$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Fonctions sinus et cosinus Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes
représentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,
équations du type $\cos(x) = a$ et inéquations sur
$[-\pi\,;\,\pi]$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q01 : Dérivée de sinus Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?

]]> Dérivées à connaître : $(\sin x)' = \cos x$ et
$(\cos x)' = -\sin x$. Le cycle des dérivations successives
revient au point de départ en quatre étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \cos(x)$

]]> Bonne réponse : $(\sin x)' = \cos x$. Cohérent en $0$ : la
courbe de sinus y a une pente de $\cos(0) = 1$.

]]> $x \mapsto -\cos(x)$

]]> Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant
cosinus, pas sinus. Retiens le cycle :
$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$.

]]> $x \mapsto \sin(x)$

]]> Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège
appartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus.

]]> $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Erreur : $-\sin$ est la dérivée seconde de sinus (la
dérivée de $\cos$). Au premier ordre : $(\sin x)' = \cos x$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q02 : Dérivée de cosinus Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?

]]> $(\cos x)' = -\sin x$. Vérification rapide du signe : cosinus
passe de $1$ à $-1$ sur $[0\,;\,\pi]$, il décroît, et
$-\sin x \leq 0$ sur cet intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Bonne réponse : $(\cos x)' = -\sin x$. Le signe moins
traduit le fait que cosinus décroît juste après $0$.

]]> $x \mapsto \sin(x)$

]]> Oubli du signe : sur $]0\,;\,\pi[$, cosinus décroît, sa
dérivée doit y être négative ; or $\sin x > 0$ sur cet
intervalle. La bonne dérivée est $-\sin x$.

]]> $x \mapsto -\cos(x)$

]]> Erreur : $-\cos$ est la dérivée seconde de cosinus. Au
premier ordre : $(\cos x)' = -\sin x$.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{\sin(x)}$

]]> Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.
(Tu penses peut-être à la dérivée de $\ln$ ?)

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q03 : Parité de sinus et cosinus Pour tout réel $x$, quelles égalités sont correctes ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, $x$ et $-x$ donnent deux points
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse
($\cos$ paire), ordonnées opposées ($\sin$ impaire).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$

]]> Bonne réponse : cosinus est paire (courbe symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est impaire
(courbe symétrique par rapport à l'origine).

]]> $\cos(-x) = -\cos(x)$ et $\sin(-x) = \sin(x)$

]]> Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer
$x$ en $-x$ conserve l'abscisse (cosinus) et change le
signe de l'ordonnée (sinus).

]]> $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = \sin(x)$

]]> Erreur sur sinus : $\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1
\neq 1 = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Sinus est
impaire.

]]> $\cos(-x) = -\cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$

]]> Erreur sur cosinus : $\cos(-0) = \cos(0) = 1$, pas $-1$.
Cosinus est paire.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q04 : Période des fonctions sinus et cosinus Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?

]]> Un tour complet du cercle trigonométrique mesure $2\pi$
radians : $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques. Leur courbe
se répète à l'identique de $2\pi$ en $2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\pi$

]]> Bonne réponse : $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ et
$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ pour tout $x$ : un tour complet
du cercle trigonométrique.

]]> $\pi$

]]> Erreur : $\cos(0) = 1$ mais $\cos(\pi) = -1$ : ajouter
$\pi$ ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).
La vraie période est $2\pi$.

]]> $360$

]]> Confusion degrés/radians : $360$ degrés correspondent bien à
un tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont
définies en radians : période $2\pi$.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\cos(0) = 1$ mais
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ : un quart de tour
ne redonne pas la même valeur. La période est la
longueur d'un tour complet, $2\pi$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q05 : Une valeur sur le cercle Que vaut $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, l'angle $\pi/2$ correspond au
point $(0\,;\,1)$ : $\cos(\pi/2) = 0$, $\sin(\pi/2) = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle
trigonométrique est $(0\,;\,1)$ : abscisse $0$, donc
$\cos(\pi/2) = 0$ (et $\sin(\pi/2) = 1$).

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire
$\sin(\pi/2)$. Le cosinus lit l'abscisse, qui vaut $0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est $\cos(\pi)$, au demi-tour. Au quart de
tour, l'abscisse est $0$.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\pi/2$ est l'angle, pas la valeur du cosinus.
Un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q06 : Valeur remarquable Que vaut $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

]]> Tableau des valeurs remarquables : pour $\dfrac{\pi}{6}$,
$\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, le cosinus vaut
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{1}{2}$
(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\cos(\pi/3) = \dfrac{1}{2}$ et
$\sin(\pi/3) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Confusion classique : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est
$\sin(\pi/3)$, ou encore $\cos(\pi/6)$. Moyen mémo : plus
l'angle est proche de $0$, plus le cosinus est proche de
$1$, donc $\cos(\pi/3) < \cos(\pi/6)$.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est la valeur commune de
$\cos(\pi/4)$ et $\sin(\pi/4)$, à mi-chemin.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le
dénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur
le cercle : $\cos(\pi/3) = \dfrac{1}{2}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q07 : Résoudre $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de l'équation
$\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> $\cos(x) = a$ se résout sur le cercle : les solutions sont
$x = \alpha$ et $x = -\alpha$ (modulo $2\pi$), où $\alpha$ est
un angle de cosinus $a$. Ici $\alpha = \pi/3$ : solutions
$\pm\dfrac{\pi}{3}$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$
coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à
l'axe des abscisses : angles $\pi/3$ et $-\pi/3$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$ seulement

]]> Oubli : le cosinus étant pair, $-\pi/3$ convient aussi
($\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3) = 1/2$). Une équation en
cosinus a généralement deux solutions par tour.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{2\pi}{3}$

]]> Confusion avec le sinus : $\pi/3$ et $\pi - \pi/3 =
2\pi/3$ sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,
les deux solutions sont opposées : $\pm\pi/3$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = -\dfrac{\pi}{6}$

]]> Erreur de valeur : $\cos(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
pas $\dfrac{1}{2}$. L'angle dont le cosinus vaut
$\dfrac{1}{2}$ est $\pi/3$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q08 : Reconnaître une courbe trigonométrique Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe par l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2, redescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son minimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par rapport à l'origine.

