$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste
d'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de
Bernoulli, loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ : formule
$P(X = k)$, espérance et variance, problèmes de seuil.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q01 : Épreuve de Bernoulli
Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?]]>
Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de
probabilité $p$. La variable qui vaut $1$ en cas de succès et
$0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une expérience à exactement deux issues]]>
Bonne réponse : deux issues seulement, le succès de
probabilité $p$ et l'échec de probabilité $1 - p$.
Exemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce
défectueuse ou conforme.]]>
Une expérience répétée $p$ fois de suite]]>
Erreur : $p$ est une probabilité (entre $0$ et $1$),
pas un nombre de répétitions. La répétition relève du
schéma de Bernoulli, avec un paramètre $n$ entier.]]>
Une expérience dont les issues sont équiprobables]]>
Erreur : rien n'impose $p = \dfrac{1}{2}$. Une épreuve de
Bernoulli peut être très déséquilibrée ($p = 0{,}01$).]]>
Une expérience à deux issues répétée indéfiniment]]>
Erreur : l'épreuve de Bernoulli est une seule
expérience. Sa répétition en nombre fixé $n$ constitue le
schéma de Bernoulli.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q02 : Conditions d'une loi binomiale
Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi
binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ?]]>
$X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ exige : $n$ répétitions d'une
même épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages
avec remise), et $X$ = nombre de succès.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$X$ compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli
indépendantes]]>
Bonne réponse : trois ingrédients : la même épreuve de
Bernoulli de paramètre $p$ répétée $n$ fois,
l'indépendance des répétitions, et $X$ égal au nombre
de succès.]]>
$X$ compte les succès dans $n$ tirages sans remise dans
une urne]]>
Piège classique : sans remise, la composition de l'urne
change à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques
ni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est
binomial.)]]>
$X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves]]>
Erreur : le rang du premier succès suit une loi
géométrique (approfondissement), pas binomiale. La
binomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves.]]>
$X$ prend ses valeurs entières entre $0$ et $n$]]>
Insuffisant : bien des variables vivent dans
$\{0, \ldots, n\}$ sans être binomiales. Ce sont les
hypothèses de répétition indépendante qui font la
binomiale.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q03 : Probabilité d'une liste d'issues
On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?]]>
Principe fondamental de la succession d'épreuves
indépendantes : $P(x_1, \ldots, x_n) = P(x_1) \times \cdots
\times P(x_n)$. Ici $0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}063$]]>
Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une
liste d'issues est le produit des probabilités de
chaque issue : $0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 =
0{,}063$.]]>
$1{,}3$]]>
Impossible : $0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$ dépasse
$1$, ce qu'une probabilité ne fait jamais. L'addition
sert pour des événements incompatibles ; une succession
d'issues se traite par produit.]]>
$0{,}027$]]>
Erreur : $0{,}3^3 = 0{,}027$ est la probabilité de
(succès, succès, succès). La deuxième épreuve est ici un
échec, de probabilité $0{,}7$.]]>
$0{,}147$]]>
Erreur : $0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147$ compterait un
succès et deux échecs. La liste demandée contient
deux succès et un échec : $0{,}3^2 \times 0{,}7$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q04 : Calculer $P(X = k)$
Soit $X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?]]>
Formule binomiale : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$.
Le coefficient compte les positions des succès, les puissances
donnent la probabilité d'une liste. Ici $0{,}2048$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}2048$]]>
Bonne réponse : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k
(1-p)^{n-k}$, soit $\binom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times
0{,}8^3 = 10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 0{,}2048$.]]>
$0{,}02048$]]>
Oubli du coefficient binomial : $0{,}2^2 \times 0{,}8^3
= 0{,}02048$ est la probabilité d'une seule liste à
deux succès. Il y a $\binom{5}{2} = 10$ listes
possibles.]]>
$0{,}04$]]>
Erreur : $0{,}2^2 = 0{,}04$ ignore les trois échecs
(facteur $0{,}8^3$) et le nombre de placements des
succès (facteur $\binom{5}{2}$).]]>
$0{,}32$]]>
Erreur d'exposant : $\binom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times
0{,}8 = 0{,}32$ ne compte qu'un échec. Il y a $n - k =
3$ échecs, donc $0{,}8^3$ : les exposants doivent
totaliser $n = 5$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q05 : Espérance d'une binomiale
Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?]]>
Pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ : $E(X) = np$ et
$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6$. En
moyenne, $6$ succès sur $20$ épreuves.]]>
$0{,}3$]]>
Erreur : $0{,}3$ est l'espérance d'une seule épreuve de
Bernoulli. Sur $20$ épreuves, les espérances s'additionnent
: $20 \times 0{,}3$.]]>
$20$]]>
Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement
si tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 6$.]]>
$4{,}2$]]>
Confusion : $4{,}2 = np(1-p)$ est la variance de $X$,
pas son espérance.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q06 : Variance d'une binomiale
Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?]]>
$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au
programme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici
$20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 4{,}2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4{,}2$]]>
Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}3 \times
0{,}7 = 4{,}2$.]]>
$6$]]>
Confusion : $6 = np$ est l'espérance. La variance
ajoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 4{,}2$.]]>
$\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$]]>
Confusion : $\sqrt{np(1-p)}$ est l'écart-type
$\sigma(X)$. La variance est son carré : $4{,}2$.]]>
$14$]]>
Erreur : $14 = 20 \times 0{,}7 = n(1-p)$ est l'espérance du
nombre d'échecs. La variance vaut $np(1-p)$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q07 : Chemins dans l'arbre
On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?]]>
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à $k$ succès
parmi $n$ épreuves sont au nombre de $\binom{n}{k}$ : c'est
exactement l'origine du coefficient dans la formule
binomiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions
des succès : SSE, SES, ESS, soit $\binom{3}{2} = 3$
chemins.]]>
$2$]]>
Erreur : ne confonds pas le nombre de succès ($2$) avec
le nombre de chemins qui le réalisent ($\binom{3}{2} = 3$).]]>
$8$]]>
Erreur : $2^3 = 8$ est le nombre total de chemins de
l'arbre. Seuls $3$ d'entre eux comptent exactement deux
succès.]]>
$6$]]>
Erreur : $6 = 3!$ ordonnerait trois objets distincts. Ici
les deux succès sont interchangeables : $\binom{3}{2} = 3$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q08 : Passer par l'événement contraire
Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Que vaut
$P(X \geq 1)$ ?]]>
Réflexe « au moins un » : passer au contraire.
