$course$/QCM de maths/Terminale spécialité/Vecteurs, droites et plans de l'espace Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et
coplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point
et couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,
bases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q01 : Vecteurs colinéaires Dans un repère de l'espace, on donne
$\vec{u}(2\,;\,-4\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2\,;\,3)$.
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

]]> $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{v} \neq \vec{0}$) sont
colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que
$\vec{u} = k\vec{v}$, c'est-à-dire si les coordonnées sont
proportionnelles. Ici $k = 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\vec{u} = 2\vec{v}$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée de $\vec{u}$ est le
double de celle de $\vec{v}$ : $\vec{u} = 2\vec{v}$, les
vecteurs sont colinéaires.

]]> Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales

]]> Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la
proportionnalité des coordonnées : $\vec{u} = k\vec{v}$
pour un réel $k$.

]]> Non, car $2 + (-4) + 6 \neq 1 + (-2) + 3$

]]> Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens
géométrique ici. Le test est la proportionnalité
coordonnée par coordonnée.

]]> On ne peut pas le savoir sans connaître le repère

]]> Erreur : la relation $\vec{u} = 2\vec{v}$ se lit sur les
coordonnées et vaut dans tout repère fixé.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q02 : Déterminer une droite de l'espace Par quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?

]]> Une droite de l'espace est déterminée par un point et une direction (vecteur directeur non nul) : $M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} =
t\,\vec{u}$. (Deux points distincts conviennent aussi : le
second fournit le vecteur $\overrightarrow{AB}$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point et un vecteur non nul

]]> Bonne réponse : un point et un vecteur directeur non
nul. La droite passant par $A$ de vecteur directeur
$\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que
$\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, $t$ réel.

]]> Un seul point de l'espace

]]> Insuffisant : une infinité de droites passent par un même
point (dans toutes les directions de l'espace).

]]> Un vecteur directeur non nul, sans point

]]> Insuffisant : un vecteur donne la direction, mais une
infinité de droites parallèles la partagent. Il faut
ancrer la droite par un point.

]]> Un point et deux vecteurs non colinéaires

]]> Erreur : un point et deux vecteurs non colinéaires
déterminent un plan, pas une droite.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q03 : Déterminer un plan de l'espace Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?

]]> Un plan est déterminé par un point et deux directions indépendantes :
$M \in \mathcal{P} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} +
b\vec{v}$ ($a$, $b$ réels), avec $\vec{u}$, $\vec{v}$ non
colinéaires. Version points : trois points non alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point et deux vecteurs non colinéaires

]]> Bonne réponse : le plan passant par $A$ dirigé par
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires est l'ensemble des
points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

]]> Un point et un vecteur non nul

]]> Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une
droite. Un plan a besoin de deux directions
indépendantes.

]]> Trois points quelconques

]]> Piège : trois points alignés laissent une infinité de
plans possibles. Il faut trois points non alignés.

]]> Deux droites quelconques de l'espace

]]> Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues
dans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou
strictement parallèles.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q04 : Vecteurs coplanaires On donne $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,0)$ et
$\vec{w}(2\,;\,3\,;\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?

]]> Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme
combinaison linéaire des deux autres (supposés non
colinéaires) : ici $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$

]]> Bonne réponse : $\vec{w}$ est combinaison linéaire de
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ : les trois vecteurs partagent la
direction d'un même plan (ici le plan des deux premières
coordonnées).

]]> Non, car aucun n'est colinéaire à un autre

]]> Erreur : la coplanarité de trois vecteurs ne se réduit
pas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est
combinaison linéaire des deux autres.

]]> Non, car ils sont dans l'espace

]]> Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être
coplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée
étant nulle.

]]> Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires

]]> Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par
exemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation
$\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$ qui conclut ici.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q05 : Base de l'espace Que faut-il pour que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$,
$\vec{w}$ forment une base de l'espace ?

]]> Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur
s'écrit alors de manière unique $x\vec{u} + y\vec{v} +
z\vec{w}$ : ce sont ses coordonnées dans la base.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Qu'ils soient non coplanaires

]]> Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent
tout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon
unique.

]]> Qu'ils soient deux à deux non colinéaires

]]> Insuffisant : $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{u} + \vec{v}$
sont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne
peuvent pas engendrer l'espace.

]]> Qu'ils soient deux à deux orthogonaux

]]> Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base
orthogonale (confort de calcul), mais une base
quelconque demande seulement la non-coplanarité.

]]> Qu'ils aient tous la même norme

]]> Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition
d'une base. Seule compte l'indépendance des trois
directions.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q06 : La diagonale du cube Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure (D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec E au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H au-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu, de A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).

Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur $\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ?

]]> Décomposition dans le cube : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CG}$, et $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$
(arêtes parallèles). D'où $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AE}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

]]> Bonne réponse : pour aller de $A$ à $G$, on avance selon
l'arête $\overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AD}$ (profondeur), puis
$\overrightarrow{AE}$ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

]]> Incomplet : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, la diagonale
de la face inférieure. Pour monter jusqu'à $G$, il faut
encore ajouter $\overrightarrow{AE}$.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$

]]> Incomplet : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF}$, la diagonale
de la face avant. Il manque la profondeur $\overrightarrow{AD}$.

]]> $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$

]]> Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le
sens direct de $A$ vers $G$ ; aucune soustraction n'est
nécessaire.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q07 : Deux droites sans point commun Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?

]]> Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,
parallèles (strictement ou confondues), ou non coplanaires.
Ce troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en
cherchant un plan contenant les deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elles peuvent aussi être non coplanaires

]]> Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux
droites sans point commun sont soit strictement parallèles
(même direction), soit non coplanaires (directions
différentes, aucun plan commun).

