$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Angles, triangles et transformations Angles et parallélisme, somme des angles d'un triangle, droites
remarquables, parallélogrammes particuliers. Symétries axiale et
centrale, translation.

]]> Angles, triangles et transformations — Q01 : Angle alterne-interne [Figure : Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.]

Sur la figure, les droites (d) et (d') sont parallèles et l'angle marqué 1 mesure 60°.

Combien mesure l'angle marqué 2 ?

]]> Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30°

]]> 30° est le complément de 60°, ce qui n'a pas de rapport ici. Les angles alternes-internes sont égaux : 60°.

]]> 120°

]]> 120° est le supplément de 60°. Les angles 1 et 2 sont alternes-internes : avec des droites parallèles, ils sont égaux.

]]> 90°

]]> Rien n'indique un angle droit. L'angle 2 est alterne-interne avec l'angle 1 : il mesure 60°.

]]> 60°

]]> Bonne réponse : les angles 1 et 2 sont alternes-internes, et les droites sont parallèles, donc ils sont égaux.

]]> Angles, triangles et transformations — Q02 : Nommer une paire d'angles [Figure : Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.]

Sur la figure, les droites (d) et (d') sont parallèles et l'angle marqué 1 mesure 60°.

Comment appelle-t-on la paire formée par les angles 1 et 2 ?

]]> Alternes : de part et d'autre de la sécante. Internes : entre les deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des angles adjacents supplémentaires

]]> Des angles adjacents ont le même sommet et un côté commun. Ce n'est pas le cas des angles 1 et 2.

]]> Des angles alternes-internes

]]> Bonne réponse : ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.

]]> Des angles correspondants

]]> Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre non. Les angles 1 et 2 sont de part et d'autre.

]]> Des angles opposés par le sommet

]]> Des angles opposés par le sommet ont le même sommet. Les angles 1 et 2 sont aux deux points d'intersection.

]]> Angles, triangles et transformations — Q03 : Angle adjacent supplémentaire [Figure : Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.]

Sur la figure, les droites (d) et (d') sont parallèles et l'angle marqué 1 mesure 60°.

Combien mesure l'angle marqué 4 ?

]]> Deux angles adjacents dont les côtés non communs sont dans le prolongement l'un de l'autre sont supplémentaires : leur somme vaut 180°.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 120°

]]> Bonne réponse : les angles 1 et 4 sont adjacents et forment un angle plat, donc 180° - 60° = 120°.

]]> 300°

]]> On a retranché 60° d'un tour complet. Les angles 1 et 4 forment un angle plat : 180° - 60° = 120°.

]]> 60°

]]> L'angle 4 est obtus sur la figure. Avec l'angle 1, il forme un angle plat : 180° - 60° = 120°.

]]> 30°

]]> Les angles 1 et 4 forment un angle plat, de 180°, pas un angle droit : 180° - 60° = 120°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q04 : Angles correspondants [Figure : Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.]

Sur la figure, les droites (d) et (d') sont parallèles et l'angle marqué 1 mesure 60°.

Comment appelle-t-on la paire formée par les angles 2 et 3 ?

]]> Deux angles correspondants occupent la même position aux deux points d'intersection. Avec des droites parallèles, ils sont égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des angles complémentaires

]]> Leur somme vaut 60° + 60° = 120°, pas 90°.

]]> Des angles opposés par le sommet

]]> Les angles 2 et 3 n'ont pas le même sommet.

]]> Des angles correspondants

]]> Bonne réponse : ils sont du même côté de la sécante, chacun au-dessus d'une des deux droites.

]]> Des angles alternes-internes

]]> Les angles 2 et 3 sont du même côté de la sécante ; des angles alternes sont de part et d'autre.

]]> Angles, triangles et transformations — Q05 : Deux angles du même côté [Figure : Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.]

Sur la figure, les droites (d) et (d') sont parallèles et l'angle marqué 1 mesure 60°.

Que peut-on dire des angles 2 et 4 ?

]]> L'angle 2 est égal à l'angle 1 (alternes-internes), et l'angle 4 est le supplément de l'angle 1 : donc 2 et 4 sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont supplémentaires : leur somme vaut 180°

]]> Bonne réponse : l'angle 2 mesure 60° et l'angle 4 mesure 120°.

]]> Ils sont égaux, car ils sont correspondants

]]> L'angle 4 est sous (d) et l'angle 2 au-dessus de (d') : ils ne sont pas correspondants. Ils mesurent 60° et 120°.

