$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Représentation paramétrique d'une droite de l'espace, équation
cartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$, vecteur normal),
appartenance d'un point, intersection droite-plan, positions
relatives de deux plans, projeté orthogonal par le calcul.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q01 : Écrire une représentation paramétrique
Quelle est une représentation paramétrique de la droite
passant par $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et de vecteur directeur
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$ ?]]>
Représentation paramétrique de la droite $(A\,;\,\vec{u})$ :
$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\
z = z_A + t\,c \end{cases}$ où $\vec{u}(a\,;\,b\,;\,c)$ et
$t$ parcourt $\mathbb{R}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3$ ($t$ réel)]]>
Bonne réponse : point de départ $(1\,;\,2\,;\,3)$ +
$t$ fois la direction $(2\,;\,-1\,;\,0)$. La coordonnée
$z$ reste constante car la direction n'a pas de composante
verticale.]]>
$x = 2 + t$, $\; y = -1 + 2t$, $\; z = 3t$]]>
Point et vecteur échangés : les constantes doivent être
les coordonnées du point $A$, et les coefficients de
$t$ celles du vecteur directeur.]]>
$x = 1 + 2t$, $\; y = 2 + t$, $\; z = 3$]]>
Erreur de signe : la deuxième coordonnée du vecteur
directeur est $-1$, donc $y = 2 - t$.]]>
$x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3 + t$]]>
Erreur : la troisième coordonnée de $\vec{u}$ est $0$ :
$z$ ne dépend pas de $t$ et reste égale à $3$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q02 : Reconnaître un plan parallèle
Lequel de ces plans est parallèle au plan d'équation
$2x - 3y + z - 5 = 0$ ?]]>
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs
normaux sont colinéaires.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4x - 6y + 2z + 1 = 0$]]>
Bonne réponse : son vecteur normal $(4\,;\,-6\,;\,2)$ est
colinéaire à $(2\,;\,-3\,;\,1)$.]]>
$2x + 3y + z - 5 = 0$]]>
Erreur : $(2\,;\,3\,;\,1)$ n'est pas colinéaire à
$(2\,;\,-3\,;\,1)$.]]>
$x - 3y + 2z - 5 = 0$]]>
Erreur : garder le même terme constant ne suffit pas ; ce sont
les vecteurs normaux qui doivent être colinéaires.]]>
$-3x + 2y + z = 0$]]>
Erreur : des coefficients permutés donnent un autre vecteur
normal.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q03 : Point d'une droite paramétrée
Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel point obtient-on pour $t = 2$ ?]]>
Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :
pour $t = 2$, $(1 + 4\,;\,2 - 2\,;\,3) = (5\,;\,0\,;\,3)$.
Inversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à
chercher un $t$ commun aux trois équations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(5\,;\,0\,;\,3)$]]>
Bonne réponse : $x = 1 + 4 = 5$, $y = 2 - 2 = 0$,
$z = 3$.]]>
$(4\,;\,-2\,;\,0)$]]>
Erreur : tu as calculé $t\,\vec{u} = (4\,;\,-2\,;\,0)$ en
oubliant d'ajouter le point de départ $(1\,;\,2\,;\,3)$.]]>
$(3\,;\,1\,;\,3)$]]>
Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,
on avance deux fois plus loin : $(5\,;\,0\,;\,3)$.]]>
$(5\,;\,4\,;\,3)$]]>
Erreur de signe sur $y$ : $y = 2 - t = 2 - 2 = 0$, pas
$2 + 2$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q04 : Appartenance à un plan
Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$.
Lequel de ces points appartient à $\mathcal{P}$ ?]]>
Un point appartient au plan si ses coordonnées vérifient
l'équation. Seul $(1\,;\,-1\,;\,0)$ donne
$2 + 3 + 0 - 5 = 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(1\,;\,-1\,;\,0)$]]>
Bonne réponse : $2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ :
l'équation est vérifiée.]]>
$(1\,;\,1\,;\,0)$]]>
Erreur : $2 - 3 + 0 - 5 = -6 \neq 0$. Attention au signe
du produit $-3y$.]]>
$(2\,;\,0\,;\,0)$]]>
Erreur : $4 - 0 + 0 - 5 = -1 \neq 0$ : le point est tout
près du plan, mais pas dessus.]]>
$(2\,;\,-3\,;\,1)$]]>
Piège : $(2\,;\,-3\,;\,1)$ sont les coordonnées du vecteur
normal, pas d'un point du plan. Vérification :
$4 + 9 + 1 - 5 = 9 \neq 0$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q05 : Direction d'une droite paramétrée
Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel vecteur dirige $d$ ?]]>
Dans une représentation paramétrique, les constantes
forment un point de la droite et les coefficients de $t$ un
vecteur directeur. Ici : $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$]]>
Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois
équations donnent la direction : $(2\,;\,-1\,;\,0)$.]]>
$\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$]]>
Erreur : $(1\,;\,2\,;\,3)$ sont les termes constants,
c'est-à-dire le point obtenu pour $t = 0$, pas la
direction.]]>
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)$]]>
Erreur : le $3$ de $z = 3$ est une constante ($z$ ne bouge
pas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur
directeur est $0$.]]>
$\vec{u}(2\,;\,1\,;\,0)$]]>
Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$
pour $t$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q06 : Équation d'un plan par point et normal
Quelle est une équation cartésienne du plan passant par
$A(1\,;\,0\,;\,2)$ et de vecteur normal
$\vec{n}(3\,;\,1\,;\,-2)$ ?]]>
Méthode : partir de $ax + by + cz + d = 0$ avec
$(a\,;\,b\,;\,c) = \vec{n}$, puis déterminer $d$ en écrivant
que les coordonnées de $A$ vérifient l'équation :
$3(1) + 1(0) - 2(2) + d = 0 \Rightarrow d = 1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3x + y - 2z + 1 = 0$]]>
Bonne réponse : l'équation est $3x + y - 2z + d = 0$ ; en
imposant le passage par $A$ : $3 + 0 - 4 + d = 0$, donc
$d = 1$.]]>
$3x + y - 2z - 1 = 0$]]>
Erreur de signe sur $d$ : en substituant $A$, on trouve
$3 - 4 + d = 0$, soit $d = +1$. Vérifie toujours en
réinjectant le point.]]>
$x + 2z - 3 = 0$]]>
Erreur : les coefficients de l'équation doivent être les
coordonnées du normal $(3\,;\,1\,;\,-2)$. Ici tu as
utilisé les coordonnées du point $A$.]]>
$3x + y - 2z = 0$]]>
Incomplet : ce plan a le bon vecteur normal mais passe par
l'origine, pas par $A$ (vérifie : $3 + 0 - 4 = -1 \neq
0$). Le terme constant $d = 1$ manque.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q07 : Droite parallèle à un plan
Soit une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan
$\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$. À quelle condition
$d$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ?]]>
Trio à mémoriser : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ : droite
parallèle au plan (ou incluse) ; $\vec{u}$ colinéaire à
$\vec{n}$ : droite perpendiculaire ; sinon : droite sécante
oblique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$]]>
Bonne réponse : la direction de la droite doit être une
direction du plan, donc orthogonale au normal.]]>
$\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires]]>
Contresens : directeur colinéaire au normal signifie
droite perpendiculaire au plan, la situation opposée.]]>
$\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$]]>
Erreur : $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ signifie que la
droite perce le plan (sécante en un point).]]>
$\vec{u} = \vec{n}$]]>
Erreur : l'égalité est un cas particulier de colinéarité :
droite perpendiculaire au plan, pas parallèle.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q08 : Intersection d'une droite et d'un plan
Soit la droite $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2 - t$, et le
plan $\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En quel point $d$
coupe-t-elle $\mathcal{P}$ ?]]>
Méthode systématique : substituer les expressions
paramétriques dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis
réinjecter. $t = 3$ donne $(3\,;\,4\,;\,-1)$. Vérification :
$3 + 4 - 1 - 6 = 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(3\,;\,4\,;\,-1)$]]>
Bonne réponse : en substituant, $t + (1+t) + (2-t) - 6 =
t - 3 = 0$, donc $t = 3$, ce qui donne le point
$(3\,;\,4\,;\,-1)$.]]>
$(1\,;\,2\,;\,1)$]]>
Erreur : c'est le point de $d$ pour $t = 1$ ; or
$1 + 2 + 1 - 6 = -2 \neq 0$, il n'est pas dans le plan.
Il faut résoudre $t - 3 = 0$.]]>
$(2\,;\,3\,;\,0)$]]>
Erreur : pour $t = 2$, la somme vaut $2 + 3 + 0 - 6 = -1
\neq 0$. La substitution complète donne $t = 3$.]]>
Ils ne se coupent pas]]>
Erreur : l'équation en $t$ obtenue par substitution
($t - 3 = 0$) a une solution : intersection en un point
unique. (Pas de solution signifierait droite strictement
parallèle au plan.)]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q09 : Position relative de deux plans
Soient les plans $\mathcal{P}_1$ : $2x - y + z - 1 = 0$ et
$\mathcal{P}_2$ : $4x - 2y + 2z + 7 = 0$. Quelle est leur
position relative ?]]>
Deux plans : normaux colinéaires $\Rightarrow$ parallèles
(confondus si une équation est multiple de l'autre, y compris
le terme constant) ; normaux non colinéaires $\Rightarrow$
sécants selon une droite. Ici : parallèles stricts.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Strictement parallèles]]>
Bonne réponse : les normaux $(2\,;\,-1\,;\,1)$ et
$(4\,;\,-2\,;\,2)$ sont colinéaires (facteur $2$), donc
plans parallèles ; et $2 \times (-1) = -2 \neq 7$ : ils ne
sont pas confondus.]]>
Sécants selon une droite]]>
Erreur : des plans sécants ont des normaux non
colinéaires. Ici $(4\,;\,-2\,;\,2) = 2(2\,;\,-1\,;\,1)$ :
même direction normale, donc parallèles.]]>
Confondus]]>
Presque : les normaux sont bien colinéaires, mais en
multipliant la première équation par $2$ on obtient
$4x - 2y + 2z - 2 = 0$, dont le terme constant ($-2$)
diffère de $+7$ : deux plans distincts.]]>
Perpendiculaires]]>
Erreur : perpendiculaires exigerait des normaux
orthogonaux ; or $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 8 + 2 +
2 = 12 \neq 0$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q10 : Que représente une équation dans l'espace ?
Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation
$x + y + z = 1$ représente-t-elle ?]]>
Dans l'espace, une équation cartésienne du premier degré définit un plan. Les droites, elles, n'ont pas d'équation cartésienne
unique : elles se décrivent par représentation paramétrique ou
comme intersection de deux plans.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un plan]]>
Bonne réponse : toute équation du premier degré
$ax + by + cz + d = 0$ (coefficients non tous nuls) décrit
un plan, ici de vecteur normal $(1\,;\,1\,;\,1)$.]]>
Une droite]]>
Piège hérité du plan : en dimension 2, $x + y = 1$ est une
droite, mais dans l'espace une équation unique laisse
deux degrés de liberté : c'est un plan. Une droite exige
un système de deux équations (ou une représentation
paramétrique).]]>
Un point]]>
Erreur : un point demanderait trois équations
indépendantes. Une seule équation laisse une surface
entière de solutions.]]>
Une sphère]]>
Erreur : une sphère a une équation du second degré,
du type $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Ici tout est
au premier degré : plan.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q11 : Projeté orthogonal par le calcul
Soit $M(2\,;\,2\,;\,2)$ et le plan $\mathcal{P}$ :
$x + y + z - 3 = 0$. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $M$
sur $\mathcal{P}$ ?]]>
Méthode (capacité attendue) : paramétrer la droite passant par
$M$ dirigée par $\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan,
résoudre en $t$. Ici $t = -1$ donne $H(1\,;\,1\,;\,1)$, et
$MH = \sqrt{3}$ est la distance de $M$ au plan.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$H(1\,;\,1\,;\,1)$]]>
Bonne réponse : la droite par $M$ dirigée par le normal
$(1\,;\,1\,;\,1)$ s'écrit $(2+t\,;\,2+t\,;\,2+t)$ ;
substitution : $6 + 3t - 3 = 0$, $t = -1$, d'où
$H(1\,;\,1\,;\,1)$.]]>
$H(2\,;\,2\,;\,2)$]]>
Erreur : ce serait $M$ lui-même, qui n'est pas dans le
plan ($2+2+2-3 = 3 \neq 0$). Le projeté est le pied de la
perpendiculaire issue de $M$.]]>
$H(3\,;\,3\,;\,3)$]]>
Erreur de signe sur $t$ : la substitution donne
$3t + 3 = 0$, donc $t = -1$ (on redescend vers le
plan), pas $t = +1$.]]>
$H(0\,;\,0\,;\,3)$]]>
Erreur : ce point appartient bien au plan, mais
$\overrightarrow{MH}(-2\,;\,-2\,;\,1)$ n'est pas colinéaire au normal
$(1\,;\,1\,;\,1)$ : la projection ne serait pas
orthogonale.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q12 : Reconnaître une propriété sur la paramétrique
Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = 3 - t$.
Quelle affirmation est correcte ?]]>
Une coordonnée constante dans la représentation paramétrique
signifie que la droite reste dans le plan correspondant : ici
$y = 2$ pour tout $t$, donc $d \subset$ plan $\{y = 2\}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$d$ est incluse dans le plan d'équation $y = 2$]]>
Bonne réponse : la coordonnée $y$ vaut $2$ pour tout
$t$ : chaque point de la droite vérifie l'équation du plan
$y = 2$.]]>
$d$ est parallèle à l'axe des ordonnées]]>
Erreur : son vecteur directeur $(1\,;\,0\,;\,-1)$ n'est pas
colinéaire à $(0\,;\,1\,;\,0)$. C'est même l'inverse : la
droite est orthogonale à l'axe des ordonnées.]]>
$d$ passe par l'origine]]>
Erreur : il faudrait $y = 0$ pour un certain $t$, or $y$
vaut constamment $2$.]]>
$\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$ dirige $d$]]>
Erreur : $(1\,;\,2\,;\,3)$ sont les constantes (le point
pour $t = 0$). La direction se lit sur les coefficients de
$t$ : $(1\,;\,0\,;\,-1)$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q13 : Reconnaître deux plans parallèles
Les plans $P : 2x - y + z = 1$ et $Q : 4x - 2y + 2z = 5$
sont-ils parallèles ?]]>
Deux plans : normales colinéaires $\Rightarrow$ parallèles ;
équations entièrement proportionnelles $\Rightarrow$
confondus ; sinon sécants (en une droite). Tout se lit sur
les coefficients.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : ils sont parallèles et distincts]]>
Bonne réponse : $\vec{n}_Q = 2\vec{n}_P$ : les normales
sont colinéaires, donc les plans sont parallèles ; mais
$1 \times 2 = 2 \neq 5$ : les équations ne sont pas
proportionnelles, ce n'est pas le même plan : parallèles
stricts, aucune intersection.]]>
Non : leurs équations sont différentes]]>
Critère trop naïf : le parallélisme se lit sur les
vecteurs normaux ($(2\ ;\ -1\ ;\ 1)$ et $(4\ ;\ -2\
;\ 2)$, colinéaires), pas sur l'égalité des équations.]]>
Oui, et même confondus : c'est le même plan]]>
Presque : confondus exigerait la proportionnalité
complète ($5 = 2 \times 1$ ? non) : le point
$(0\ ;\ 0\ ;\ 1)$ est dans $P$ mais pas dans $Q$.]]>
Non : ils sont sécants et perpendiculaires]]>
Erreur : leurs normales étant colinéaires, ils ne sont
pas sécants ; et perpendiculaires demanderait
$\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0$, or ici
$8 + 2 + 2 = 12 \neq 0$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q14 : Droite orthogonale à un plan
Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par
$A$ et orthogonale au plan $P : 3x - y + 2z = 7$ ?]]>
Le trio gagnant : équation $ax + by + cz = d$ $\to$ normale
$(a\ ;\ b\ ;\ c)$ $\to$ direction de toute droite
orthogonale au plan. Paramétrique immédiate : $A + t\vec{n}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\vec{n}(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$ : le vecteur normal du plan]]>
Bonne réponse : une droite orthogonale à un plan a pour
direction la normale du plan : les coefficients de
l'équation servent directement.]]>
Un vecteur du plan $P$]]>
Contresens : un vecteur du plan dirigerait une
droite parallèle au plan, pas orthogonale.]]>
$\vec{u}(7\ ;\ 7\ ;\ 7)$, à cause du second membre $7$]]>
Erreur : le second membre $7$ règle la position du
plan, pas son orientation : la direction normale vient
des coefficients $(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$.]]>
N'importe quel vecteur passant par $A$]]>
Erreur : « passer par $A$ » ne contraint pas la
direction : l'orthogonalité impose la normale, à une
colinéarité près.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q15 : Intersection de deux droites paramétrées
Soient $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 2t\ ;\ 3)$ et
$d' : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (2\ ;\ 2 + s\ ;\ 3)$. Ces droites
sont-elles sécantes ?]]>
Intersection de droites paramétrées : paramètres séparés
($t$ et $s$), système sur les trois coordonnées, deux
équations déterminent $(t\ ;\ s)$, la troisième arbitre
(système compatible : droites sécantes ; incompatible : droites non coplanaires).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, au point $(2\ ;\ 2\ ;\ 3)$ (pour $t = 1$ et $s =
