$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Probabilités Vocabulaire (issue, événement, événement contraire), situations
d'équiprobabilité, calcul de probabilités, expériences à deux
épreuves, lien entre fréquence observée et probabilité.

]]> Probabilités — Q01 : Obtenir un nombre donné avec un dé On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Quelle
est la probabilité d'obtenir 4 ?

]]> Quand toutes les issues ont la même probabilité, la probabilité d'un
événement vaut nombre d'issues favorables/nombre d'issues possibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙

]]> Bonne réponse : les six faces ont la même chance de sortir, et une
seule porte le numéro 4.

]]> 4/6

]]> Erreur : le numéro 4 n'apparaît que sur une face ; le nombre 4
n'est pas un nombre d'issues favorables.

]]> ¼

]]> Erreur : le dénominateur est le nombre d'issues possibles, 6.

]]> 6

]]> Erreur : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

]]> Probabilités — Q02 : Tirer une boule dans une urne Une urne contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes,
indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la
probabilité qu'elle soit rouge ?

]]> Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on
compte les boules de chaque couleur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/10

]]> Bonne réponse : 3 boules rouges parmi 10 boules, toutes
ayant la même chance d'être tirées.

]]> ⅓

]]> Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre
de boules, donc pas la même probabilité.

]]> 3/7

]]> Erreur : on divise par le nombre total de boules, rouges
comprises, et non par le nombre des autres boules.

]]> ½

]]> Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue.

]]> Probabilités — Q03 : Probabilité de l'événement contraire La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à 0{,}3. Quelle est la
probabilité qu'il ne pleuve pas ?

]]> P(non A) = 1 - P(A) : c'est souvent le plus court chemin
pour calculer une probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités
de somme 1, donc 1 - 0{,}3 = 0{,}7.

]]> -0{,}3

]]> Erreur : une probabilité n'est jamais négative.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas
forcément équiprobables.

]]> 0{,}3

]]> Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de
l'événement contraire.

]]> Probabilités — Q04 : Issue ou événement On lance un dé à six faces. Que désigne « obtenir un nombre pair » ?

]]> Issue : résultat possible de l'expérience. Événement : ensemble
d'issues, décrit par une phrase.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une issue de l'expérience

]]> Erreur : une issue est un résultat unique, comme « obtenir 4 ».
Ici, plusieurs résultats conviennent.

]]> Un événement impossible

]]> Erreur : le dé porte trois nombres pairs, cet événement peut se
réaliser.

]]> Un événement certain

]]> Erreur : si l'on obtient 1, 3 ou 5, l'événement n'est pas
réalisé.

]]> Un événement

]]> Bonne réponse : il est réalisé par les issues 2, 4 et 6.

]]> Probabilités — Q05 : Probabilités extrêmes On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la
probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 10 ?

]]> Une probabilité est comprise entre 0 (événement impossible) et 1
(événement certain).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : toutes les faces portent un nombre inférieur à
10 ; l'événement est certain.

]]> 0

]]> Erreur : 0 est la probabilité d'un événement impossible, comme
« obtenir 7 ».

]]> ⅙

]]> Erreur : les six issues réalisent toutes l'événement, pas une
seule.

]]> 6/10

]]> Erreur : le nombre 10 n'est pas un nombre d'issues ; il n'y a
que six issues possibles.

]]> Probabilités — Q06 : Tirer un multiple parmi des cartes On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

]]> On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la formule de l'équiprobabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/10

]]> Bonne réponse : les multiples de 3 sont 3, 6, 9, soit 3 issues favorables sur 10.

]]> 3/7

]]> Erreur : on divise par le nombre total d'issues, 10, pas par le nombre d'issues défavorables.

]]> 7/10

]]> Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 3, l'événement contraire.

]]> ⅓

]]> Erreur : « un sur 3 » n'est pas exact ici, car 10 n'est pas un multiple de 3. On compte les issues favorables.

]]> Probabilités — Q07 : Fréquence observée et probabilité On lance 600 fois un dé équilibré et le 6 sort 93 fois. Que
peut-on dire ?