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur
$[-\pi\,;\,\pi]$. De quelle fonction est-ce la courbe
représentative ?

]]> Signature graphique de sinus : passage par l'origine en
croissant, maximum $1$ en $\pi/2$, imparité (symétrie par
rapport à l'origine), période $2\pi$. Cosinus, lui, démarre à
son maximum en $x = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \sin(x)$

]]> Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est
symétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine
à $1$ en $\pi/2$ : c'est la sinusoïde.

]]> $x \mapsto \cos(x)$

]]> Erreur : la courbe de cosinus vaut $1$ en $0$ (elle démarre
au sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées. Ici la courbe s'annule en $0$.

]]> $x \mapsto -\sin(x)$

]]> Erreur de signe : $-\sin$ descendrait en quittant
l'origine vers la droite, avec un minimum en $\pi/2$. Ici
la courbe monte.

]]> $x \mapsto \sin(2x)$

]]> Erreur : $\sin(2x)$ oscille deux fois plus vite (période
$\pi$) et s'annulerait déjà en $\pi/2$. Ici le maximum est
en $\pi/2$ : une seule arche par demi-tour.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q09 : Dérivée de $\cos(@k@x)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \cos(3x)$ ?

]]> Règle de la composée : $\left(\cos(u)\right)' = -u'\sin(u)$.
Avec $u(x) = 3x$ : $f'(x) = -3\sin(3x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = -3\sin(3x)$

]]> Bonne réponse : dérivée de composée,
$(\cos u)' = -u'\sin(u)$ avec $u = 3x$ et $u' = 3$.

]]> $f'(x) = -\sin(3x)$

]]> Oubli du facteur $u' = 3$ : la composée exige de multiplier
par la dérivée de l'intérieur.

]]> $f'(x) = 3\sin(3x)$

]]> Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe
moins, qui ne disparaît pas : $-3\sin(3x)$.

]]> $f'(x) = -3\cos(3x)$

]]> Erreur : dériver cosinus donne du sinus (au signe
près), pas du cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q10 : Résoudre $\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> Méthode du cercle : on repère les angles où
$\cos(x) = \frac{1}{2}$, soit $\pm\pi/3$, puis on identifie
l'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande
amplitude. Solutions :
$[-\pi\,;\,-\pi/3] \cup [\pi/3\,;\,\pi]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup
\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$

]]> Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à
$\frac{1}{2}$ pour les points situés à gauche de la
verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$, c'est-à-dire pour les
angles au-delà de $\pm\pi/3$.

]]> $\left[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$

]]> C'est l'ensemble complémentaire : entre $-\pi/3$ et
$\pi/3$, le cosinus est supérieur ou égal à
$\frac{1}{2}$ (il culmine à $1$ en $0$).

]]> $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right]$ seulement

]]> Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique
$\left[-\pi\,;\,-\pi/3\right]$ convient aussi.

]]> $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$

]]> Erreur : sur cet intervalle le cosinus est positif et
vaut jusqu'à $1$ ; par exemple $\cos(0) = 1 >
\frac{1}{2}$. Le seuil $\frac{1}{2}$ se franchit en
$\pm\pi/3$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q11 : Limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $+\infty$ Quelle est la limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ ?

]]> Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers
l'infini : encadrement
$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$ et
théorème des gendarmes donnent une limite nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $-1 \leq \sin(x) \leq 1$, donc
$-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ ;
les gendarmes concluent : limite $0$.

]]> Elle n'existe pas, car $\sin(x)$ oscille sans limite

]]> Erreur : le numérateur oscille mais reste borné, et il
est divisé par $x$ qui explose. Les oscillations sont
écrasées : la limite existe et vaut $0$.

]]> $1$

]]> Confusion avec la limite célèbre en zéro :
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. En $+\infty$, le
dénominateur l'emporte : limite $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le quotient est majoré par $\dfrac{1}{x}$ en
valeur absolue, il ne peut pas exploser.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q12 : Monotonie de sinus Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?

]]> On lit la monotonie de $\sin$ sur le signe de sa dérivée
$\cos$ : positif sur $[-\pi/2\,;\,\pi/2]$, donc sinus
croissante sur cet intervalle (de $-1$ à $1$), puis
décroissante sur $[\pi/2\,;\,3\pi/2]$, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$

]]> Bonne réponse : $(\sin x)' = \cos x \geq 0$ exactement sur
cet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte
de $-1$ à $1$.

]]> $[0\,;\,\pi]$

]]> Erreur : sur $[0\,;\,\pi]$, sinus monte jusqu'à $\pi/2$
puis redescend (le cosinus devient négatif après
$\pi/2$). Ce n'est pas un intervalle de monotonie.

