$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Primitives et équations différentielles
Notion de primitive (équation $y' = f$), primitives des fonctions
de référence et des formes $(v' \circ u) \times u'$, primitives
d'une même fonction à constante près, équations différentielles
$y' = ay$ et $y' = ay + b$ : forme des solutions, solution
vérifiant une condition initiale, comportement en l'infini.]]>
Primitives et équations différentielles — Q01 : Définition d'une primitive
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que
signifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?]]>
Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est
dérivable sur $I$ avec $F' = f$. La primitivation est
l'opération inverse de la dérivation (résoudre $y' = f$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$]]>
Bonne réponse : chercher une primitive, c'est remonter la
dérivation : $F' = f$ sur tout l'intervalle.]]>
$f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$]]>
Sens inversé : c'est $F$ qu'on dérive pour retrouver $f$,
pas le contraire. $F$ primitive de $f$ $\Leftrightarrow$
$F' = f$.]]>
$F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$]]>
Erreur : la constante relie deux primitives entre
elles, pas une primitive à la fonction. $F$ et $f$ sont
liées par la dérivation.]]>
$F(0) = 0$ et $F$ est continue]]>
Erreur : aucune condition en $0$ n'intervient dans la
définition. Ce qui compte : $F' = f$ sur $I$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive de $x^2$
Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto x^2$ sur
$\mathbb{R}$ ?]]>
Primitives des puissances : pour $n \neq -1$, une primitive de
$x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Toujours vérifier en
redérivant : $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = x^2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$]]>
Bonne réponse : en dérivant $\dfrac{x^3}{3}$, on obtient
$\dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Règle : primitive de $x^n$ =
$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.]]>
$x \mapsto \dfrac{x^2}{2}$]]>
Erreur : $\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de $x$, pas
de $x^2$. Une primitive s'obtient en montant l'exposant
: $x^2$ donne $\dfrac{x^3}{3}$.]]>
$x \mapsto x^3$]]>
Presque : $(x^3)' = 3x^2$, trois fois trop grand. Il faut
diviser par le nouvel exposant : $\dfrac{x^3}{3}$.]]>
$x \mapsto \dfrac{x^3}{2}$]]>
Erreur : $\left(\dfrac{x^3}{2}\right)' =
\dfrac{3x^2}{2}$. On divise par le nouvel exposant
$3$, pas par $2$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q03 : Deux primitives d'une même fonction
Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue
$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?]]>
Théorème (démonstration au programme) : sur un intervalle, deux
primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. C'est
pourquoi la condition $F(x_0) = y_0$ suffit à isoler une
primitive unique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$G - F$ est constante sur $I$]]>
Bonne réponse : $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle
$I$, donc il existe une constante $C$ telle que $G(x) =
F(x) + C$ pour tout $x$ de $I$. Deux primitives
diffèrent d'une constante.]]>
$F$ et $G$ sont égales sur $I$]]>
Trop fort : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives
distinctes de $2x$. L'égalité n'a lieu qu'à constante près.]]>
$G - F$ est affine, éventuellement non constante]]>
Erreur : si $G - F$ contenait un terme $ax$ avec $a \neq
0$, sa dérivée vaudrait $a \neq 0$, contredisant $G' =
F' = f$. La différence est une constante.]]>
$G = kF$ pour une constante $k$]]>
Erreur : la liberté est additive, pas multiplicative.
Vérifie : $(kF)' = kf \neq f$ dès que $k \neq 1$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q04 : Primitive de $e^{@k@x}$
Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ sur
$\mathbb{R}$ ?]]>
Pour $a \neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est
$\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par
son coefficient. Vérification immédiate en dérivant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \mapsto \dfrac{e^{3x}}{3}$]]>
Bonne réponse : $\left(\dfrac{e^{3x}}{3}\right)' =
\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}$. Le facteur $\dfrac{1}{3}$
compense le $3$ que la dérivation ferait sortir.]]>
$x \mapsto 3e^{3x}$]]>
Sens inversé : $3e^{3x}$ est la dérivée de $e^{3x}$.
Pour une primitive, on divise par $3$ au lieu de
multiplier.]]>
$x \mapsto e^{3x}$]]>
Erreur : $(e^{3x})' = 3e^{3x} \neq e^{3x}$. Seule $e^x$ est
sa propre primitive ; ici il faut le facteur $\dfrac{1}{3}$.]]>
$x \mapsto \dfrac{e^{4x}}{4}$]]>
Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances
de $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve
l'exposant $3x$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q05 : Primitive d'une forme $u' u^n$
Quelle fonction est une primitive de
$f(x) = x\,(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$ ?]]>
Reconnaître la forme $u'u^n$ : ici $u = x^2+1$, $u' = 2x$, donc
$x(x^2+1)^3 = \frac{1}{2}u'u^3$, de primitive
$\frac{1}{2}\cdot\frac{u^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{8}$.
Vérifier en dérivant est le meilleur garde-fou.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$]]>
Bonne réponse : avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ : on écrit
$f = \dfrac{1}{2}\,u'u^3$, dont une primitive est
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u^4}{4} = \dfrac{u^4}{8}$.]]>
$F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$]]>
Oubli du facteur $\dfrac{1}{2}$ : $u' = 2x$ alors que
l'énoncé n'a que $x$ en facteur. Il faut compenser :
$x = \dfrac{1}{2}u'$, d'où le dénominateur $8$.]]>
$F(x) = (x^2 + 1)^4$]]>
Erreur : $\left((x^2+1)^4\right)' = 8x(x^2+1)^3$, huit fois
trop grand. La forme $u'u^n$ se primitive en
$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, avec ajustement du coefficient.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}\,(x^2+1)^3$]]>
Erreur : on ne primitive pas facteur par facteur (pas plus
qu'on ne dérive un produit terme à terme). Il faut
reconnaître la structure composée $u'u^3$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q06 : Vérifier une primitive par dérivation
Soit $F(x) = (x - 1)\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?]]>
$F'(x) = (x-1)'e^x + (x-1)(e^x)' = e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$.