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$. Ici
$1 - 0{,}0625 = 0{,}9375$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}9375$]]>
Bonne réponse : l'événement contraire de « au moins un
succès » est « aucun succès » : $P(X \geq 1) = 1 - P(X =
0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$.]]>
$0{,}0625$]]>
Erreur : $0{,}5^4 = 0{,}0625 = P(X = 0)$, la probabilité
de l'événement contraire. Il faut la retrancher de
$1$.]]>
$0{,}5$]]>
Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès sur une
épreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès
est bien plus probable : $0{,}9375$.]]>
$2$]]>
Impossible : $4 \times 0{,}5 = 2$ dépasse $1$ ($2$ est
ici l'espérance $np$, pas une probabilité). Le bon
chemin passe par le complémentaire.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q09 : Écrire $P(X \geq 8)$ pour la calculatrice
Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9)$. La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées $P(X \leq k)$. Quelle
écriture donne $P(X \geq 8)$ ?]]>
Pour une variable entière : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.
L'erreur de borne (utiliser $k$ au lieu de $k-1$) est le piège
le plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1 - P(X \leq 7)$]]>
Bonne réponse : le contraire de « $X \geq 8$ » est
« $X \leq 7$ » (variable à valeurs entières). D'où
$P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7)$.]]>
$1 - P(X \leq 8)$]]>
Erreur de borne classique : $1 - P(X \leq 8) =
P(X \geq 9)$, ce qui exclut la valeur $8$. Le contraire
de $X \geq 8$ s'arrête à $7$.]]>
$P(X \leq 8)$]]>
Erreur de sens : $P(X \leq 8)$ cumule les valeurs
jusqu'à $8$, alors qu'on veut celles à partir de $8$.]]>
$P(X = 8)$]]>
Incomplet : $X \geq 8$ regroupe les valeurs $8$, $9$ et
$10$ ; il manque $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q10 : Avec ou sans remise
Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$
boules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?]]>
Le critère de la binomiale est l'indépendance des
répétitions avec un $p$ constant : tirages avec remise (ou
situations assimilées). Sans remise, le modèle change.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si les tirages se font avec remise]]>
Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve
identique ($p = 0{,}3$) et indépendante des autres :
$X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}3)$.]]>
Si les tirages se font sans remise]]>
Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à
chaque tirage : le paramètre $p$ n'est plus constant et les
épreuves ne sont plus indépendantes.]]>
Dans les deux cas]]>
Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige
des épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la
remise garantit.]]>
Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages]]>
Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules
gagnantes ; rien n'empêche $X = 5$. Le modèle binomial
s'applique parfaitement.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q11 : Modéliser un QCM au hasard
Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?]]>
Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de
paramètre $p = \frac{1}{4}$, répétée $7$ fois de façon
indépendante. $X \sim \mathcal{B}(7\,;\,1/4)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$]]>
Bonne réponse : $7$ épreuves identiques et indépendantes,
le succès est la bonne réponse, de probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Espérance : $7/4 = 1{,}75$ bonne réponse en moyenne.]]>
$X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$]]>
Erreur : $\dfrac{3}{4}$ est la probabilité d'une réponse
fausse. Le succès compté par $X$ est la bonne réponse :
$p = \dfrac{1}{4}$.]]>
$X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)$]]>
Paramètres croisés : $n$ est le nombre de répétitions
($7$ questions) et $p$ la probabilité de succès à chacune
($1/4$).]]>
$X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$]]>
Erreur : $28 = 7 \times 4$ compte les options, pas les
épreuves. Chaque question est une épreuve : $n = 7$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q12 : Interpréter l'espérance
Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.
Quelle interprétation est correcte ?]]>
$E(X)$ est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand
nombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations
individuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en
proportion) que $n$ est grand.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En moyenne, $X$ vaut environ $40$]]>
Bonne réponse : sur un grand nombre de répétitions de
l'expérience complète, le nombre de succès vaut en
moyenne environ $40$. L'espérance est une moyenne en
tendance (loi des grands nombres), pas une garantie sur
une réalisation donnée.]]>
À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$]]>
Erreur : $X$ fluctue autour de $40$ (écart-type
$\sqrt{24} \approx 4{,}9$). Observer $35$ ou $46$ n'a rien
d'anormal.]]>
$P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$, la valeur de $p$]]>
Erreur : la probabilité de la valeur exacte $40$ est
d'environ $0{,}08$ seulement. L'espérance ne se lit pas
comme une probabilité.]]>
Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès]]>
Erreur : $X$ peut prendre toute valeur de $0$ à $100$ ;
$40$ n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q13 : Aucun succès
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =
0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?]]>
$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas particulier le plus utile de
la formule binomiale, porte d'entrée du calcul de $P(X \geq
1) = 1 - (1-p)^n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}8^3 = 0{,}512$]]>
Bonne réponse : zéro succès signifie trois échecs consécutifs,
chacun de probabilité $0{,}8$, indépendants : $0{,}8^3$
(et $\binom{3}{0} = 1$ ne change rien).]]>
$0{,}2^3 = 0{,}008$]]>
Inversé : $0{,}2^3$ est $P(X = 3)$ (trois succès).
Aucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec
$0{,}8$.]]>
$0$]]>
Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait
possible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un
événement impossible.]]>
$1 - 0{,}2 = 0{,}8$]]>
Puissance manquante : $0{,}8$ est l'échec sur UNE
épreuve ; il en faut trois de suite : $0{,}8^3$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q14 : Écart-type d'une binomiale
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =
0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?]]>
Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\sigma =
\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\sigma \approx
\frac{\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition
des fluctuations d'échantillonnage.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\sigma(X) = 5$]]>
Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}5 \times
0{,}5 = 25$, puis racine carrée : $\sigma = \sqrt{25} =
5$. Sur $100$ lancers équilibrés, l'écart typique autour
de $50$ est $5$.]]>
$\sigma(X) = 25$]]>
Racine oubliée : $25$ est la variance ; l'écart-type
en est la racine carrée.]]>
$\sigma(X) = 50$]]>
Confusion : $50 = np$ est l'espérance, le centre de
la distribution ; l'écart-type mesure la dispersion
autour de ce centre.]]>
$\sigma(X) = 10$]]>
Erreur : $10 = \sqrt{100}$ néglige le facteur $p(1-p) =
0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q15 : Calculer $P(X \leq 1)$
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}5$. Que vaut $P(X \leq 1)$ ?]]>
Une probabilité cumulée est la somme des $P(X = k)$ concernés. Avec
$p = 0{,}5$, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne
$1, 4, 6, 4, 1$ sur $2^4 = 16$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{5}{16}$]]>
Bonne réponse : $P(X = 0) + P(X = 1) =
\binom{4}{0}(0{,}5)^4 + \binom{4}{1}(0{,}5)^4 =
\frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$ : « au plus
un succès » se découpe en $\{0\}$ et $\{1\}$.]]>
$\dfrac{4}{16}$]]>
Cas $X = 0$ oublié : $\dfrac{4}{16} = P(X = 1)$
seulement ; « au plus $1$ » inclut zéro succès, les deux
termes s'ajoutent.]]>
$\dfrac{1}{2}$]]>
Symétrie mal placée : la symétrie de $p = 0{,}5$ relie
$P(X \leq 1)$ et $P(X \geq 3)$ (chacune $\frac{5}{16}$),
mais le point médian est $X = 2$, pas la frontière entre
$1$ et $2$.]]>
$\dfrac{2}{16}$]]>
Coefficients oubliés : les $\binom{4}{k}$ comptent les
chemins : $1$ chemin pour zéro succès, $4$ pour un
succès : $\frac{5}{16}$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q16 : Quand le modèle binomial échoue
On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?]]>
Points de contrôle du modèle binomial : 1) $n$ fixé à
l'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux
issues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre
manquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)
casse le modèle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance]]>
Bonne réponse : on s'arrête au premier succès, la durée est aléatoire. La binomiale exige un nombre $n$ d'épreuves déterminé avant l'expérience.]]>
Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli]]>
Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve
de Bernoulli ($p = \frac{1}{6}$) : le problème est
ailleurs (le nombre d'épreuves).]]>
Parce que les lancers ne sont pas indépendants]]>
Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la
condition qui manque est le nombre fixé de
répétitions.]]>
Mais si, tout comptage de lancers suit une loi binomiale]]>
Erreur : la binomiale compte les succès sur $n$ épreuves
fixées : compter l'attente du premier succès est un
tout autre objet.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q17 : Symétrie de la binomiale équilibrée
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =
0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?]]>
Pour $p = 0{,}5$ : $P(X = k) = \binom{n}{k}(0{,}5)^n$, et
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ : symétrie parfaite autour
de $\frac{n}{2}$. Pour $p \neq 0{,}5$, l'histogramme penche
du côté le plus probable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$]]>
Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et
échecs ne change rien : $3$ succès et $7$ succès sont
équiprobables : histogramme en miroir autour de $5$.]]>
$P(X = k) = P(X = k + 1)$]]>
Erreur : les probabilités varient avec $k$ (maximum au
centre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,
pas un plateau.]]>
$P(X = k) = \dfrac{1}{11}$ pour tout $k$]]>
Loi uniforme imaginée : les $\binom{10}{k}$ pèsent
différemment chaque valeur : $P(X = 5) = \frac{252}{1024}
\gg P(X = 0) = \frac{1}{1024}$.]]>
$P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$]]>
Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les
rend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison
de valoir $1$).]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q18 : Espérance et gain moyen
Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?]]>
Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, $E(X) =
np$, puis linéarité $E(2X) = 2E(X)$. L'espérance s'interprète
comme moyenne de long terme : la boussole des décisions
répétées.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$30$ euros]]>
Bonne réponse : $X$ (nombre de victoires) suit la
binomiale $(50\ ;\ 0{,}3)$ : $E(X) = 50 \times 0{,}3 =
15$ parties gagnées en moyenne ; le gain vaut $2X$,
d'espérance $2 \times 15 = 30$ euros.]]>
$100$ euros]]>
Rêve de victoire totale : $100 = 50 \times 2$ euros
supposerait toutes les parties gagnées ; en moyenne,
seules $30\ \%$ le sont.]]>
$15$ euros]]>
Gain unitaire oublié : $15$ est le nombre moyen de
parties gagnées ; chacune rapporte $2$ euros :
$30$ euros.]]>
Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire]]>
Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série
est imprévisible, mais l'espérance ($30$ euros) décrit
la moyenne sur un grand nombre de séries : c'est
exactement son rôle.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q19 : Reconnaître les paramètres
On lance $20$ fois un dé équilibré et l'on compte les six obtenus.