]]> $[-\pi\,;\,0]$

]]> Erreur : entre $-\pi$ et $-\pi/2$, le cosinus est négatif
et sinus décroît ; la croissance ne commence qu'en
$-\pi/2$.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Impossible : une fonction périodique non constante ne peut
pas être monotone sur $\mathbb{R}$, elle remonte et
redescend sans fin.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q13 : Utiliser $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ On sait que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ avec $x \in
\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Que vaut $\sin x$ ?

]]> $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (Pythagore sur le cercle unité) :
passer de l'un à l'autre au signe près, le quadrant
fournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du
carré, choix du signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin x = \dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} =
\dfrac{16}{25}$, et sur $\left[0\ ;\
\frac{\pi}{2}\right]$ le sinus est positif : $+\frac{4}{5}$
(le triangle $3$-$4$-$5$).

]]> $\sin x = \dfrac{2}{5}$

]]> Erreur : $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ soustrait les
valeurs au lieu des carrés : l'identité porte sur
$\cos^2$ et $\sin^2$.

]]> $\sin x = \pm\dfrac{4}{5}$, impossible de trancher

]]> Intervalle négligé : sur $\left[0\ ;\
\frac{\pi}{2}\right]$ (premier quadrant), le sinus est
positif : l'information donnée tranche.

]]> $\sin x = \dfrac{3}{5}$

]]> Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en $x =
\frac{\pi}{4}$ (valeur $\frac{\sqrt{2}}{2}$) : ici le
calcul donne $\frac{4}{5}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q14 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{6}$ Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{6}$ ?

]]> Tableau des valeurs : $\frac{\pi}{6} \to \frac{1}{2}$,
$\frac{\pi}{4} \to \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\pi}{3} \to
\frac{\sqrt{3}}{2}$ pour le sinus (le cosinus lit le même
tableau à l'envers). Mémoire : $\frac{\sqrt{1}}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\frac{\pi}{6} = 30°$ : le sinus vaut
$\frac{1}{2}$ (et le cosinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Échange classique : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est $\cos
\frac{\pi}{6}$ (ou $\sin\frac{\pi}{3}$) : à $30°$, le
sinus est le petit ($\frac{1}{2}$).

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ appartient à $\frac{\pi}{4}$
($45°$), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$

]]> Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle ($\sin x
\approx x$ seulement pour $x$ très petit, et
$\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52 \neq 0{,}5$… de peu, mais
la valeur exacte est $\frac{1}{2}$).

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q15 : Dérivée de $\sin(@k@x)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ ?

]]> $(\sin(ax))' = a\cos(ax)$, $(\cos(ax))' = -a\sin(ax)$ : le
coefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.
Physiquement : osciller deux fois plus vite double la
vitesse de variation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 2\cos(2x)$

]]> Bonne réponse : $(\sin u)' = u'\cos u$ avec $u = 2x$ :
le facteur $2$ sort, l'argument $2x$ reste.

]]> $f'(x) = \cos(2x)$

]]> Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur
($u' = 2$) multiplie : règle de la chaîne.

]]> $f'(x) = 2\cos(x)$

]]> Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :
le $2x$ reste intact dans le cosinus.

]]> $f'(x) = -2\cos(2x)$

]]> Signe : le moins appartient à la dérivée du
cosinus ($(\cos u)' = -u'\sin u$) : le sinus se
dérive sans signe.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q16 : Résoudre $\sin x = 0$ Quelles sont les solutions de $\sin x = 0$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Sur le cercle : $\sin x = 0$ aux points $(\pm 1\ ;\ 0)$,
soit $x = k\pi$ ; $\cos x = 0$ aux points $(0\ ;\ \pm 1)$,
soit $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Visualiser le cercle évite
toute confusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = k\pi$, pour $k \in \mathbb{Z}$

]]> Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités
horizontales du cercle ($0$ et $\pi$), puis tous les
tours : l'ensemble $\{k\pi\}$ les capture tous d'un
coup.

]]> $x = 2k\pi$ seulement

]]> Moitié perdue : $\sin \pi = 0$ aussi : les multiples
impairs de $\pi$ manquent : le pas est $\pi$, pas
$2\pi$.

]]> $x = 0$ seulement

]]> Périodicité oubliée : le sinus repasse par $0$ à chaque
demi-tour : une infinité de solutions.

]]> $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

]]> Confusion : $\frac{\pi}{2} + k\pi$ sont les zéros du
cosinus (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus
s'annule sur l'axe horizontal.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q17 : La limite $\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ ?

]]> $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ : le taux
d'accroissement de sinus en $0$, et la traduction de la
tangente $y = x$ à l'origine. À rapprocher de
$\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ : même mécanisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ : c'est le nombre dérivé de sinus en $0$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$ est le
taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ : sa limite est
$\sin'(0) = \cos 0 = 1$.

]]> $0$, car $\sin 0 = 0$

]]> Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :
$\frac{0}{0}$ à lever, et la reconnaissance du taux
d'accroissement donne $1$.

]]> $+\infty$, car on divise par $0$

]]> Erreur : le numérateur fond à la même vitesse ($\sin x
\approx x$ près de $0$) : le quotient s'équilibre sur
$1$.