]]> Ils sont égaux, car ils sont alternes-internes

]]> Les angles 2 et 4 sont du même côté de la sécante : ils ne sont pas alternes. Ils mesurent 60° et 120°.

]]> Ils sont complémentaires : leur somme vaut 90°

]]> Les angles mesurent 60° et 120° : leur somme vaut 180°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q06 : Des angles presque égaux Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent 72° et 74°. Les deux droites sont-elles parallèles ?

]]> Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles. Si ces angles sont différents, elles ne le sont pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car ce sont des angles alternes-internes

]]> Être alternes-internes ne suffit pas : ces angles doivent en plus être égaux pour que les droites soient parallèles.

]]> Non, car ces angles alternes-internes diffèrent

]]> Bonne réponse : si les droites étaient parallèles, les angles alternes-internes seraient égaux. Ils ne le sont pas.

]]> Oui, car les deux angles sont presque égaux

]]> Un écart de 2° suffit : les droites finissent par se couper. Pour être parallèles, il faudrait des angles exactement égaux.

]]> On ne peut pas conclure sans mesurer des longueurs

]]> Les angles suffisent : des angles alternes-internes différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.

]]> Angles, triangles et transformations — Q07 : Angle opposé par le sommet Deux droites sécantes forment un angle de 35°. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?

]]> Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 145°

]]> C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure 35°.

]]> 35°

]]> Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

]]> 325°

]]> On a retranché 35° d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : 35°.

]]> 55°

]]> C'est le complément de 35°. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : 35°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q08 : Angle adjacent sur une droite Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure 38°. Combien mesure l'autre ?

]]> Deux angles dont la somme vaut 180° sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut 90° sont complémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 142°

]]> Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc 180° - 38° = 142°.

]]> 38°

]]> Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut 180°, d'où 142°.

]]> 322°

]]> Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : 180° - 38° = 142°.

]]> 52°

]]> Les deux angles forment un angle plat, de 180°, pas un angle droit : 180° - 38° = 142°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q09 : Nature d'un angle Un angle mesure 135°. Comment est-il qualifié ?

]]> Aigu : entre 0° et 90°. Droit : 90°. Obtus : entre 90° et 180°. Plat : 180°.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Obtus

]]> Bonne réponse : 135° est compris entre 90° et 180°.

]]> Aigu

]]> Un angle aigu mesure moins de 90° ; 135° dépasse 90°.

]]> Droit

]]> Un angle droit mesure exactement 90°.

]]> Plat

]]> Un angle plat mesure exactement 180° ; 135° est plus petit.

]]> Angles, triangles et transformations — Q10 : Les huit angles de deux parallèles Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure 50°. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?

]]> Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 50°, 40° et 130°

]]> Aucun angle de 40° n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent.

]]> 50° et 130° seulement

]]> Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants.

]]> 50° seulement

]]> Les angles adjacents à l'angle donné mesurent 180° - 50° = 130° : il y a deux mesures.

]]> Huit mesures toutes différentes

]]> Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : 50° et 130°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q11 : Démontrer que deux droites sont parallèles Deux droites sont coupées par une sécante. Que suffit-il de montrer pour prouver qu'elles sont parallèles ?

]]> Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, alors elles sont parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que la sécante coupe chacune des deux droites

]]> Une sécante coupe toujours les deux droites, qu'elles soient parallèles ou non.

]]> Que deux angles alternes-internes sont égaux

]]> Bonne réponse : c'est la réciproque de la propriété des angles alternes-internes.

]]> Que deux angles adjacents formés sont égaux

]]> Deux angles adjacents sur une droite sont égaux seulement si la sécante est perpendiculaire à cette droite ; cela ne dit rien de l'autre droite.

]]> Que deux angles opposés par le sommet sont égaux

]]> Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux, que les droites soient parallèles ou non.

]]> Angles, triangles et transformations — Q12 : Troisième angle d'un triangle Dans un triangle ABC, \widehat{BAC} = 48° et \widehat{ABC} = 67°. Combien mesure l'angle \widehat{ACB} ?

]]> Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180°.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 65°

]]> Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut 180°, donc 180° - 48° - 67° = 65°.

]]> 132°

]]> Seul l'angle \widehat{BAC} a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : 65°.

