$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Limites des fonctions Limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini ou en un point,
asymptotes parallèles aux axes, opérations sur les limites, formes
indéterminées, limites par comparaison, croissances comparées avec
l'exponentielle, factorisation du terme prépondérant.

]]> Limites des fonctions — Q01 : Limite de $e^x$ en $-\infty$ Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?

]]> Limites de référence de l'exponentielle :
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. En $-\infty$, la droite
$y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : quand $x \to -\infty$, $e^x$ devient
arbitrairement proche de $0$ (tout en restant strictement
positif). L'axe des abscisses est asymptote à la courbe.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : $e^x$ est strictement positif pour tout réel
$x$, il ne peut pas tendre vers $-\infty$. Il s'écrase vers
$0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $e^x$ ne prend jamais de valeur négative, et aucune
valeur particulière n'est atteinte à l'infini : la limite est
$0$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1 = e^0$ est la valeur en $0$, pas la limite en
$-\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q02 : Asymptote verticale Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote
verticale à la courbe de $f$ ?

]]> Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote
verticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en
$3$ : asymptote $x = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'équation $x = 3$

]]> Bonne réponse : quand $x \to 3$, le dénominateur tend vers
$0$ et $f(x)$ tend vers $\pm\infty$ : la courbe se plaque
contre la droite verticale $x = 3$.

]]> La droite d'équation $y = 3$

]]> Erreur : $y = 3$ est une droite horizontale. Une
asymptote verticale a une équation de la forme $x = a$.

]]> La droite d'équation $x = 0$

]]> Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en
$x = 3$, pas en $0$.

]]> La droite d'équation $y = 0$

]]> Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais
c'est l'asymptote horizontale (limites en $\pm\infty$).
La question porte sur l'asymptote verticale.

]]> Limites des fonctions — Q03 : Lever la forme $\infty - \infty$ Vers quoi tend $x^2 - x$ lorsque $x$ devient arbitrairement
grand ?

]]> Face à « $\infty - \infty$ », on factorise par le terme
prépondérant : $x^2 - x = x^2(1 - 1/x) \to +\infty$. Une forme
indéterminée est un signal de transformation, pas une absence de
limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : on factorise par le terme prépondérant :
$x^2 - x = x^2\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)$, produit de
$x^2 \to +\infty$ par un facteur qui tend vers $1$.

]]> $0$

]]> Erreur : « $\infty - \infty$ » ne se simplifie pas en $0$.
Ici $x^2$ écrase $x$ : dès $x = 100$, $x^2 - x = 9\,900$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : c'est le terme de plus haut degré $x^2$ qui impose
son comportement, et il tend vers $+\infty$.

]]> Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée

]]> Confusion importante : « forme indéterminée » signifie qu'on
ne peut pas conclure directement, pas que la limite
n'existe pas. Après factorisation, la limite existe et vaut
$+\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q04 : Croissance comparée $e^x$ contre $x^3$ Entre l'exponentielle et le cube, laquelle l'emporte : vers quoi
tend $\dfrac{e^x}{x^3}$ en $+\infty$ ?

]]> Croissance comparée (au programme) : pour tout entier $n$,
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$.
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : par croissance comparée, l'exponentielle
l'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\infty$.

]]> $0$

]]> Erreur de sens : $0$ serait la limite de l'inverse
$\dfrac{x^3}{e^x}$. Au numérateur, l'exponentielle domine.

]]> $1$

]]> Erreur : numérateur et dénominateur ne croissent pas « à la
même vitesse » : $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x^3$.
Le quotient explose.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : aucun quotient de coefficients n'intervient ici
(ce réflexe vaut pour deux polynômes de même degré). Avec
une exponentielle, c'est la croissance comparée qui décide.

]]> Limites des fonctions — Q05 : Limite à droite en un point interdit Quelle est la limite de $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend
vers $2$ par valeurs supérieures ($x \to 2^+$) ?

]]> Réflexe indispensable : quand le dénominateur tend vers $0$,
étudier son signe. Ici $x \to 2^+$ donne $x - 2 \to 0^+$,
et $\dfrac{3}{0^+}$ se lit $+\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le
dénominateur vers $0$ par valeurs positives (car
$x > 2$) : le quotient tend vers $+\infty$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur de signe : pour $x > 2$, on a $x - 2 > 0$. Un
numérateur proche de $3$ divisé par un petit nombre
positif donne un grand nombre positif.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ n'est que la limite du numérateur. Diviser par
un dénominateur qui s'écrase vers $0$ fait exploser le
quotient.

]]> Elle n'existe pas

]]> Erreur : la limite à droite existe bien et vaut
$+\infty$. (C'est en combinant droite et gauche, $+\infty$
et $-\infty$, qu'on ne peut pas parler de limite en $2$ tout
court.)

]]> Limites des fonctions — Q06 : Lire les asymptotes sur une courbe Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches. La branche de gauche descend vers la droite horizontale y = 3 quand x tend vers moins l'infini et monte le long de la droite verticale x = -2 ; la branche de droite descend le long de x = -2 et remonte vers y = 3 quand x tend vers plus l'infini. Les deux asymptotes x = -2 et y = 3 sont tracées en pointillés rouges.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction
$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles
sont les équations de ces asymptotes ?

]]> Deux lectures : une asymptote verticale $x = a$ traduit une
limite infinie au point interdit $a$ ; une asymptote
horizontale $y = L$ traduit une limite finie $L$ en
$+\infty$ ou $-\infty$. Ici : $x = -2$ et $y = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -2$ et $y = 3$

]]> Bonne réponse : la courbe se plaque contre la droite
verticale $x = -2$ (limites infinies en $-2$) et contre la
droite horizontale $y = 3$ (limites finies en $\pm\infty$).

