$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Arithmétique et racine carrée Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers et
décomposition en facteurs premiers. Racine carrée d'un nombre positif,
encadrement et problèmes.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q01 : Reconnaître un multiple Lequel de ces nombres est un multiple de 7 ?

]]> Un nombre entier est un multiple de 7 s'il s'écrit 7 × n avec n entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par 7 est nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 91

]]> Bonne réponse : 91 = 7 × 13.

]]> 94

]]> 94 = 7 × 13 + 3 : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de 7.

]]> 73

]]> 73 = 7 × 10 + 3 : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de 7.

]]> 87

]]> 87 = 7 × 12 + 3 : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de 7.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q02 : Sens du mot diviseur Soit a et b deux nombres entiers, a non nul. Que signifie « a est un diviseur de b » ?

]]> Les phrases « a divise b », « a est un diviseur de b » et « b est un multiple de a » ont le même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le reste de la division euclidienne de b par a est nul

]]> Bonne réponse : b = a × q avec q entier. Par exemple, 6 est un diviseur de 42 car 42 = 6 × 7.

]]> Le quotient de b par a est un nombre décimal

]]> Le quotient doit être entier : 7 \div 4 = 1{,}75 est décimal, et pourtant 4 ne divise pas 7.

]]> Le nombre a est plus grand que le nombre b

]]> C'est presque l'inverse : un diviseur non nul d'un entier positif b est inférieur ou égal à b.

]]> Le reste de la division euclidienne de a par b est nul

]]> Le sens est inversé : c'est b que l'on divise par a. Par exemple, 6 divise 42, mais 6 ÷ 42 ne tombe pas juste.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q03 : Critère de divisibilité par 3 Lequel de ces nombres est divisible par 3 ?

]]> Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4523

]]> La somme de ses chiffres vaut 14, qui n'est pas un multiple de 3.

]]> 2153

]]> La somme de ses chiffres vaut 11, qui n'est pas un multiple de 3.

]]> 4521

]]> Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut 12, qui est un multiple de 3.

]]> 5212

]]> La somme de ses chiffres vaut 10, qui n'est pas un multiple de 3.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q04 : Critère de divisibilité par 9 Lequel de ces nombres est divisible par 9 ?

]]> Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Tout nombre divisible par 9 l'est aussi par 3, mais pas l'inverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3456

]]> Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut 18, qui est un multiple de 9.

]]> 5640

]]> La somme de ses chiffres vaut 15 : c'est un multiple de 3, mais pas de 9. Le nombre est divisible par 3 seulement.

]]> 3453

]]> La somme de ses chiffres vaut 15 : c'est un multiple de 3, mais pas de 9. Le nombre est divisible par 3 seulement.

]]> 1230

]]> La somme de ses chiffres vaut 6 : c'est un multiple de 3, mais pas de 9. Le nombre est divisible par 3 seulement.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q05 : Divisible par 2 et par 5 Lequel de ces nombres est divisible à la fois par 2 et par 5 ?

]]> Divisible par 2 : dernier chiffre pair. Divisible par 5 : dernier chiffre 0 ou 5. Les deux à la fois : dernier chiffre 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4375

]]> Il se termine par 5 : divisible par 5, mais impair, donc pas divisible par 2.

]]> 4372

]]> Il se termine par 2 : divisible par 2, mais pas par 5, car il ne se termine ni par 0 ni par 5.

]]> 4357

]]> Il se termine par 7 : il est impair, et pas divisible par 5 non plus.

]]> 4370

]]> Bonne réponse : il se termine par 0, donc il est divisible par 2 et par 5, c'est-à-dire par 10.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q06 : Reste d'une division euclidienne Dans la division euclidienne de 89 par 6, quel est le reste ?

]]> Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est écrire a = b × q + r avec q et r entiers et 0 ≤ r < b.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : 89 = 6 × 14 + 5, et 5 < 6.

]]> 14

]]> C'est le quotient : 89 = 6 × 14 + 5. Le reste est ce qui manque à 84 pour atteindre 89, soit 5.