]]> Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence d'un événement
a tendance à se rapprocher de sa probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'obtenir 6 vaut 0{,}155

]]> Erreur : 0{,}155 est une fréquence observée. La probabilité
d'un dé équilibré est ⅙.

]]> Les prochains lancers donneront plus de 6 pour compenser

]]> Erreur : le dé n'a pas de mémoire ; chaque lancer est indépendant
des précédents.

]]> Le dé est truqué, car le 6 aurait dû sortir 100 fois

]]> Erreur : 100 est le nombre moyen attendu. Un écart de quelques
lancers est normal, le hasard fait fluctuer les résultats.

]]> La fréquence observée est proche de ⅙

]]> Bonne réponse : \dfrac{93}{600} = 0{,}155 et
\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167 ; sur un grand nombre de lancers, la
fréquence observée se rapproche de la probabilité, sans lui être
égale.

]]> Probabilités — Q08 : Après plusieurs piles Une pièce équilibrée vient de tomber cinq fois de suite sur pile.
Quelle est la probabilité qu'elle tombe sur face au lancer suivant ?

]]> Des lancers successifs sont indépendants : le résultat d'un lancer
ne dépend pas des précédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus de ½, car face doit bientôt sortir

]]> Erreur : les lancers précédents n'influencent pas le suivant. Ce
raisonnement est une erreur fréquente.

]]> ⅙, car c'est le sixième lancer

]]> Erreur : le rang du lancer ne change rien ; il n'y a que deux
issues à chaque lancer.

]]> Moins de ½, car la pièce favorise pile

]]> Erreur : la pièce est équilibrée ; cinq piles de suite sont
rares, mais possibles avec une pièce équilibrée.

]]> ½

]]> Bonne réponse : la pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer donne
face avec la probabilité ½.

]]> Probabilités — Q09 : Deux lancers d'une pièce On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux fois pile ?

]]> Un arbre ou un tableau montre toutes les issues d'une expérience à
deux épreuves : ici 2 × 2 = 4 issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : ½ + ½ n'a pas de sens ici ;
deux piles de suite ne sont pas certains.

]]> ¼

]]> Bonne réponse : les quatre issues PP, PF, FP et FF sont
équiprobables, et une seule donne deux piles.

]]> ⅓

]]> Erreur : « deux piles », « deux faces » et « un de chaque » ne
sont pas équiprobables : « un de chaque » arrive de deux façons.

]]> ½

]]> Erreur : ½ est la probabilité d'obtenir pile en un
seul lancer.

]]> Probabilités — Q10 : Somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on additionne les
résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à
7 ?

]]> Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée
permet de lister et de compter toutes les issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7/36

]]> Erreur : le nombre 7 n'est pas le nombre d'issues favorables.

]]> 6/36

]]> Bonne réponse : le tableau à double entrée compte 36 issues
équiprobables, dont six donnent 7 : (1 ; 6), (2 ; 5),
(3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1).

]]> 3/36

]]> Erreur : (1 ; 6) et (6 ; 1) sont deux issues différentes,
les deux dés se distinguent.

]]> 1/11

]]> Erreur : les onze sommes de 2 à 12 ne sont pas équiprobables ;
7 s'obtient de six façons, 2 d'une seule.

]]> Probabilités — Q11 : Au moins un six On lance deux dés équilibrés. La probabilité de n'obtenir aucun six
vaut 25/36. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un
six ?

]]> « Au moins un » se traite souvent par l'événement contraire,
« aucun ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2/6

]]> Erreur : additionner ⅙ et ⅙ compte deux
fois l'issue double six.

]]> 1/36

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir deux six.

]]> 25/36

]]> Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, « aucun
six ».

]]> 11/36

]]> Bonne réponse : « au moins un six » est le contraire de « aucun
six », donc 1 - 25/36.

]]> Probabilités — Q12 : Nommer l'événement contraire On tire une carte dans un jeu. Quel est le contraire de l'événement
« la carte est un cœur » ?

]]> L'événement contraire de A, noté « non A », regroupe toutes les
issues qui ne réalisent pas A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « La carte n'est pas un cœur »

]]> Bonne réponse : le contraire est réalisé exactement quand
l'événement ne l'est pas.

