$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Dérivation et convexité Dérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée
$e^{u}$), tangente, lien signe de la dérivée / variations,
convexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,
points d'inflexion, inégalités de convexité.

]]> Dérivation et convexité — Q01 : Dérivée de $x^3$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = x^3$ ?

]]> Formule $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ : l'exposant descend en facteur et
diminue de $1$. Donc $(x^3)' = 3x^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 3x^2$

]]> Bonne réponse : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$, ici $n = 3$ donne
$3x^2$.

]]> $f'(x) = x^2$

]]> Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.
$(x^3)' = 3x^2$, pas $x^2$.

]]> $f'(x) = 3x^3$

]]> Erreur : l'exposant doit diminuer de $1$. On multiplie
par $3$ puis on passe à $x^2$.

]]> $f'(x) = \dfrac{x^4}{4}$

]]> Erreur de sens : $\dfrac{x^4}{4}$ est une primitive de
$x^3$, c'est l'opération inverse de la dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q02 : Équation de la tangente Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?

]]> Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Elle passe par
$(a\,;\,f(a))$ et a pour coefficient directeur le nombre dérivé
$f'(a)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

]]> Bonne réponse : droite de pente $f'(a)$ passant par le point
$(a\,;\,f(a))$.

]]> $y = f(a)(x - a) + f'(a)$

]]> Erreur d'échange : la pente est le nombre dérivé
$f'(a)$, et le point de passage a pour ordonnée $f(a)$, pas
l'inverse.

]]> $y = f'(a)\,x + f(a)$

]]> Erreur : il manque le décalage $-a$. Cette droite passe par
$(0\,;\,f(a))$ et non par le point de tangence
$(a\,;\,f(a))$ (sauf si $a = 0$).

]]> $y = f'(x)(x - a) + f(a)$

]]> Erreur : la pente d'une tangente est un nombre, $f'(a)$,
évalué au point de tangence. Avec $f'(x)$, l'équation ne
décrit plus une droite.

]]> Dérivation et convexité — Q03 : Dérivée d'un produit Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit $uv$ ?

]]> Règle du produit : $(uv)' = u'v + uv'$. À distinguer de la somme
($(u+v)' = u' + v'$) et du quotient
($\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(uv)' = u'v + uv'$

]]> Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,
l'autre restant intact, puis on additionne.

]]> $(uv)' = u'v'$

]]> Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est
pas le produit des dérivées. Contre-exemple :
$(x \cdot x)' = 2x$ alors que $x' \cdot x' = 1$.

]]> $(uv)' = u'v - uv'$

]]> Erreur de signe : le moins apparaît dans la dérivée d'un
quotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit.

]]> $(uv)' = u' + v'$

]]> Erreur : $u' + v'$ est la dérivée de la somme $u + v$.
Le produit suit la règle $u'v + uv'$.

]]> Dérivation et convexité — Q04 : Dérivée de $e^{@k@x}$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = e^{2x}$ ?

]]> $(e^{u})' = u'\,e^{u}$. Avec $u(x) = 2x$ :
$f'(x) = 2\,e^{2x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 2\,e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ avec $u(x) = 2x$ et
$u'(x) = 2$.

]]> $f'(x) = e^{2x}$

]]> Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.
Pour $e^{2x}$, la dérivation fait sortir le facteur $2$.

]]> $f'(x) = 2\,e^{x}$

]]> Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde
$e^{2x}$ et on multiplie par $u' = 2$.

]]> $f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}$

]]> Erreur : tu as appliqué la règle des puissances
$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est
en exposant : la règle est $(e^u)' = u'e^u$.

]]> Dérivation et convexité — Q05 : Du signe de $f'$ aux variations Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec
$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?

]]> $f'(x) = (x-2)(x+1)$ est négatif exactement entre ses racines
$-1$ et $2$ (trinôme à coefficient dominant positif). Donc $f$
est décroissante sur $[-1\,;\,2]$ et croissante ailleurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : $f'$ est un trinôme de racines $-1$ et $2$
avec coefficient dominant positif : $f' < 0$ entre ses
racines, donc $f$ décroît sur $[-1\,;\,2]$.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-1]$

]]> Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et
leur produit est positif : $f$ y est croissante.

]]> Sur $[2\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : pour $x > 2$, les deux facteurs sont positifs,
donc $f' > 0$ et $f$ croît.

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif

]]> Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive ici pour
$-1 < x < 2$.

]]> Dérivation et convexité — Q06 : Convexité et dérivée seconde Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle
condition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?

]]> Hiérarchie à retenir : le signe de $f$ dit où est la courbe, le
signe de $f'$ dit si elle monte, le signe de $f''$ dit comment
elle tourne : $f'' \geq 0$ sur $I$ $\Leftrightarrow$ $f$ convexe
sur $I$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Bonne réponse : $f$ convexe sur $I$ équivaut à $f''$ positive
sur $I$ (c'est-à-dire $f'$ croissante).

]]> $f''(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : $f'' \leq 0$ caractérise la concavité. Moyen
mémo : la parabole $x^2$ est convexe et $(x^2)'' = 2 > 0$.

]]> $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : $f' \geq 0$ donne la croissance, pas la
convexité. Une fonction peut être décroissante et convexe
(comme $e^{-x}$).

]]> $f(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Erreur : le signe de $f$ elle-même n'a aucun lien avec sa
forme. La convexité parle de la courbure, lue sur $f''$.

]]> Dérivation et convexité — Q07 : Point d'inflexion Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?

