$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Fonctions Image et antécédent, tableau de valeurs, lecture graphique. Fonctions
linéaires et proportionnalité, fonctions affines et leurs coefficients.

]]> Fonctions — Q01 : Image d'un nombre par le calcul On considère la fonction f définie par f(x) = 3x - 2. Quelle est l'image de 4 par f ?

]]> L'image d'un nombre par une fonction s'obtient en remplaçant x par ce nombre dans l'expression f(x), puis en calculant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : on remplace x par 4, ce qui donne 3 × 4 - 2 = 10.

]]> 14

]]> Erreur de signe : le terme constant est - 2, il ne change pas de signe. On obtient 10.

]]> 6

]]> Tu as ajouté avant de multiplier. La multiplication est prioritaire : 3 × 4 - 2 = 10.

]]> 2

]]> Tu as calculé l'antécédent de 4, c'est-à-dire résolu f(x) = 4. L'image s'obtient en remplaçant x par 4 : 10.

]]> Fonctions — Q02 : Antécédent par le calcul On considère la fonction f définie par f(x) = 2x + 3. Quel est l'antécédent de 11 par f ?

]]> Chercher l'antécédent d'un nombre y, c'est résoudre l'équation f(x) = y. Le résultat se vérifie en calculant son image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> C'est l'image de 11, pas son antécédent. On cherche x tel que f(x) = 11 : x = 4.

]]> 7

]]> Erreur de signe en isolant x : on retranche 3 des deux membres, on ne l'ajoute pas. On trouve 4.

]]> 8

]]> La division par 2 a été oubliée : 2x = 8 donne x = 4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : on résout 2x + 3 = 11, d'où 2x = 8 et x = 4.

]]> Fonctions — Q03 : Lire l'égalité f(a) = b On sait que f(3) = 7. Quelle phrase est correcte ?

]]> Dans l'égalité f(a) = b, b est l'image de a et a est un antécédent de b. Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 est un antécédent de 3 par f

]]> Les rôles sont inversés : c'est 3 qui est un antécédent de 7.

]]> 3 a pour antécédent 7 par f

]]> Les rôles sont inversés : 3 a pour image 7 ; son antécédent n'est pas donné.

]]> 3 est l'image de 7 par f

]]> Les rôles sont inversés : le nombre écrit entre les parenthèses est le nombre de départ, 7 est son image.

]]> 7 est l'image de 3 par f

]]> Bonne réponse : dans f(3) = 7, le nombre de départ est 3 et son image est 7.

]]> Fonctions — Q04 : Image lue parmi des valeurs données Une fonction f vérifie f(1) = 7, f(2) = 5 et f(4) = 2. Quelle est l'image de 2 par f ?

]]> L'image de 2 est le nombre f(2). Pour un antécédent de 2, on cherche au contraire les nombres x tels que f(x) = 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : f(2) = 5, donc l'image de 2 est 5.

]]> 2

]]> 2 est le nombre de départ, pas son image. Son image se lit dans f(2) = 5.

]]> 4

]]> C'est l'antécédent de 2, car f(4) = 2. L'image de 2 se lit dans f(2) = 5.

]]> 7

]]> C'est l'image de 1, car f(1) = 7. L'image de 2 se lit dans f(2) = 5.

]]> Fonctions — Q05 : Antécédents par la fonction carré On considère la fonction f définie par f(x) = x². Quels sont les antécédents de 9 par f ?

]]> Un nombre positif a deux antécédents par la fonction carré, opposés l'un de l'autre. Par exemple, 9 a pour antécédents -3 et 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 seulement

]]> Il manque -3 : le carré d'un nombre négatif est positif, et (-3)² = 9 aussi.

]]> 9/2 seulement

]]> Tu as divisé par 2 : élever au carré, c'est multiplier un nombre par lui-même, pas par 2. On trouve -3 et 3.

]]> -3 et 3

]]> Bonne réponse : (-3)² = 9 et 3² = 9, donc 9 a deux antécédents.

]]> 81 seulement

]]> C'est l'image de 9, c'est-à-dire 9². On cherche les nombres dont le carré vaut 9 : -3 et 3.

]]> Fonctions — Q06 : La notation avec une flèche Que signifie la notation f : x \longmapsto 2x + 3 ?

]]> Les écritures f : x \longmapsto 2x + 3 et f(x) = 2x + 3 disent la même chose : la fonction f associe à chaque nombre x le nombre 2x + 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre x est l'image du nombre 2x + 3 par la fonction f

]]> Le sens est inversé : x est le nombre de départ et 2x + 3 est son image.

]]> f vaut 2x + 3 pour une seule valeur particulière de x

]]> La formule s'applique à tous les nombres x, pas à un seul : f(0) = 3, f(1) = 5, et ainsi de suite.

]]> À tout nombre x, la fonction f associe le nombre 2x + 3

]]> Bonne réponse : la flèche se lit « associe ». On a donc f(x) = 2x + 3 pour tout nombre x.