]]> La limite n'existe pas, le sinus oscille

]]> Confusion avec $+\infty$ : en $0$, le sinus
n'oscille pas : il colle à sa tangente $y = x$, d'où le
quotient proche de $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q18 : Variations de cosinus sur $[0\ ;\ \pi]$ Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle
$[0\ ;\ \pi]$ ?

]]> $(\cos)' = -\sin$ : le signe du sinus pilote les variations
du cosinus. Sur $[0\ ;\ \pi]$ : décroissance de $1$ à $-1$ ;
puis remontée sur $[\pi\ ;\ 2\pi]$ : l'ondulation perpétuelle
se lit tableau par tableau.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît de $1$ à $-1$

]]> Bonne réponse : $(\cos x)' = -\sin x$, et sur $[0\ ;\
\pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $-\sin x \leq 0$ :
décroissance stricte de $\cos 0 = 1$ à $\cos \pi = -1$.

]]> Elle croît de $-1$ à $1$

]]> Sens inversé : c'est le comportement sur $[\pi\ ;\
2\pi]$ (ou $[-\pi\ ;\ 0]$) : sur $[0\ ;\ \pi]$, le point
du cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît.

]]> Elle est constante, car elle est périodique

]]> Confusion : périodique signifie qui se répète, et non constante :
à l'intérieur d'une période, la fonction varie
(pleinement, de $1$ à $-1$).

]]> Elle croît puis décroît, avec un maximum en
$\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : en $\frac{\pi}{2}$, le cosinus vaut $0$ et
traverse en descendant ($-\sin\frac{\pi}{2} = -1 <
0$) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q19 : Dérivée de $\sin(@k@x + 1)$ Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(3x + 1)$ ?

]]> La dérivée de $\sin u$ vaut $u'\cos u$ et celle de $\cos u$ vaut
$-u'\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3\cos(3x + 1)$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $\sin u$ vaut $u'\cos u$, avec
$u'(x) = 3$.

]]> $\cos(3x + 1)$

]]> Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en
facteur.

]]> $3\cos(3)$

]]> L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie
pas.

]]> $-3\cos(3x + 1)$

]]> Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas
l'inverse.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q20 : Résoudre $\sin x = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de $\sin x = \dfrac{1}{2}$ dans
$[0\,;\,2\pi[$ ?

]]> L'équation $\sin x = a$ a deux solutions sur un intervalle de longueur
$2\pi$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, d'où la relation
$\sin(\pi - x) = \sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

]]> Bonne réponse : deux points du cercle ont pour ordonnée
$\dfrac{1}{2}$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$ et $-\dfrac{\pi}{6}$

]]> Symétrie du cosinus appliquée au sinus : les angles opposés ont des
sinus opposés.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Valeur remarquable confondue : $\sin\dfrac{\pi}{3}$ vaut
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$ seulement

]]> Seconde solution oubliée : elle se lit par symétrie par rapport à
l'axe vertical.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q21 : Effet d'un coefficient sur la période Quelle est la période de la fonction $x \mapsto \sin(2x)$ ?

]]> La fonction $x \mapsto \sin(\omega x)$ a pour période
$\dfrac{2\pi}{\omega}$. Un coefficient grand resserre les oscillations, un
coefficient petit les étire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi$

]]> Bonne réponse : le motif est parcouru deux fois plus vite, donc sa
longueur est divisée par deux.

]]> $2\pi$

]]> Période de $\sin x$ recopiée : le coefficient $2$ la modifie.

]]> $4\pi$

]]> Période multipliée au lieu d'être divisée : un coefficient supérieur à
$1$ resserre la courbe.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Division de trop : la période vaut $\dfrac{2\pi}{2}$, soit $\pi$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q22 : Dérivée seconde du sinus Que vaut la dérivée seconde de la fonction sinus ?

]]> Quatre dérivations ramènent au point de départ : $\sin$, $\cos$,
$-\sin$, $-\cos$, puis de nouveau $\sin$. La dérivée seconde du sinus
est donc son opposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\sin x$

]]> Bonne réponse : on dérive deux fois, $\sin x$ donnant $\cos x$, puis
$\cos x$ donnant $-\sin x$.

]]> $\sin x$

]]> Signe oublié : la dérivée du cosinus introduit un signe moins.

]]> $-\cos x$

]]> Une seule dérivation effectuée, avec un signe en trop : la dérivée
première vaut $\cos x$.

]]> $\cos x$

]]> C'est la dérivée première : il reste une dérivation à effectuer.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q23 : Où les deux courbes se croisent Sur $[0\,;\,\pi]$, en combien de points les courbes du sinus et du
cosinus se coupent-elles ?

]]> Résoudre $\sin x = \cos x$ revient à chercher les points du cercle situés
sur la première bissectrice. Sur un intervalle de longueur $2\pi$, il y en
a deux, espacés de $\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En un seul point

]]> Bonne réponse : l'égalité n'a lieu qu'en $\dfrac{\pi}{4}$, où les deux
fonctions valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> En deux points

]]> Le second point de croisement, en $\dfrac{5\pi}{4}$, se situe hors de
l'intervalle proposé.

]]> En aucun point

]]> Le sinus part en dessous du cosinus et finit au-dessus : il y a
nécessairement un croisement.

]]> En une infinité de points

]]> Les deux courbes ne se confondent nulle part : leurs valeurs diffèrent
partout ailleurs.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q24 : Symétrie de la courbe du cosinus Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cosinus ?