C'est le réflexe central du chapitre : toute primitive proposée
se contrôle en la dérivant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x\,e^x$]]>
Bonne réponse : dérivée d'un produit,
$F'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = x\,e^x$. Donc $F$ est une
primitive de $x \mapsto x\,e^x$.]]>
$(x - 1)\,e^x$]]>
Erreur : tu as dérivé seulement $e^x$ en oubliant la règle
du produit. Le terme $1 \cdot e^x$ venu de $(x-1)'$
transforme $x - 1$ en $x$.]]>
$e^x$]]>
Erreur : tu as dérivé chaque facteur puis multiplié
($1 \times e^x$). La règle du produit est
$u'v + uv'$, pas $u'v'$.]]>
$(x + 1)\,e^x$]]>
Erreur de calcul : $1 \cdot e^x + (x-1)e^x =
(1 + x - 1)e^x = x\,e^x$. Les constantes s'annulent.]]>
Primitives et équations différentielles — Q07 : Solutions de $y' = @k@y$
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?]]>
Théorème (démonstration au programme) : les solutions de
$y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$, $C$ réel
quelconque. La constante se fixe ensuite par une condition
initiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les fonctions $x \mapsto C\,e^{3x}$, $C$ réel]]>
Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement
les $x \mapsto C\,e^{ax}$. Vérification :
$(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$.]]>
La seule fonction $x \mapsto e^{3x}$]]>
Incomplet : tout multiple $Ce^{3x}$ convient aussi (y
compris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation
différentielle a une famille de solutions.]]>
Les fonctions $x \mapsto C\,e^{-3x}$, $C$ réel]]>
Erreur de signe : $(Ce^{-3x})' = -3Ce^{-3x} = -3y$. Ces
fonctions résolvent $y' = -3y$.]]>
Les fonctions $x \mapsto 3x + C$, $C$ réel]]>
Erreur : $y = 3x + C$ donne $y' = 3$, constant, alors que
$3y = 9x + 3C$ varie. Tu as résolu $y' = 3$ (une
primitive), pas $y' = 3y$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q08 : Solutions de $y' = 2y + 6$
Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 2y + 6$ ?]]>
Méthode pour $y' = ay + b$ : (1) solution particulière
constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$ ; (2) solutions de l'équation :
$y = C\,e^{ax} + y_p$. Ici : $y = Ce^{2x} - 3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$y = C\,e^{2x} - 3$]]>
Bonne réponse, avec $C$ constante réelle : la solution
particulière constante vérifie $0 = 2y + 6$, soit $y =
-3$ ; on lui ajoute les solutions $Ce^{2x}$ de
l'équation homogène $y' = 2y$.]]>
$y = C\,e^{2x} + 3$]]>
Erreur de signe sur la constante particulière : elle
résout $2y + 6 = 0$, donc $y = -3$, pas $+3$. Contrôle :
si $y = Ce^{2x}+3$, alors $y' = 2Ce^{2x}$ mais
$2y + 6 = 2Ce^{2x} + 12$ : ça ne colle pas.]]>
$y = C\,e^{2x} + 6$]]>
Erreur : tu as pris le terme $b = 6$ comme solution
particulière. La constante correcte est
$-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3$.]]>
$y = C\,e^{-2x} - 3$]]>
Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation homogène
associée est $y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$ (exposant
$+2x$).]]>
Primitives et équations différentielles — Q09 : Imposer une condition initiale
Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant
$y(0) = 1$ ?]]>
Deux temps : forme générale $y = Ce^{2x} - 3$, puis condition
initiale : $y(0) = C - 3 = 1 \Rightarrow C = 4$. Une condition
initiale isole une solution dans la famille.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$y = 4\,e^{2x} - 3$]]>
Bonne réponse : dans $y = Ce^{2x} - 3$, la condition
$y(0) = 1$ donne $C - 3 = 1$, donc $C = 4$.]]>
$y = e^{2x} - 3$]]>
Erreur : cette fonction vaut $1 - 3 = -2$ en $0$, pas $1$.
La constante $C$ se calcule avec la condition initiale :
$C - 3 = 1$ donne $C = 4$.]]>
$y = 4\,e^{-2x} - 3$]]>
Erreur d'exposant : l'équation homogène associée est
$y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$. Cette fonction vaut bien
$1$ en $0$, mais elle ne vérifie pas l'équation.]]>
$y = 4\,e^{2x} + 3$]]>
Erreur : le $-3$ vient de la solution particulière de
l'équation, il ne change pas de signe. Avec $+3$, on
n'aurait pas $y' = 2y + 6$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q10 : Primitive de sinus
Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto \sin(x)$ sur
$\mathbb{R}$ ?]]>
Primitives trigonométriques : $\sin$ se primitive en $-\cos$,
et $\cos$ en $\sin$. Contrôle systématique en dérivant :
$(-\cos x)' = \sin x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \mapsto -\cos(x)$]]>
Bonne réponse : $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Les
deux signes moins se compensent.]]>
$x \mapsto \cos(x)$]]>
Erreur de signe : $(\cos x)' = -\sin x$. Pour retomber sur
$+\sin x$, il faut partir de $-\cos x$.]]>
$x \mapsto -\sin(x)$]]>
Erreur : $(-\sin x)' = -\cos x \neq \sin x$. Primitiver
échange sinus et cosinus (avec un signe à surveiller).]]>
$x \mapsto \dfrac{\sin^2(x)}{2}$]]>
Erreur : $\left(\dfrac{\sin^2 x}{2}\right)' =
\sin x \cos x$, à cause de la composition. La règle des
puissances ne s'applique pas telle quelle aux fonctions.]]>
Primitives et équations différentielles — Q11 : Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$
Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de
$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?]]>
$y = Ce^{ax}$ : le signe de $a$ commande tout. $a > 0$ :
explosion exponentielle ; $a < 0$ : extinction vers $0$ ;
$a = 0$ : solutions constantes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elles tendent vers $0$]]>
Bonne réponse : $y = Ce^{ax}$ avec $a < 0$ : l'exponentielle
s'éteint en $+\infty$. C'est le modèle des décroissances
exponentielles (décharge, désintégration,
refroidissement).]]>
Elles tendent vers $+\infty$]]>
Erreur : c'est le comportement pour $a > 0$ (croissance
exponentielle). Ici l'exposant $ax$ tend vers $-\infty$ et
$e^{ax} \to 0$.]]>
Elles oscillent]]>