]]> $x = 3$ et $y = -2$

]]> Erreur d'inversion : la droite verticale coupe l'axe des
abscisses en $-2$ (équation $x = -2$) et l'horizontale
coupe l'axe des ordonnées en $3$ (équation $y = 3$).

]]> $x = -2$ seulement

]]> Incomplet : à droite comme à gauche, la courbe s'aplatit
sur la droite horizontale $y = 3$ : c'est aussi une
asymptote.

]]> $y = 3$ seulement

]]> Incomplet : près de $x = -2$, la courbe part vers
$\pm\infty$ le long de la droite verticale $x = -2$ : c'est
l'asymptote verticale.

]]> Limites des fonctions — Q07 : Définition d'une asymptote horizontale Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote
horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ » ?

]]> $y = L$ asymptote horizontale en $+\infty$ $\Leftrightarrow$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche
indéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$

]]> Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\infty$
équivaut à $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$.

]]> $f(2) = +\infty$

]]> Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(2)$ est un
nombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $2$ :
c'est une ordonnée limite, pas une abscisse.

]]> $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$

]]> Erreur : ceci décrirait une asymptote verticale
d'équation $x = 2$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à
l'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $2$.

]]> $f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand

]]> Erreur : la courbe se rapproche de la droite sans avoir
besoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite
compte.

]]> Limites des fonctions — Q08 : Limite par comparaison Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geq x$ pour tout réel
$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?

]]> Théorème de comparaison : si $f \geq g$ au voisinage de
$+\infty$ et $\lim g = +\infty$, alors $\lim f = +\infty$.
Ici $g(x) = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

]]> Bonne réponse : théorème de comparaison. $f$ est minorée par
$x$, qui tend vers $+\infty$, donc $f$ est entraînée vers
$+\infty$.

]]> Rien, il faudrait aussi un majorant

]]> Erreur : pour conclure à une limite $+\infty$, une
minoration par une fonction qui tend vers $+\infty$
suffit. Le majorant sert pour le théorème des gendarmes
(limite finie).

]]> $f$ est croissante

]]> Erreur : être au-dessus de la droite $y = x$ n'impose aucune
monotonie ; $f$ peut osciller tout en restant au-dessus.

]]> $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$

]]> Erreur : $f(x) \geq x$ dépasse tout seuil fixé (par exemple
$f(10^6) \geq 10^6$), la limite ne peut pas être finie.

]]> Limites des fonctions — Q09 : La forme $\sqrt{x^2+1} - x$ De quelle valeur l'expression $\sqrt{x^2 + 1} - x$ se rapproche-t-elle
lorsque $x$ grandit indéfiniment ?

]]> Forme « $\infty - \infty$ » avec racine : on multiplie et on divise par $\sqrt{x^2+1} + x$, puis on utilise $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Ainsi $\sqrt{x^2+1} - x = \dfrac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \to 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : en multipliant et en divisant par $\sqrt{x^2+1} + x$, on obtient $\sqrt{x^2+1} - x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$, dont le dénominateur tend vers $+\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : les deux termes partent vers $+\infty$ mais leur
écart fond : $\sqrt{x^2+1}$ dépasse à peine $x$
(pour $x = 100$, l'écart vaut environ $0{,}005$).

]]> $1$

]]> Erreur : le $+1$ sous la racine ne survit pas tel quel. Après multiplication et division par $\sqrt{x^2+1} + x$, il se retrouve divisé par $\sqrt{x^2+1} + x \to +\infty$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Confusion avec le grand classique
$\sqrt{x^2 + x} - x \to \dfrac{1}{2}$. Ici le terme ajouté
sous la racine est $1$ (constant), pas $x$ : la limite est
$0$.

]]> Limites des fonctions — Q10 : Limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ en $0^+$ Que devient $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ lorsque $x$ se rapproche de $0$
par valeurs positives ?

]]> Quand $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0^+$ donc
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$. La courbe admet l'axe des
ordonnées pour asymptote verticale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{x} \to 0^+$, et l'inverse d'une
quantité positive qui s'écrase vers $0$ explose vers
$+\infty$.

]]> $0$

]]> Erreur de sens : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ correspond à
$x \to +\infty$. Près de $0$, on divise $1$ par un nombre
minuscule : le résultat est énorme.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est la valeur en $x = 1$, pas une limite en
$0$. Essaie $x = 0{,}0001$ : $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 100$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est strictement positif sur
tout son domaine, la limite ne peut pas être négative.

]]> Limites des fonctions — Q11 : Que signifie « forme indéterminée » ? Le calcul d'une limite aboutit à la forme
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?

]]> Les quatre formes indéterminées ($\infty - \infty$,
$0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$)
sont des signaux de travail : on transforme l'écriture
jusqu'à pouvoir conclure. Elles n'annoncent jamais le résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression

]]> Bonne réponse : une forme indéterminée signale que le théorème d'opérations ne s'applique pas tel quel : on transforme l'écriture (factorisation du terme dominant, croissances comparées, etc.). Selon les fonctions, le résultat peut être $0$, fini non nul, infini, ou inexistant.

]]> La limite n'existe pas, puisque le calcul est bloqué

]]> Erreur répandue : « indéterminée » ne veut pas dire
« inexistante ». Exemple : $\dfrac{2x}{x} \to 2$, forme
$\dfrac{\infty}{\infty}$ pourtant limite parfaitement
définie.