Quels sont les paramètres de la loi suivie ?]]>
Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ compte les succès dans $n$
répétitions identiques et indépendantes, chacune de probabilité $p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n = 20$ et $p = \dfrac{1}{6}$]]>
Bonne réponse : vingt répétitions indépendantes, chacune avec une
probabilité de succès d'un sixième.]]>
$n = 6$ et $p = \dfrac{1}{20}$]]>
Rôles échangés : $n$ est le nombre de répétitions, $p$ la probabilité
d'un succès.]]>
$n = 20$ et $p = \dfrac{1}{2}$]]>
Probabilité fausse : un dé a six faces, et le succès n'en concerne
qu'une.]]>
$n = 20$ et $p = 6$]]>
Une probabilité ne dépasse jamais $1$ : la valeur $6$ est celle de la
face, pas de la probabilité.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q20 : Calculer une probabilité binomiale
Pour $X$ de loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}5$,
que vaut $P(X = 2)$ ?]]>
La formule $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ combine le nombre de
chemins et la probabilité de chacun d'eux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}375$]]>
Bonne réponse : $\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^2 =
6 \times 0{,}0625$.]]>
$0{,}25$]]>
Coefficient binomial oublié : $0{,}5^2 \times 0{,}5^2$ ne compte qu'un
seul chemin sur les six possibles.]]>
$0{,}5$]]>
Probabilité d'un succès recopiée : elle ne concerne qu'une seule
épreuve.]]>
$0{,}0625$]]>
Probabilité d'un chemin : il reste à la multiplier par le nombre de
chemins, qui vaut $6$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q21 : Espérance et nombre attendu
Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et
$p = 0{,}2$. Quelle est son espérance ?]]>
L'espérance d'une loi binomiale vaut $np$, sa variance $np(1-p)$ et son
écart-type la racine carrée de cette variance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \times 0{,}2$.]]>
$8$]]>
Formule de la variance : $np(1-p)$ vaut $8$, mais l'espérance s'en
distingue.]]>
$0{,}2$]]>
Probabilité recopiée : l'espérance compte un nombre de succès, elle
n'est pas une probabilité.]]>
$50$]]>
Nombre de répétitions recopié : tous les essais ne sont pas des
succès.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q22 : Au moins un succès
Pour $X$ de loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}3$,
comment calculer $P(X \geq 1)$ le plus simplement ?]]>
Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Ce passage au
complémentaire réduit le calcul à un seul terme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Par $1 - P(X = 0)$]]>
Bonne réponse : un seul terme à calculer, au lieu des dix autres.]]>
En additionnant les dix probabilités]]>
Le calcul est correct mais bien plus long, et source d'erreurs
d'arrondi.]]>
Par $P(X = 1)$]]>
Cette probabilité concerne exactement un succès, alors que l'énoncé en
demande au moins un.]]>
Par $1 - P(X = 1)$]]>
Contraire mal formé : le contraire de « au moins un » est « aucun ».]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q23 : Quand le modèle ne convient pas
Dans quelle situation la loi binomiale ne s'applique-t-elle pas ?]]>
La loi binomiale exige des épreuves identiques, indépendantes et à deux
issues. Un tirage sans remise viole les deux premières conditions.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un tirage de cinq cartes sans remise]]>
Bonne réponse : sans remise, la probabilité de succès change d'un
tirage à l'autre.]]>
Vingt lancers d'une même pièce]]>
Les lancers sont identiques et indépendants : le modèle s'applique.]]>
Cent tirages avec remise dans une urne]]>
La remise garantit des tirages identiques et indépendants.]]>
Dix questions d'un QCM répondues au hasard]]>
Chaque question est une épreuve identique et indépendante des autres.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q24 : Effet de la taille sur l'écart-type
$X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $Y$ la loi
$\mathcal{B}(4n\,;\,p)$. Comment se compare $\sigma(Y)$ à
$\sigma(X)$ ?]]>
$V(X) = np(1-p)$ est proportionnelle à $n$ ; l'écart-type croît
comme $\sqrt{n}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\sigma(Y) = 2\,\sigma(X)$]]>
Bonne réponse : $\sigma(Y) = \sqrt{4np(1-p)} =
2\sqrt{np(1-p)}$.]]>
$\sigma(Y) = 4\,\sigma(X)$]]>
Erreur : c'est la variance qui est multipliée par $4$ ;
l'écart-type en est la racine carrée.]]>
$\sigma(Y) = 16\,\sigma(X)$]]>
Erreur : $16$ serait le facteur de la variance si $n$ était
multiplié par $16$.]]>
$\sigma(Y) = \sigma(X)$]]>
Erreur : l'écart-type d'une binomiale dépend de $n$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q25 : Le rôle du coefficient binomial
Dans la formule $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, que compte
le coefficient $\dbinom{n}{k}$ ?]]>
La formule combine deux comptages : le nombre de chemins menant à $k$
succès, donné par le coefficient binomial, et la probabilité de chacun
d'eux, toujours la même.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les chemins de l'arbre à $k$ succès]]>
Bonne réponse : les succès peuvent survenir à différents rangs, et
chaque disposition donne un chemin.]]>
La probabilité de $k$ succès]]>
Un coefficient binomial est un entier, souvent bien supérieur à $1$ :
ce n'est pas une probabilité.]]>
Le nombre de succès attendus]]>
Le nombre attendu est l'espérance, qui vaut $np$.]]>
Le nombre total d'épreuves]]>
Ce nombre est $n$, le paramètre du haut, pris isolément.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q26 : Une loi symétrique
Pour quelle valeur de $p$ la loi binomiale est-elle symétrique autour
de son espérance ?]]>
