$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Sommes de variables aléatoires
Linéarité de l'espérance ($E(X+Y)$, $E(aX)$), additivité de la
variance pour des variables indépendantes, $V(aX) = a^2 V(X)$,
échantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la
somme $S_n$ et de la moyenne $M_n$, décomposition d'une binomiale
en somme de variables de Bernoulli.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q01 : Espérance d'une somme
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et
$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?]]>
Linéarité de l'espérance : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et
$E(aX) = a\,E(X)$, sans aucune hypothèse d'indépendance.
C'est l'outil le plus puissant du chapitre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$, sans hypothèse supplémentaire]]>
Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, vaut toujours, indépendance ou
non.]]>
$8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes]]>
Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les
variances, pas les espérances. La linéarité de
l'espérance est inconditionnelle.]]>
$15$]]>
Erreur : $15 = 3 \times 5$ serait un produit. La somme des
variables donne la somme des espérances : $3 + 5 = 8$.]]>
On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$]]>
Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans
connaître les lois ni le lien entre les variables.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q02 : Espérance de $aX$
Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut
$E(3X)$ ?]]>
$E(aX) = a\,E(X)$ : un facteur constant sort tel quel de
l'espérance (contrairement à la variance, où il sort au
carré).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $E(aX) = a\,E(X) = 3 \times 2 = 6$.]]>
$2$]]>
Erreur : multiplier la variable par $3$ multiplie aussi sa
valeur moyenne par $3$.]]>
$18$]]>
Erreur : $18 = 3^2 \times 2$ applique la règle de la
variance ($V(aX) = a^2V(X)$). Pour l'espérance, le
facteur sort sans être élevé au carré.]]>
$5$]]>
Erreur : $3 + 2$ additionne le coefficient et l'espérance.
La règle est multiplicative : $E(3X) = 3E(X)$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q03 : Variance de $aX$
Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut
$V(3X)$ ?]]>
$V(aX) = a^2\,V(X)$ (et donc $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$).
Moyen mémo : la variance s'exprime en unités au carré, le
facteur y entre au carré.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$18$]]>
Bonne réponse : $V(aX) = a^2\,V(X) = 9 \times 2 = 18$. La
variance est une moyenne de carrés d'écarts : le
facteur sort au carré.]]>
$6$]]>
Erreur très fréquente : $3V(X)$ applique la règle de
l'espérance. Les écarts sont multipliés par $3$, donc leurs
carrés par $9$.]]>
$2$]]>
Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La
variance est multipliée par $a^2 = 9$.]]>
$12$]]>
Erreur : $12 = 6 \times 2$ ne correspond à aucune règle.
La formule exacte est $V(aX) = a^2V(X) = 18$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q04 : Additivité de la variance
Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?]]>
$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
Sans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser
($Y = -X$) ou se renforcer ($Y = X$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes]]>
Bonne réponse : l'additivité de la variance exige
l'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la
succession d'épreuves indépendantes).]]>
Toujours, comme pour l'espérance]]>
Erreur : contre-exemple, $Y = -X$ (avec $V(X) > 0$) :
$V(X + Y) = V(0) = 0$ alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$.]]>
Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi]]>
Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. avec $Y = X$, par exemple, $V(2X) = 4V(X) \neq 2V(X)$.]]>
Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$]]>
Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.
$Y = -X$ centrée fournit encore le contre-exemple.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q05 : Variance d'une différence
Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.
Que vaut $V(X - Y)$ ?]]>
Pour $X, Y$ indépendantes :
$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2V(Y) = V(X) + V(Y)$. Une variance ne
peut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel
que soit le signe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : $X - Y = X + (-1)Y$, donc
$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = 4 + 1 = 5$. Les variances
s'ajoutent, même pour une différence.]]>
$3$]]>
Piège classique : on ne soustrait pas les variances.
