$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Puissances et écriture scientifique Puissances d'un nombre, exposants négatifs, règles de calcul,
écriture scientifique et ordres de grandeur.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q01 : Valeur d'une puissance Que vaut 3⁴ ?

]]> Pour un entier n supérieur ou égal à 1, aⁿ désigne le produit
de n facteurs tous égaux à a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Puissance et produit ont été confondus : 3⁴ ne vaut pas
3 × 4. En multipliant les facteurs, on obtient 81.

]]> 64

]]> La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est 3 et
l'exposant 4, ce qui donne 81.

]]> 27

]]> Il manque un facteur dans le produit : l'exposant 4 indique
4 facteurs égaux à 3, donc le résultat est 81.

]]> 81

]]> Bonne réponse : 3⁴ est le produit de 4 facteurs tous
égaux à 3, ce qui donne 81.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q02 : Base et exposant Dans l'écriture 7⁵, comment appelle-t-on le nombre 5 ?

]]> Dans aⁿ, le nombre a est la base et le nombre n est
l'exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le multiplicateur

]]> Ce mot n'a pas de sens ici : 5 ne multiplie pas 7, il indique
combien de fois 7 est utilisé comme facteur.

]]> L'exposant

]]> Bonne réponse : le nombre écrit en haut est l'exposant. Il compte
les facteurs du produit 7 × 7 × 7 × 7 × 7.

]]> Le coefficient

]]> Il n'y a pas de coefficient dans 7⁵. Le nombre 5 est placé
en exposant et compte les facteurs égaux à 7.

]]> La base

]]> Les deux rôles ont été échangés : la base est le nombre répété,
c'est-à-dire 7. Le nombre 5 est l'exposant.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q03 : Zéros d'une puissance de dix Combien de zéros comporte l'écriture décimale de 10⁵ ?

]]> L'écriture décimale de 10ⁿ est un 1 suivi de n zéros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Bonne réponse : 10⁵ s'écrit avec un 1 suivi de 5
zéros, autant que l'indique l'exposant.

]]> 10

]]> L'exposant a été doublé sans raison : 10⁵ comporte 5
zéros, pas 10.

]]> 4

]]> Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant 5 donne
exactement 5 zéros, et non 4.

]]> 6

]]> Un zéro de trop : le chiffre 1 du début ne compte pas comme un
zéro. Il y en a 5.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q04 : Produit de puissances de même base Écris 3⁴ × 3⁷ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants m et n, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3¹¹

]]> Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants
s'additionnent, donc 4 + 7 = 11.

]]> 9¹¹

]]> Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste 3,
seuls les exposants s'additionnent.

]]> 3²⁸

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de même base, ils s'additionnent, ce qui donne 3¹¹.

]]> 3⁻³

]]> Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle
du quotient, pas celle du produit.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q05 : Quotient de puissances de même base Écris \dfrac{2^{9}}{2^{4}} sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants m et n, \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}
lorsque a n'est pas nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁻⁵

]]> La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du
dénominateur que l'on retire, donc 9 - 4 = 5.

]]> 2³⁶

]]> Les exposants ont été multipliés : la multiplication des
exposants est la règle de la puissance d'une puissance.

]]> 2⁵

]]> Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se
soustraient, donc 9 - 4 = 5.

]]> 2¹³

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du
produit. Pour un quotient, on soustrait.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q06 : Puissance d'une puissance Écris (2³)⁴ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants m et n, \left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁷

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du
produit 2³ × 2⁴, pas celle-ci.

]]> 2⁸¹

]]> L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement
multiplier 3 par 4, ce qui donne 12.

]]> 2⁴

]]> L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,
et leur produit vaut 12.

]]> 2¹²

]]> Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc
3 × 4 = 12.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q07 : Puissance d'un nombre négatif Que vaut (-2)³ ?

]]> Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est
pair, négative si l'exposant est impair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Il manque un facteur : l'exposant 3 annonce 3 facteurs
égaux à -2, ce qui conduit à -8.

]]> 8

]]> Le signe du résultat est faux : un produit de 3 facteurs
négatifs donne -8.

]]> -8

]]> Bonne réponse : le facteur -2 est répété 3 fois, et le
produit vaut -8.

]]> -6

]]> Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de
-2 × 3, mais d'un produit de 3 facteurs.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q08 : Exposant négatif Que vaut 3⁻⁴ ?