]]> 84

]]> C'est le plus grand multiple de 6 inférieur à 89. Le reste vaut 89 - 84 = 5.

]]> 1

]]> C'est ce qu'il faudrait ajouter à 89 pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut 89 - 84 = 5.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q07 : Nombre de diviseurs Combien le nombre 12 a-t-il de diviseurs ?

]]> On cherche les diviseurs par paires : si d divise 12, alors 12/d aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 diviseurs

]]> Un nombre a été compté en trop. La liste complète est 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

]]> 6 diviseurs

]]> Bonne réponse : les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

]]> 5 diviseurs

]]> Un diviseur manque. La liste complète est 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

]]> 4 diviseurs

]]> 1 et 12 ont été oubliés : ils divisent 12. La liste complète est 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q08 : Un intrus parmi des diviseurs Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de 60 ?

]]> Pour savoir si d divise n, on effectue la division euclidienne de n par d et on regarde si le reste est nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : 60 = 8 × 7 + 4, le reste n'est pas nul.

]]> 15

]]> 60 = 15 × 4 : 15 est bien un diviseur de 60.

]]> 12

]]> 60 = 12 × 5 : 12 est bien un diviseur de 60.

]]> 4

]]> 60 = 4 × 15 : 4 est bien un diviseur de 60.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q09 : Deux bus qui repartent ensemble Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les 12 minutes, le second toutes les 18 minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?

]]> Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de 12, ceux du second aux multiples de 18. On cherche le plus petit multiple commun non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30 minutes

]]> Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : 30 n'est pas un multiple de 12.

]]> 6 minutes

]]> 6 est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant 12 minutes.

]]> 216 minutes

]]> 216 est bien un multiple commun de 12 et 18, mais pas le plus petit : 36 convient déjà.

]]> 36 minutes

]]> Bonne réponse : 36 est le plus petit multiple commun non nul de 12 et de 18.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q10 : Composer des sachets identiques Un confiseur dispose de 84 caramels et de 60 chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?

]]> Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors 7 caramels et 5 chocolats.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 sachets

]]> 6 divise bien 84 et 60, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : 12 convient aussi.

]]> 24 sachets

]]> La différence 84 - 60 ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est 12.

]]> 420 sachets

]]> 420 est un multiple commun de 84 et 60, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet.

]]> 12 sachets

]]> Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser 84 et 60 ; le plus grand diviseur commun est 12.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q11 : Expression toujours paire Pour tout nombre entier n, lequel de ces nombres est toujours pair ?

]]> Un nombre pair s'écrit 2k avec k entier, un nombre impair 2k + 1. Pour montrer qu'une expression est paire, on factorise par 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2n + 1

]]> 2n + 1 est le successeur d'un nombre pair : il est toujours impair.

]]> 3n

]]> Pour n = 1, on obtient 3, qui est impair.

]]> n + 2

]]> Pour n = 3, on obtient 5, qui est impair.

]]> 2n + 4

]]> Bonne réponse : 2n + 4 = 2(n + 2) est le double d'un entier.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q12 : Somme de deux impairs consécutifs Deux nombres impairs consécutifs s'écrivent 2n + 1 et 2n + 3, avec n entier. Que peut-on dire de leur somme ?

]]> Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tous les entiers à la fois, ce que des exemples ne font pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est paire ou impaire selon n

]]> Quel que soit n, la somme vaut 4(n + 1) : elle est toujours paire.

]]> Elle est toujours un multiple de 3

]]> Pour n = 0, la somme vaut 1 + 3 = 4, qui n'est pas un multiple de 3.

]]> Elle est toujours un nombre impair

]]> La somme de deux impairs est paire : 4n + 4 = 2(2n + 2).

]]> Elle est toujours un multiple de 4

]]> Bonne réponse : (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1).

]]> Arithmétique et racine carrée — Q13 : Chiffre manquant pour un multiple de 9 On écrit un nombre à trois chiffres : 4 pour les centaines, 3 pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de 9 ?

