$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Intégration Intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la
courbe, relation de Chasles, valeur moyenne (comprise entre les
bornes de la fonction), méthode des rectangles, extension aux
fonctions de signe quelconque, théorème fondamental et calcul
par primitives (F(b) - F(a)), aire entre deux courbes.

]]> Intégration — Q01 : L'intégrale comme aire Pour f continue et positive sur [a ; b], que
représente \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ?

]]> ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire sous la courbe (pour
f ≥ 0), c'est-à-dire l'aire du domaine compris entre la
courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b,
avec les propriétés héritées de l'aire : additivité
(Chasles), invariance par translation et symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La pente moyenne de la courbe entre x = a et x = b

]]> Erreur : la pente relève de la dérivation. L'intégrale
cumule les valeurs : c'est une aire.

]]> La variation f(b) - f(a) de la fonction entre a et b

]]> Confusion : f(b) - f(a) est un accroissement. Le
calcul par primitive donne F(b) - F(a), avec F
primitive de f.

]]> L'aire sous la courbe entre les droites x = a et x = b

]]> Bonne réponse : c'est la définition du programme, appuyée
sur la notion intuitive d'aire : l'aire, en unités d'aire,
du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et
les droites x = a et x = b.

]]> La plus grande valeur prise par f sur l'intervalle [a ; b]

]]> Erreur : la plus grande valeur de f est une valeur
ponctuelle ; l'aire agrège toute la plage [a ; b].

]]> Intégration — Q02 : Calcul par une primitive Que vaut \displaystyle\int_{1}^{2} 4x^3\,dx ?

]]> Pour toute primitive F de f,
\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). Ici
[x⁴]₁² = 15.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Calcul incomplet : 16 = F(2), il faut encore retrancher
F(1) = 1.

]]> 32

]]> Valeur de la fonction : f(2) = 32 n'est pas l'aire
cumulée entre 1 et 2.

]]> 15

]]> Bonne réponse : F(x) = x⁴ est une primitive de 4x³, et
F(2) - F(1) = 16 - 1 = 15.

]]> 28

]]> Fonction évaluée aux bornes : le calcul passe par une
primitive, et non par f(2) - f(1).

]]> Intégration — Q03 : Relation de Chasles Sachant \displaystyle\int_0^{3} f = 7 et
\displaystyle\int_{3}^{8} f = 5, que vaut
\displaystyle\int_0^{8} f ?

]]> Relation de Chasles :
\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f, traduction de
l'additivité des aires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Bonne réponse : relation de Chasles,
\displaystyle\int_0^{8} f = \int_0^{3} f + \int_{3}^{8} f = 7 + 5.

]]> 35

]]> Les intégrales sur des intervalles mis bout à bout
s'additionnent, elles ne se multiplient pas.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître f

]]> La relation de Chasles conclut sans formule pour f : c'est
une propriété de l'intégrale.

]]> 2

]]> Soustraction des morceaux : la réunion des intervalles cumule
les intégrales.

]]> Intégration — Q04 : Valeur moyenne La vitesse v d'un véhicule, en km/h, vérifie
\displaystyle\int_0^{2} v(t)\,dt = 150, le temps étant en
heures. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?

]]> La valeur moyenne de f sur [a ; b] vaut
\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f. Pour une vitesse, c'est
la distance divisée par la durée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 75 km/h

]]> Bonne réponse : la valeur moyenne vaut
\dfrac{1}{2 - 0}\displaystyle\int_0^{2} v = \dfrac{150}{2},
distance divisée par durée.

]]> 300 km/h

]]> Multiplier par la durée va dans le mauvais sens : on divise
l'intégrale par la longueur de l'intervalle.

]]> 75 km

]]> Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h, 75
km serait une distance.

]]> 150 km/h

]]> 150 est la distance parcourue, l'intégrale ; la moyenne la
rapporte à la durée.

]]> Intégration — Q05 : Méthode des rectangles Pour approcher \displaystyle\int_0^1 f avec f
croissante, on somme les aires de rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche de chaque subdivision.
Cette approximation est :

]]> Rectangles et monotonie : pour f croissante, bords gauches
minorent et bords droits majorent : un encadrement de
l'intégrale, qui se resserre avec le pas (mise en œuvre
algorithmique au programme).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : des marches d'escalier laissent toujours un
écart avec une courbe (sauf constante) ; l'écart fond
quand la subdivision s'affine.