]]> 245°

]]> La somme des angles d'un triangle vaut 180°, pas 360° : on trouve 65°.

]]> 115°

]]> C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à 180° : 65°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q13 : Angles à la base d'un triangle isocèle Un triangle ABC est isocèle en A, et \widehat{BAC} = 40°. Combien mesure l'angle \widehat{ABC} ?

]]> Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de 180°, puis on divise par 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 140°

]]> C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : 70°.

]]> 160°

]]> Seul l'angle au sommet a été divisé par 2. On partage 180° - 40° entre les deux angles à la base : 70°.

]]> 40°

]]> L'angle donné est l'angle au sommet A. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en B et en C : 70°.

]]> 70°

]]> Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent 180° - 40° = 140°, soit 70° chacun.

]]> Angles, triangles et transformations — Q14 : Angles aigus d'un triangle rectangle Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure 32°. Combien mesure l'autre angle aigu ?

]]> Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 32°

]]> Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure 58°.

]]> 148°

]]> L'angle droit a été oublié : il reste 180° - 90° - 32° = 58°.

]]> 238°

]]> Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse 180°. On calcule 180° - 90° - 32° = 58°.

]]> 58°

]]> Bonne réponse : l'angle droit prend 90°, il reste 90° pour les deux angles aigus, donc 90° - 32° = 58°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q15 : Angles d'un triangle équilatéral Combien mesure chacun des angles d'un triangle équilatéral ?

]]> Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux, de 60° chacun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60°

]]> Bonne réponse : les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180°, donc 180° ÷ 3 = 60°.

]]> 120°

]]> Trois angles de 120° feraient 360°, le double de la somme des angles d'un triangle.

]]> 90°

]]> Trois angles de 90° feraient 270°, plus que la somme des angles d'un triangle.

]]> 45°

]]> Trois angles de 45° feraient 135°, moins que 180°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q16 : Longueurs qui forment un triangle Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?

]]> On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 cm, 5 cm et 8 cm

]]> Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.

]]> 5 cm, 5 cm et 11 cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> 2 cm, 6 cm et 9 cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> 3 cm, 4 cm et 8 cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> Angles, triangles et transformations — Q17 : Définition de la médiatrice Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?

]]> La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux

]]> C'est la bissectrice d'un angle. La médiatrice concerne un segment.

]]> La droite perpendiculaire au segment en son milieu

]]> Bonne réponse : elle coupe le segment en son milieu et forme un angle droit avec lui.

]]> La perpendiculaire au segment passant par une de ses extrémités

]]> La médiatrice passe par le milieu du segment, pas par une extrémité.

]]> Une droite quelconque passant par le milieu du segment

]]> Une infinité de droites passent par le milieu ; la médiatrice est celle qui est en plus perpendiculaire au segment.

]]> Angles, triangles et transformations — Q18 : Un point de la médiatrice Un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB], et MA = 5 cm. Combien mesure MB ?

]]> Un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement s'il est à égale distance de A et de B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5 cm

]]> Bonne réponse : tout point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et de B.

]]> Les données ne suffisent pas

]]> La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de A et B, donc MB = 5 cm.

]]> 2{,}5 cm

]]> La médiatrice partage [AB] en deux, pas la distance MA : MB = MA = 5 cm.

]]> 10 cm

]]> M est à la même distance de A et de B : MB = MA = 5 cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q19 : Hauteur d'un triangle Dans un triangle ABC, qu'appelle-t-on la hauteur issue de A ?

]]> Un triangle a trois hauteurs, une par sommet ; elles sont concourantes. La hauteur sert à calculer l'aire : base × hauteur ÷ 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite passant par A parallèle à (BC)

]]> Une parallèle à (BC) ne la coupe jamais. La hauteur est perpendiculaire à (BC).

]]> La droite qui passe par A et par le milieu de [BC]

]]> C'est la médiane issue de A. La hauteur est perpendiculaire à (BC).

]]> La droite passant par A perpendiculaire à (BC)

]]> Bonne réponse : elle part du sommet A et coupe la droite (BC) à angle droit.

]]> La perpendiculaire à [BC] menée en son milieu

]]> C'est la médiatrice de [BC] ; elle ne passe pas par A en général.

]]> Angles, triangles et transformations — Q20 : Aire partagée par une médiane Un triangle ABC a une aire de 24 cm². La médiane issue de A le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?

