$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Combinatoire et dénombrement
Principes additif et multiplicatif, $k$-uplets d'un ensemble
($n^k$), $k$-uplets d'éléments distincts, permutations et
factorielle, nombre de parties d'un ensemble ($2^n$),
combinaisons $\binom{n}{k}$, symétrie et triangle de Pascal,
modélisation (mots, chemins, tirages).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q01 : Principe multiplicatif
Un menu se compose d'une entrée choisie parmi $3$ et d'un plat
choisi parmi $4$. Combien de menus différents peut-on
composer ?]]>
Principe multiplicatif : une situation en étapes successives à
$n_1$, puis $n_2$ choix, offre $n_1 \times n_2$ possibilités.
Le principe additif ($+$) sert pour des cas disjoints (l'un
ou l'autre).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$12$]]>
Bonne réponse : les choix sont successifs et indépendants :
$3 \times 4 = 12$ menus (principe multiplicatif).]]>
$7$]]>
Erreur : $3 + 4$ compterait un choix ou l'autre
(principe additif, pour des cas disjoints). Ici on choisit
une entrée et un plat : on multiplie.]]>
$3^4$]]>
Erreur : $3^4 = 81$ compterait $4$ choix successifs parmi
$3$ options. Ici il n'y a que deux choix : un parmi $3$,
puis un parmi $4$.]]>
$4^3$]]>
Erreur : $4^3 = 64$ compterait $3$ choix successifs parmi
$4$ options. La situation n'a que deux étapes :
$3 \times 4$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q02 : Permutations
De combien de façons peut-on aligner $5$ livres distincts sur
une étagère ?]]>
Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est
$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$. Ici $5! = 120$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5! = 120$]]>
Bonne réponse : $5$ choix pour la première place, $4$ pour
la deuxième, etc. : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
= 120$ permutations.]]>
$5^5 = 3125$]]>
Erreur : $5^5$ autoriserait de replacer le même livre à
plusieurs endroits. Les livres étant tous placés une seule
fois, les choix diminuent à chaque étape : c'est $5!$.]]>
$25$]]>
Erreur : $5 \times 5$ ne modélise que deux étapes avec
remise. Un alignement complet en compte cinq, sans remise :
$5!$.]]>
$5$]]>
Erreur : $5$ est le nombre de choix pour la première
place seulement. Chaque place suivante multiplie encore les
possibilités.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q03 : $k$-uplets avec répétition
Combien existe-t-il de codes à $4$ chiffres (chaque chiffre
allant de $0$ à $9$) ?]]>
Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments (répétitions
autorisées) : $n^k$. Ici $10^4 = 10\,000$ codes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10^4 = 10\,000$]]>
Bonne réponse : $10$ choix pour chacune des $4$ positions,
répétitions permises : $10 \times 10 \times 10 \times 10 =
10^4$ ($4$-uplets d'un ensemble à $10$ éléments).]]>
$4^{10}$]]>
Exposant inversé : la base est le nombre d'options par
position ($10$), l'exposant le nombre de positions ($4$).
$4^{10}$ compterait des mots de $10$ lettres sur $4$
symboles.]]>
$10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$]]>
Erreur : ce calcul interdit les répétitions (chiffres tous
distincts). Or un code comme $7\,7\,2\,2$ est permis :
$10^4$.]]>
$40$]]>
Erreur : $10 \times 4$ ne correspond à aucun principe de
dénombrement ici. Les choix se multiplient position par
position : $10^4$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q04 : $k$-uplets d'éléments distincts
Huit coureurs disputent une finale. Combien y a-t-il de podiums
possibles (premier, deuxième, troisième) ?]]>
Nombre de $k$-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à
$n$ éléments : $n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)$.
Ici $8 \times 7 \times 6 = 336$ : l'ordre compte, pas de
répétition.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$336$]]>
Bonne réponse : les places sont ordonnées et un
coureur n'occupe qu'une place : $8$ choix pour l'or, $7$
pour l'argent, $6$ pour le bronze, soit $8 \times 7
\times 6 = 336$.]]>
$512$]]>
Erreur : $8^3 = 512$ autoriserait un même coureur sur
plusieurs marches. Les éléments doivent être
distincts : les choix décroissent, $8 \times 7
\times 6$.]]>
$56$]]>
Erreur : $\binom{8}{3} = 56$ ignore l'ordre, il
compterait les trios de médaillés sans distinguer or,
argent, bronze. Un podium est ordonné : $56 \times 3! =
336$.]]>
$24$]]>
Erreur : $24 = 3!$ est le nombre de façons d'ordonner un
trio déjà choisi. Il faut aussi choisir le trio parmi
les huit coureurs.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q05 : Choisir sans ordre
Combien de façons y a-t-il de choisir $3$ délégués parmi $8$
élèves (les trois rôles étant identiques) ?]]>
Une combinaison compte les parties à $k$ éléments d'un
ensemble à $n$ éléments : $\binom{n}{k} =
\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$. L'ordre du choix ne compte
pas. Ici $\binom{8}{3} = 56$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$56$]]>
Bonne réponse : les rôles étant interchangeables, seul le
groupe compte : c'est une combinaison,
$\binom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = 56$.]]>
$336$]]>
Erreur : $8 \times 7 \times 6$ compte les choix
ordonnés. Chaque groupe de $3$ y apparaît $3! = 6$
fois : il faut diviser, $336 / 6 = 56$.]]>
$112$]]>
Erreur : $\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3} = 112$ divise
par $3$ au lieu de $3! = 6$. Chaque groupe de trois
élèves apparaît $6$ fois parmi les $336$ choix ordonnés
(autant que d'ordres possibles), pas $3$ fois :
$\binom{8}{3} = 56$.]]>
$512$]]>
Erreur : $8^3$ compte des triplets avec répétition (un
élève cumulant plusieurs postes). On choisit ici une