]]> Le nombre 2x + 3 est un antécédent du nombre x par f

]]> Le sens est inversé : 2x + 3 est l'image de x, et x en est un antécédent.

]]> Fonctions — Q07 : Retrouver un nombre de départ On considère la fonction f définie par f(x) = x² + 1. Parmi les nombres suivants, lequel a pour image 10 par f ?

]]> Pour vérifier qu'un nombre a pour image y, on calcule son image. Pour le trouver, on résout f(x) = y ; ici x² = 9.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 101

]]> C'est l'image de 10 par f. On cherche au contraire un nombre dont l'image vaut 10 : 3 convient.

]]> 3

]]> Bonne réponse : 3² + 1 = 9 + 1 = 10.

]]> 9/2

]]> Tu as divisé par 2 au lieu de chercher le nombre dont le carré vaut 9. On trouve 3.

]]> 9

]]> Après avoir retranché 1, on obtient x² = 9 : il reste à trouver le nombre dont le carré vaut 9, c'est-à-dire 3.

]]> Fonctions — Q08 : Image d'un nombre négatif On considère la fonction f définie par f(x) = x² - 4. Que vaut f(-3) ?

]]> On remplace x par -3 en l'écrivant entre parenthèses : (-3)² - 4. Les parenthèses évitent l'erreur de signe sur le carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -13

]]> Le carré d'un nombre négatif est positif : (-3)² = 9, pas -9. On obtient 5.

]]> -10

]]> Tu as multiplié -3 par 2. Le carré, c'est (-3) × (-3) = 9, d'où 5.

]]> 13

]]> Le terme - 4 est devenu + 4. On calcule 9 - 4 = 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : (-3)² = 9, donc f(-3) = 9 - 4 = 5.

]]> Fonctions — Q09 : Remonter un programme de calcul Un programme de calcul consiste à choisir un nombre, à lui ajouter 2, puis à multiplier le résultat par 3. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 21 ?

]]> Le programme correspond à la fonction x \longmapsto 3(x + 2). Pour retrouver le nombre de départ, on annule les opérations en partant de la dernière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 19/3

]]> Les étapes ont été remontées dans le mauvais ordre : la dernière opération, la multiplication par 3, s'annule la première. On trouve 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : on remonte le programme, 21 ÷ 3 = 7, puis 7 - 2 = 5.

]]> 7

]]> Il manque la dernière étape : après la division par 3, il faut encore annuler l'ajout de 2. On trouve 5.

]]> 69

]]> C'est le résultat du programme appliqué à 21. On cherche au contraire le nombre de départ : 5.

]]> Fonctions — Q10 : Image d'une somme par la fonction carré On considère la fonction f définie par f(x) = x². Que vaut f(2 + 3) ?

]]> Le nombre de départ est 2 + 3 = 5 ; on calcule ensuite son image. En général, f(a + b) et f(a) + f(b) sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11

]]> Seul 3 a été élevé au carré. Le nombre de départ est la somme entière, 5, dont le carré vaut 25.

]]> 25

]]> Bonne réponse : 2 + 3 = 5, puis 5² = 25.

]]> 13

]]> Tu as calculé f(2) + f(3). L'image d'une somme n'est pas la somme des images : on calcule d'abord 2 + 3 = 5, puis son carré, 25.

]]> 10

]]> Tu as multiplié par 2 au lieu d'élever au carré : 5² = 5 × 5 = 25.

]]> Fonctions — Q11 : Compléter un tableau de valeurs On considère la fonction f définie par f(x) = 3x - 1. Quelles sont, dans l'ordre, les valeurs de f(0), f(1) et f(2) ?

]]> Pour remplir un tableau de valeurs, on calcule l'image de chaque nombre de la première ligne. Ici f(0) vaut toujours le terme constant, -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 ; 5 ; 8

]]> Les valeurs sont décalées d'un rang : ce sont f(1), f(2) et f(3). On commence par f(0) = -1.

]]> -1 ; 2 ; 5

]]> Bonne réponse : f(0) = -1, f(1) = 3 - 1 = 2 et f(2) = 6 - 1 = 5.

]]> -3 ; 0 ; 3

]]> Tu as calculé 3(x - 1) : l'addition a été faite avant la multiplication. On trouve -1 ; 2 ; 5.

]]> 0 ; 3 ; 6

]]> Le terme - 1 a été oublié. Par exemple f(0) = 3 × 0 - 1 = -1.

]]> Fonctions — Q12 : Prix d'une course en taxi Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre parcouru. Quelle fonction donne le prix, en euros, d'une course de x kilomètres ?

]]> Le prix est la somme d'une part fixe, 4 €, et d'une part proportionnelle à la distance, 2x €. Pour x = 10, on paie 4 + 2 × 10 €.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = (4 + 2)x

]]> La prise en charge serait alors payée à chaque kilomètre. Elle ne compte qu'une fois : f(x) = 4 + 2x.

