0{,}8$ est la valeur $f(0{,}5)$, une
ordonnée. $\alpha$ est une abscisse, l'endroit où $f$
s'annule.

]]> $\alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[$

]]> Trop précis : le seul calcul disponible localise $\alpha$
entre $0$ et $0{,}5$. Resserrer davantage exigerait
d'évaluer $f$ en d'autres points.

]]> Continuité — Q10 : Image d'une suite convergente Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et
$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la
suite $\left(f(u_n)\right)$ ?

]]> Propriété clé (au programme) : si $u_n \to a$ et $f$ est
continue en $a$, alors $f(u_n) \to f(a)$. C'est elle qui
justifie le passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle converge vers $7$

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation séquentielle de la
continuité : $u_n \to 2$ et $f$ continue en $2$ entraînent
$f(u_n) \to f(2) = 7$.

]]> Elle converge vers $2$

]]> Erreur : $2$ est la limite des antécédents $u_n$. La
suite des images $f(u_n)$ se rapproche de l'image de $2$,
c'est-à-dire $7$.

]]> Elle converge vers $f(7)$

]]> Erreur : $7$ est déjà une image ($f(2) = 7$) ; il n'y a
aucune raison de réappliquer $f$.

]]> On ne peut rien dire sans monotonie de $f$

]]> Erreur : aucune monotonie n'est requise. La continuité en
$2$ suffit à transporter la convergence des $u_n$ vers
celle des $f(u_n)$.

]]> Continuité — Q11 : Nombre de solutions d'après un tableau de variations Une fonction $f$, continue sur $[0\,;\,4]$, croît strictement
de $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de
$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$
admet-elle de solutions sur $[0\,;\,4]$ ?

]]> Méthode : appliquer le corollaire du TVI sur chaque intervalle
de monotonie, en vérifiant si $0$ est compris entre les
valeurs aux bornes. Branche montante $[-3\,;\,5]$ : une
solution. Branche descendante $[1\,;\,5]$ : $0$ n'y figure pas,
aucune solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : sur $[0\,;\,2]$, $f$ passe de $-3$ à $5$ en
croissant strictement : une unique solution. Sur
$[2\,;\,4]$, $f$ reste entre $5$ et $1$, toujours
strictement positive : aucune solution.

]]> Exactement deux

]]> Réflexe trompeur « une par branche » : sur la branche
décroissante, $f$ va de $5$ à $1$ sans traverser $0$.
Il faut comparer $0$ aux valeurs extrêmes de chaque branche.

]]> Aucune

]]> Erreur : sur $[0\,;\,2]$, $f$ passe de $-3$ (négatif) à $5$
(positif) en étant continue : elle s'annule forcément.

]]> Une infinité

]]> Erreur : la stricte monotonie sur chaque branche interdit de
repasser plusieurs fois par la même valeur ; les solutions
se comptent branche par branche.

]]> Continuité — Q12 : Ce que dit exactement le théorème Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le TVI est un théorème d'existence : chaque valeur
intermédiaire admet au moins un antécédent. Il ne donne ni
unicité (il faut la stricte monotonie) ni localisation (il faut
des calculs, par exemple une dichotomie).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
au moins une fois sur $[a\,;\,b]$

]]> Bonne réponse : existence d'un antécédent pour chaque valeur
intermédiaire, sans précision sur leur nombre ni sur leur
position.

]]> Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
exactement une fois

]]> Trop fort : sans stricte monotonie, une valeur peut être
atteinte plusieurs fois (courbe qui oscille).

]]> $f$ ne prend aucune valeur en dehors de
$[f(a)\,;\,f(b)]$

]]> Erreur : la fonction peut dépasser ses valeurs aux bornes à
l'intérieur de l'intervalle (un sommet au milieu). Le
théorème parle des valeurs intermédiaires, pas d'un
encadrement de $f$.

]]> $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$

]]> Erreur : la monotonie est une hypothèse supplémentaire
qu'on ajoute pour obtenir l'unicité ; le théorème lui-même
n'en dit rien.

]]> Continuité — Q13 : Une fonction en escalier La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand
entier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?

]]> La partie entière est en escalier : discontinue en chaque
entier (saut de hauteur $1$), continue partout ailleurs.
L'exemple à citer pour montrer que « définie » n'implique
pas « continue ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$

]]> Bonne réponse : juste avant $2$ ($x = 1{,}99$), elle
vaut $1$ ; en $2$, elle vaut $2$ : le saut interdit de
tracer la courbe sans lever le crayon.

]]> Oui : elle est définie en $2$

]]> Confusion : être définie ne suffit pas : la continuité
exige que les valeurs voisines rejoignent la valeur
au point, or à gauche elles restent à $1$.

]]> Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues

]]> Erreur : la partie entière est justement LE
contre-exemple usuel : continue nulle part sur les
entiers.

]]> Non, car elle n'est pas définie en $2$

]]> Diagnostic faux : elle est parfaitement définie
($\lfloor 2 \rfloor = 2$) : c'est le saut à gauche
qui casse la continuité.