Erreur : les solutions $Ce^{ax}$ sont monotones (aucun
sinus en vue). Les oscillations relèvent d'autres équations,
comme $y'' + \omega^2 y = 0$.]]>
Elles deviennent constantes égales à $a$]]>
Erreur : $a$ est le coefficient de l'équation, pas une
valeur limite des solutions. La limite commune est $0$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q12 : Primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
Quelle fonction est une primitive de
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?]]>
Primitive de référence (au programme) : sur $]0\,;\,+\infty[$,
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ se primitive en $2\sqrt{x}$. À ranger
avec : $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ et $x^n \to
\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \mapsto 2\sqrt{x}$]]>
Bonne réponse : $(2\sqrt{x})' = 2 \times
\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.]]>
$x \mapsto \sqrt{x}$]]>
Facteur manquant : $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$,
moitié trop petit. D'où le facteur $2$ dans la primitive.]]>
$x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$]]>
Erreur de sens : $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ est la dérivée
de $\sqrt{x}$. On cherche l'opération inverse.]]>
$x \mapsto \ln(\sqrt{x})$]]>
Erreur : $\left(\ln(\sqrt x)\right)' =
\dfrac{1}{2x}$, ce n'est pas $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Le
logarithme est la primitive de $\dfrac{1}{x}$, pas de
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?]]>
Sur $]0\ ;\ +\infty[$, les primitives de $\frac{1}{x}$ sont
$\ln x + C$. L'exception de la règle des puissances
($n = -1$) : à mémoriser comme telle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \ln x$]]>
Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : le logarithme
comble exactement le trou de la formule des puissances.]]>
$F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$]]>
Sens inverse : $-\frac{1}{x^2}$ est la dérivée de
$\frac{1}{x}$ ; on cherche l'antécédent de dérivation,
pas l'image.]]>
$F(x) = \dfrac{x^0}{0}$]]>
Division par zéro : la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$
échoue précisément pour $n = -1$ : c'est $\ln$ qui prend
le relais.]]>
$F(x) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$]]>
Signe : $\ln\frac{1}{x} = -\ln x$, dont la dérivée est
$-\frac{1}{x}$ : l'opposé de ce qu'on veut.]]>
Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\cos(2x)$
Quelle est une primitive de $f(x) = \cos(2x)$ ?]]>
Primitives de $\cos(ax + b)$ : $\frac{1}{a}\sin(ax + b)$ ;
de $\sin(ax+b)$ : $-\frac{1}{a}\cos(ax + b)$. Toujours
vérifier en dérivant : la compensation en $\frac{1}{a}$ ne
pardonne pas l'improvisation.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$]]>
Bonne réponse : $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$ : il faut
compenser le facteur $2$ par $\frac{1}{2}$. Contrôle en
dérivant : $\frac{1}{2} \times 2\cos(2x) = \cos(2x)$.]]>
$F(x) = \sin(2x)$]]>
Compensation oubliée : $(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$, le
double de la cible : diviser par $2$.]]>
$F(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x)$]]>
Signe : le moins appartient au couple inverse (primitive
de $\sin$ = $-\cos$). Pour $\cos$, la primitive est en
$+\sin$.]]>
$F(x) = 2\sin(2x)$]]>
Compensation à l'envers : dériver $2\sin(2x)$ donne
$4\cos(2x)$ : on divise par le coefficient interne, on
ne multiplie pas.]]>
Primitives et équations différentielles — Q15 : Existence de primitives
Quelles fonctions admettent des primitives sur un
intervalle ?]]>
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle y admet
des primitives (une infinité, à constante près). En
pratique, toutes les fonctions du programme sont continues
sur leurs intervalles de définition.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Toute fonction continue sur cet intervalle]]>
Bonne réponse : théorème du cours : continuité suffit
(la primitive s'obtient d'ailleurs comme aire variable,
au chapitre intégration).]]>
Seulement les polynômes]]>
Trop restrictif : $e^x$, $\cos$, $\frac{1}{x}$… toutes
les fonctions continues usuelles ont des primitives.]]>
Seulement les fonctions dérivables]]>
Confusion : la dérivabilité concerne la fonction
elle-même ; pour primitiver, la continuité suffit
($|x|$, non dérivable en $0$, a des primitives).]]>
Seulement les fonctions positives]]>
Sans rapport : $f(x) = -e^x$, toujours négative, a pour
primitive $-e^x$. Le signe ne joue aucun rôle.]]>
Primitives et équations différentielles — Q16 : Primitive de la forme $\dfrac{u'}{u}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?]]>
Formes composées à repérer : $\frac{u'}{u} \to \ln u$
($u > 0$), $u'e^u \to e^u$, $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$.
Le réflexe : chercher si le numérateur est la dérivée du
dénominateur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$]]>
Bonne réponse : forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1
> 0$ et $u' = 2x$ : primitive $\ln(u)$.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{\frac{x^3}{3} + x}$]]>
Erreur : primitiver haut et bas séparément n'a aucun
sens pour un quotient : il faut reconnaître la
forme $\frac{u'}{u}$.]]>
$F(x) = 2x\ln(x^2 + 1)$]]>
Erreur : dériver ce produit ferait apparaître un terme
en $\ln$ parasite : la primitive de $\frac{u'}{u}$ est
$\ln u$, sans facteur.]]>
$F(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^2}$]]>
Erreur : c'est une piste pour $\frac{u'}{u^3}$… en
dérivant : $\frac{-4x}{(x^2+1)^3}$, rien à voir.
Reconnaître $\frac{u'}{u}$ → $\ln u$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q17 : Primitive de la forme $u'e^u$
Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?]]>
$u'e^u \to e^u$ : la plus rentable des formes composées.