]]> « La carte est un cœur rouge »

]]> Erreur : tous les cœurs sont rouges ; c'est le même événement.

]]> « La carte est un pique »

]]> Erreur : une carte qui n'est pas un cœur peut aussi être un
carreau ou un trèfle.

]]> « La carte est noire »

]]> Erreur : les carreaux sont rouges sans être des cœurs ; ils font
partie du contraire.

]]> Probabilités — Q13 : Roue partagée en secteurs égaux Une roue équilibrée est partagée en 9 secteurs de même taille : 3 rouges, 4 bleus et 2 jaunes. Quelle est la probabilité que la roue s'arrête sur un secteur bleu ?

]]> Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même probabilité : on compte les secteurs favorables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¼

]]> Erreur : 4 est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur.

]]> ⅓

]]> Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même nombre de secteurs.

]]> ⅘

]]> Erreur : le dénominateur est le nombre total de secteurs, 9, bleus compris.

]]> 4/9

]]> Bonne réponse : 4 secteurs bleus sur 9, tous de même taille, soit 4/9 = 4/9.

]]> Probabilités — Q14 : Retrouver le nombre de boules Une urne contient 6 boules rouges et d'autres boules. La
probabilité de tirer une boule rouge vaut ¼. Combien de
boules l'urne contient-elle en tout ?

]]> Si P(rouge) = rouges/total, alors
total = rouges ÷ P(rouge).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 18

]]> Erreur : 18 est le nombre de boules qui ne sont pas
rouges.

]]> 24

]]> Bonne réponse : les boules rouges forment ¼ du
total, donc le total vaut 6 × 4.

]]> 4

]]> Erreur : l'urne contient déjà 6 boules rouges, donc plus de
4 boules.

]]> 10

]]> Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un
dénominateur ; avec 10 boules, la probabilité serait
6/10.

]]> Probabilités — Q15 : Probabilité de la troisième couleur Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que P(\text{rouge}) = 0{,}35 et P(\text{vert}) = 0{,}4. Que vaut P(bleu) ?

]]> La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}75

]]> Erreur : 0{,}75 est la somme des deux probabilités connues ; il faut la retrancher de 1.

]]> ⅓

]]> Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité.

]]> 0{,}05

]]> Erreur : 0{,}4 - 0{,}35 ne correspond à rien ici ; on part de 1.

]]> 0{,}25

]]> Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme 1, donc 1 - 0{,}35 - 0{,}4 = 0{,}25.

]]> Probabilités — Q16 : Deux tirages sans remise Une urne contient 2 boules rouges et 1 bleue. On tire une boule,
on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la
probabilité de tirer deux boules rouges ?

]]> Dans un tirage sans remise, la composition de l'urne change après le
premier tirage. Un arbre aide à lister les issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4/9

]]> Erreur : c'est le résultat avec remise. Sans remise, il ne reste
qu'une rouge sur deux boules au second tirage.

]]> ⅔

]]> Erreur : c'est la probabilité que la première boule soit
rouge.

]]> ⅓

]]> Bonne réponse : notons R₁, R₂ et B les boules. Les six
tirages ordonnés sont équiprobables, et deux d'entre eux,
(R₁ ; R₂) et (R₂ ; R₁), donnent deux rouges.

]]> ½

]]> Erreur : il faut deux conditions à la fois, la première boule
rouge puis la seconde aussi.

]]> Probabilités — Q17 : Choisir la meilleure urne On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient 3 noires et 7 blanches, l'urne B contient 5 noires et 15 blanches. Quelle urne choisir ?

]]> Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les nombres d'issues favorables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux urnes se valent

]]> Erreur : 3/10 et 5/20 ne sont pas égales.

]]> L'urne B, car elle a plus de noires

]]> Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer les proportions de noires.

]]> On ne peut pas comparer des urnes différentes

]]> Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement.

]]> L'urne A, car 3/10 > 5/20

]]> Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut 0{,}3 avec A et 0{,}25 avec B.

]]> Probabilités — Q18 : Reconnaître une situation équiprobable Dans laquelle de ces expériences les issues sont-elles
équiprobables ?