]]> La limite vaut $1$, car les infinis se compensent

]]> Erreur : $\dfrac{x^2}{x} \to +\infty$ et
$\dfrac{x}{x^2} \to 0$ : les « infinis » ne se valent pas.
Aucune valeur n'est attribuable d'office.

]]> La limite vaut $0$, puisqu'on divise par un infini

]]> Erreur : le dénominateur tend vers l'infini, mais le
numérateur aussi : contre-exemple immédiat,
$\dfrac{3x}{x} \to 3$. La forme $\dfrac{\infty}{\infty}$
ne préjuge d'aucun résultat.

]]> Limites des fonctions — Q12 : Limite de $e^{1/x}$ en $0^-$ Quelle est la limite de $e^{1/x}$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs inférieures ?

]]> Composition des limites : on étudie d'abord l'exposant,
$\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$, puis on compose
avec $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$. À droite de $0$, la
même fonction tend vers $+\infty$ : les deux limites en $0$
diffèrent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : quand $x \to 0^-$, l'exposant
$\dfrac{1}{x}$ tend vers $-\infty$, et $e^X \to 0$ quand
$X \to -\infty$. Pour $x = -0{,}01$ : $e^{-100} \approx
3{,}7 \times 10^{-44}$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur de côté : $+\infty$ est la limite à droite
($x \to 0^+$, exposant $\to +\infty$). À gauche de $0$,
$\dfrac{1}{x}$ est négatif et plonge vers $-\infty$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1 = e^0$ supposerait que l'exposant tend vers
$0$. Or l'exposant est $\dfrac{1}{x}$, qui ne tend pas
vers $0$ mais vers $-\infty$ quand $x \to 0^-$.

]]> $-\infty$

]]> Erreur : une exponentielle est toujours strictement
positive ; le signe de l'exposant ne se transmet pas à
$e^{1/x}$, qui reste positif et tend vers $0$.

]]> Limites des fonctions — Q13 : Quotient de polynômes en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?

]]> Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de
plus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;
haut plus fort : $\pm\infty$ ; bas plus fort : $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,
$\dfrac{2x^2(1 + \frac{1}{2x^2})}{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}
\to \dfrac{2}{1} = 2$ : seuls les plus hauts degrés
comptent à l'infini.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur
aussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se
stabilise sur celui des coefficients.

]]> $0$

]]> Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de
degré supérieur. Ici les degrés sont égaux : limite
$= \frac{2}{1}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : $\frac{1}{3}$ est le rapport des constantes,
qui deviennent négligeables : ce sont les termes en
$x^2$ qui décident.

]]> Limites des fonctions — Q14 : Limite en un point sans obstacle Que vaut $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?

]]> Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la
substitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,
pas d'indétermination), la limite est la valeur : les
fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2}{3}$

]]> Bonne réponse : aucun interdit en $1$ (dénominateur non
nul), aucune forme indéterminée : on remplace :
$\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$.

]]> $+\infty$

]]> Réflexe erroné : une limite en un point ne donne
l'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $1 + 2 =
3 \neq 0$.

]]> Forme indéterminée

]]> Erreur : $\frac{2}{3}$ n'a rien d'indéterminé : les
formes à problème sont $\frac{0}{0}$,
$\frac{\infty}{\infty}$… pas un quotient ordinaire.

]]> $0$

]]> Erreur : le numérateur en $1$ vaut $2$, pas $0$ : la
limite est le quotient des deux valeurs.

]]> Limites des fonctions — Q15 : Limite de $e^{-x}$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ ?

]]> $e^{-x} = \frac{1}{e^x} \to 0$ en $+\infty$, en restant
strictement positive. Modèle des décroissances
exponentielles (désintégration, refroidissement) : chute
rapide, jamais nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, et $e^x \to
+\infty$ : l'inverse fond vers $0$. L'axe des abscisses
est asymptote.

]]> $-\infty$

]]> Erreur de signe : $e^{-x}$ est positive (une
exponentielle ne prend que des valeurs strictement
positives) : elle ne peut pas plonger sous zéro.

]]> $+\infty$

]]> Sens inverse : c'est en $-\infty$ que $e^{-x}$ explose.
En $+\infty$, l'exposant $-x$ plonge et l'exponentielle
s'éteint.

]]> $1$

]]> Erreur : $e^{-x} = 1$ seulement en $x = 0$ ; à l'infini,
l'exponentielle d'un exposant qui tend vers $-\infty$
tend vers $0$.

]]> Limites des fonctions — Q16 : Lever un $\dfrac{0}{0}$ par factorisation Que vaut $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?

]]> Devant $\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et
le dénominateur partagent la racine : factoriser par
$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux
d'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $2$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$ pour
$x \neq 2$, qui tend vers $4$ : la factorisation efface
l'obstacle.

]]> $0$

]]> Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le
dénominateur aussi : $\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il
faut simplifier d'abord.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si
le numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux
s'annulent : simplification obligatoire.

]]> La limite n'existe pas

]]> Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec
$x + 2$ autour de $2$ : la limite existe et vaut $4$.

]]> Limites des fonctions — Q17 : Gendarmes avec un cosinus Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$ ?

]]> Borné divisé par infini : $0$, via le théorème des
gendarmes. Réflexe : dès qu'un facteur oscillant ($\cos$,
$\sin$, $(-1)^n$) bloque les opérations, encadrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse, par encadrement : pour $x > 0$,
$-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ ;
le cosinus reste coincé entre $-1$ et $1$ pendant que le
dénominateur explose : les deux gendarmes $\pm\frac{1}{x}$
écrasent le quotient sur $0$.