]]> Pour tout nombre a non nul, a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1/81

]]> L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :
3⁻⁴ est un nombre positif.

]]> 1/81

]]> Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le
dénominateur cherché est 3⁴.

]]> -81

]]> L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le
nombre : il annonce un inverse, pas un opposé.

]]> 1/12

]]> Le dénominateur est faux : il faut calculer 3⁴, et non
3 × 4.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q09 : Écriture scientifique d'un grand nombre Quelle est l'écriture scientifique de 35 000 ?

]]> L'écriture scientifique d'un nombre positif est a × 10ⁿ
avec 1 ≤slant a < 10 et n entier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5 \times 10^{3}

]]> L'exposant est trop petit d'une unité : 3{,}5 \times 10^{3}
est dix fois plus petit que 35 000.

]]> 3{,}5 \times 10^{5}

]]> L'exposant est trop grand d'une unité : 3{,}5 \times 10^{5}
est dix fois plus grand que 35 000.

]]> 3{,}5 \times 10^{4}

]]> Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,
et il faut 4 rangs pour revenir à 35 000.

]]> 35 × 10³

]]> Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le
premier facteur doit être compris entre 1 et 10.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q10 : Écriture scientifique d'un petit nombre Quelle est l'écriture scientifique de 0{,}00047 ?

]]> Un nombre positif plus petit que 1 s'écrit a × 10ⁿ avec
un exposant n négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 47 × 10⁻⁵

]]> Le produit est juste mais le premier facteur dépasse 10, donc
l'écriture n'est pas scientifique.

]]> 4{,}7 \times 10^{-3}

]]> Il manque un rang : 4{,}7 \times 10^{-3} est dix fois plus
grand que 0{,}00047.

]]> 4{,}7 \times 10^{-4}

]]> Bonne réponse : le nombre est plus petit que 1, donc l'exposant
est négatif, et il vaut -4.

]]> 4{,}7 \times 10^{4}

]]> Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que
1 a un exposant négatif.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q11 : Retour à l'écriture décimale Quelle est l'écriture décimale de 2{,}6 \times 10^{3} ?

]]> Multiplier par 10ⁿ déplace la virgule de n rangs vers la
droite, et vers la gauche si n est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}0026

]]> La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant
3 indique le sens du déplacement.

]]> 260

]]> La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu
est dix fois trop petit.

]]> 2600

]]> Bonne réponse : l'exposant 3 déplace la virgule de 3
rangs, ce qui donne 2600.

]]> 26 000

]]> La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu
est dix fois trop grand.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q12 : Produit de deux écritures scientifiques Que vaut (2 × 10³) × (4 × 10⁵) ?

]]> Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances
de 10 de l'autre, puis on additionne les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 × 10⁸

]]> Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,
donc 2 × 4 = 8.

]]> 6 × 10¹⁵

]]> Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient
et les exposants s'additionnent.

]]> 8 × 10⁸

]]> Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on
additionne les exposants, soit 3 + 5 = 8.

]]> 8 × 10¹⁵

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de 10, ils s'additionnent.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q13 : Quotient de deux écritures scientifiques Que vaut \dfrac{6 \times 10^{7}}{2 \times 10^{3}} ?

]]> Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les
exposants des puissances de 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 × 10⁴

]]> Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on
soustrait les exposants, soit 7 - 3 = 4.

]]> 4 × 10⁴

]]> Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc
6 ÷ 2 = 3.

]]> 3 × 10⁻⁴

]]> La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du
dénominateur que l'on retire.

]]> 3 × 10¹⁰

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un
produit, la soustraction pour un quotient.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q14 : Produit à remettre en écriture scientifique Donne l'écriture scientifique de
(5 × 10⁴) × (4 × 10³).

]]> Quand le premier facteur dépasse 10, on le divise par 10 et on
ajoute 1 à l'exposant de la puissance de 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20 × 10⁷

]]> Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le
premier facteur 20 dépasse 10.

]]> 2 × 10⁸

]]> Bonne réponse : le produit vaut 20 × 10⁷, et
20 = 2 × 10, d'où l'exposant 8.

]]> 20 × 10⁸

]]> L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le
nombre obtenu est dix fois trop grand.

]]> 2 × 10⁷

]]> Le premier facteur a été ramené entre 1 et 10 sans augmenter
l'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q15 : La plus petite puissance de dix Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?