]]> Continuité — Q14 : Raccorder deux expressions en un point La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + a$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x$ si $x \geq 2$. Pour quelle valeur du réel $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?

]]> $f$ est continue en $2$ lorsque $f(x)$ tend vers $f(2)$ quand $x$ tend vers $2$. À droite, $3x$ tend vers $6$, qui est $f(2)$ ; à gauche, $x^2 + a$ tend vers $4 + a$. Il faut donc $4 + a = 6$, soit $a = 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a = 2$

]]> Bonne réponse : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $4 + a$, et $f(2) = 6$ ; la continuité en $2$ impose $4 + a = 6$.

]]> $a = 6$

]]> Le terme $x^2$ a été oublié : à gauche de $2$, $f(x)$ tend vers $2^2 + a = 4 + a$, et non vers $a$.

]]> $a = -2$

]]> Erreur de signe : $4 + a = 6$ donne $a = 6 - 4 = 2$.

]]> $a = 10$

]]> Les deux valeurs ont été ajoutées : il faut que la limite à gauche $4 + a$ soit égale à $f(2) = 6$.

]]> Continuité — Q15 : Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$ Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$
admet-elle une solution dans $[0\ ;\ 1]$ ?

]]> Schéma de rédaction TVI : 1) $f$ continue ; 2) $f(a)$ et
$f(b)$ calculées, de signes opposés ; 3) conclusion
d'existence. (Ici $f' = 3x^2 + 1 > 0$ offre en prime
l'unicité : corollaire du TVI.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par le TVI : $f$ continue, $f(0) < 0 < f(1)$

]]> Bonne réponse : le trio complet, continuité plus valeurs
de signes opposés aux bornes, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) =
1 > 0$ : la courbe doit traverser l'axe entre $0$ et
$1$.

]]> Parce que $f(0{,}5) = 0$ exactement

]]> Faux : $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375$ : le
TVI garantit l'existence sans exhiber la valeur.

]]> Tout polynôme s'annule quelque part

]]> Faux en général : $x^2 + 1$ ne s'annule jamais. C'est le
changement de signe observé qui fait fonctionner le
théorème.

]]> Parce que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,1]$

]]> Incomplet : la croissance seule ne donne pas de zéro
(exponentielle !) : il faut le changement de signe ; la
croissance ajoutera l'unicité.

]]> Continuité — Q16 : Encadrer la solution par balayage $f$ est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne $f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0$ et
$f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la
solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ ?

]]> Balayage : tableau de valeurs au pas $10^{-n}$, repérer le
changement de signe : encadrement d'amplitude $10^{-n}$.
(La dichotomie fait mieux : elle divise l'intervalle par $2$
à chaque étape.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}32 < \alpha < 1{,}33$

]]> Bonne réponse : un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
Changement de signe entre deux valeurs consécutives du
balayage : $\alpha$ est coincé dans cet intervalle.

]]> $\alpha = 1{,}325$ exactement

]]> Trop précis : le milieu de l'intervalle est une
approximation raisonnable, pas la valeur exacte : le
balayage ne donne que des encadrements.

]]> $\alpha = 1{,}33$

]]> Erreur : $1{,}33$ est la valeur où $f$ devient positive,
mais $f(1{,}33) > 0$ strictement : le zéro est franchi
avant $1{,}33$, quelque part dans l'intervalle.

]]> Rien, la calculatrice ne prouve rien

]]> Trop sévère : combinés au TVI (continuité + signes), les
calculs de la machine fournissent un encadrement
parfaitement rigoureux.

]]> Continuité — Q17 : Le corollaire du TVI $f$ est continue et strictement croissante sur
$[2\ ;\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de
solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\ ;\ 5]$ ?

]]> Corollaire du TVI : si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\ ;\ b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement UNE solution dans $[a\ ;\ b]$. Le mot « exactement » vaut des points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$

]]> Bonne réponse : existence par le TVI ($1 \in [-3\ ;\
4]$), unicité par la stricte monotonie (la fonction ne
peut pas repasser deux fois par la même valeur).

]]> Au moins une, peut-être plusieurs

]]> Version faible : c'est le TVI sans monotonie ; la
stricte croissance interdit tout second passage :
exactement une.

]]> Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$

]]> Contresens du théorème : le TVI affirme justement que
les valeurs intermédiaires entre $f(2)$ et $f(5)$
sont toutes atteintes.

]]> Deux : une en montant, une en descendant

]]> Erreur : la fonction ne fait que monter (strictement
croissante) : un seul franchissement du niveau $1$.

]]> Continuité — Q18 : Sans continuité, le TVI s'effondre Une fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$
et $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?

]]> L'hypothèse de continuité n'est pas décorative : c'est elle
qui force le passage par toutes les valeurs intermédiaires.
Toute rédaction du TVI doit la mentionner explicitement,
sous peine d'appliquer un théorème faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ n'est pas continue sur $[0\ ;\ 2]$

]]> Bonne réponse : elle saute par-dessus la valeur $0$.
Sans continuité, rien n'oblige à passer par les valeurs
intermédiaires : une fonction en escalier (par exemple
$-1$ puis $1$) enjambe le zéro.