0$)]]>
Bonne réponse : égaler : $1 + t = 2$ donne $t = 1$ ;
alors $y = 2$ exige $2 + s = 2$, donc $s = 0$ ; les
cotes $3 = 3$ concordent : point commun unique.]]>
Non : leurs paramètres $t$ et $s$ sont différents]]>
Erreur de principe : chaque droite a SON paramètre :
l'intersection n'exige jamais $t = s$, seulement des
coordonnées égales (d'où deux inconnues distinctes).]]>
Non : elles sont parallèles]]>
Erreur : directions $(1\ ;\ 2\ ;\ 0)$ et $(0\ ;\ 1\ ;\
0)$ : non colinéaires : les droites ne sont pas
parallèles.]]>
Oui, en une infinité de points]]>
Erreur : une infinité de points communs signifierait
droites confondues : leurs directions différentes
l'interdisent : un seul point.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q16 : Droite incluse dans un plan
La droite $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$
est-elle incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ ?]]>
Position droite/plan par substitution : on remplace $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation du plan. Identité ($0 = 0$) : droite incluse ; équation impossible : parallèle stricte ; une solution unique : point d'intersection.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : $(1 + t) + (1 - t) - 2 = 0$ pour tout $t$]]>
Bonne réponse : en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation, le paramètre disparaît et l'égalité tient pour tout $t$ : chaque point de la droite est dans le plan.]]>
Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement
deux termes]]>
Erreur de lecture : l'absence de $z$ dans l'équation
signifie coefficient nul, pas incompatibilité : le plan
vit bien dans l'espace.]]>
Seulement le point obtenu pour $t = 0$]]>
Sous-estimation : le test donne $0 = 0$ indépendamment
de $t$ : ce n'est pas une équation à résoudre mais une
identité : toute la droite est dedans.]]>
On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la
droite]]>
Erreur : remplacer les coordonnées par leurs expressions en $t$ dans l'équation du plan est exactement l'outil adapté (et une droite de l'espace n'a d'ailleurs pas UNE équation cartésienne).]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q17 : Intersection de deux plans sécants
Que forme l'intersection des plans $P : x + y + z = 3$ et
$Q : x - y = 1$ (dont les normales ne sont pas
colinéaires) ?]]>
Deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une
droite : la résoudre, c'est poser $z = t$ (par exemple) et
exprimer $x$, $y$ en fonction de $t$ : le système devient
une représentation paramétrique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une droite]]>
Bonne réponse : deux plans non parallèles se coupent
selon une droite. Par exemple, le point
$(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$ appartient aux deux plans :
$1 + 0 + 2 = 3$ et $1 - 0 = 1$.]]>
Un point unique]]>
Erreur de dimension : un point unique demande trois
plans bien choisis (ou une droite et un plan) : deux
plans sécants laissent un degré de liberté : une droite.]]>
L'ensemble vide]]>
Erreur : une intersection vide correspondrait à des plans parallèles distincts, or leurs
normales $(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et $(1\ ;\ -1\ ;\ 0)$ ne sont
pas colinéaires : ils se coupent.]]>
Un plan]]>
Erreur : l'intersection serait un plan si $P = Q$ ;
leurs équations ne sont pas proportionnelles.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q18 : Paramétrer un segment
Comment décrire le segment $[AB]$ à partir de la
représentation $M(t) = A + t\,\overrightarrow{AB}$ ?]]>
$M(t) = A + t\overrightarrow{AB}$ : $t \in \mathbb{R}$ :
droite ; $t \geq 0$ : demi-droite ; $t \in [0\ ;\ 1]$ :
segment (et $t = \frac{1}{2}$ : le milieu). Le paramètre
est un curseur de position.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En restreignant le paramètre : $t \in [0\ ;\ 1]$]]>
Bonne réponse : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne $B$,
et les valeurs intermédiaires balaient l'intérieur du
segment : la droite entière correspondrait à $t \in
\mathbb{R}$.]]>
En prenant $t \in \mathbb{R}$]]>
Trop grand : $t = 2$ ou $t = -1$ sortent du segment
(au-delà de $B$, avant $A$) : $\mathbb{R}$ décrit toute
la droite $(AB)$.]]>
En imposant $t > 0$]]>
Demi-mesure : $t > 0$ décrit la demi-droite ouverte
issue de $A$ vers $B$… et au-delà : il faut aussi
plafonner à $1$.]]>
Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite
entière]]>
Erreur : le domaine du paramètre fait partie de la
description : segment, demi-droite ou droite selon
l'intervalle choisi.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q19 : Plan parallèle à un axe
Que peut-on dire du plan d'équation $2x + 3y - 6 = 0$ ?]]>
Un coefficient nul dans l'équation d'un plan signale que le vecteur normal
est orthogonal à l'axe correspondant, donc que le plan est parallèle à cet
axe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est parallèle à l'axe des cotes]]>
Bonne réponse : le coefficient de $z$ est nul, donc le vecteur normal
$(2\,;\,3\,;\,0)$ est orthogonal à cet axe.]]>
Il est parallèle à l'axe des abscisses]]>
Le coefficient de $x$ vaut $2$, la normale n'est donc pas orthogonale
à cet axe.]]>
Il ne contient aucun point de cote nulle]]>
Le point $(3\,;\,0\,;\,0)$ vérifie l'équation et a bien une cote
nulle.]]>
Ce n'est pas l'équation d'un plan]]>
Toute équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec un coefficient
non nul décrit un plan.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q20 : Droite incluse dans un plan
Une droite $d$ a un vecteur directeur $\vec{u}$ orthogonal au
vecteur normal $\vec{n}$ d'un plan $\mathcal{P}$, et un de ses
points appartient à $\mathcal{P}$. Que peut-on en conclure ?]]>
Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, la droite est parallèle au plan :
soit strictement, soit incluse, selon qu'un de ses points est ou
non dans le plan.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La droite $d$ est incluse dans $\mathcal{P}$]]>
Bonne réponse : $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ et a un point
commun avec lui, elle y est donc contenue.]]>
La droite $d$ coupe $\mathcal{P}$ en un seul point]]>
Erreur : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ exclut une intersection
en un point unique.]]>
La droite $d$ est orthogonale à $\mathcal{P}$]]>
Erreur : il faudrait $\vec{u}$ colinéaire à $\vec{n}$.]]>
La droite $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$]]>
Erreur : une droite strictement parallèle n'a aucun point
commun avec le plan.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q21 : Paramétrer une droite par deux points