Lorsque $p$ vaut $0{,}5$, les rôles du succès et de l'échec sont
interchangeables, ce qui rend le diagramme symétrique autour de
$\dfrac{n}{2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Pour $p = 0{,}5$]]>
Bonne réponse : succès et échec jouant le même rôle, la loi est
symétrique.]]>
Pour $p = 0$]]>
La loi est alors concentrée en $0$ : aucun succès n'est possible.]]>
Pour $p = 1$]]>
La loi est alors concentrée en $n$ : tous les essais réussissent.]]>
Pour toute valeur de $p$]]>
Une probabilité de succès faible décale la loi vers les petites
valeurs, sans symétrie.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q27 : Traduire une inégalité
Comment s'écrit « au plus trois succès » à l'aide de la variable
$X$ ?]]>
« Au plus $k$ » se traduit par $X \leq k$, « au moins $k$ » par
$X \geq k$, et « exactement $k$ » par $X = k$. La lecture de l'énoncé
décide de l'inégalité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(X \leq 3)$]]>
Bonne réponse : « au plus » correspond à une inégalité large vers le
bas.]]>
$P(X \geq 3)$]]>
Cette écriture traduit « au moins trois succès », c'est-à-dire le sens
contraire.]]>
$P(X = 3)$]]>
Cette écriture concerne exactement trois succès, sans les cas
inférieurs.]]>
$P(X < 3)$]]>
Inégalité stricte : elle exclut le cas de trois succès, pourtant
admis.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q28 : Un contrôle de production
Une machine produit $3$ % de pièces défectueuses. Sur un lot de
$200$ pièces, combien en attend-on de défectueuses ?]]>
Le nombre de pièces défectueuses suit une loi binomiale de paramètres
$n = 200$ et $p = 0{,}03$. Le nombre attendu est son espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : l'espérance vaut $np = 200 \times 0{,}03$.]]>
$3$]]>
Pourcentage recopié : il faut l'appliquer à l'effectif du lot.]]>
$60$]]>
Erreur d'un facteur $10$ : $3$ % s'écrit $0{,}03$, pas $0{,}3$.]]>
$194$]]>
Nombre de pièces conformes : l'énoncé demande les défectueuses.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q29 : Les valeurs possibles
Quelles valeurs une variable de loi binomiale de paramètre $n$ peut-
elle prendre ?]]>
Une variable binomiale compte des succès parmi $n$ épreuves : elle prend
donc les valeurs entières de $0$ à $n$, chacune avec une probabilité
donnée par la formule.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les entiers de $0$ à $n$]]>
Bonne réponse : le nombre de succès va de zéro à la totalité des
épreuves.]]>
Les entiers de $1$ à $n$]]>
La valeur $0$ est possible : il se peut qu'aucun essai ne réussisse.]]>
Tous les réels de $[0\,;\,n]$]]>
Un nombre de succès est un entier : les valeurs décimales sont
exclues.]]>
Les entiers de $0$ à $np$]]>
L'espérance $np$ ne borne pas les valeurs : tous les essais peuvent
réussir.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q30 : Deux lois binomiales
Deux lois binomiales ont même espérance, l'une avec $n = 100$ et
$p = 0{,}1$, l'autre avec $n = 10$ et $p = 1$. Qu'est-ce qui les
distingue ?]]>
L'espérance situe le centre d'une loi, la variance $np(1-p)$ son
étalement. Une probabilité égale à $1$ annule la variance, la variable
devenant certaine.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Leur dispersion autour de l'espérance]]>
Bonne réponse : la seconde a une variance nulle, elle vaut toujours
$10$, alors que la première fluctue.]]>
Rien, elles sont identiques]]>
Une même espérance n'entraîne pas une même loi : les probabilités des
valeurs diffèrent entièrement.]]>
Leur nombre de valeurs possibles seulement]]>
Ce nombre diffère en effet, mais la différence essentielle porte sur la
dispersion.]]>
Leur espérance, mal calculée]]>
Les deux espérances valent bien $10$, le calcul est correct.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q31 : Variance d'une épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}4$. La variable
$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?]]>
Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et
$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales
$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}24$]]>
Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici
$0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24$.]]>
$0{,}4$]]>
Confusion : $0{,}4$ est l'espérance $E(X) = p$. La variance
multiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}24$.]]>
$0{,}6$]]>
Erreur : $0{,}6$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une
variance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}24$.]]>
$0{,}16$]]>
Erreur : $p^2 = 0{,}16$ élève la probabilité de succès au carré. La
formule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}24$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q32 : Probabilité d'une liste de quatre issues
On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de
probabilité de succès $0{,}2$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans
cet ordre, échec, succès, succès, échec ?]]>
Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste
d'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le
coefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}0256$]]>
Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les
probabilités rencontrées : $0{,}8 \times 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}8
= 0{,}0256$.]]>
$0{,}1536$]]>
Erreur : ce résultat vaut $\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc
$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'ordre des issues, donc une seule
liste.]]>
$0{,}0016$]]>
Erreur : $0{,}2^4 = 0{,}0016$ correspond à quatre succès. La liste
demandée compte deux succès et deux échecs.]]>