]]> C'est impossible : le TVI l'interdit

]]> Le TVI ne s'applique qu'aux fonctions continues :
l'énoncé décrit précisément une fonction qui ne l'est
pas.

]]> $f$ n'est pas définie sur tout l'intervalle

]]> Contradiction avec l'énoncé : $f$ est définie sur $[0\
;\ 2]$, avec $f(0) = -1$ ; c'est la continuité, pas la
définition, qui manque.

]]> $f$ prend des valeurs complexes entre les deux

]]> Hors cadre : les fonctions du programme sont à valeurs
réelles : l'explication est le saut d'une fonction
discontinue.

]]> Continuité — Q19 : Repérer une discontinuité sur une courbe Sur une courbe, à quoi reconnaît-on qu'une fonction n'est pas continue
en un point ?

]]> Une discontinuité se voit à un saut du tracé. Un angle, un extremum ou un
passage par zéro n'ont, eux, aucune incidence sur la continuité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe présente un saut en ce point

]]> Bonne réponse : les valeurs à gauche et à droite ne se rejoignent pas,
le tracé impose de lever le crayon.

]]> La courbe présente un angle en ce point

]]> Un angle signale une non-dérivabilité : la valeur absolue reste
continue en $0$.

]]> La courbe coupe l'axe des abscisses

]]> Traverser l'axe est le comportement le plus banal, et il n'empêche
nullement la continuité.

]]> La courbe change de sens de variation

]]> Un changement de sens décrit un extremum, compatible avec la
continuité.

]]> Continuité — Q20 : Combien de solutions garantit le théorème Une fonction continue sur $[0\,;\,5]$ vérifie $f(0) = -2$ et
$f(5) = 7$. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une
solution. Son corollaire, qui ajoute la stricte monotonie, garantit en
outre l'unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au moins une solution à $f(x) = 0$

]]> Bonne réponse : le théorème assure l'existence, l'unicité exigeant en
plus la stricte monotonie.

]]> Exactement une solution à $f(x) = 0$

]]> L'unicité demande la stricte monotonie, dont l'énoncé ne dit rien.

]]> Aucune solution à $f(x) = 0$

]]> Le changement de signe entre les deux bornes impose au contraire un
passage par zéro.

]]> Exactement deux solutions à $f(x) = 0$

]]> Le théorème ne compte jamais les solutions : il en garantit
l'existence.

]]> Continuité — Q21 : Une fonction continue sur son ensemble Sur quel ensemble la fonction inverse est-elle continue ?

]]> Les fonctions usuelles, polynômes, exponentielle, logarithme, inverse,
racine, sinus, cosinus, sont continues sur tout intervalle de leur
ensemble de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $\mathbb{R}$ privé de $0$

]]> Bonne réponse : elle est continue partout où elle est définie, donc sur
chacun des deux intervalles.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Elle n'est pas définie en $0$, la continuité n'y a donc aucun sens.

]]> Sur $]0\,;\,+\infty[$ seulement

]]> Elle est tout aussi continue sur les nombres négatifs, où sa courbe est
d'un seul tenant.

]]> Sur aucun intervalle, à cause du saut en $0$

]]> Il n'y a pas de saut : la fonction n'est simplement pas définie en $0$,
et sa courbe est continue de part et d'autre.

]]> Continuité — Q22 : Réduire l'intervalle par dichotomie Une solution est localisée dans $[1\,;\,2]$. Après trois étapes de
dichotomie, quelle est l'amplitude de l'intervalle ?

]]> La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape. Après $n$
étapes, elle vaut l'amplitude initiale divisée par $2^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}125$

]]> Bonne réponse : chaque étape divise l'amplitude par deux, soit
$\dfrac{1}{2^3}$.

]]> $0{,}5$

]]> Une seule étape prise en compte : il en reste deux.

]]> $0{,}25$

]]> Deux étapes prises en compte : la troisième divise encore par deux.

]]> $0{,}333$

]]> Division par trois : la dichotomie coupe en deux à chaque étape, pas en
trois.

]]> Continuité — Q23 : Une hypothèse manquante Quelle hypothèse ajoute-t-on au théorème des valeurs intermédiaires
pour obtenir l'unicité de la solution ?

]]> Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ajoute la stricte
monotonie, ce qui transforme l'existence en existence et unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La stricte monotonie sur l'intervalle

]]> Bonne réponse : une fonction strictement monotone ne peut pas prendre
deux fois la même valeur.

]]> La dérivabilité sur l'intervalle

]]> La dérivabilité sert souvent à établir la monotonie, mais elle ne suffit
pas à elle seule.

]]> La positivité de la fonction

]]> Le signe de la fonction n'a aucun rapport avec le nombre de solutions.

]]> La convexité sur l'intervalle

]]> Une fonction convexe peut prendre deux fois la même valeur, de part et
d'autre de son minimum.

]]> Continuité — Q24 : Continuité et suite convergente Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en
$\ell$. Vers quoi tend $(f(u_n))$ ?