]]> La limite n'existe pas, car $\cos x$ oscille

]]> Erreur : le cosinus oscille, mais borné : divisées
par $x$, ses oscillations s'aplatissent. L'encadrement
conclut là où les opérations échouent.

]]> $1$

]]> Confusion probable avec $\frac{\sin x}{x}$ en $0$. En
$+\infty$, le numérateur borné ne suit pas le
dénominateur : quotient vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le numérateur ne dépasse jamais $1$ : le
quotient est majoré par $\frac{1}{x}$, qui fond.

]]> Limites des fonctions — Q18 : Limite d'une composée Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ ?

]]> Limite de composée : d'abord la limite interne ($u(x) \to
b$), puis la limite de la fonction externe en $b$. Poser
explicitement $X = u(x)$ évite tous les faux réflexes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : on pose $X = -x^2 \to -\infty$, et $e^X \to 0$

]]> Bonne réponse : composition en deux temps : l'exposant
$-x^2$ plonge vers $-\infty$, et l'exponentielle d'un
exposant qui plonge s'éteint.

]]> $+\infty$, car l'exponentielle explose toujours

]]> Erreur : $e^X$ n'explose que si $X \to +\infty$. Ici
l'exposant tend vers $-\infty$ : il faut suivre
l'exposant avant de conclure.

]]> $1$, car $e^0 = 1$

]]> Erreur : l'exposant $-x^2$ ne tend pas vers $0$ mais
vers $-\infty$ (on évalue la limite interne
d'abord).

]]> $-\infty$, à cause du signe moins

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive :
le moins est dans l'exposant, pas devant la fonction.

]]> Limites des fonctions — Q19 : Limite à gauche d'un pôle Que vaut $\lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ ?

]]> Près d'un pôle, toujours tester le signe du dénominateur
de chaque côté (une valeur numérique suffit). Ici :
$-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite : l'asymptote
verticale $x = 3$ est traversée en deux branches opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$

]]> Bonne réponse : à gauche de $3$ (par exemple $x =
2{,}99$), $x - 3$ est un petit nombre négatif :
l'inverse plonge vers $-\infty$.

]]> $+\infty$

]]> Signe non contrôlé : c'est la limite à droite
($x - 3 > 0$). À gauche, le dénominateur est négatif :
test rapide avec $x = 2{,}9$ : $\frac{1}{-0{,}1} = -10$.

]]> $0$

]]> Erreur : un dénominateur qui fond fait exploser le
quotient ($\frac{1}{0{,}001} = 1000$), il ne l'éteint
pas.

]]> $3$

]]> Erreur : la valeur interdite $3$ n'est pas la limite :
près d'un pôle, la fonction part vers l'infini (avec un
signe à déterminer).

]]> Limites des fonctions — Q20 : La forme $x\,e^x$ en $-\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x}$ ?

]]> Croissances comparées, version $-\infty$ : $x^n e^x \to 0$
quand $x \to -\infty$ (l'exponentielle écrase toute
puissance). Pendant qu'en $+\infty$ : $\frac{e^x}{x^n} \to
+\infty$. Deux faces du même théorème.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$

]]> Bonne réponse : forme $-\infty \times 0$, tranchée par
la croissance comparée : $e^x$ s'éteint plus vite que
$x$ ne grossit : le produit fond vers $0$ (par valeurs
négatives).

]]> $-\infty$, car $x \to -\infty$

]]> Erreur : le facteur $e^x$ tend vers $0$ et freine tout :
c'est un conflit $\infty \times 0$, gagné par
l'exponentielle.

]]> $+\infty$, car l'exponentielle gagne toujours

]]> Mal citée : l'exponentielle gagne, oui, mais ici elle
tend vers $0$ : elle tire le produit vers $0$, pas vers
l'infini.

]]> $-1$

]]> Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu : la
croissance comparée donne $0$, résultat de cours à
connaître.

]]> Limites des fonctions — Q21 : La limite $\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $0$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ ?

]]> Réflexe précieux : $\lim\limits_{x \to a}
\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$. Beaucoup de
$\frac{0}{0}$ sont des taux d'accroissement déguisés :
reconnaître la forme évite tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$.
$\dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ est le taux d'accroissement
de l'exponentielle en $0$ ; sa limite est $\exp'(0) =
e^0 = 1$.

]]> $0$

]]> Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le
dénominateur tend vers $0$ aussi : forme
$\frac{0}{0}$ à lever, et ici c'est une dérivée
déguisée.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : on divise par un nombre qui tend vers $0$, mais
le numérateur s'annule en même temps : le quotient reste
équilibré et tend vers la pente de la tangente en $0$,
soit $1$.

]]> $e$

]]> Erreur : $e = e^1$ serait le nombre dérivé en $1$.
En $0$ : $e^0 = 1$.

]]> Limites des fonctions — Q22 : Les deux asymptotes d'une homographique Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les
asymptotes de sa courbe ?

]]> Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur
(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à
l'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 2$,
l'hyperbole complète.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$

]]> Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur
non nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des
termes dominants $\frac{2x}{x} = 2$ : horizontale
$y = 2$.

]]> Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$

]]> Valeurs croisées : la verticale vient du dénominateur
nul ($x = 1$), l'horizontale du rapport des
coefficients dominants ($y = 2$).

]]> Verticale $x = 1$ seulement

]]> Incomplet : à l'infini, $f(x) \to 2$ : la droite $y = 2$
est asymptote horizontale des deux côtés.

]]> Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$

]]> Erreur : $f(0)$ est une valeur de la fonction, pas
une asymptote : les asymptotes se lisent dans les
limites, pas dans les images.