]]> Les puissances de 10 sont rangées dans le même ordre que leurs
exposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁻⁵

]]> Bonne réponse : pour des puissances de 10, le plus petit nombre
est celui dont l'exposant est le plus petit, ici -5.

]]> 10⁴

]]> L'exposant 4 est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est
10⁻⁵ qu'il fallait choisir.

]]> 10²

]]> L'exposant 2 est plus grand que -5, donc ce nombre n'est
pas le plus petit des quatre.

]]> 10⁻³

]]> L'exposant -3 est plus grand que -5, donc 10⁻³ est
plus grand que 10⁻⁵.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q16 : Ordre de grandeur d'un nombre Quel est l'ordre de grandeur de 68 000, c'est-à-dire la puissance de
10 la plus proche ?

]]> L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 dont il est
le plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁴

]]> L'arrondi s'est fait vers le bas : 68 000 est nettement plus
proche de 10⁵ que de 10⁴.

]]> 10³

]]> Deux rangs ont été perdus : le nombre 68 000 est cent fois plus
grand que 10³.

]]> 10⁵

]]> Bonne réponse : parmi les puissances de 10, c'est 10⁵
qui est la plus proche de 68 000.

]]> 10⁶

]]> L'arrondi s'est fait vers le haut : 10⁶ est dix fois plus
grand que la puissance attendue.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q17 : Condition de l'écriture scientifique Un nombre positif écrit en écriture scientifique est de la forme
a × 10ⁿ, avec n entier. Quelle condition le nombre a
doit-il vérifier ?

]]> Dans l'écriture scientifique a × 10ⁿ d'un nombre positif,
le facteur a vérifie 1 ≤slant a < 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 ≤slant a < 10

]]> Bonne réponse : le premier facteur a exactement un chiffre avant
la virgule, et ce chiffre n'est pas 0.

]]> 0 ≤slant a ≤slant 10

]]> Les deux bornes sont mal choisies : a ne peut valoir ni 0 ni
10, sinon l'écriture n'est plus unique.

]]> 0 < a < 1

]]> Cette condition décrit un nombre qui commence par 0 : le
premier facteur doit au contraire atteindre 1.

]]> a doit être un entier

]]> Le premier facteur est presque toujours décimal, par exemple
3{,}5 : il n'a aucune raison d'être entier.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q18 : Puissance d'un produit À quelle expression (2 × 5)³ est-il égal ?

]]> Pour tout exposant n, (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2³ × 5³

]]> Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du
produit.

]]> 10⁶

]]> L'exposant a été doublé sans raison : le produit 10 garde
l'exposant 3.

]]> 2³ + 5³

]]> Le produit est devenu une somme : les deux puissances se
multiplient, elles ne s'additionnent pas.

]]> 2 × 5³

]]> L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux
deux, car la parenthèse les regroupe.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q19 : Deux règles enchaînées Écris (2³)² × 2⁴ sous la forme
d'une seule puissance.

]]> On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis
celle du produit de puissances de même base.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2²⁴

]]> Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car
il vient d'un produit de puissances.

]]> 2¹⁰

]]> Bonne réponse : la parenthèse donne 2^{3 \times 2}, puis
le produit ajoute 4, ce qui fait 10.

]]> 2¹¹

]]> Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on
multiplie 3 par 2, puis on ajoute 4.

]]> 2⁹

]]> Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se
multiplient d'abord.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q20 : Quotient donnant un exposant négatif Le quotient \dfrac{2^{3}}{2^{7}} se ramène à une seule
puissance de 2. Laquelle ?

]]> La règle \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} vaut aussi lorsque m est
plus petit que n : l'exposant obtenu est alors négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁻⁴

]]> Bonne réponse : 3 - 7 = -4, et rien n'interdit à un
exposant d'être négatif.

]]> 2¹⁰

]]> Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les
soustrait.

]]> -2⁴

]]> Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être
devant l'exposant : le résultat cherché est positif.

]]> 2⁴

]]> La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant
négatif : il faut pourtant l'accepter.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q21 : Produit avec un exposant négatif Écris 3⁷ × 3⁻² sous la forme d'une seule
puissance.

]]> La règle aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ reste valable avec des
exposants négatifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3⁵

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et
7 + (-2) = 5.

]]> 3⁻⁵

]]> Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la
somme cherchée vaut 5.

]]> 3⁹

]]> Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant
vaut -2, il diminue la somme.