]]> Tantôt au-dessus, tantôt en dessous

]]> Erreur : la monotonie fixe le sens pour tous les
morceaux : bords gauches ⇒ minoration
systématique.

]]> Inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : f croissante : la valeur au bord
gauche est la plus petite du morceau, chaque
rectangle reste sous la courbe : minoration.

]]> Supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Inversé : la majoration viendrait des bords droits
(les plus hauts pour une croissante).

]]> Intégration — Q06 : Intégrale d'une fonction négative Soit f continue et négative sur [0 ; 4], le domaine entre
sa courbe et l'axe des abscisses ayant une aire de 6 unités.
Que vaut \displaystyle\int_0^{4} f(x)\,dx ?

]]> Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale compte
positivement les parties au-dessus de l'axe et négativement celles
en dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible, une intégrale est toujours positive

]]> C'est l'aire qui est positive ; l'intégrale est positive
au-dessus de l'axe et négative en dessous.

]]> -6

]]> Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire
négativement.

]]> 0

]]> Rien ne se compense : la fonction reste du même côté de l'axe.

]]> 6

]]> 6 est l'aire, toujours positive ; l'intégrale d'une
fonction négative est négative.

]]> Intégration — Q07 : Intégrale de l'exponentielle sur [0 ; 1] Que vaut \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx ?

]]> ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e - 1 : l'exemple du
programme (approché aussi par la méthode des rectangles pour
voir converger l'encadrement).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e + 1

]]> Erreur de signe : F(b) - F(a) = e - 1 : on
soustrait la valeur en la borne basse.

]]> e - 1

]]> Bonne réponse : eˣ est sa propre primitive :
[e^x]_0^1 = e - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72.

]]> 1 - e

]]> Signe : F(0) - F(1) = 1 - e est l'opposé du résultat ;
le crochet se lit F(1) - F(0) = e - 1, et l'aire sous
une courbe positive est positive.

]]> e

]]> Incomplet : il manque la borne inférieure :
e⁰ = 1 se retranche.

]]> Intégration — Q08 : La fonction aire Soit f continue sur [a ; b] et F(x) =
\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt. Que dit le théorème du
programme sur F ?

]]> Théorème fondamental (au programme) : x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est dérivable de dérivée f. L'aire s'accumule à
la vitesse de la hauteur : d'où le calcul des intégrales par
primitives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F est dérivable et F' = f

]]> Bonne réponse : la « fonction aire cumulée » a pour
dérivée la fonction intégrée : le pont entre aire et
primitive, qui justifie le calcul par F(b) - F(a).

]]> F est dérivable et F' = f'

]]> Erreur : intégrer puis dériver redonne f elle-même,
pas sa dérivée.

]]> F est dérivable et F = f

]]> Erreur d'étage : l'aire cumulée n'égale pas la hauteur
courante ; c'est sa dérivée (vitesse d'accumulation)
qui vaut f.

]]> F est constante

]]> Erreur : l'aire cumulée grandit avec x (pour
f > 0) : F est loin d'être constante.

]]> Intégration — Q09 : Aire entre deux courbes Sur [0 ; 2], on a f(x) ≥ g(x). Comment se calcule
l'aire du domaine compris entre les deux courbes ?

]]> Aire entre deux courbes (capacité attendue) : ∫ₐᵇ (f - g) lorsque f ≥ g sur [a ; b] (découper aux points
de croisement sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - g(x)\right) dx

]]> Bonne réponse : la bande entre les courbes a pour
« hauteur » locale f(x) - g(x) ≥ 0 : son aire est
l'intégrale de la différence.

]]> \displaystyle\int_0^2 f + \int_0^2 g

]]> Erreur : la somme empilerait les deux aires sous les
courbes. Le domaine entre elles se mesure par la
différence.

]]> \displaystyle\int_0^2 f \times \int_0^2 g

]]> Erreur : aucun produit d'intégrales ne mesure une aire
entre courbes.