]]> La médiane issue de A joint A au milieu I de [BC]. Les triangles ABI et AIC ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12 cm²

]]> Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de [BC]) et la même hauteur issue de A.

]]> 8 cm²

]]> Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : 12 cm² chacune.

]]> 6 cm²

]]> La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où 12 cm².

]]> 24 cm²

]]> C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : 12 cm².

]]> Angles, triangles et transformations — Q21 : Cercle circonscrit à un triangle rectangle Un triangle ABC est rectangle en A, et BC = 12 cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

]]> Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24 cm

]]> L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut 6 cm.

]]> 4 cm

]]> Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de BC, soit 6 cm.

]]> 12 cm

]]> C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : 6 cm.

]]> 6 cm

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut 12/2 = 6 cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q22 : Point commun aux trois médiatrices Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point. Que représente ce point ?

]]> Chaque médiatrice contient les points équidistants de deux sommets ; leur point commun est équidistant des trois sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le milieu du plus grand côté du triangle

]]> C'est le cas seulement pour un triangle rectangle. En général, le point est ailleurs.

]]> Un sommet du triangle, toujours le même

]]> Une médiatrice ne passe pas par les extrémités du côté. Le point est à égale distance des trois sommets.

]]> Le point où se coupent les trois hauteurs

]]> Les hauteurs passent par les sommets, pas les médiatrices. Les deux points diffèrent en général.

]]> Le centre du cercle circonscrit

]]> Bonne réponse : ce point est à égale distance des trois sommets, c'est le centre du cercle qui passe par eux.

]]> Angles, triangles et transformations — Q23 : Triangles de mêmes angles Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de 3 cm, 4 cm et 6 cm. Le plus petit côté du second mesure 6 cm. Combien mesure son plus grand côté ?

]]> Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 36 cm

]]> On a multiplié par 6 au lieu du coefficient 6/3 = 2 : on trouve 12 cm.

]]> 8 cm

]]> C'est l'image du côté moyen, 4 cm. Le plus grand côté correspond à 6 cm : 6 × 2 = 12 cm.

]]> 12 cm

]]> Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par 6/3 = 2, donc 6 × 2 = 12 cm.

]]> 9 cm

]]> On a ajouté 6 - 3 à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par 2.

]]> Angles, triangles et transformations — Q24 : Diagonales qui se coupent en leur milieu Un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu. Quelle est sa nature ?

]]> Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est forcément un carré

]]> Il faudrait des diagonales de même longueur et perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> C'est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : c'est une propriété caractéristique du parallélogramme.

]]> C'est forcément un losange

]]> Il faudrait en plus des diagonales perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> C'est forcément un rectangle

]]> Il faudrait en plus des diagonales de même longueur. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> Angles, triangles et transformations — Q25 : Parallélogramme aux diagonales égales Un parallélogramme a des diagonales de même longueur. Quelle est sa nature ?

]]> Parallélogramme et diagonales de même longueur : rectangle. Parallélogramme et diagonales perpendiculaires : losange. Les deux à la fois : carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un trapèze

]]> Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; le cas étudié ici est le rectangle.

]]> C'est un rectangle

]]> Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.

]]> C'est un losange

]]> Le losange se reconnaît à des diagonales perpendiculaires, pas de même longueur.

]]> C'est un carré

]]> Un carré a des diagonales égales, mais aussi perpendiculaires, ce qui n'est pas donné ici.

]]> Angles, triangles et transformations — Q26 : Parallélogramme aux diagonales perpendiculaires Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires. Quelle est sa nature ?

]]> Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; ce sont aussi des axes de symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un cerf-volant non parallélogramme

]]> L'énoncé dit que c'est un parallélogramme ; avec des diagonales perpendiculaires, c'est un losange.

]]> C'est un rectangle

]]> Le rectangle se reconnaît à des diagonales de même longueur, pas perpendiculaires.

]]> C'est un losange

]]> Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

]]> C'est un carré

]]> Un carré a des diagonales perpendiculaires, mais aussi de même longueur, ce qui n'est pas donné ici.

]]> Angles, triangles et transformations — Q27 : Côtés opposés d'un parallélogramme ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm et BC = 4 cm. Combien mesure CD ?

]]> Dans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés [AB] et [CD], de même que [BC] et [DA], sont parallèles et de même longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 cm

]]> [CD] est opposé à [AB], pas à [BC] : CD = AB = 7 cm.