]]> Le cosinus est pair et le sinus impair, ce qui se lit sur le cercle
trigonométrique : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve
l'abscisse et change le signe de l'ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : $\cos(-x) = \cos x$, la fonction est paire.

]]> Une symétrie par rapport à l'origine

]]> C'est le cas du sinus, qui est impair : $\sin(-x) = -\sin x$.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Aucune courbe de fonction ne présente cette symétrie, qui donnerait
deux images à un même nombre.

]]> Aucune symétrie particulière

]]> La relation $\cos(-x) = \cos x$ impose la symétrie axiale.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q25 : Une limite trigonométrique Vers quoi tend $\dfrac{\sin(3x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers $0$ ?

]]> La limite de référence $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$ en $0$ s'adapte par
changement d'écriture. Elle traduit que la tangente au sinus en $0$ a pour
pente $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $3$

]]> Bonne réponse : on écrit $3 \times \dfrac{\sin(3x)}{3x}$, et le
quotient tend vers $1$.

]]> Vers $1$

]]> Coefficient oublié : la limite de référence concerne
$\dfrac{\sin u}{u}$, il faut donc faire apparaître $3x$ au
dénominateur.

]]> Vers $0$

]]> Les deux termes tendent vers $0$ : c'est une forme indéterminée, pas
une limite nulle.

]]> Vers $\dfrac{1}{3}$

]]> Coefficient inversé : le facteur $3$ se retrouve au numérateur après
transformation.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q26 : Résoudre $\cos x = 0$ Quelles sont les solutions de $\cos x = 0$ dans $[0\,;\,2\pi[$ ?

]]> Le cosinus s'annule pour les réels de la forme
$\dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Sur un intervalle de longueur $2\pi$, cela
fournit deux solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : ce sont les deux points du cercle situés sur l'axe des
ordonnées.

]]> $0$ et $\pi$, où le sinus s'annule

]]> Ce sont les solutions de $\sin x = 0$ : leurs cosinus valent $1$ et
$-1$.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$ seulement

]]> Seconde solution oubliée : le cosinus s'annule aussi en
$\dfrac{3\pi}{2}$.

]]> $\pi$ et $2\pi$, aux extrémités

]]> En ces points, le cosinus vaut $-1$ et $1$, pas $0$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q27 : Effet d'un coefficient devant le sinus Que change le passage de $x \mapsto \sin x$ à $x \mapsto 3\sin x$ ?

]]> Un coefficient devant la fonction modifie l'amplitude, un coefficient
devant $x$ la période, un terme ajouté à l'intérieur décale
horizontalement, un terme ajouté à l'extérieur décale verticalement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les valeurs s'étalent entre $-3$ et $3$

]]> Bonne réponse : le coefficient multiplie les ordonnées, donc
l'amplitude de l'oscillation.

]]> La période est divisée par trois

]]> Un coefficient devant la fonction n'agit pas sur la période, qui reste
$2\pi$.

]]> La courbe est décalée vers le haut de trois unités

]]> Un décalage vertical viendrait d'un terme additif, du type
$\sin x + 3$.

]]> La courbe est décalée vers la droite

]]> Un décalage horizontal viendrait d'un terme ajouté à l'intérieur, du
type $\sin(x - 3)$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q28 : Dériver $x\sin x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\sin x$ ?

]]> La formule $(uv)' = u'v + uv'$ s'applique ici avec $u(x) = x$ et
$v(x) = \sin x$. Le résultat combine les deux fonctions
trigonométriques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin x + x\cos x$

]]> Bonne réponse : la formule du produit donne $1 \times \sin x +
x \times \cos x$.

]]> $\cos x$

]]> Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le
produit des dérivées.

]]> $x\cos x$

]]> Premier terme oublié : la dérivée de $x$ multiplie aussi $\sin x$.

]]> $\sin x - x\cos x$

]]> Signe faux : c'est la dérivée du cosinus qui introduit un signe moins,
pas celle du sinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q29 : Encadrer une expression trigonométrique Entre quelles valeurs l'expression $2 + 3\sin x$ est-elle comprise ?

]]> On part de l'encadrement du sinus, puis on applique les opérations dans
l'ordre : multiplication par un nombre positif, qui conserve le sens, puis
addition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre $-1$ et $5$

]]> Bonne réponse : le sinus varie entre $-1$ et $1$, donc $3\sin x$ entre
$-3$ et $3$.

]]> Entre $-3$ et $3$

]]> Terme constant oublié : il décale l'encadrement de deux unités vers le
haut.

]]> Entre $2$ et $5$

]]> Borne inférieure fausse : le sinus prend aussi des valeurs négatives.

]]> Entre $-1$ et $1$

]]> Encadrement du sinus seul : il reste à le multiplier par $3$ puis à
ajouter $2$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q30 : Combien de solutions sur un grand intervalle Combien l'équation $\cos x = \dfrac{1}{2}$ a-t-elle de solutions dans
$[0\,;\,4\pi]$ ?

]]> L'équation $\cos x = a$, pour $a$ strictement compris entre $-1$ et $1$,
admet deux solutions par période. Le nombre total se déduit du nombre de
périodes contenues dans l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quatre

]]> Bonne réponse : deux solutions par période, et l'intervalle en contient
deux.

]]> Deux

]]> Une seule période prise en compte : l'intervalle est deux fois plus
long.

]]> Huit

]]> Comptage doublé : chaque période fournit deux solutions, pas quatre.