]]> Limites des fonctions — Q23 : La forme $x - \sqrt{x}$ en $+\infty$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x -
\sqrt{x}\right)$ ?

]]> $\infty - \infty$ avec des puissances : factoriser la plus
forte. $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \to +\infty$.
Une indétermination n'est jamais une réponse finale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$, car $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$

]]> Bonne réponse : factoriser le terme dominant transforme
$\infty - \infty$ en produit $\infty \times \infty$ :
les deux facteurs tendent vers $+\infty$.

]]> $0$, car les deux termes se compensent

]]> Erreur : $x$ croît beaucoup plus vite que $\sqrt{x}$
(en $100$ : $100 - 10 = 90$) : aucune compensation.

]]> $-\infty$, car on soustrait un infini

]]> Erreur : le terme dominant est $x$, positif : la
soustraction de $\sqrt{x}$, négligeable, ne renverse pas
la tendance.

]]> Forme indéterminée : on ne peut pas conclure

]]> Mi-vrai : la forme brute est indéterminée, mais
l'indétermination se lève (factorisation) : la
limite existe et vaut $+\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q24 : Ne pas avoir de limite en $+\infty$ Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\infty$.
Peut-on en déduire qu'elle tend vers $+\infty$ ou
$-\infty$ ?

]]> Comme pour les suites : limite finie, limite infinie, ou pas
de limite du tout. Les fonctions trigonométriques fournissent
les contre-exemples de la troisième catégorie : à citer dès
qu'un énoncé « oublie » ce cas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle peut osciller sans limite, comme $\cos x$

]]> Bonne réponse : $\cos x$ n'a ni limite finie ni limite
infinie : elle repasse éternellement par $1$ et $-1$.
Trois issues possibles en $+\infty$ : limite finie,
limite infinie, ou rien.

]]> Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini

]]> Faux dilemme : l'oscillation est la troisième voie :
$\cos x$, $\sin x$, $x\sin x$… aucune limite d'aucune
sorte.

]]> Oui, sauf si la fonction est périodique

]]> La périodicité n'est qu'un exemple : $x \mapsto
\cos(x^2)$ n'est pas périodique et n'a pas non plus de
limite. Le critère n'est pas la périodicité.

]]> Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à
être infinie

]]> Contredit l'exemple $\cos x$ : l'existence d'une limite
n'a rien d'automatique, c'est une propriété à démontrer.

]]> Limites des fonctions — Q25 : Asymptote horizontale et position de la courbe La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 - 4e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?

]]> Si $f(x)$ tend vers un réel $\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$. Le signe de $f(x) - \ell$ donne la position : ici $-4e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessous

]]> Bonne réponse : $e^{-x} \to 0$ en $+\infty$, donc $f(x) \to 1$. De plus $f(x) - 1 = -4e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.

]]> La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessus

]]> La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 1 = -4e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.

]]> La droite d'équation $y = -3$, courbe au-dessous

]]> $-3$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $1$ puisque $e^{-x} \to 0$.

]]> La droite d'équation $y = -4$, courbe au-dessus

]]> Le coefficient $-4$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $1$.

]]> Limites des fonctions — Q26 : Croissance comparée avec le logarithme Vers quoi tend $\dfrac{\ln x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

]]> Les croissances comparées classent les vitesses : le logarithme croît plus
lentement que toute puissance de $x$, elle-même plus lente que
l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $0$

]]> Bonne réponse : la croissance du logarithme est négligeable devant
celle de $x$.

]]> Vers $+\infty$

]]> Pour $x = 10^6$, le quotient vaut environ $0{,}0000138$, il diminue au
lieu de croître.

]]> Vers $1$

]]> Les deux fonctions tendent vers $+\infty$, mais à des vitesses très
différentes.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> Le quotient décroît vers $0$ à partir d'un certain rang, sans osciller.

]]> Limites des fonctions — Q27 : Deux asymptotes horizontales Une fonction peut-elle admettre deux asymptotes horizontales
différentes ?

]]> Une asymptote horizontale correspond à une limite finie en $-\infty$ ou en
$+\infty$. Ces deux limites pouvant différer, une courbe admet jusqu'à
deux asymptotes horizontales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, une en $-\infty$ et une en $+\infty$

]]> Bonne réponse : la fonction $x \mapsto \dfrac{e^x}{e^x + 1}$ tend vers
$0$ d'un côté et vers $1$ de l'autre.

]]> Non, une fonction n'en a qu'une au plus

]]> Les comportements aux deux bouts sont indépendants l'un de l'autre.

]]> Oui, autant qu'on veut

]]> Il n'y a que deux directions à l'infini, donc au plus deux asymptotes
horizontales.

]]> Non, sauf si la fonction est périodique

]]> Une fonction périodique non constante n'admet au contraire aucune
limite en l'infini.

]]> Limites des fonctions — Q28 : Limite d'une exponentielle composée Vers quoi tend $e^{-x^2}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

]]> Pour une composée, on détermine d'abord la limite de l'expression
intérieure, puis celle de la fonction extérieure en cette valeur. Ici
l'exposant tend vers $-\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $0$

]]> Bonne réponse : l'exposant tend vers $-\infty$, et l'exponentielle y
tend vers $0$.

]]> Vers $+\infty$

]]> Le signe moins devant le carré fait plonger l'exposant vers
$-\infty$.

]]> Vers $1$

]]> La valeur $1$ est atteinte en $x = 0$ seulement, où l'exposant
s'annule.

]]> Vers $-\infty$

]]> L'exponentielle est strictement positive : elle ne prend jamais de
valeur négative.