Sans le facteur $u'$ exact, ajuster par une constante
($x e^{x^2} \to \frac{1}{2}e^{x^2}$) ; s'il manque plus
qu'une constante, la forme n'est pas applicable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = e^{x^2}$]]>
Bonne réponse : $u = x^2$, $u' = 2x$ : la fonction est
exactement $u'e^u$, de primitive $e^u$. Contrôle :
$(e^{x^2})' = 2x\,e^{x^2}$.]]>
$F(x) = x^2\,e^{x^2}$]]>
Erreur : dériver ce produit donne $2x\,e^{x^2}(1 + x^2)$,
trop. La primitive de $u'e^u$ est $e^u$ tout court.]]>
$F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{x^2}$]]>
Erreur : aucune règle ne divise par $u$. La forme
$u'e^u$ se primitive directement en $e^u$.]]>
$F(x) = 2\,e^{x^2}$]]>
Facteur en trop : le $2x$ est déjà absorbé par $u' =
2x$ : la primitive est $e^{x^2}$, sans coefficient.]]>
Primitives et équations différentielles — Q18 : Solution d'équilibre
L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution
constante. Laquelle ?]]>
Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =
-\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes
les solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ : équilibre
+ partie exponentielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre]]>
Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =
-3y + 6 \iff y = 2$. C'est l'état d'équilibre vers
lequel toutes les solutions convergent (coefficient
$-3 < 0$).]]>
$y = 6$ : le terme constant de l'équation]]>
Erreur : tester $y = 6$ : $y' = 0$ mais $-18 + 6 = -12
\neq 0$. L'équilibre est $-\frac{b}{a} = \frac{6}{3} =
2$.]]>
$y = -3$ : le coefficient de $y$]]>
Erreur : le coefficient $-3$ règle la vitesse de
convergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 2$).]]>
$y = 0$ : une constante est toujours solution]]>
Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 6 = 6 \neq 0$ :
$0$ n'est solution que des équations homogènes
($y' = ay$).]]>
Primitives et équations différentielles — Q19 : Primitive de $(2x + 1)^3$
Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?]]>
Pour $(ax + b)^n$ : primitive $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$
: la double division (exposant + coefficient interne) se
vérifie en une dérivation de contrôle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{8}$]]>
Bonne réponse : forme $u^n$ avec $u' = 2$ manquant : on
écrit $f = \frac{1}{2}\,u'u^3$, de primitive
$\frac{1}{2} \times \frac{u^4}{4} = \frac{u^4}{8}$.]]>
$F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{4}$]]>
Ajustement oublié : dériver donne $2 \times (2x+1)^3$ :
le $u' = 2$ interne exige un facteur $\frac{1}{2}$
supplémentaire.]]>
$F(x) = 3(2x + 1)^2$]]>
Sens inverse : $3(2x+1)^2 \times 2 = 6(2x+1)^2$ est (à
un facteur près) la dérivée de $f$, pas sa
primitive : l'exposant doit monter.]]>
$F(x) = \dfrac{(2x+1)^4}{2}$]]>
Double compensation ratée : il faut diviser par $4$
(exposant) ET par $2$ ($u'$) : dénominateur $8$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q20 : Primitive imposée en un point
Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant
$F(1) = 0$ ?]]>
Deux temps : primitive générale ($x^2 + C$), puis condition
($F(1) = 0 \Rightarrow C = -1$). Une condition fixe LA
primitive parmi l'infinité : même logique que la condition
initiale d'une équation différentielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = x^2 - 1$]]>
Bonne réponse : les primitives sont $x^2 + C$ ; la
condition $F(1) = 0$ donne $1 + C = 0$, donc $C = -1$.]]>
$F(x) = x^2$]]>
Condition ignorée : $F(1) = 1 \neq 0$. La constante se
calcule avec la condition, elle ne reste pas nulle
par défaut.]]>
$F(x) = x^2 + 1$]]>
Signe de la constante : $1 + C = 0 \Rightarrow C = -1$,
pas $+1$. Contrôle : $F(1) = 2 \neq 0$.]]>
$F(x) = 2$]]>
Erreur : une constante a une dérivée nulle, pas
$2x$ : ce n'est pas une primitive de $f$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q21 : Vérifier une solution d'équation différentielle
La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de
l'équation $y' = y + e^x$ ?]]>
« Vérifier que $f$ est solution » = calculer $f'$, injecter
$f$ dans le second membre, constater l'égalité pour tout
$x$. Aucune résolution : c'est la question la plus rentable
des sujets de baccalauréat.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$]]>
Bonne réponse : dérivée d'un produit : $f' = e^x + (x +
1)e^x = (x + 2)e^x$ ; le second membre donne la même
chose : égalité pour tout $x$.]]>
Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$]]>
Dérivée fausse : $(x + 1)e^x$ est un produit : sa
dérivée est $u'v + uv' = e^x + (x+1)e^x$, pas seulement
$e^x$.]]>
Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$]]>
Erreur : les $Ce^x$ résolvent l'équation homogène
$y' = y$ ; le second membre $e^x$ exige un terme
supplémentaire (le $xe^x$).]]>
On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation]]>
Erreur de méthode : vérifier une solution proposée ne
demande jamais de résoudre : on dérive, on remplace, on
compare.]]>
Primitives et équations différentielles — Q22 : Décroissance radioactive
Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\,N$ avec $N(0) =
100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?]]>
$y' = ay$, $y(0) = y_0 \Rightarrow y(t) = y_0e^{at}$. Le
signe de $a$ raconte l'histoire : $a < 0$ = désintégration,
refroidissement ; $a > 0$ = croissance. Toujours confronter
la solution au sens physique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$N(t) = 100\,e^{-0{,}1t}$]]>
Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : $Ce^{at}$ avec
$a = -0{,}1$ ; la condition $N(0) = C = 100$ fixe la
constante.]]>
$N(t) = 100 - 0{,}1t$]]>
Modèle linéaire : ce serait $N' = -0{,}1$ (perte
constante). Ici la perte est proportionnelle au
stock : décroissance exponentielle.]]>
$N(t) = e^{-0{,}1t}$]]>
Condition initiale perdue : $N(0)$ vaudrait $1$, pas
$100$ : le facteur $C = 100$ est indispensable.]]>
$N(t) = 100\,e^{0{,}1t}$]]>
Signe : avec $+0{,}1$, la quantité exploserait. La
désintégration impose l'exposant négatif du modèle $N' =
-0{,}1N$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q23 : Unicité avec condition initiale
Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions
vérifiant $y(0) = 1$ ?]]>
Théorème (au programme) : $y' = ay + b$ avec $y(x_0) = y_0$
admet une unique solution. Géométriquement : par chaque
point du plan passe une seule courbe solution.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$]]>
Bonne réponse : solutions générales $Ce^{2x} - 3$ ; la
condition $y(0) = C - 3 = 1$ force $C = 4$ : une et une
seule fonction.]]>
Une infinité, comme toute équation différentielle]]>
Nuance capitale : l'infinité vaut pour l'équation
seule ; chaque condition initiale sélectionne
exactement une solution (c'est le théorème du cours).]]>
Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation]]>
Erreur : toute valeur initiale est atteignable : il
suffit d'ajuster $C$ ($C = 4$ ici).]]>
Deux : une croissante et une décroissante]]>
Erreur : la constante $C$ est déterminée de façon
unique par une équation du premier degré : pas de
deuxième candidat.]]>
Primitives et équations différentielles — Q24 : Primitive d'un produit
$F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit
$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?]]>
Les primitives se comportent bien pour $f + g$ et $\lambda
f$, et c'est tout. Pour un produit : reconnaître une forme
composée ($u'u^n$, $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$…) ou transformer
l'expression. Le réflexe « primitive de chaque facteur » est
toujours faux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$]]>
Bonne réponse : la dérivation d'un produit suit $u'v +
uv'$. Exemple : $f = g = 1$, $FG = x^2$ dont la dérivée
est $2x \neq 1$. Symétriquement, il n'existe aucune
formule générale de primitive d'un produit.]]>
Oui, les opérations passent aux primitives]]>
Faux : seules la somme et la multiplication par une
constante passent. Contre-exemple : $f = g = 1$ :
$FG = x^2$, or une primitive de $fg = 1$ est $x$.]]>
Oui, à une constante près]]>
Erreur : $x^2$ et $x$ ne diffèrent pas d'une constante.