Quelle représentation paramétrique décrit la droite passant par
$A(1\,;\,2\,;\,0)$ et $B(3\,;\,2\,;\,4)$ ?]]>
Une droite se paramètre à partir d'un de ses points et d'un vecteur
directeur, ici $\overrightarrow{AB}$. Plusieurs écritures décrivent la même
droite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 1 + 2t$, $y = 2$, $z = 4t$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,0\,;\,4)$ sert de vecteur
directeur, et $A$ de point de départ.]]>
$x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = 4t$]]>
Deuxième coordonnée fausse : celle de $\overrightarrow{AB}$ vaut $0$,
l'ordonnée reste constante.]]>
$x = 3 + 2t$, $y = 2 + 2t$, $z = 4 + 4t$]]>
Point de départ $B$ acceptable, mais la deuxième coordonnée du vecteur
directeur reste fausse.]]>
$x = 2t$, $y = 0$, $z = 4t$]]>
Point de départ oublié : cette droite passe par l'origine, ce qui n'est
pas le cas de $(AB)$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q22 : Intersection de deux plans
Deux plans non parallèles se coupent. Comment décrire leur
intersection ?]]>
Le système de deux équations de plans non parallèles admet une infinité de
solutions dépendant d'un paramètre : c'est une droite, décrite sous forme
paramétrique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Par une paramétrique de droite]]>
Bonne réponse : on résout le système des deux équations, une inconnue
restant libre et jouant le rôle de paramètre.]]>
Par un point unique de l'espace]]>
Deux plans sécants partagent toute une droite, pas un seul point.]]>
Par une équation cartésienne unique]]>
Une seule équation décrit un plan dans l'espace, pas une droite.]]>
Par l'ensemble vide, sans point commun]]>
C'est le cas de deux plans parallèles distincts, exclu par l'énoncé.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q23 : Vérifier qu'un point est dans un plan
Le point $M(2\,;\,-1\,;\,3)$ appartient-il au plan d'équation
$x + 2y - z + 3 = 0$ ?]]>
Un point appartient à un plan lorsque ses coordonnées annulent le membre de
gauche de l'équation cartésienne. Le test est immédiat.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, le calcul donne $0$]]>
Bonne réponse : $2 - 2 - 3 + 3 = 0$.]]>
Non, le calcul donne $4$]]>
Signe de la deuxième coordonnée : $2 \times (-1)$ vaut $-2$, pas
$+2$.]]>
Non, le calcul donne $-3$]]>
Constante oubliée : le terme $+3$ fait partie de l'équation.]]>
On ne peut pas conclure sans le vecteur normal]]>
L'équation suffit : le vecteur normal s'y lit d'ailleurs directement.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q24 : Quand une droite est incluse dans un plan
Quelles conditions garantissent qu'une droite est incluse dans un
plan ?]]>
Une droite est incluse dans un plan si elle lui est parallèle et possède un
point commun avec lui. Deux points communs suffisent également, la droite
étant déterminée par deux points.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Direction orthogonale à la normale et un point commun]]>
Bonne réponse : la première condition donne le parallélisme, la
seconde force l'inclusion.]]>
Un point commun seulement]]>
Un point commun sans parallélisme signale une droite sécante au plan.]]>
Direction orthogonale à la normale seulement]]>
Sans point commun, la droite est parallèle au plan mais reste à
l'extérieur.]]>
Deux points communs et rien d'autre]]>
Deux points communs suffisent effectivement, mais l'énoncé demande les
conditions usuellement vérifiées, et une seule n'implique rien.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q25 : Lire un vecteur normal
Quel est un vecteur normal du plan d'équation
$-x + 4y + 2z - 7 = 0$ ?]]>
Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur
$(a\,;\,b\,;\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(-1\,;\,4\,;\,2)$]]>
Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent
directement les coordonnées d'un vecteur normal.]]>
$(1\,;\,4\,;\,2)$]]>
Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation.]]>
$(-1\,;\,4\,;\,-7)$]]>
Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position
du plan.]]>
$(4\,;\,2\,;\,-7)$]]>
Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de
$x$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q26 : Calculer un projeté orthogonal
Pour projeter orthogonalement $M$ sur un plan $P$, quelle démarche
convient ?]]>
Le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ est l'intersection de $P$ avec la
droite passant par $M$ et dirigée par un vecteur normal du plan. C'est
aussi le point de $P$ le plus proche de $M$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Paramétrer la droite par $M$ de direction normale, puis couper $P$]]>
Bonne réponse : cette droite rencontre le plan exactement au projeté
cherché.]]>
Prendre le point de $P$ d'abscisse égale à celle de $M$]]>
Une seule coordonnée commune ne suffit pas : une infinité de points du
plan la partagent.]]>
Annuler la troisième coordonnée de $M$]]>
Cette méthode ne vaudrait que pour un plan très particulier, celui
d'équation $z = 0$.]]>
Prendre le milieu de $M$ et d'un point de $P$]]>
Ce milieu n'appartient généralement pas au plan, et le résultat
dépendrait du point choisi.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q27 : Plusieurs écritures pour une même droite
Deux représentations paramétriques différentes peuvent-elles décrire
la même droite ?]]>
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. Pour
vérifier que deux écritures décrivent la même droite, on compare les
directions puis on teste l'appartenance d'un point.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, le point et le vecteur directeur sont au choix]]>
Bonne réponse : tout point de la droite et tout vecteur directeur
colinéaire donnent une écriture valable.]]>
Non, chaque droite a une seule écriture]]>
Changer de point de départ suffit à modifier l'écriture sans changer la
droite.]]>
Oui, mais seulement si le paramètre change de nom]]>
Le nom du paramètre est sans importance : ce sont les coefficients qui
peuvent différer.]]>
Non, sauf pour les droites passant par l'origine]]>
La position de la droite ne change rien : toute droite admet une
infinité de paramétrages.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q28 : Un plan par trois points
Trois points de l'espace définissent-ils toujours un plan unique ?]]>
Trois points non alignés définissent un plan unique. On en obtient une
équation en cherchant un vecteur normal orthogonal à deux vecteurs formés
par ces points.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, s'ils ne sont pas alignés]]>
Bonne réponse : trois points alignés appartiennent à une infinité de
plans contenant leur droite.]]>
Oui, dans tous les cas]]>