]]> 7 cm

]]> Bonne réponse : [CD] est le côté opposé à [AB], et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.

]]> 11 cm

]]> C'est la somme de deux côtés consécutifs. CD est égal à son côté opposé : 7 cm.

]]> 14 cm

]]> Le côté opposé est égal à [AB], pas à son double : CD = 7 cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q28 : Angles consécutifs d'un parallélogramme ABCD est un parallélogramme avec \widehat{DAB} = 70°. Combien mesure l'angle \widehat{ABC} ?

]]> Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 70°

]]> Ce sont les angles opposés qui sont égaux, \widehat{DAB} et \widehat{BCD}. Les angles consécutifs sont supplémentaires : 110°.

]]> 290°

]]> La somme des quatre angles vaut 360°, mais deux angles consécutifs totalisent 180° : 110°.

]]> 110°

]]> Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc 180° - 70° = 110°.

]]> 20°

]]> Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : 180° - 70° = 110°.

]]> Angles, triangles et transformations — Q29 : Propriété du losange Quelle propriété possède tout losange ?

]]> Le losange est un quadrilatère à quatre côtés égaux ; c'est un parallélogramme particulier, aux diagonales perpendiculaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ses quatre angles sont des angles droits

]]> C'est le cas du rectangle ; un losange non carré n'a pas d'angle droit.

]]> Seuls deux de ses côtés ont la même longueur

]]> Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur.

]]> Ses quatre côtés ont la même longueur

]]> Bonne réponse : c'est la définition du losange.

]]> Ses deux diagonales ont la même longueur

]]> C'est le cas du rectangle ; les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, pas égales.

]]> Angles, triangles et transformations — Q30 : Nature la plus précise Un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit. Quelle est sa nature la plus précise ?

]]> Le carré est à la fois un rectangle et un losange : quatre côtés égaux et quatre angles droits.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un carré

]]> Bonne réponse : quatre côtés égaux en font un losange, et un losange qui a un angle droit est un carré.

]]> Un losange qui n'est pas un carré

]]> Un losange ayant un angle droit en a quatre : c'est un carré.

]]> Un parallélogramme quelconque

]]> C'est un parallélogramme, mais pas quelconque : côtés égaux et angle droit en font un carré.

]]> Un rectangle qui n'est pas un carré

]]> Ses quatre côtés sont égaux : un rectangle à côtés égaux est un carré.

]]> Angles, triangles et transformations — Q31 : Diagonales d'un rectangle ABCD est un rectangle avec AC = 8 cm. Combien mesure BD ?

]]> Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16 cm

]]> Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : BD = 8 cm.

]]> Les données ne suffisent pas

]]> Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : BD = AC = 8 cm.

]]> 4 cm

]]> C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière [BD] mesure autant que [AC] : 8 cm.

]]> 8 cm

]]> Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.

]]> Angles, triangles et transformations — Q32 : Demi-diagonale d'un parallélogramme ABCD est un parallélogramme de centre O, et AO = 3 cm. Combien mesure AC ?

]]> Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre O.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12 cm

]]> On ne double qu'une fois : AC = AO + OC = 3 + 3 = 6 cm.

]]> 6 cm

]]> Bonne réponse : O est le milieu de la diagonale [AC], donc AC = 2 × 3 = 6 cm.

]]> 3 cm

]]> C'est la moitié de la diagonale. O est le milieu de [AC] : AC = 6 cm.

]]> 1{,}5 cm

]]> O est le milieu de [AC] : on double AO, on ne le divise pas, AC = 6 cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q33 : Ce qui n'est pas toujours vrai d'un rectangle Laquelle de ces propriétés n'est pas vraie pour tous les rectangles ?

]]> Un rectangle a quatre angles droits ; ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. Elles ne sont perpendiculaires que si c'est un carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ses diagonales ont la même longueur

]]> C'est vrai pour tout rectangle.

]]> Ses diagonales sont perpendiculaires

]]> Bonne réponse : c'est vrai seulement pour les rectangles qui sont des carrés.

]]> Ses quatre angles sont des angles droits

]]> C'est la définition du rectangle.

]]> Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux

]]> C'est vrai pour tout rectangle, qui est un parallélogramme.

]]> Angles, triangles et transformations — Q34 : Image d'un segment par symétrie axiale Un segment mesure 6 cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?

]]> Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12 cm

]]> La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de 6 cm.

]]> Cela dépend de l'axe

]]> Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : 6 cm.