]]> \displaystyle\int_0^2 g - \int_0^2 f

]]> Signe inversé : avec f ≥ g, cette différence serait
négative : l'aire est ∫ (f - g).

]]> Intégration — Q10 : La moyenne entre les bornes Une fonction continue vérifie 2 ≤ f(x) ≤ 8 sur
[0 ; 5]. Que peut-on dire de sa valeur moyenne μ sur
cet intervalle ?

]]> Propriété au programme : m ≤ f ≤ M sur [a ; b]
⇒ m ≤ μ ≤ M. (En intégrant :
m(b-a) ≤ ∫ f ≤ M(b-a), puis division par
b - a.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut rien dire

]]> Erreur : l'encadrement de f se transmet à sa moyenne :
c'est une garantie systématique.

]]> 2 ≤ μ ≤ 8

]]> Bonne réponse : la valeur moyenne est toujours comprise
entre les bornes de la fonction (propriété du
programme) : une moyenne ne sort pas de la plage des
valeurs.

]]> 10 ≤ μ ≤ 40

]]> Erreur : tu as multiplié par la longueur 5 : c'est
l'intégrale qui est comprise entre 10 et 40, la
moyenne reste entre 2 et 8.

]]> μ = 5 exactement

]]> Erreur : 5 serait la moyenne des bornes ; la vraie
moyenne dépend du temps passé près de chaque valeur.

]]> Intégration — Q11 : Aire sous une parabole [Figure : Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée
vers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses
en -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des
abscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.]

Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
f(x) = 4 - x² et l'axe des abscisses. Quelle est son
aire ?

]]> Calcul type (thème « calculs d'aires ») : primitive
4x - x³/3, intégrale 32/3 : exactement
les deux tiers du rectangle circonscrit, résultat
d'Archimède.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16 unités d'aire

]]> Erreur : 16 est l'aire du rectangle englobant
(4 × 4). La parabole en occupe les deux tiers :
32/3.

]]> 16/3 unités d'aire

]]> Erreur de bornes : 16/3 = ∫₀² (4 - x²)dx : la moitié droite seulement. Le domaine va de
-2 à 2.

]]> 32/3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx =
\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} =
\dfrac{32}{3} \approx 10{,}7 (la quadrature de la
parabole, déjà chez Archimède).

]]> 0 : les deux moitiés se compensent

]]> Erreur : la fonction est positive sur tout
[-2 ; 2] : rien ne se compense, les moitiés
s'additionnent.

]]> Intégration — Q12 : Estimer une aire par Monte-Carlo Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on
tire 10 000 points au hasard dans le carré et on compte
la proportion de points situés sous la courbe. Pourquoi
cette méthode fonctionne-t-elle ?

]]> Méthode de Monte-Carlo (algorithme du programme) :
probabilité de tomber dans le domaine = aire relative ;
la fréquence sur un grand nombre de tirages l'estime.
Précieuse quand les primitives manquent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe

]]> Erreur : les tirages sont uniformes dans tout le
carré ; c'est le comptage qui filtre.

]]> Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires

]]> Erreur : sa force est justement de traiter des formes
quelconques, y compris sans primitive connue.

]]> La proportion de points sous la courbe approche l'aire

]]> Bonne réponse : chaque point a une probabilité égale à
l'aire cherchée (carré d'aire 1) d'y tomber ; la
fréquence observée estime ce rapport des aires (loi des
grands nombres).

]]> La méthode donne l'aire exacte dès 100 points

]]> Erreur : l'estimation fluctue (en 1/√n) : elle
se raffine avec le nombre de points sans jamais devenir
exacte.

]]> Intégration — Q13 : Intégrale d'une constante Que vaut \displaystyle\int_{1}^{4} 5\,dt ?

]]> \displaystyle\int_a^b c\,dt = c(b - a) : c'est l'aire d'un
rectangle, repère utile pour contrôler les calculs et les
encadrements.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Largeur oubliée : la constante se multiplie par la longueur de
l'intervalle, 3.

]]> 15

]]> Bonne réponse : rectangle de hauteur 5 et de largeur
4 - 1 = 3, d'aire 15.

]]> 20

]]> Borne droite prise pour largeur : la largeur vaut
4 - 1 = 3.