Trois points alignés ne suffisent pas à fixer un plan : une infinité
les contient.]]>
Non, il en faut quatre]]>
Un quatrième point serait au contraire une contrainte supplémentaire,
souvent incompatible.]]>
Oui, s'ils sont deux à deux distincts]]>
Des points distincts peuvent être alignés, ce qui ne suffit pas.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q29 : Un système sans solution
La substitution d'une droite paramétrée dans l'équation d'un plan
donne $0 = 5$. Que conclure ?]]>
Trois issues sont possibles : une équation avec une solution unique, la
droite coupe le plan ; une égalité toujours vraie, la droite y est
incluse ; une égalité impossible, la droite lui est parallèle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La droite est parallèle au plan et hors de lui]]>
Bonne réponse : aucune valeur du paramètre ne convient, donc aucun
point commun.]]>
La droite est incluse dans le plan]]>
L'inclusion se traduirait par une égalité toujours vraie, du type
$0 = 0$.]]>
La droite coupe le plan en un point]]>
Un point d'intersection correspondrait à une équation du premier degré
en $t$ avec une solution.]]>
Le calcul comporte une erreur]]>
Une égalité impossible est un résultat parfaitement valable : elle
traduit l'absence de solution.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q30 : Restreindre un paramètre
Dans une représentation paramétrique de droite, que décrit la
restriction du paramètre à $[0\,;\,1]$ ?]]>
Restreindre le paramètre restreint l'objet décrit : un intervalle borné
donne un segment, un intervalle non borné une demi-droite, une valeur
unique un point.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un segment de la droite]]>
Bonne réponse : les deux bornes donnent les extrémités, et les valeurs
intermédiaires les points entre elles.]]>
La droite entière]]>
La droite entière demande que le paramètre parcoure tous les réels.]]>
Une demi-droite]]>
Une demi-droite correspondrait à un intervalle non borné, du type
$[0\,;\,+\infty[$.]]>
Un point unique]]>
Un seul point s'obtiendrait en fixant une valeur précise du paramètre.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q31 : Un autre vecteur directeur
La droite $d$ est dirigée par
$\vec{u}(4\,;\,-6\,;\,2)$. Lequel de ces vecteurs dirige
également $d$ ?]]>
Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,
c'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même
coefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs
directeurs.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(2\,;\,-3\,;\,1)$]]>
Bonne réponse : ce vecteur vaut $\frac{1}{2}\vec{u}$, il est donc
colinéaire à $\vec{u}$ et dirige la même droite.]]>
$(2\,;\,3\,;\,1)$]]>
Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose
le même coefficient sur les trois, ici $\frac{1}{2}$.]]>
$(2\,;\,-3\,;\,2)$]]>
La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième
coordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\vec{u}$.]]>
$(1\,;\,-3\,;\,2)$]]>
Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des
coordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q32 : Retrouver la valeur du paramètre
Soit $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 5 - 4t$,
$z = 2 + 5t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point
$M(7\,;\,-7\,;\,17)$ ?]]>
Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis
on vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce
n'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$t = 3$]]>
Bonne réponse : la première équation donne $1 + 2t = 7$,
donc $t = 3$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$.]]>
$t = \dfrac{7}{2}$]]>
Le terme constant $1$ a été oublié : il faut le retrancher
avant de diviser par $2$.]]>
$t = 6$]]>
Tu t'es arrêté à $2t = 6$ : il reste à diviser par
le coefficient $2$.]]>
$t = -3$]]>
Erreur de signe dans la résolution. En reportant $-3$ dans
$x = 1 + 2t$, on ne retombe pas sur $7$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q33 : Décrire un segment
Soient $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et
$B(4\,;\,5\,;\,-2)$. Quelle écriture décrit le segment
$[AB]$ ?]]>
Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le
paramètre : $M(t) = A + t\,\overrightarrow{AB}$ avec
$t \in [0\,;\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$
donne $B$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,
$z = 3 - 5t$, avec $t \in [0\,;\,1]$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,3\,;\,-5)$
donne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction
$t \in [0\,;\,1]$ arrête le parcours en $B$.]]>
$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,
$z = 3 - 5t$, avec $t \in \mathbb{R}$]]>
Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$
fournissent des points situés hors du segment.]]>
$x = 1 + 4t$, $y = 2 + 5t$,
$z = 3 - 2t$, avec $t \in [0\,;\,1]$]]>
Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est
$\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence
$B - A$.]]>
$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,
$z = 3 - 5t$, avec $t \geq 0$]]>
Il manque le plafond : $t \geq 0$ décrit la demi-droite d'origine
$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q34 : Deux droites sans point commun
Soient $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2$ et $d'$ : $x = 1$,
$y = s$, $z = 3 + s$. Ces droites sont-elles sécantes ?]]>
Deux droites de l'espace sont sécantes lorsque le système obtenu en
égalant les coordonnées admet une solution $(t\,;\,s)$. Système
incompatible et directions non colinéaires : les droites ne sont pas
coplanaires.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : elles ne sont pas coplanaires]]>
Bonne réponse : $x$ impose $t = 1$, puis $y$ impose $s = 2$,
mais $z$ exigerait $s = -1$. Le système est incompatible et les
directions ne sont pas colinéaires.]]>
Oui : elles se coupent en $(1\,;\,2\,;\,2)$]]>
Ce point appartient bien à $d$, mais pas à $d'$ : sa cote
vaudrait $3 + 2 = 5$, et non $2$.]]>
Non : elles sont strictement parallèles]]>
Le parallélisme demanderait des directions colinéaires, or
$(1\,;\,1\,;\,0)$ et $(0\,;\,1\,;\,1)$ ne le sont pas.]]>
Oui : elles ont une infinité de points communs]]>
Une infinité de points communs signifierait deux droites
confondues, ce qu'interdisent déjà leurs directions différentes.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q35 : Droite commune à deux plans particuliers
Les plans d'équations $y = 3$ et $z = 4$ se coupent selon une
droite. Laquelle de ces représentations la décrit ?]]>
Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les
inconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.