]]> Le nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici 4 + 3 = 7 : il manque 2 pour atteindre le multiple de 9 suivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : 4 + 2 + 3 = 9, multiple de 9.

]]> 5

]]> 4 + 5 + 3 = 12 : c'est un multiple de 3, pas de 9.

]]> 8

]]> 4 + 8 + 3 = 15 : c'est un multiple de 3, pas de 9.

]]> 3

]]> 4 + 3 + 3 = 10 n'est pas un multiple de 9. La somme des chiffres doit valoir 9 ou 18.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q14 : Compter des multiples Combien y a-t-il de multiples de 7 compris entre 1 et 100 ?

]]> Les multiples de 7 entre 1 et 100 sont 7 × n pour n allant de 1 au quotient de 100 par 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14

]]> Bonne réponse : 100 = 7 × 14 + 2, donc les multiples sont 7 × 1, 7 × 2, …, 7 × 14.

]]> 15

]]> 7 × 15 = 105 dépasse 100. Le dernier multiple est 7 × 14.

]]> 13

]]> Un multiple a été oublié : 7 × 14 = 98 est encore inférieur à 100.

]]> 2

]]> C'est le reste de la division de 100 par 7. Le nombre de multiples est le quotient, 14.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q15 : Diviseur commun à deux nombres Lequel de ces nombres est un diviseur commun à 36 et à 48 ?

]]> Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> 9 ne divise pas les deux nombres : les restes valent 0 pour 36 et 3 pour 48.

]]> 8

]]> 8 ne divise pas les deux nombres : les restes valent 4 pour 36 et 0 pour 48.

]]> 12

]]> Bonne réponse : 36 = 12 × 3 et 48 = 12 × 4.

]]> 24

]]> 24 ne divise pas les deux nombres : les restes valent 12 pour 36 et 0 pour 48.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q16 : Définition d'un nombre premier Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

]]> Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Le seul nombre premier pair est 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un entier impair, c'est-à-dire non divisible par 2

]]> 9 est impair mais divisible par 3, il n'est pas premier ; et 2, pair, est premier.

]]> Un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même

]]> Bonne réponse : par exemple 7 n'a que 1 et 7 pour diviseurs. Le nombre 1, qui n'a qu'un diviseur, n'est pas premier.

]]> Un entier qui n'admet aucun diviseur, pas même le nombre 1

]]> Tout entier est divisible par 1 et par lui-même. Un nombre premier n'en a pas d'autre.

]]> Un entier qui n'est divisible que par lui-même

]]> Il est aussi divisible par 1. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q17 : Repérer un nombre premier Lequel de ces nombres est premier ?

]]> Pour un nombre inférieur à 121, il suffit de tester la divisibilité par 2, 3, 5 et 7 : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 39

]]> 39 = 3 × 13 : il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

]]> 37

]]> Bonne réponse : 37 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 ; il n'a que 1 et lui-même pour diviseurs.

]]> 51

]]> 51 = 3 × 17 : il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

]]> 57

]]> 57 = 3 × 19 : il a d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q18 : Affirmation vraie sur les nombres premiers Laquelle de ces affirmations est vraie ?

]]> Retenir les deux pièges : 1 n'est pas premier, et 2 est premier bien qu'il soit pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un nombre premier peut avoir trois diviseurs

]]> Un nombre premier a exactement deux diviseurs. 9, qui a pour diviseurs 1, 3 et 9, n'est pas premier.

]]> Le nombre 1 n'est pas un nombre premier

]]> Bonne réponse : 1 n'a qu'un seul diviseur, lui-même ; un nombre premier en a exactement deux.

]]> Tous les nombres impairs sont des nombres premiers

]]> 15 est impair et 15 = 3 × 5 : il n'est pas premier.

]]> Le nombre 2 n'est pas premier, car il est pair

]]> 2 a exactement deux diviseurs, 1 et 2 : il est premier. C'est le seul nombre premier pair.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q19 : Décomposition en facteurs premiers Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 60 ?

