$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Suites et limites
Limite d'une suite : définitions, limites usuelles ($q^n$,
puissances de $n$), opérations et formes indéterminées, théorèmes de
comparaison et d'encadrement, suites monotones (convergence des
suites croissantes majorées), raisonnement par récurrence, suites
arithmético-géométriques.]]>
Suites et limites — Q01 : Limite de $q^n$ pour $0 < q < 1$
Soit $q$ un réel tel que $0 < q < 1$. Quelle est la limite de la
suite $(q^n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?]]>
Limites de référence de $(q^n)$ : si $-1 < q < 1$, la limite est
$0$ ; si $q > 1$, c'est $+\infty$ ; si $q = 1$, la suite est
constante égale à $1$ ; si $q \leq -1$, pas de limite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : multiplier sans fin par un facteur
strictement compris entre $0$ et $1$ écrase les valeurs vers
$0$. Exemple : $(0{,}5)^n$ vaut $0{,}5$ ; $0{,}25$ ;
$0{,}125$ ; etc.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : $q^n \to +\infty$ demande $q > 1$. Ici chaque
multiplication réduit la valeur.]]>
$1$]]>
Erreur : la suite part de $q^0 = 1$ mais s'en éloigne
aussitôt en décroissant vers $0$. La valeur initiale n'est
pas la limite.]]>
$q$]]>
Erreur : $q$ n'est que le premier terme non trivial
($q^1$). Les puissances suivantes continuent de diminuer
vers $0$.]]>
Suites et limites — Q02 : Définition de $\lim u_n = +\infty$
Que signifie « la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ » ?]]>
$\lim u_n = +\infty$ : pour tout réel $A$, l'intervalle
$[A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir
d'un certain rang. L'ordre des quantificateurs est essentiel.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tout intervalle $[A\,;\,+\infty[$ contient tous les
$u_n$ à partir d'un rang]]>
Bonne réponse : c'est la définition officielle. Aussi
grand que soit le seuil $A$, la suite finit par le
dépasser définitivement : tous les termes, à partir
d'un certain rang, sont dans $[A\,;\,+\infty[$.]]>
La suite est croissante à partir d'un certain rang]]>
Erreur : une suite peut être croissante et converger (par
exemple $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ tend vers $1$), et une
suite peut tendre vers $+\infty$ sans être croissante.]]>
Tout intervalle $[A\,;\,+\infty[$ contient au moins un
terme $u_n$]]>
Erreur de quantificateur : contenir un terme (ou même
une infinité) ne suffit pas, il faut contenir TOUS les
termes à partir d'un certain rang. La suite $0, 1, 0, 2,
0, 3, \dots$ dépasse tout seuil sans tendre vers
$+\infty$.]]>
Il existe un terme $u_n$ plus grand que n'importe quel réel]]>
Erreur de quantificateurs : aucun terme fixé n'est infini.
C'est pour chaque seuil $A$ qu'il existe un rang à
partir duquel tous les termes dépassent $A$.]]>
Suites et limites — Q03 : Limite d'un quotient de polynômes en $n$
Quelle est la limite de la suite définie par
$u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ?]]>
Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus
haute puissance : $u_n = \dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2}$. Comme
$1/n^2 \to 0$, la limite vaut $2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,
$u_n = \dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \to \dfrac{2}{1} = 2$.]]>
$+\infty$]]>
Erreur : le numérateur tend vers $+\infty$, mais le
dénominateur aussi. C'est une forme indéterminée
$\infty/\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$.]]>
$0$]]>
Erreur : numérateur et dénominateur ont le même degré,
la limite est le quotient des coefficients dominants
($2/1$), pas $0$.]]>
$\dfrac{1}{3}$]]>
Erreur : $\dfrac{1}{3}$ est le quotient des termes
constants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes
en $n^2$ qui dominent.]]>
Suites et limites — Q04 : Reconnaître une forme indéterminée
Parmi les situations suivantes, laquelle est une forme
indéterminée ?]]>
Les quatre formes indéterminées au programme :
« $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ »,
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ » et « $\dfrac{0}{0}$ ».
Tout le reste se conclut par les théorèmes d'opérations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\lim u_n = +\infty$ et $\lim v_n = -\infty$, on cherche
$\lim (u_n + v_n)$]]>
Bonne réponse : « $\infty - \infty$ » est indéterminée. Selon
les suites, le résultat peut être fini, infini ou ne pas
exister (exemples : $n$ et $-n$ ; $n^2$ et $-n$).]]>
$\lim u_n = +\infty$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim (u_n + v_n)$]]>
Erreur : $\infty + \infty$ n'est pas indéterminée, la somme
tend toujours vers $+\infty$.]]>
$\lim u_n = 2$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim (u_n \times v_n)$]]>
Erreur : le produit d'une limite non nulle par une
limite infinie n'est pas indéterminé : ici il tend vers
$+\infty$. Le cas indéterminé est $0 \times \infty$.]]>
$\lim u_n = 2$ et $\lim v_n = +\infty$, on cherche
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$]]>
Erreur : un numérateur borné sur un dénominateur qui tend
vers l'infini donne $0$, sans indétermination.]]>
Suites et limites — Q05 : Théorème des gendarmes
Pour tout $n \geq 1$, on pose $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$ et on
sait que $-\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?]]>
Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir
d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la
même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$. Ici
$\ell = 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers $0$, par le théorème d'encadrement]]>
Bonne réponse : les deux suites encadrantes $-1/n$ et $1/n$
tendent vers $0$, donc la suite encadrée aussi (théorème des
gendarmes).]]>
$(u_n)$ n'a pas de limite car $\sin(n)$ n'en a pas]]>
Erreur : le facteur $\sin(n)$ oscille mais reste borné,
et il est divisé par $n$ qui tend vers l'infini.
L'encadrement force la convergence vers $0$.]]>
$(u_n)$ converge vers $1$]]>
Erreur : tu penses peut-être à la limite de
$\dfrac{\sin x}{x}$ en $0$. Ici $n$ tend vers $+\infty$, et
l'encadrement donne $0$.]]>
On ne peut rien conclure sans connaître le signe de $u_n$]]>
Erreur : le théorème des gendarmes n'exige aucun signe,
seulement un encadrement par deux suites de même limite.]]>
Suites et limites — Q06 : Suite croissante et majorée
Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.