Soustraire une variable ajoute de l'aléa autant que
l'ajouter : $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$.]]>
$4$]]>
Erreur : le terme $V(Y)$ ne disparaît pas ; $-Y$ fluctue
exactement autant que $Y$.]]>
$\sqrt{17}$]]>
Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à
l'écart-type ?). $V(X - Y) = 4 + 1 = 5$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q06 : Écart-type de la moyenne d'échantillon
Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable
d'écart-type $\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut $\sigma(M_n)$ ?]]>
Formules d'échantillon : $\sigma(S_n) = \sigma\sqrt{n}$ et
$\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. C'est ce facteur
$\frac{1}{\sqrt{n}}$ qui fonde la précision croissante des
sondages et mesures répétées.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}5$]]>
Bonne réponse : $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ donc
$\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =
\dfrac{5}{\sqrt{100}} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$. Le fameux
facteur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.]]>
$5$]]>
Erreur : moyenner réduit la dispersion. Chaque
observation a un écart-type de $5$, mais leur moyenne
fluctue dix fois moins.]]>
$0{,}05$]]>
Erreur : $\dfrac{5}{100} = 0{,}05$ divise par $n$, mais
c'est la variance qui se divise par $n$. L'écart-type,
sa racine, se divise par $\sqrt{n} = 10$.]]>
$50$]]>
Erreur : $50 = 5\sqrt{100}$ est l'écart-type de la
somme $S_n$, pas de la moyenne. Diviser par $n$ ramène
à $0{,}5$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q07 : Espérance d'une somme d'échantillon
Soit $S_n = X_1 + \cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de
taille $50$ d'une variable d'espérance $\mu = 2$. Que vaut
$E(S_n)$ ?]]>
Pour un échantillon $(X_1, \ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance
$\mu$ : $E(S_n) = n\mu$ (linéarité) et $E(M_n) = \mu$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$100$]]>
Bonne réponse : par linéarité, $E(S_n) = n\mu = 50 \times 2
= 100$.]]>
$2$]]>
Erreur : $2$ est l'espérance d'une observation (et
celle de la moyenne $M_n$). La somme de $50$ observations a
pour espérance $50 \times 2$.]]>
$52$]]>
Erreur : $50 + 2$ additionne des objets de natures
différentes. La règle est multiplicative : $n\mu = 100$.]]>
$25$]]>
Erreur : $50/2$ ne correspond à aucune formule. $E(S_n) =
n\mu = 100$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q08 : Une binomiale comme somme
Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Comment retrouve-t-on la
formule $V(X) = np(1-p)$ ?]]>
Décomposition fondamentale : $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est la loi
de $X_1 + \cdots + X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli
indépendantes. Espérances : $n \times p$ ; variances
(indépendance) : $n \times p(1-p)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En décomposant $X$ en somme de $n$ Bernoulli
indépendantes]]>
Bonne réponse : $X = X_1 + \cdots + X_n$ avec $X_i$ de
Bernoulli indépendantes, chacune de variance $p(1-p)$ ;
l'additivité des variances donne $n \times p(1-p)$.]]>
En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale]]>
Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du
programme passe par la décomposition en somme et
l'additivité des variances : c'est tout son intérêt.]]>
En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$]]>
Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste
ici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli
indépendantes.]]>
On ne peut pas : cette formule est admise sans justification]]>
Erreur : la démonstration est explicitement au programme,
via la décomposition en somme de variables de Bernoulli.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q09 : Effet de la taille d'échantillon
On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne $M_n$ ?]]>
$V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ : la moyenne d'un échantillon se
concentre autour de $\mu$ à mesure que $n$ croît. En pratique :
pour diviser l'incertitude (écart-type) par $2$, il faut
quadrupler l'échantillon.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est divisée par $4$]]>
Bonne réponse : $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ : quadrupler $n$
divise la variance de la moyenne par $4$ (et son écart-type
par $2$).]]>
Elle est divisée par $2$]]>
Erreur : c'est l'écart-type qui est divisé par
$\sqrt{4} = 2$. La variance, elle, suit $\frac{V}{n}$ :
division par $4$.]]>
Elle est divisée par $16$]]>
Erreur : $16$ appliquerait un carré de trop. $V(M_n)$ est
proportionnelle à $\dfrac{1}{n}$ : facteur $4$, pas $16$.]]>
Elle ne change pas]]>
Erreur : c'est l'espérance $E(M_n) = \mu$ qui est
insensible à $n$. La dispersion de la moyenne, elle, fond
quand l'échantillon grandit.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q10 : Espérance de la moyenne d'échantillon
Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?]]>
$E(M_n) = \mu$ : la taille de l'échantillon n'affecte que la
précision ($V(M_n) = V/n$), pas le centre. C'est le point
de départ de l'estimation statistique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\mu$, quelle que soit la taille $n$]]>
Bonne réponse : $E(M_n) = \dfrac{1}{n}E(S_n) =
\dfrac{n\mu}{n} = \mu$. La moyenne d'échantillon vise juste
en moyenne, pour tout $n$.]]>
$\dfrac{\mu}{n}$]]>
Erreur : la division par $n$ est déjà incluse dans la
définition de $M_n$ ; elle compense exactement la somme des
$n$ espérances.]]>
$n\mu$]]>
Erreur : $n\mu$ est l'espérance de la somme $S_n$. La
moyenne divise par $n$ : $E(M_n) = \mu$.]]>
Cela dépend de la variance de la loi]]>
Erreur : la variance règle la dispersion de $M_n$
autour de $\mu$, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours
$\mu$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q11 : Quelle égalité est toujours vraie ?
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires quelconques
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?]]>
À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans
condition ; l'additivité concerne les variances et demande
l'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent
pas.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$]]>
Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande
aucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent
l'indépendance, et peuvent être fausses sans elle.]]>
$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$]]>
Erreur : vraie seulement sous indépendance.