]]> La continuité en $\ell$ autorise l'écriture
$\lim f(u_n) = f(\lim u_n)$. C'est ce qui permet de déterminer la limite
d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $f(\ell)$

]]> Bonne réponse : la continuité permet de faire passer la limite à
l'intérieur de la fonction.

]]> Vers $\ell$

]]> La fonction transforme les termes : la limite obtenue est l'image de
$\ell$, pas $\ell$ lui-même.

]]> Vers $0$

]]> Aucune raison : si $f$ est la fonction carré et $\ell = 3$, la limite
vaut $9$.

]]> Elle peut ne pas converger

]]> La continuité garantit la convergence de la suite image.

]]> Continuité — Q25 : Compter les solutions sur un tableau Une fonction continue décroît de $5$ à $-1$ sur $[0\,;\,3]$, puis
croît de $-1$ à $4$ sur $[3\,;\,8]$. Combien l'équation $f(x) = 2$
a-t-elle de solutions ?

]]> On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque
intervalle de stricte monotonie, puis on additionne les solutions
obtenues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : la valeur $2$ est encadrée par les valeurs extrêmes de
chacune des deux phases.

]]> Une seule

]]> Chaque phase de monotonie fournit une solution, puisque $2$ y est
encadré.

]]> Aucune

]]> La valeur $2$ appartient à l'intervalle $[-1\,;\,5]$, elle est donc
bien atteinte.

]]> Trois

]]> Le tableau ne comporte que deux phases monotones, donc au plus deux
solutions.

]]> Continuité — Q26 : Continue sans être dérivable Quelle fonction est continue en $0$ sans y être dérivable ?

]]> Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse. Un
point anguleux donne un exemple de continuité sans dérivabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur absolue

]]> Bonne réponse : sa courbe forme un angle en $0$, sans saut mais sans
tangente unique.

]]> La fonction carré

]]> Elle est dérivable partout, de dérivée $2x$.

]]> La fonction inverse

]]> Elle n'est même pas définie en $0$, donc ni continue ni dérivable en ce
point.

]]> L'exponentielle

]]> Elle est dérivable sur tout $\mathbb{R}$, et sa dérivée est
elle-même.

]]> Continuité — Q27 : Encadrer une solution Pour $f$ continue et strictement croissante, on trouve
$f(1{,}3) < 0$ et $f(1{,}4) > 0$. Où se situe la solution de
$f(x) = 0$ ?

]]> Un balayage repère l'intervalle où la fonction change de signe. En
raffinant le pas, on encadre la solution avec la précision voulue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre $1{,}3$ et $1{,}4$

]]> Bonne réponse : le changement de signe localise la solution entre ces
deux valeurs.

]]> En dessous de $1{,}3$

]]> La stricte croissance impose que $f$ y soit encore plus négative.

]]> Au-dessus de $1{,}4$

]]> La fonction y est déjà positive et continue de croître.

]]> On ne peut pas la localiser

]]> Le changement de signe fournit précisément un encadrement au dixième
près.

]]> Continuité — Q28 : Compter les solutions de $x^3 - 3x = 1$ Combien de solutions réelles l'équation $x^3 - 3x = 1$ admet-elle ?

]]> On étudie $g(x) = x^3 - 3x$ : $g'(x) = 3x^2 - 3$ s'annule en $-1$ et en $1$. Sur $]-\infty\ ;\ -1]$, $g$ croît de $-\infty$ à $2$ ; sur $[-1\ ;\ 1]$, elle décroît de $2$ à $-2$ ; sur $[1\ ;\ +\infty[$, elle croît de $-2$ à $+\infty$. Sur chaque intervalle, $g$ est continue et strictement monotone et $1$ est une valeur intermédiaire : une solution par intervalle, soit trois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois

]]> Bonne réponse : $g(x) = x^3 - 3x$ a pour dérivée $3(x - 1)(x + 1)$. $g$ croît de $-\infty$ à $g(-1) = 2$, décroît jusqu'à $g(1) = -2$, puis croît vers $+\infty$ ; la valeur $1$ est atteinte une fois sur chacun des trois intervalles.

]]> Une seule

]]> Le corollaire du TVI s'applique séparément sur chaque intervalle où $g(x) = x^3 - 3x$ est strictement monotone : il y en a trois, et $1$ est atteint sur chacun, car $g(-1) = 2$ et $g(1) = -2$.

]]> Deux

]]> Deux est le nombre de changements de variation de $g(x) = x^3 - 3x$ (en $-1$ et en $1$), pas le nombre de solutions : ces changements délimitent trois intervalles de stricte monotonie.

]]> Aucune

]]> L'équation n'a pas de solution évidente, mais $g(x) = x^3 - 3x$ est continue et passe de $2$ en $-1$ à $-2$ en $1$ : le TVI garantit une solution dans $]-1\ ;\ 1[$, et deux autres existent hors de cet intervalle.

]]> Continuité — Q29 : Non continue, donc non dérivable Une fonction $f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $a$, et elle n'est pas continue en $a$. Que peut-on en déduire ?