Que peut-on affirmer ?]]>
Théorème de convergence monotone : croissante et majorée
$\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est au plus
égale au majorant, sans lui être nécessairement égale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leq 10$]]>
Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge
(théorème de convergence monotone), et sa limite est
inférieure ou égale à tout majorant.]]>
$(u_n)$ converge vers $10$]]>
Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant
donné. Exemple : $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ est croissante,
majorée par $10$, et converge vers $1$.]]>
$(u_n)$ tend vers $+\infty$]]>
Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous
$10$. Une suite croissante ne tend vers $+\infty$ que si
elle est non majorée.]]>
On ne peut rien dire sans connaître $u_0$]]>
Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique
quelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration
suffisent.]]>
Suites et limites — Q07 : Suites croissantes et infini
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?]]>
Le théorème exact combine deux hypothèses : croissante
et non majorée $\Rightarrow$ limite $+\infty$. Chaque
hypothèse seule est insuffisante, comme le montrent les
contre-exemples.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La croissance
empêche de redescendre, et l'absence de majorant force à
dépasser tout seuil.]]>
Toute suite croissante tend vers $+\infty$]]>
Faux : une suite croissante peut converger si elle est
majorée, comme $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ qui tend vers
$1$.]]>
Toute suite non majorée tend vers $+\infty$]]>
Faux : la suite $0,\,1,\,0,\,2,\,0,\,3,\,\ldots$ est non
majorée mais ne tend pas vers $+\infty$ (elle repasse sans
cesse par $0$). Il manque la croissance.]]>
Toute suite divergente tend vers $+\infty$ ou $-\infty$]]>
Faux : $u_n = (-1)^n$ diverge sans tendre vers l'infini :
elle oscille entre $-1$ et $1$. « Divergente » signifie
seulement « non convergente ».]]>
Suites et limites — Q08 : Structure d'un raisonnement par récurrence
Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie
pour tout entier $n \geq n_0$, que doit-on établir ?]]>
Un raisonnement par récurrence comporte une initialisation ($P(n_0)$ vraie) et une hérédité (si
$P(n)$ est vraie pour un rang $n \geq n_0$ quelconque, alors
$P(n+1)$ l'est aussi). Conclusion : $P(n)$ vraie pour tout
$n \geq n_0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$P(n_0)$ est vraie, et pour tout $n \geq n_0$, $P(n)$
entraîne $P(n+1)$]]>
Bonne réponse : initialisation puis hérédité. Les deux
étapes sont indispensables, puis on conclut pour tout
$n \geq n_0$.]]>
Pour tout $n \geq n_0$, $P(n)$ entraîne $P(n+1)$]]>
Incomplet : sans initialisation, rien ne démarre. La
propriété « $n = n+1$ » est héréditaire et pourtant toujours
fausse.]]>
$P(n)$ est vraie pour $n_0$, $n_0 + 1$ et $n_0 + 2$]]>
Erreur : vérifier quelques cas ne prouve rien pour tous les
entiers. Il faut le mécanisme général de l'hérédité.]]>
$P(n+1)$ entraîne $P(n)$, pour tout $n \geq n_0$]]>
Erreur de sens : l'hérédité se propage vers les rangs
croissants : on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$.]]>
Suites et limites — Q09 : Somme des puissances de $q$
Pour $q \neq 1$, que vaut la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ ?]]>
Formule clé : $1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$. Moyen mnémotechnique
: $\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$, ici $n+1$
termes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$]]>
Bonne réponse : somme des $n+1$ premiers termes de la suite
géométrique de premier terme $1$ et de raison $q$.]]>
$\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$]]>
Erreur d'exposant : la somme compte $n + 1$ termes (de
$q^0$ à $q^n$), l'exposant au numérateur est donc $n+1$.]]>
$\dfrac{q^{n+1} - 1}{1 - q}$]]>
Erreur de signe : ce quotient est l'opposé de la somme.
Numérateur et dénominateur doivent être « dans le même
sens » : $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.]]>
$n \, q^{n}$]]>
Erreur : tu confonds avec une somme de termes égaux. Les
puissances de $q$ sont toutes différentes, leur somme suit
la formule géométrique.]]>
Suites et limites — Q10 : Limite d'une suite arithmético-géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On admet
que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Que vaut $\ell$ ?]]>
Si $u_{n+1} = a\,u_n + b$ et $u_n \to \ell$, alors par passage à
la limite $\ell = a\,\ell + b$. Ici
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3 \Leftrightarrow \ell = 6$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\ell = 6$]]>
Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, d'où $0{,}5\,\ell = 3$ puis
$\ell = 6$.]]>
$\ell = 3$]]>
Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la
limite. Il faut résoudre $\ell = 0{,}5\,\ell + 3$.]]>
$\ell = 1{,}5$]]>
Erreur : $1{,}5 = 0{,}5 \times 3$ mélange les deux
coefficients. L'équation correcte est
$\ell = 0{,}5\,\ell + 3$, de solution $6$.]]>
Cela dépend de $u_0$]]>
Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la
valeur de la limite quand elle existe : ici le coefficient
$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $6$.]]>
Suites et limites — Q11 : Théorème de comparaison
Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n \geq n^2$ pour tout $n$.
Que peut-on conclure ?]]>
Théorème de comparaison : si $u_n \geq v_n$ à partir d'un
certain rang et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$.