]]> 15/2

]]> La division par 2 vaut pour un triangle ; une fonction
constante délimite un rectangle.

]]> Intégration — Q14 : Échanger les bornes On rappelle la convention : pour une fonction f continue sur
[a ; b], \displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f. Sachant
\displaystyle\int_0^{2} f = 7, que vaut
\displaystyle\int_{2}^0 f ?

]]> \displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f découle de l'écriture
F(b) - F(a). On s'en sert pour remettre les bornes dans l'ordre
croissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -7

]]> Bonne réponse : échanger les bornes change le signe,
F(0) - F(2) = -(F(2) - F(0)).

]]> 7

]]> L'intégrale est orientée : parcourir l'intervalle à l'envers
change le signe.

]]> 0

]]> Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales ; ici
elles sont seulement échangées.

]]> ⅐

]]> Aucun inverse en jeu : la différence F(b) - F(a) change
simplement de signe.

]]> Intégration — Q15 : Linéarité de l'intégrale On donne \displaystyle\int_0^1 f = 4 et
\displaystyle\int_0^1 g = -2. Que vaut
\displaystyle\int_0^1 (3f + g) ?

]]> \displaystyle\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g
: l'intégrale respecte sommes et coefficients, ce qui décompose
les calculs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Coefficient ignoré : la linéarité conserve le facteur 3
devant \displaystyle\int_0^1 f.

]]> 10

]]> Bonne réponse : par linéarité, 3 × 4 + (-2) = 10.

]]> 6

]]> Coefficient perdu et signe inversé : le facteur 3
multiplie \displaystyle\int_0^1 f.

]]> 14

]]> Signe : \displaystyle\int_0^1 g = -2 est négative, elle se
retranche.

]]> Intégration — Q16 : Signe d'une intégrale f est continue et positive sur [0\ ;\ 3]. Que
peut-on dire de \displaystyle\int_0^3 f(t)\,dt sans la
calculer ?

]]> Positivité : f ≥ 0 sur [a\ ;\ b] (a ≤ b)
⇒ ∫ₐᵇ f ≥ 0. Avec la linéarité, elle
fournit la comparaison des intégrales : les deux outils
théoriques du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement positive

]]> Trop fort : la fonction nulle est positive et son
intégrale vaut 0 : conclusion en inégalité large.

]]> Rien : il faut calculer

]]> Erreur : le signe s'obtient GRATUITEMENT par la
positivité : l'argument le plus économique du chapitre.

]]> Elle est positive ou nulle

]]> Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de
l'axe ne peut pas être négative : la positivité se
transmet de la fonction à l'intégrale.

]]> Elle vaut exactement l'aire du rectangle 3 \times
\max f

]]> Erreur : ce rectangle majore l'intégrale, il ne
l'égale pas (sauf fonction constante).

]]> Intégration — Q17 : Encadrer sans calculer Sur [0 ; 4], on sait que 2 ≤ f(t) ≤ 5. Quel
encadrement de \displaystyle\int_0^{4} f(t)\,dt en découle ?

]]> Si m ≤ f ≤ M sur [a ; b], alors
m(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq M(b - a) : deux
rectangles encadrent l'aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 \leq \displaystyle\int_0^{4} f(t)\,dt \leq 20

]]> Bonne réponse : on intègre l'encadrement ; les bornes 2 et
5 se multiplient par la largeur 4.

]]> 2 \leq \displaystyle\int_0^{4} f(t)\,dt \leq 5

]]> Largeur oubliée : c'est la valeur moyenne qui reste entre
2 et 5.

]]> Aucun, il faut l'expression de f

]]> Encadrer la fonction suffit à encadrer l'intégrale.

]]> 0 \leq \displaystyle\int_0^{4} f(t)\,dt \leq 4

]]> La fonction vaut au moins 2 sur une largeur 4 :
l'intégrale ne descend pas sous 8.

]]> Intégration — Q18 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt$ Que vaut \displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt ?

]]> Primitive de e⁻ᵗ : -e⁻ᵗ (le signe compense).
Contrôle de cohérence : la fonction est positive sur
[0\ ;\ 1] : l'intégrale doit être positive : 1 - 1/e ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -e⁻¹

]]> Borne basse oubliée : le crochet soustrait F(0) = -1 :
-e⁻¹ + 1.