L'écart est structurel, pas constant.]]>
Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes]]>
Erreur : le contre-exemple $f = g = 1$ est
polynomial : même chez les polynômes, la formule est
fausse.]]>
Primitives et équations différentielles — Q25 : Primitive d'un polynôme
Quelle est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ ?]]>
La primitive de $x^n$ vaut $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. On vérifie toujours le
résultat en le dérivant, ce qui doit redonner la fonction de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x^3 - 2x^2 + x$]]>
Bonne réponse : on augmente chaque exposant d'une unité et l'on divise
par le nouvel exposant.]]>
$6x - 4$]]>
Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est
l'inverse.]]>
$3x^3 - 4x^2 + x$]]>
Division oubliée : la primitive de $3x^2$ est $x^3$, pas $3x^3$.]]>
$x^3 - 2x^2$]]>
Terme oublié : la primitive de la constante $1$ vaut $x$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q26 : Solutions de $y' = -2y$
Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = -2y$ ?]]>
L'équation $y' = ay$ a pour solutions exactement les fonctions
$x \mapsto Ce^{ax}$. La constante $C$ se détermine par une condition
initiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les fonctions $x \mapsto Ce^{-2x}$]]>
Bonne réponse : l'équation $y' = ay$ a pour solutions les fonctions
$Ce^{ax}$, avec $C$ réel quelconque.]]>
Les fonctions $x \mapsto Ce^{2x}$]]>
Signe de l'exposant : la dérivée de $Ce^{2x}$ vaut $2Ce^{2x}$, soit
$+2y$.]]>
Les fonctions $x \mapsto -2e^{x} + C$]]>
Forme incorrecte : la dérivée de cette fonction ne redonne pas un
multiple de la fonction elle-même.]]>
La seule fonction $x \mapsto e^{-2x}$]]>
Constante oubliée : tout multiple d'une solution est encore solution.]]>
Primitives et équations différentielles — Q27 : Une primitive imposée
Parmi les primitives de $f(x) = 2x$, laquelle vaut $5$ en $1$ ?]]>
Toutes les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Une
condition en un point fixe cette constante, donc une primitive unique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x^2 + 4$]]>
Bonne réponse : $F(x) = x^2 + C$ et $1 + C = 5$ donne $C = 4$.]]>
$x^2 + 5$]]>
Condition mal exploitée : cette fonction vaut $6$ en $1$, pas $5$.]]>
$x^2$]]>
Constante nulle : cette primitive vaut $1$ en $1$.]]>
$2x^2 + 3$]]>
Coefficient faux : la dérivée vaudrait $4x$ et non $2x$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q28 : Une équation avec second membre
Quelle est la solution constante de l'équation $y' = 3y - 12$ ?]]>
La solution constante, ou solution d'équilibre, s'obtient en annulant la
dérivée. Les autres solutions s'en déduisent en ajoutant les solutions de
l'équation sans second membre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La fonction constante égale à $4$]]>
Bonne réponse : une solution constante a une dérivée nulle, donc
$3y - 12 = 0$.]]>
La fonction constante égale à $12$]]>
Second membre recopié : il reste à résoudre $3y = 12$.]]>
La fonction constante égale à $-4$]]>
Signe faux : $3 \times (-4) - 12$ vaut $-24$, pas $0$.]]>
La fonction constante égale à $3$]]>
Coefficient recopié : $3 \times 3 - 12$ vaut $-3$, donc la dérivée ne
serait pas nulle.]]>
Primitives et équations différentielles — Q29 : Reconnaître une forme $u'e^u$
Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?]]>
Reconnaître une forme composée, $u'e^u$, $u'u^n$ ou $\dfrac{u'}{u}$, évite
tout calcul. La vérification par dérivation est immédiate.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$e^{x^2}$]]>
Bonne réponse : l'expression est de la forme $u'e^u$, avec
$u(x) = x^2$.]]>
$2x\,e^{x^2}$]]>
Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive, sa dérivée
comporte un terme supplémentaire.]]>
$x^2 e^{x^2}$]]>
Facteurs primitivés séparément : cette opération n'est pas valable pour
un produit.]]>
$\dfrac{e^{x^2}}{2x}$]]>
Division par le facteur : la dérivée de cette expression est bien plus
compliquée que $f$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q30 : Un refroidissement
La température d'un objet vérifie $T' = -0{,}1T$.