Ici $v_n = n^2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ tend vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : théorème de comparaison. Comme
$n^2 \to +\infty$ et que $u_n$ est au-dessus, $(u_n)$ est
poussée vers $+\infty$.]]>
$(u_n)$ est croissante]]>
Erreur : être au-dessus de $n^2$ n'impose aucune monotonie ;
la suite peut osciller tout en restant au-dessus de la
parabole.]]>
$(u_n)$ converge vers une limite supérieure à $n^2$]]>
Erreur : une limite est un nombre fixe, elle ne peut pas
être « supérieure à $n^2$ » qui dépend de $n$. Et ici la
suite ne converge pas : elle explose vers $+\infty$.]]>
On ne peut rien conclure sans majorant]]>
Erreur : pour une limite $+\infty$, c'est une minoration
par une suite tendant vers $+\infty$ qui conclut ; aucun
majorant n'est requis.]]>
Suites et limites — Q12 : Limite d'un quotient de suites géométriques
Quelle est la limite de la suite définie par
$u_n = \dfrac{3^n}{2^n}$ ?]]>
Regrouper les puissances : $\dfrac{3^n}{2^n} =
\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$. C'est une suite géométrique de
raison $\dfrac{3}{2} > 1$, donc de limite $+\infty$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$+\infty$]]>
Bonne réponse : $u_n = \left(\dfrac{3}{2}\right)^n$ est une
suite géométrique de raison $\dfrac{3}{2} > 1$, donc elle
tend vers $+\infty$.]]>
$0$]]>
Erreur : $q^n \to 0$ demande $|q| < 1$. Ici la raison est
$\dfrac{3}{2} > 1$ : la suite explose au lieu de s'éteindre.]]>
$\dfrac{3}{2}$]]>
Erreur : $\dfrac{3}{2}$ n'est que le terme $u_1$. La suite
continue d'être multipliée par $\dfrac{3}{2}$ à chaque rang.]]>
$1$, car les deux suites tendent vers $+\infty$]]>
Erreur : $\dfrac{\infty}{\infty}$ est une forme
indéterminée, elle ne vaut pas $1$ d'office. On la lève ici
en écrivant $u_n = (3/2)^n$.]]>
Suites et limites — Q13 : Limite de $q^n$ pour $q > 1$
Que vaut $\lim\limits_{n \to +\infty} 3^n$ ?]]>
Bilan complet : $q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty$ ;
$-1 < q < 1 \Rightarrow q^n \to 0$ ; $q = 1 \Rightarrow$
constante ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite. À réciter
avant tout calcul de limite géométrique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$+\infty$]]>
Bonne réponse : pour $q > 1$, la suite $(q^n)$ tend vers
$+\infty$ : chaque terme est multiplié par $3$, la
croissance explose.]]>
$0$]]>
Confusion avec $0 < q < 1$ : c'est $\left(\frac{1}{3}
\right)^n$ qui tend vers $0$, pas $3^n$.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ est la raison, pas la limite : les
termes $3, 9, 27, 81, \dots$ dépassent tout seuil.]]>
$1$]]>
Erreur : $q^n \to 1$ n'arrive que si $q = 1$ (suite
constante).]]>
Suites et limites — Q14 : Rôle de l'initialisation
La propriété $P(n)$ : « $4^n + 1$ est divisible par $3$ »
est héréditaire (si $P(n)$ est vraie, $P(n+1)$ l'est
aussi). Peut-on conclure que $P(n)$ est vraie pour tout
$n$ ?]]>
Une récurrence exige les deux piliers : initialisation ET
hérédité. Exemple culte : « $4^n + 1$ divisible par $3$ »
est héréditaire mais fausse pour tout $n$ (déjà $4^0 + 1 = 2$
et $4^1 + 1 = 5$) : l'initialisation n'est pas une formalité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : il manque une initialisation vraie]]>
Bonne réponse : sans initialisation vraie, l'hérédité ne
démarre jamais. Ici $4^0 + 1 = 2$ n'est pas divisible par
$3$, et aucun autre rang ne convient : $P(n)$ est fausse
pour tout $n$. L'hérédité est une chaîne de dominos,
mais aucun domino ne tombe si on ne pousse pas le premier.]]>
Oui : une propriété héréditaire est vraie à tout rang]]>
Erreur fatale du raisonnement par récurrence : sans
initialisation, rien n'est démontré : cette propriété
héréditaire est fausse partout ($4^0 + 1 = 2$,
$4^1 + 1 = 5$, $4^2 + 1 = 17$, aucun n'est multiple de
$3$).]]>
Oui, mais seulement à partir du rang $n = 1$]]>
Erreur : $4^1 + 1 = 5$ n'est pas non plus divisible par
$3$ : aucun rang ne peut servir de point de départ.]]>
Non, car l'hérédité de $P(n)$ est mal démontrée]]>
Erreur de diagnostic : l'hérédité est correcte ($4^{n+1}
+ 1 = 4(4^n + 1) - 3$). C'est l'initialisation qui
manque.]]>
Suites et limites — Q15 : Limite d'une somme
Si $u_n \to 5$ et $v_n \to +\infty$, que vaut
$\lim\,(u_n + v_n)$ ?]]>
Tableaux des limites : $\ell + (+\infty) = +\infty$,
$\ell \times (+\infty) = \pm\infty$ selon le signe de
$\ell \neq 0$. Les seules formes indéterminées :
$+\infty - \infty$, $0 \times \infty$,
$\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$+\infty$]]>
Bonne réponse : une suite bornée plus une suite de limite infinie donne une limite infinie : ajouter
environ $5$ ne freine pas une suite qui dépasse tout
seuil.]]>
$5$]]>
Erreur : la partie $v_n$ emporte tout : la somme dépasse
$10^6$, puis $10^9$…]]>
Forme indéterminée]]>
Erreur : la seule indétermination de la somme est
$+\infty + (-\infty)$. Ici, aucun conflit : $+\infty$.]]>
$5 + \infty$, qui n'a pas de sens, donc pas de limite]]>
Erreur : le tableau des opérations donne un résultat
parfaitement défini : $+\infty$.]]>
Suites et limites — Q16 : La suite $(-1)^n$
Quelle est la limite de la suite $u_n = (-1)^n$ ?]]>
Trois comportements possibles : converger vers $\ell$,
tendre vers $\pm\infty$, ou ne pas avoir de limite du tout
($(-1)^n$, $\cos n$…). Le troisième cas est celui qu'on
oublie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle n'a pas de limite, ni finie ni infinie]]>
Bonne réponse : elle oscille éternellement entre $-1$ et
$1$ : elle ne s'approche d'aucun nombre et ne part vers
aucun infini. Diverger ne veut pas dire « tendre vers
l'infini ».]]>
$0$, par compensation des $+1$ et des $-1$]]>
Erreur : la limite regarde les termes, pas leur
moyenne : $u_n$ ne s'approche jamais de $0$ (distance
constante $1$).]]>
$1$, car une suite finit par se stabiliser]]>
Erreur : rien n'oblige une suite à se stabiliser :
celle-ci repasse par $-1$ à chaque rang impair.]]>
$+\infty$ car elle diverge]]>
Confusion de vocabulaire : « diverger » = ne pas
converger. Cela inclut osciller sans partir à
l'infini, comme ici.]]>
Suites et limites — Q17 : Suite décroissante minorée
Une suite est décroissante et minorée par $2$. Que peut-on
affirmer ?]]>
Convergence monotone : croissante majorée $\Rightarrow$
converge ; décroissante minorée $\Rightarrow$ converge. La
limite vérifie l'encadrement mais ne coïncide pas forcément
avec la borne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle converge vers une limite $\ell \geq 2$]]>
Bonne réponse : théorème de convergence monotone,
version basse : elle descend mais ne peut pas passer
sous $2$, donc elle se stabilise quelque part au-dessus
(ou en) $2$.]]>
Elle converge vers $2$]]>
Trop précis : le minorant n'est pas forcément la
limite : $u_n = 3 + \frac{1}{n}$ est décroissante,
minorée par $2$, et converge vers $3$.]]>
Elle tend vers $-\infty$]]>
Contradiction : le minorant $2$ lui interdit justement
de descendre indéfiniment.]]>
On ne peut rien dire sans formule explicite]]>
Erreur : c'est la force du théorème : la convergence est
garantie par la seule forme de la suite, sans calcul.]]>
Suites et limites — Q18 : Lever un $0 \times \infty$
$u_n = \dfrac{1}{n}$ tend vers $0$ et $v_n = n^2$ tend vers
$+\infty$. Que vaut $\lim\,(u_n \times v_n)$ ?]]>
Face à $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$,
$+\infty - \infty$ : toujours réécrire (simplifier,
factoriser le terme dominant). L'indétermination est un feu
orange, pas un mur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$+\infty$, car $u_n v_n = n$]]>
Bonne réponse : la forme $0 \times \infty$ est
indéterminée : on transforme l'expression :
$\frac{1}{n} \times n^2 = n \to +\infty$.]]>
$0$, car $u_n \to 0$ et $0$ fois n'importe quoi vaut $0$]]>
Erreur : la règle « $0 \times x = 0$ » vaut pour le
nombre $0$, pas pour une suite qui tend vers $0$
pendant que l'autre explose : conflit à trancher par le
calcul.]]>
$1$, par compromis entre $0$ et l'infini]]>
Erreur : il n'y a pas de « compromis » : selon les
suites, $0 \times \infty$ peut donner $0$, $7$,
$+\infty$… Ici le calcul donne $n \to +\infty$.]]>
La limite n'existe pas]]>
Erreur : indéterminé ne signifie pas « sans limite »
mais « à déterminer autrement » : ici $u_n v_n = n$, la
limite existe et vaut $+\infty$.]]>
Suites et limites — Q19 : Somme des premiers entiers
Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \dots + n$ ?]]>
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ : premier + dernier,
fois le nombre de termes, divisé par $2$. Avec la somme
géométrique $\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ce sont les deux
formules de sommation à connaître.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{n(n+1)}{2}$]]>
Bonne réponse : la formule de Gauss, démontrable par
récurrence (un classique d'ailleurs). Contrôle avec
$n = 3$ : $\frac{3 \times 4}{2} = 6 = 1 + 2 + 3$.]]>
$\dfrac{n(n-1)}{2}$]]>
Décalage : cette formule compte $1 + \dots + (n-1)$.