]]> f(x) = 4 + 2x

]]> Bonne réponse : la prise en charge est payée une fois, et chaque kilomètre ajoute 2 €.

]]> f(x) = 2x

]]> La prise en charge de 4 € a été oubliée : elle s'ajoute au prix des kilomètres.

]]> f(x) = 4x + 2

]]> Les deux nombres ont échangé leur rôle : c'est le prix au kilomètre, 2 €, qui multiplie x.

]]> Fonctions — Q13 : Lire l'image de zéro [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Quelle est l'image de 0 par f ?

]]> Pour lire l'image d'un nombre, on part de ce nombre sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe verticalement, puis on lit l'ordonnée du point atteint.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse 0 a pour ordonnée 3, donc f(0) = 3.

]]> 0

]]> Le point d'abscisse 0 n'est pas l'origine du repère : il est situé à la hauteur 3, donc f(0) = 3.

]]> -2, 2 et 4

]]> Ce sont les antécédents de 0, lus sur l'axe des abscisses. L'image de 0 est l'ordonnée du point d'abscisse 0 : 3.

]]> 2

]]> C'est l'image de -1 et de 1. Le point d'abscisse 0 a pour ordonnée 3.

]]> Fonctions — Q14 : Lire les antécédents de zéro [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Quels sont les antécédents de 0 par f ?

]]> Pour lire les antécédents d'un nombre k, on repère tous les points de la courbe d'ordonnée k et on lit leurs abscisses. Il peut y en avoir plusieurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2, 2 et 4

]]> Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, d'abscisses -2, 2 et 4.

]]> 3

]]> C'est l'image de 0. Les antécédents de 0 sont les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur 0.

]]> -2 et 2 seulement

]]> Il manque 4 : la courbe remonte et touche de nouveau l'axe des abscisses au point d'abscisse 4.

]]> -1 et 1

]]> Ce sont les antécédents de 2. Les points de la courbe à la hauteur 0 ont pour abscisses -2, 2 et 4.

]]> Fonctions — Q15 : Lire les antécédents de deux [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Quels sont les antécédents de 2 par f ?

]]> On trace mentalement la droite horizontale à la hauteur 2 ; les abscisses de ses points communs avec la courbe sont les antécédents de 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> C'est l'image de 2, car f(2) = 0. On cherche au contraire les abscisses des points d'ordonnée 2.

]]> -1 seulement

]]> Il manque 1 : la courbe repasse à la hauteur 2 en descendant, au point d'abscisse 1.

]]> 0 et 3

]]> Ce sont les ordonnées de points voisins, pas des abscisses. Les points d'ordonnée 2 ont pour abscisses -1 et 1.

]]> -1 et 1

]]> Bonne réponse : les points de la courbe d'ordonnée 2 ont pour abscisses -1 et 1.

]]> Fonctions — Q16 : Nombre de solutions d'une équation [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Combien de solutions l'équation f(x) = 1 a-t-elle ?

]]> Les solutions de f(x) = 1 sont les antécédents de 1 : on compte les points de la courbe d'ordonnée 1, même si leurs abscisses ne tombent pas sur une graduation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois solutions

]]> À droite de 2, la courbe reste sous la hauteur 1 : elle descend jusqu'à -1 et ne remonte que jusqu'à 0.

]]> Deux solutions

]]> Bonne réponse : la courbe passe deux fois à la hauteur 1, une fois entre -2 et -1, une fois entre 1 et 2.

]]> Aucune solution

]]> Une solution n'a pas besoin d'être un nombre entier : la courbe passe bien à la hauteur 1 entre deux graduations.

]]> Une solution

]]> Il y a un second passage : la courbe monte à la hauteur 1 entre -2 et -1, puis y redescend entre 1 et 2.

]]> Fonctions — Q17 : Un point de la courbe [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Lequel de ces points appartient à la courbe \mathcal{C}_f ?

]]> Un point de coordonnées (x ; y) appartient à la courbe de f exactement lorsque y = f(x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 ; 2)

]]> Bonne réponse : f(1) = 2, donc le point d'abscisse 1 et d'ordonnée 2 est sur la courbe.

]]> (2 ; 1)

]]> Les coordonnées sont inversées : on écrit l'abscisse d'abord. Or f(2) = 0, pas 1.

]]> (0 ; 2)

]]> Le point de la courbe d'abscisse 0 est plus haut : f(0) = 3.

]]> (3 ; 0)

]]> Le point de la courbe d'abscisse 3 est sous l'axe : f(3) = -1.

]]> Fonctions — Q18 : Lire l'image de trois [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Quelle est l'image de 3 par f ?

]]> Un nombre a au plus une image par une fonction : la droite verticale passant par 3 ne coupe la courbe qu'en un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> La courbe coupe l'axe des abscisses en 2 et en 4, pas en 3 : le point d'abscisse 3 a pour ordonnée -1.