Comment évolue-t-elle ?]]>
Pour $y' = ay$ avec $a$ négatif, les solutions tendent vers $0$ : c'est le
modèle des décroissances, refroidissement, désintégration radioactive,
élimination d'un médicament.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle décroît vers $0$]]>
Bonne réponse : les solutions sont $Ce^{-0{,}1t}$, qui tendent vers
$0$ pour $C$ positif.]]>
Elle croît sans limite]]>
Le coefficient négatif impose une décroissance, la dérivée étant de
signe opposé à la température.]]>
Elle reste constante]]>
Seule la solution nulle est constante ; toute température initiale non
nulle évolue.]]>
Elle décroît puis remonte]]>
Aucun changement de sens : la dérivée garde le signe opposé à celui de
$T$ tout au long.]]>
Primitives et équations différentielles — Q31 : Primitive d'un monôme
Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 12x^2$ sur
$\mathbb{R}$ ?]]>
Pour $n \neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :
l'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un
coefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = 4x^3$]]>
Bonne réponse : l'exposant monte à $3$ et on divise par ce
nouvel exposant, ce qui donne $\dfrac{12}{3} = 4$ devant
$x^3$. En dérivant $4x^3$, on retrouve bien $12x^2$.]]>
$F(x) = 12x^3$]]>
Division oubliée : en dérivant $12x^3$, on obtiendrait
$3 \times 12x^2$, soit $3$ fois trop. Il faut diviser le
coefficient par $3$.]]>
$F(x) = \dfrac{12x^3}{2}$]]>
Mauvais diviseur : on divise par le nouvel exposant $3$, et
non par l'ancien exposant $2$.]]>
$F(x) = 4x^2$]]>
L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^2$ fait
monter l'exposant à $3$, alors que le dériver le ferait baisser.]]>
Primitives et équations différentielles — Q32 : Nombre de primitives d'une fonction continue
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Combien $f$
admet-elle de primitives sur $I$ ?]]>
Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et
deux d'entre elles diffèrent d'une constante : l'ensemble des
primitives s'écrit $\{F + C,\ C \in \mathbb{R}\}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une infinité : elles diffèrent d'une constante]]>
Bonne réponse : une fonction continue sur un intervalle admet au
moins une primitive $F$, et les fonctions $F + C$ conviennent
toutes. Il y en a donc autant que de réels $C$.]]>
Une seule, entièrement déterminée par la fonction $f$]]>
Trop restrictif : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives de $2x$.
Une primitive n'est unique que si l'on impose en plus sa valeur en
un point.]]>
Aucune, sauf si $f$ est elle-même dérivable sur $I$]]>
La continuité suffit : c'est elle qui garantit l'existence de
primitives, la dérivabilité de $f$ n'est jamais exigée.]]>
Deux au plus, opposées l'une de l'autre]]>
Erreur : si $F$ est une primitive, $-F$ a pour dérivée $-f$ et
n'en est donc pas une. La liberté porte sur une constante ajoutée.]]>
Primitives et équations différentielles — Q33 : Primitive de $\dfrac{k}{x^2}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{5}{x^2}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?]]>
En écrivant $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le
diviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\dfrac{1}{x}$. Le facteur
constant se conserve tout au long du calcul.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$F(x) = -\dfrac{5}{x}$]]>
Bonne réponse : $\left(-\dfrac{5}{x}\right)' =
\dfrac{5}{x^2}$, car la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ vaut
$-\dfrac{1}{x^2}$.]]>
$F(x) = \dfrac{5}{x}$]]>
Signe oublié : en dérivant $\dfrac{5}{x}$, on trouve
$-\dfrac{5}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue.]]>
$F(x) = 5\ln x$]]>
Confusion avec $\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de
$\dfrac{1}{x}$, pas de $\dfrac{1}{x^2}$.]]>
$F(x) = -\dfrac{5}{3x^3}$]]>
Exposant traité à l'envers : $\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,
dont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q34 : Primitive de $\dfrac{1}{ax+b}$
Sur un intervalle où $2x + 1$ reste strictement positif, quelle
est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$ ?]]>
La forme $\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\ln u$ sur un intervalle où
$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en
multipliant par $\dfrac{1}{a}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{1}{2}\ln(2x + 1)$]]>
Bonne réponse : avec $u(x) = 2x + 1$, on a $u' = 2$, donc
$f = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est
$\dfrac{1}{2}\ln u$.]]>
$F(x) = \ln(2x + 1)$]]>
Ajustement oublié : la dérivée de $\ln(2x + 1)$ vaut
$\dfrac{2}{2x + 1}$, soit $2$ fois trop.]]>
$F(x) = 2\ln(2x + 1)$]]>
Ajustement inversé : il faut diviser par $2$, et non multiplier,
puisque la dérivation fait sortir ce facteur.]]>
$F(x) = -\dfrac{1}{2\,(2x + 1)^2}$]]>
Forme mal reconnue : $\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le
carré au dénominateur viendrait d'une dérivation.]]>
Primitives et équations différentielles — Q35 : Primitive d'une forme $u'e^u$
Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 3)\,e^{x^2 + 3 x}$
sur $\mathbb{R}$ ?]]>
Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur
$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.
Ici $u(x) = x^2 + 3 x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = e^{x^2 + 3 x}$]]>
Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3 x$, on a $u'(x) =
2x + 3$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$.]]>
$F(x) = (x^2 + 3 x)\,e^{x^2 + 3 x}$]]>
Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il
disparaît entièrement, il ne devient pas $u$.]]>
$F(x) = 2\,e^{x^2 + 3 x}$]]>
Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur
et donnerait le double de $f$.]]>
$F(x) = \dfrac{e^{x^2 + 3 x}}{2x + 3}$]]>
On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le
quotient obtenu ne se dérive pas en $f$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q36 : Retrouver l'équation à partir des solutions
Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions
$x \mapsto C\,e^{-4x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle
équation s'agit-il ?]]>
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto C\,e^{ax}$ :
la lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans
l'exposant étant exactement le $a$ de l'équation.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$y' = -4y$]]>
Bonne réponse : en dérivant $y = C\,e^{-4x}$, on obtient
$y' = -4C\,e^{-4x} = -4y$. Le coefficient de $x$ dans
l'exposant est celui qui multiplie $y$.]]>
$y' = 4y$]]>
Signe inversé : ce sont les fonctions $C\,e^{4x}$ qui résolvent
cette équation, pas celles de l'énoncé.]]>
$y' = -4x$]]>
L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est
la fonction $y$ qui figure au second membre.]]>
$y' = -\dfrac{1}{4}y$]]>
Coefficient inversé : $-\dfrac{1}{4}$ donnerait les solutions
$C\,e^{-\dfrac{1}{4}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé.]]>
Primitives et équations différentielles — Q37 : Limite des solutions de $y' = ay + b$
On considère l'équation différentielle $y' = -2y + 8$. Vers
quelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?]]>
Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent
$C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la
limite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$4$]]>
Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\,e^{-2x} + 4$.