partie à 3 éléments : $\binom{8}{3}$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q06 : Nombre de parties d'un ensemble
Combien un ensemble à $5$ éléments possède-t-il de parties
(sous-ensembles, y compris $\varnothing$ et lui-même) ?]]>
Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties : chaque élément est
indépendamment retenu ou écarté. C'est aussi
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2^5 = 32$]]>
Bonne réponse : pour chaque élément, deux possibilités
(dedans ou dehors), d'où $2 \times 2 \times 2 \times 2
\times 2 = 32$ parties.]]>
$5^2 = 25$]]>
Exposant et base inversés : c'est $2$ choix (présent ou
absent) répété $5$ fois, donc $2^5$, pas $5^2$.]]>
$5! = 120$]]>
Erreur : la factorielle compte les ordres (les
permutations). Une partie n'est pas ordonnée : $2^5 = 32$.]]>
$10$]]>
Erreur : $10 = \binom{5}{2}$ ne compte que les parties à
deux éléments. Il faut toutes les tailles, de $0$ à
$5$ : $32$ en tout.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q07 : Calculer $\dbinom{6}{2}$
Que vaut $\dbinom{6}{2}$ ?]]>
$\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$. Ici
$\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ : quinze paires possibles parmi
six éléments.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : $\binom{6}{2} = \dfrac{6 \times 5}{2!} =
\dfrac{30}{2} = 15$.]]>
$30$]]>
Oubli de la division par $2!$ : $6 \times 5 = 30$ compte
les couples ordonnés. Chaque paire y figure deux fois :
$30/2 = 15$.]]>
$12$]]>
Erreur : $6 \times 2 = 12$ n'est pas la formule. On
calcule $\dfrac{6 \times 5}{2} = 15$.]]>
$720$]]>
Erreur : $720 = 6!$ compte toutes les permutations de $6$
éléments, pas les paires. $\binom{6}{2} =
\dfrac{6!}{2!\,4!} = 15$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q08 : Utiliser la symétrie des combinaisons
Que vaut $\dbinom{10}{8}$ ?]]>
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, car choisir les
élus équivaut à choisir les exclus. Toujours basculer vers le
petit indice : $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$45$]]>
Bonne réponse : par symétrie $\binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}$ : choisir les $8$ retenus revient à choisir
les $2$ écartés. $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} =
\dfrac{10 \times 9}{2} = 45$.]]>
$90$]]>
Oubli de la division par $2!$ : $10 \times 9 = 90$ compte
les couples ordonnés d'écartés ; il faut diviser par $2$.]]>
$80$]]>
Erreur : $10 \times 8$ n'est pas une formule de
combinaison. Le raccourci est la symétrie :
$\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.]]>
$28$]]>
Symétrie mal appliquée : $\binom{8}{2} = 28$ remplace le
$10$ par $8$. La règle conserve le $n$ et remplace $k$
par $n - k$ : $\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q09 : Relation de Pascal
Quelle égalité constitue la relation de Pascal (pour
$0 \leq k \leq n - 1$) ?]]>
Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} =
\binom{n+1}{k+1}$. Interprétation combinatoire : pour choisir
$k+1$ objets parmi $n+1$, on sépare les choix contenant ou non
un objet fixé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$]]>
Bonne réponse : chaque coefficient du triangle de Pascal
est la somme des deux coefficients situés juste au-dessus
de lui.]]>
$\dbinom{n}{k} \times \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$]]>
Erreur : la relation est additive (une somme), pas
multiplicative. Teste : $\binom{2}{0} + \binom{2}{1} = 3 =
\binom{3}{1}$.]]>
$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n}{k+2}$]]>
Erreur : la somme fait passer à la ligne suivante du
triangle ($n+1$), pas deux cases plus loin sur la même
ligne.]]>
$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k} \times n$]]>
Erreur : ce n'est pas la relation de Pascal (et l'égalité
est fausse en général : $\binom{4}{2} = 6 \neq
\binom{3}{2} \times 4 = 12$).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q10 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Que vaut la somme
$\dbinom{5}{0} + \dbinom{5}{1} + \dbinom{5}{2} + \dbinom{5}{3}
+ \dbinom{5}{4} + \dbinom{5}{5}$ ?]]>
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$ : regrouper les parties d'un
ensemble à $n$ éléments par taille $k$ redonne le nombre total
de parties. Pour $n = 5$ : $1+5+10+10+5+1 = 32$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$32$]]>
Bonne réponse : $2^5 = 32$, car
$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$ (démonstration au
programme : on compte les parties d'un ensemble à $n$
éléments de deux façons).]]>
$25$]]>
Erreur : $5^2$ inverse base et exposant. La somme d'une
ligne du triangle de Pascal double à chaque ligne : c'est
$2^n$.]]>
$31$]]>
Presque : $31 = 2^5 - 1$ oublie un terme (souvent
$\binom{5}{0} = 1$, la partie vide). La somme complète vaut
$32$.]]>
$64$]]>
Erreur : $64 = 2^6$ est la somme de la ligne suivante
($n = 6$). Pour $n = 5$ : $2^5 = 32$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q11 : Mots binaires à nombre de « 1 » fixé
Combien existe-t-il de mots de longueur $6$ formés de $0$ et de
$1$ contenant exactement deux « 1 » ?]]>
Lien fondamental du programme : les mots de longueur $n$ sur
$\{0\,;\,1\}$ ayant exactement $k$ « 1 » sont au nombre de
$\binom{n}{k}$ (choix des positions). C'est le même comptage
que les chemins d'un arbre et les issues d'un schéma de
Bernoulli.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : un tel mot est entièrement déterminé par
le choix des $2$ positions des « 1 » parmi les $6$ :
$\binom{6}{2} = 15$.]]>
$64$]]>
Erreur : $2^6 = 64$ compte tous les mots de longueur
$6$, sans contrainte sur le nombre de « 1 ». La
contrainte réduit à $\binom{6}{2}$.]]>
$30$]]>
Erreur : $6 \times 5 = 30$ ordonne les deux positions
(première puis deuxième), comptant chaque mot deux fois.