]]> On divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2² × 15

]]> Le produit vaut bien 60, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.

]]> 2 × 3 × 10

]]> Le produit vaut bien 60, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.

]]> 2² × 3 × 5

]]> Bonne réponse : ce produit vaut 60 et ses facteurs, 2, 3, 5 ou 7, sont tous premiers.

]]> 4 × 3 × 5

]]> Le produit vaut bien 60, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q20 : Nombres premiers inférieurs à 20 Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 20 ?

]]> On peut utiliser le crible d'Ératosthène : on barre 1, puis les multiples de 2, de 3, de 5… autres que ces nombres eux-mêmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Un nombre a été oublié, souvent 2, qui est premier bien que pair. La liste est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

]]> 8

]]> Bonne réponse : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

]]> 9

]]> Un nombre compté en trop, souvent 1, qui n'est pas premier, ou 9 = 3 × 3. Il y en a 8.

]]> 10

]]> Les nombres impairs inférieurs à 20 ne sont pas tous premiers : 9 et 15 ne le sont pas, et 1 non plus.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q21 : Plus petit diviseur premier Quel est le plus petit nombre premier qui divise 91 ?

]]> On teste les nombres premiers dans l'ordre, 2, 3, 5, 7, 11, 13… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : 91 = 7 × 13, et aucun nombre premier plus petit que 7 ne divise 91.

]]> Aucun, car 91 est premier

]]> 91 n'est pas premier : 91 = 7 × 13.

]]> 1

]]> 1 divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est 7.

]]> 13

]]> 13 divise bien 91, mais ce n'est pas le plus petit : 91 = 7 × 13.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q22 : Simplifier grâce aux décompositions On sait que 84 = 2² × 3 × 7 et 90 = 2 × 3² × 5. Quelle est la forme irréductible de 84/90 ?

]]> Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 42/45

]]> Cette fraction est égale à 84/90, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste.

]]> 14/15

]]> Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants.

]]> ⅔

]]> Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient 14/15.

]]> 7/15

]]> Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est 14/15.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q23 : Diviseur lu sur une décomposition Un nombre N a pour décomposition N = 2³ × 5 × 7. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de N ?

]]> Un nombre divise N lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de N : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14

]]> Tous les facteurs premiers de 14 figurent dans la décomposition de N, avec un exposant suffisant : 14 divise N.

]]> 35

]]> Tous les facteurs premiers de 35 figurent dans la décomposition de N, avec un exposant suffisant : 35 divise N.

]]> 25

]]> Bonne réponse : 25 demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de N.

]]> 40

]]> Tous les facteurs premiers de 40 figurent dans la décomposition de N, avec un exposant suffisant : 40 divise N.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q24 : Retrouver un nombre décomposé Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers 2³ × 3² × 5 ?

]]> Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : 2³ = 2×2×2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30

]]> Les exposants ont été oubliés : 2 × 3 × 5 = 30. Le nombre est 360.

]]> 180

]]> Les puissances ont été calculées comme des produits : 2³ vaut 8, pas 2 × 3.

]]> 360

]]> Bonne réponse : 2³ = 8 et 3² = 9, puis 8 × 9 × 5 = 360.

]]> 240

]]> 3² vaut 9, pas 3 × 2. Le nombre est 360.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q25 : Racine entière par la décomposition Le nombre N = 2⁴ × 3⁴ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?

]]> Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 36

]]> Bonne réponse : (2² × 3²)² = 2⁴ × 3⁴, et 2² × 3² = 36.

]]> 13

]]> Les puissances 2² et 3² ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, 36.

]]> 324

]]> Seul l'exposant de 2 a été divisé par 2 ; celui de 3 aussi doit l'être. On trouve 36.

]]> 144

]]> Seul l'exposant de 3 a été divisé par 2 ; celui de 2 aussi doit l'être. On trouve 36.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q26 : Pourquoi 2 est le seul premier pair Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair ?