]]> Le programme affirme que toute fonction dérivable est continue. Par contraposée, une fonction qui n'est pas continue en $a$ n'est pas dérivable en $a$. La réciproque est fausse : la racine carrée est continue en $0$ sans y être dérivable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ n'est pas dérivable en $a$

]]> Bonne réponse : toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. Si $f$ était dérivable en $a$, elle y serait continue, ce qui est exclu.

]]> On ne peut rien dire de sa dérivabilité en $a$

]]> Confusion avec la réciproque, qui est fausse : une fonction continue peut ne pas être dérivable, mais une fonction dérivable est toujours continue.

]]> Sa courbe admet une asymptote verticale en $a$

]]> Pas nécessairement : la fonction égale à $0$ sur $]-\infty\ ;\ 1[$ et à $1$ sur $[1\ ;\ +\infty[$ n'est pas continue en $1$, et sa courbe n'a aucune asymptote verticale.

]]> $f$ n'est dérivable en aucun point de $I$

]]> La discontinuité ne concerne que le point $a$ : la fonction égale à $x$ pour $x < a$ et à $x + 1$ pour $x \geq a$ est dérivable en tout autre point.

]]> Continuité — Q30 : Sans continuité, plus de garantie Une fonction non continue vaut $-1$ en $0$ et $3$ en $1$.
Prend-elle nécessairement la valeur $0$ ?

]]> L'hypothèse de continuité est ce qui interdit les sauts. Sans elle, une
fonction peut passer d'une valeur négative à une valeur positive sans
jamais s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle peut sauter par-dessus

]]> Bonne réponse : une fonction valant $-1$ avant $0{,}5$ et $3$ ensuite
ne prend jamais la valeur $0$.

]]> Oui, comme toute fonction

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires exige la continuité, écartée
par l'énoncé.

]]> Oui, si elle est croissante

]]> La fonction en escalier de l'exemple est croissante et saute pourtant
par-dessus $0$.

]]> Non, car elle n'est pas définie partout

]]> Conclusion juste, raison fausse : une fonction en escalier est définie
sur tout l'intervalle.

]]> Continuité — Q31 : Limite à gauche en un point de raccord La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 1$
si $x < 3$, et par $f(x) = 4x - 1$ si $x \geq 3$.
Quelle est la limite de $f$ en $3$ par valeurs inférieures ?

]]> Pour une limite à gauche en $3$, on n'utilise que l'expression
valable avant $3$. Ici elle donne $7$ alors que
$f(3) = 11$ : les deux nombres diffèrent, donc $f$ n'est pas
continue en $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : à gauche de $3$, seule la première expression
intervient, et $2 \times 3 + 1 = 7$.

]]> $11$

]]> C'est $f(3)$, calculé avec la seconde expression : il s'agit de
la limite à droite, pas de la limite à gauche.

]]> $6$

]]> Le terme constant a été oublié en chemin : la première expression
donne $2 \times 3 + 1 = 7$.

]]> $3$

]]> C'est la valeur vers laquelle tend $x$, pas celle vers laquelle
tendent les images $f(x)$.

]]> Continuité — Q32 : Continuité sur un intervalle Que signifie « la fonction $f$ est continue sur l'intervalle
$[0\ ;\ 3]$ » ?

]]> Être continue sur un intervalle signifie être continue en chacun de ses
points. Graphiquement, la courbe se trace d'un seul trait, sans saut ni
trou.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est continue en chaque réel de cet intervalle

]]> Bonne réponse : la continuité sur un intervalle se définit point par
point, en chaque réel de cet intervalle.

]]> Elle garde le même signe sur tout l'intervalle $[0\ ;\ 3]$

]]> Une fonction continue peut très bien changer de signe : c'est même
ce qui rend le théorème des valeurs intermédiaires utile.

]]> Elle est croissante sur tout l'intervalle $[0\ ;\ 3]$

]]> La continuité ne dit rien du sens de variation : une fonction peut
être continue et changer plusieurs fois de sens.

]]> Sa courbe est un segment de droite sur $[0\ ;\ 3]$

]]> Une courbe continue se trace sans lever le crayon, mais elle n'a
aucune raison d'être rectiligne.

]]> Continuité — Q33 : La partie entière loin des entiers La fonction partie entière est-elle continue en $1{,}5$ ?

]]> La fonction partie entière saute d'une unité en chaque entier, et
seulement là. En dehors des entiers, elle est localement constante,
donc continue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, elle est constante autour de $1{,}5$

]]> Bonne réponse : sur $]1\ ;\ 2[$ la fonction est constante égale à
$1$, donc elle est continue en chaque point de cet intervalle.

]]> Non, elle n'est continue en aucun réel de $\mathbb{R}$

]]> Les sauts n'ont lieu qu'aux entiers. Entre deux entiers, la
fonction est constante, donc continue.

]]> Non, car elle est constante sur des morceaux séparés

]]> Être constante par morceaux n'empêche pas d'être continue à
l'intérieur de chaque morceau : seuls les raccords posent problème.