Comme $-2 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la
solution constante $4$.]]>
$8$]]>
Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient
en résolvant $-2y + 8 = 0$, ce qui donne $4$.]]>
$0$]]>
Ce serait la limite pour $y' = -2y$, sans second membre. Le terme
constant décale l'équilibre en $4$.]]>
$-8$]]>
Division oubliée : l'équation $-2y + 8 = 0$ se résout en
divisant par $-2$, ce qui donne $4$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q38 : Primitive vérifiant une condition
Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ qui
vérifie $F(2) = 5$ ?]]>
On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,
puis on remplace $x$ par $2$ et on résout l'équation d'inconnue
$C$. La condition fixe une primitive et une seule.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$F(x) = x^3 - 3$]]>
Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne
$8 + C = 5$, donc $C = -3$.]]>
$F(x) = x^3 + 5$]]>
La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut
retrancher $8$ à $5$, ce qui donne $C = -3$.]]>
$F(x) = x^3 + 3$]]>
Signe inversé dans la résolution : de $8 + C = 5$ on tire
$C = 5 - 8$, soit $-3$.]]>
$F(x) = 3x^3 - 3$]]>
Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est
$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant.]]>
Primitives et équations différentielles — Q39 : Vérifier une primitive du logarithme
Soit $F(x) = 2x\ln x - 2x$, définie sur $]0\,;\,+\infty[$. Que
vaut $F'(x)$ ?]]>
On dérive le produit $2x \times \ln x$ avec
$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-2x$. Le résultat $2\ln x$
montre au passage que $x\ln x - x$ est une primitive de $\ln$.]]>
1.0
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0
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true
abc
$2\ln x$]]>
Bonne réponse : la dérivée de $2x\ln x$ vaut
$2\ln x + 2x \times \dfrac{1}{x} = 2\ln x + 2$, et celle
de $-2x$ vaut $-2$. Les deux constantes se compensent.]]>
$2\ln x + 2$]]>
Le second terme n'a pas été dérivé : $-2x$ apporte $-2$, qui
annule exactement le $+2$ venant du produit.]]>
$\dfrac{2}{x} - 2$]]>
Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer
$(uv)' = u'v + uv'$ à $2x \times \ln x$.]]>
$2\ln x - 2$]]>
La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte
$+2$ et le second terme $-2$, leur somme est nulle.]]>
Primitives et équations différentielles — Q40 : Primitive d'une forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ sur
$\mathbb{R}$ ?]]>
La forme $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ se primitive en $\sqrt{u}$, là où
$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du
dénominateur de la forme de référence.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$F(x) = \sqrt{x^2 + 1}$]]>
Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 1$, on a $u' = 2x$ et
$f = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\sqrt{u}$.]]>
$F(x) = 2\sqrt{x^2 + 1}$]]>
Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait
$\dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, soit le double de $f$.]]>
$F(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{2}$]]>
Division de trop : le $2$ du dénominateur de
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{2\sqrt{x^2 + 1}}$]]>
Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le
facteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\dfrac{u}{2}$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q41 : Reconnaître une forme $u'u^n$
Pour déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2\,(x^3 + 5)^4$, quelle
forme reconnaît-on ?]]>
Reconnaître $u'u^n$ consiste à repérer une expression élevée à une
puissance, puis à vérifier que le facteur restant est bien sa dérivée.
Une primitive est alors $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u'u^4$ avec $u(x) = x^3 + 5$]]>
Bonne réponse : $u(x) = x^3 + 5$ a pour dérivée $3x^2$, qui est
exactement le facteur placé devant. Une primitive est donc
$\dfrac{u^5}{5}$.]]>
$u'u^4$ avec $u(x) = 3x^2$]]>
Les rôles sont échangés : c'est $x^3 + 5$ qui est élevé à la
puissance $4$, et $3x^2$ qui joue le rôle de $u'$.]]>
$\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^3 + 5$]]>
Il n'y a aucun quotient ici : la puissance $4$ est au numérateur,
la forme du logarithme ne s'applique pas.]]>
$u^4$ seule, sans le facteur $u'$]]>
Le facteur $3x^2$ est indispensable : sans lui, la forme $u^4$
seule ne se primitive pas avec les outils du programme.]]>
Primitives et équations différentielles — Q42 : Primitive et sens de variation
Soit $F$ une primitive sur $\mathbb{R}$ d'une fonction $f$ continue et
strictement positive sur $[0\,;\,3]$. Que peut-on dire de $F$ sur
$[0\,;\,3]$ ?]]>
Puisque $F' = f$, le signe de $f$ se lit directement comme le sens de
variation de $F$. C'est cette lecture qui relie les primitives à
l'étude des fonctions.]]>
1.0
0.0
0
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true
abc
$F$ y est strictement croissante]]>
Bonne réponse : par définition $F' = f$, et $f$ y est strictement
positive. Une dérivée strictement positive sur un intervalle
impose la stricte croissance.]]>
$F$ y est strictement positive]]>
Confusion entre $F$ et sa dérivée : c'est $f = F'$ qui est
positive. La primitive $F(x) = x^2 - 100$ de $2x$ le montre.]]>
$F$ y est strictement décroissante]]>
Sens inversé : une dérivée positive donne une fonction croissante,
la décroissance correspondrait à $f < 0$.]]>
$F$ y est constante sur tout l'intervalle]]>
Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui contredirait la
stricte positivité de $f$ sur $[0\,;\,3]$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q43 : Primitiver un produit facteur par facteur
La fonction $G(x) = \dfrac{x^2}{2}\,e^x$ est-elle une primitive de
$f(x) = x\,e^x$ sur $\mathbb{R}$ ?]]>
Il n'existe pas de règle donnant la primitive d'un produit à partir de