]]> 1/e + 1

]]> Erreur de signe : le crochet [-e⁻ᵗ]₀¹
donne -e⁻¹ - (-1) = 1 - 1/e ; un
+1/e trahit une erreur de signe sur la
primitive.

]]> 1 - 1/e

]]> Bonne réponse : primitive -e⁻ᵗ : le crochet donne
-e^{-1} - (-e^0) = 1 - \frac{1}{e} \approx 0{,}63.

]]> 1/e - 1

]]> Ordre du crochet : F(1) - F(0), avec le signe de la
primitive : le résultat est positif (aire sous une
courbe positive).

]]> Intégration — Q19 : Intégrale d'un polynôme Combien vaut \displaystyle\int_0^{2} 3x^2\,dx ?

]]> Une intégrale se calcule par une primitive évaluée aux deux bornes
; la constante d'intégration disparaît dans la soustraction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24

]]> Primitive fausse : la primitive de 3x² est
3x³/3, pas 3x³.

]]> 8/3

]]> Coefficient perdu : x³/3 est une primitive de
x², qu'il faut multiplier par 3.

]]> 8

]]> Bonne réponse : une primitive est F(x) = 3x³/3, et
F(2) - F(0) = 8.

]]> 12

]]> Fonction évaluée au lieu d'être intégrée :
3 × 2² = 12.

]]> Intégration — Q20 : Aire entre deux courbes qui se croisent Sur [0 ; 3], deux fonctions vérifient f ≥ g sur
[0 ; 1] et g ≥ f sur [1 ; 3]. Comment s'écrit l'aire
du domaine compris entre leurs courbes ?

]]> L'aire entre deux courbes est l'intégrale de la différence «
dessus moins dessous ». Quand les courbes se croisent, on découpe
l'intervalle aux points d'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_0^3 (g - f)

]]> Même défaut : sur [0 ; 1], g - f est négative.

]]> \displaystyle\int_0^1 (f - g) + \int_1^3 (g - f)

]]> Bonne réponse : sur chaque intervalle, on intègre la fonction
du dessus moins celle du dessous.

]]> \displaystyle\int_0^3 f - \int_0^3 g

]]> Écriture équivalente à \displaystyle\int_0^3 (f - g) par
linéarité : les deux parties se compensent.

]]> \displaystyle\int_0^3 (f - g)

]]> Compensation : sur [1 ; 3], f - g est négative et
retranche une aire au lieu de l'ajouter.

]]> Intégration — Q21 : Interpréter une valeur moyenne Que représente géométriquement la valeur moyenne d'une fonction
positive sur [a ; b] ?

]]> La valeur moyenne est la hauteur qu'aurait un rectangle de même base et de
même aire que la région sous la courbe. Elle vaut
\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La moyenne des valeurs aux deux bornes

]]> Cette moyenne ne tient pas compte du comportement de la fonction entre
les bornes.

]]> L'aire sous la courbe

]]> L'aire est l'intégrale elle-même ; la moyenne s'obtient en la divisant
par l'amplitude.

]]> La hauteur maximale de la courbe

]]> Le maximum dépasse la moyenne dès que la fonction n'est pas constante.

]]> La hauteur d'un rectangle de même aire

]]> Bonne réponse : ce rectangle a pour base [a ; b] et pour aire celle
située sous la courbe.

]]> Intégration — Q22 : Encadrer grâce à la monotonie Une fonction f est croissante sur [0 ; 2], avec f(0) = 1
et f(2) = 5. Quel encadrement de
\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx en déduit-on ?

]]> Une fonction croissante sur [a ; b] vérifie
f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) ; en intégrant,
f(a)(b - a) \leq \displaystyle\int_a^b f \leq f(b)(b - a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre 2 et 10

]]> Bonne réponse : 1 ≤ f(x) ≤ 5 sur [0 ; 2], d'où
1 \times 2 \leq \displaystyle\int_0^2 f \leq 5 \times 2.

]]> Exactement 6

]]> Moyenne des bornes multipliée par la largeur : c'est
l'approximation par un trapèze, pas une valeur exacte.