Contrôle avec $n = 3$ : $\frac{3 \times 2}{2} = 3 \neq
6$.]]>
$n^2$]]>
Erreur : $n^2$ est la somme des impairs $1 + 3 +
\dots + (2n-1)$. Contrôle : $1 + 2 + 3 = 6 \neq 9$.]]>
$\dfrac{n^2 + 1}{2}$]]>
Erreur : contrôle immédiat avec $n = 3$ : $\frac{10}{2}
= 5 \neq 6$. Le produit est $n(n+1)$, pas $n^2 + 1$.]]>
Suites et limites — Q20 : Passage à la limite dans une inégalité
Pour tout $n$, $u_n < v_n$, et les deux suites convergent :
$u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$. Que peut-on conclure ?]]>
Règle : les inégalités passent à la limite en devenant
larges. C'est pour cela que les théorèmes (gendarmes,
comparaison) concluent avec $\leq$, jamais avec $<$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\ell \leq \ell'$ (l'inégalité devient large à la
limite)]]>
Bonne réponse : le passage à la limite élargit les
inégalités : $u_n = 0 < v_n = \frac{1}{n}$, et pourtant
les deux limites valent $0$.]]>
$\ell < \ell'$ (l'inégalité stricte se conserve)]]>
Piège classique : contre-exemple $u_n = 0$, $v_n =
\frac{1}{n}$ : inégalité stricte à chaque rang, limites
égales.]]>
$\ell = \ell'$ toujours]]>
Erreur : $u_n = 1$ et $v_n = 2$ donnent $\ell = 1 \neq
2 = \ell'$. On garde seulement $\ell \leq \ell'$.]]>
Rien : les limites sont indépendantes des inégalités]]>
Erreur : la comparaison survit au passage à la limite,
en version large : c'est la base des théorèmes de
comparaison.]]>
Suites et limites — Q21 : Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
La suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 6}{2}$
converge vers un réel $\ell$. Que vaut $\ell$ ?]]>
Si $u_{n+1} = f(u_n)$, $u_n \to \ell$ et $f$ continue en
$\ell$, alors $f(\ell) = \ell$. Méthode : résoudre
l'équation du point fixe, après avoir justifié la
convergence (souvent par convergence monotone).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\ell = 6$]]>
Bonne réponse : en passant à la limite dans la relation
de récurrence (la fonction est continue), $\ell$ vérifie
l'équation du point fixe $\ell = \dfrac{\ell + 6}{2}$,
soit $2\ell = \ell + 6$, donc $\ell = 6$.]]>
$\ell = 3$]]>
Erreur : $3$ est la moitié de $6$, mais on résout $\ell
= \frac{\ell + 6}{2}$, pas $\ell = \frac{6}{2}$ : le
$\ell$ figure des deux côtés.]]>
$\ell = 0$]]>
Contrôle : $\frac{0 + 6}{2} = 3 \neq 0$ : $0$ n'est pas
point fixe.]]>
On ne peut pas savoir sans connaître $u_0$]]>
Erreur : la convergence étant admise, la limite est
forcée par l'équation $\ell = f(\ell)$, indépendamment
du départ. ($u_0$ jouerait sur la convergence, pas sur
la valeur possible.)]]>
Suites et limites — Q22 : $q^n$ pour $q \leq -1$
Quel est le comportement de la suite $u_n = (-2)^n$ ?]]>
Pour $q \leq -1$, $(q^n)$ n'a pas de limite : l'alternance
de signe combinée à l'explosion de $|q|^n$ interdit tout
comportement limite. Le cas oublié du bilan sur $q^n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle n'a pas de limite, ni finie ni infinie]]>
Bonne réponse : $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ : la suite
oscille, le signe alterne pendant que $|u_n| = 2^n$
explose, avec des valeurs de plus en plus grandes en
valeur absolue : ni limite finie, ni $+\infty$, ni
$-\infty$.]]>
Elle tend vers $+\infty$, car $|-2| > 1$]]>
Erreur : les termes de rang impair sont négatifs et
plongent : la suite ne reste pas au-dessus de tout
seuil.]]>
Elle tend vers $-\infty$, à cause du signe moins]]>
Erreur symétrique : les rangs pairs donnent $+4, +16,
+64, \ldots$ : la suite remonte sans cesse.]]>
Elle tend vers $0$, comme toute suite géométrique]]>
Erreur : $q^n \to 0$ exige $|q| < 1$. Ici $|q| = 2$ :
les termes s'éloignent de $0$.]]>
Suites et limites — Q23 : Entrer dans un intervalle autour de la limite
La suite $(u_n)$ définie pour $n \geq 1$ par $u_n = 3 + \dfrac{2}{n}$ converge vers $3$. À partir de quel rang tous ses termes appartiennent-ils à l'intervalle $]2{,}99\ ;\ 3{,}01[$ ?]]>
Dire que $(u_n)$ converge vers $3$, c'est dire que tout intervalle ouvert contenant $3$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Ici la suite est décroissante et reste au-dessus de $3$ ; il suffit donc de résoudre $\dfrac{2}{n} < 0{,}01$, ce qui donne $n > 200$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
À partir de $n = 201$]]>
Bonne réponse : $u_n > 3$ pour tout $n$, et $u_n < 3{,}01$ équivaut à $\dfrac{2}{n} < 0{,}01$, soit $n > 200$. Le premier entier qui convient est $201$.]]>
À partir de $n = 200$]]>
L'inégalité est stricte : $u_{200} = 3 + \dfrac{2}{200} = 3{,}01$, qui n'appartient pas à l'intervalle ouvert.]]>
À partir de $n = 101$]]>
Le numérateur $2$ a été oublié : $\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ donne $n > 100$, mais $u_{101} = 3 + \dfrac{2}{101} \approx 3{,}0198$ dépasse encore $3{,}01$.]]>
À partir de $n = 21$]]>
La précision a été lue comme $0{,}1$ au lieu de $0{,}01$ : $u_{21} = 3 + \dfrac{2}{21} \approx 3{,}095$ reste en dehors de l'intervalle.]]>
Suites et limites — Q24 : Rédiger l'hérédité
Dans une récurrence, comment démarre correctement l'étape
d'hérédité ?]]>
Formule rituelle : « Soit $n$ un entier tel que $P(n)$ est
vraie » (UN rang fixé, pas tous). La conclusion « pour tout
$n$ » n'arrive qu'à la fin, par le principe de récurrence,
initialisation comprise.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé ;
montrons $P(n+1)$. »]]>
Bonne réponse : on suppose la propriété pour UN rang
(hypothèse de récurrence) et on propage d'un cran. C'est
le mécanisme du domino : chacun pousse le suivant.]]>
« Supposons $P(n)$ vraie pour tout entier $n$ ;
montrons $P(n+1)$. »]]>
Pétition de principe : supposer la propriété pour
tout $n$, c'est supposer exactement ce qu'on veut
démontrer : la preuve devient vide.]]>
« Vérifions $P(0)$, $P(1)$ et $P(2)$ : la tendance se
confirme. »]]>
Erreur : trois vérifications ne prouvent rien pour
$n = 10^6$ : c'est l'hérédité, pas l'accumulation