]]> 0 et 4

]]> Un nombre n'a qu'une seule image. Partant de 3 sur l'axe des abscisses, on atteint la courbe à la hauteur -1.

]]> -1

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse 3 est situé une unité sous l'axe des abscisses.

]]> 1

]]> L'ordonnée est négative : le point d'abscisse 3 est sous l'axe des abscisses, donc f(3) = -1.

]]> Fonctions — Q19 : Repérer l'affirmation fausse [Figure : Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.]

La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie pour x compris entre -3 et 4.

Laquelle de ces affirmations est fausse ?

]]> Chaque affirmation se ramène à un point : « a a pour image b » signifie que le point de coordonnées (a ; b) est sur la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1 a pour image 2

]]> Cette affirmation est vraie : le point de coordonnées (-1 ; 2) est sur la courbe.

]]> 2 a pour image -1

]]> Bonne réponse : cette affirmation est fausse, car f(2) = 0. C'est 3 qui a pour image -1.

]]> 4 est un antécédent de 0

]]> Cette affirmation est vraie : la courbe passe par le point de coordonnées (4 ; 0).

]]> f(0) = 3

]]> Cette affirmation est vraie : le point d'abscisse 0 de la courbe est à la hauteur 3.

]]> Fonctions — Q20 : Méthode de lecture d'une image Pour lire graphiquement l'image d'un nombre a par une fonction f, comment procède-t-on ?

]]> Abscisse : nombre de départ. Ordonnée : image. Le point de coordonnées (a ; f(a)) est le point de la courbe d'abscisse a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On part de a sur l'axe des abscisses et on lit l'ordonnée du point de la courbe

]]> Bonne réponse : a est le nombre de départ, en abscisse ; son image est l'ordonnée du point de la courbe correspondant.

]]> On part de a sur l'axe des abscisses et on lit l'abscisse du point de la courbe

]]> L'abscisse du point de la courbe vaut a lui-même : c'est son ordonnée qui donne l'image.

]]> On cherche le point de la courbe d'ordonnée a et on lit cette ordonnée

]]> On retrouverait a lui-même. L'image se lit en ordonnée, à partir de a placé en abscisse.

]]> On part de a sur l'axe des ordonnées et on lit l'abscisse du point de la courbe

]]> C'est la méthode pour lire un antécédent de a, pas son image.

]]> Fonctions — Q21 : Point de la courbe par le calcul On considère la fonction f définie par f(x) = 3x - 2. Lequel de ces points appartient à sa représentation graphique ?

]]> Le point d'abscisse x de la représentation graphique a pour ordonnée f(x) : ici (4 ; f(4)).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4 ; 10)

]]> Bonne réponse : f(4) = 3 × 4 - 2 = 10.

]]> (4 ; 6)

]]> L'addition a été faite avant la multiplication. On trouve f(4) = 10.

]]> (4 ; 14)

]]> Erreur de signe sur le terme constant : f(4) = 10, pas 14.

]]> (10 ; 4)

]]> Les coordonnées sont inversées : l'abscisse est le nombre de départ 4, l'ordonnée son image 10.

]]> Fonctions — Q22 : Intersection avec l'axe des ordonnées On considère la fonction f définie par f(x) = 2x² - 3x + 5. En quel point sa courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

]]> Tout point de l'axe des ordonnées a pour abscisse 0 : le point cherché est donc (0 ; f(0)).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (0 ; 2)

]]> 2 multiplie x², qui vaut 0 pour x = 0. Il reste f(0) = 5.

]]> (5 ; 0)

]]> Les coordonnées sont inversées : sur l'axe des ordonnées, c'est l'abscisse qui vaut 0.

]]> (0 ; 5)

]]> Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées, l'abscisse vaut 0, et f(0) = 5.

]]> (0 ; 4)

]]> Tu as calculé f(1). Le point cherché a pour abscisse 0, et f(0) = 5.

]]> Fonctions — Q23 : Interpréter des points d'intersection La courbe d'une fonction f et la droite horizontale passant par le point (0 ; 2) se coupent exactement en deux points, d'abscisses -1 et 4. Que peut-on en déduire ?

]]> Résoudre graphiquement f(x) = k, c'est lire les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(2) = -1 et f(2) = 4

]]> Les rôles sont inversés, et un nombre ne peut pas avoir deux images. On a f(-1) = 2 et f(4) = 2.

]]> Les solutions de f(x) = 2 sont -1 et 4

]]> Bonne réponse : les deux points d'intersection ont pour ordonnée 2, donc f(-1) = 2 et f(4) = 2.

]]> Les solutions de f(x) = 2 sont 0 et 2

]]> Ce sont les coordonnées d'un point de la droite. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection, -1 et 4.

]]> L'unique antécédent de 2 est 3

]]> Les abscisses ne s'additionnent pas : 2 a deux antécédents, -1 et 4.