]]> 3¹⁴

]]> Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la
puissance d'une puissance.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q22 : Signe moins devant une puissance Que vaut -3² ?

]]> Dans -aⁿ, la puissance s'applique à a seul. Il faut écrire
(-a)ⁿ pour que le signe moins soit élevé à la puissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la
puissance, donc le nombre cherché est négatif.

]]> -9

]]> Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en
premier, puis on prend l'opposé de 9.

]]> -6

]]> Puissance et produit ont été confondus : l'exposant 2 répète
le facteur 3, il ne le multiplie pas.

]]> -27

]]> Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut 2, donc la
puissance vaut 9.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q23 : Le plus grand de quatre nombres Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus
grand ?

]]> Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on
compare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 × 10⁸

]]> Bonne réponse : son exposant 8 est le plus grand des quatre,
et c'est lui qui décide en premier.

]]> 7 × 10⁵

]]> Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec
l'exposant 5, ce nombre reste le plus petit.

]]> 9 × 10⁷

]]> Le premier facteur 9 est grand, mais l'exposant 7 est
plus petit que 8 : c'est l'exposant qui l'emporte.

]]> 5 × 10⁶

]]> L'exposant 6 est plus petit que 8, donc ce nombre est
plus petit que le premier.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q24 : Somme de deux carrés Que vaut 3² + 4² ?

]]> L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au
carré, puis on additionne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 49

]]> Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le
carré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés.

]]> 25

]]> Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on
additionne les deux résultats.

]]> 24

]]> Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans
une somme de deux carrés.

]]> 14

]]> Les carrés ont été remplacés par des doubles : 3² signifie
3 × 3, pas 2 × 3.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q25 : Un nombre écrit comme puissance de dix Comment s'écrit 1 000 000 sous la forme d'une puissance de 10 ?

]]> Un 1 suivi de n zéros est l'écriture décimale de 10ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁵

]]> Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a 6, donc
l'exposant vaut 6.

]]> 6¹⁰

]]> La base et l'exposant ont été échangés : la base est 10 et
l'exposant vaut 6.

]]> 10⁶

]]> Bonne réponse : l'écriture décimale comporte 6 zéros, et
l'exposant les compte exactement.

]]> 10⁷

]]> Le chiffre 1 du début a été compté comme un zéro : seuls les
zéros comptent, et il y en a 6.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q26 : Produit de puissances de dix signées Écris 10⁻³ × 10⁻⁵ sous la forme d'une seule puissance
de 10.

]]> L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc
10^{p} \times 10^{q} = 10^{p+q}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁻²

]]> Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les
additionner, ce qui donne -8.

]]> 10⁻⁸

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de
leurs signes, et -3 - 5 = -8.

]]> 10²

]]> Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée
au quotient.

]]> 10¹⁵

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de même base, ils s'additionnent.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q27 : Remettre en écriture scientifique Donne l'écriture scientifique de 340 × 10⁵.

]]> Diviser le premier facteur par 10 oblige à ajouter 1 à l'exposant
pour que le nombre reste le même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}4 \times 10^{3}

]]> L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le
premier facteur oblige à agrandir la puissance de 10.

]]> 340 × 10⁷

]]> L'exposant a changé mais pas le premier facteur : 340 dépasse
10, l'écriture n'est donc pas scientifique.

]]> 3{,}4 \times 10^{7}

]]> Bonne réponse : la virgule recule de 2 rangs dans 340, et
l'exposant gagne autant d'unités.

]]> 3{,}4 \times 10^{5}

]]> Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre
obtenu n'est plus égal à celui de départ.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q28 : Exposant nul Que vaut a⁰ lorsque a est un nombre non nul ?

]]> Pour tout nombre a non nul, a⁰ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : la règle a⁰ = 1 vaut pour tout nombre non
nul, quelle que soit sa valeur.

]]> Cela dépend de a

]]> Le résultat ne dépend pas de a : tout nombre non nul élevé à la
puissance 0 donne 1.

]]> a

]]> Cette réponse conviendrait à a¹ : avec l'exposant 0, le
résultat vaut toujours 1.

]]> 0

]]> L'exposant a été confondu avec le résultat : ce n'est pas parce
que l'exposant vaut 0 que la puissance vaut 0.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q29 : Priorité de la puissance Que vaut 3 × 2⁴ ?

]]> Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le
précède immédiatement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 216

]]> La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte
sur 2 seul et vaut 4.