Il faut diviser par $2$ : $15$.]]>
$12$]]>
Erreur : $6 \times 2$ ne modélise pas le choix des
positions. Le bon objet est une combinaison :
$\binom{6}{2} = 15$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q12 : Tirage simultané
On tire simultanément $2$ cartes dans un jeu de $32$
cartes. Combien y a-t-il de tirages possibles ?]]>
Traduire l'énoncé en modèle : « simultanément » signifie sans ordre, donc des combinaisons ; « successivement sans remise » = $k$-uplets
distincts ; « avec remise » = $k$-uplets quelconques ($n^k$).
Ici : $\binom{32}{2} = 496$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$496$]]>
Bonne réponse : « simultanément » signifie sans ordre :
on compte les paires, $\binom{32}{2} = \dfrac{32 \times
31}{2} = 496$.]]>
$992$]]>
Erreur : $32 \times 31 = 992$ compte les tirages
successifs sans remise (ordre retenu). En tirage
simultané, {as, roi} et {roi, as} sont le même tirage :
on divise par $2$.]]>
$1024$]]>
Erreur : $32^2 = 1024$ compte les tirages successifs
avec remise (la même carte pouvant sortir deux
fois), ce qui est impossible simultanément.]]>
$64$]]>
Erreur : $32 \times 2$ ne correspond à aucun principe de
comptage. Paires parmi $32$ : $\binom{32}{2} = 496$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q13 : La convention $0! = 1$
Que vaut $0!$ ?]]>
$0! = 1$ : le produit de zéro facteur vaut $1$ (élément
neutre de la multiplication). Indispensable pour
$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ : les cas extrêmes des
formules.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : convention cohérente : il y a exactement
une façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle
fait marcher toutes les formules ($\binom{n}{0} =
\frac{n!}{0!\,n!} = 1$).]]>
$0$]]>
Erreur : avec $0! = 0$, toutes les formules en
factorielle diviseraient par zéro : la convention
$0! = 1$ est justement choisie pour les sauver.]]>
Non défini]]>
Erreur : $0!$ est parfaitement défini, par convention
égale à $1$ : le produit vide vaut $1$ (comme une somme
vide vaut $0$).]]>
$-1$]]>
Erreur : une factorielle compte des façons d'ordonner :
jamais négative.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q14 : Les poignées de main
Huit personnes se serrent toutes la main une fois. Combien
de poignées de main sont échangées ?]]>
Choisir $2$ objets parmi $n$ sans ordre : $\binom{n}{2} =
\frac{n(n-1)}{2}$. Modèle des poignées de main, des matchs
d'un tournoi, des segments joignant $n$ points…]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$28$]]>
Bonne réponse : une poignée de main est une paire de
personnes, sans ordre : $\binom{8}{2} = \frac{8 \times
7}{2} = 28$.]]>
$56$]]>
Double comptage : $8 \times 7 = 56$ compte les paires
ordonnées (Alice-Bob et Bob-Alice), ce qui n'a pas
de sens pour une poignée de main : diviser par $2$.]]>
$64$]]>
Erreur : $8^2 = 64$ inclut les couples ordonnés ET les «
poignées avec soi-même » : la bonne structure est la
paire non ordonnée d'éléments distincts.]]>
$40\,320$]]>
Erreur : $8! = 40\,320$ ordonne les huit personnes en
file : rien à voir avec le choix de $2$ personnes parmi
$8$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q15 : Le podium
Dix coureurs disputent une course. Combien de podiums
(premier, deuxième, troisième) sont possibles ?]]>
Avec ordre et sans répétition, on compte des $k$-uplets d'éléments distincts :
$n(n-1)\cdots(n-k+1)$. La question à se poser d'abord :
l'ordre compte-t-il ? Oui → produit décroissant ; non →
combinaison.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$720$]]>
Bonne réponse : trois choix successifs sans répétition,
et l'ordre compte (or, argent, bronze) : $10 \times
9 \times 8 = 720$, un $3$-uplet d'éléments distincts.]]>
$120$]]>
Ordre perdu : $\binom{10}{3} = 120$ compte les
groupes de trois médaillés sans distinguer or,
argent, bronze : chaque groupe donne $3! = 6$ podiums,
$120 \times 6 = 720$.]]>
$1000$]]>
Répétition indue : $10^3 = 1000$ autorise le même
coureur aux trois places, impossible dans une course.]]>
$27$]]>
Erreur : $10 + 9 + 8 = 27$ additionne, or les choix
successifs se multiplient (principe multiplicatif).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q16 : Compter par le complémentaire
Combien de mots binaires de longueur $5$ contiennent au
moins un $1$ ?]]>
« Au moins un » = total moins « aucun » : un seul calcul au
lieu d'une somme de cinq termes ($\binom{5}{1} + \dots +
\binom{5}{5} = 31$, le contrôle). Réflexe valable tel quel
en probabilités.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$31$]]>
Bonne réponse : le total $2^5 = 32$ moins le seul mot
sans aucun $1$ ($00000$) : $2^5 - 1 = 31$. « Au moins un
» se compte presque toujours par le complémentaire.]]>
$32$]]>
Un mot de trop : $2^5 = 32$ compte tous les mots, dont
$00000$ qui ne contient aucun $1$ : il faut le retirer
du total.]]>
$5$]]>
Erreur : $5$ compte les mots avec exactement un $1$
($\binom{5}{1}$) : « au moins un » englobe un, deux…
jusqu'à cinq $1$.]]>
$16$]]>
Erreur : $2^4 = 16$, fixer un $1$ quelque part, ne
modélise pas « au moins un » (surcomptage et
sous-comptage mêlés). La voie sûre : total moins le cas
interdit.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q17 : Anagrammes de MATHS
Combien d'anagrammes (mots avec ou sans sens) peut-on former
avec les lettres du mot MATHS ?]]>