]]> Fonctions — Q24 : Reconnaître une fonction linéaire Laquelle de ces fonctions est une fonction linéaire ?

]]> Une fonction linéaire est de la forme x \longmapsto ax, où a est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = -4x

]]> Bonne réponse : f est de la forme x \longmapsto ax, avec a = -4.

]]> k(x) = -4/x

]]> Ici on divise par x au lieu de multiplier : k n'est pas de la forme x \longmapsto ax.

]]> h(x) = x² - 4

]]> Le nombre x est élevé au carré : h n'est pas de la forme x \longmapsto ax.

]]> g(x) = -4x + 1

]]> Le terme + 1 empêche g d'être linéaire : g(0) = 1, alors qu'une fonction linéaire vérifie f(0) = 0. C'est une fonction affine.

]]> Fonctions — Q25 : Coefficient à partir d'une image Une fonction linéaire f vérifie f(4) = 12. Quel est son coefficient ?

]]> Le coefficient d'une fonction linéaire est le quotient f(x)/x pour tout x non nul : c'est le coefficient de proportionnalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅓

]]> Le quotient est inversé : le coefficient est l'image divisée par le nombre de départ, 12/4 = 3.

]]> 48

]]> On a multiplié au lieu de diviser. De 4a = 12, on tire a = 3.

]]> 8

]]> Une fonction linéaire multiplie par son coefficient ; elle n'ajoute rien. On divise : a = 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : f(x) = ax, donc 4a = 12 et a = 12/4 = 3.

]]> Fonctions — Q26 : Une image en déduit une autre Une fonction linéaire f vérifie f(2) = 6. Que vaut f(5) ?

]]> On commence par le coefficient a = f(2)/2, puis on calcule f(5) = a × 5. Un tableau de proportionnalité conduit au même résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Bonne réponse : le coefficient est 6/2 = 3, donc f(5) = 3 × 5 = 15.

]]> 9

]]> Tu as ajouté l'écart entre 2 et 5. Une fonction linéaire multiplie : f(5) = 3 × 5 = 15.

]]> 8

]]> Le coefficient 3 a été ajouté à 5 au lieu de le multiplier : f(5) = 15.

]]> 30

]]> Tu as multiplié f(2) par 5. Il faut d'abord trouver le coefficient, 3, puis calculer 3 × 5 = 15.

]]> Fonctions — Q27 : Représentation graphique d'une fonction linéaire Comment est la représentation graphique d'une fonction linéaire ?

]]> La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine ; réciproquement, une telle droite, si elle n'est pas verticale, représente une fonction linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est une droite qui ne passe jamais par l'origine

]]> Au contraire : f(0) = a × 0 = 0, donc le point (0 ; 0) est toujours sur la représentation.

]]> C'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées

]]> Une telle droite ne représente aucune fonction : le nombre 0 y aurait une infinité d'images.

]]> C'est une droite passant par l'origine du repère

]]> Bonne réponse : pour f(x) = ax, on a f(0) = 0, et les points (x ; ax) sont alignés avec l'origine.

]]> C'est une courbe par l'origine, pas toujours droite

]]> Les points (x ; ax) sont toujours alignés : la représentation est une droite.

]]> Fonctions — Q28 : Lire le coefficient sur un graphique [Figure : Repère quadrillé. Une droite passe par l'origine du repère et par le point marqué de coordonnées (2 ; 3).]

La droite ci-dessous représente une fonction linéaire f. Quel est le coefficient de f ?

]]> On repère un point de la droite à coordonnées entières, autre que l'origine, puis on divise son ordonnée par son abscisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}5

]]> Bonne réponse : la droite passe par (2 ; 3), donc f(2) = 3 et a = \dfrac{3}{2} = 1{,}5.

]]> 3

]]> C'est l'image de 2, pas le coefficient. On divise par 2 : a = 3/2.

]]> 2

]]> C'est l'abscisse du point marqué. Le coefficient vaut f(2)/2 = 3/2.

]]> ⅔

]]> Le quotient est inversé : on divise l'ordonnée par l'abscisse, 3/2.

]]> Fonctions — Q29 : Une hausse en pourcentage Le prix d'un article augmente de 20 %. Quelle fonction associe au prix de départ x le prix après la hausse ?

]]> Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t/100 : la fonction obtenue est linéaire, de coefficient 1{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 1{,}2x

]]> Bonne réponse : x + \dfrac{20}{100}x = (1 + 0{,}2)x = 1{,}2x.

]]> f(x) = 0{,}2x

]]> C'est le montant de la hausse seule. Le nouveau prix est x + 0{,}2x = 1{,}2x.

]]> f(x) = (1 + 20)x

]]> Le pourcentage doit être divisé par 100 : 20\,\% = 0{,}2, d'où f(x) = 1{,}2x.