]]> Oui, comme dans le plan

]]> Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne
survit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se
croisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles.

]]> Oui, si elles sont toutes les deux horizontales

]]> Erreur : deux droites « horizontales » de directions
différentes et d'altitudes différentes sont non
coplanaires sans être parallèles.

]]> Non : elles sont forcément confondues

]]> Contradiction : des droites confondues ont tous leurs
points communs, pas aucun.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q08 : Coordonnées dans le repère du cube Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à l'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B, G de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE sont tracés en rouge depuis A.

Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère
$\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$. Quelles
sont les coordonnées du sommet $G$ ?

]]> Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, les
sommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de $0$
et de $1$ : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$,
$C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $G(1;1;1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(1\,;\,1\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}
= 1 \cdot \overrightarrow{AB} + 1 \cdot \overrightarrow{AD} + 1 \cdot \overrightarrow{AE}$ :
coordonnées $(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> $G(1\,;\,1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,1\,;\,0)$ est le sommet $C$, resté sur la
face inférieure. $G$ est au-dessus de $C$ : troisième
coordonnée $1$.

]]> $G(0\,;\,1\,;\,1)$

]]> Erreur : $(0\,;\,1\,;\,1)$ est le sommet $H$ (au-dessus de
$D$). $G$ se trouve au-dessus de $C$, donc en
$(1\,;\,1\,;\,1)$.

]]> $G(1\,;\,0\,;\,1)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0\,;\,1)$ est le sommet $F$ (au-dessus de
$B$). Pour $G$, la profondeur $\overrightarrow{AD}$ vaut aussi $1$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q09 : Position relative dans le cube Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,
$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la
position relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?

]]> Méthode : comparer les directions ($\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DH}$
non colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point
commun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites
non coplanaires, cas typique dans un cube.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont non coplanaires

]]> Bonne réponse : $(AB)$ est horizontale à l'avant, $(DH)$
verticale à l'arrière : directions non colinéaires et
aucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les
deux.

]]> Elles sont sécantes

]]> Erreur : $(AB)$ vit sur la face inférieure avant, $(DH)$
part du sommet arrière $D$ verticalement : elles ne se
rencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement).

]]> Elles sont parallèles

]]> Erreur : $\overrightarrow{AB}$ est horizontal et $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$
est vertical : directions non colinéaires, donc pas de
parallélisme.

]]> Elles sont confondues

]]> Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues
signifierait la même droite.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q10 : Vecteur directeur d'une droite $(AB)$ Soient $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,1\,;\,5)$. Quel vecteur
est directeur de la droite $(AB)$ ?

]]> $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A) =
(2\,;\,-1\,;\,2)$. Tout vecteur non nul colinéaire à
$\overrightarrow{AB}$ dirige aussi la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AB}(2\,;\,-1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,
z_B - z_A) = (2\,;\,-1\,;\,2)$.

]]> $\overrightarrow{AB}(4\,;\,3\,;\,8)$

]]> Erreur : tu as additionné les coordonnées de $A$ et
$B$. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins
départ.

]]> $\overrightarrow{AB}(2\,;\,1\,;\,2)$

]]> Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :
$y_B - y_A = 1 - 2 = -1$.

]]> $\overrightarrow{OA}(1\,;\,2\,;\,3)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées du point $A$ (le
vecteur $\overrightarrow{OA}$), pas d'un vecteur
directeur de $(AB)$. La direction se lit sur
$\overrightarrow{AB}$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q11 : Tester l'alignement de trois points Soient $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(3\,;\,4\,;\,2)$ et
$C(4\,;\,6\,;\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?

]]> $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Ici $\overrightarrow{AC} =
\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ : alignés (et tous dans le plan
d'altitude $z = 2$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,4\,;\,0)$ et
$\overrightarrow{AC}(3\,;\,6\,;\,0)$ sont colinéaires
($3 = \frac{3}{2} \times 2$, $6 = \frac{3}{2} \times 4$,
$0 = \frac{3}{2} \times 0$) : les points sont alignés.

]]> Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit
un milieu. Le test est la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$.

]]> Non, car les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont
différentes

]]> Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit
d'un facteur commun : ici $\overrightarrow{AC} = 1{,}5\,\overrightarrow{AB}$.

]]> On ne peut pas conclure sans calculer les distances

]]> Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de $\overrightarrow{AB}$
et $\overrightarrow{AC}$) est direct et suffit. Aucune distance n'est
nécessaire.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q12 : Appartenance à un plan Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les
vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. À quelle
condition un point $M$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?

]]> Caractérisation d'un plan : $M \in \mathcal{P}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$ avec $a, b$
réels. Les couples $(a\,;\,b)$ jouent le rôle de coordonnées
dans le plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe des réels $a$ et $b$ tels que
$\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$

]]> Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du
plan : $\overrightarrow{AM}$ doit se décomposer sur les deux
directions du plan.

]]> Il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$

]]> Trop restrictif : cette condition décrit la droite
passant par $A$ dirigée par $\vec{u}$, une partie seulement
du plan.

]]> $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$

]]> Erreur : l'orthogonalité à $\vec{u}$ caractérise un autre
plan (celui de vecteur normal $\vec{u}$). Ici $\vec{u}$
est une direction contenue dans $\mathcal{P}$.

]]> $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement

]]> Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul
point du plan (celui de coordonnées $(1\,;\,1)$ dans le
repère du plan). Les coefficients $a$ et $b$ doivent
rester libres.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q13 : Relation de Chasles dans l'espace Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?