Ici $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\mathbb{R}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = t$, $\; y = 3$, $\; z = 4$]]>
Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et
laissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la
droite.]]>
$x = 4$, $\; y = 3$, $\; z = t$]]>
C'est la cote $z$ qui est imposée à $4$, pas l'abscisse : la
coordonnée libre est $x$.]]>
$x = 3$, $\; y = t$, $\; z = 4$]]>
La première équation impose $y = 3$ : l'ordonnée ne peut donc
pas jouer le rôle de paramètre.]]>
$x = t$, $\; y = 3t$, $\; z = 4t$]]>
$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette
droite quitterait les deux plans dès que $t \neq 1$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q36 : Régler un parallélisme
Pour quelle valeur de $m$ les plans $\mathcal{P}$ :
$2x - 3y + mz + 1 = 0$ et $\mathcal{Q}$ :
$6x - 9y + 12z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?]]>
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux
sont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :
$6 = 3 \times 2$, $-9 = 3 \times -3$, donc
$12 = 3m$ et $m = 4$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$m = 4$]]>
Bonne réponse : $\vec{n_2} = 3\,\vec{n_1}$ impose
$12 = 3m$, donc $m = 4$.]]>
$m = 12$]]>
$12$ est le coefficient de $z$ dans $\mathcal{Q}$ : il vaut
$3$ fois celui de $\mathcal{P}$, à savoir $4$.]]>
$m = -4$]]>
Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un
coefficient positif $3$ sur les trois coordonnées.]]>
$m = 3$]]>
$3$ est le rapport de proportionnalité entre les deux
vecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q37 : Plan orthogonal à une droite
Quelle est une équation cartésienne du plan passant par
$A(2\,;\,3\,;\,-2)$ et orthogonal à la droite $d$ :
$x = 1 + 3t$, $y = 2 - 4t$, $z = 4 + 2t$ ?]]>
Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette
droite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc
directement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3x - 4y + 2z + 10 = 0$]]>
Bonne réponse : le vecteur directeur
$\vec{u}(3\,;\,-4\,;\,2)$ est normal au plan, et $A$
fixe la constante à $10$.]]>
$3x - 4y + 2z - 10 = 0$]]>
Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient
$-10 + d = 0$, donc $d = 10$.]]>
$2x + 3y - 2z - 17 = 0$]]>
Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles
du vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale.]]>
$3x - 4y + 2z = 0$]]>
La direction normale est correcte, mais ce plan passe par
l'origine et non par $A$ : le terme constant manque.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q38 : Une droite dans un plan
Soient $d$ : $x = 2 + t$, $y = 1 - 2t$, $z = 3 + t$ et
$\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. Quelle est leur position
relative ?]]>
Substituer les expressions paramétriques dans l'équation du plan
départage trois cas : identité, la droite est incluse ; égalité
impossible, la droite est parallèle stricte ; une solution unique, la
droite perce le plan.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$d$ est incluse dans $\mathcal{P}$]]>
Bonne réponse : la substitution donne
$(2+t) + (1-2t) + (3+t) - 6 = 0$, égalité vraie pour tout
$t$ : chaque point de $d$ est dans le plan.]]>
$d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ et disjointe]]>
Il n'y aurait alors aucune solution, et la substitution
donnerait une égalité impossible du type $0 = 5$.]]>
$d$ coupe $\mathcal{P}$ en un unique point]]>
Un point unique correspondrait à une équation du premier degré
en $t$. Ici le paramètre disparaît complètement.]]>
$d$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$]]>
Il faudrait $\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,1)$ colinéaire à
$\vec{n}(1\,;\,1\,;\,1)$, ce qui est faux.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q39 : Trois points et un plan
Les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(3\,;\,2\,;\,4)$ et
$C(0\,;\,-1\,;\,1)$ définissent-ils un plan ?]]>
Trois points définissent un plan unique s'ils ne sont pas alignés. Le
test consiste à vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : ils sont alignés]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,2\,;\,2)$ et
$\overrightarrow{AC}(-1\,;\,-1\,;\,-1)$ sont colinéaires, donc
une infinité de plans contiennent ces trois points.]]>
Oui : trois points suffisent toujours]]>
Il faut de plus qu'ils ne soient pas alignés, ce qui est
justement mis en défaut ici.]]>
Oui : ils sont deux à deux distincts]]>
Des points distincts peuvent parfaitement être alignés, comme
ceux de l'énoncé.]]>
Non : il en faudrait un quatrième]]>
Un quatrième point serait une contrainte supplémentaire, souvent
incompatible. Le vrai obstacle est l'alignement.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q40 : Deux écritures, une seule droite
Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 3 - t$, $z = 2t$ et $d'$ :
$x = 5 + 4s$, $y = 1 - 2s$, $z = 4 + 4s$ sont-elles confondues ?]]>
Pour comparer deux représentations, on vérifie d'abord la colinéarité
des vecteurs directeurs, puis l'appartenance d'un point de l'une à
l'autre. Les deux conditions réunies donnent des droites confondues.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : même direction et un point commun]]>
Bonne réponse : $(4\,;\,-2\,;\,4) = 2(2\,;\,-1\,;\,2)$, et le
point $(5\,;\,1\,;\,4)$ de $d'$ s'obtient sur $d$ pour $t = 2$.]]>
Non : leurs vecteurs directeurs diffèrent]]>
Ils sont colinéaires, donc équivalents : une droite admet une
infinité de vecteurs directeurs proportionnels.]]>