]]> L'équiprobabilité est une hypothèse de modélisation, justifiée par la
symétrie de la situation (dé équilibré, tirage au hasard).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Noter la couleur d'une boule tirée dans une urne de 3 rouges et
1 verte

]]> Erreur : les issues « rouge » et « verte » n'ont pas la même
probabilité, ¾ et ¼.

]]> Noter la somme de deux dés

]]> Erreur : les sommes ne sont pas équiprobables ; 7 est bien plus
fréquent que 2.

]]> Noter si une punaise lancée tombe pointe en haut

]]> Erreur : rien ne garantit que les deux positions aient la même
chance ; seule l'expérience permet d'estimer ces probabilités.

]]> Tirer une carte au hasard dans un jeu bien mélangé

]]> Bonne réponse : chaque carte a la même chance d'être tirée.

]]> Probabilités — Q19 : Estimer une probabilité par une fréquence On lance 1 000 fois une punaise : elle tombe 620 fois pointe en haut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut peut-on proposer ?

]]> Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on l'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 0{,}62

]]> Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence observée, 620/1 000, fournit une estimation de la probabilité.

]]> Exactement 0{,}5

]]> Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions n'ont aucune raison d'être équiprobables.

]]> 620

]]> Erreur : 620 est un effectif. Une probabilité est comprise entre 0 et 1.

]]> Environ 0{,}38

]]> Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas.

]]> Probabilités — Q20 : Un menu tiré au sort Un restaurant tire au sort une entrée parmi 2 et un dessert parmi 3, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir l'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?

]]> Un arbre à deux niveaux montre les 6 menus possibles ; on les compte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅚

]]> Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir ce menu.

]]> ½

]]> Erreur : ½ est la probabilité d'obtenir la salade ; il faut aussi obtenir la tarte.

]]> ⅙

]]> Bonne réponse : il y a 2 × 3 = 6 menus équiprobables, et un seul associe salade et tarte.

]]> ⅕

]]> Erreur : les choix se combinent ; on multiplie 2 par 3, on n'additionne pas.

]]> Probabilités — Q21 : Écrire une probabilité de plusieurs façons Quelle écriture n'est pas égale à la probabilité
¾ ?

]]> Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre
décimal ou de pourcentage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 75\ %

]]> Erreur : 0{,}75 = \dfrac{75}{100}, soit 75\ %.

]]> 6/8

]]> Erreur : 6/8 se simplifie en ¾.

]]> 0{,}75

]]> Erreur : 3 \div 4 = 0{,}75, c'est bien la même probabilité.

]]> 3{,}4

]]> Bonne réponse : 3{,}4 est supérieur à 1, ce ne peut pas être
une probabilité ; ¾ vaut 0{,}75.

]]> Probabilités — Q22 : Deux tirages avec remise Une urne contient 5 boules dont 2 rouges. On tire une boule, on
la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de
tirer deux boules rouges ?

]]> Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;
un tableau à double entrée permet de compter les couples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9/25

]]> Erreur : c'est la probabilité de ne tirer aucune boule rouge
lors des deux tirages.

]]> ⅖

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul
tirage ; il en faut deux.

]]> 4/25

]]> Bonne réponse : il y a 5 × 5 couples de tirages
équiprobables, dont 2 × 2 sont formés de deux rouges.

]]> ⅘

]]> Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne
pas la probabilité d'obtenir rouge et rouge.

]]> Probabilités — Q23 : Un événement impossible On tire une boule dans une urne qui ne contient que des boules
rouges et bleues. Quel événement est impossible ?

]]> Événement impossible : probabilité 0. Événement certain :
probabilité 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « La boule est rouge »

]]> Erreur : l'urne contient des boules rouges, cet événement peut
se réaliser.

]]> « La boule est rouge ou bleue »

]]> Erreur : c'est au contraire un événement certain.

]]> « La boule n'est pas rouge »

]]> Erreur : il est réalisé quand on tire une boule bleue.

]]> « La boule est verte »

]]> Bonne réponse : aucune issue ne réalise cet événement, sa
probabilité vaut 0.