d'exemples, qui couvre tous les rangs.]]>
« Montrons $P(n+1)$ sans utiliser $P(n)$. »]]>
Erreur : alors ce n'est plus une récurrence : c'est une
preuve directe (parfois possible), et l'hypothèse de
récurrence est là précisément pour servir.]]>
Suites et limites — Q25 : Limite d'un produit
Une suite $(u_n)$ tend vers $3$ et une suite $(v_n)$ vers
$+\infty$. Vers quoi tend $(u_n v_n)$ ?]]>
Le produit d'une suite de limite finie non nulle par une suite de limite
infinie tend vers l'infini, du signe du produit. Seule la limite nulle
créerait une indétermination.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : le facteur $u_n$ se stabilise autour d'une valeur
strictement positive, donc le produit suit $v_n$.]]>
Vers $3$]]>
La limite de $u_n$ seule : le second facteur devient arbitrairement
grand et emporte le produit.]]>
Vers $0$]]>
Aucun facteur ne tend vers $0$ : la forme $0 \times \infty$ n'est pas
celle de cette situation.]]>
On ne peut pas conclure]]>
Il n'y a pas d'indétermination ici : la limite non nulle et finie du
premier facteur permet de conclure.]]>
Suites et limites — Q26 : Lever une indétermination avec une racine carrée
Vers quoi tend la suite définie par $u_n = \sqrt{n^2 + 4n} - n$ ?]]>
Une différence de la forme $\infty - \infty$ contenant une racine carrée se transforme en quotient : on multiplie et on divise par la somme $\sqrt{n^2+4n} + n$, puis on utilise $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vers $2$]]>
Bonne réponse : en multipliant et en divisant par $\sqrt{n^2+4n} + n$, on obtient $\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n} + n}$, dont le dénominateur se comporte comme $2n$.]]>
Vers $0$]]>
Estimation trompeuse : les deux termes se rapprochent, mais leur écart
se stabilise au lieu de s'annuler. Pour $n = 10^6$, l'écart vaut déjà
presque exactement $2$.]]>
Vers $+\infty$]]>
Le calcul pour $n = 10\,000$ donne environ $2$, très loin de
l'infini.]]>
Vers $4$]]>
Dénominateur oublié : le numérateur vaut $4n$, mais il reste à le
diviser par une quantité équivalente à $2n$.]]>
Suites et limites — Q27 : Ce que démontre l'hérédité
Dans un raisonnement par récurrence, que démontre exactement l'étape
d'hérédité ?]]>
Une récurrence comporte deux étapes indissociables : l'initialisation, qui
amorce, et l'hérédité, qui propage. Chacune sans l'autre ne démontre rien.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Que la propriété se transmet d'un rang au suivant]]>
Bonne réponse : on suppose la propriété vraie à un rang quelconque et
l'on établit qu'elle l'est encore au rang suivant.]]>
Que la propriété est vraie pour tout entier]]>
C'est la conclusion, qui exige aussi l'initialisation : sans elle, la
transmission ne démarre jamais.]]>
Que la propriété est vraie au premier rang]]>
C'est l'initialisation, une étape distincte et tout aussi
indispensable.]]>
Que la suite converge]]>
La récurrence démontre une propriété à chaque rang ; la convergence
demande un autre argument.]]>
Suites et limites — Q28 : Une suite croissante non majorée
Que peut-on dire d'une suite croissante et non majorée ?]]>
Le théorème de la limite monotone distingue deux cas : croissante et
majorée, la suite converge ; croissante et non majorée, elle tend vers
$+\infty$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle tend vers $+\infty$]]>
Bonne réponse : ne pas être majorée signifie dépasser tout nombre
fixé, et la croissance garantit qu'elle n'y revient pas.]]>
Elle converge vers son plus grand terme]]>
Une suite croissante non majorée n'a pas de plus grand terme : chaque
terme est dépassé par le suivant.]]>
Elle diverge sans limite]]>
La divergence est ici orientée : la suite a bien une limite, infinie.]]>
On ne peut pas conclure sans son expression]]>
Les deux hypothèses suffisent, quelle que soit la formule de la suite.]]>
Suites et limites — Q29 : Quotient dominé par le degré
Vers quoi tend la suite définie par
$u_n = \dfrac{6n^2 + 5}{2n^2 - n}$ ?]]>
Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de
plus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients
dominants.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vers $3$]]>
Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes
restants tendent vers $0$.]]>
Vers $+\infty$]]>
Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de
croître.]]>
Vers $0$]]>
Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du
numérateur.]]>
Vers $6$]]>
Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des
deux coefficients dominants.]]>
Suites et limites — Q30 : Limite d'une suite définie par récurrence
Une suite vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, et converge
vers $\ell$. Quelle équation $\ell$ vérifie-t-il ?]]>
Si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge et si $f$ est
continue, sa limite est un point fixe de $f$. L'existence de la limite doit
être établie séparément.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$f(\ell) = \ell$]]>
Bonne réponse : on passe à la limite des deux côtés de la relation, ce
que la continuité de $f$ autorise.]]>
$f(\ell) = 0$]]>
Cette équation donnerait les racines de $f$, sans rapport avec le
point fixe cherché.]]>
$f'(\ell) = 0$]]>
La dérivée intervient pour étudier la vitesse de convergence, pas pour
identifier la limite.]]>
$\ell = 0$]]>
Aucune raison : la suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{2}$
converge vers $2$.]]>
Suites et limites — Q31 : Limite d'une somme de suites convergentes
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $3$ et
$5$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?]]>
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\ell$ et $\ell'$, alors
$(u_n + v_n)$ converge vers $\ell + \ell'$. Seule la rencontre de
$+\infty$ et de $-\infty$ crée une indétermination.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la
somme est la somme des limites, soit $3 + 5 = 8$.]]>