]]> Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AC}$. Réflexe : insérer un point
intermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AC}$

]]> Bonne réponse : relation de Chasles : aller de $A$ à $B$
puis de $B$ à $C$ revient à aller de $A$ à $C$ : la
lettre du milieu s'efface.

]]> $\overrightarrow{CA}$

]]> Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $C$ :
$\overrightarrow{AC}$, pas son opposé.

]]> $\overrightarrow{BB}$

]]> Erreur : $\overrightarrow{BB} = \vec{0}$ : la somme ne
s'annule que si $C = A$.

]]> $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$

]]> Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition
vectorielle enchaîne les déplacements (Chasles).

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q14 : Milieu d'un segment de l'espace Soient $A(1\ ;\ 4\ ;\ -2)$ et $B(3\ ;\ 0\ ;\ 6)$. Quelles
sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

]]> Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension $3$ comme en
dimension $2$ : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\ ;\
\frac{y_A+y_B}{2}\ ;\ \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$

]]> Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :
$\left(\frac{1+3}{2}\ ;\ \frac{4+0}{2}\ ;\
\frac{-2+6}{2}\right)$.

]]> $I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)$

]]> Division oubliée : les sommes valent $(4\ ;\ 4\ ;\
4)$ : le milieu prend la moitié.

]]> $I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)$

]]> Erreur : ce sont les demi-différences : le milieu
moyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas.

]]> $I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)$

]]> Troisième coordonnée : $\frac{-2 + 6}{2} = 2$, pas $4$ :
attention au signe de $-2$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q15 : Colinéarité en coordonnées Les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ et
$\vec{v}(-4\ ;\ 2\ ;\ -6)$ sont-ils colinéaires ?

]]> $\vec{v}$ colinéaire à $\vec{u} \neq \vec{0}$ $\iff$
$\vec{v} = k\vec{u}$ : tester si le rapport
coordonnée par coordonnée est constant ($\frac{-4}{2} =
\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = -2$). Outil numéro un pour
alignement et parallélisme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : $\vec{v} = -2\,\vec{u}$

]]> Bonne réponse : chaque coordonnée de $\vec{v}$ vaut
$-2$ fois celle de $\vec{u}$ : le même coefficient
partout, c'est la définition en actes.

]]> Non : leurs coordonnées ne sont pas égales

]]> Critère trop fort : la colinéarité demande la
proportionnalité des coordonnées, pas leur égalité.

]]> Non : ils ne sont pas de même sens

]]> Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : $k = -2$
négatif donne des vecteurs opposés mais bien
colinéaires.

]]> On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé

]]> Erreur : la colinéarité est une affaire de
proportionnalité, lisible dans n'importe quel repère
(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles).

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q16 : Lire des coordonnées dans une base Dans une base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ de
l'espace, on a $\vec{w} = 3\vec{i} - \vec{k}$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{w}$ ?

]]> Les coordonnées sont les coefficients de la décomposition $\vec{w} =
x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, dans l'ordre de la base,
zéros compris. La base garantit existence et unicité de
cette écriture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\ ;\ 0\ ;\ -1)$

]]> Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition : $3$ sur $\vec{i}$, $0$ sur $\vec{j}$
(absent), $-1$ sur $\vec{k}$.

]]> $(3\ ;\ -1)$

]]> Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :
l'absence de $\vec{j}$ se code par un $0$, elle ne
supprime pas la coordonnée.

]]> $(3\ ;\ -1\ ;\ 0)$

]]> Ordre : le $-1$ porte sur $\vec{k}$, troisième
vecteur : le zéro est en deuxième position.

]]> $(0\ ;\ 3\ ;\ -1)$

]]> Décalage : le coefficient de $\vec{i}$ ($3$) ouvre le
triplet.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q17 : Tester la coplanarité de trois vecteurs Comment vérifier que $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ (non colinéaires) ?

]]> $\vec{w}$ coplanaire à $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ non
colinéaires $\iff \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. En
pratique : poser le système $3 \times 2$ ; deux équations
déterminent $(a\ ;\ b)$, la troisième valide ou réfute.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} =
a\vec{u} + b\vec{v}$ (système sur les coordonnées)

]]> Bonne réponse : coplanaires, car l'un est combinaison linéaire des deux autres : trois équations (une par coordonnée), deux
inconnues : s'il y a une solution, coplanarité.

]]> Vérifier que $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement

]]> Trop restrictif : la somme est UNE combinaison
particulière ($a = b = 1$) : la coplanarité autorise
tous les coefficients.

]]> Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune

]]> Faux critère : il caractérise les plans de
coordonnées seulement : un plan quelconque n'aligne
aucun zéro.

]]> C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires

]]> Faux : $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ n'est pas
coplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est
une vraie contrainte.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q18 : Construire un point par égalité vectorielle Soient $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$, $B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et
$C(0\ ;\ 3\ ;\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point
$M$ défini par $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AC}$ ?

]]> Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs
($B - A$, $C - A$), combinaison, puis $M = A +
\overrightarrow{AM}$ : l'oubli du retour au point (ajouter
$A$) est l'erreur signature de l'exercice.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $M(4\ ;\ -1\ ;\ -1)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(1\ ;\ 1\ ;\ -2)$,
$\overrightarrow{AC}(-1\ ;\ 3\ ;\ -1)$, donc
$\overrightarrow{AM}(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$ et $M = A +
\overrightarrow{AM} = (4\ ;\ -1\ ;\ -1)$.

]]> $M(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$

]]> Dernière étape sautée : $(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$ sont les
coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ : il
reste à les ajouter à celles de $A$.

]]> $M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)$

]]> Vecteur $\overrightarrow{AC}$ non soustrait :
l'égalité retranche $\overrightarrow{AC}$, elle ne
l'ajoute pas.