]]> f(x) = x + 20

]]> On ajouterait 20 euros, quel que soit le prix. Une hausse de 20 % ajoute 0{,}2x : f(x) = 1{,}2x.

]]> Fonctions — Q30 : Image d'une somme par une fonction linéaire Une fonction linéaire f vérifie f(2) = 6 et f(5) = 15. Que vaut f(7) ?

]]> Pour une fonction linéaire, f(a + b) = f(a) + f(b). On peut aussi calculer le coefficient, 6/2 = 3, puis 7 × 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 17

]]> Tu as ajouté 2 à f(5). Une fonction linéaire n'ajoute rien : f(7) = 7 × 3 = 21.

]]> 21

]]> Bonne réponse : 7 = 2 + 5, donc f(7) = f(2) + f(5) = 6 + 15 = 21.

]]> 90

]]> Tu as multiplié f(2) par f(5). Pour une fonction linéaire, ce sont les images qui s'additionnent : f(7) = 21.

]]> 42

]]> Tu as calculé 7 × f(2), ce qui donnerait f(14). Le coefficient vaut 6/2 = 3, donc f(7) = 21.

]]> Fonctions — Q31 : Prix d'une masse de pommes Les pommes sont vendues 2{,}5 € le kilogramme. Quelle fonction donne le prix, en euros, de x kilogrammes de pommes ?

]]> Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire : ici, prix = prix au kilogramme × masse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = \dfrac{2{,}5}{x}

]]> Le prix diminuerait quand la masse augmente. Il est proportionnel à la masse : f(x) = 2{,}5x.

]]> f(x) = x + 2{,}5

]]> Chaque kilogramme coûte 2{,}5 € : on multiplie la masse par 2{,}5, on ne l'ajoute pas.

]]> f(x) = 2{,}5x

]]> Bonne réponse : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient 2{,}5.

]]> f(x) = \dfrac{x}{2{,}5}

]]> Diviser par le prix au kilogramme donnerait un nombre de kilogrammes, pas un prix : f(x) = 2{,}5x.

]]> Fonctions — Q32 : Situation traduite par une fonction linéaire Laquelle de ces situations est décrite par une fonction linéaire ?

]]> Une fonction linéaire décrit une proportionnalité : doubler la grandeur de départ double la grandeur d'arrivée, et 0 a pour image 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une location à 30 € fixes plus 12 € par jour, selon le nombre de jours

]]> La part fixe de 30 € rompt la proportionnalité : le prix vaut 30 + 12j, une fonction affine non linéaire.

]]> La température extérieure relevée en fonction de l'heure

]]> Aucune formule de proportionnalité ne relie la température à l'heure : elle monte puis redescend.

]]> L'aire d'un disque en fonction de la longueur de son rayon

]]> L'aire vaut π r² : doubler le rayon multiplie l'aire par 4, ce n'est pas proportionnel.

]]> Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté

]]> Bonne réponse : le périmètre vaut 4c, proportionnel au côté c.

]]> Fonctions — Q33 : Antécédent par une fonction linéaire On considère la fonction linéaire f définie par f(x) = -3x. Quel est l'antécédent de 12 par f ?

]]> L'antécédent d'un nombre y par x \longmapsto ax (avec a non nul) est le quotient y/a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -4

]]> Bonne réponse : on résout -3x = 12, d'où x = 12/-3 = -4.

]]> 15

]]> On a soustrait -3 au lieu de diviser par -3 : x = -4.

]]> 4

]]> Erreur de signe dans la division : 12/-3 = -4. Vérification : -3 × (-4) = 12.

]]> -36

]]> C'est l'image de 12. Pour l'antécédent, on résout -3x = 12 : x = -4.

]]> Fonctions — Q34 : Un autre point de la droite La droite qui représente une fonction linéaire f passe par le point A(2 ; 5). Lequel de ces points est aussi sur cette droite ?

]]> Les coordonnées des points de la droite sont proportionnelles : multiplier l'abscisse par k multiplie l'ordonnée par k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (5 ; 2)

]]> Échanger les coordonnées ne donne pas, en général, un point de la droite. Le point (6 ; 15) convient.

]]> (6 ; 15)

]]> Bonne réponse : f(6) = 3 × f(2) = 15, car les deux coordonnées sont multipliées par 3.

]]> (5 ; 8)

]]> Ajouter le même nombre aux deux coordonnées ne conserve pas la proportionnalité. On multiplie : (6 ; 15).

]]> (6 ; 8)

]]> L'abscisse est multipliée par 3, l'ordonnée doit l'être aussi : 15.

]]> Fonctions — Q35 : Identifier les nombres a et b La fonction affine f est définie par f(x) = 5 - 3x. On l'écrit sous la forme f(x) = ax + b. Que valent a et b ?

]]> L'ordre des termes ne compte pas : on repère le nombre qui multiplie x, avec son signe, et le terme constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a = -3 et b = 5

]]> Bonne réponse : f(x) = -3x + 5 ; a est le nombre qui multiplie x, b le terme constant.