]]> Point d'inflexion $\Leftrightarrow$ changement de convexité
$\Leftrightarrow$ $f''$ change de signe. L'annulation seule de
$f''$ ne suffit pas ($x^4$ en $0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe

]]> Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure
(convexe/concave), donc un changement de signe de $f''$.

]]> Que $f''(a) = 0$, sans autre condition

]]> Piège classique : pour $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais
$f'' = 12x^2 \geq 0$ ne change pas de signe : pas
d'inflexion en $0$, la courbe reste convexe.

]]> Que $f'(a) = 0$ et que $f''(a) = 0$ simultanément

]]> Erreur : $f'(a) = 0$ n'est pas requis (la tangente en un
point d'inflexion peut être oblique), et $f''(a) = 0$ ne
suffit pas sans changement de signe ($x^4$ en $0$).

]]> Que la tangente en $a$ soit horizontale

]]> Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point
d'inflexion, la tangente traverse la courbe, qu'elle
soit horizontale ou non.

]]> Dérivation et convexité — Q08 : Lire la convexité sur une courbe Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite de 0.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$
définie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$
est-elle convexe ?

]]> Graphiquement, $f$ est convexe là où sa courbe est tournée vers
le haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.
Par le calcul : $f''(x) = 6x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »
(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses
tangentes. Par le calcul : $f''(x) = 6x \geq 0$ pour
$x \geq 0$.

]]> Sur $]-\infty\,;\,0]$

]]> Erreur : à gauche de $0$ la courbe est bombée vers le haut,
sous ses tangentes : c'est la partie concave
($f''(x) = 6x \leq 0$).

]]> Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Erreur : $-1$ et $1$ sont les abscisses des extremums
locaux (lus sur $f'$), pas des changements de courbure. La
courbure change en $0$.

]]> Nulle part : la fonction n'est pas convexe

]]> Erreur : la convexité se juge par intervalle. Cette
courbe est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ puis convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$.

]]> Dérivation et convexité — Q09 : Lire un point d'inflexion Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte jusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum local (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée vers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite de 0.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente
$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?

]]> $f''(x) = 6x$ s'annule en $0$ en changeant de signe :
l'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses $-1$ et
$1$ correspondent aux extremums (signe de $f'$), un autre étage
de lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse $0$ uniquement

]]> Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en
$x = 0$ ($f''(x) = 6x$ s'y annule en changeant de signe).

]]> Aux points d'abscisses $-1$ et $1$

]]> Confusion classique : $-1$ et $1$ sont les extremums
locaux (annulation de $f'$). L'inflexion concerne $f''$,
qui change de signe en $0$.

]]> Au point d'abscisse $1$ uniquement

]]> Erreur : en $x = 1$ la fonction atteint un minimum local ;
la courbe y reste convexe, sans changement de courbure.

]]> Elle n'en admet aucun

]]> Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :
bombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La
tangente en $0$ traverse la courbe.

]]> Dérivation et convexité — Q10 : Position par rapport aux tangentes Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur $I$ ?

]]> Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes
ses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,
c'est l'inverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la
convexité pour une fonction dérivable.

]]> En dessous de chacune de ses tangentes

]]> Erreur : c'est la propriété des fonctions concaves.
Pense à $x^2$ : sa parabole domine toutes ses tangentes.

]]> Elle traverse chacune de ses tangentes

]]> Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un
point d'inflexion, impossible au sein d'un intervalle de
stricte convexité.

]]> Au-dessus de ses sécantes

]]> Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses
tangentes mais en dessous de ses cordes (sécantes) :
les deux se répondent.

]]> Dérivation et convexité — Q11 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \geq 1 + x$ ?

]]> $y = 1 + x$ est la tangente en $0$ à la courbe de $\exp$
(pente $e^0 = 1$, point $(0\,;\,1)$). Comme $\exp$ est convexe
($(e^x)'' = e^x > 0$), sa courbe est au-dessus de cette tangente
partout : $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x$, avec égalité en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est vraie pour tout réel $x$

]]> Bonne réponse : $y = 1 + x$ est la tangente à la courbe
de l'exponentielle au point $(0\,;\,1)$, et $\exp$ est
convexe sur $\mathbb{R}$ : sa courbe domine toutes ses
tangentes.

]]> Elle est vraie uniquement pour $x \geq 0$

]]> Erreur : teste $x = -2$ : $e^{-2} \approx 0{,}14$ et
$1 + (-2) = -1$. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,
et en fait partout par convexité.

]]> Elle est fausse, c'est $e^x \leq 1 + x$ qui est vraie

]]> Erreur de sens : en $x = 1$, $e \approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1$.
La courbe convexe est au-dessus de sa tangente.

]]> Elle est vraie seulement au voisinage de $0$

]]> Erreur : la tangence a lieu en $0$ (égalité), mais la
convexité de $\exp$ rend l'inégalité globale, valable
sur tout $\mathbb{R}$.

]]> Dérivation et convexité — Q12 : Le piège de $f'(a) = 0$ Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.
La fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en
$a$ ?

]]> $f'(a) = 0$ est nécessaire mais pas suffisant pour un
extremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :
$f'$ change de signe en $a$. Contre-exemple canonique :
$f(x) = x^3$ en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans
extremum

]]> Bonne réponse : $x^3$ est strictement croissante sur
$\mathbb{R}$, sa tangente horizontale en $0$ n'y crée aucun
extremum. Il faut que $f'$ change de signe en $a$.

]]> Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux

]]> Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée
par la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,
comme $x^3$ en $0$).

]]> Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable

]]> Erreur : $x^3$ est indéfiniment dérivable et fournit quand
même le contre-exemple : $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, aucun
extremum.