]]> 6 cm

]]> Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs.

]]> 3 cm

]]> La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure 6 cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q35 : Définition de la symétrie centrale Le point A' est le symétrique du point A par rapport au point O. Qu'est-ce que cela signifie ?

]]> Dans la symétrie de centre O, chaque point A a pour image le point A' tel que O soit le milieu de [AA'] ; c'est un demi-tour autour de O.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc O est le milieu du segment [AA']

]]> Bonne réponse : la symétrie de centre O, ou demi-tour autour de O, envoie A de l'autre côté de O, à la même distance.

]]> OA' est le double de OA

]]> La symétrie conserve les distances au centre : OA' = OA.

]]> A est le milieu du segment [OA']

]]> C'est O, le centre, qui est au milieu : OA = OA', et O est sur [AA'].

]]> A' est sur la perpendiculaire à (OA) en O

]]> Cela décrirait un quart de tour. Le demi-tour place A' sur la droite (OA), de l'autre côté de O.

]]> Angles, triangles et transformations — Q36 : Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point A(3 ; 5) par rapport à l'axe des ordonnées ?

]]> Par rapport à l'axe des ordonnées, (x ; y) devient (-x ; y) ; par rapport à l'axe des abscisses, (x ; -y).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3 ; -5)

]]> C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe.

]]> (5 ; 3)

]]> Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur 5 et son abscisse devient -3.

]]> (-3 ; 5)

]]> Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe.

]]> (-3 ; -5)

]]> C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas.

]]> Angles, triangles et transformations — Q37 : Symétrique d'un point par rapport à un autre Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point A(1 ; 2) par rapport au point B(3 ; 5) ?

]]> B doit être le milieu de [AA'] : le déplacement de A à B est le même que celui de B à A'.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4 ; 7)

]]> Ajouter les coordonnées de A et de B ne place pas B au milieu. Le symétrique est (5 ; 8).

]]> (5 ; 8)

]]> Bonne réponse : pour aller de A à B, on avance de 2 en abscisse et de 3 en ordonnée ; on recommence à partir de B.

]]> (-1 ; -2)

]]> C'est le symétrique de A par rapport à l'origine, pas par rapport à B.

]]> (2 ; 3)

]]> Ce sont les déplacements de A à B, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de B : (5 ; 8).

]]> Angles, triangles et transformations — Q38 : Axes de symétrie d'un rectangle Combien d'axes de symétrie possède un rectangle qui n'est pas un carré ?

]]> Un carré a quatre axes de symétrie (les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales) ; un rectangle non carré n'en a que deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Les diagonales d'un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie : le pliage selon une diagonale ne superpose pas les deux moitiés.

]]> 2

]]> Bonne réponse : les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

]]> 1

]]> Il y a deux axes, l'un parallèle à la longueur, l'autre parallèle à la largeur.

]]> 0

]]> Un rectangle se replie sur lui-même selon la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés.

]]> Angles, triangles et transformations — Q39 : Ce que conserve une symétrie Que conserve une symétrie axiale ?

]]> Une symétrie axiale, une symétrie centrale et une translation conservent toutes les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les angles mais pas les aires

]]> Les aires sont conservées : deux figures superposables ont la même aire.

]]> Les longueurs mais pas les angles

]]> Les angles sont conservés aussi : un angle droit a pour image un angle droit.

]]> Seulement l'alignement des points

]]> L'alignement est conservé, mais aussi les longueurs, les angles et les aires.

]]> Les longueurs, les angles et les aires

]]> Bonne réponse : la figure et son image sont superposables.

]]> Angles, triangles et transformations — Q40 : Translation et parallélogramme La translation qui transforme A en B transforme C en D. Les points A, B et C ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?

]]> Si la translation qui transforme A en B transforme C en D, alors ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati si les points sont alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C est le milieu du segment [AD]

]]> Rien n'aligne A, C et D : la translation fait de ABDC un parallélogramme.

]]> ABCD est un parallélogramme

]]> L'ordre des sommets est faux : dans ABCD, [AB] et [CD] seraient parcourus en sens contraires. C'est ABDC.

]]> D est le milieu du segment [BC]

]]> La translation déplace C autant que A : CD = AB, et D n'est pas sur [BC] en général.

]]> ABDC est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : on va de C à D comme de A à B, donc [AB] et [CD] sont deux côtés opposés : l'ordre des sommets est A, B, D, C.