$15$]]>
Opération confondue : $3 \times 5 = 15$ serait la limite
du produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme.]]>
$-2$]]>
Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers
$3 - 5 = -2$. Ici les deux termes s'ajoutent.]]>
On ne peut pas conclure]]>
Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,
le théorème sur la somme s'applique directement.]]>
Suites et limites — Q32 : Sens de « converge vers $\ell$ »
Que signifie « la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ » ?]]>
Converger vers $\ell$, c'est vérifier que tout intervalle ouvert
contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un
certain rang. L'ordre des quantificateurs fait toute la définition.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes
à partir d'un rang]]>
Bonne réponse : aussi petit que soit l'intervalle choisi autour de
$\ell$, la suite finit par y entrer et ne plus en sortir.]]>
À partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont
exactement égaux à $\ell$]]>
Condition bien trop forte : $u_n = \dfrac{1}{n}$ converge vers $0$
sans jamais valoir $0$. La suite s'approche, elle n'atteint pas.]]>
Une infinité de termes de la suite sont aussi proches que l'on
veut de $\ell$]]>
Quantificateur trop faible : la suite $0, 1, 0, 2, 0, 3, \ldots$
approche $0$ une infinité de fois sans converger vers $0$.]]>
La suite est croissante et $\ell$ est le plus petit de ses
majorants]]>
Cas particulier seulement : une suite convergente n'a aucune
raison d'être monotone, comme $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.]]>
Suites et limites — Q33 : Limite de $q^n$ pour $-1 < q < 0$
Quelle est la limite de la suite définie par $u_n = (-0{,}4)^n$ ?]]>
Le critère porte sur la valeur absolue : $|q| < 1$ donne
$q^n \to 0$, signe alterné ou non. C'est seulement à partir de
$q \leq -1$ que la suite n'a plus de limite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : $|-0{,}4| = 0{,}4 < 1$, donc les puissances
s'écrasent vers $0$ en changeant de signe à chaque rang.]]>
$-0{,}4$]]>
C'est le terme $u_1$, pas la limite : les termes suivants
continuent de se rapprocher de $0$.]]>
$-\infty$]]>
Tous les termes restent compris entre $-1$ et $1$ : la suite est
bornée, elle ne peut pas partir vers l'infini.]]>
Pas de limite]]>
L'alternance de signe n'empêche pas la convergence ici, car
l'amplitude $0{,}4^n$ tend vers $0$.]]>
Suites et limites — Q34 : Calculer une somme d'entiers consécutifs
Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \cdots + 20$ ?]]>
La somme des $n$ premiers entiers vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier
plus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici
$\dfrac{20 \times 21}{2} = 210$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$210$]]>
Bonne réponse : la formule donne
$\dfrac{20 \times 21}{2}$, soit $210$.]]>
$190$]]>
Dernier terme oublié : $190$ est la somme
$1 + 2 + \cdots + 19$, il manque $20$.]]>
$400$]]>
Confusion de formule : $20^2 = 400$ est la somme des $20$
premiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs.]]>
$420$]]>
Division par $2$ oubliée : $20 \times 21 = 420$
compte chaque paire deux fois.]]>
Suites et limites — Q35 : Reconnaître une suite de limite $-\infty$
Parmi les suites suivantes, laquelle tend vers $-\infty$ ?]]>
Tendre vers $-\infty$ signifie passer définitivement sous tout réel
fixé. Une suite bornée, même négative, ne le fait jamais, et une suite
qui oscille en s'amplifiant n'a pas de limite du tout.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u_n = 7 - n^2$]]>
Bonne réponse : $n^2 \to +\infty$, donc $7 - n^2$ descend sous
tout seuil fixé à l'avance.]]>
$u_n = \dfrac{1}{n} - 7$]]>
Cette suite converge vers $-7$ : le terme $\dfrac{1}{n}$ s'efface,
il ne fait pas plonger la suite.]]>
$u_n = (-1)^n \times n$]]>
Elle n'a aucune limite : les rangs pairs montent vers $+\infty$
pendant que les rangs impairs descendent.]]>
$u_n = \dfrac{-7n}{n + 1}$]]>
Quotient de deux polynômes de même degré : la suite converge vers
$-7$, elle reste bornée.]]>
Suites et limites — Q36 : Limite d'un quotient de suites convergentes
On sait que $\lim u_n = 6$ et que $\lim v_n = 4$. Que vaut
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$ ?]]>
Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient
des suites converge vers le quotient des limites. La forme
indéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou
infinies.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{3}{2}$]]>
Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la
limite du quotient est le quotient des limites, $\dfrac{3}{2}$.]]>
$\dfrac{2}{3}$]]>
Quotient renversé : $\dfrac{2}{3}$ est la limite de
$\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte.]]>
$2$]]>
Opération confondue : $6 - 4 = 2$ est la limite de la
différence, pas celle du quotient.]]>
$24$]]>
Opération confondue : $6 \times 4 = 24$ est la limite
du produit $(u_nv_n)$.]]>
Suites et limites — Q37 : Limite d'un produit terme à terme
Pour $n \geq 1$, on pose $u_n = 3 + \dfrac{2}{n}$ et
$v_n = 5 - \dfrac{4}{n}$. Quelle est la limite du produit
$(u_nv_n)$ ?]]>
On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :
les termes en $\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste
$3 \times 5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : $u_n \to 3$ et $v_n \to 5$, donc le produit
converge vers $3 \times 5 = 15$.]]>
$8$]]>
Opération confondue : $3 + 5 = 8$ est la limite de la
somme $(u_n + v_n)$.]]>
$12$]]>
Termes mal appariés : $4$ appartient à la partie qui s'efface,
seuls $3$ et $5$ subsistent à la limite.]]>
$10$]]>
Termes mal appariés : $2$ est divisé par $n$, il tend vers $0$
et ne figure pas dans la limite.]]>
Suites et limites — Q38 : Conclure par encadrement
Pour tout $n \geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie
$\dfrac{6n - 1}{2n} \leq u_n \leq \dfrac{6n + 1}{2n}$.