]]> Limites des fonctions — Q29 : Encadrer pour conclure On sait que $-\dfrac{1}{x} \leq f(x) \leq \dfrac{1}{x}$ pour
$x > 0$. Vers quoi tend $f$ en $+\infty$ ?

]]> Le théorème des gendarmes conclut quand les deux bornes d'un encadrement
ont la même limite finie. Un encadrement par une seule borne permet
seulement de conclure à une limite infinie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $0$

]]> Bonne réponse : les deux bornes tendent vers $0$, donc $f$ y est
contrainte.

]]> Vers $1$

]]> Cette valeur sort de l'encadrement dès que $x$ dépasse $1$.

]]> Vers $+\infty$

]]> L'encadrement interdit à $f$ de dépasser $\dfrac{1}{x}$, qui devient
minuscule.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Le théorème des gendarmes conclut précisément dans cette situation.

]]> Limites des fonctions — Q30 : Factoriser avant de conclure Vers quoi tend $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ lorsque $x$ tend vers $3$ ?

]]> Une forme $\dfrac{0}{0}$ se lève souvent en factorisant numérateur et
dénominateur par le terme qui s'annule, puis en simplifiant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $6$

]]> Bonne réponse : la factorisation donne $x + 3$ pour $x \neq 3$, dont
la limite vaut $6$.

]]> Vers $0$

]]> Numérateur seul considéré : le dénominateur s'annule lui aussi, d'où
l'indétermination.

]]> Vers $+\infty$

]]> Le facteur $x - 3$ se simplifie, il n'y a donc pas de pôle en $3$.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> La simplification lève l'indétermination et donne une limite finie.

]]> Limites des fonctions — Q31 : Quand la substitution suffit Pour laquelle de ces limites la réponse s'obtient-elle en remplaçant
simplement $x$ par la valeur indiquée ?

]]> Remplacer $x$ par la valeur visée n'est licite que si la fonction est
définie en cette valeur, donc si aucun dénominateur ne s'y annule. Dans
les autres cas, il faut d'abord transformer l'écriture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x + 5}{x^2 + 1}$

]]> Bonne réponse : en $2$, le dénominateur vaut $5$, qui n'est pas nul.
On remplace donc $x$ par $2$ et la limite vaut $\dfrac{9}{5}$.

]]> $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$

]]> En $3$, le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux :
la substitution donne $\dfrac{0}{0}$, il faut factoriser avant.

]]> $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x + 1}{x}$

]]> En $0$, le dénominateur s'annule alors que le numérateur vaut $1$ :
la fonction n'a pas de limite finie, il faut étudier les signes.

]]> $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$

]]> En $1$, le numérateur et le dénominateur s'annulent : la
substitution donne la forme $\dfrac{0}{0}$, qui n'est pas un
résultat.

]]> Limites des fonctions — Q32 : Quotient de polynômes en moins l'infini Que vaut $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3x^3 + 1}{6x^3 + x}$ ?

]]> Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa
puissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en
$+\infty$ comme en $-\infty$ vaut le quotient des coefficients
dominants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au
dénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des
coefficients dominants, soit $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

]]> $-\dfrac{1}{2}$

]]> Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\infty$. Or $x^3$ se
simplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en
$+\infty$, soit $\dfrac{1}{2}$.

]]> $2$

]]> Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $3$ est au
numérateur, donc la limite vaut $\dfrac{1}{2}$.

]]> $-\infty$

]]> Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se
compensent et le quotient tend vers le réel $\dfrac{1}{2}$.

]]> Limites des fonctions — Q33 : Factoriser un trinôme pour lever l'indétermination Que vaut $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ ?

]]> Devant une forme $\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici
$2$ et $3$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit
$(x - 2)(x - 3)$ et le facteur qui s'annule se simplifie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : le numérateur se factorise en
$(x - 2)(x - 3)$. Après simplification, il reste
$x - 3$, dont la limite en $2$ vaut $-1$.

]]> $1$

]]> Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur
$x - 2$ qui se simplifie, et il reste $x - 3$, donc
$-1$.

]]> $5$

]]> Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est
$x - 3$ et non $x + 3$. La limite vaut $-1$.

]]> $0$

]]> Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui
aussi en $2$, et la simplification donne $-1$.

]]> Limites des fonctions — Q34 : Une limite remarquable avec des coefficients Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{6x} - 1}{2x}$ ?

]]> La limite de référence $\lim\limits_{X \to 0} \dfrac{e^X - 1}{X} = 1$
est le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en
faisant apparaître le même coefficient au numérateur et au
dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : on écrit
$\dfrac{e^{6x} - 1}{2x} = \dfrac{6}{2} \times
\dfrac{e^{6x} - 1}{6x}$, et le second facteur tend vers $1$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de
l'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $3$.

]]> $1$

]]> C'est la limite de $\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux
coefficients diffèrent, et il reste le facteur $3$.

]]> $0$

]]> Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette
forme indéterminée se lève et donne $3$.

]]> Limites des fonctions — Q35 : Le produit de $x$ par $e^{-x}$ Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} x\,e^{-x}$ ?

]]> Un produit de la forme $\infty \times 0$ est indéterminé. On l'écrit en
quotient, $x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$, puis on applique la croissance
comparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $x\,e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$, et l'exponentielle
l'emporte sur $x$ en $+\infty$, donc le quotient s'écrase vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Seul le facteur $x$ a été regardé. Le facteur $e^{-x}$ tend vers
$0$ bien plus vite que $x$ ne grandit.

]]> $1$

]]> Les deux facteurs ne se compensent pas : leur produit tend vers
$0$, et non vers une valeur intermédiaire.