]]> Une infinité

]]> L'infinité vaut sur $\mathbb{R}$ entier ; ici l'intervalle est borné.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q31 : Cosinus d'un angle négatif Que vaut $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ?

]]> Le cosinus est pair ($\cos(-x) = \cos(x)$) : les points associés à $x$
et à $-x$ sur le cercle ont la même abscisse. On se ramène donc à la
valeur remarquable en $\dfrac{\pi}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Bonne réponse : le cosinus est une fonction paire, donc
$\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Le signe moins a été reporté sur le résultat : c'est le sinus qui
change de signe avec l'angle, pas le cosinus.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Valeur associée à l'angle $\dfrac{\pi}{6}$ : à
$\dfrac{\pi}{4}$ correspond $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Valeur associée à l'angle $\dfrac{\pi}{3}$ : le quart de tour se
partage différemment sur le cercle.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q32 : Dérivée d'un multiple du sinus Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = 5\sin(x)$ ?

]]> Pour un réel $k$, $(k\,u)' = k\,u'$. Avec $u = \sin$, dont la dérivée
est $\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5\cos(x)$

]]> Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et
la dérivée du sinus est le cosinus.

]]> $-5\cos(x)$

]]> Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un
signe moins, pas celle du sinus.

]]> $5\sin(x)$

]]> La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à
sa propre dérivée.

]]> $\cos(x)$

]]> Le coefficient $5$ a disparu : il multiplie toute la fonction,
donc aussi sa dérivée.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q33 : Cosinus d'un multiple de $\pi$ Que vaut $\cos(2\pi)$ ?

]]> Le cosinus est $2\pi$-périodique : on ramène l'angle dans un tour
complet. Les multiples pairs de $\pi$ donnent $1$, les multiples impairs
donnent $-1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : chaque multiple de $\pi$ correspond à un demi-tour
sur le cercle. Après $2$ demi-tours, on arrive au point d'abscisse
$1$.

]]> $-1$

]]> Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après $2$ demi-tours,
l'abscisse du point vaut $1$.

]]> $0$

]]> C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des
abscisses, donc son ordonnée est nulle.

]]> $2$

]]> Le nombre $2$ compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours
compris entre $-1$ et $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q34 : L'identité fondamentale Pour tout réel $x$, que vaut $\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)$ ?

]]> Le point de coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$ appartient au cercle
trigonométrique, de rayon $1$ et de centre l'origine. Le théorème de
Pythagore donne $\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x) = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : le point associé à $x$ est sur le cercle de rayon
$1$, donc la somme des carrés de ses coordonnées vaut $1$.

]]> $0$

]]> Une somme de deux carrés ne peut pas être nulle ici : les deux
coordonnées ne s'annulent jamais ensemble.

]]> $\cos(2x)$

]]> Confusion avec une autre formule : la somme des carrés est une
constante, elle ne dépend pas de $x$.

]]> Cela dépend de la valeur de $x$

]]> Justement pas : c'est une identité, vraie pour tout réel $x$, et
elle vaut toujours $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q35 : Où le sinus est-il positif Sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$, pour quelles valeurs de $x$ a-t-on
$\sin(x) > 0$ ?

]]> Le signe du sinus se lit sur le cercle : positif au-dessus de l'axe des
abscisses, négatif en dessous. Il s'annule en $0$, en $\pi$ et en
$2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]0\,;\,\pi[$

]]> Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point du cercle ; elle
est strictement positive sur le demi-tour supérieur, donc entre $0$
et $\pi$.

]]> $]\pi\,;\,2\pi[$

]]> C'est le demi-tour inférieur du cercle : les ordonnées y sont
négatives, donc le sinus aussi.

]]> $\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$

]]> Intervalle trop court : le sinus décroît après $\dfrac{\pi}{2}$,
mais il reste positif jusqu'à $\pi$.

]]> Sur tout l'intervalle, sauf en $0$

]]> Le sinus change bien de signe : il devient négatif dès que l'angle
dépasse $\pi$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q36 : Valeur en dehors du premier quadrant Que vaut $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ ?

]]> Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par
symétrie : $\pi - \theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son
opposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : on place l'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ sur le cercle, puis on lit la
coordonnée qui correspond à $\cos$ : elle vaut $-\dfrac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de signe : l'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ dépasse $\dfrac{\pi}{2}$, ce qui
impose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> C'est la valeur de $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$, l'autre coordonnée du
point : la question porte sur $\cos$.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\sin$, et son
signe est en plus inversé. La réponse attendue est $-\dfrac{1}{2}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q37 : Nombre dérivé en zéro Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = 2\sin(3x)$. Que vaut $f'(0)$ ?

]]> La dérivée de $\sin(ax)$ est $a\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :
le nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire
la pente de la courbe à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 2 \times 3\cos(3x)$, et
$\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 6$.

]]> $3$

]]> Le coefficient $2$ placé devant le sinus a été oublié : il
multiplie aussi la dérivée.

]]> $2$

]]> Le facteur venu de la composition manque : dériver $\sin(3x)$ fait
sortir le coefficient $3$.

]]> $0$

]]> C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par
l'origine avec une pente non nulle.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q38 : Retrouver un cosinus négatif On sait que $\sin(x) = \dfrac{3}{5}$, avec
$x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$. Que vaut $\cos(x)$ ?

]]> On isole $\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,
puis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième
quadrant, le cosinus est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : l'identité donne $\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)$,
et l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\dfrac{4}{5}$.

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur
$\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, le cosinus est négatif.