]]> $M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)$

]]> Erreur : c'est $2\overrightarrow{AB}$ seul (transformé
en point depuis l'origine) : il manque $A$ et le terme
$-\overrightarrow{AC}$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q19 : Lire une représentation paramétrique Une droite a pour représentation paramétrique
$x = 1 + 2t$, $y = -3t$, $z = 4 + t$.
Quel est un vecteur directeur ?

]]> Dans une représentation paramétrique, les termes constants donnent un
point de la droite et les coefficients du paramètre un vecteur directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,-3\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : les coefficients du paramètre donnent les coordonnées
d'un vecteur directeur.

]]> $(1\,;\,0\,;\,4)$

]]> Ce sont les coordonnées d'un point de la droite, obtenu pour
$t = 0$.

]]> $(1\,;\,-3\,;\,4)$

]]> Coordonnées mélangées : on a pris les constantes de deux lignes et le
coefficient d'une autre.

]]> $(2\,;\,3\,;\,1)$

]]> Signe perdu : le coefficient de $t$ dans la deuxième ligne vaut
$-3$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q20 : Un point sur une droite paramétrée Le point $A(5\,;\,-6\,;\,6)$ appartient-il à la droite d'équations
$x = 1 + 2t$, $y = -3t$, $z = 4 + t$ ?

]]> Un point appartient à une droite paramétrée s'il existe une valeur du
paramètre qui convienne simultanément pour les trois coordonnées. On la
détermine sur une ligne, puis on vérifie sur les deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, pour $t = 2$

]]> Bonne réponse : $1 + 4 = 5$, $-6 = -3 \times 2$ et $4 + 2 = 6$, la
même valeur convient partout.

]]> Non, aucun paramètre ne convient

]]> La valeur $t = 2$ vérifie les trois égalités, il suffit de la
substituer pour le constater.

]]> Oui, pour $t = 5$

]]> Cette valeur donnerait $x = 11$, ce qui ne correspond pas à
l'abscisse de $A$.

]]> On ne peut pas conclure sans un second point

]]> La représentation paramétrique suffit : elle décrit entièrement la
droite.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q21 : Deux plans de l'espace Quelles sont les positions relatives possibles de deux plans
distincts de l'espace ?

]]> Deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants suivant une
droite. C'est une différence importante avec les droites de l'espace, qui
peuvent n'être ni parallèles ni sécantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parallèles ou sécants suivant une droite

]]> Bonne réponse : deux plans distincts ne se coupent jamais en un seul
point.

]]> Parallèles ou sécants en un point

]]> Une intersection réduite à un point est impossible : dès qu'ils ont un
point commun, ils en partagent toute une droite.

]]> Toujours sécants

]]> Deux plans parallèles distincts, comme deux étages d'un immeuble, n'ont
aucun point commun.

]]> Parallèles, sécants ou non coplanaires

]]> La non-coplanarité concerne des droites : deux plans sont toujours dans
l'espace entier.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q22 : Deux droites ni parallèles ni sécantes Comment appelle-t-on deux droites de l'espace sans point commun et de
directions différentes ?

]]> Dans l'espace, deux droites sans point commun peuvent être parallèles ou
non coplanaires. Dans le plan, seul le parallélisme est possible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non coplanaires

]]> Bonne réponse : aucun plan ne les contient toutes les deux, situation
propre à l'espace.

]]> Parallèles

]]> Le parallélisme impose des vecteurs directeurs colinéaires, ce que
l'énoncé exclut.

]]> Perpendiculaires

]]> La perpendicularité exige en outre un point commun, absent ici.

]]> Confondues

]]> Des droites confondues ont tous leurs points en commun, pas aucun.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q23 : Coordonnées d'un vecteur de l'espace On donne $A(1\,;\,-2\,;\,3)$ et $B(4\,;\,0\,;\,-1)$.
Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

]]> Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent par différence,
exactement comme dans le plan, avec une troisième coordonnée en plus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,2\,;\,-4)$

]]> Bonne réponse : on retranche les coordonnées de $A$ à celles de $B$,
coordonnée par coordonnée.

]]> $(-3\,;\,-2\,;\,4)$

]]> Sens inversé : ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$.

]]> $(5\,;\,-2\,;\,2)$

]]> Coordonnées additionnées : la soustraction est nécessaire pour obtenir
un déplacement.

]]> $(4\,;\,0\,;\,-1)$

]]> Coordonnées de $B$ recopiées : elles ne donnent le vecteur que si $A$
est l'origine.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q24 : Décomposer $\overrightarrow{AM}$ sur deux vecteurs d'un plan Dans un repère de l'espace, on donne $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$, $B(2\ ;\ 1\ ;\ 2)$, $C(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ et $M(3\ ;\ 6\ ;\ 4)$. Pour quels réels $a$ et $b$ a-t-on $\overrightarrow{AM} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}$ ?

]]> On calcule les coordonnées des vecteurs, puis on traduit l'égalité vectorielle coordonnée par coordonnée : $a = 2$, $a + 2b = 6$ et $b = 2$. Deux équations fixent $a$ et $b$, la troisième sert de vérification ; si elle échouait, $M$ ne serait pas dans le plan $(ABC)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a = 2$ et $b = 2$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(1\ ;\ 1\ ;\ 0)$, $\overrightarrow{AC}(0\ ;\ 2\ ;\ 1)$ et $\overrightarrow{AM}(2\ ;\ 6\ ;\ 2)$. Le système $a = 2$, $a + 2b = 6$, $b = 2$ est vérifié : $M$ appartient au plan $(ABC)$.