]]> a = 5 et b = -3

]]> Les rôles sont échangés : a multiplie x, même lorsque le terme en x est écrit en second.

]]> a = 3 et b = 5

]]> Le signe placé devant 3x appartient au coefficient : a = -3.

]]> a = 3 et b = -5

]]> Les deux signes ont été changés. On lit f(x) = -3x + 5, d'où a = -3 et b = 5.

]]> Fonctions — Q36 : Linéaire et affine Laquelle de ces affirmations est vraie ?

]]> Les fonctions affines sont de la forme x \longmapsto ax + b. Les fonctions linéaires (b = 0) et les fonctions constantes (a = 0) en sont des cas particuliers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction linéaire est une fonction affine

]]> Bonne réponse : x \longmapsto ax s'écrit x \longmapsto ax + 0, c'est une fonction affine avec b = 0.

]]> Une fonction constante, comme x \longmapsto 4, n'est pas affine

]]> Une fonction constante est affine, avec a = 0 : x \longmapsto 0x + 4.

]]> Une fonction affine n'est jamais une fonction linéaire

]]> Lorsque b = 0, la fonction affine x \longmapsto ax est linéaire.

]]> Toute fonction affine est une fonction linéaire

]]> Contre-exemple : f(x) = 2x + 1 est affine, mais f(0) = 1, donc elle n'est pas linéaire.

]]> Fonctions — Q37 : Expression à partir de f(0) et f(1) Une fonction affine f vérifie f(0) = 3 et f(1) = 7. Quelle est son expression ?

]]> f(0) = b donne directement le terme constant. Ensuite f(1) = a + b, d'où a = f(1) - f(0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 7x + 3

]]> f(1) vaut a + b, pas a seul : a = 7 - 3 = 4.

]]> f(x) = 4x + 3

]]> Bonne réponse : f(0) = b = 3, puis f(1) = a + b = 7 donne a = 4.

]]> f(x) = -4x + 3

]]> La différence est prise dans le mauvais sens : a = f(1) - f(0) = 4.

]]> f(x) = 3x + 7

]]> Les valeurs ont été placées telles quelles. Or f(0) donne b, et a = f(1) - f(0) = 4.

]]> Fonctions — Q38 : Coefficient à partir de deux images Une fonction affine f(x) = ax + b vérifie f(1) = 5 et f(4) = 11. Que vaut a ?

]]> Pour une fonction affine, les accroissements sont proportionnels : a = f(u) - f(v)/u - v pour deux nombres distincts u et v.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> C'est l'écart des images ; il reste à le diviser par l'écart des nombres de départ, 3. On trouve 2.

]]> 2

]]> Bonne réponse : a = f(4) - f(1)/4 - 1 = 6/3 = 2.

]]> 11/4

]]> Le quotient f(x)/x ne donne le coefficient que pour une fonction linéaire. Ici on divise les écarts : a = 2.

]]> ½

]]> Le quotient est inversé : on divise l'écart des images par l'écart des nombres de départ, ce qui donne 2.

]]> Fonctions — Q39 : Expression lue sur une droite [Figure : Repère quadrillé. Une droite monte de gauche à droite ; elle passe par les points de coordonnées (0 ; -1), (1 ; 1), (2 ; 3) et (3 ; 5).]

La droite \mathcal{D}_f ci-dessous représente une fonction affine f. Quelle est l'expression de f ?

]]> Le terme constant b = f(0) se lit sur l'axe des ordonnées ; a est la variation verticale lorsqu'on avance d'une unité vers la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = -x + 2

]]> Les deux nombres sont échangés : -1 est l'ordonnée du point d'abscisse 0, c'est le terme constant ; 2 multiplie x.

]]> f(x) = 2x + 1

]]> Erreur de signe : la droite coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, en -1.

]]> f(x) = ½x - 1

]]> Le quotient est inversé : pour 1 unité vers la droite, on monte de 2 unités, donc a = 2.

]]> f(x) = 2x - 1

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en -1, et elle monte de 2 unités quand x augmente de 1.

]]> Fonctions — Q40 : Antécédent lu sur une droite [Figure : Repère quadrillé. Une droite monte de gauche à droite ; elle passe par les points de coordonnées (0 ; -1), (1 ; 1), (2 ; 3) et (3 ; 5).]

La droite \mathcal{D}_f ci-dessous représente une fonction affine f. Quel est l'antécédent de 3 par f ?

]]> Pour lire un antécédent de 3, on part de 3 sur l'axe des ordonnées, on rejoint la droite horizontalement, puis on lit l'abscisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> C'est l'image de 3, car f(3) = 5. On cherche au contraire l'abscisse du point d'ordonnée 3.

]]> 2

]]> Bonne réponse : le point de la droite d'ordonnée 3 a pour abscisse 2, donc f(2) = 3.