]]> Angles, triangles et transformations — Q41 : Image d'un point par une translation Dans un repère, la translation qui transforme A(1 ; 2) en B(4 ; 3) transforme le point C(0 ; 5) en un point D. Quelles sont les coordonnées de D ?

]]> Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 ; 8)

]]> Les deux déplacements sont échangés : +3 en abscisse et +1 en ordonnée, d'où (3 ; 6).

]]> (4 ; 8)

]]> On a ajouté les coordonnées de B, pas le déplacement de A à B, qui vaut 3 et 1.

]]> (-3 ; 4)

]]> Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de B vers A. On ajoute 3 et 1 : (3 ; 6).

]]> (3 ; 6)

]]> Bonne réponse : de A à B, on avance de 3 en abscisse et de 1 en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de C.

]]> Angles, triangles et transformations — Q42 : Reconnaître un demi-tour [Figure : Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' de même forme, retournée tête en bas, avec le pied tourné vers la gauche en haut.]

Sur le quadrillage ci-dessous, quelle transformation permet de passer de la figure F à la figure F' ?

]]> Un demi-tour autour de O retourne la figure tête en bas et inverse la gauche et la droite ; O est le milieu de chaque segment joignant un point à son image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie d'axe horizontal passant par O

]]> Cette symétrie laisserait F' du même côté de (d) que F, à gauche. Or F' est passée à droite.

]]> La symétrie d'axe (d)

]]> Le symétrique de F par rapport à (d) serait à la même hauteur que F, le pied tourné vers la gauche. F' est plus bas et tête en bas.

]]> La symétrie de centre O

]]> Bonne réponse : F' est F retournée d'un demi-tour autour de O ; chaque sommet a son image de l'autre côté de O, à la même distance.

]]> Une translation

]]> Une translation ne fait pas tourner la figure : le pied resterait en bas, tourné vers la droite.

]]> Angles, triangles et transformations — Q43 : Reconnaître une translation [Figure : Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' identique, dans la même position, avec le pied tourné vers la droite en bas.]

Les figures F et F' sont tracées sur le quadrillage ci-dessous. Par quelle
transformation obtient-on F' à partir de F ?

]]> Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner : tous les points se déplacent de la même façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une translation

]]> Bonne réponse : F' a la même orientation que F ; chaque point a glissé de 6 carreaux vers la droite et de 3 vers le bas.

]]> La symétrie de centre O

]]> Un demi-tour retournerait la figure tête en bas. F' garde le pied en bas, tourné vers la droite.

]]> La symétrie d'axe (d)

]]> Une symétrie axiale retournerait le pied vers la gauche et garderait la même hauteur. F' a glissé sans se retourner.

]]> Aucune de ces transformations

]]> Le glissement de 6 carreaux vers la droite et de 3 vers le bas est une translation.

]]> Angles, triangles et transformations — Q44 : Image d'une droite par un demi-tour Quelle est l'image d'une droite (Δ) par une symétrie centrale de centre O, si O n'est pas sur (Δ) ?

]]> Une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle ; si le centre est sur la droite, la droite est sa propre image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite parallèle à (Δ)

]]> Bonne réponse : un demi-tour transforme une droite en une droite parallèle.

]]> Une droite perpendiculaire à (Δ)

]]> Cela correspondrait à un quart de tour. Un demi-tour donne une droite parallèle.

]]> Une droite qui coupe (Δ) au point O

]]> O n'est pas sur (Δ), ni sur son image : les deux droites sont parallèles.

]]> Un segment dont O est le milieu

]]> L'image d'une droite est une droite entière, parallèle à (Δ).

]]> Angles, triangles et transformations — Q45 : Une lettre symétrique Laquelle de ces lettres majuscules possède un axe de symétrie vertical ?

]]> Une figure a un axe de symétrie si le pliage selon cet axe superpose ses deux moitiés. Dans les lettres majuscules usuelles, A, H, M, O, T, U, V, W, X et Y ont un axe vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La lettre N

]]> Le N n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé.

]]> La lettre A

]]> Bonne réponse : la droite verticale qui passe par la pointe du A le partage en deux moitiés superposables par pliage.

]]> La lettre Z

]]> Le Z n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé.

]]> La lettre F

]]> Le F n'a aucune symétrie : ses barres partent toutes vers la droite.

]]>