]]> $a = 2$ et $b = 4$

]]> Le coefficient $2$ de la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{AC}$ a été oublié : l'équation est $a + 2b = 6$, et $b = 4$ donnerait $2 + 8 = 10$.

]]> $a = 3$ et $b = 4$

]]> Ce sont les coordonnées du point $M$ qui ont servi, au lieu de celles du vecteur $\overrightarrow{AM}(2\ ;\ 6\ ;\ 2)$ ; la deuxième coordonnée donnerait d'ailleurs $3 + 8 = 11$, et non $6$.

]]> Aucun couple : $M$ n'est pas dans le plan $(ABC)$

]]> Le système des trois coordonnées est compatible : $a = 2$ et $b = 2$ vérifient les trois équations, donc $M$ appartient au plan $(ABC)$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q25 : Trois vecteurs coplanaires Que signifie que trois vecteurs de l'espace sont coplanaires ?

]]> Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils admettent des représentants dans
un même plan, ce qui revient à pouvoir exprimer l'un comme combinaison des
deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'un s'écrit à l'aide des deux autres

]]> Bonne réponse : la coplanarité équivaut à l'existence d'une
décomposition $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.

]]> Ils ont tous la même direction

]]> C'est la colinéarité, une condition bien plus forte.

]]> Ils ont tous la même norme

]]> La longueur n'intervient pas : la coplanarité est une question de
direction.

]]> Leur somme est le vecteur nul

]]> Une somme nulle entraîne la coplanarité, mais l'inverse est faux :
$\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ n'a aucune raison d'être nulle.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q26 : Ce que fixe une base de l'espace Combien de vecteurs une base de l'espace comporte-t-elle ?

]]> Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout
vecteur s'y décompose alors d'une seule manière, ce qui définit ses
coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois, non coplanaires

]]> Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires permettent d'écrire tout
vecteur de façon unique.

]]> Deux, non colinéaires

]]> Deux vecteurs engendrent seulement un plan.

]]> Trois, deux à deux orthogonaux

]]> L'orthogonalité caractérise une base orthogonale, cas particulier
commode mais non obligatoire.

]]> Quatre, pour couvrir l'espace

]]> Un quatrième vecteur serait nécessairement combinaison des trois
premiers, donc redondant.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q27 : Chercher l'intersection de deux droites Pour déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes, que
fait-on ?

]]> Deux droites de l'espace sont sécantes si le système formé par leurs
représentations paramétriques admet une solution. Un système sans solution
avec des directions non colinéaires signale des droites non coplanaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On résout le système formé par leurs équations

]]> Bonne réponse : on cherche des valeurs des deux paramètres donnant le
même point, le système pouvant être incompatible.

]]> On vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

]]> Des directions colinéaires signalent au contraire des droites
parallèles ou confondues.

]]> On calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs

]]> Ce calcul renseigne sur l'angle, pas sur l'existence d'un point
commun.

]]> On compare leurs points de départ

]]> Ces points sont arbitraires : une même droite admet une infinité de
représentations paramétriques.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q28 : Chasles avec trois points de l'espace À quoi la somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CA}$ est-elle égale ?

]]> La relation de Chasles vaut dans l'espace comme dans le plan. Un circuit
fermé correspond toujours à un déplacement total nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au vecteur nul

]]> Bonne réponse : le parcours revient à son point de départ, donc le
déplacement total est nul.

]]> À $\overrightarrow{AC}$

]]> Ce serait la somme des deux premiers termes seulement ; le troisième
ramène en $A$.

]]> À $2\overrightarrow{AB}$

]]> Aucun facteur ne se dégage : la relation de Chasles enchaîne les
déplacements, elle ne les double pas.

]]> À $\overrightarrow{BA}$

]]> La somme des deux premiers termes vaut $\overrightarrow{AC}$, dont
l'opposé est $\overrightarrow{CA}$, d'où un total nul.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q29 : Milieu dans l'espace Quelles sont les coordonnées du milieu de $[AB]$, avec
$A(2\,;\,-1\,;\,5)$ et $B(0\,;\,3\,;\,-1)$ ?

]]> La formule du milieu se généralise directement à l'espace : chaque
coordonnée du milieu est la demi-somme des coordonnées correspondantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1\,;\,1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : on prend la demi-somme des coordonnées, coordonnée par
coordonnée.

]]> $(2\,;\,2\,;\,4)$

]]> Division oubliée : ce sont les sommes des coordonnées, à partager
encore en deux.

]]> $(-1\,;\,2\,;\,-3)$

]]> Demi-différence calculée : cette opération donne la moitié de
$\overrightarrow{AB}$, pas le milieu.

]]> $(1\,;\,-2\,;\,3)$

]]> Signes mal reportés : la deuxième coordonnée du milieu vaut
$\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q30 : Une droite et un plan Quelles sont les positions relatives possibles d'une droite et d'un
plan de l'espace ?

]]> Une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles, ce
dernier cas se subdivisant selon que la droite est incluse dans le plan ou
non.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Incluse, parallèle stricte ou sécante en un point

]]> Bonne réponse : hors du cas d'inclusion, l'intersection est soit vide,
soit réduite à un point.

]]> Parallèle ou sécante suivant une droite

]]> Une intersection suivant une droite entière signifierait que la droite
est incluse dans le plan.

]]> Toujours sécante en un point

]]> Une droite parallèle au plan et hors de lui n'a aucun point commun
avec lui.

]]> Incluse ou sécante en deux points

]]> Deux points communs suffisent à entraîner l'inclusion de toute la
droite dans le plan.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q31 : Un autre vecteur directeur Une droite $d$ a pour vecteur directeur
$\vec{u}(2\,;\,-3\,;\,5)$. Lequel de ces vecteurs dirige
lui aussi la droite $d$ ?