Permutation de $n$ objets distincts : $n!$. (Avec des
lettres répétées, on diviserait par les factorielles des
répétitions : hors programme, mais la question tombe avec
des lettres distinctes.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5! = 120$]]>
Bonne réponse : cinq lettres toutes distinctes à
ordonner : une permutation de $5$ objets, soit $5! =
120$.]]>
$5^5 = 3125$]]>
Répétition indue : $5^5$ autorise MMMMM : chaque lettre
ne peut servir qu'une fois : factorielle, pas puissance.]]>
$\dbinom{5}{5} = 1$]]>
Erreur : la combinaison choisit sans ordonner :
choisir les $5$ lettres parmi $5$, certes une façon,
mais l'anagramme est un ordre : $5!$.]]>
$5 \times 4 = 20$]]>
Arrêt prématuré : le produit continue jusqu'au bout :
$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q18 : Comité avec contrainte
Un groupe compte $5$ filles et $4$ garçons. Combien de
comités de $3$ personnes contiennent exactement $2$ filles ?]]>
Schéma « exactement $k$ de type A » : $\binom{|A|}{k} \times
\binom{|B|}{r-k}$ : combinaison dans chaque catégorie,
produit entre catégories. La structure exacte des questions
de loi hypergéométrique déguisée… et des sujets de bac.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$40$]]>
Bonne réponse : deux choix indépendants, les $2$ filles
parmi $5$ puis le garçon parmi $4$ : $\binom{5}{2}
\times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40$, le principe
multiplicatif assemble les deux.]]>
$84$]]>
Contrainte ignorée : $\binom{9}{3} = 84$ compte tous
les comités de $3$, y compris ceux à $0$, $1$ ou $3$
filles.]]>
$14$]]>
Addition au lieu de multiplication : $\binom{5}{2} +
\binom{4}{1} = 14$. On choisit les filles et le
garçon : étapes successives, donc produit (la somme
servirait pour des cas exclusifs).]]>
$10$]]>
Incomplet : $\binom{5}{2} = 10$ ne choisit que les
filles ; le comité a $3$ membres, il reste à choisir le
garçon ($4$ façons).]]>
Combinatoire et dénombrement — Q19 : Calculer $\dbinom{10}{3}$
Combien vaut $\dbinom{10}{3}$ ?]]>
Le coefficient $\dbinom{n}{k}$ compte les parties de $k$ éléments d'un
ensemble de $n$ éléments. Il vaut le nombre de listes ordonnées divisé par
$k!$, car l'ordre ne compte pas.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$120$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} =
\dfrac{720}{6}$.]]>
$720$]]>
Division oubliée : $720$ compte les tirages ordonnés de trois éléments
distincts, donc chaque groupe six fois.]]>
$30$]]>
Produit trop court : le numérateur comporte trois facteurs
décroissants, pas seulement $10 \times 3$.]]>
$1\,000$]]>
Tirages avec répétition : $10^3$ compte les listes ordonnées où un
élément peut revenir.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q20 : Au moins une fille
Dans un groupe de $12$ personnes dont $5$ filles, combien de comités
de $3$ personnes comptent au moins une fille ?]]>
Compter par le complémentaire évite de distinguer les cas « une fille »,
« deux filles » et « trois filles ». On retranche au total le nombre de
comités sans aucune fille.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$185$]]>
Bonne réponse : $\dbinom{12}{3} - \dbinom{7}{3} = 220 - 35$.]]>
$220$]]>
Total de tous les comités : il faut encore retirer ceux qui ne
comptent aucune fille.]]>
$35$]]>
Comités sans aucune fille : c'est précisément l'événement contraire.]]>
$105$]]>
Comités à exactement une fille : $5 \times \dbinom{7}{2}$ oublie ceux
qui en comptent deux ou trois.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q21 : Un code à quatre chiffres
Combien de codes de quatre chiffres peut-on former avec les chiffres
de $0$ à $9$, répétitions autorisées ?]]>
Quand les répétitions sont autorisées et l'ordre compte, le nombre de
listes de $k$ éléments choisis parmi $n$ vaut $n^k$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10\,000$]]>
Bonne réponse : quatre positions, dix possibilités chacune, soit
$10^4$.]]>
$5\,040$]]>
Répétitions interdites : $10 \times 9 \times 8 \times 7$ compte les
codes à chiffres tous distincts.]]>
$1\,000$]]>
Une position oubliée : $10^3$ compte les codes de trois chiffres, pas
de quatre.]]>
$210$]]>
Nombre de choix sans ordre : $\dbinom{10}{4}$ ignore que la position
des chiffres compte.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q22 : Une égalité entre coefficients
À quoi $\dbinom{15}{12}$ est-il égal ?]]>
La symétrie $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ traduit qu'une partie et son
complémentaire se correspondent. On l'utilise pour ramener le calcul au
plus petit des deux indices.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dbinom{15}{3}$]]>
Bonne réponse : choisir $12$ éléments revient à en écarter $3$, d'où
la symétrie $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$.]]>
$\dbinom{15}{12}$ n'a pas d'autre écriture]]>
La symétrie des coefficients binomiaux en donne toujours une seconde,
souvent plus simple à calculer.]]>
$\dbinom{12}{15}$]]>
Écriture impossible : on ne peut pas choisir $15$ éléments parmi $12$.]]>
$\dbinom{15}{12} \times \dbinom{15}{3}$]]>
Les deux coefficients sont égaux, ils ne se multiplient pas.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q23 : Ranger des livres
De combien de façons peut-on ranger $5$ livres distincts sur une
étagère ?]]>
Ranger $n$ objets distincts revient à compter les permutations, soit $n!$.