]]> Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion

]]> Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est
fausse. $f'(a) = 0$ ne dit rien de la courbure : pour $x^2$
en $0$, c'est un vrai minimum, pas une inflexion.

]]> Dérivation et convexité — Q13 : Dérivée de $\dfrac{1}{u}$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ ?

]]> $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$. Réflexe de
contrôle : $f$ est croissante là où $u$ décroît, le signe de
$f'$ doit être opposé à celui de $u'$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

]]> Bonne réponse : $\left(\frac{1}{u}\right)' =
-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$

]]> Erreur : dériver « chaque étage » séparément n'est pas
une règle : l'inverse se dérive en $-\frac{u'}{u^2}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

]]> Signe oublié : la formule porte un moins :
$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ (l'inverse
décroît quand $u$ croît).

]]> $f'(x) = -\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$

]]> $u'$ oublié : le numérateur est $-u' = -2x$, pas $-1$
(la dérivée de l'étage intérieur compte).

]]> Dérivation et convexité — Q14 : Dérivée d'un quotient Quelle est la formule de la dérivée du quotient
$\dfrac{u}{v}$ ?

]]> $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Moyen mnémotechnique : « dérivée du haut fois bas, moins
haut fois dérivée du bas, sur bas au carré ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

]]> Bonne réponse : numérateur antisymétrique ($u'v - uv'$),
dénominateur au carré. L'ordre des termes compte à cause
du moins.

]]> $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$

]]> Erreur classique : le quotient des dérivées n'est pas la
dérivée du quotient (testez avec $u = x^2$, $v = x$ :
$\frac{u}{v} = x$ donne $1$, mais $\frac{u'}{v'} = 2x$).

]]> $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{uv' - u'v}{v^2}$

]]> Ordre inversé : le numérateur commence par $u'v$
(dérivée du haut en premier). L'inversion change le
signe du résultat.

]]> $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v}$

]]> Dénominateur : c'est $v^2$, pas $v$ (le quotient se voit
comme $u \times \frac{1}{v}$, et $\frac{1}{v}$ apporte
un $v^2$).

]]> Dérivation et convexité — Q15 : Définition du nombre dérivé Le nombre dérivé $f'(a)$ est défini comme une limite.
Laquelle ?

]]> $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : la
définition fonde tout le chapitre : chaque formule de
dérivation s'en déduit, et c'est elle qu'on utilise quand la
fonction n'est pas « standard » ($|x|$ en $0$…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

]]> Bonne réponse : limite du taux d'accroissement entre $a$
et $a + h$ : la pente de la sécante qui devient pente de
la tangente.

]]> $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{a}$

]]> Erreur : le dénominateur est l'accroissement $h$ de la
variable, pas $a$. Diviser par $a$ ne donne pas une
pente, et la limite vaudrait $0$.

]]> $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) + f(a)}{h}$

]]> Signe : le taux d'accroissement mesure une
différence $f(a+h) - f(a)$ ; avec un $+$, la limite
explose au lieu de donner la pente.

]]> $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a) - f(a+h)}{h}$

]]> Signe : $\dfrac{f(a) - f(a+h)}{h}$ est l'opposé du taux
d'accroissement ; sa limite vaut $-f'(a)$.

]]> Dérivation et convexité — Q16 : Dérivée de $\sqrt{u}$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$ ?

]]> $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ : cas particulier de
la dérivation des composées, à automatiser. Ici le domaine
ne pose aucun problème : $x^2 + 9 > 0$ partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$

]]> Bonne réponse : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} =
\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}$, et le $2$ se simplifie.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}$

]]> $u'$ oublié : la formule est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ ; le
$u' = 2x$ au numérateur est indispensable (dérivation en
chaîne).

]]> $f'(x) = \sqrt{2x}$

]]> Erreur : on ne dérive pas « sous la racine » en laissant
la racine : la structure composée impose
$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 9}}$

]]> Facteur $2$ : le dénominateur porte un $2$
($2\sqrt{u}$) qui simplifie le $2$ de $u' = 2x$ :
résultat $\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.

]]> Dérivation et convexité — Q17 : Dérivée de $u^n$ Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?

]]> $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$ : le réflexe en trois temps :
l'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée
de l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on
oublie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 6(2x + 1)^2$

]]> Bonne réponse : $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$ avec $u = 2x +
1$ : $3(2x+1)^2 \times 2 = 6(2x+1)^2$.

]]> $f'(x) = 3(2x + 1)^2$

]]> $u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 2$ de la
dérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais
$2x + 1$.

]]> $f'(x) = (2)^3 = 8$

]]> Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne
correspond à aucune règle : la puissance se dérive en
$n\,u^{n-1}u'$.

]]> $f'(x) = 3(2x + 1)^3$

]]> Exposant : la puissance descend d'un cran ($n - 1 =
2$), et le facteur $u' = 2$ s'ajoute : $6(2x+1)^2$.

]]> Dérivation et convexité — Q18 : Condition d'extremum local $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(2) = 0$. À quelle
condition $f$ admet-elle un extremum local en $2$ ?

]]> Extremum local : $f'$ s'annule en changeant de signe.
Tableau de variations obligatoire : la seule annulation de
$f'$ ne dit rien ($x^3$ : le contre-exemple à toujours avoir
en tête).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que $f'$ change de signe en $2$

]]> Bonne réponse : $f'(2) = 0$ est nécessaire mais pas
suffisant ($x^3$ en $0$ : dérivée nulle, pas
d'extremum). Il faut de plus le changement de signe de
$f'$ (+/− ou −/+), qui garantit le sommet ou le creux.