]]> Tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ dirige la même
droite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois
coordonnées sont multipliées par un seul et même réel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-4\,;\,6\,;\,-10)$

]]> Bonne réponse : ce vecteur vaut $-2\,\vec{u}$, il est donc
colinéaire à $\vec{u}$ et dirige la même droite.

]]> $(2\,;\,-3\,;\,-5)$

]]> Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de
proportionnalité doit être le même pour les trois, sinon
la direction change.

]]> $(-3\,;\,2\,;\,5)$

]]> Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un
vecteur d'une autre direction, sauf cas particulier.

]]> $(3\,;\,-2\,;\,6)$

]]> Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité
demande $\vec{v} = k\vec{u}$, pas une même quantité
ajoutée partout.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q32 : Coordonnées d'un vecteur du cube Dans le cube $ABCDEFGH$, la face $EFGH$ surmonte la face
$ABCD$ : $E$ est au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$
au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$. Dans le repère
$\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$,
quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{BH}$ ?

]]> Les sommets du cube ont pour coordonnées les triplets de $0$
et de $1$. On lit celles du départ et de l'arrivée, puis on
soustrait : $\overrightarrow{BH} = H - B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-1\,;\,1\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : $B(1\,;\,0\,;\,0)$ et $H(0\,;\,1\,;\,1)$,
donc $\overrightarrow{BH}$ a pour coordonnées
$(0-1\,;\,1-0\,;\,1-0)$.

]]> $(1\,;\,1\,;\,1)$

]]> Ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AG}$, la grande
diagonale partant de $A$. En partant de $B$, il faut
d'abord revenir en arrière.

]]> $(1\,;\,-1\,;\,-1)$

]]> Sens inversé : ce vecteur est $\overrightarrow{HB}$. Le
calcul se fait dans l'ordre arrivée moins départ.

]]> $(0\,;\,1\,;\,1)$

]]> Coordonnées du point $H$ recopiées : elles ne donnent le
vecteur que si l'origine du vecteur est $A$, ce qui n'est
pas le cas ici.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q33 : Compléter un parallélogramme On donne $A(1\,;\,2\,;\,-1)$,
$B(3\,;\,0\,;\,2)$ et $C(4\,;\,1\,;\,5)$.
Quelles sont les coordonnées du point $D$ tel que
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ ?

]]> Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :
$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de
même pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est
alors un parallélogramme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées
$(1\,;\,1\,;\,3)$, que l'on ajoute à celles
de $A$ pour obtenir $D$.

]]> $(1\,;\,1\,;\,3)$

]]> Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur
$\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du
point $A$.

]]> $(0\,;\,1\,;\,-4)$

]]> Rôles échangés : ce point vérifie
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire
l'égalité écrite dans l'autre sens.

]]> $(6\,;\,-1\,;\,8)$

]]> Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q34 : Une cote qui rend trois points alignés Soient $A(1\,;\,2\,;\,-1)$,
$B(3\,;\,1\,;\,2)$ et $C(7\,;\,-1\,;\,m)$. Pour
quelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils
alignés ?

]]> Trois points sont alignés lorsque $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le
coefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à
celle que l'on cherche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 8$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$(2\,;\,-1\,;\,3)$ et la première coordonnée de
$\overrightarrow{AC}$ impose
$\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$, d'où la
troisième.

]]> $m = 2$

]]> Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont
aucune raison de partager leur troisième coordonnée.

]]> $m = -10$

]]> Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient
en ajoutant $3$ fois la troisième coordonnée de
$\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$.

]]> $m = 6$

]]> Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la
troisième coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas
la cote du point $B$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q35 : Reconnaître un point d'une droite La droite $d$ admet pour représentation paramétrique
$x = 1 + 2t$, $y = 4 - 3t$ et
$z = -2 + 5t$, où $t$ décrit $\mathbb{R}$. Lequel de ces
points appartient à $d$ ?

]]> Un point appartient à la droite s'il existe une seule
valeur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.
On la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux
autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(7\,;\,-5\,;\,13)$

]]> Bonne réponse : la valeur $t = 3$ convient pour les
trois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure.

]]> $(7\,;\,-5\,;\,-17)$

]]> Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées
donnent $t = 3$, et cette valeur ne convient pas pour
la troisième.

]]> $(4\,;\,7\,;\,1)$

]]> Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,
chaque coordonnée varie à son propre rythme.

]]> $(6\,;\,-9\,;\,15)$

]]> Termes constants oubliés : ils fixent le point de la
droite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque
coordonnée.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q36 : Un système sans solution Deux droites de l'espace ont des vecteurs directeurs non
colinéaires, et le système formé par leurs représentations
paramétriques n'admet aucune solution. Que peut-on conclure ?

]]> Méthode en deux temps : comparer les vecteurs directeurs
(colinéaires ou non), puis résoudre le système. Directions
différentes et système sans solution signent des droites non
coplanaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les droites ne sont pas coplanaires

]]> Bonne réponse : directions différentes et aucun point
commun, il ne reste que ce cas, propre à l'espace.

]]> Les droites sont strictement parallèles

]]> Erreur : des droites parallèles ont des vecteurs
directeurs colinéaires, ce que l'énoncé exclut
explicitement.

]]> Les droites sont sécantes en un point

]]> Erreur : un point commun se traduirait précisément par une
solution du système, alors qu'il n'en a aucune.

]]> Les droites sont confondues

]]> Erreur : des droites confondues partagent tous leurs
points, et le système aurait alors une infinité de
solutions.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q37 : Caractériser les points d'une droite Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur
non nul $\vec{u}$. Quelle égalité caractérise l'appartenance
d'un point $M$ à $d$ ?