Contre-exemple : $Y = -X$ donne $V(X+Y) = 0$.]]>
$E(XY) = E(X)\,E(Y)$]]>
Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est
d'ailleurs pas un attendu du programme). Avec $Y = X$ :
$E(X^2) \neq E(X)^2$ dès que $V(X) > 0$.]]>
$\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$]]>
Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels
quels (même sous indépendance, ce sont les variances
qui s'ajoutent : $\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma_X^2 +
\sigma_Y^2}$).]]>
Sommes de variables aléatoires — Q12 : Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?]]>
Toute la puissance de la linéarité : $E(S) = 2 \times 3{,}5 =
7$ sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le
tableau des 36 issues).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =
7$, par linéarité, sans même détailler la loi de $S$.]]>
$6$]]>
Erreur : $6$ est le maximum d'un dé. La somme de deux
dés est centrée sur $3{,}5 + 3{,}5 = 7$.]]>
$3{,}5$]]>
Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un seul dé (ou de la
moyenne des deux). La somme double : $7$.]]>
$12{,}25$]]>
Erreur : $3{,}5^2$ multiplierait les espérances, ce qui
correspondrait à un produit de variables. Pour une somme,
on additionne : $7$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q13 : Espérance de $X + b$
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que
vaut $E(X + 5)$ ?]]>
$E(aX + b) = aE(X) + b$ : l'espérance suit les
transformations affines. Décaler les valeurs décale la
moyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : ajouter $5$ à toutes les valeurs décale
la moyenne de $5$ : $E(X + b) = E(X) + b$.]]>
$10$]]>
Erreur : c'est la variance qui ignore les
translations ; la moyenne, elle, suit le décalage.]]>
$50$]]>
Multiplication indue : $50 = 5 \times E(X)$ correspond à
$E(5X)$ : ici on ajoute $5$, on ne multiplie pas.]]>
Impossible sans connaître la loi de $X$]]>
Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais
connaître la loi : c'est toute sa puissance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q14 : Variance de $X + 5$
$X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?]]>
$V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ s'évapore
(translation), le facteur $a$ ressort au carré
(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les
deux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4$]]>
Bonne réponse : une translation ne change pas la
dispersion. Ajouter $5$ déplace toutes les valeurs du
même pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent pas
d'un millimètre : $V(X + b) = V(X)$.]]>
$9$]]>
Erreur : le $+5$ ne s'ajoute pas à la variance : il
glisse le paquet entier sans l'étaler.]]>
$100$]]>
Erreur : $100 = 5^2 \times 4$ correspond à $V(5X)$
(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la
variance.]]>
$29$]]>
Erreur : $29 = 4 + 5^2$ ajoute $25$ à la variance, or la
constante $b$ disparaît totalement de la variance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q15 : Espérance d'une différence
$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$
et $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?]]>
$E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$, sans aucune hypothèse : la
linéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut
l'indépendance » ne concerne que $V(X + Y)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : linéarité : $E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8
- 3 = 5$, indépendance ou pas.]]>
$11$]]>
Signe : $11$ est $E(X + Y)$ : la différence soustrait
les espérances.]]>
$24$]]>
Erreur : $24 = 8 \times 3$ évoquerait un produit
(et $E(XY) = E(X)E(Y)$ exige d'ailleurs
l'indépendance) : la différence reste additive.]]>
On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$]]>
Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,
dépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame
l'indépendance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q16 : Variance de $-X$
$X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?]]>
$V(-X) = V(X)$ et $\sigma(-X) = \sigma(X)$ : la dispersion
ignore l'orientation. Corollaire pratique : $V(X - Y) =
V(X) + V(Y)$ pour des variables indépendantes : le moins
devient plus !]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$ avec $a = -1$ :
$(-1)^2 = 1$ : retourner les valeurs retourne le paquet
sans changer son étalement.]]>
$-9$]]>
Impossible : une variance est une moyenne de carrés
d'écarts : jamais négative, quelle que soit la
transformation.]]>
$81$]]>
Erreur : $81 = 9^2$ élèverait la variance au carré :
la règle met au carré le coefficient $a = -1$, pas
la variance.]]>
$0$]]>
Erreur : $-X$ reste aléatoire : sa dispersion est
intacte : seul le signe des valeurs a basculé.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q17 : Écart-type d'une somme
$X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $\sigma(X) = 3$ et
$\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\sigma(X + Y)$ ?]]>
Indépendance : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$, donc $\sigma(X+Y) =
\sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$ : une addition « à la
Pythagore ». Conséquence célèbre : $n$ sources de bruit
indépendantes cumulent en $\sqrt{n}$, pas en $n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : les variances s'ajoutent
(indépendance), pas les écarts-types : $V(X + Y) = 9 + 16
= 25$, puis racine : $\sigma(X+Y) = 5$ : le triangle
$3$-$4$-$5$ des probabilités.]]>
$7$]]>
L'erreur ciblée : $7 = 3 + 4$ additionne les écarts-types,
or ils ne s'additionnent JAMAIS : l'additivité passe par
les variances : $\sqrt{9 + 16} = 5 < 7$ : les fluctuations
se compensent partiellement.]]>
$25$]]>
Étape manquante : $25$ est la variance de la somme ;
l'écart-type en est la racine : $5$.]]>
$\sqrt{7}$]]>
Erreur : $\sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \approx 2{,}65$ prend la
racine de la somme des écarts-types ; ce sont les
variances qui s'ajoutent : $\sqrt{9 + 16} = 5$. Un
écart-type de la somme inférieur à $\sigma(X) = 3$ devrait
d'ailleurs alerter : $V(X + Y) = V(X) + V(Y) \geq V(X)$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q18 : Quand la variance est-elle additive ?