]]> Un nombre pair n supérieur à 2 est divisible par 1, par 2 et par n : trois diviseurs distincts, donc il n'est pas premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les nombres pairs n'ont jamais de diviseur autre que 2

]]> Un nombre pair a toujours 1 et lui-même pour diviseurs, et souvent d'autres : 12 est divisible par 3.

]]> Parce que 2 est le plus petit des nombres entiers non nuls

]]> Le plus petit entier non nul est 1, qui n'est pas premier. Ce n'est pas la raison.

]]> Tout autre nombre pair a au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même

]]> Bonne réponse : par exemple 6 est divisible par 1, 2, 3 et 6 ; un nombre pair autre que 2 n'est donc jamais premier.

]]> Les nombres pairs supérieurs à 2 sont tous des multiples de 4

]]> 6 et 10 sont pairs sans être multiples de 4. Ce qui compte, c'est qu'ils soient divisibles par 2.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q27 : Plus grand diviseur commun par les décompositions On donne a = 2² × 3 × 5 et b = 2 × 3² × 7. Quel est le plus grand diviseur commun de a et b ?

]]> Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants.

]]> 1260

]]> C'est un multiple commun de a et b, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant.

]]> 3

]]> C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible.

]]> 2

]]> C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q28 : Diviseurs premiers d'un nombre Quels sont les diviseurs premiers de 12 ?

]]> Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2, 3, 4 et 6

]]> Ce sont des diviseurs de 12, mais certains ne sont pas premiers. Seuls 2 et 3 le sont.

]]> 1, 2 et 3

]]> 1 divise 12, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont 2 et 3.

]]> 2, 2 et 3

]]> C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont 2 et 3.

]]> 2 et 3

]]> Bonne réponse : 2 et 3 divisent 12 et sont premiers ; les autres diviseurs de 12 ne sont pas premiers.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q29 : Un nombre premier plus grand que 2 Un nombre premier supérieur à 2 est forcément :

]]> À part 2, tous les nombres premiers sont impairs. L'inverse est faux : 9 est impair sans être premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc inférieur à 100

]]> Il existe une infinité de nombres premiers, par exemple 101 ou 103.

]]> impair

]]> Bonne réponse : s'il était pair, il serait divisible par 2, en plus de 1 et de lui-même.

]]> pair

]]> Un nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2 : il n'est pas premier.

]]> multiple de 3

]]> 5 et 7 sont premiers sans être multiples de 3 ; seul 3 est un premier multiple de 3.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q30 : Décomposition d'un produit On donne a = 2³ × 3 et b = 2 × 3² × 5. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de a × b ?

]]> Le produit de deux nombres réunit leurs facteurs : 2³ × 2 = 2⁴ et 3 × 3² = 3³.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁴ × 3³

]]> Le facteur 5, présent dans b, a été oublié.

]]> 2³ × 3²

]]> Les exposants ne sont pas ajoutés, et le facteur 5 de b a été oublié.

]]> 2⁴ × 3³ × 5

]]> Bonne réponse : on ajoute les exposants de chaque facteur, 2^{3 + 1} et 3^{1 + 2}, et on garde le facteur 5.

]]> 2³ × 3² × 5

]]> On a gardé le plus grand exposant de chaque facteur : on multiplie les puissances, donc on ajoute les exposants.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q31 : Racine carrée d'un carré parfait Que vaut √49 ?

]]> La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. Connaître les carrés de 1 à 12 permet de reconnaître les carrés parfaits.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24{,}5

]]> Prendre la racine carrée n'est pas diviser par 2 : on cherche le nombre positif dont le carré vaut 49, c'est 7.

]]> 7

]]> Bonne réponse : 7 × 7 = 49 et 7 est positif.

]]> 2401

]]> C'est le carré de 49. La racine carrée fait l'opération inverse : √49 = 7.

]]> 14

]]> 14 × 14 = 196, pas 49. On trouve 7, car 7² = 49.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q32 : Définition de la racine carrée Pour un nombre positif a, qu'est-ce que √a ?