celles des facteurs. Le seul réflexe sûr consiste à dériver la
fonction proposée et à comparer au résultat attendu.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : $G'(x) = xe^x + \dfrac{x^2}{2}e^x$]]>
Bonne réponse : la dérivée d'un produit comporte deux termes, et
seul le premier vaut $f(x)$. Le second terme subsiste, donc $G$
n'est pas une primitive de $f$.]]>
Oui : on primitive chaque facteur séparément]]>
Cette règle n'existe pas : la primitivation ne se distribue pas
sur un produit, exactement comme la dérivation ne s'y distribue
pas.]]>
Oui, à une constante additive près]]>
L'écart entre $G'$ et $f$ n'est pas une constante : il vaut
$\dfrac{x^2}{2}e^x$, qui dépend de $x$.]]>
Non, mais $G$ convient sur $]0\,;\,+\infty[$]]>
L'intervalle n'y change rien : le calcul de $G'$ est le même
partout et laisse toujours un terme excédentaire.]]>
Primitives et équations différentielles — Q44 : Méthode pour $y' = ay + b$
Soit $a$ un réel non nul. Comment obtient-on toutes les solutions de
l'équation différentielle $y' = ay + b$ ?]]>
Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent $x \mapsto Ce^{ax} +
k$, où $k = -\dfrac{b}{a}$ est la solution constante. On additionne
une solution particulière et les solutions de $y' = ay$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En ajoutant à $Ce^{ax}$ la constante $-\dfrac{b}{a}$]]>
Bonne réponse : la fonction constante $-\dfrac{b}{a}$ est une
solution particulière, et on lui ajoute les solutions
$Ce^{ax}$ de l'équation sans second membre.]]>
En ajoutant à $Ce^{ax}$ le second membre $b$ tout entier]]>
Le second membre ne s'ajoute pas tel quel : la constante cherchée
annule $ay + b$, elle vaut donc $-\dfrac{b}{a}$.]]>
En multipliant $Ce^{ax}$ par la constante $-\dfrac{b}{a}$]]>
Une multiplication ne ferait que changer le nom de la constante
$C$ : le décalage dû à $b$ est additif.]]>
En remplaçant $a$ par $a + b$ dans l'écriture $Ce^{ax}$]]>
Le second membre ne modifie pas l'exposant : celui-ci reste $ax$,
seul un terme constant vient s'ajouter.]]>
Primitives et équations différentielles — Q45 : Contrôler une solution proposée
On cherche la solution de $y' = -y + 3$ qui vérifie $y(0) = 5$. Un
élève propose $f(x) = 2e^{-x} + 3$. Sa proposition convient-elle ?]]>
Vérifier une solution demande deux contrôles : la fonction satisfait
l'équation, et elle prend la valeur imposée au point donné. Comme la
solution d'un tel problème est unique, ces deux contrôles suffisent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : $f$ vérifie l'équation et $f(0) = 5$]]>
Bonne réponse : $f'(x) = -2e^{-x}$ et $-f(x) + 3 = -2e^{-x}$, donc
l'équation est vérifiée ; de plus $f(0) = 2 + 3 = 5$. La solution
étant unique, c'est bien celle qui est cherchée.]]>
Non : il faudrait $f(x) = 5e^{-x} + 3$ pour cela]]>
La constante ne se lit pas directement : la condition s'écrit
$C + 3 = 5$, ce qui donne $C = 2$ et non $C = 5$.]]>
Non : les solutions de cette équation sont les $Ce^{-x}$]]>
Le second membre a été oublié : il décale toutes les solutions de
la constante $3$, qui est la solution d'équilibre.]]>
On ne peut pas conclure sans résoudre l'équation]]>
Une vérification suffit : il suffit de dériver la fonction
proposée et de comparer, puis de contrôler la valeur en $0$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q46 : Primitive d'une exponentielle de carré
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x) = 1x\,e^{x^2}$ ?]]>
Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près
qu'il faut ajuster en dérivant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{x^2}$]]>
Bonne réponse : $f$ est de la forme $\dfrac{1}{2}\,u'e^{u}$
avec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est
$\dfrac{1}{2}e^{u}$.]]>
$F(x) = e^{x^2}$]]>
Erreur : en dérivant, on obtient $21x\,e^{x^2}$, le double
de $f$.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}e^{x^2}$]]>
Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il
fait partie de $u'$.]]>
$F(x) = 2e^{x^2}$]]>
Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.]]>
Primitives et équations différentielles — Q47 : Primitive d'un cosinus d'argument affine
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x) = \cos(2x)$ ?]]>
Primitive de $\cos(ax + b)$ : $\dfrac{1}{a}\sin(ax + b)$ ; dériver
permet toujours de contrôler le coefficient.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$]]>
Bonne réponse : la dérivée de $\sin(2x)$ est
$2\cos(2x)$ ; on divise par $2$ pour compenser.]]>
$F(x) = \sin(2x)$]]>
Erreur : sa dérivée est $2\cos(2x)$, pas $\cos(2x)$.]]>
$F(x) = 2\sin(2x)$]]>
Erreur : il faut diviser par $2$, pas multiplier.]]>
$F(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x)$]]>
Erreur : le signe est celui de la primitive de $\sin$, pas de
$\cos$ ; $(\sin)' = \cos$.]]>
Primitives et équations différentielles — Q48 : Primitive d'un quotient de la forme u' sur u
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x) = \dfrac{x}
{x^2 + 1}$ ?]]>
Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u > 0$ : primitive $\ln u$, le
coefficient se règle en dérivant.]]>
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true
true
abc
$F(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$]]>
Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$, $u'(x) = 2x$ et
$f = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{u'}{u}$ ; une primitive est
$\dfrac{1}{2}\ln u$.]]>
$F(x) = \ln(x^2 + 1)$]]>
Erreur : sa dérivée est $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$, le double de $f$.]]>
$F(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln(x^2 + 1)$]]>
Erreur : on ne peut pas intégrer le numérateur et le
dénominateur séparément.]]>
$F(x) = \dfrac{1}{2x}\ln(x^2 + 1)$]]>
Erreur : le facteur $\dfrac{1}{2}$ est une constante, pas
$\dfrac{1}{2x}$.]]>