]]> $-\dfrac{3}{5}$

]]> C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne
sont pas liées par un simple changement de signe.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule
pas le cosinus en retranchant le sinus à $1$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q39 : Maximum d'un multiple du cosinus Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur
$\mathbb{R}$ par $f(x) = -5\cos(x)$ ?

]]> Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de
$-1 \leq \cos(x) \leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes
sont échangées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$
est atteint quand $\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $5$.

]]> $-5$

]]> C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\cos(x) = 1$, puisque le
coefficient est négatif.

]]> $1$

]]> C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-5$,
ce qui échange le maximum et le minimum.

]]> $-1$

]]> C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,
s'étalent entre $-5$ et $5$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q40 : Une solution unique sur un demi-tour Quelle est l'unique solution de l'équation $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ sur
l'intervalle $[0\,;\,\pi]$ ?

]]> Sur $[0\,;\,\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :
l'équation $\cos(x) = a$, avec $-1 \leq a \leq 1$, y admet exactement
une solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{2\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : sur $[0\,;\,\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,
donc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\dfrac{2\pi}{3}$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$

]]> Le signe a été négligé : le cosinus de $\dfrac{\pi}{3}$ est l'opposé
de la valeur cherchée.

]]> $x = -\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il
n'appartient pas à l'intervalle demandé.

]]> $x = \dfrac{4\pi}{3}$

]]> C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\pi$ et
sort donc de l'intervalle.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q41 : Identifier une courbe d'amplitude $2$ Repère avec une courbe tracée sur [-pi ; pi] : elle atteint son maximum 2 en 0, s'annule en -pi/2 et en pi/2, et atteint son minimum -2 aux deux extrémités -pi et pi. Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur $[-\pi\,;\,\pi]$.
Parmi les quatre fonctions proposées, laquelle a pour courbe
représentative $\mathcal{C}$ ?

]]> Un coefficient placé devant la fonction étire la courbe verticalement et
fixe l'amplitude ; un coefficient placé devant $x$ modifie la période ;
un terme ajouté déplace la courbe verticalement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto 2\cos(x)$

]]> Bonne réponse : la courbe atteint $2$ en $0$ et $-2$ en $\pi$, et
elle effectue une seule oscillation : l'amplitude est doublée, pas
la période.

]]> $x \mapsto \cos(2x)$

]]> Ce coefficient agirait sur la période, qui vaudrait $\pi$ : la
courbe oscillerait deux fois sur l'intervalle.

]]> $x \mapsto 2\sin(x)$

]]> Le sinus s'annule en $0$, alors que la courbe y atteint son
maximum : c'est bien un cosinus.

]]> $x \mapsto \cos(x) + 2$

]]> Ajouter $2$ déplacerait la courbe vers le haut, entre $1$ et $3$ :
elle ne descendrait jamais sous l'axe.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q42 : Croisements avec l'axe des abscisses En combien de points la courbe de la fonction $x \mapsto \sin(2x)$
coupe-t-elle l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ ?

]]> Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les solutions de
$f(x) = 0$. Pour $\sin(2x)$, la période vaut $\pi$ et les zéros sont
espacés de $\dfrac{\pi}{2}$ : il faut penser à compter les bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En cinq points

]]> Bonne réponse : $\sin(2x) = 0$ donne $2x = k\pi$, soit
$x = \dfrac{k\pi}{2}$ ; dans $[0\,;\,2\pi]$, cela fait $0$,
$\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$ et $2\pi$.

]]> En trois points

]]> C'est le compte pour la fonction sinus elle-même : le coefficient
$2$ divise la période par deux et double les croisements.

]]> En quatre points

]]> Une extrémité de l'intervalle a été oubliée : l'intervalle est
fermé, donc $0$ et $2\pi$ comptent tous les deux.

]]> En deux points

]]> Ce serait le compte sur une seule période de la fonction
$x \mapsto \sin(2x)$, qui vaut $\pi$ : l'intervalle en contient
deux.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q43 : Dérivée seconde d'un cosinus composé Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur
$\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x)$ ?

]]> On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la
composée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple
sinus-cosinus revient au point de départ au signe près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4\cos(2x)$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = -2\sin(2x)$, puis une seconde
dérivation fait sortir un nouveau facteur $2$ et ramène le
cosinus.

]]> $4\cos(2x)$

]]> Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple
sinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total.

]]> $-2\cos(2x)$

]]> Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,
donc deux fois, d'où le carré.

]]> $4\sin(2x)$

]]> Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :
deux dérivations ramènent au cosinus.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q44 : Dériver $x^n\cos x$ Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = x^{3}\cos(x)$ ?

]]> La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur
se dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à
la dérivée du cosinus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x^{2}\cos(x) - x^{3}\sin(x)$

]]> Bonne réponse : avec $u = x^{3}$ et $v = \cos(x)$, la formule
$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée
du cosinus.

]]> $3x^{2}\cos(x) + x^{3}\sin(x)$

]]> Signe oublié : la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$, ce qui change
le signe du second terme.

]]> $-3x^{2}\sin(x)$

]]> Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un
produit n'est pas le produit des dérivées.

]]> $3x^{2}\cos(x)$

]]> Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant
$x^{3}$ en facteur.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q45 : La limite de $\frac{\cos x - 1}{x}$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos(x) - 1}{x}$ ?