Que peut-on conclure ?]]>
Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite
imposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes
convergent vers $3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(u_n)$ converge vers $3$]]>
Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent
$\dfrac{6}{2} \mp \dfrac{1}{2n}$ et tendent toutes les
deux vers $3$, donc $(u_n)$ aussi.]]>
$(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{3}$]]>
Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est
$6$ et celui du dénominateur $2$, dans cet ordre.]]>
$(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$]]>
Termes dominants mal choisis : $1$ est une constante, elle
devient négligeable devant $6n$.]]>
On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$]]>
C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes
de même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile.]]>
Suites et limites — Q39 : Une majoration qui ne conclut pas
Pour tout entier $n$, une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \leq n^2$.
Que peut-on en conclure ?]]>
Les théorèmes de comparaison fonctionnent dans un seul sens :
minorer par une suite de limite $+\infty$ pousse vers $+\infty$,
majorer par une suite de limite $-\infty$ tire vers $-\infty$.
Majorer par une suite qui explose n'apprend rien.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
On ne peut rien conclure sur sa limite]]>
Bonne réponse : $u_n = n^2$, $u_n = 0$ et $u_n = -n$ vérifient
toutes cette majoration avec trois comportements différents.]]>
$(u_n)$ tend vers $+\infty$ par comparaison]]>
Sens du théorème inversé : pour conclure à $+\infty$, il faut une
minoration par une suite de limite $+\infty$.]]>
$(u_n)$ converge, car elle est majorée par $n^2$]]>
Être majorée par une suite non bornée ne borne rien : la suite
$u_n = n^2$ elle-même vérifie l'hypothèse et diverge.]]>
$(u_n)$ est bornée, donc elle admet une limite]]>
Double erreur : l'hypothèse ne borne pas la suite, et une suite
bornée n'a pas forcément de limite, comme $(-1)^n$.]]>
Suites et limites — Q40 : Initialisation à un rang non nul
On veut démontrer par récurrence que $2^n > n^2$ pour tout entier
$n \geq 5$. Quelle inégalité faut-il vérifier à l'initialisation ?]]>
L'initialisation se vérifie au plus petit rang $n_0$ pour lequel la
propriété est annoncée, pas systématiquement en $0$. L'hérédité prend
ensuite le relais pour tous les rangs suivants.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2^5 > 5^2$]]>
Bonne réponse : l'initialisation se fait au premier rang concerné,
ici $n = 5$, et $32 > 25$ convient.]]>
$2^0 > 0^2$]]>
Rang de départ mal choisi : la propriété n'est affirmée qu'à
partir de $n = 5$, et elle est d'ailleurs fausse pour $n = 2$.]]>
$2^n > n^2$ pour $n = 0$, $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$]]>
Un seul rang suffit, et c'est le premier de l'intervalle
considéré : les rangs antérieurs ne sont pas concernés.]]>
$2^{n+1} > (n+1)^2$]]>
Étape confondue : cette inégalité est la conclusion de
l'hérédité, pas le point de départ de la récurrence.]]>
Suites et limites — Q41 : Calculer un terme d'une suite récurrente
Une suite est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1} = 2u_n + 3$. Que vaut $u_2$ ?]]>
Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on
applique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde
fois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $u_1 = 2 \times 1 + 3 = 5$, puis
$u_2 = 2 \times 5 + 3 = 13$.]]>
$5$]]>
Calcul arrêté trop tôt : $5$ est $u_1$. Il reste à appliquer
une fois de plus la relation de récurrence.]]>
$4$]]>
Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $2$
sans ajouter $3$ à chaque étape.]]>
$8$]]>
Coefficient appliqué une seule fois : $3$ a bien été ajouté
deux fois, mais $2$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier.]]>
Suites et limites — Q42 : Sens de variation d'une suite géométrique
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de
raison $q = 2$. Quel est son sens de variation ?]]>
Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison
supérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,
elle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est croissante]]>
Bonne réponse : le premier terme $3$ est positif et la raison
vaut $2$, donc la suite est croissante.]]>
Elle est décroissante]]>
Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 2$ et un
premier terme positif, la suite est croissante.]]>
Elle est constante]]>
Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$
ou si son premier terme est nul.]]>
Elle n'est ni croissante ni décroissante]]>
Une suite géométrique de raison strictement positive garde le
même signe et reste monotone.]]>
Suites et limites — Q43 : Lever une indétermination entre deux puissances
Quelle est la limite de la suite définie pour $n \geq 0$ par
$u_n = \dfrac{5 \times 3^n + 7 \times 2^n}{2 \times 3^n + 3 \times 2^n}$ ?]]>
Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au
numérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{5}{2}$]]>
Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \to 0$, il ne reste que le quotient
des coefficients de $3^n$, soit $\dfrac{5}{2}$.]]>
$\dfrac{7}{3}$]]>
Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur
$2^n$, donc ce sont $5$ et $2$ qui décident.]]>
$\dfrac{12}{5}$]]>
Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même
rôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables.]]>
$1$]]>
Une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il
faut factoriser pour lever l'indétermination.]]>
Suites et limites — Q44 : Une limite rendue impossible par une minoration
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \geq 4$ pour tout entier $n$. Parmi
les valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?]]>
Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous
forme large : de $u_n \geq 4$ on déduit $\ell \geq 4$. Toute
valeur inférieure à $4$ est donc impossible.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite
vérifie $\ell \geq 4$, ce qui exclut $1$.]]>
$4$]]>
Cette limite est possible : la suite constante égale à $4$
vérifie l'hypothèse et converge vers $4$.]]>
$9$]]>
Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester
au-dessus de $4$ et de converger vers $9$.]]>
$+\infty$]]>
Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la