]]> Aucune, $f'(2) = 0$ suffit toujours

]]> Contre-exemple : $f(x) = (x - 2)^3$ : $f'(2) = 0$ mais
$f$ est strictement croissante : simple « palier », pas
d'extremum.

]]> Que $f(2) = 0$ de surcroît

]]> Confusion : la valeur de $f$ n'a rien à voir : un
extremum peut valoir $7$ ou $-3$ ; c'est le comportement
de $f'$ autour de $2$ qui décide.

]]> Que $f''(2) = 0$ de surcroît

]]> À l'envers : $f''(2) = 0$ suggérerait plutôt une
inflexion ; c'est $f''(2) \neq 0$ qui, combiné à
$f'(2) = 0$, assure l'extremum.

]]> Dérivation et convexité — Q19 : Calculer une dérivée seconde Soit $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x$. Que vaut $f''(x)$ ?

]]> $f'' = (f')'$ : dériver deux fois, ni plus ni moins. C'est
l'outil du chapitre : le signe de $f''$ donne la convexité,
ses annulations avec changement de signe donnent les points
d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''(x) = 12x^2 - 12x$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$, puis on
dérive à nouveau : $f''(x) = 12x^2 - 12x$.

]]> $f''(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$

]]> Arrêt prématuré : c'est $f'$, la dérivée première.
La seconde exige une deuxième dérivation.

]]> $f''(x) = 12x^2 - 12x + 5$

]]> Constante fantôme : la dérivée de la constante $5$ est
$0$ : elle disparaît à la deuxième dérivation.

]]> $f''(x) = 24x - 12$

]]> Une dérivation de trop : $24x - 12$ est $f'''(x)$, la
dérivée troisième.

]]> Dérivation et convexité — Q20 : Continue mais non dérivable La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$. Est-elle
dérivable en $0$ ?

]]> Dérivable $\Rightarrow$ continue, jamais l'inverse : $|x|$
est continue partout mais son angle en $0$ interdit la
tangente. Graphiquement : une fonction dérivable a une courbe « lisse », sans angle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, les pentes à gauche et à droite diffèrent

]]> Bonne réponse : le taux d'accroissement vaut $-1$ à
gauche et $+1$ à droite, pas de limite unique. La courbe
forme un angle : deux demi-tangentes de pentes
différentes, donc pas de tangente unique, pas de nombre
dérivé.

]]> Oui, avec $f'(0) = 0$ par symétrie de la courbe

]]> Erreur : la symétrie ne crée pas la dérivabilité : le
taux $\frac{|h|}{h}$ saute de $-1$ à $+1$, aucune limite
en $0$.

]]> Oui : toute fonction continue est dérivable

]]> Implication à l'envers : dérivable $\Rightarrow$
continue, mais continue $\not\Rightarrow$ dérivable :
$|x|$ est LE contre-exemple.

]]> Non, car $f$ n'est en réalité pas continue en $0$

]]> Diagnostic faux : $f$ est continue en $0$
($|x| \to 0$). C'est la dérivabilité, plus exigeante,
qui échoue.

]]> Dérivation et convexité — Q21 : Trouver un point d'inflexion par le calcul Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$. En quel point la courbe de
$f$ admet-elle un point d'inflexion ?

]]> Méthode : calculer $f''$, chercher ses annulations avec
changement de signe. Ici $f''(x) = 6(x - 2)$ : inflexion
en $x = 2$ : le centre de symétrie de la cubique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse $2$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2 - 12x + 5$, $f''(x) = 6x -
12$ s'annule en changeant de signe en $x = 2$ : négatif
avant, positif après, la courbe passe de concave à
convexe.

]]> Aux points où $f'(x) = 0$

]]> Confusion dérivée première/seconde : $f' = 0$ donne les
candidats extremums ; l'inflexion se lit sur $f''$.

]]> Au point d'abscisse $6$

]]> Erreur de résolution : $6x - 12 = 0 \iff x = 2$, pas
$x = 6$ (division par $6$, pas soustraction).

]]> Il n'y en a pas : un polynôme n'a pas d'inflexion

]]> Faux : tout polynôme de degré $3$ a exactement un point
d'inflexion (sa dérivée seconde est affine et change de
signe).

]]> Dérivation et convexité — Q22 : Convexité de l'exponentielle Pourquoi la fonction exponentielle est-elle convexe sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Trois propriétés indépendantes : signe de $f$ (position par
rapport à l'axe), signe de $f'$ (variations), signe de $f''$
(convexité). L'exponentielle cumule les trois, mais chaque
propriété a son propre critère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que $(e^x)'' = e^x > 0$ pour tout $x$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée
seconde, toujours strictement positive : convexité sur
tout $\mathbb{R}$, d'où l'inégalité de tangente $e^x
\geq 1 + x$.

]]> Parce qu'elle est croissante

]]> Croissance $\neq$ convexité : $\sqrt{x}$ est croissante
et concave. La convexité se lit sur $f''$ (ou la
croissance de $f'$), pas sur $f' > 0$.

]]> Parce qu'elle est positive

]]> Positivité $\neq$ convexité : $x \mapsto 4 - x^2$
est positive sur $[-2\ ;\ 2]$ et concave. Le signe de
$f$ ne dit rien sur sa courbure.

]]> Elle n'est convexe que sur $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : $e^x > 0$ pour tout $x$, négatifs compris :
la convexité couvre tout $\mathbb{R}$.

]]> Dérivation et convexité — Q23 : Optimisation d'une aire Avec $20$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En
notant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(10 -
x)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?