]]> On reconnaît $\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ avec $f = \cos$. La limite est
donc $\cos'(0)$. Comme $\cos' = -\sin$ et $\sin(0) = 0$, cette limite
vaut $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : ce quotient est le taux d'accroissement du cosinus
entre $0$ et $x$, sa limite est donc $\cos'(0) = -\sin(0) = 0$.

]]> $1$

]]> C'est la limite de $\dfrac{\sin(x)}{x}$, qui est le nombre dérivé du
sinus en $0$. Ici la fonction dérivée est celle du cosinus.

]]> $-1$

]]> Le signe moins de la dérivée du cosinus a bien été vu, mais
$\sin(0)$ vaut $0$, donc le nombre dérivé est nul.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> La forme est bien indéterminée, mais elle se lève : c'est un taux
d'accroissement, dont la limite est un nombre dérivé.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q46 : L'aire maximale d'un triangle isocèle Un triangle isocèle a deux côtés de longueur $1$ qui forment un
angle de mesure $x$ radians, avec $x \in \left]0\,;\,\pi\right[$.
Son aire vaut $A(x) = \dfrac{1}{2}\sin x$. Pour quelle valeur de $x$
cette aire est-elle maximale ?

]]> Étudier une fonction trigonométrique simple permet de résoudre un
problème d'optimisation géométrique : on dérive, on étudie le signe
de la dérivée sur l'intervalle, on conclut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : $A'(x) = \dfrac{1}{2}\cos x$ est positive sur
$\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et négative ensuite ; le
maximum vaut $\dfrac{1}{2}$, pour un angle droit.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$

]]> Erreur : le triangle serait équilatéral, d'aire
$\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}43$, inférieure à $\dfrac{1}{2}$.

]]> $\pi$

]]> Erreur : $\pi$ est exclu, et l'aire tend vers $0$ quand $x$ se
rapproche de $\pi$ : le triangle s'aplatit.

]]> $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $A'(x)$ est encore positive en $\dfrac{\pi}{4}$, donc
l'aire continue d'augmenter après cette valeur.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q47 : Résoudre cos x égale un Quelles sont les solutions de $\cos x = 1$ sur $[0 ; 2\pi[$ ?

]]> $\cos x = 1$ si et seulement si $x = 2k\pi$ ; sur un tour, une seule
solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$ seulement

]]> Bonne réponse : le cosinus vaut $1$ en un seul point du cercle,
celui d'angle $0$ ; $2\pi$ est exclu de l'intervalle.

]]> $x = 0$ et $x = \pi$

]]> Erreur : $\cos \pi = -1$.

]]> $x = 0$ et $x = 2\pi$

]]> Erreur : $2\pi$ n'appartient pas à $[0 ; 2\pi[$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q48 : Résoudre une équation en sinus avec une valeur négative Quelles sont les solutions de $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$ ?

]]> $\sin x = \sin a$ équivaut à $x = a$ ou $x = \pi - a$, à $2\pi$
près ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la
moitié inférieure du cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{7\pi}{6}$ et $x = \dfrac{11\pi}{6}$

]]> Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe
des abscisses ; les deux points d'ordonnée $-\dfrac{1}{2}$ ont pour
angles $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{11\pi}{6}$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = \dfrac{5\pi}{6}$

]]> Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.

]]> $x = \dfrac{7\pi}{6}$ seulement

]]> Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.

]]> $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = \dfrac{7\pi}{6}$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{6}$ ont des sinus opposés.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q49 : Une équation en cosinus carré Combien de solutions l'équation $2\cos^2 x - 1 = 0$ possède-t-elle
sur $[0 ; 2\pi[$ ?

]]> Résoudre une équation en $\cos^2 x$ : extraire les deux racines
opposées, puis résoudre chaque équation $\cos x = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quatre, $\pm\dfrac{\pi}{4}$ et $\pm\dfrac{3\pi}{4}$ à $2\pi$ près

]]> Bonne réponse : $\cos^2 x = \dfrac{1}{2}$ donne $\cos x =
\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, soit
deux solutions pour chaque valeur.

]]> Deux, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{7\pi}{4}$

]]> Erreur : seule la valeur positive $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a été
traitée ; $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ en donne deux autres.

]]> Une seule, $x = \dfrac{\pi}{4}$, le cosinus étant positif

]]> Erreur : chaque valeur de cosinus donne deux solutions sur un
tour, et il y a deux valeurs possibles.

]]> Aucune, un carré ne pouvant valoir $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2}$ est positif, il est bien le carré de
$\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> Fonctions sinus et cosinus — Q50 : Reconnaître la courbe du cosinus Courbe sur l'intervalle allant de moins pi à pi : elle vaut 1 en 0, s'annule en moins pi sur 2 et pi sur 2, vaut -1 en moins pi et en pi, et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Quelle fonction est représentée ci-contre sur
$[-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> Repères : $\cos 0 = 1$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \pi = -1$ ;
cosinus est paire, sinus est impaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \cos x$

]]> Bonne réponse : la courbe passe par $(0\,;\,1)$ et elle est
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car cosinus est
paire.

]]> $x \mapsto \sin x$

]]> Erreur : $\sin 0 = 0$, alors que la courbe passe par
$(0\,;\,1)$.

]]> $x \mapsto -\cos x$

]]> Erreur : $-\cos 0 = -1$ ; la courbe serait retournée.

]]> $x \mapsto -\sin x$

]]> Erreur : $-\sin$ est impaire et s'annule en $0$.

]]>