$0{,}4096$]]>
Erreur : $0{,}8^4 = 0{,}4096$ correspond à quatre échecs. Il faut
deux facteurs $0{,}2$ et deux facteurs $0{,}8$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q33 : Valeur d'un coefficient binomial
Soit $X \sim \mathcal{B}(6\,;\,p)$. Que vaut le coefficient
$\dbinom{6}{2}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 2)$ ?]]>
Le coefficient $\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant
exactement $k$ succès. On le calcule par
$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : $\dbinom{6}{2} = \dfrac{6!}{2!\,(6-2)!}
= 15$, le nombre de façons de placer les succès.]]>
$30$]]>
Erreur : $30$ compte les placements ordonnés des
succès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $2!$.]]>
$64$]]>
Erreur : $2^{6} = 64$ est le nombre total de listes
d'issues. Seules celles qui comptent $2$ succès nous intéressent.]]>
$12$]]>
Erreur : le produit $6 \times 2 = 12$ ne correspond à aucun
dénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q34 : Aucun succès quand n grandit
Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ avec $0 < p < 1$. Comment évolue
$P(X = 0)$ lorsque le nombre $n$ de répétitions augmente ?]]>
L'événement « aucun succès » exige $n$ échecs consécutifs, donc
$P(X = 0) = (1-p)^n$. Comme $0 < 1-p < 1$, cette probabilité décroît vers
$0$ quand $n$ augmente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle diminue et se rapproche de $0$]]>
Bonne réponse : $P(X = 0) = (1-p)^n$ est une suite géométrique de
raison $1-p$, comprise strictement entre $0$ et $1$, donc
décroissante et de limite nulle.]]>
Elle augmente et se rapproche de $1$]]>
Sens inversé : plus on répète l'épreuve, plus il devient difficile de
n'obtenir aucun succès. C'est $P(X \geq 1)$ qui tend vers $1$.]]>
Elle reste égale à $1 - p$ sans changer]]>
Erreur : $1-p$ est la probabilité d'échouer à une épreuve. Sur
$n$ épreuves, ces échecs se multiplient : $(1-p)^n$.]]>
Elle diminue d'abord, puis se stabilise]]>
Erreur : une suite géométrique de raison strictement comprise entre
$0$ et $1$ décroît sans jamais se stabiliser ailleurs qu'en $0$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q35 : Pourquoi multiplier le long d'un chemin
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, la probabilité d'un chemin
s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées. Qu'est-ce qui
justifie cette multiplication ?]]>
La règle du produit le long d'un chemin repose sur l'indépendance des
répétitions : c'est l'hypothèse centrale du schéma de Bernoulli.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les répétitions sont indépendantes entre elles]]>
Bonne réponse : l'indépendance des épreuves permet de multiplier les
probabilités le long d'un chemin, sans avoir à tenir compte des
issues précédentes.]]>
Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$]]>
Cette propriété est vraie, mais elle sert à vérifier un arbre, pas à
justifier le produit le long d'un chemin.]]>
Tous les chemins de l'arbre sont équiprobables]]>
C'est faux dès que $p \neq 0{,}5$ : un chemin à trois succès et un
chemin à trois échecs n'ont pas la même probabilité.]]>
Le succès et l'échec sont deux issues contraires]]>
Cela justifie $P(\text{échec}) = 1 - p$ sur une branche, mais pas la
multiplication d'une branche à la suivante.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q36 : Encadrement et probabilités cumulées
Soit $X \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}4)$. La calculatrice ne fournit que
les probabilités cumulées $P(X \leq k)$. Quelle écriture donne
$P(9 \leq X \leq 14)$ ?]]>
Pour une variable à valeurs entières, $P(a \leq X \leq b)$ s'écrit
$P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$. Le décalage d'une unité sur la borne basse
est l'erreur la plus fréquente.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(X \leq 14) - P(X \leq 8)$]]>
Bonne réponse : on retire les valeurs strictement inférieures à $9$,
c'est-à-dire celles jusqu'à $8$, pour conserver $9, 10, \ldots, 14$.]]>
$P(X \leq 14) - P(X \leq 9)$]]>
Erreur classique : cette différence retire aussi la valeur $9$, qui
fait pourtant partie de l'encadrement demandé.]]>
$P(X \leq 15) - P(X \leq 9)$]]>
Erreur : les deux bornes sont décalées d'une unité. On garde ici
$10, 11, \ldots, 15$ au lieu de $9, 10, \ldots, 14$.]]>
$P(X \leq 14) + P(X \leq 9)$]]>
Erreur d'opération : une addition compte deux fois les petites
valeurs. Un encadrement s'obtient par une soustraction.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q37 : Au moins deux succès
Soit $X \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}2)$. Que vaut $P(X \geq 2)$ ?]]>
Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par
l'événement contraire : $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque
terme se calculant par la formule binomiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}104$]]>
Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc
$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}512 - 0{,}384 = 0{,}104$.]]>
$0{,}896$]]>
Erreur : $0{,}896$ est $P(X \leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de
l'événement contraire. Il reste à la retrancher de $1$.]]>
$0{,}488$]]>
Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}488$ donne $P(X \geq 1)$. Le cas
$X = 1$ doit également être écarté.]]>
$0{,}616$]]>
Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de
$X \geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q38 : Une condition qui n'en est pas une
Une variable $X$ compte les succès d'une répétition d'épreuves de