Chaque place réduit d'une unité le nombre de choix restants.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$120$]]>
Bonne réponse : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.]]>
$25$]]>
Produit erroné : $5^2$ ne correspond à aucun comptage de cette
situation.]]>
$10$]]>
Choix sans ordre : $\dbinom{5}{2}$ compterait des paires, alors qu'il
s'agit de ranger tous les livres.]]>
$3\,125$]]>
Répétitions autorisées : $5^5$ supposerait qu'un même livre puisse
occuper plusieurs places.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q24 : Partager un comptage en cas
Pour compter les comités de $3$ personnes comptant exactement une
fille parmi $5$ filles et $7$ garçons, que calcule-t-on ?]]>
Quand des choix s'enchaînent, leurs nombres se multiplient. Quand des cas
s'excluent, leurs nombres s'additionnent. Ici la fille et les garçons se
choisissent successivement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5 \times \dbinom{7}{2}$]]>
Bonne réponse : on choisit la fille, puis les deux garçons, et l'on
multiplie les deux comptages.]]>
$5 + \dbinom{7}{2}$]]>
Choix successifs additionnés : le principe multiplicatif s'applique
quand les choix se combinent.]]>
$\dbinom{12}{3}$]]>
Total de tous les comités, sans la contrainte sur le nombre de filles.]]>
$\dbinom{5}{1} \times \dbinom{7}{3}$]]>
Effectif du comité dépassé : une fille et trois garçons font quatre
personnes.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q25 : Somme d'une ligne du triangle de Pascal
Que vaut la somme $\dbinom{6}{0} + \dbinom{6}{1} + \dbinom{6}{2} +
\cdots + \dbinom{6}{6}$ ?]]>
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} = 2^n$ : on classe les
parties d'un ensemble à $n$ éléments selon leur nombre d'éléments.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$64$]]>
Bonne réponse : chaque terme compte les parties à $k$ éléments
d'un ensemble à $6$ éléments ; la somme les compte toutes, soit
$2^6$.]]>
$36$]]>
Erreur : $6^2$ ne compte pas les parties d'un ensemble.]]>
$21$]]>
Erreur : $21 = \dbinom{7}{2}$ n'est qu'un coefficient, pas la
somme d'une ligne.]]>
$720$]]>
Erreur : $6! = 720$ compte les permutations, pas les parties.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q26 : Simultané ou successif
Un tirage simultané de trois jetons dans une urne se compte avec quel
outil ?]]>
Un tirage simultané se compte par des combinaisons, un tirage successif
sans remise par des listes d'éléments distincts, et un tirage successif
avec remise par des puissances.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une combinaison]]>
Bonne réponse : la simultanéité supprime l'ordre, on compte donc des
parties.]]>
Une puissance]]>
Une puissance compte des listes avec répétition, impossibles dans un
tirage simultané.]]>
Une factorielle seule]]>
La factorielle compte les rangements de tous les éléments, pas le choix
de trois d'entre eux.]]>
Une somme de combinaisons]]>
Une seule combinaison suffit ici : la somme servirait à réunir des cas
disjoints.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q27 : Utiliser la relation de Pascal
À quoi $\dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4}$ est-il égal ?]]>
La relation de Pascal engendre le triangle du même nom : chaque coefficient
est la somme des deux situés juste au-dessus de lui.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dbinom{9}{4}$]]>
Bonne réponse : la relation de Pascal donne
$\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$.]]>
$\dbinom{16}{7}$]]>
Indices additionnés : la relation n'ajoute qu'une unité à chacun d'eux.]]>
$\dbinom{8}{7}$]]>
Indices du bas additionnés seulement : le nombre du haut augmente lui
aussi d'une unité.]]>
$\dbinom{9}{3}$]]>
Indice du bas mal choisi : c'est le plus grand des deux, augmenté de
rien, qui apparaît.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q28 : Podium sans ex aequo
Combien de podiums différents peut-on former avec $8$ coureurs ?]]>
Un podium est une liste de trois éléments distincts : le premier choix
offre huit possibilités, le deuxième sept, le troisième six.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$336$]]>
Bonne réponse : $8 \times 7 \times 6$, l'ordre des trois places
comptant.]]>
$56$]]>
Ordre ignoré : $\dbinom{8}{3}$ compte les trios sans distinguer les
places.]]>
$512$]]>
Répétitions autorisées : $8^3$ supposerait qu'un coureur puisse
occuper deux places.]]>
$40\,320$]]>
Classement complet : $8!$ ordonne les huit coureurs, pas seulement les
trois premiers.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q29 : Ce que change l'ordre
Quelle question faut-il se poser avant tout dénombrement ?]]>
Répondre à ces deux questions oriente vers l'outil : puissance si l'ordre
compte avec répétition, liste d'éléments distincts sans répétition,
combinaison si l'ordre ne compte pas.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles permises]]>
Bonne réponse : ces deux réponses déterminent entièrement l'outil à
utiliser.]]>
Les effectifs sont-ils pairs ou impairs]]>
La parité des effectifs n'intervient dans aucune des formules de
dénombrement.]]>
Le résultat sera-t-il un grand nombre]]>
L'ordre de grandeur du résultat ne dit rien de la méthode à employer.]]>
Les éléments sont-ils numérotés]]>
Les éléments d'un ensemble sont toujours supposés distincts, qu'ils