]]> Entre 0 et 5

]]> La croissance donne f(x) ≥ f(0) = 1, ce qui fournit un
minorant meilleur que 0.

]]> Entre 1 et 5

]]> Largeur oubliée : ce sont les bornes de la fonction, donc de
sa valeur moyenne.

]]> Intégration — Q23 : Additionner deux intégrales Sachant \displaystyle\int_{1}^{4} f = 9 et
\displaystyle\int_{4}^{6} f = -2, combien vaut
\displaystyle\int_{1}^{6} f ?

]]> La relation de Chasles additionne les intégrales sur des
intervalles consécutifs, quel que soit leur signe. Une intégrale
négative correspond à une portion de courbe sous l'axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : la relation de Chasles donne
9 + (-2) = 7.

]]> -18

]]> Intégrales multipliées : la relation de Chasles les
additionne.

]]> 11

]]> Signe ignoré : une intégrale négative se retranche quand on
l'ajoute.

]]> 5

]]> Bornes soustraites : 6 - 1 donne la longueur de
l'intervalle, pas l'intégrale.

]]> Intégration — Q24 : Précision de la méthode des rectangles Comment améliorer l'estimation d'une aire par la méthode des
rectangles ?

]]> La méthode des rectangles encadre l'aire entre une somme minorante et une
somme majorante. L'écart entre les deux tend vers zéro quand le nombre de
rectangles augmente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En déplaçant les bornes de l'intervalle

]]> Changer les bornes change l'aire calculée, ce n'est pas une
amélioration de la méthode.

]]> En augmentant le nombre de rectangles

]]> Bonne réponse : des rectangles plus étroits épousent mieux la courbe.

]]> En augmentant la hauteur des rectangles

]]> La hauteur est imposée par la fonction, elle ne se choisit pas.

]]> En utilisant des rectangles de largeurs différentes

]]> Des largeurs variables compliquent le calcul sans améliorer
nécessairement la précision.

]]> Intégration — Q25 : Une intégrale d'exponentielle Combien vaut \displaystyle\int_0^1 e^{2t}\,dt ?

]]> La primitive de eᵃᵗ vaut \dfrac{e^{at}}{a}. On évalue ensuite aux
deux bornes, sans oublier de retrancher la valeur en la borne inférieure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2(e² - 1)

]]> Multiplication au lieu d'une division : la dérivation ferait apparaître
le facteur 2, on le compense.

]]> e²/2

]]> Borne inférieure oubliée : il faut retrancher la valeur de la primitive
en 0, qui vaut ½.

]]> e² - 1/2

]]> Bonne réponse : une primitive est \dfrac{e^{2t}}{2}, évaluée entre
0 et 1.

]]> e² - 1, sans diviser

]]> Division oubliée : la primitive de e²ᵗ comporte un dénominateur
2.

]]> Intégration — Q26 : Une intégrale nulle L'intégrale d'une fonction sur [a ; b] est nulle.
La fonction est-elle nécessairement nulle ?

]]> Une intégrale nulle signifie que les aires algébriques se compensent. En
revanche, une fonction continue positive d'intégrale nulle est bien la
fonction nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, toujours

]]> La fonction x ↦ x a une intégrale nulle sur [-1 ; 1] sans
être nulle.

]]> Non, mais seulement si elle est discontinue

]]> La continuité ne change rien : c'est le changement de signe qui rend la
compensation possible.

]]> Oui, si elle est continue

]]> Le contre-exemple précédent porte sur une fonction continue.

]]> Non, elle peut changer de signe

]]> Bonne réponse : les aires au-dessus et en dessous de l'axe peuvent se
compenser exactement.

]]> Intégration — Q27 : La dérivée de la fonction aire Pour f continue, que vaut la dérivée de
x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt ?

]]> La fonction aire est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
Ce résultat relie intégration et dérivation, deux opérations inverses
l'une de l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x)

]]> Dérivation de trop : l'intégration et la dérivation se compensent, elles
ne s'ajoutent pas.

]]> f(x)

]]> Bonne réponse : la fonction aire est la primitive de f qui s'annule
en a.

]]> x f(x)

]]> Facteur inventé : aucune multiplication n'intervient dans ce théorème.