]]> Oui, car elle est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Conclusion juste, raison fausse : la croissance n'entraîne pas la
continuité, comme le montrent les sauts aux entiers.

]]> Continuité — Q34 : Ensemble des valeurs prises sur un intervalle Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur
$[-1\ ;\ 4]$, avec $f(-1) = 2$ et $f(4) = 9$.
Quel est l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur $[-1\ ;\ 4]$ ?

]]> L'image d'un intervalle $[a\ ;\ b]$ par une fonction continue et
strictement croissante est l'intervalle $[f(a)\ ;\ f(b)]$, bornes
comprises.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[2\ ;\ 9]$

]]> Bonne réponse : $f$ étant continue et strictement croissante, elle
prend une fois et une seule chaque valeur entre $2$ et $9$.

]]> $[-1\ ;\ 4]$

]]> Cet intervalle est celui des antécédents. Les valeurs prises sont
les images, comprises entre $2$ et $9$.

]]> $[-1\ ;\ 9]$

]]> Les deux bornes ont été mélangées : $-1$ est un antécédent alors
que $9$ est une image.

]]> $]2\ ;\ 9[$

]]> Les bornes sont atteintes, puisque $f(-1) = 2$ et
$f(4) = 9$ : l'intervalle image est fermé.

]]> Continuité — Q35 : Situer l'unique solution La fonction $f$ est continue sur $[0\ ;\ 6]$. Elle croît strictement de
$f(0) = -4$ à $f(2) = 3$, puis décroît strictement de $f(2) = 3$ à
$f(6) = -1$. L'équation $f(x) = -2$ admet une seule solution : où
se situe-t-elle ?

]]> On applique le théorème des valeurs intermédiaires branche par branche.
Sur chacune, la solution existe si la valeur visée est comprise entre
les deux valeurs extrêmes de la branche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Dans l'intervalle $[0\ ;\ 2]$

]]> Bonne réponse : sur $[0\ ;\ 2]$, $f$ parcourt $[-4\ ;\ 3]$, qui
contient $-2$ ; sur $[2\ ;\ 6]$, elle ne descend que jusqu'à $-1$.

]]> Dans l'intervalle $[2\ ;\ 6]$

]]> Sur cette partie, $f$ prend toutes les valeurs de $[-1\ ;\ 3]$, et
$-2$ est strictement plus petit que $-1$.

]]> Dans l'intervalle $[2\ ;\ 3]$

]]> Les nombres $2$ et $3$ sont une abscisse et une image : ils ne
délimitent pas un intervalle d'abscisses.

]]> Le tableau ne permet pas de conclure

]]> Le tableau donne les valeurs extrêmes de chaque branche : il suffit
de regarder laquelle contient $-2$.

]]> Continuité — Q36 : Les valeurs qui donnent deux solutions La fonction $f$ est continue sur $[0\ ;\ 7]$. Elle croît strictement de
$f(0) = -1$ à $f(4) = 3$, puis décroît strictement de $f(4) = 3$ à
$f(7) = 0$. Pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x) = k$
admet-elle exactement deux solutions ?

]]> Sur chaque branche, $f$ est continue et strictement monotone : elle prend
une fois et une seule chaque valeur comprise entre les extrémités de la
branche. On compte donc les branches dont les valeurs encadrent $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $k$ dans $[0\ ;\ 3[$

]]> Bonne réponse : chaque branche fournit une solution quand $k$ est
compris entre ses extrémités, et $k = 3$ ne donne que $x = 4$.

]]> Pour $k$ dans $[0\ ;\ 3]$

]]> La valeur $k = 3$ est le maximum, atteint en $x = 4$ seulement : les
deux branches s'y rejoignent et la solution est unique.

]]> Pour $k$ dans $]0\ ;\ 3[$

]]> La valeur $k = 0$ convient pourtant : elle est atteinte une fois sur
la première branche, et une seconde fois en $x = 7$.

]]> Pour $k$ dans $[-1\ ;\ 3]$

]]> C'est l'ensemble des valeurs prises par $f$. Entre $-1$ et $0$, la
seconde branche ne descend pas assez bas pour donner une solution.

]]> Continuité — Q37 : Un point anguleux sur la courbe La courbe de $f$ est formée de deux segments qui se rejoignent en
formant un angle au point d'abscisse $1$. Que peut-on dire de $f$
en $1$ ?

]]> Continuité et dérivabilité ne se lisent pas de la même façon : la
continuité interdit les sauts, la dérivabilité exige en plus une
tangente unique. Un point anguleux sépare les deux notions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est continue en $1$, mais elle n'y est pas dérivable

]]> Bonne réponse : la courbe se trace sans lever le crayon, mais elle
n'admet pas de tangente unique au point anguleux.

]]> Elle est dérivable en $1$, mais elle n'y est pas continue

]]> Impossible : toute fonction dérivable en un point y est continue.
C'est la réciproque qui est fausse.

]]> Elle n'est ni continue ni dérivable au point d'abscisse $1$

]]> Les deux segments se rejoignent, donc la courbe ne présente aucun
saut : la fonction est bien continue en $1$.