portent un numéro ou non.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q30 : Deux cartes de la même couleur
Dans un jeu de $32$ cartes réparties en quatre couleurs de $8$
cartes, combien y a-t-il de mains de deux cartes de même couleur ?]]>
On partage le comptage selon la couleur, quatre cas disjoints, et l'on
compte dans chacun les paires possibles. Les cas s'additionnent, d'où la
multiplication par quatre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$112$]]>
Bonne réponse : $4 \times \dbinom{8}{2} = 4 \times 28$.]]>
$28$]]>
Une seule couleur comptée : il reste à multiplier par les quatre
couleurs possibles.]]>
$496$]]>
Total de toutes les mains : $\dbinom{32}{2}$ ne tient pas compte de la
contrainte de couleur.]]>
$256$]]>
Ordre pris en compte : $4 \times 8 \times 8$ compterait deux fois
chaque main et autoriserait la même carte deux fois.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q31 : Choisir tous les éléments
Que vaut $\dbinom{12}{12}$ ?]]>
$\dbinom{n}{n} = 1$ et $\dbinom{n}{0} = 1$ : prendre tout le
monde, ou ne prendre personne, se fait d'une seule façon. Ces
deux cas extrêmes encadrent chaque ligne du triangle de Pascal.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$ : une seule façon de tout prendre]]>
Bonne réponse : il n'existe qu'une partie à $12$ éléments
dans un ensemble qui en compte $12$, l'ensemble tout
entier. La formule le confirme :
$\dfrac{12!}{12!\,0!} = 1$.]]>
$12$ : autant de choix que d'éléments]]>
Erreur : $12 = \dbinom{12}{1}$ compte les parties à un
élément. Ici les douze éléments sont tous retenus, ce qui
ne laisse aucune liberté.]]>
$0$ : aucun élément n'est écarté du tout]]>
Erreur : un coefficient binomial compte des parties, et il
en existe bien une, l'ensemble entier. Un coefficient nul
signifierait qu'aucun choix n'est possible.]]>
$12!$ : tous les ordres possibles comptent]]>
Erreur : une combinaison ne tient pas compte de l'ordre.
Les $12!$ rangements des douze éléments donnent tous la
même partie.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q32 : Les réglages d'un cadenas
Un cadenas comporte $4$ molettes, chacune portant $6$
symboles différents. Combien de réglages ce cadenas
permet-il ?]]>
Répétitions autorisées et ordre des positions imposé : on
compte des $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments, soit
$n^k$. Ici $6^{4} = 1296$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1296$]]>
Bonne réponse : chaque molette se règle indépendamment des
autres, avec $6$ possibilités à chaque fois :
$6^{4} = 1296$.]]>
$4096$]]>
Base et exposant inversés : la base est le nombre de
symboles par molette ($6$), l'exposant le nombre de
molettes ($4$), d'où $6^{4} = 1296$.]]>
$360$]]>
Répétitions interdites à tort : ce produit décroissant
suppose des symboles tous différents, alors que deux
molettes peuvent afficher le même.]]>
$24$]]>
Erreur : $6 \times 4$ n'est pas un principe de
dénombrement. Les molettes se combinent, donc leurs
nombres de positions se multiplient entre eux.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q33 : Des lettres toutes différentes
Combien de mots de $3$ lettres deux à deux différentes
peut-on écrire avec les $6$ premières lettres de
l'alphabet ?]]>
Ordre imposé et éléments deux à deux distincts : on compte des
listes de $k$ éléments distincts, soit
$n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)$. Ici $120$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$120$]]>
Bonne réponse : les positions sont ordonnées et aucune
lettre ne se répète, donc les choix décroissent d'une
unité à chaque place : le produit vaut $120$.]]>
$216$]]>
Répétitions indues : $6^{3}$ autoriserait deux fois la
même lettre, ce que l'énoncé interdit. Les choix
diminuent : $120$.]]>
$20$]]>
Ordre perdu : ce coefficient binomial compte les groupes
de lettres, sans distinguer leurs rangements. Or deux mots
d'ordres différents sont bien deux mots.]]>
$18$]]>
Erreur : $6 \times 3$ additionne des idées sans
rapport. Chaque place retire une lettre disponible, d'où
un produit de $3$ facteurs décroissants.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q34 : Nommer le nombre de parties
Comment nomme-t-on le nombre de parties à $k$ éléments d'un
ensemble à $n$ éléments ?]]>
$\dbinom{n}{k}$, le coefficient binomial, compte les parties à
$k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Vocabulaire à
distinguer des listes (ordonnées) et des puissances
(répétitions autorisées).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un coefficient binomial]]>
Bonne réponse : ce nombre se note $\dbinom{n}{k}$ et se lit
« $k$ parmi $n$ ». C'est aussi le coefficient qui apparaît
dans le triangle de Pascal.]]>
Une puissance $n^k$]]>
Erreur : une puissance $n^k$ compte des listes avec
répétition. Une partie n'est ni ordonnée ni répétitive.]]>
Une liste d'éléments distincts]]>
Erreur : une liste retient l'ordre des éléments, alors
qu'une partie ne le retient pas. Les deux comptages
diffèrent d'un facteur $k!$.]]>
Une factorielle d'ordre $k$]]>
Erreur : une factorielle compte les rangements d'un
ensemble, pas le choix d'une partie. Elle intervient au
dénominateur du coefficient binomial.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q35 : Une poignée de jetons
Un sac contient $10$ jetons de couleurs toutes différentes.