]]> Probabilités — Q24 : Tirer un nombre premier On choisit au hasard un entier entre 1 et 20, bornes comprises.
Quelle est la probabilité qu'il soit premier ?

]]> On liste soigneusement les issues favorables avant de calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8/20

]]> Bonne réponse : les nombres premiers jusqu'à 20 sont 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17 et 19.

]]> 7/20

]]> Erreur : 2 est premier ; c'est le seul nombre premier pair.

]]> 10/20

]]> Erreur : ce serait la probabilité d'obtenir un nombre impair ;
9 et 15, par exemple, ne sont pas premiers.

]]> 9/20

]]> Erreur : 1 n'est pas un nombre premier, il n'a qu'un seul
diviseur.

]]> Probabilités — Q25 : Un jeu équitable On lance deux pièces équilibrées. Alice gagne si les deux pièces
tombent du même côté, Bob gagne sinon. Le jeu est-il équitable ?

]]> Un jeu est équitable quand chaque joueur a la même probabilité de
gagner.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, Alice a une probabilité ⅔ de gagner

]]> Erreur : il y a quatre issues équiprobables, et non trois ; « un
de chaque » arrive de deux façons.

]]> Oui, chacun a une probabilité ½ de gagner

]]> Bonne réponse : PP et FF font gagner Alice, PF et FP font gagner
Bob ; les quatre issues sont équiprobables.

]]> On ne peut pas savoir sans jouer

]]> Erreur : les pièces étant équilibrées, on peut calculer les
probabilités sans jouer.

]]> Non, Bob a une probabilité ¾ de gagner

]]> Erreur : Bob gagne avec PF et FP seulement, deux issues sur
quatre.

]]> Probabilités — Q26 : Nombre de succès attendu Un événement a une probabilité ⅙. On répète
l'expérience 300 fois. Environ combien de fois l'événement se
réalisera-t-il ?

]]> Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à
quelques fluctuations près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 6 fois

]]> Erreur : 6 est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre
de réalisations.

]]> Environ 250 fois

]]> Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise
pas.

]]> Environ 50 fois

]]> Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est
proche de ⅙, donc l'événement se réalise environ
300/6 fois.

]]> Exactement 50 fois

]]> Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ
ce nombre, pas exactement.

]]> Probabilités — Q27 : Pas deux fois la même couleur On tire deux fois de suite, avec remise, une boule dans une urne de
1 boule rouge et 1 boule bleue. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux couleurs différentes ?

]]> Un arbre à deux niveaux fait apparaître quatre issues équiprobables ;
on compte celles qui réalisent l'événement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Bonne réponse : les issues RR, RB, BR et BB sont équiprobables, et
deux d'entre elles, RB et BR, donnent deux couleurs différentes.

]]> ⅓

]]> Erreur : « deux rouges », « deux bleues » et « une de chaque » ne
sont pas équiprobables.

]]> ¼

]]> Erreur : RB et BR sont deux issues distinctes ; elles donnent
toutes deux des couleurs différentes.

]]> 1

]]> Erreur : avec remise, on peut tirer deux fois la même boule.

]]> Probabilités — Q28 : Placer une probabilité sur une échelle Un événement a une probabilité de 0{,}95. Comment le qualifier ?

]]> Sur l'échelle de 0 à 1 : 0 impossible, ½ une chance
sur deux, 1 certain.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible, car 0{,}95 n'est pas une fraction

]]> Erreur : une probabilité peut s'écrire en décimal ;
0{,}95 = \dfrac{95}{100}.

]]> Certain

]]> Erreur : seul un événement de probabilité 1 est certain.

]]> Peu probable

]]> Erreur : un événement peu probable a une probabilité proche de
0.

]]> Très probable, sans être certain

]]> Bonne réponse : 0{,}95 est proche de 1, mais inférieur à 1 :
l'événement peut ne pas se réaliser.

]]> Probabilités — Q29 : Un événement décrit par « ou » On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité
d'obtenir un nombre pair ou un multiple de 3 ?