]]> Elle est continue et dérivable au point d'abscisse $1$

]]> Les deux segments n'ont pas la même pente : il n'existe pas de
tangente unique, donc pas de nombre dérivé en $1$.

]]> Continuité — Q38 : Une hypothèse à vérifier avant tout Peut-on appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction
inverse sur l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$ ?

]]> Avant d'appliquer le théorème, on vérifie deux points : la fonction est
définie sur tout l'intervalle fermé, et elle y est continue. La fonction
inverse échoue sur le premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle n'est pas définie en $0$, donc pas continue

]]> Bonne réponse : l'hypothèse de continuité sur tout l'intervalle
n'est pas remplie, puisque la fonction n'existe pas en $0$.

]]> Oui, elle est continue sur son ensemble de définition

]]> Le théorème exige la continuité sur l'intervalle étudié tout
entier, et $0$ appartient à $[-1\ ;\ 1]$.

]]> Oui, car elle change de signe entre $-1$ et $1$

]]> Le changement de signe ne remplace pas la continuité : ici la
fonction ne prend jamais la valeur $0$.

]]> Non, car elle n'est pas croissante sur $[-1\ ;\ 1]$

]]> Conclusion juste, raison fausse : la monotonie n'est requise que
pour l'unicité, pas pour l'existence.

]]> Continuité — Q39 : La réciproque sur les suites Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ une suite
telle que la suite $\left(f(u_n)\right)$ converge. Peut-on en déduire
que $(u_n)$ converge ?

]]> La continuité permet de passer de la limite de $(u_n)$ à celle de
$\left(f(u_n)\right)$, jamais l'inverse. Un contre-exemple avec une
fonction constante suffit à écarter la réciproque.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : si $f$ est constante, $\left(f(u_n)\right)$ converge toujours

]]> Bonne réponse : avec $f$ constante et $u_n = (-1)^n$, la suite
$\left(f(u_n)\right)$ est constante alors que $(u_n)$ diverge.

]]> Oui : la continuité de $f$ transporte la limite dans les deux sens

]]> La propriété du cours va dans un seul sens : si $(u_n)$ converge
vers $\ell$, alors $\left(f(u_n)\right)$ converge vers $f(\ell)$.

]]> Oui, mais seulement si la fonction $f$ est croissante

]]> La croissance ne suffit pas non plus : une fonction croissante peut
être constante sur un intervalle entier.

]]> Non, sauf si la suite $(u_n)$ est bornée

]]> Une suite bornée ne converge pas forcément : la suite de terme
général $(-1)^n$ le montre.

]]> Continuité — Q40 : Calculer la limite d'une suite récurrente La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. On admet qu'elle converge vers un réel
$\ell \geq 0$. Que vaut $\ell$ ?

]]> Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue et si $(u_n)$ converge vers
$\ell$, alors $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$. On résout cette équation,
puis on écarte les racines incompatibles avec les valeurs de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : la fonction $x \mapsto \sqrt{x + 6}$ est continue,
donc $\ell = \sqrt{\ell + 6}$, soit $\ell^2 = \ell + 6$. La
seule racine positive est $3$.

]]> $6$

]]> $6$ est la constante ajoutée sous la racine, pas la limite :
l'équation $\ell^2 = \ell + 6$ donne $\ell = 3$.

]]> $-2$

]]> C'est l'autre racine de $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, écartée car tous
les termes de la suite sont positifs ou nuls.

]]> $0$

]]> C'est la valeur de $u_0$. Dès le rang suivant, $u_1 = \sqrt{6}$
est strictement positif, et la suite croît.

]]> Continuité — Q41 : Affiner un balayage Pour une fonction continue et strictement croissante, un balayage au pas
de $0{,}1$ donne $f(1{,}4) < 0$ et $f(1{,}5) > 0$. Comment obtenir un
encadrement de la solution $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$ ?

]]> Le balayage se poursuit en divisant le pas par dix sur le dernier
intervalle trouvé. Chaque reprise ajoute une décimale à l'encadrement de
la solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En balayant $[1{,}4\ ;\ 1{,}5]$ au pas de $0{,}01$

]]> Bonne réponse : on reprend le balayage sur le seul intervalle qui
contient $\alpha$, avec un pas dix fois plus petit.

]]> En balayant $[0\ ;\ 2]$ au pas de $0{,}01$

]]> Le résultat serait correct, mais on testerait inutilement des
centaines de valeurs déjà écartées par le premier balayage.

]]> En reprenant le balayage de $[1{,}4\ ;\ 1{,}5]$ au pas de $0{,}1$

]]> Un pas de $0{,}1$ sur un intervalle d'amplitude $0{,}1$ ne fournit
aucune valeur intermédiaire : l'encadrement ne progresse pas.

]]> En annonçant la valeur approchée $\alpha \approx 1{,}45$

]]> Rien ne dit que $\alpha$ est au milieu de l'intervalle : une valeur
annoncée sans calcul n'est pas un encadrement.