On en prélève $3$ en une seule fois. Combien de
prélèvements différents peut-on obtenir ?]]>
Traduire l'énoncé : en une seule fois (ou simultanément)
signifie sans ordre et sans répétition, donc
$\dbinom{n}{k}$. Un prélèvement un par un demanderait le
produit décroissant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$120$]]>
Bonne réponse : prélever en une seule fois, c'est choisir
une partie, sans ordre : $\dbinom{10}{3} = 120$.]]>
$720$]]>
Ordre retenu à tort : ce produit décroissant compte les
prélèvements un par un. Chaque poignée y figure $3!$
fois, d'où la division à faire.]]>
$1000$]]>
Répétitions indues : $10^{3}$ suppose que le même jeton
puisse sortir plusieurs fois, ce qui est impossible en un
seul prélèvement.]]>
$30$]]>
Erreur : $10 \times 3$ ne correspond à aucun modèle. Un
prélèvement d'un seul geste se compte par une combinaison.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q36 : Le troisième terme d'une ligne
Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang $n = 7$
commence par $1$ puis par $7$. Quel est son terme
suivant ?]]>
La ligne de rang $n$ du triangle de Pascal donne
$\dbinom{n}{0}$, $\dbinom{n}{1}$, $\dbinom{n}{2}$, etc. Son
troisième terme vaut donc $\dfrac{n(n-1)}{2} = 21$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$21$]]>
Bonne réponse : ce terme est $\dbinom{7}{2} =
\dfrac{7 \times 6}{2} = \dfrac{42}{2} =
21$.]]>
$42$]]>
Division oubliée : $42$ compte les couples
ordonnés. Chaque paire y apparaît deux fois, d'où
$\dbinom{7}{2} = 21$.]]>
$15$]]>
Ligne voisine : $15$ est le troisième terme de
la ligne de rang $7 - 1$. La relation de Pascal fait
passer de l'une à l'autre.]]>
$14$]]>
Erreur : doubler le rang ne produit aucun coefficient du
triangle. Le troisième terme d'une ligne est toujours
$\dbinom{n}{2}$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q37 : Anagrammes commençant par une lettre imposée
Les lettres du mot JEUX sont toutes différentes. Combien de
ses anagrammes (mots avec ou sans sens) commencent par la
lettre J ?]]>
Fixer la première lettre revient à permuter les autres :
il reste une permutation de $n - 1$ lettres, soit $(n-1)!$.
Contrôle : les familles selon la première lettre partagent
bien les $n!$ anagrammes en $n$ paquets égaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : la première place est imposée, il reste à
ranger librement les autres lettres, soit $6$
permutations.]]>
$24$]]>
Contrainte ignorée : $24$ compte toutes les
anagrammes. Celles qui commencent par J n'en sont
qu'une part.]]>
$12$]]>
Partage erroné : les anagrammes ne se répartissent pas en
deux familles, mais en autant de familles que de premières
lettres possibles.]]>
$2$]]>
Une lettre de trop bloquée : seule la première place est
imposée, les autres restent entièrement libres.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q38 : Une ligne privée de ses extrémités
Que vaut la somme des coefficients $\dbinom{4}{k}$ lorsque
$k$ parcourt les entiers de $1$ à $3$ ?]]>
$\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n$ compte toutes les parties
d'un ensemble à $n$ éléments. En écartant la partie vide et
l'ensemble entier, il reste $2^n - 2$ parties.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$14$]]>
Bonne réponse : la ligne entière vaut $2^{4} = 16$,
et l'on en retire les deux extrémités
$\dbinom{4}{0} = 1$ et $\dbinom{4}{4} = 1$.]]>
$16$]]>
Extrémités conservées : $2^{4} = 16$ est la somme
de la ligne complète, dont les deux $1$ du bord sont
ici exclus.]]>
$15$]]>
Un seul terme retiré : les deux extrémités valent $1$
chacune, il faut donc retrancher $2$ au total.]]>
$8$]]>
Ligne voisine : $2^{3} = 8$ est la somme de
la ligne précédente, pas celle de la ligne de rang $4$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q39 : Deux coefficients connus
On sait que $\dbinom{7}{2} = 21$ et que
$\dbinom{7}{3} = 35$. Que vaut $\dbinom{8}{3}$ ?]]>
Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} =
\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle permet de remplir le triangle de
proche en proche, sans aucun calcul de factorielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$56$]]>
Bonne réponse : la relation de Pascal donne
$\dbinom{7}{2} + \dbinom{7}{3} =
\dbinom{8}{3}$, soit $21 + 35 = 56$.]]>
$735$]]>
Relation multiplicative inventée : le triangle de Pascal
s'engendre par des sommes, chaque coefficient étant le
total des deux situés au-dessus.]]>
$14$]]>
Soustraction à la place de l'addition : on additionne les
deux coefficients de la ligne $7$ pour obtenir celui de
la ligne suivante.]]>
$35$]]>
Terme oublié : garder le plus grand des deux revient à
négliger $\dbinom{7}{2} = 21$, qui compte aussi dans
la somme.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q40 : Au moins deux filles dans l'équipe
Un atelier réunit $6$ filles et $3$ garçons. On y forme
une équipe de $3$ personnes. Combien d'équipes comptent au
moins deux filles ?]]>
« Au moins deux » se découpe en cas disjoints : exactement
deux, puis exactement trois. Dans chaque cas, les choix
successifs se multiplient ; entre les cas, les nombres
s'additionnent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$65$]]>
Bonne réponse : deux cas disjoints, deux filles et un