]]> Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une
variable, dériver, tableau de variations, conclure. À
périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :
résultat à retenir comme contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$

]]> Bonne réponse : $A'(x) = 10 - 2x$, positive avant $5$,
négative après : maximum en $x = 5$, donc un carré de
côté $5$ et une aire maximale $A(5) = 25$ m².

]]> $x = 10$

]]> Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(10)
= 10 \times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser
une dimension ne maximise pas l'aire.

]]> $x = 2{,}5$

]]> Erreur : $A'(x) = 10 - 2x$ s'annule en $x = 5$, pas en
$2{,}5$ (attention à ne pas diviser $10$ par $4$).

]]> Aucune, l'aire croît avec $x$

]]> Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit
l'autre côté ($10 - x$). Le tableau de variations montre
la bosse en $x = 5$.

]]> Dérivation et convexité — Q24 : Convexité et croissance de $f'$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Quelle caractérisation
de la convexité de $f$ est correcte ?

]]> Trois formulations équivalentes de la convexité (pour $f$
dérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes ; $f'$
croissante ; $f'' \geq 0$ (si $f''$ existe). Savoir passer
de l'une à l'autre est exactement ce que demandent les
sujets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante

]]> Bonne réponse : convexe signifie que les pentes des tangentes augmentent, c'est-à-dire que $f'$ est croissante. La version $f'' \geq
0$ n'en est que la traduction quand $f''$ existe.

]]> $f$ est convexe si et seulement si $f$ est croissante

]]> Confusion : $e^{-x}$ est décroissante et convexe.
La convexité porte sur la croissance de $f'$, pas de
$f$.

]]> $f$ est convexe si et seulement si $f' \geq 0$

]]> Erreur : $f' \geq 0$ signifie $f$ croissante. Pour la
convexité, c'est $f'$ croissante ($f'' \geq 0$)
qu'il faut.

]]> $f$ est convexe si et seulement si $f$ est positive

]]> Sans rapport : $x^2 - 10$ est convexe et souvent
négative ; le signe de $f$ ne décrit que la position par
rapport à l'axe des abscisses.

]]> Dérivation et convexité — Q25 : Dérivée d'une composée avec exponentielle Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ ?

]]> La dérivée de $e^u$ vaut $u'e^u$. L'exponentielle se reproduit
elle-même, multipliée par la dérivée de son exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x\,e^{x^2}$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $e^u$ vaut $u'e^u$, avec ici
$u(x) = x^2$.

]]> $e^{x^2}$

]]> Facteur oublié : la dérivée de l'exposant apparaît en facteur dès que
celui-ci n'est pas $x$.

]]> $e^{2x}$

]]> Exposant dérivé à tort : la dérivation ne modifie pas l'exposant, elle
fait apparaître sa dérivée en facteur.

]]> $2x\,e^{2x}$

]]> Deux erreurs cumulées : l'exposant reste $x^2$ et seul le facteur
change.

]]> Dérivation et convexité — Q26 : Position d'une courbe convexe Une fonction est convexe sur un intervalle. Où se situe sa courbe par
rapport à ses tangentes ?

]]> Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes,
une fonction concave en dessous. La dérivée seconde permet de trancher par
le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune d'elles

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la convexité,
d'où l'inégalité $e^x \geq 1 + x$.

]]> En dessous de chacune d'elles

]]> C'est le cas d'une fonction concave, comme le logarithme népérien.

]]> Au-dessus de certaines, en dessous d'autres

]]> Un tel changement caractériserait un point d'inflexion, donc une perte
de convexité.

]]> Confondue avec chacune d'elles

]]> Seule une fonction affine coïncide avec ses tangentes, et elle n'est
ni strictement convexe ni strictement concave.

]]> Dérivation et convexité — Q27 : Un point d'inflexion par le calcul La dérivée seconde de $f$ s'annule en $2$ en changeant de signe.
Que peut-on affirmer ?

]]> Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce
qui correspond à un changement de signe de la dérivée seconde.
L'annulation seule ne suffit pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe admet un point d'inflexion en $2$

]]> Bonne réponse : le changement de signe de $f''$ traduit le passage de
la convexité à la concavité, ou l'inverse.

]]> La fonction admet un extremum en $2$

]]> Un extremum viendrait d'un changement de signe de $f'$, pas de
$f''$.

]]> La tangente en $2$ est horizontale

]]> Rien ne l'impose : un point d'inflexion peut avoir une tangente de
pente quelconque.

]]> La fonction est convexe autour de $2$

]]> Elle l'est d'un côté seulement, puisque la dérivée seconde change de
signe.

]]> Dérivation et convexité — Q28 : Dérivée de $\ln u$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(3x + 1)$ sur
$\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$ ?

]]> La dérivée de $\ln u$ vaut $\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où $u$ est
strictement positive. Cette formule sert constamment dans les études de
fonctions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{3x + 1}$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $\ln u$ vaut $\dfrac{u'}{u}$, avec
$u'(x) = 3$.

]]> $\dfrac{1}{3x + 1}$

]]> Numérateur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît au
numérateur.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Dénominateur remplacé par une constante : la fonction dérivée dépend
encore de $x$.

]]> $3\ln(3x + 1)$

]]> Le logarithme ne se reproduit pas en se dérivant, contrairement à
l'exponentielle.

]]> Dérivation et convexité — Q29 : Convexité lue sur la dérivée Sur un intervalle, la fonction $f'$ est croissante.
Que peut-on dire de $f$ ?

]]> Convexité et croissance de la dérivée sont deux formulations de la même
propriété. Le signe de la dérivée, lui, donne le sens de variation de la
fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est convexe

]]> Bonne réponse : la croissance de la dérivée est la définition de la
convexité, équivalente à $f'' \geq 0$.