L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours
vraie ?]]>
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ : toujours. $V(X + Y) = V(X) +
V(Y)$ : seulement si indépendance. Ce contraste est LA
nuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,
l'oublier en coûte.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$
(contre-exemple : $Y = -X$)]]>
Bonne réponse : avec $Y = -X$ : $X + Y = 0$, variance
nulle, alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : sans
indépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se
renforcer.]]>
Oui : la variance est linéaire comme l'espérance]]>
Faux : la variance n'est PAS linéaire ($V(aX) = a^2V$,
déjà). Son additivité est un privilège de
l'indépendance.]]>
Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation]]>
Trop sévère : pour des variables indépendantes,
l'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas
des tirages répétés.]]>
Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi]]>
Erreur : même loi n'est pas indépendance : $Y = -X$ a la
même loi que $X$ (si $X$ est symétrique) et l'égalité
échoue.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q19 : Espérance d'une combinaison
On donne $E(X) = 4$ et $E(Y) = 7$.
Que vaut $E(2X - Y)$ ?]]>
L'espérance est linéaire : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$, sans aucune
hypothèse d'indépendance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : la linéarité donne $2 \times 4 - 7$.]]>
$15$]]>
Signe de la soustraction : le calcul fait est $2 \times 4 + 7$.]]>
$11$]]>
Coefficient oublié : $4 + 7$ ne tient pas compte du facteur $2$.]]>
$-3$]]>
Coefficient appliqué au mauvais terme : $4 - 7$ oublie de doubler
$E(X)$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q20 : Variance d'une somme
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, de variances $3$ et
$5$. Que vaut $V(X + Y)$ ?]]>
Pour des variables indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Cette
additivité tombe en défaut si les variables sont liées.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : les variances s'additionnent lorsque les variables sont
indépendantes.]]>
$15$]]>
Variances multipliées : c'est une addition qu'impose la propriété.]]>
$2$]]>
Variances soustraites : même pour une différence, elles
s'additionneraient.]]>
$64$]]>
Somme élevée au carré : le carré intervient pour un coefficient
multiplicatif, pas pour une somme.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q21 : Variance d'une combinaison de variables indépendantes
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $V(X) = 3$ et
$V(Y) = 5$. Que vaut $V(2X - Y)$ ?]]>
Pour $X$ et $Y$ indépendantes : $V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$17$]]>
Bonne réponse : $V(2X - Y) = 2^2\,V(X) + (-1)^2\,V(Y) =
12 + 5$.]]>
$1$]]>
Erreur : $2 \times 3 - 5$ ; les coefficients sortent au carré
et les variances s'additionnent.]]>
$11$]]>
Erreur : $2 \times 3 + 5$ ; le coefficient $2$ sort au carré.]]>
$7$]]>
Erreur : $12 - 5$ ; même pour une différence, les variances
s'ajoutent.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q22 : Somme d'un échantillon
Un échantillon de taille $n$ est formé de variables indépendantes de
même espérance $\mu$. Que vaut l'espérance de leur somme ?]]>
L'espérance d'une somme est la somme des espérances. Pour un échantillon,
la somme a pour espérance $n\mu$ et la moyenne $\mu$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n\mu$]]>
Bonne réponse : la linéarité de l'espérance additionne $n$ fois la même
valeur.]]>
$\mu$]]>
C'est l'espérance de la moyenne d'échantillon, pas celle de la somme.]]>
$\dfrac{\mu}{n}$]]>
Division injustifiée : la somme grandit avec l'effectif, elle ne
diminue pas.]]>
$n^2\mu$]]>
Carré de trop : il apparaît pour la variance d'un produit par un
coefficient, pas ici.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q23 : Variance de la moyenne
Pour un échantillon de taille $n$ de variables indépendantes de
variance $\sigma^2$, que vaut la variance de la moyenne ?]]>
La moyenne d'un échantillon a pour variance $\dfrac{\sigma^2}{n}$, donc
pour écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. C'est ce qui fonde la
précision des sondages.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{\sigma^2}{n}$]]>
Bonne réponse : la variance de la somme vaut $n\sigma^2$, et la
division par $n$ la divise par $n^2$.]]>
$n\sigma^2$]]>
C'est la variance de la somme, pas celle de la moyenne.]]>
$\dfrac{\sigma^2}{n^2}$]]>
Une division de trop : la variance de la somme vaut déjà
$n\sigma^2$.]]>
$\sigma^2$]]>
La moyenne d'un grand échantillon fluctue bien moins qu'une
observation isolée.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q24 : Une propriété sans condition
Quelle égalité reste vraie même si $X$ et $Y$ sont liées ?]]>
La linéarité de l'espérance est une propriété générale. Toutes les
propriétés portant sur la variance d'une somme ou sur un produit exigent
l'indépendance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$]]>
Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande aucune
hypothèse d'indépendance.]]>
$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$]]>
L'additivité de la variance exige l'indépendance : pour $Y = X$, la
variance de $2X$ vaut $4V(X)$.]]>
$E(XY) = E(X)E(Y)$]]>
Cette égalité demande elle aussi l'indépendance.]]>
$V(XY) = V(X)V(Y)$]]>
Cette égalité est fausse même pour des variables indépendantes.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q25 : La binomiale vue comme une somme
Une variable binomiale de paramètres $n$ et $p$ s'écrit comme somme
de quoi ?]]>
Écrire une binomiale comme somme de Bernoulli redonne immédiatement son