Bernoulli. Parmi ces conditions, laquelle n'est pas nécessaire pour
que $X$ suive une loi binomiale ?]]>
Trois conditions définissent un schéma de Bernoulli : un nombre
d'épreuves fixé, la même probabilité de succès à chaque épreuve, et
l'indépendance. La valeur de $n$ est libre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Que le nombre de répétitions soit grand]]>
Bonne réponse : la loi binomiale se définit dès $n = 1$. La taille de
$n$ ne joue aucun rôle dans la validité du modèle.]]>
Que les répétitions soient indépendantes]]>
Condition indispensable : sans indépendance, on ne peut pas
multiplier les probabilités le long d'un chemin de l'arbre.]]>
Que le nombre de répétitions soit fixé au départ]]>
Condition indispensable : si l'on répète jusqu'à un événement, le
nombre d'épreuves devient aléatoire et le modèle tombe.]]>
Que la probabilité de succès reste la même]]>
Condition indispensable : un tirage sans remise, par exemple, fait
varier $p$ d'une épreuve à l'autre et interdit le modèle.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q39 : Retrouver n et p
Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 12$ et de
variance $V(X) = 4{,}8$. Quels sont ses paramètres ?]]>
De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \dfrac{V(X)}{E(X)}$,
puis $n = \dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n = 20$ et $p = 0{,}6$]]>
Bonne réponse : le quotient $\dfrac{V(X)}{E(X)} = \dfrac{np(1-p)}{np}$
vaut $1-p = 0{,}4$, d'où $p = 0{,}6$, puis $n = \dfrac{12}{0{,}6} =
20$.]]>
$n = 20$ et $p = 0{,}4$]]>
Erreur de lecture : le quotient $\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et
non $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}6$.]]>
$n = 12$ et $p = 0{,}6$]]>
Erreur : $12$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient
$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 20$.]]>
$n = 12$ et $p = 0{,}4$]]>
Deux erreurs cumulées : $12$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}4$
est la probabilité d'échec. Les paramètres sont $20$ et $0{,}6$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q40 : Une valeur impossible
On répète $10$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.
Parmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il pas prendre ?]]>
Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement
les valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$11$]]>
Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.
Le maximum est $10$, donc $11$ est hors d'atteinte.]]>
$0$]]>
Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$
épreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{10}$.]]>
$5$]]>
Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$
et $10$, donc une valeur prise par $X$.]]>
$10$]]>
Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$
épreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{10}$.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q41 : Traduire une inégalité stricte
Une variable $X$ compte des succès. Comment traduire « strictement plus
de $5$ succès » à l'aide de $X$ ?]]>
Sur des valeurs entières, « strictement plus de $k$ » et « au moins
$k+1$ » décrivent le même événement. C'est cette seconde écriture que la
calculatrice sait traiter.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$X \geq 6$, soit six succès ou plus]]>
Bonne réponse : $X$ ne prend que des valeurs entières, donc
« strictement plus de $5$ » commence à $6$.]]>
$X \geq 5$, soit cinq succès ou plus]]>
Erreur : cette écriture inclut la valeur $5$, que l'inégalité stricte
exclut au contraire.]]>
$X > 6$, soit sept succès ou plus]]>
Erreur : le seuil a été décalé d'une unité. La valeur $6$ convient
déjà, puisqu'elle dépasse $5$.]]>
$X \leq 5$, soit cinq succès au plus]]>
Sens inversé : cette écriture décrit « au plus cinq succès », donc
exactement le contraire de l'énoncé.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q42 : Pas que des succès
Soit $X \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}4)$. Quelle est la probabilité que
les $3$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?]]>
L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,
de probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \leq n-1) = 1 - p^n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}936$]]>
Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de
probabilité $0{,}4^{3} = 0{,}064$. On conclut par
$1 - 0{,}064 = 0{,}936$.]]>
$0{,}064$]]>
Erreur : $0{,}064$ est justement la probabilité d'obtenir que des
succès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé.]]>
$0{,}784$]]>
Erreur : $1 - 0{,}216 = 0{,}784$ répond à « au moins un
succès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter.]]>
$0{,}216$]]>
Erreur : $0{,}6^{3} = 0{,}216$ est la probabilité de n'obtenir aucun
succès, un cas bien plus restrictif que celui demandé.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q43 : Combien de tentatives prévoir
Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des
autres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $12$ succès
en moyenne ?]]>
Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de
succès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir
$n = \dfrac{k}{p}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$60$]]>
Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale
d'espérance $np$. On résout $n \times 0{,}2 = 12$, d'où
$n = \dfrac{12}{0{,}2} = 60$.]]>
$2{,}4$]]>
Opération inversée : multiplier $12$ par $0{,}2$ donne $2{,}4$,
un nombre plus petit que $12$. Il faut au contraire diviser.]]>
$15$]]>
Erreur : la division a été faite par $0{,}8$, la probabilité d'échec.