]]> Continuité — Q42 : Quelle équation a sûrement une solution La fonction $f$ est continue sur $[0\ ;\ 3]$, avec $f(0) = 4$ et
$f(3) = 1$. Laquelle de ces équations admet à coup sûr une solution
dans $[0\ ;\ 3]$ ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que toute valeur comprise
entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte, que la fonction monte ou qu'elle
descende. Les valeurs extérieures à cet encadrement lui échappent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 2$

]]> Bonne réponse : $2$ est compris entre $f(3) = 1$ et $f(0) = 4$, donc
une fonction continue prend forcément cette valeur au passage.

]]> $f(x) = 0$

]]> La valeur $0$ est en dessous des deux valeurs connues : rien ne dit
que $f$ descende jusque-là entre $0$ et $3$.

]]> $f(x) = 5$

]]> La valeur $5$ dépasse $f(0) = 4$ : le théorème ne renseigne pas sur
les valeurs situées au-delà de $f(0)$ et de $f(3)$.

]]> $f(x) = -1$

]]> La valeur $-1$ est hors de l'encadrement $[1\ ;\ 4]$ : le théorème
ne permet aucune conclusion à son sujet.

]]> Continuité — Q43 : Image d'un intervalle par une fonction continue Que peut-on dire de l'ensemble des valeurs prises par une fonction
continue sur l'intervalle $[1\ ;\ 5]$ ?

]]> C'est une autre formulation du théorème des valeurs intermédiaires :
l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est nécessairement un intervalle

]]> Bonne réponse : la continuité interdit les sauts, donc toutes les
valeurs entre deux images sont elles-mêmes des images.

]]> C'est nécessairement l'intervalle $[1\ ;\ 5]$

]]> L'intervalle $[1\ ;\ 5]$ est celui des antécédents : les images
peuvent occuper un tout autre intervalle.

]]> C'est une réunion de plusieurs intervalles

]]> Ce serait le cas pour une fonction qui saute, donc discontinue.
Ici les valeurs forment un seul bloc.

]]> C'est un ensemble de valeurs isolées

]]> Des valeurs isolées correspondent à une fonction en escalier, qui
n'est pas continue.

]]> Continuité — Q44 : Croissante ne suffit pas Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires réclame une
fonction strictement monotone. Une fonction croissante au sens large
garantit-elle l'unicité de la solution ?

]]> La stricte monotonie garantit que chaque valeur est atteinte au plus une
fois. Avec une croissance au sens large, un palier suffit à ruiner
l'unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : un palier donne une infinité de solutions

]]> Bonne réponse : si $f$ est constante égale à $2$ sur $[1\ ;\ 3]$,
l'équation $f(x) = 2$ a une infinité de solutions.

]]> Oui : la croissance au sens large suffit toujours

]]> Une croissance au sens large autorise les paliers, sur lesquels la
fonction prend une même valeur une infinité de fois.

]]> Oui, à condition que la fonction soit continue

]]> La continuité assure l'existence de la solution, pas son unicité.
C'est la stricte monotonie qui écarte les répétitions.

]]> Non, car une telle fonction n'est jamais continue

]]> Conclusion juste, raison fausse : une fonction croissante au sens
large peut parfaitement être continue.

]]> Continuité — Q45 : Régler la pente pour raccorder La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 3$
si $x < 4$, et par $f(x) = mx - 9$ si $x \geq 4$. Pour quelle
valeur du réel $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $4$ ?

]]> Une fonction définie par deux expressions est continue au point de
raccord lorsque les deux expressions y prennent la même valeur. On écrit
cette égalité, puis on la résout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : la continuité impose $11 = 4m - 9$,
équation dont la solution est $m = 5$.

]]> $2$

]]> Les deux morceaux n'ont pas à avoir la même pente : ils doivent
seulement prendre la même valeur en $4$.

]]> $11$

]]> C'est la valeur commune des deux expressions en $4$, pas le
coefficient cherché : il reste à résoudre $4m - 9 = 11$.

]]> $20$

]]> L'équation a bien été posée, mais la division finale par $4$ a
été oubliée, ce qui donne $m = 5$.

]]> Continuité — Q46 : Nombre de solutions lu sur une courbe Courbe d'une fonction continue sur [0 ; 5] : elle part de -2 en 0, monte jusqu'à un maximum voisin de 2,5 près de x = 2,6, puis redescend jusqu'à -1 en 5.

La courbe ci-contre représente une fonction $f$ continue sur
$[0\,;\,5]$. Combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle
dans cet intervalle ?

]]> Sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone,
l'équation $f(x) = k$ a au plus une solution, et exactement une si
$k$ est entre les valeurs aux bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : la droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe une
fois pendant la montée et une fois pendant la descente.

]]> Une seule, d'après le théorème des valeurs intermédiaires

]]> Erreur : le théorème garantit au moins une solution sur chaque
intervalle où $1$ est atteint ; la fonction n'est pas monotone.

]]> Aucune

]]> Erreur : la courbe dépasse bien la hauteur $1$.

]]> Trois

]]> Erreur : après son maximum, la courbe ne fait que descendre ; elle
ne repasse qu'une fois par la hauteur $1$.

]]>