espérance, $np$, et sa variance, $np(1-p)$, par additivité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
De $n$ variables de Bernoulli indépendantes]]>
Bonne réponse : chacune vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon, et leur
somme compte les succès.]]>
De $n$ variables binomiales]]>
Ce serait circulaire : la décomposition ramène à des variables plus
simples.]]>
De $p$ variables de Bernoulli]]>
Le nombre de termes est $n$ ; $p$ est une probabilité, pas un
effectif.]]>
De deux variables indépendantes seulement]]>
Le nombre de termes vaut le nombre d'épreuves, quel qu'il soit.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q26 : Écart-type de la moyenne
Un échantillon de taille $100$ porte sur une variable d'écart-type
$20$. Quel est l'écart-type de sa moyenne ?]]>
L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Multiplier la taille par cent divise cet
écart-type par dix.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{20}{\sqrt{100}} = \dfrac{20}{10}$.]]>
$0{,}2$]]>
Division par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$ : la racine carrée est
essentielle.]]>
$20$]]>
Écart-type de départ recopié : la moyenne fluctue bien moins qu'une
observation isolée.]]>
$200$]]>
Multiplication au lieu d'une division : l'échantillonnage réduit la
dispersion.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q27 : Variance et coefficient négatif
Une variable $X$ a pour variance $9$. Que vaut $V(-3X)$ ?]]>
La variance est multipliée par le carré du coefficient, ce qui efface le
signe. L'écart-type, lui, est multiplié par la valeur absolue du
coefficient.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$81$]]>
Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$, avec $a^2 = 9$.]]>
$-27$]]>
Une variance est toujours positive ou nulle.]]>
$27$]]>
Coefficient non élevé au carré : la variance porte sur des carrés
d'écarts.]]>
$9$]]>
Coefficient ignoré : multiplier une variable étale ses valeurs, donc
augmente sa variance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q28 : Ajouter une constante
Que deviennent l'espérance et la variance de $X$ lorsqu'on ajoute
$10$ à la variable ?]]>
Pour une transformation affine, $E(aX + b) = aE(X) + b$ et
$V(aX + b) = a^2V(X)$. La constante additive disparaît de la variance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'espérance augmente de $10$, la variance ne change pas]]>
Bonne réponse : une translation déplace le centre sans modifier la
dispersion.]]>
Les deux augmentent de $10$]]>
Les écarts à la moyenne sont inchangés, donc la variance l'est aussi.]]>
L'espérance ne change pas, la variance augmente]]>
C'est exactement l'inverse qui se produit.]]>
Les deux sont multipliées par $10$]]>
La multiplication correspondrait à $10X$, pas à $X + 10$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q29 : Deux dés indépendants
La somme des résultats de deux dés équilibrés a pour espérance $7$.
Comment l'obtient-on ?]]>
L'espérance d'une somme est la somme des espérances, sans condition. Le
résultat $7$ se retrouve aussi par la symétrie de la loi de la somme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
En additionnant les espérances, $3{,}5$ deux fois]]>
Bonne réponse : chaque dé a pour espérance $\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}$,
soit $3{,}5$.]]>
En multipliant les espérances des deux dés]]>
Le produit vaudrait $12{,}25$, ce qui ne correspond à aucune somme
possible.]]>
En prenant la moyenne des sommes possibles]]>
Les sommes de $2$ à $12$ n'étant pas équiprobables, leur moyenne simple
ne convient pas.]]>
En divisant $12$ par $2$, le nombre de dés]]>
La valeur $6$ obtenue serait fausse, et le raisonnement ne correspond à
aucune propriété.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q30 : Quand la variance n'est pas additive
Pourquoi $V(X + X)$ ne vaut-il pas $2V(X)$ ?]]>
L'additivité de la variance repose entièrement sur l'indépendance. Une
variable étant parfaitement corrélée à elle-même, les écarts se cumulent
au lieu de se compenser.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que $X$ n'est pas indépendante d'elle-même]]>
Bonne réponse : $V(2X) = 4V(X)$, le double de ce que donnerait
l'additivité.]]>
Parce que la variance n'est jamais additive]]>
Elle l'est pour des variables indépendantes, ce qui est le cas usuel
des échantillons.]]>
Parce que $X + X$ n'est pas une variable aléatoire]]>
La somme de deux variables aléatoires en est toujours une.]]>
Parce que la variance peut être négative]]>
Une variance est toujours positive ou nulle, c'est une moyenne de
carrés.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q31 : Espérance de aX + b
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 6$. Que vaut
$E(2X + 3)$ ?]]>
Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\,E(X) + b$. Le
coefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc
$E(2X + 3) = 2\,E(X) + 3 = 2 \times 6 + 3 = 15$.]]>
$12$]]>
Oubli de la constante : ajouter $3$ à la variable ajoute aussi
$3$ à son espérance, d'où $15$.]]>
$9$]]>
Oubli du coefficient : le facteur $2$ multiplie la variable, donc
aussi son espérance. Le calcul donne $15$.]]>
$27$]]>
Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$
sort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $15$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q32 : Variance de aX + b
Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut
$V(2X + 3)$ ?]]>
La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :
$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui
$|a|\,\sigma(X)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$16$]]>
Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $2^2 \times 4 = 16$.