L'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$.]]>
$12$]]>
Erreur : $12$ tentatives ne donneraient que $2{,}4$ succès en
moyenne, puisque chacune échoue le plus souvent.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q44 : Ce que dit l'écart-type
Soit $X \sim \mathcal{B}(400\,;\,0{,}5)$, d'espérance $200$ et
d'écart-type $10$. Que traduit cet écart-type ?]]>
L'espérance situe le centre d'une loi, l'écart-type mesure l'ampleur des
fluctuations autour de ce centre. Aucun des deux ne borne les valeurs
possibles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'écart à $200$ est d'une dizaine d'unités]]>
Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion autour de
l'espérance. Les valeurs observées se tiennent en général à quelques
dizaines d'unités de $200$.]]>
$X$ prend nécessairement une valeur entre $190$ et $210$]]>
Erreur : l'écart-type ne borne rien. Toutes les valeurs de $0$ à
$400$ restent possibles, même si les plus éloignées sont rares.]]>
Une épreuve sur dix environ se solde par un succès]]>
Erreur : la proportion de succès est donnée par $p = 0{,}5$, soit une
épreuve sur deux. L'écart-type ne renseigne pas sur $p$.]]>
La valeur de l'espérance est connue à $10$ près]]>
Erreur : l'espérance vaut exactement $200$. C'est la variable, et non
son espérance, qui fluctue autour de cette valeur.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q45 : Somme de toutes les probabilités
Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Que vaut la somme
$P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = n)$ ?]]>
Les $n+1$ événements $(X = 0), (X = 1), \ldots, (X = n)$ sont deux à deux
incompatibles et couvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités
vaut $1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$, comme pour toute loi de probabilité]]>
Bonne réponse : les événements $(X = k)$ forment une partition de
l'univers, donc leurs probabilités totalisent $1$.]]>
$np$, c'est-à-dire l'espérance de $X$]]>
Confusion : $np$ s'obtient en pondérant chaque valeur $k$ par sa
probabilité. Ici les probabilités sont simplement additionnées.]]>
$p$, la probabilité de succès d'une épreuve]]>
Erreur : $p$ concerne une seule épreuve. La somme porte sur toutes
les valeurs possibles de $X$, donc sur tout l'univers.]]>
$n$, le nombre d'épreuves répétées]]>
Erreur : une somme de probabilités ne peut pas dépasser $1$. Le
nombre $n$ compte les épreuves, pas des probabilités.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q46 : Retrouver la probabilité à partir de l'espérance
$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p$, avec
$E(X) = 12$. Que vaut $p$ ?]]>
$E(X) = np$ se lit dans les deux sens : connaissant $n$ et
l'espérance, on retrouve $p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}3$]]>
Bonne réponse : $E(X) = np$, donc $p = \dfrac{12}{40} = 0{,}3$.]]>
$0{,}4$]]>
Erreur : le quotient a été mal calculé ; $40 \times 0{,}4 \neq
12$.]]>
$3{,}33$]]>
Erreur : $\dfrac{40}{12}$ dépasse $1$ et ne peut pas être une
probabilité.]]>
$12$]]>
Erreur : $12$ est l'espérance, pas la probabilité.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q47 : La variance la plus grande à n fixé
Pour une loi binomiale de paramètre $n$ fixé, pour quelle valeur
de $p$ la variance $np(1 - p)$ est-elle maximale ?]]>
L'incertitude est maximale quand succès et échec sont
équiprobables : $V(X) = np(1 - p) \leq \dfrac{n}{4}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$p = \dfrac{1}{2}$, où $p(1 - p)$ est maximal]]>
Bonne réponse : $p(1 - p)$ est un trinôme en $p$ de maximum
$\dfrac{1}{4}$ en $p = \dfrac{1}{2}$ ; la variance vaut alors
$\dfrac{n}{4}$.]]>
$p = 1$, la variance croissant avec $p$]]>
Erreur : pour $p = 1$, tous les tirages sont des succès, la
variance est nulle.]]>
$p = 0$, la variance décroissant avec $p$]]>
Erreur : pour $p = 0$, aucun succès, la variance est nulle.]]>
Aucune, la variance ne dépendant pas de $p$]]>
Erreur : $np(1 - p)$ dépend de $p$, et s'annule aux deux
extrémités.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q48 : Écart-type d'une loi binomiale, calcul numérique
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}2$.
Que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?]]>
$\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre
la racine carrée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4$]]>
Bonne réponse : $V(X) = 100 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 16$ et
$\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$.]]>
$16$]]>
Erreur : $16$ est la variance ; l'écart-type en est la racine
carrée.]]>
$20$]]>
Erreur : $20$ est l'espérance $np$.]]>
$0{,}2$]]>
Erreur : $0{,}2$ est la probabilité d'un succès.]]>
Schéma de Bernoulli et loi binomiale — Q49 : Nombre de ventes attendues
Un vendeur contacte $200$ clients ; chacun achète avec la
probabilité $0{,}15$, indépendamment des autres. Combien de ventes
peut-il attendre en moyenne ?]]>
Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour
prévoir le résultat moyen.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$30$ ventes]]>
Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de
paramètres $200$ et $0{,}15$, d'espérance $200 \times 0{,}15 = 30$.]]>
$15$ ventes]]>
Erreur : $15$ est $100 \times 0{,}15$, un pourcentage, pas un
nombre de ventes sur $200$ clients.]]>
$0{,}15$ vente]]>
Erreur : $0{,}15$ est la probabilité d'une vente par client.]]>
$200$ ventes]]>
Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion
$0{,}15$ le fait en moyenne.]]>