]]> Elle est croissante

]]> Le signe de $f'$ n'est pas donné : une dérivée croissante peut rester
négative, et $f$ décroître.

]]> Elle est concave

]]> La concavité correspond au contraire à une dérivée décroissante.

]]> Elle admet un point d'inflexion

]]> Un point d'inflexion demanderait un changement de sens de $f'$, exclu
par l'énoncé.

]]> Dérivation et convexité — Q30 : Dériver un produit avec exponentielle Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x - 1)e^{x}$ ?

]]> La formule $(uv)' = u'v + uv'$ donne ici $2e^x + (2x-1)e^x$. Factoriser
par l'exponentielle simplifie l'étude du signe qui suit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2x + 1)e^{x}$

]]> Bonne réponse : $2e^x + (2x-1)e^x$ se factorise en $(2x+1)e^x$.

]]> $2e^{x}$

]]> Second terme oublié : la formule du produit comporte aussi
$u \times v'$.

]]> $(2x - 1)e^{x}$

]]> Dérivée du premier facteur oubliée : elle ajoute $2e^x$ au résultat.

]]> $2xe^{x}$

]]> Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le
produit des dérivées.

]]> Dérivation et convexité — Q31 : Calculer un nombre dérivé Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = 3x^2 + 5x$. Que vaut $f'(2)$ ?

]]> Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir
l'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.
Ici $f'(x) = 6x + 5$, donc $f'(2) = 17$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $17$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 6x + 5$, puis on
remplace $x$ par $2$, ce qui donne $17$.

]]> $22$

]]> C'est $f(2)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut
d'abord dériver, puis remplacer.

]]> $12$

]]> Terme en $x$ oublié : la dérivée de $+ 5x$ vaut $5$, et
elle subsiste dans $f'$.

]]> $11$

]]> Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $3x^2$ est
$6x$, pas $3x$.

]]> Dérivation et convexité — Q32 : Dérivée de $\dfrac{a}{x + b}$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par
$f(x) = \dfrac{3}{x + 2}$ sur un intervalle où le dénominateur
ne s'annule pas ?

]]> Une constante se conserve en facteur : $\left(\dfrac{3}{u}\right)'
= 3 \times \left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)$. Avec $u(x) = x + 2$
et $u' = 1$, la dérivée vaut $\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{-3}{(x + 2)^2}$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = x + 2$, la formule
$\left(\dfrac{k}{u}\right)' = \dfrac{-k\,u'}{u^2}$ donne
$\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$, car $u' = 1$.

]]> $f'(x) = \dfrac{3}{(x + 2)^2}$

]]> Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,
conformément à $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{-3}{x + 2}$

]]> Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse
impose $u^2$ au dénominateur.

]]> $f'(x) = \dfrac{-1}{3(x + 2)^2}$

]]> Constante déplacée : le facteur $3$ multiplie la fonction, il
reste au numérateur après dérivation.

]]> Dérivation et convexité — Q33 : Position de la corde d'une fonction convexe Soit $f$ une fonction convexe sur $[a\,;\,b]$. Où se situe la corde
qui relie les points de la courbe d'abscisses $a$ et $b$ ?

]]> Deux lectures géométriques de la convexité : la courbe est au-dessus
de chacune de ses tangentes, et en dessous de chacune de ses cordes.
La concavité échange les deux positions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de la courbe sur $[a\,;\,b]$

]]> Bonne réponse : une fonction convexe est sous ses cordes et
au-dessus de ses tangentes. Pense à la parabole $x^2$.

]]> En dessous de la courbe sur $[a\,;\,b]$

]]> C'est la situation d'une fonction concave : essaie avec
$f(x) = x^2$ entre $0$ et $2$, la corde passe au-dessus.

]]> Elle coupe la courbe en un point intérieur

]]> La corde ne rencontre la courbe qu'en ses deux extrémités : une
traversée signalerait un changement de convexité.

]]> Confondue avec la courbe sur $[a\,;\,b]$

]]> Ce n'est le cas que pour une fonction affine, seul cas où la
convexité n'est pas stricte.

]]> Dérivation et convexité — Q34 : Taux d'accroissement de la fonction carré Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le
taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $5$ ?

]]> Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut
$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se
simplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se
rapproche de $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{5^2 - 2^2}{5 - 2}$ se simplifie
en $5 + 2$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit
$7$.

]]> $3$

]]> C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul
dénominateur du taux, pas le taux lui-même.

]]> $21$

]]> Division oubliée : $21$ est l'écart des images, il reste à
le diviser par l'écart des abscisses.

]]> $10$

]]> Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de
différences, jamais un produit d'abscisses.

]]> Dérivation et convexité — Q35 : Convexité de $e^{-x}$ La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-x}$ est-elle
convexe ?

]]> Chaque dérivation de $e^{-x}$ fait sortir le facteur $-1$ : la
dérivée est $-e^{-x}$ et la dérivée seconde $e^{-x}$, strictement
positive. La fonction est donc convexe sur $\mathbb{R}$ tout en y
étant décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $g''(x) = e^{-x} > 0$

]]> Bonne réponse : $g'(x) = -e^{-x}$, puis $g''(x) = e^{-x}$, qui
est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

]]> Non, car $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Variations et convexité sont indépendantes : $g$ décroît en
restant convexe, sa pente augmentant vers $0$.

]]> Non, car $g''(x) = -e^{-x} < 0$

]]> Un signe de trop : la seconde dérivation fait réapparaître un
facteur $-1$, qui annule celui de la première.