]]> $M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$
pour un réel $t$. Écrite coordonnée par coordonnée, cette
égalité donne exactement la représentation paramétrique de la
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, avec $t$ réel

]]> Bonne réponse : les points de $d$ sont exactement ceux
dont le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à
$\vec{u}$.

]]> $\overrightarrow{AM} = \vec{u}$ exactement

]]> Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul point
de la droite. Le coefficient doit rester libre.

]]> $\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$, avec $a$ et $b$ réels

]]> Objet plus grand : deux directions indépendantes
décrivent un plan, pas une droite.

]]> $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ ont la même norme

]]> Erreur : la norme mesure une longueur, elle ne dit rien de
la direction. Deux vecteurs de même norme peuvent pointer
n'importe où.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q38 : Construire un symétrique On donne $A(1\,;\,-2\,;\,4)$ et
$B(3\,;\,0\,;\,1)$. Quelles sont les coordonnées du
symétrique de $A$ par rapport à $B$ ?

]]> Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel
que $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie
donc $x_B = \dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit
$x_{A'} = 2x_B - x_A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,2\,;\,-2)$

]]> Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie
$\overrightarrow{AA'} = 2\,\overrightarrow{AB}$, ou encore
$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne
$x_{A'} = 2x_B - x_A$.

]]> $(-1\,;\,-4\,;\,7)$

]]> Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par
rapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est
doublé.

]]> $(4\,;\,-2\,;\,5)$

]]> Somme des coordonnées : elle donnerait le double du
milieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien
au-delà de $B$.

]]> $(2\,;\,2\,;\,-3)$

]]> Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles
de $\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir
de $B$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q39 : Rendre trois vecteurs coplanaires Les vecteurs $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$ et
$\vec{v}(2\,;\,-1\,;\,5)$ ne sont pas colinéaires.
Pour quelle valeur de $m$ le vecteur
$\vec{w}(8\,;\,1\,;\,m)$ est-il coplanaire avec
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

]]> $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non
colinéaires lorsque $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. Deux
coordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit
alors la valeur cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 13$

]]> Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent
$\vec{w} = 2\,\vec{u} + 3\,\vec{v}$, et la
troisième s'en déduit.

]]> $m = -17$

]]> Signe du second coefficient inversé : il vaut $3$ pour
les trois coordonnées, pas seulement pour les deux
premières.

]]> $m = -2$

]]> Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir
$\vec{u}$ et $\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes
coordonnées.

]]> $m = 4$

]]> Coefficients oubliés : la somme $\vec{u} + \vec{v}$ n'est
qu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle
que les deux premières coordonnées imposent.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q40 : Parallèles à un même plan Deux droites de l'espace sont parallèles à un même plan.
Sont-elles nécessairement parallèles entre elles ?

]]> Être parallèle à un plan signifie avoir une direction
contenue dans celle du plan, et un plan contient une infinité
de directions. La propriété ne transmet donc pas le
parallélisme d'une droite à l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : leurs directions peuvent différer

]]> Bonne réponse : dans un plafond, deux tracés de directions
différentes donnent deux droites parallèles au sol sans
l'être entre elles.

]]> Oui : elles ont alors la même direction que le plan

]]> Erreur : un plan n'a pas une direction unique, il en
contient une infinité. Les deux droites peuvent en suivre
deux différentes.

]]> Oui, à condition qu'elles soient coplanaires

]]> Erreur : deux droites coplanaires peuvent parfaitement
être sécantes, tout en restant parallèles au plan de
départ.

]]> Non : elles sont alors sécantes

]]> Trop catégorique : elles peuvent aussi être parallèles ou
non coplanaires. Aucune conclusion certaine ne se dégage.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q41 : Combinaison linéaire de deux vecteurs Soient $\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,3)$ et
$\vec{v}(2\,;\,0\,;\,-1)$. Quelles sont les
coordonnées du vecteur $2\vec{u} - 3\vec{v}$ ?

]]> Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par
coordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois
coordonnées, additionner deux vecteurs additionne les
coordonnées de même rang.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-4\,;\,-4\,;\,9)$

]]> Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de
$\vec{u}$ par $2$, chacune de $\vec{v}$ par $-3$, puis
on ajoute coordonnée par coordonnée.

]]> $(8\,;\,-4\,;\,3)$

]]> Signe du second coefficient perdu : il vaut $-3$, et ce
signe se reporte sur les trois coordonnées de $\vec{v}$.

]]> $(6\,;\,-4\,;\,4)$

]]> Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a
le sien, $2$ pour $\vec{u}$ et $-3$ pour $\vec{v}$.

]]> $(1\,;\,6\,;\,-11)$

]]> Coefficients échangés : $2$ porte sur $\vec{u}$, le
premier vecteur écrit, et $-3$ sur $\vec{v}$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q42 : Une différence de deux vecteurs Pour trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace, que vaut
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ ?

]]> Réflexe : remplacer une soustraction par l'opposé, puis
appliquer Chasles.
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CB}$ : l'origine commune $A$ disparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\overrightarrow{CB}$

]]> Bonne réponse :
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CB}$, en remplaçant
$-\overrightarrow{AC}$ par $\overrightarrow{CA}$.

]]> $\overrightarrow{BC}$

]]> Sens inversé : le trajet obtenu part de $C$ pour arriver
en $B$, et non l'inverse.

]]> $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$

]]> Signes permutés : c'est
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ qui vaut cette
somme, soit l'opposé du résultat cherché.