garçon ($45$ équipes), ou trois filles ($20$
équipes). Les cas s'excluent, donc les nombres
s'additionnent.]]>
$45$]]>
Un cas oublié : $45$ compte les équipes à exactement
deux filles. Les équipes entièrement féminines en
comptent aussi au moins deux.]]>
$84$]]>
Contrainte ignorée : $84$ compte toutes les équipes
de trois personnes, y compris celles qui ne comptent
aucune fille.]]>
$35$]]>
Produit oublié dans le premier cas : après avoir choisi
deux filles, il reste à choisir le garçon, ce qui multiplie
le nombre d'équipes par $3$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q41 : Les diagonales d'un polygone
Un polygone convexe possède $8$ sommets. Une diagonale
joint deux sommets non consécutifs. Combien ce polygone
a-t-il de diagonales ?]]>
On compte les paires de sommets, $\dbinom{n}{2}$, puis on
retire les $n$ paires de sommets consécutifs, qui donnent les
côtés. D'où $\dfrac{n(n-3)}{2}$ diagonales.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$20$]]>
Bonne réponse : les paires de sommets sont au nombre de
$\dbinom{8}{2} = 28$, dont $8$ sont des côtés :
il reste $28 - 8 = 20$ diagonales.]]>
$28$]]>
Côtés comptés : $\dbinom{8}{2} = 28$ compte toutes
les paires de sommets, or les $8$ paires de sommets
voisins forment les côtés, pas des diagonales.]]>
$40$]]>
Double comptage : de chaque sommet partent $8 - 3$
diagonales, mais chacune est alors comptée deux fois, une
par extrémité.]]>
$8$]]>
Erreur : $8$ est le nombre de côtés du polygone. Les
diagonales sont bien plus nombreuses dès que le nombre de
sommets dépasse quatre.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q42 : Une lettre imposée un nombre de fois
Combien de mots de $5$ lettres écrits avec l'alphabet
$\{A\,;\,B\,;\,C\}$ contiennent exactement $2$ fois la
lettre $A$ ?]]>
Deux étapes successives, donc un produit : choisir les places
de la lettre imposée, $\dbinom{n}{k}$, puis remplir les
$n - k$ places restantes avec les deux autres lettres,
$2^{n-k}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$80$]]>
Bonne réponse : on choisit les $2$ places du $A$
($10$ façons), puis on remplit les autres avec
$B$ ou $C$ ($8$ façons) : $10 \times
8 = 80$.]]>
$10$]]>
Deuxième étape oubliée : $10$ ne place que les
lettres $A$. Les places restantes admettent encore deux
lettres chacune.]]>
$8$]]>
Première étape oubliée : $8$ remplit les places
libres, mais il faut d'abord décider où se trouvent
les lettres $A$.]]>
$243$]]>
Contrainte ignorée : $3^{5} = 243$ compte tous les
mots de $5$ lettres, sans condition sur le nombre de
$A$.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q43 : Simplifier un quotient de factorielles
Que vaut $\dfrac{8!}{6!}$ ?]]>
$\dfrac{n!}{(n-2)!} = n \times (n-1)$ : le dénominateur
annule tous les facteurs de $1$ à $n-2$. Cette simplification
est celle qui donne $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$56$]]>
Bonne réponse : tous les facteurs jusqu'à $6$ se
simplifient, et il reste les deux plus grands :
$8 \times 7 = 56$.]]>
$336$]]>
Un facteur de trop : la simplification laisse les facteurs
strictement supérieurs à $6$, c'est-à-dire deux
facteurs seulement.]]>
$64$]]>
Erreur : les facteurs restants sont consécutifs, ils ne
sont pas égaux. Le second vaut $8 - 1$, pas $8$.]]>
$16$]]>
Erreur : la factorielle du dénominateur ne se soustrait
pas au numérateur. Un quotient de factorielles se
simplifie facteur par facteur.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q44 : Des trajets en deux étapes
Entre les villes $A$ et $B$ passent $4$ routes, et entre
$B$ et $C$ il en passe $3$. Combien de trajets de $A$ à
$C$ traversent la ville $B$ ?]]>
Principe multiplicatif : deux étapes offrant $n_1$ puis $n_2$
possibilités donnent $n_1 \times n_2$ parcours complets. Le
principe additif, lui, sert à réunir des cas disjoints.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$12$]]>
Bonne réponse : chaque route de la première étape se
prolonge par chacune de la seconde :
$4 \times 3 = 12$ trajets.]]>
$7$]]>
Principe additif employé à tort : la somme compterait un
trajet ou l'autre. Ici les deux étapes se parcourent
l'une après l'autre, donc on multiplie.]]>
$16$]]>
Erreur : la première étape a été multipliée par elle-même.
Ce sont les deux nombres de routes qui se multiplient
entre eux.]]>
$24$]]>
Aller et retour comptés : l'énoncé ne demande que les
trajets de $A$ vers $C$, à parcourir une seule fois.]]>
Combinatoire et dénombrement — Q45 : Remonter des parties à l'effectif
Un ensemble possède exactement $64$ parties. Combien
compte-t-il d'éléments ?]]>
Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties. Retrouver
l'effectif revient donc à reconnaître $64$ comme une
puissance de $2$ : ici $64 = 2^{6}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : le nombre de parties vaut $2^n$, et
$2^{6} = 64$. L'ensemble compte donc $6$ éléments.]]>
$32$]]>
Erreur : $32$ est le nombre de parties d'un ensemble
ayant un élément de moins. C'est l'exposant qu'il faut
lire, pas la moitié du total.]]>
$12$]]>
Erreur : doubler l'effectif élèverait le nombre de parties
au carré. L'égalité à résoudre est $2^n = 64$.]]>
$36$]]>
Erreur : le nombre de parties n'est pas le carré de
l'effectif, mais $2$ élevé à la puissance de l'effectif.]]>