]]> Seulement sur $[0\,;\,+\infty[$, où elle décroît lentement

]]> La dérivée seconde est strictement positive pour tout réel,
négatifs compris : la convexité vaut sur $\mathbb{R}$.

]]> Dérivation et convexité — Q36 : Dériver un quotient de fonctions affines Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$
sur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?

]]> $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux
fonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent
toujours : il reste une constante, ici $5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{5}{(x + 3)^2}$

]]> Bonne réponse : $u'v - uv' = 2(x + 3) - (2x + 1)$,
les termes en $x$ se simplifient et il reste $5$.

]]> $f'(x) = \dfrac{-5}{(x + 3)^2}$

]]> Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la
dérivée du haut multipliée par le bas.

]]> $f'(x) = \dfrac{5}{x + 3}$

]]> Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose
$v^2$.

]]> $f'(x) = 2$

]]> Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un
quotient n'est pas le quotient des dérivées.

]]> Dérivation et convexité — Q37 : Dériver une racine carrée composée Quelle est la dérivée de $f(x) = \sqrt{3x + 5}$ sur
l'intervalle où $3x + 5 > 0$ ?

]]> $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ : la racine descend au
dénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de
l'expression intérieure passe au numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 5}}$

]]> Bonne réponse : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec
$u(x) = 3x + 5$ et $u' = 3$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{3x + 5}}$

]]> Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 3$, pas
$1$. C'est l'erreur classique de composition.

]]> $f'(x) = \dfrac{3}{\sqrt{3x + 5}}$

]]> Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

]]> $f'(x) = \dfrac{3x + 5}{2\sqrt{3x + 5}}$

]]> Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au
numérateur, pas $u$ tout entier.

]]> Dérivation et convexité — Q38 : Nombre dérivé d'une puissance composée Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = (2x + 5)^3$. Que vaut $f'(-1)$ ?

]]> $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la
puissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le
tout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $54$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 3 \times 2 \times
(2x + 5)^{2}$, et en $-1$ l'intérieur vaut $3$,
d'où $54$.

]]> $27$

]]> Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 2$ de
la dérivation en chaîne.

]]> $162$

]]> Exposant non abaissé : la puissance passe de $3$ à $2$ au
moment de la dérivation.

]]> $18$

]]> Exposant non descendu en facteur : la formule commence par
multiplier par $3$.

]]> Dérivation et convexité — Q39 : Où une valeur absolue perd sa dérivabilité En quel réel la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = |2x - 6|$ n'est-elle pas dérivable ?

]]> Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression
qu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un
angle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : l'expression $2x - 6$ s'annule en $3$,
et c'est là que la courbe forme un angle.

]]> $-3$

]]> Signe mal reporté : résoudre $2x - 6 = 0$ donne $3$.

]]> $0$

]]> L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression
intérieure s'annule ailleurs.

]]> $-12$

]]> Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés
pour résoudre l'équation $2x - 6 = 0$.

]]> Dérivation et convexité — Q40 : Équation réduite d'une tangente Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2 + 3$. Quelle est
l'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse
$1$ ?

]]> Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
On calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis
on développe pour obtenir l'équation réduite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 4x + 1$

]]> Bonne réponse : $f'(1) = 4$ et $f(1) = 5$, donc
$y = 4(x - 1) + 5$, qui se réduit en
$y = 4x + 1$.

]]> $y = 4x + 5$

]]> Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(1)(x - 1) +
f(1)$, le terme $- 1$ modifie l'ordonnée à l'origine.

]]> $y = 5x + 4$

]]> Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé
$4$, et $5$ est l'ordonnée du point de contact.

]]> $y = 4x$

]]> Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or
la tangente doit passer par $(1\,;\,5)$.

]]> Dérivation et convexité — Q41 : Repérer un maximum sur le signe de $f'$ Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur
$]-\infty\,;\,-2]$, positive sur $[-2\,;\,3]$, puis négative
sur $[3\,;\,+\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum
local ?

]]> Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au
négatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un
minimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $3$, la
courbe y atteint un sommet.

]]> $x = -2$

]]> Sens de variation inversé : en $-2$, $f$ passe de décroissante
à croissante, c'est un minimum local.

]]> $x = -2$ et $x = 3$

]]> Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures
opposées : minimum en $-2$, maximum en $3$.

]]> Nulle part : $f'$ change deux fois de signe

]]> C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un
changement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois.

]]> Dérivation et convexité — Q42 : Convexité déduite des variations de $f'$ Sur $[0\,;\,5]$, la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est décroissante
sur $[0\,;\,2]$ puis croissante sur $[2\,;\,5]$. Que peut-on dire de
$f$ ?

]]> Trois étages superposés : le signe de $f'$ donne les variations de
$f$, le sens de variation de $f'$ donne sa convexité. Un changement
de sens de $f'$ marque donc un point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Concave sur $[0\,;\,2]$, puis convexe sur $[2\,;\,5]$

]]> Bonne réponse : la convexité suit le sens de variation de $f'$.
Le point d'abscisse $2$ est un point d'inflexion.

]]> Convexe sur $[0\,;\,2]$, puis concave sur $[2\,;\,5]$

]]> Correspondance inversée : c'est la croissance de $f'$ qui donne
la convexité, et sa décroissance la concavité.

]]> Convexe sur tout $[0\,;\,5]$, puisque $f'$ finit par croître

]]> La convexité se juge intervalle par intervalle : sur $[0\,;\,2]$
la dérivée décroît, donc la courbe y est concave.