]]> $\overrightarrow{AA}$, soit le vecteur nul

]]> Erreur : la différence ne s'annule que si $B$ et $C$ sont
confondus. Soustraire deux vecteurs n'efface pas leur
origine commune.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q43 : Écrire un vecteur dans une base Dans une base $(\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})$ de
l'espace, le vecteur $\vec{w}$ a pour coordonnées
$(3\,;\,-2\,;\,5)$. Comment $\vec{w}$ se décompose-t-il ?

]]> Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique
$x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Les coordonnées et les
coefficients de cette écriture sont deux façons de dire la
même chose.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3\vec{i} - 2\vec{j} + 5\vec{k}$

]]> Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de
la décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la
base.

]]> $3\vec{i} + 5\vec{j} - 2\vec{k}$

]]> Deux derniers coefficients permutés : le deuxième
accompagne $\vec{j}$, le troisième $\vec{k}$.

]]> $-2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$

]]> Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet
suit celui des vecteurs de la base, sans décalage.

]]> $3\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$

]]> Signes effacés : une coordonnée négative reste négative
dans la décomposition, elle indique un sens opposé au
vecteur de base.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q44 : Le point commun à deux droites Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - 3t$,
$z = 3 + 4t$ et $d'$ : $x = 2 + 3s$,
$y = -6 + 2s$, $z = 16 - 5s$ sont sécantes.
Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?

]]> On égale les deux représentations, ce qui donne trois
équations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations
déterminent le couple, la troisième le valide, puis on
remplace dans l'une des deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,-4\,;\,11)$

]]> Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 2$ sur $d$
et pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées
coïncidant.

]]> $(2\,;\,-6\,;\,16)$

]]> Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et
n'appartient pas à $d$. Le système impose une autre
valeur.

]]> $(1\,;\,2\,;\,3)$

]]> Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et
n'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à
déterminer.

]]> $(8\,;\,-2\,;\,6)$

]]> Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien
sur $d'$, mais il n'est plus sur $d$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q45 : Deux diagonales de faces Dans le cube $ABCDEFGH$ dont la face $EFGH$ surmonte la face
$ABCD$ ($E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$
au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la
position relative des droites $(AC)$ et $(EG)$ ?

]]> Deux droites de même direction sont parallèles ; elles sont
confondues si elles ont en plus un point commun. Ici
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EG}$ et les faces sont
distinctes, donc le parallélisme est strict.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement parallèles

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EG}$
car $ACGE$ est un rectangle, et les deux droites sont
distinctes.

]]> Sécantes au centre du cube

]]> Erreur : le centre du cube est le milieu de $[AG]$, il
n'appartient ni à $(AC)$ ni à $(EG)$, qui vivent sur deux
faces opposées.

]]> Non coplanaires

]]> Erreur : les quatre points $A$, $C$, $G$ et $E$ sont dans
un même plan, celui de la section diagonale du cube.

]]> Confondues, car $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EG}$

]]> Erreur : l'égalité des vecteurs donne le parallélisme,
mais les droites portent des points distincts, sur deux
faces opposées.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q46 : Coordonnées d'un vecteur à partir de deux points Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(4 ; 0 ; 5)$. Quelles sont les
coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

]]> Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3 ; -2 ; 2)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.

]]> $(-3 ; 2 ; -2)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ ;
l'ordre est arrivée moins départ.

]]> $(5 ; 2 ; 8)$

]]> Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.

]]> $(4 ; 0 ; 5)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q47 : Milieu d'un segment dans l'espace Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 6 ; 5)$. Quelles sont les
coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?

]]> Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \dfrac{y_A + y_B}{2}
; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2 ; 4 ; 4)$

]]> Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des
coordonnées de $A$ et de $B$.

]]> $(4 ; 8 ; 8)$

]]> Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.

]]> $(2 ; 4 ; 2)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, pas
du milieu.

]]> $(1 ; 2 ; 1)$

]]> Erreur : la moitié de $\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;
il faut partir de $A$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q48 : Coordonnées d'une combinaison de deux vecteurs Soit $\vec{u}(1 ; 0 ; 2)$ et $\vec{v}(3 ; -1 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées
de $2\vec{u} - \vec{v}$ ?

]]> Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par
coordonnée : $2\vec{u} - \vec{v}$ a pour coordonnées
$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-1 ; 1 ; 3)$

]]> Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\vec{u}$ puis
on soustrait celle de $\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.

]]> $(5 ; -1 ; 5)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées de $2\vec{u} + \vec{v}$.

]]> $(-2 ; 1 ; 1)$

]]> Erreur : ce sont celles de $\vec{u} - \vec{v}$ ; le facteur $2$
a été oublié.

]]> $(2 ; -1 ; 3)$

]]> Erreur : ce sont les coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$.

]]> Vecteurs, droites et plans de l'espace — Q49 : Un point sur une droite donnée par une représentation paramétrique La droite $d$ a pour représentation paramétrique
$x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$, avec $t \in \mathbb{R}$.
Le point $M(3 ; 0 ; 7)$ appartient-il à $d$ ?

]]> Un point appartient à la droite si une même valeur du paramètre
redonne ses trois coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, pour $t = 2$ les trois égalités sont vérifiées

]]> Bonne réponse : $x = 3$ impose $t = 2$, qui donne $y = 0$ et
$z = 7$ ; on compare avec la cote de $M$.

]]> Non, la cote $7$ ne convenant pas

]]> Erreur : il faut qu'une même valeur de $t$ vérifie les
trois égalités.

]]> Oui, tout point dont l'abscisse est $3$ appartient à $d$

]]> Erreur : une droite ne contient qu'un seul point d'abscisse
donnée quand $x$ varie avec $t$.

]]> On ne peut pas savoir sans une équation cartésienne

]]> Erreur : la représentation paramétrique suffit, en cherchant
$t$.

]]>