]]> $-\infty$

]]> Le produit reste strictement positif pour $x > 0$ : il ne peut pas
tendre vers $-\infty$.

]]> Limites des fonctions — Q36 : Ce que traduit une limite infinie en un point Sur la courbe de $f$, que traduit $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = -\infty$ ?

]]> Une limite infinie en un réel $a$ se lit géométriquement comme une
asymptote verticale d'équation $x = a$. Le signe de la limite indique
si la courbe monte ou descend le long de cette droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe descend indéfiniment en longeant la droite $x = 2$

]]> Bonne réponse : les ordonnées deviennent aussi négatives que l'on
veut quand $x$ s'approche de $2$ par la droite, et la courbe se
plaque contre la droite verticale $x = 2$.

]]> La courbe se rapproche de la droite $y = -2$ vers la droite

]]> Confusion entre une asymptote horizontale et une asymptote
verticale : ici $2$ est une valeur de $x$, pas une ordonnée.

]]> La courbe descend indéfiniment en longeant la droite $y = -2$

]]> Une courbe ne peut pas longer une droite horizontale en descendant
vers $-\infty$. L'asymptote est verticale, d'équation $x = 2$.

]]> La courbe s'arrête au point d'abscisse $2$, où $f$ vaut $-\infty$

]]> Une fonction ne prend jamais la valeur $-\infty$ : elle n'est pas
définie en $2$, et ses valeurs y deviennent seulement très petites.

]]> Limites des fonctions — Q37 : Ce que l'écran ne prouve pas Sur l'écran de la calculatrice, la courbe de $f$ semble se coller à la
droite d'équation $y = 3$ pour $x$ compris entre $0$ et $50$. Peut-on en
conclure que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$ ?

]]> Un écran de calculatrice affiche une fenêtre finie. Il sert à
conjecturer une limite, jamais à l'établir : seule l'étude de
l'expression de $f$ permet de conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : l'écran n'en montre qu'une portion, il faut le démontrer

]]> Bonne réponse : l'écran fournit une conjecture. La fonction peut
très bien s'éloigner de la droite au-delà de la fenêtre affichée.

]]> Oui : la courbe est visiblement collée à la droite $y = 3$

]]> Une observation sur une fenêtre bornée ne dit rien du comportement
au-delà : elle suggère un résultat, elle ne le prouve pas.

]]> Oui, à condition que $f$ soit croissante sur $[0\ ;\ 50]$

]]> La monotonie sur une partie de la courbe ne renseigne pas non plus
sur ce qui se passe après $50$.

]]> Non : une courbe ne peut pas approcher une droite sans la couper

]]> Conclusion juste, raison fausse : une courbe peut parfaitement
approcher une asymptote sans jamais la rencontrer.

]]> Limites des fonctions — Q38 : Une majoration qui ne conclut pas Une fonction $f$ vérifie $f(x) \leq x^2$ pour tout réel $x$. Que peut-on
en déduire sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?

]]> Le théorème de comparaison conclut dans un seul sens : si
$f(x) \geq g(x)$ et si $g$ tend vers $+\infty$, alors $f$ aussi. Une
majoration par une fonction de limite $+\infty$ n'apporte aucune
information.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien : cette majoration ne permet aucune conclusion

]]> Bonne réponse : la fonction peut tendre vers $+\infty$, vers un
réel, ou n'avoir aucune limite, tout en restant sous $x^2$.

]]> Que $f$ tend vers $+\infty$, comme la fonction $x \mapsto x^2$

]]> Seule une minoration par une fonction de limite $+\infty$ permet
cette conclusion. Ici la comparaison est dans l'autre sens.

]]> Que $f$ tend vers $-\infty$, puisqu'elle reste sous $x^2$

]]> Rester en dessous d'une fonction n'oblige pas à descendre : la
fonction nulle vérifie aussi cette majoration.

]]> Que $f$ est majorée, donc qu'elle admet une limite finie

]]> Une fonction majorée par $x^2$ n'est pas majorée par un réel fixe,
et une fonction majorée n'a pas forcément de limite.

]]> Limites des fonctions — Q39 : Un produit par une fonction bornée Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}\sin x$ ?

]]> Le produit d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle tend
vers $0$. On l'établit en encadrant le produit par les deux bornes, puis
en appliquant le théorème des gendarmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $-e^{-x} \leq e^{-x}\sin x \leq e^{-x}$, et les deux
bornes tendent vers $0$. Le théorème des gendarmes conclut.

]]> $1$

]]> Le facteur $\sin x$ ne se stabilise pas, mais il reste borné, et le
facteur $e^{-x}$ écrase le produit vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Le facteur $e^{-x}$ tend vers $0$ et le facteur $\sin x$ ne dépasse
jamais $1$ : le produit ne peut pas exploser.

]]> Cette fonction n'a pas de limite

]]> Les oscillations de $\sin x$ sont bien présentes, mais leur
amplitude est écrasée par $e^{-x}$, qui tend vers $0$.

]]> Limites des fonctions — Q40 : L'exponentielle contre le carré Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(e^{x} - x^{2}\right)$ ?

]]> Devant une différence de deux termes infinis, on factorise par le terme
prépondérant. Ici $\dfrac{x^2}{e^x}$ tend vers $0$ par croissance
comparée, donc la différence se comporte comme $e^x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$

]]> Bonne réponse : on factorise par $e^x$, ce qui donne
$e^x\left(1 - \dfrac{x^2}{e^x}\right)$. Le facteur entre
parenthèses tend vers $1$ et $e^x$ vers $+\infty$.