]]> Décroissante puis croissante, exactement comme sa dérivée

]]> Étage de lecture confondu : les variations de $f$ se lisent sur
le signe de $f'$, pas sur son sens de variation.

]]> Dérivation et convexité — Q43 : Dérivée nulle sans changement de signe Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = (x - 3)^2$.
Que peut-on dire de $f$ en $3$ ?

]]> Un extremum local exige que $f'$ s'annule en changeant de signe.
Avec $f'(x) = (x-3)^2$, la dérivée touche zéro et repart positive :
la courbe présente une tangente horizontale sans sommet ni creux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun extremum : $f$ croît sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : un carré est positif, donc $f' \geq 0$ partout.
La dérivée s'annule en $3$ sans changer de signe.

]]> Un minimum local, puisque $f'(3) = 0$

]]> Condition nécessaire prise pour suffisante : l'annulation de
$f'$ ne suffit pas, il faut un changement de signe.

]]> Un maximum local, puisque $f'$ s'annule en $3$

]]> Même erreur, avec le mauvais type d'extremum en prime : $f$ ne
décroît nulle part, elle ne peut atteindre aucun sommet.

]]> Un extremum dont le type se lit sur le signe de $f''(3)$

]]> Ici $f''(x) = 2(x - 3)$ s'annule aussi en $3$ : ce critère ne
tranche rien, seul le signe de $f'$ conclut.

]]> Dérivation et convexité — Q44 : Inégalité déduite d'une concavité La fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ et sa tangente au
point d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$. Quelle inégalité en
découle ?

]]> Une fonction concave se situe sous toutes ses tangentes. Appliquée à
la tangente de $\ln$ en $1$, cette propriété fournit l'inégalité
$\ln x \leq x - 1$, très utilisée dans les comparaisons.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$

]]> Bonne réponse : une courbe concave reste sous chacune de ses
tangentes, avec égalité au seul point de contact $x = 1$.

]]> $\ln x \geq x - 1$ pour tout $x > 0$

]]> Position inversée : c'est une fonction convexe qui domine ses
tangentes. Teste $x = 4$ : $\ln 4 \approx 1{,}39 < 3$.

]]> $\ln x \leq x - 1$ seulement pour $x \geq 1$

]]> La concavité vaut sur tout l'intervalle : pour $x = 0{,}5$,
$\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$ est bien inférieur à $-0{,}5$.

]]> $\ln x \geq 1 - x$ pour tout $x > 0$

]]> Tangente mal recopiée : sa pente vaut $1$, pas $-1$. Teste
$x = 0{,}5$ : $-0{,}69 \geq 0{,}5$ est faux.

]]> Dérivation et convexité — Q45 : Minimiser un coût moyen Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par
$C(x) = x + \dfrac{36}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce
coût moyen est-il minimal ?

]]> Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le
signe de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici
$C'(x) = 1 - \dfrac{36}{x^2}$ s'annule en $\sqrt{36} = 6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ objets

]]> Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \dfrac{36}{x^2}$ s'annule quand
$x^2 = 36$, donc en $x = 6$, en passant du négatif au
positif.

]]> $18$ objets

]]> Équation mal résolue : $x^2 = 36$ se résout par une racine
carrée, pas par une division par $2$.

]]> $9$ objets

]]> Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de
la racine carrée de $36$.

]]> $36$ objets

]]> Valeur recopiée de l'énoncé : $36$ annulerait $C'$ seulement si
$36^2 = 36$, ce qui est faux ici.

]]> Dérivation et convexité — Q46 : Lire la convexité sur la courbe de f'' Droite représentant f'', croissante, coupant l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 : négative avant 1, positive après.

La courbe ci-contre représente la dérivée seconde $f''$ d'une
fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Sur quel
intervalle $f$ est-elle convexe ?

]]> $f$ convexe sur $I$ $\iff$ $f'' \geq 0$ sur $I$. Ici $f''$ change
de signe en $1$ : la courbe de $f$ a un point d'inflexion
d'abscisse $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[1\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : $f$ est convexe là où $f'' \geq 0$, c'est-à-dire
là où la courbe de $f''$ est au-dessus de l'axe.

]]> $]-\infty\,;\,1]$

]]> Erreur : sur cet intervalle $f'' \leq 0$, la fonction $f$ y est
concave.

]]> $\mathbb{R}$, car $f''$ est croissante

]]> Erreur : c'est le signe de $f''$ qui compte, pas son sens de
variation.

]]> $[0\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : entre $0$ et $1$, $f''$ est encore négative.

]]> Dérivation et convexité — Q47 : Lire les variations sur la courbe de f' Parabole tournée vers le haut représentant f', coupant l'axe des abscisses en -1 et 2, négative entre ces deux valeurs.

La courbe ci-contre représente la dérivée $f'$ d'une fonction $f$
dérivable sur $\mathbb{R}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?

]]> Lecture sur la courbe de $f'$ : le signe de $f'$ donne les
variations de $f$ ; les variations de $f'$ donnent la convexité de
$f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-1\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : $f$ décroît là où $f' \leq 0$, c'est-à-dire là
où la courbe de $f'$ est sous l'axe.

]]> $]-\infty\,;\,0{,}5]$

]]> Erreur : c'est là que $f'$ décroît ; on lit le signe de $f'$, pas
ses variations.

]]> $]-\infty\,;\,-1] \cup [2\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : sur ces intervalles $f' \geq 0$ et $f$ croît.

]]> $[-2{,}25\,;\,0]$

]]> Erreur : $[-2{,}25\,;\,0]$ est l'intervalle des valeurs prises par
$f'$ entre ses racines.

]]>