]]> 24

]]> L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de
2, il ne multiplie pas le résultat.

]]> 48

]]> Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,
donc on multiplie 3 par 2⁴.

]]> 1296

]]> Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la
puissance : cela reviendrait à écrire (3 × 2)⁴.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q30 : Ordre de grandeur d'un quotient Quel est l'ordre de grandeur de
\dfrac{6 \times 10^{9}}{3 \times 10^{4}} ?

]]> On simplifie d'abord le quotient sous la forme a × 10ⁿ,
puis on garde la puissance de 10 la plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10¹³

]]> Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les
soustrait.

]]> 10⁴

]]> Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne 5,
et non 4.

]]> 10⁵

]]> Bonne réponse : le quotient vaut 2 × 10⁵, et
2 est assez petit pour que 10⁵ reste le plus proche.

]]> 10⁶

]]> Le premier facteur 2 a été arrondi à 10 : il en est
nettement plus éloigné que de 1.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q31 : Écrire un produit répété sous forme de puissance Comment écrire 5 × 5 × 5 × 5 sous la forme d'une puissance ?

]]> aⁿ désigne le produit de n facteurs tous égaux à a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5⁴

]]> Bonne réponse : le facteur 5 est répété 4 fois, donc le produit vaut 5⁴.

]]> 4⁵

]]> Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, 5 ; l'exposant est le nombre de facteurs, 4.

]]> 5⁵

]]> Erreur : il y a 4 facteurs égaux à 5, donc l'exposant vaut 4.

]]> 5 × 4

]]> Erreur : 5 × 4 est une somme répétée de 5, pas un produit répété.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q32 : Valeur d'un cube Que vaut 4³ ?

]]> Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Erreur : 4 × 3 n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à 4.

]]> 16

]]> Erreur : c'est le carré de 4, avec deux facteurs seulement.

]]> 81

]]> Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est 3⁴.

]]> 64

]]> Bonne réponse : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q33 : Retrouver l'exposant d'une puissance Quel exposant n vérifie 2ⁿ = 32 ?

]]> Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n = 6

]]> Erreur : 2⁶ = 64, un facteur de trop.

]]> n = 4

]]> Erreur : 2⁴ = 16, il manque un facteur.

]]> n = 16

]]> Erreur : 32 ÷ 2 = 16, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs.

]]> n = 5

]]> Bonne réponse : en multipliant 2 par lui-même, on atteint 32 avec 5 facteurs.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q34 : Puissance de moins un Que vaut (-1)⁷ ?

]]> (-1)ⁿ vaut 1 si n est pair et -1 si n est impair : les facteurs -1 se neutralisent deux à deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-1)⁷ = 1

]]> Erreur de signe : avec un exposant impair, le résultat vaut -1.

]]> (-1)⁷ = -7

]]> Erreur : on a multiplié -1 par 7 au lieu de l'élever à la puissance 7.

]]> (-1)⁷ = 7

]]> Erreur : (-1)⁷ ne vaut que 1 ou -1, selon la parité de l'exposant.

]]> (-1)⁷ = -1

]]> Bonne réponse : l'exposant 7 est impair, donc le produit de 7 facteurs égaux à -1 vaut -1.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q35 : Comparer deux puissances échangées Comment se comparent 2⁵ et 5² ?

]]> Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, aᵇ et bᵃ sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁵ = 5², mêmes nombres

]]> Erreur : échanger base et exposant change la valeur : 2⁵ = 32 et 5² = 25.

]]> On ne peut pas les comparer

]]> Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : 32 et 25.

]]> 2⁵ < 5²

]]> Erreur : l'inégalité est inversée : 2⁵ = 32 et 5² = 25.

]]> 2⁵ > 5²

]]> Bonne réponse : 2⁵ = 32 et 5² = 25.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q36 : Préfixe et puissance de dix Le préfixe « kilo » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?

]]> kilo = 10³, méga = 10⁶, giga = 10⁹ ; milli = 10⁻³, micro = 10⁻⁶, nano = 10⁻⁹.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10³

]]> Bonne réponse : le préfixe « kilo » multiplie l'unité par 10³.

]]> 10⁻³

]]> Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « kilo » correspond à 10³.

]]> 10⁴

]]> Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « kilo » correspond à 10³.

]]> 3 × 10

]]> Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par 10.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q37 : Quotient de deux puissances de dix Écrire \dfrac{10^{7}}{10^{3}} sous la forme d'une seule puissance de 10.