]]> On liste les issues qui réalisent au moins l'une des deux conditions,
en veillant à ne pas compter deux fois la même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair et
multiple de 3, c'est-à-dire 6.

]]> 4/6

]]> Bonne réponse : les issues favorables sont 2, 3, 4 et 6 ;
le 6, pair et multiple de 3, ne compte qu'une fois.

]]> ⅚

]]> Erreur : 3 issues paires et 2 multiples de 3 font 5
seulement si l'on compte le 6 deux fois.

]]> 3/6

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair seulement ;
le 3 convient aussi.

]]> Probabilités — Q30 : Boules à ajouter pour équilibrer Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules bleues. Combien de boules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une rouge soit égale à ½ ?

]]> La probabilité vaut ½ quand les issues favorables sont aussi nombreuses que les autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : avec 4 rouges sur 9 boules, la probabilité reste inférieure à ½.

]]> 5

]]> Erreur : avec 8 rouges sur 13 boules, la probabilité dépasse ½.

]]> 4

]]> Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit 5 rouges, donc d'en ajouter 2.

]]> 2

]]> Bonne réponse : avec 5 rouges et 5 bleues, les deux couleurs ont la même probabilité, 5/10 = ½.

]]> Probabilités — Q31 : Compter les issues de deux épreuves On lance une pièce puis un dé à six faces, dont tous les résultats sont
équiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves
compte-t-elle ?

]]> Un arbre à 2 branches, chacune suivie de 6 branches, a
2 × 6 chemins : autant d'issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 issues

]]> Erreur : 2 est le nombre d'issues de la première épreuve
seule.

]]> 6 issues

]]> Erreur : 6 est le nombre d'issues de la seconde épreuve
seule.

]]> 12 issues

]]> Bonne réponse : chacune des 2 issues de la première épreuve
se combine avec chacune des 6 issues de la seconde :
2 × 6 = 12.

]]> 8 issues

]]> Erreur : les issues se combinent, elles ne s'additionnent
pas ; pensez aux branches de l'arbre.

]]> Probabilités — Q32 : Probabilité d'un chemin de l'arbre Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. On
tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est
la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

]]> Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des
probabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a
les mêmes probabilités que la première.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4/25

]]> Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec
la probabilité ⅖ ; le chemin « rouge puis
rouge » a pour probabilité ⅖ × ⅖ = 4/25.

]]> ⅖

]]> Erreur : ⅖ est la probabilité d'une seule
rouge, pas de deux.

]]> ⅘

]]> Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser 1 ; relisez
l'arbre.

]]> 4/10

]]> Erreur : les probabilités des deux branches successives se
multiplient, elles ne s'additionnent pas.

]]> Probabilités — Q33 : Au moins une boule rouge Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. On
tire deux boules successivement avec remise. Quelle est la
probabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?

]]> « Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :
1 - P(aucun), ici 1 - P(bleue, bleue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16/25

]]> Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de
probabilité 9/25 ; donc
1 - 9/25 = 16/25.

]]> 4/25

]]> Erreur : 4/25 est la probabilité de deux
rouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une
seule rouge.

]]> 9/25

]]> Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux
bleues.

]]> ⅖

]]> Erreur : ⅖ est la probabilité d'une rouge au
premier tirage seulement.

]]> Probabilités — Q34 : Une pièce puis un dé On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir « face » puis le nombre 1 ?

]]> Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses branches.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅛

]]> Erreur : les issues se combinent : 2 × 6 = 12, et non 2 + 6.

]]> ⅙

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir 1 avec le dé seul ; il faut aussi obtenir « face ».

]]> 1/12

]]> Bonne réponse : il y a 2 × 6 = 12 issues équiprobables, dont une seule est favorable.

]]> ⅔

]]> Erreur : les probabilités des deux épreuves se multiplient le long du chemin ; on ne les ajoute pas.

]]> Probabilités — Q35 : Somme de deux dés lue dans un tableau Un tableau à double entrée présente les 36 sommes possibles quand on lance deux dés équilibrés à six faces. Quelle est la probabilité que la somme vaille 8 ?

]]> Avec deux dés, on raisonne sur les 36 couples équiprobables, pas sur les 11 sommes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/36

]]> Erreur : plusieurs cases du tableau donnent la somme 8 : il y en a 5.