La constante $3$ décale la variable sans modifier sa dispersion.]]>
$19$]]>
La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace
toutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont
inchangés.]]>
$8$]]>
Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une
moyenne de carrés d'écarts, donc $2^2 \times 4 = 16$.]]>
$7$]]>
Deux erreurs cumulées : le coefficient $2$ a disparu et la
constante a été ajoutée. Le résultat attendu est $16$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q33 : Centrer une variable aléatoire
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$. Que vaut
$E(X - \mu)$ ?]]>
La variable $X - \mu$ est dite centrée : son espérance est nulle. En
revanche sa variance reste celle de $X$, puisqu'une translation ne change
pas la dispersion.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$, quelle que soit la loi de $X$]]>
Bonne réponse : $E(X - \mu) = E(X) - \mu = \mu - \mu = 0$. Retrancher
l'espérance revient à centrer la variable.]]>
$\mu$, puisque $E(X)$ vaut $\mu$]]>
Erreur : la constante $\mu$ est retranchée, elle ne reste donc pas au
résultat. L'espérance du résultat est nulle.]]>
Cela dépend entièrement de la loi de $X$]]>
Erreur : le calcul ne demande que $E(X)$, connue ici. La linéarité
conclut sans rien savoir de plus sur la loi.]]>
$-\mu$, l'opposé de l'espérance de $X$]]>
Erreur : le terme $E(X)$ a été oublié. La différence
$E(X) - \mu$ fait bien disparaître les deux termes.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q34 : X et son opposée
Les variables aléatoires $X$ et $-X$ ont-elles la même variance ?]]>
De $V(aX) = a^2 V(X)$ avec $a = -1$ on tire $V(-X) = V(X)$, et de même
$\sigma(-X) = \sigma(X)$. Seule l'espérance change de signe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car le coefficient $-1$ intervient au carré]]>
Bonne réponse : $V(-X) = (-1)^2 V(X) = V(X)$. Changer tous les signes
conserve les écarts à la moyenne, donc la dispersion.]]>
Non, car $V(-X)$ est l'opposée de $V(X)$]]>
Impossible : une variance est une moyenne de carrés, elle est donc
toujours positive ou nulle, jamais négative.]]>
Oui, car l'espérance de $X$ ne change pas]]>
La conclusion est juste, mais la raison est fausse : l'espérance de
$-X$ vaut $-E(X)$, elle change bel et bien de signe.]]>
Non, car la variance dépend du signe des valeurs]]>
Erreur : la variance mesure des écarts à la moyenne, et ces écarts
changent de signe ensemble, donc leurs carrés sont inchangés.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q35 : Écart-type d'une différence
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, avec
$\sigma(X) = 6$ et $\sigma(Y) = 8$. Que vaut $\sigma(X - Y)$ ?]]>
Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne
donc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du
résultat.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,
donc $V(X-Y) = 6^2 + 8^2 = 100$, puis
$\sigma(X-Y) = \sqrt{100} = 10$.]]>
$14$]]>
Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les
variances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée.]]>
$2$]]>
Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la
dispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$.]]>
$100$]]>
Calcul interrompu trop tôt : $100$ est la variance de
$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $10$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q36 : Écart-type et coefficient négatif
Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\sigma(X) = 4$. Que vaut
$\sigma(-2X)$ ?]]>
De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$. Le carré
efface le signe, et la racine carrée le laisse effacé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : $V(-2X) = -2^2 V(X)$, donc
$\sigma(-2X) = |-2| \times 4 = 8$. C'est la valeur absolue du
coefficient qui intervient.]]>
$-8$]]>
Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours
positif. Le signe disparaît lors du passage au carré.]]>
$16$]]>
Erreur : le carré s'applique à la variance. Pour l'écart-type, le
coefficient sort en valeur absolue, d'où $8$.]]>
$4$]]>
Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par
$-2$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-2|$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q37 : Variance obtenue par décomposition
On écrit $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ comme la somme de $50$
variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}2$. Qu'en déduit-on
pour $V(X)$ ?]]>
Écrire $X = X_1 + \cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes
donne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des
variances.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}2 \times 0{,}8$, et
l'indépendance permet d'additionner les $50$ variances :
$50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8$.]]>
$10$]]>
Confusion : $10$ est l'espérance $np$, obtenue en
additionnant les $50$ espérances. La variance fait intervenir
$0{,}8$ en plus.]]>
$0{,}16$]]>
Erreur : $0{,}16$ est la variance d'une seule épreuve. Il
reste à additionner les $50$ termes de la somme.]]>
$2$]]>
Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le
second facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}8$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q38 : Somme de deux Bernoulli