Non : leurs paramètres ne coïncident pas]]>
Chaque écriture a son propre paramètre : rien n'impose que $t$ et
$s$ prennent la même valeur en un même point.]]>
Oui, mais seulement pour $t = s = 0$]]>
Deux droites confondues partagent tous leurs points. Et pour
$t = s = 0$, on obtient justement deux points distincts.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q41 : Deux équations, un seul plan
Les équations $2x - y + z - 3 = 0$ et $-4x + 2y - 2z + 6 = 0$
décrivent-elles le même plan ?]]>
Un plan admet une infinité d'équations cartésiennes, toutes
proportionnelles entre elles. Deux équations décrivent le même plan
lorsque les quatre coefficients sont proportionnels dans le même
rapport.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui : la seconde est $-2$ fois la première]]>
Bonne réponse : toute l'équation est multipliée par $-2$, terme
constant compris. Les solutions sont donc exactement les mêmes.]]>
Non : leurs vecteurs normaux sont opposés]]>
Des normaux opposés restent colinéaires : ils désignent la même
direction normale, au sens près.]]>
Non : les constantes $-3$ et $6$ diffèrent]]>
Il faut comparer les constantes dans la même proportion que les
coefficients : $6 = -2 \times (-3)$, la proportion est
respectée.]]>
Oui, sauf pour les points de cote nulle]]>
Multiplier une équation par un nombre non nul ne change aucune
solution, quelle que soit la cote des points concernés.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q42 : Lire un système dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère, quel objet le système
$\begin{cases} x + y = 1 \\ z = 2 \end{cases}$ décrit-il ?]]>
Dans l'espace, une équation du premier degré décrit un plan. Un
système de deux équations de plans non parallèles décrit leur
intersection, c'est-à-dire une droite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une droite, intersection de deux plans]]>
Bonne réponse : chaque équation décrit un plan, et ces deux plans
ne sont pas parallèles : leur intersection est une droite.]]>
Un point, celui de coordonnées $(1\,;\,0\,;\,2)$]]>
Ce point convient, mais $(0\,;\,1\,;\,2)$ aussi, et une infinité
d'autres : il faudrait une troisième équation pour isoler un
point.]]>
Un plan, car il y a deux équations]]>
Chaque équation prise seule décrit un plan ; les imposer toutes
les deux restreint l'ensemble des solutions.]]>
L'ensemble vide : le système est impossible]]>
Les deux équations portent sur des variables différentes : aucune
contradiction, et $(1\,;\,0\,;\,2)$ est bien solution.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q43 : Combien de points communs
La droite $d$ est dirigée par $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$ et le plan
$\mathcal{P}$ a pour équation $3x + y + 2z - 4 = 0$. Combien
ont-ils de points communs ?]]>
Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{n}$ décide seul du nombre de
points communs : non nul, un point unique ; nul, aucun point ou une
infinité, et c'est alors un point de la droite qui départage.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un seul : $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$]]>
Bonne réponse : $3 + 2 - 2 = 3 \neq 0$, la direction de $d$
n'est pas une direction du plan : la droite le perce en un point.]]>
Aucun : $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$]]>
Le parallélisme exigerait $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, or ce
produit scalaire vaut $3$.]]>
Une infinité : $d$ est incluse dans $\mathcal{P}$]]>
L'inclusion suppose d'abord le parallélisme, donc un produit
scalaire nul, ce qui n'est pas le cas.]]>
Impossible à dire sans un point de $d$]]>
Un point serait nécessaire pour distinguer parallèle stricte et
incluse. Ici le produit scalaire non nul tranche déjà.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q44 : Percer le plan de base
En quel point la droite $d$ : $x = 1 + 2t$,
$y = 3 - 4t$, $z = 4 + 2t$ coupe-t-elle le plan
d'équation $z = 0$ ?]]>
Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :
on résout $4 + 2t = 0$, ce qui donne $t = -2$, puis on
reporte dans les deux autres équations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(-3\,;\,11\,;\,0)$]]>
Bonne réponse : $4 + 2t = 0$ donne $t = -2$, valeur que
l'on reporte dans $x$ et $y$.]]>
$(5\,;\,-5\,;\,0)$]]>
Signe du paramètre : l'équation $4 + 2t = 0$ donne
$t = -2$, et non son opposé.]]>
$(1\,;\,3\,;\,0)$]]>
Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de
$t$, et bougent donc avec lui.]]>
La droite ne coupe pas ce plan]]>
Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un
coefficient nul. Ici il vaut $2$.]]>
Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Q45 : Une droite par deux équations
Soit $d$ : $x = 2 + 3t$, $y = 4 - 3t$, $z = 5$.
Par quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?]]>
Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de
plans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux
premières équations, et la cote constante fournit la seconde
condition.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x + y = 6$ et $z = 5$]]>
Bonne réponse : $x + y = (2 + 3t) + (4 - 3t) =
6$, valeur constante, et la cote reste égale à $5$.]]>
$x - y = -2$ et $z = 5$]]>
La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne
s'éliminent plus, ils se cumulent.]]>
$x + y = 6$, sans condition sur $z$]]>
Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,
$z = 5$, pour restreindre à la droite.]]>
$x = 2$, $y = 4$ et $z = 5$]]>
Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu
pour $t = 0$, et non la droite entière.]]>