]]> 5/11

]]> Erreur : les 36 cases du tableau sont équiprobables, pas les 11 sommes ; on divise par 36.

]]> 5/36

]]> Bonne réponse : 5 cases du tableau contiennent la somme 8, sur 36 cases équiprobables.

]]> 1/11

]]> Erreur : il y a 11 sommes possibles, de 2 à 12, mais elles ne sont pas équiprobables.

]]> Probabilités — Q36 : Au moins une face en trois lancers On lance trois fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois « face » ?

]]> Pour « au moins un », on passe souvent par l'événement contraire, « aucun ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅞

]]> Bonne réponse : sur les 8 issues équiprobables, une seule, « pile, pile, pile », ne contient pas de face : 1 - ⅛ = ⅞.

]]> ⅜

]]> Erreur : c'est la probabilité d'obtenir exactement une face ; « au moins une » compte aussi deux et trois faces.

]]> ⅛

]]> Erreur : c'est la probabilité de n'obtenir aucune face, l'événement contraire.

]]> ½

]]> Erreur : chaque lancer donne face avec probabilité ½, mais en trois lancers la probabilité d'au moins une face est plus grande.

]]> Probabilités — Q37 : Une boule dans chacune de deux urnes L'urne A contient 1 boule rouge et 2 boules bleues ; l'urne B contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

]]> Pour deux tirages indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est le produit de leurs probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11/15

]]> Erreur : les deux probabilités ont été ajoutées ; pour obtenir l'une et l'autre, on les multiplie.

]]> ¼

]]> Erreur : le nombre de couples possibles est 3 × 5, pas 8.

]]> ⅜

]]> Erreur : on a réuni les deux urnes ; les tirages se font séparément, et leurs probabilités se multiplient.

]]> 2/15

]]> Bonne réponse : ⅓ × ⅖ = 2/15.

]]> Probabilités — Q38 : Deviner un code à deux chiffres Un code est formé de deux chiffres choisis chacun au hasard parmi 1, 2, …, 3, éventuellement égaux. Quelle est la probabilité de deviner le code du premier coup ?

]]> Le nombre de codes se compte avec un arbre : 3 choix pour le premier chiffre, puis 3 pour le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅑

]]> Bonne réponse : il y a 3 × 3 = 9 codes équiprobables, et un seul est le bon.

]]> ⅙

]]> Erreur : les choix se combinent par multiplication : 3 × 3, et non 3 + 3.

]]> ⅓

]]> Erreur : c'est la probabilité de deviner un seul chiffre ; il faut deviner les deux.

]]> ⅔

]]> Erreur : les probabilités des deux chiffres se multiplient, elles ne s'ajoutent pas.

]]> Probabilités — Q39 : Deux lancers d'une pièce truquée Une pièce truquée tombe sur « pile » avec la probabilité 0{,}6. On la lance deux fois. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?

]]> Pour des lancers indépendants, la probabilité d'une suite de résultats est le produit de leurs probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}36

]]> Bonne réponse : on multiplie les probabilités le long du chemin « pile, pile » : 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36.

]]> 1{,}2

]]> Erreur : les probabilités ont été ajoutées ; le long d'un chemin, elles se multiplient.

]]> 0{,}6

]]> Erreur : c'est la probabilité d'un seul « pile » ; il en faut deux.

]]> 0{,}64

]]> Erreur : c'est la probabilité de ne pas obtenir deux fois « pile », l'événement contraire.

]]> Probabilités — Q40 : Probabilité de deux événements incompatibles Deux événements A et B sont incompatibles, avec P(A) = 0{,}2 et P(B) = 0{,}35. Que vaut la probabilité de l'événement « A ou B » ?

]]> Si A et B sont incompatibles, P(A ou B) = P(A) + P(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}55

]]> Bonne réponse : A et B ne peuvent pas se produire ensemble, donc P(A \text{ ou } B) = 0{,}2 + 0{,}35 = 0{,}55.

]]> 0{,}45

]]> Erreur : c'est la probabilité que ni A ni B ne se produise.