]]> \dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n} : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁻⁴

]]> Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur.

]]> 1⁴

]]> Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste 10.

]]> 10¹⁰

]]> Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait.

]]> 10⁴

]]> Bonne réponse : on soustrait les exposants : 7 - 3 = 4.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q38 : Produit de puissances de même exposant Écrire 2³ × 5³ sous la forme d'une seule puissance.

]]> Pour des exposants égaux, aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ. Pour des bases égales, a^m \times a^n = a^{m + n}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2⁶

]]> Erreur : 2 et 5 sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de 2.

]]> 10⁶

]]> Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases.

]]> 10³

]]> Bonne réponse : aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ, donc (2 × 5)³ = 10³.

]]> 7³

]]> Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q39 : Inverse d'une puissance À quelle puissance \dfrac{1}{10^{3}} est-il égal ?

]]> a⁻ⁿ est l'inverse de aⁿ, pour a non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -10³

]]> Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. \dfrac{1}{10^{3}} est positif.

]]> 1³

]]> Erreur : 1³ vaut 1 ; la base 10 ne disparaît pas.

]]> 10⁻³

]]> Bonne réponse : par définition, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

]]> 3⁻¹⁰

]]> Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q40 : Simplifier un calcul de puissances de dix Écrire \dfrac{10^{3} \times 10^{5}}{10^{4}} sous la forme d'une seule puissance de 10.

]]> On regroupe d'abord le numérateur (m + n), puis on retranche l'exposant du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁻⁶

]]> Erreur : l'exposant 5 du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à 3.

]]> 10¹¹

]]> Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent.

]]> 10¹²

]]> Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait.

]]> 10⁴

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut 10⁸, puis 8 - 4 = 4.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q41 : Multiplier un décimal par une puissance de dix Que vaut 3{,}5 \times 10^{2} ?

]]> Multiplier par 10ⁿ déplace la virgule de n rangs vers la droite si n est positif, vers la gauche s'il est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 500

]]> Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop.

]]> 35

]]> Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique.

]]> 0{,}035

]]> Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens.

]]> 350

]]> Bonne réponse : multiplier par 10² déplace la virgule de 2 rangs vers la droite.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q42 : Comparer deux écritures scientifiques Lequel de ces deux nombres est le plus grand : 3{,}2 \times 10^{5} ou 8{,}1 \times 10^{4} ?

]]> Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}2 \times 10^{5}, car son exposant est plus grand

]]> Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : 5 > 4.

]]> 8{,}1 \times 10^{4}, car 8{,}1 > 3{,}2

]]> Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant 5 l'emporte sur 4.

]]> On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier

]]> Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants.

]]> Ils sont égaux, à l'arrondi près

]]> Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q43 : Une distance astronomique La distance moyenne de la Terre au Soleil vaut environ 150 000 000 km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?

]]> Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}5 \times 10^{9}

]]> Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : 8.

]]> 1{,}5 \times 10^{7}

]]> Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : 8.

]]> 1{,}5 \times 10^{8}

]]> Bonne réponse : la virgule se déplace de 8 rangs pour obtenir une mantisse comprise entre 1 et 10.

]]> 15 × 10⁷

]]> Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse 10 : ce n'est pas une écriture scientifique.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q44 : Taille d'un objet microscopique Un grain de sable fin mesure environ 0{,}0002 m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?

]]> Pour un nombre plus petit que 1, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 × 10⁴

]]> Erreur : un nombre plus petit que 1 a un exposant négatif.

]]> 2 × 10⁻³

]]> Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre 2 est au rang 4 après la virgule.

]]> 2 × 10⁻⁴

]]> Bonne réponse : le premier chiffre non nul, 2, est au rang 4 après la virgule.

]]> 20 × 10⁻⁵

]]> Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut 20, qui dépasse 10.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q45 : Ordre de grandeur d'un produit Quel est l'ordre de grandeur de (1 × 10³) × (2 × 10⁵) ?

]]> On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁸

]]> Bonne réponse : 1 × 2 = 2 est plus proche de 1 que de 10, et 10³ × 10⁵ = 10⁸.

]]> 10¹⁵

]]> Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de 10, ils s'ajoutent.

]]> 10⁹

]]> Erreur : 2 est plus proche de 1 que de 10 : il ne fait pas passer à la puissance suivante.

]]> 10⁷

]]> Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : 3 + 5 = 8.

]]>