suite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n + 4$.]]>
Suites et limites — Q45 : Repérer la suite sans limite
Parmi les suites suivantes, laquelle n'admet aucune limite, ni finie
ni infinie ?]]>
Une suite n'a pas de limite lorsqu'elle oscille sans se resserrer :
l'alternance de signe seule ne suffit pas, c'est son amplitude qui
décide. Si elle tend vers $0$, la suite converge ; si elle grandit,
la suite n'a pas de limite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u_n = n \times (-1)^n$]]>
Bonne réponse : les rangs pairs donnent $n$ et les rangs impairs
$-n$ : la suite s'éloigne dans les deux sens à la fois.]]>
$u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$]]>
Elle converge vers $0$ : l'alternance de signe est étouffée par
la division par $n$.]]>
$u_n = (-0{,}5)^n$]]>
Elle converge vers $0$ : la valeur absolue de la raison est
inférieure à $1$.]]>
$u_n = 1 + (-1)^n \times \dfrac{1}{n^2}$]]>
Elle converge vers $1$ : le terme oscillant est encadré par
$-\dfrac{1}{n^2}$ et $\dfrac{1}{n^2}$.]]>
Suites et limites — Q46 : L'hérédité de l'inégalité de Bernoulli
Soit $a > 0$. On démontre par récurrence que $(1 + a)^n \geq 1 + na$
pour tout entier naturel $n$. On suppose $(1 + a)^n \geq 1 + na$ pour
un entier $n$ fixé. Quel argument permet d'en déduire
$(1 + a)^{n+1} \geq 1 + (n + 1)a$ ?]]>
L'inégalité de Bernoulli sert à démontrer que $q^n$ tend vers
$+\infty$ lorsque $q > 1$ : en posant $q = 1 + a$, on a
$q^n \geq 1 + na$, qui tend vers $+\infty$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Multiplier par $1 + a > 0$, puis utiliser $na^2 \geq 0$]]>
Bonne réponse : $(1 + a)^{n+1} \geq (1 + na)(1 + a)
= 1 + (n + 1)a + na^2$, et ce dernier nombre est supérieur ou
égal à $1 + (n + 1)a$.]]>
Ajouter $a$ aux deux membres de l'inégalité supposée]]>
Erreur : on obtient $(1 + a)^n + a \geq 1 + (n + 1)a$, mais le
membre de gauche n'est pas $(1 + a)^{n+1}$.]]>
Vérifier l'inégalité pour $n = 0$ et $n = 1$]]>
Erreur : ces vérifications relèvent de l'initialisation. Quelques
cas particuliers ne démontrent pas l'hérédité.]]>
Développer $(1 + a)^{n+1}$ par la formule du binôme]]>
Erreur : ce calcul direct n'utilise pas l'hypothèse de
récurrence ; il n'appartient pas à la démonstration demandée.]]>
Suites et limites — Q47 : Modéliser une évolution avec apport constant
Un lac contient $u_n$ tonnes de déchets au début de l'année
$2025 + n$. Chaque année, $20\ \%$ des déchets sont éliminés, puis
$6$ tonnes nouvelles sont déversées. Quelle relation modélise cette
évolution ?]]>
Cette suite arithmético-géométrique converge vers le point fixe
$\ell = 0{,}8\,\ell + 6$, soit $\ell = 30$ tonnes, quelle que soit
la quantité initiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 6$]]>
Bonne réponse : il reste $80\ \%$ des déchets, soit
$0{,}8\,u_n$, auxquels s'ajoutent $6$ tonnes.]]>
$u_{n+1} = 0{,}2\,u_n + 6$]]>
Erreur : $0{,}2\,u_n$ est la quantité éliminée, pas celle qui
reste.]]>
$u_{n+1} = 0{,}8\,(u_n + 6)$]]>
Erreur : l'élimination porterait aussi sur les $6$ tonnes
nouvelles, alors qu'elles sont déversées après.]]>
$u_{n+1} = 1{,}2\,u_n - 6$]]>
Erreur : les rôles sont inversés : la quantité diminue de
$20\ \%$ et augmente de $6$ tonnes.]]>
Suites et limites — Q48 : Vérifier une initialisation
On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
$n$, $2^n \geq n + 1$. Que vaut l'étape d'initialisation ?]]>
Initialiser, c'est vérifier la propriété au premier rang par un
calcul direct.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vraie, car $2^0 = 1 \geq 0 + 1$]]>
Bonne réponse : pour $n = 0$, l'inégalité s'écrit $1 \geq 1$,
qui est vraie ; l'initialisation est faite.]]>
Fausse, car $2^0 = 0$]]>
Erreur : $2^0 = 1$, pas $0$.]]>
Fausse, car $1 > 1$ est faux]]>
Erreur : l'inégalité est large, $\geq$ ; $1 \geq 1$ est vraie.]]>
Impossible à vérifier avant l'hérédité]]>
Erreur : l'initialisation est un calcul direct, indépendant de
l'hérédité.]]>
Suites et limites — Q49 : Formuler l'hypothèse de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.
Pour démontrer par récurrence que $u_n = 2^n + 1$, quelle est
l'hypothèse de récurrence ?]]>
Hérédité : « si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est
vraie au rang $n + 1$ » ; l'hypothèse porte sur un rang fixé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$u_n = 2^n + 1$ pour un entier $n$ fixé]]>
Bonne réponse : on suppose la propriété vraie à un rang $n$
donné, puis on la démontre au rang $n + 1$.]]>
Pour tout entier $n$, $u_n = 2^n + 1$]]>
Erreur : supposer la propriété pour tout $n$, c'est supposer ce
que l'on veut démontrer.]]>
$u_{n+1} = 2^{n+1} + 1$, pour tout entier $n$]]>
Erreur : c'est ce qu'il faut démontrer à partir de
l'hypothèse, pas l'hypothèse elle-même.]]>
$u_0 = 2$, le premier terme de la suite]]>
Erreur : $u_0 = 2$ sert à l'initialisation, pas à l'hérédité.]]>
Suites et limites — Q50 : Mener le calcul de l'hérédité
Avec $u_{n+1} = 2u_n - 1$ et l'hypothèse $u_n = 2^n + 1$, que
vaut $u_{n+1}$ ?]]>
L'hérédité se démontre par un calcul : on injecte l'hypothèse dans
la relation de récurrence et on retrouve la forme attendue au rang
suivant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2^{n+1} + 1$]]>
Bonne réponse : $u_{n+1} = 2(2^n + 1) - 1 = 2 \times 2^n + 2 - 1
= 2^{n+1} + 1$ ; la propriété est héréditaire.]]>
$2^{n+1} + 2$, en oubliant le $-1$]]>
Erreur : le $-1$ de la relation de récurrence a été oublié.]]>
$2^{n+1} - 1$, le signe du $1$ changeant]]>
Erreur : $2 \times 1 - 1 = 1$, pas $-1$.]]>
$2^n + 1$, inchangé d'un rang à l'autre]]>
Erreur : $2 \times 2^n = 2^{n+1}$, l'exposant augmente.]]>
Suites et limites — Q51 : Exploiter l'inégalité de Bernoulli
On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \geq 1 + na$ pour tout
réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en
déduit-on pour $1{,}02^{100}$ ?]]>
L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers
$+\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \geq 1 + n(q - 1)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1{,}02^{100} \geq 3$]]>
Bonne réponse : avec $a = 0{,}02$ et $n = 100$, $1 + na = 1 + 2$.]]>
$1{,}02^{100} \geq 2$]]>
Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié.]]>
$1{,}02^{100} \geq 1{,}02$]]>
Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;
l'inégalité donne $1 + na$.]]>
$1{,}02^{100} \geq 101$]]>
Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le
facteur $a$.]]>