]]> 0{,}15

]]> Erreur : on ne soustrait pas les probabilités ; on les ajoute.

]]> 0{,}07

]]> Erreur : le produit ne convient pas ; pour des événements incompatibles, les probabilités s'ajoutent.

]]> Probabilités — Q41 : Probabilité de A ou B quand ils peuvent se réaliser ensemble Pour deux événements A et B, on sait que P(A) = 0{,}5, P(B) = 0{,}4 et P(A \text{ et } B) = 0{,}2. Que vaut P(A ou B) ?

]]> P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B) : les issues communes ne doivent être comptées qu'une fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Bonne réponse : P(A ou B) + P(A et B) = P(A) + P(B), donc P(A \text{ ou } B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7.

]]> 0{,}2

]]> Erreur : le produit P(A) × P(B) ne donne pas P(A ou B).

]]> 1{,}1

]]> Erreur : la probabilité de « A et B » se retranche, elle ne s'ajoute pas.

]]> 0{,}9

]]> Erreur : en ajoutant P(A) et P(B), les issues communes sont comptées deux fois ; on retire 0{,}2.

]]> Probabilités — Q42 : Nombre de boules d'une couleur Une urne contient 30 boules. La probabilité de tirer une boule rouge vaut ⅖. Combien l'urne contient-elle de boules rouges ?

]]> Avec des issues équiprobables, nombre de cas favorables = probabilité × nombre total d'issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Erreur : 2 est le numérateur de la probabilité, pas le nombre de boules rouges, sauf si l'urne contient 5 boules.

]]> 18

]]> Erreur : c'est le nombre de boules qui ne sont pas rouges.

]]> 75

]]> Erreur : la fraction a été inversée ; le nombre de rouges est une partie des 30 boules.

]]> 12

]]> Bonne réponse : 30 × ⅖ = 12.

]]> Probabilités — Q43 : Probabilité exprimée en pourcentage Une probabilité vaut ¼. Comment s'écrit-elle en pourcentage ?

]]> Une probabilité s'écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 75\ %

]]> Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire.

]]> 1\ %

]]> Erreur : le numérateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur 100.

]]> 4\ %

]]> Erreur : le dénominateur seul ne donne pas le pourcentage ; on ramène la fraction à un dénominateur 100.

]]> 25\ %

]]> Bonne réponse : ¼ = 25/100, soit 25\ %.

]]> Probabilités — Q44 : Repérer deux événements incompatibles On lance un dé équilibré à six faces. Lesquels de ces deux événements sont incompatibles ?

]]> Deux événements sont incompatibles lorsqu'aucune issue ne les réalise tous les deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « obtenir 1 » et « obtenir moins de 4 »

]]> Erreur : le résultat 1 réalise les deux événements à la fois.

]]> « obtenir 2 » et « obtenir un nombre impair »

]]> Bonne réponse : 2 est pair, donc ces deux événements ne peuvent pas se produire en même temps.

]]> « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 »

]]> Erreur : le résultat 6 réalise les deux événements à la fois.

]]> « obtenir plus de 3 » et « obtenir un nombre pair »

]]> Erreur : les résultats 4 et 6 réalisent les deux événements à la fois.

]]> Probabilités — Q45 : Reconnaître un événement certain On tire au hasard une carte parmi dix cartes numérotées de 1 à 10. Quel événement est certain ?

]]> Un événement certain est réalisé par toutes les issues ; sa probabilité vaut 1. Un événement impossible a une probabilité nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « obtenir le nombre 11 »

]]> Erreur : aucune carte ne porte 11 ; cet événement est impossible.

]]> « obtenir au plus 10 »

]]> Bonne réponse : toutes les cartes portent un nombre compris entre 1 et 10 ; sa probabilité vaut 1.

]]> « obtenir un nombre pair »

]]> Erreur : cinq cartes portent un nombre impair ; cet événement a une probabilité de ½.

]]> « obtenir un nombre premier »

]]> Erreur : 1, 4, 6, 8, 9 et 10 ne sont pas premiers ; l'événement n'est pas certain.

]]>