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables de Bernoulli indépendantes, de
même paramètre $p$. Quelle loi suit $X_1 + X_2$ ?]]>
Une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre
$p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$. C'est la lecture de la
loi binomiale comme un comptage de succès.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La loi binomiale $\mathcal{B}(2\,;\,p)$]]>
Bonne réponse : la somme compte les succès de deux épreuves
identiques et indépendantes, ce qui est exactement un schéma de
Bernoulli à deux répétitions.]]>
La loi de Bernoulli de paramètre $2p$]]>
Erreur : la somme peut valoir $2$, alors qu'une variable de Bernoulli
ne prend que les valeurs $0$ et $1$.]]>
La loi binomiale $\mathcal{B}(p\,;\,2)$]]>
Paramètres inversés : le premier paramètre est le nombre d'épreuves,
le second la probabilité de succès.]]>
La loi de Bernoulli de paramètre $p^2$]]>
Erreur : $p^2$ est la probabilité que les deux épreuves réussissent,
c'est-à-dire $P(X_1 + X_2 = 2)$, et non une loi.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q39 : Réduire la dispersion de la moyenne
On souhaite diviser par $3$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un
échantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?]]>
L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine
carrée de la taille, donc lentement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Diviser
cette quantité par $3$ demande de multiplier $\sqrt{n}$ par $3$,
donc $n$ par $3^2 = 9$.]]>
$3$]]>
Erreur : c'est $\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.
Multiplier $n$ par $3$ ne divise l'écart-type que par
$\sqrt{3}$.]]>
$6$]]>
Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.
Seul $3^2 = 9$ convient.]]>
$27$]]>
Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un
facteur $3^2$, pas $3^3$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q40 : Deux variables liées
Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 2$ et l'on pose
$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?]]>
L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend
de $X$, on remplace la somme par son expression et on applique
$V(aX) = a^2 V(X)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$18$]]>
Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc
$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \times 2 = 18$.]]>
$10$]]>
Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 2 + 4 \times 2$
supposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par
$X$.]]>
$6$]]>
Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans
$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \times 2 = 18$.]]>
$4$]]>
Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au
carré est $3$, ce qui donne $18$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q41 : Additivité et écarts-types
Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. L'égalité
correspondante vaut-elle pour les écarts-types ?]]>
On additionne les variances, puis on repasse à l'écart-type :
$\sigma(X+Y) = \sqrt{\sigma(X)^2 + \sigma(Y)^2}$. Cette quantité est
toujours inférieure à $\sigma(X) + \sigma(Y)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, la racine d'une somme n'est pas une somme de racines]]>
Bonne réponse : $\sigma(X+Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)}$, et cette racine
vaut moins que $\sigma(X) + \sigma(Y)$ dès que les deux écarts-types
sont non nuls.]]>
Oui, il suffit de prendre la racine carrée de chaque terme]]>
Erreur : pour $\sigma(X) = 3$ et $\sigma(Y) = 4$, on obtient
$\sigma(X+Y) = 5$ et non $7$. La racine ne se distribue pas.]]>
Oui, à condition que $X$ et $Y$ soient bien indépendantes]]>
Erreur : l'indépendance donne l'additivité des variances, jamais
celle des écarts-types.]]>
Non, sauf si $X$ et $Y$ ont exactement le même écart-type]]>
Erreur : l'égalité échoue aussi dans ce cas. Pour
$\sigma(X) = \sigma(Y) = \sigma$, on obtient $\sigma\sqrt{2}$ et non
$2\sigma$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q42 : Une différence d'espérance nulle
Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ vérifient $E(X - Y) = 0$. Peut-on en
conclure qu'elles prennent toujours la même valeur ?]]>
L'espérance ne caractérise pas une variable aléatoire. De
$E(X) = E(Y)$ on ne déduit ni la même loi, ni les mêmes valeurs, ni la
même variance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, leurs espérances sont égales, rien de plus]]>
Bonne réponse : $E(X - Y) = 0$ signifie $E(X) = E(Y)$. Deux dés
distincts ont la même espérance et donnent pourtant des résultats
différents.]]>
Oui, une différence d'espérance nulle impose $X = Y$]]>
Erreur : l'espérance résume une loi par un seul nombre. Deux lois
très éloignées peuvent partager la même moyenne.]]>
Oui, à condition que $X$ et $Y$ soient indépendantes]]>
Erreur : l'indépendance rend au contraire l'égalité des valeurs très
improbable, sans rien changer aux espérances.]]>
Non, car l'espérance d'une différence n'est pas définie]]>
Erreur : $E(X - Y) = E(X) - E(Y)$ est parfaitement définie. C'est la
conclusion tirée qui est abusive, pas le calcul.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q43 : Espérance de trois variables
Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances
respectives $4$, $6$ et $5$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?]]>
La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :
$E(X_1 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)$, sans aucune condition
sur les variables.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de
termes, donc $4 + 6 + 5 = 15$, sans hypothèse d'indépendance.]]>
$120$]]>
Erreur : le produit $4 \times 6 \times 5$ ne correspond à rien
ici. La somme des variables donne la somme des espérances.]]>
$5$]]>
Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les
trois variables, d'où $15$.]]>
$10$]]>
Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre
que les deux autres, ce qui donne $15$.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q44 : Une variable toujours égale à c
Soit $c$ un nombre réel fixé et $Y$ la variable aléatoire qui vaut $c$
dans tous les cas. Que valent $E(Y)$ et $V(Y)$ ?]]>
Une variable constante a pour espérance cette constante et pour variance
$0$. C'est la raison pour laquelle ajouter une constante ne change pas la
variance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$E(Y) = c$ et $V(Y) = 0$]]>
Bonne réponse : la moyenne d'une valeur constante est cette valeur,
et aucun écart n'apparaît, donc la variance est nulle.]]>
$E(Y) = c$ et $V(Y) = c$]]>
Erreur : une variance mesure la dispersion. Une variable qui ne varie
jamais a une dispersion nulle.]]>
$E(Y) = 0$ et $V(Y) = c$]]>
Les deux rôles sont intervertis : c'est l'espérance qui vaut $c$ et
la variance qui est nulle.]]>
$E(Y) = c$ et $V(Y) = c^2$]]>
Erreur : le carré apparaît dans $V(aX) = a^2V(X)$, pour un
coefficient multiplicatif, et non pour une constante.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q45 : Espérance de X + X
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut
$E(X + X)$ ?]]>
L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La
variance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non
$2V(X)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 10$.
L'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés.]]>
$5$]]>
Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le
résultat attendu est $10$.]]>
$25$]]>
Erreur : $5^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes
s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.]]>
$20$]]>
Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne
s'élève pas au carré pour une espérance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q46 : Espérance d'un multiple d'une variable aléatoire
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 2$. Que vaut
$E(3X)$ ?]]>
$E(aX + b) = a\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie
la moyenne par $a$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $E(aX) = a\,E(X) = 3 \times 2 = 6$ ;
l'espérance est linéaire.]]>
$5$]]>
Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne
s'ajoute pas.]]>
$18$]]>
Erreur : le facteur $a^2$ concerne la variance, pas
l'espérance.]]>
$2$]]>
Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q47 : Variance d'un multiple d'une variable aléatoire
$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 2$. Que vaut
$V(3X)$ ?]]>
$V(aX + b) = a^2\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,
l'écart-type par $|a|$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$18$]]>
Bonne réponse : $V(aX) = a^2\,V(X) = 3^2 \times 2 = 18$.]]>
$6$]]>
Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;
c'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.]]>
$2$]]>
Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance
inchangée.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ est le coefficient, pas la variance.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q48 : Réduire une variable aléatoire
$X$ est une variable aléatoire d'écart-type $\sigma(X) = 4$. Que
vaut l'écart-type de $\dfrac{X}{4}$ ?]]>
Centrer, $X - E(X)$, puis réduire, diviser par $\sigma(X)$ : on
obtient une variable d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : $\sigma\!\left(\dfrac{X}{4}\right) =
\dfrac{1}{4}\,\sigma(X) = 1$ ; diviser par l'écart-type
réduit la variable.]]>
$4$]]>
Erreur : diviser la variable divise aussi son écart-type.]]>
$\dfrac{1}{16}$]]>
Erreur : $\dfrac{1}{16}$ serait le facteur appliqué à la
variance.]]>
$8$]]>
Erreur : diviser ne peut pas augmenter la dispersion.]]>
Sommes de variables aléatoires — Q49 : Changer d'unité de température
La température $C$ en degrés Celsius a pour espérance $20$ et
pour écart-type $5$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\,C + 32$.
Que valent $E(F)$ et $\sigma(F)$ ?]]>
Pour $aX + b$ : l'espérance subit tout, $a\,E(X) + b$ ; l'écart-type
ne subit que $|a|$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$E(F) = 68$ et $\sigma(F) = 9$]]>
Bonne réponse : $E(F) = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68$ et
$\sigma(F) = 1{,}8 \times 5 = 9$ ; la constante $32$
déplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.]]>
$E(F) = 68$ et $\sigma(F) = 5$]]>
Erreur : le facteur $1{,}8$ multiplie aussi l'écart-type.]]>
$E(F) = 68$ et $\sigma(F) = 1{,}8 \times 5 + 32$]]>
Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.]]>
$E(F) = 1{,}8 \times 20$ et $\sigma(F) = 9$]]>
Erreur : la constante $32$ s'ajoute à l'espérance.]]>