]]> $-\infty$

]]> Ce serait le cas si $x^2$ l'emportait. Or l'exponentielle grandit
plus vite que toute puissance de $x$.

]]> $0$

]]> Une forme « $\infty - \infty$ » ne vaut pas $0$ : les deux termes
grandissent, mais pas à la même vitesse.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> La factorisation lève l'indétermination et donne une limite, bien
qu'elle soit infinie.

]]> Limites des fonctions — Q41 : Le cosinus en plus l'infini La fonction cosinus admet-elle une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ ?

]]> Une fonction bornée qui oscille indéfiniment n'a pas de limite en
$+\infty$. Ne pas avoir de limite finie ne signifie donc pas tendre vers
l'infini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle oscille sans cesse entre $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : $\cos x$ repasse indéfiniment par $-1$ et par $1$,
sans jamais se rapprocher d'une valeur unique.

]]> Oui, elle tend vers $0$ en oscillant de moins en moins

]]> Les oscillations du cosinus gardent toujours la même amplitude :
elles ne s'atténuent pas.

]]> Oui, sa limite vaut $1$, sa plus grande valeur

]]> La plus grande valeur atteinte n'est pas une limite : la fonction
redescend aussitôt jusqu'à $-1$.

]]> Non, elle tend vers $+\infty$ en oscillant

]]> La fonction cosinus est bornée par $-1$ et $1$ : elle ne peut pas
tendre vers l'infini.

]]> Limites des fonctions — Q42 : Limite d'une racine composée Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{9 + \dfrac{2}{x}}$ ?

]]> Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de
l'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à
cette limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression
sous la racine tend vers $9$, et la racine vers $3$.

]]> $9$

]]> C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à
prendre la racine carrée, qui donne $3$.

]]> $11$

]]> Le quotient $\dfrac{2}{x}$ ne vaut pas $2$ : il tend vers $0$
quand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $3$.

]]> $0$

]]> Seul le terme $\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant
$9$ reste, et la racine vaut $3$.

]]> Limites des fonctions — Q43 : Compter les asymptotes d'une courbe Une fonction $f$ vérifie $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 2$,
$\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = +\infty$,
$\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = -\infty$ et
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$.
Combien sa courbe admet-elle de droites asymptotes ?

]]> Une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale, une
limite infinie en un réel donne une asymptote verticale. Il faut
ensuite regrouper les droites identiques avant de les compter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : la droite $y = 2$ et la droite $x = 1$

]]> Bonne réponse : les deux limites égales à $2$ désignent la même
droite horizontale, et les deux limites infinies en $1$ désignent
la même droite verticale.

]]> Trois : $y = 2$ deux fois et $x = 1$ une fois

]]> La droite $y = 2$ ne doit être comptée qu'une fois : c'est une
seule droite, approchée des deux côtés.

]]> Une seule : la droite verticale d'équation $x = 1$

]]> Les limites finies en $-\infty$ et en $+\infty$ donnent aussi une
asymptote, horizontale cette fois.

]]> Quatre : une droite pour chacune des limites données

]]> Chaque limite ne fournit pas sa propre droite : deux limites
peuvent désigner la même asymptote.

]]> Limites des fonctions — Q44 : Une forme indéterminée avec une racine carrée Que vaut $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ ?

]]> On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{x} + 2$ :
le numérateur devient $x - 4$, qui se simplifie avec le
dénominateur, et il reste $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{4}$

]]> Bonne réponse : en multipliant les deux termes par
$\sqrt{x} + 2$, le quotient devient
$\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$, qui tend vers $\dfrac{1}{4}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Le dénominateur obtenu est $\sqrt{x} + 2$, qui tend vers
$4$ et non vers $2$. La limite vaut donc $\dfrac{1}{4}$.

]]> $0$

]]> Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la
forme est indéterminée et se lève en $\dfrac{1}{4}$.

]]> $+\infty$

]]> Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le
numérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Limites des fonctions — Q45 : Limite du carré d'une fonction On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$. Que vaut
$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(f(x)^2 + 1\right)$ ?

]]> Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est
le carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des
limites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : le carré tend vers $3^2 = 9$, auquel on
ajoute $1$, ce qui donne $10$.

]]> $7$

]]> Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,
et non $6$.

]]> $9$

]]> Le terme constant $1$ a été oublié en chemin : la limite d'une
somme est la somme des limites, donc $10$.

]]> $16$

]]> Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on
ajoute $1$, ce qui donne $10$.

]]> Limites des fonctions — Q46 : Lire des limites sur une courbe Courbe d'une fonction à deux branches, avec en pointillés la droite horizontale d'équation y = 2 et la droite verticale d'équation x = -1. À droite de -1, la courbe descend de l'infini vers la droite y = 2 ; à gauche, elle remonte de moins l'infini vers y = 2.

La courbe ci-contre représente une fonction $f$ définie sur
$\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Que valent
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et
$\lim\limits_{x \to -1^{+}} f(x)$ ?

]]> Asymptote horizontale $y = \ell$ : limite $\ell$ à l'infini.
Asymptote verticale $x = a$ : limite infinie en $a$, à gauche ou à
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$ et $+\infty$

]]> Bonne réponse : la courbe se rapproche de la droite $y = 2$ à
l'infini, et monte sans limite à droite de $-1$.

]]> $2$ et $-\infty$

]]> Erreur : la limite $-\infty$ se lit à gauche de $-1$.

]]> $+\infty$ et $2$

]]> Erreur : les deux limites sont échangées.

]]> $-1$ et $+\infty$

]]> Erreur : $-1$ est l'abscisse de l'asymptote verticale ; la
limite en $+\infty$ est une ordonnée.

]]>