]]> √a n'existe que pour a positif ou nul, et c'est toujours un nombre positif ou nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre positif dont le double vaut a

]]> C'est la moitié de a. La racine carrée est liée au carré : √25 = 5, pas 12{,}5.

]]> Le nombre égal au carré du nombre a

]]> C'est l'opération inverse : le carré de 25 vaut 625, alors que √25 = 5.

]]> Le nombre négatif dont le carré vaut a

]]> (-5)² = 25 aussi, mais la racine carrée est par définition le nombre positif : √25 = 5.

]]> Le nombre positif dont le carré vaut a

]]> Bonne réponse : par exemple √25 = 5, car 5 est positif et 5² = 25.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q33 : Encadrer une racine carrée Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve √50 ?

]]> On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre 25 et 26

]]> Tu as pris la moitié de 50. On encadre 50 entre deux carrés : 49 < 50 < 64.

]]> Entre 49 et 64

]]> Ces nombres encadrent 50 lui-même. Leurs racines, 7 et 8, encadrent √50.

]]> Entre 6 et 7

]]> 7² = 49 est encore inférieur à 50, donc √50 dépasse 7. On encadre entre 7 et 8.

]]> Entre 7 et 8

]]> Bonne réponse : 7² = 49 et 8² = 64, or 49 < 50 < 64.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q34 : Racine carrée du carré d'un négatif Que vaut √(-5)² ?

]]> On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> C'est la valeur de (-5)² ; il reste à en prendre la racine carrée, 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : (-5)² = 25 et √25 = 5.

]]> Elle n'existe pas

]]> Le nombre sous la racine est (-5)² = 25, qui est positif : la racine existe et vaut 5.

]]> -5

]]> Une racine carrée n'est jamais négative : √25 = 5.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q35 : Somme de deux racines carrées Que vaut √9 + √16 ?

]]> Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, √a + √b et √a + b sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : √9 = 3 et √16 = 4, d'où 7.

]]> 5

]]> C'est √9 + 16 = √25. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

]]> 12{,}5

]]> Prendre la racine carrée n'est pas diviser par 2. On calcule chaque racine : 3 + 4 = 7.

]]> 25

]]> Les racines carrées ont été oubliées : √9 + √16 = 3 + 4.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q36 : Côté d'un carré d'aire donnée Un carré a une aire de 49 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

]]> L'aire d'un carré de côté c vaut c² ; le côté d'un carré d'aire A est donc √A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24{,}5 cm

]]> Diviser par 2 ne donne pas le côté : c² = 49, donc c = 7.

]]> 12{,}25 cm

]]> Diviser par 4 convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule √49 = 7.

]]> 28 cm

]]> C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut √49 = 7 cm.

]]> 7 cm

]]> Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté c vaut c², donc c = √49 = 7.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q37 : Équation x au carré égale à un nombre Quelles sont les solutions de l'équation x² = 7 ?

]]> Pour a strictement positif, l'équation x² = a a deux solutions opposées, -√a et √a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -49 et 49

]]> 49 est le carré de 7. On cherche les nombres dont le carré vaut 7 : -√7 et √7.

]]> √7 et √-7

]]> √-7 n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde
solution est -√7, car (-√7)² = 7.

]]> -3{,}5 et 3{,}5

]]> Tu as divisé par 2 : 3{,}5^2 = 12{,}25, pas 7. Les solutions sont -√7 et √7.

]]> -√7 et √7

]]> Bonne réponse : (√7)² = 7 et (-√7)² = 7 aussi.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q38 : Carré égal à un nombre négatif Combien de solutions l'équation x² = -16 a-t-elle ?

]]> L'équation x² = a a deux solutions si a > 0, une seule (0) si a = 0, et aucune si a < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une solution, -4

]]> (-4)² = (-4) × (-4) = 16 : le produit de deux négatifs est positif.

]]> Deux solutions, -4 et 4

]]> (-4)² = 16 et 4² = 16, pas -16 : un carré n'est jamais négatif.

]]> Une solution, √-16

]]> La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : aucun nombre n'a un carré négatif.