]]> -1

]]> C'est l'ordonnée du point d'abscisse 0. Le point de la droite à la hauteur 3 a pour abscisse 2.

]]> 1

]]> f(1) = 1 : le point d'abscisse 1 est à la hauteur 1, pas 3. L'antécédent de 3 est 2.

]]> Fonctions — Q41 : Effet du signe de a On considère la fonction affine f(x) = -3x + 5. Que se passe-t-il quand x augmente ?

]]> Quand x augmente de 1, f(x) = ax + b varie de a. Si a est négatif, la droite descend.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) augmente, de 3 pour chaque unité

]]> Le signe moins a été oublié : f(1) - f(0) = 2 - 5 = -3, donc f(x) diminue.

]]> f(x) augmente, de 5 pour chaque unité

]]> Le terme constant 5 ne dit rien du sens de variation. f(0) = 5 et f(1) = 2 : f(x) diminue.

]]> f(x) reste égal à 5 quelle que soit la valeur de x

]]> Seule une fonction constante garde la même valeur. Ici f(1) = 2, différent de f(0) = 5.

]]> f(x) diminue, de 3 pour chaque unité

]]> Bonne réponse : le coefficient -3 est négatif, donc la droite descend ; par exemple f(0) = 5 et f(1) = 2.

]]> Fonctions — Q42 : Deux fonctions affines égales On considère les fonctions f(x) = 3x - 2 et g(x) = 5x + 4. Pour quel nombre x a-t-on f(x) = g(x) ?

]]> Graphiquement, la solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Algébriquement, on résout l'équation f(x) = g(x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¾

]]> En passant 5x dans l'autre membre, on le soustrait : (3 - 5)x, pas (3 + 5)x. On trouve -3.

]]> -1

]]> Le terme - 2 change de signe en changeant de membre : -2x = 4 + 2, d'où x = -3.

]]> 3

]]> Erreur de signe finale : -2x = 6 donne x = -3. Vérification : f(-3) = g(-3).

]]> -3

]]> Bonne réponse : 3x - 2 = 5x + 4 donne -2x = 6, d'où x = -3.

]]> Fonctions — Q43 : Reconnaître une fonction affine Laquelle de ces fonctions est une fonction affine ?

]]> Une fonction est affine si elle peut s'écrire x \longmapsto ax + b, éventuellement après réduction ; l'ordre des termes ne compte pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc k(x) = 2x(x + 5)

]]> En développant, k(x) = 2x² + 10x contient un terme en x² : k n'est pas affine.

]]> h(x) = 2/x + 5

]]> On divise par x : h n'est pas de la forme ax + b.

]]> g(x) = x² + 5

]]> Le nombre x est élevé au carré : g n'est pas de la forme ax + b.

]]> f(x) = 5 - 2x

]]> Bonne réponse : f(x) = -2x + 5 est de la forme ax + b, avec a = -2 et b = 5.

]]> Fonctions — Q44 : Comparer deux tarifs Au cinéma, le tarif A coûte 8 € la séance. Le tarif B comprend un abonnement de 30 €, puis 5 € la séance. À partir de combien de séances le tarif B est-il strictement moins cher que le tarif A ?

]]> Les prix sont donnés par x \longmapsto 8x (linéaire) et x \longmapsto 5x + 30 (affine). Le changement a lieu à l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 séances

]]> Pour 10 séances, les deux tarifs coûtent autant, 80 €. Le tarif B n'est strictement moins cher qu'à partir de 11 séances.

]]> 6 séances

]]> Tu as divisé l'abonnement par le prix d'une séance au tarif B. Il faut comparer les deux tarifs : 8x > 5x + 30.

]]> 4 séances

]]> Tu as divisé l'abonnement par le prix d'une séance au tarif A. Chaque séance au tarif B fait économiser 3 € : il en faut plus de 10.

]]> 11 séances

]]> Bonne réponse : il faut 5x + 30 < 8x, soit 3x > 30, donc x > 10 ; le premier entier qui convient est 11.

]]> Fonctions — Q45 : Accroissement d'une fonction affine On considère la fonction affine f(x) = 3x - 4. Quand x augmente de 1, de combien varie f(x) ?

]]> Pour une fonction affine x \longmapsto ax + b, chaque augmentation de 1 de x fait varier f(x) de a : c'est ce qui rend la représentation rectiligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De 3

]]> Bonne réponse : f(x + 1) - f(x) = a × 1 = 3, quelle que soit la valeur de x.

]]> De 6

]]> C'est la variation pour une augmentation de 2. Pour une augmentation de 1, f(x) varie de 3.

]]> De -1

]]> C'est la valeur de f(1), pas la variation. La différence f(x + 1) - f(x) vaut 3.

]]> De -4

]]> Le terme constant ne varie pas ; il disparaît dans la différence f(x + 1) - f(x) = 3.

]]>