]]> Aucune solution

]]> Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir -16.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q39 : Racine carrée qui tombe juste Lequel de ces nombres est un nombre entier ?

]]> La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : 1, 4, 9, 16, 25, …

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √36

]]> Bonne réponse : 36 = 6², donc √36 = 6.

]]> √60

]]> 60 n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière.

]]> √37

]]> 37 n'est pas un carré parfait : il est compris entre 6² = 36 et 7² = 49.

]]> √12

]]> 12 n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q40 : Comparer une racine et un entier Quelle comparaison est juste ?

]]> Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc 63 et 8² = 64.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √63 = 8

]]> 8² = 64, pas 63 : les deux nombres sont proches mais différents.

]]> √63 > 8

]]> On compare les carrés : (√63)² = 63 et 8² = 64. Comme 63 < 64, c'est l'inverse.

]]> On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice

]]> Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : 63 < 64.

]]> √63 < 8

]]> Bonne réponse : 8 = √64 et 63 < 64, donc √63 < 8.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q41 : Racine carrée d'un décimal Que vaut \sqrt{0{,}09} ?

]]> Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : 0{,}3^2 = 0{,}09. Pour un nombre entre 0 et 1, la racine carrée est plus grande que le nombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Bonne réponse : 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09.

]]> 0{,}03

]]> 0{,}03 \times 0{,}03 est beaucoup plus petit que 0{,}09 : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve 0{,}3.

]]> 0{,}0081

]]> C'est le carré de 0{,}09. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut 0{,}09 : 0{,}3.

]]> 0{,}045

]]> C'est la moitié de 0{,}09. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut 0{,}09 : 0{,}3.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q42 : Clôturer un champ carré Un champ carré a une aire de 400 m². Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?

]]> On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80 m

]]> Bonne réponse : le côté mesure √400 = 20 m, et le périmètre 4 × 20 = 80 m.

]]> 40 m

]]> Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : 80 m.

]]> 20 m

]]> C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : 4 × 20 = 80 m.

]]> 100 m

]]> On a divisé l'aire par 4. Il faut d'abord le côté, √400 = 20 m, puis le multiplier par 4.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q43 : Carré d'une racine carrée Que vaut (√7)² ?

]]> Pour tout nombre positif a, (√a)² = a : le carré et la racine carrée se compensent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14

]]> Élever au carré ne revient pas à doubler. (√7)² = 7.

]]> 49

]]> C'est 7². Or le carré de √7 redonne 7 lui-même.

]]> 7

]]> Bonne réponse : par définition, √7 est le nombre positif dont le carré vaut 7.

]]> √7

]]> Le carré n'est pas oublié : √7 × √7 = 7.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q44 : Arrondi d'une racine carrée Quel est l'arrondi au dixième de √20 ?

]]> Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut 5 ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4{,}4

]]> C'est la troncature : le chiffre des centièmes de \sqrt{20} \approx 4{,}47 impose d'arrondir au dixième supérieur, 4{,}5.

]]> 10

]]> C'est la moitié de 20, pas sa racine carrée. On trouve \sqrt{20} \approx 4{,}5.

]]> 4{,}47

]]> C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : 4{,}5.

]]> 4{,}5

]]> Bonne réponse : \sqrt{20} \approx 4{,}47 ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à 5, on arrondit au dixième supérieur.

]]> Arithmétique et racine carrée — Q45 : Équation qui se ramène à x au carré Quelles sont les solutions de l'équation x² + 9 = 25 ?

]]> On isole d'abord x², puis on applique : si x² = a avec a > 0, alors x = -√a ou x = √a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -4 et 4

]]> Bonne réponse : x² = 25 - 9 = 16, et 16 = 4².

]]> 4 seulement

]]> La solution négative manque : (-4)² = 16 aussi.

]]> -16 et 16

]]> On a x² = 16 : il reste à prendre la racine carrée, √16 = 4.

]]> -√34 et √34

]]> Le 9 change de signe en passant dans l'autre membre : x² = 25 - 9 = 16.

]]>