]]> f(a)

]]> La dérivée dépend de x : elle vaut la fonction en ce point, non en la
borne fixe.

]]> Intégration — Q28 : Signe d'une intégrale aux bornes inversées Une fonction f est continue et strictement positive sur
[1 ; 3]. Quel est le signe de \displaystyle\int_3^1 f(x)\,dx
?

]]> \displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f. Pour f positive et
a < b, \displaystyle\int_a^b f \geq 0, donc l'intégrale aux
bornes inversées est négative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif

]]> Bonne réponse : \displaystyle\int_3^1 f = -\int_1^3 f, et
\displaystyle\int_1^3 f est une aire strictement positive.

]]> On ne peut pas le savoir

]]> La positivité de f et l'ordre des bornes suffisent à
conclure.

]]> Strictement positif

]]> L'intégrale est orientée : bornes inversées, le signe change.

]]> Nul

]]> Une intégrale est nulle quand ses bornes sont égales, pas
quand elles sont échangées.

]]> Intégration — Q29 : Utiliser la linéarité Sachant \displaystyle\int_0^1 f = 3 et
\displaystyle\int_0^1 g = 5, combien vaut
\displaystyle\int_0^1 (2f - g) ?

]]> L'intégrale est linéaire : celle de af + bg vaut a fois celle de f
plus b fois celle de g. Cette propriété ne s'étend ni au produit ni au
quotient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : la linéarité donne 2 × 3 - 5.

]]> 30

]]> Intégrales multipliées : l'intégrale d'un produit n'est d'ailleurs pas
le produit des intégrales.

]]> -2

]]> Coefficient oublié : 3 - 5 ne tient pas compte du facteur 2.

]]> 11

]]> Signe de la soustraction : le calcul fait est 2 × 3 + 5.

]]> Intégration — Q30 : Aire quand la fonction change de signe Une fonction est positive sur [0 ; 2] et négative sur
[2 ; 3]. Comment calculer l'aire totale entre la courbe et
l'axe ?

]]> L'intégrale est une aire algébrique. Pour une aire géométrique, on découpe
l'intervalle selon le signe de la fonction et l'on additionne les valeurs
absolues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En prenant la valeur absolue du résultat final

]]> La compensation a déjà eu lieu avant la valeur absolue : le résultat
reste faux.

]]> En intégrant directement de 0 à 3

]]> Les deux portions se compenseraient partiellement, ce qui sous-estime
l'aire.

]]> En découpant et en changeant le signe sur la seconde partie

]]> Bonne réponse : l'aire géométrique est la somme des valeurs absolues
des deux intégrales.

]]> En doublant l'intégrale sur [0 ; 2]

]]> Rien n'impose aux deux portions d'avoir la même aire.

]]> Intégration — Q31 : Lire une écriture intégrale Dans l'écriture \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx, que désignent les
deux nombres a et b ?

]]> Dans ∫ₐᵇ f(x) dx, a et b sont les bornes d'intégration,
f la fonction intégrée et x une variable muette : la remplacer
par t ne change rien au résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les coordonnées du point le plus haut de la courbe

]]> Erreur : l'intégrale ne retient aucun point particulier de la
courbe, elle cumule l'aire sur tout l'intervalle.

]]> Les bornes de l'intervalle sur lequel on intègre

]]> Bonne réponse : a et b délimitent la portion de l'axe des
abscisses sous laquelle on mesure l'aire.

]]> Les deux primitives de la fonction utilisées au calcul

]]> Confusion : la primitive est une fonction, notée F. Les
nombres a et b sont les abscisses où on l'évalue.

]]> Les valeurs prises par la fonction en ces deux points

]]> Confusion : ces valeurs s'écrivent f(a) et f(b). Dans
l'écriture de l'intégrale, a et b sont des abscisses.

]]> Intégration — Q32 : Retrouver une constante Une fonction est constante, égale à c, sur l'intervalle
[2 ; 7], et l'on sait que
\displaystyle\int_{2}^{7} c\,dx = 20.
Que vaut la constante c ?

]]> Pour une fonction constante, ∫ₐᵇ c dx = c × (b - a).
Connaissant l'aire et la largeur, on retrouve la hauteur en
divisant l'une par l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Largeur confondue avec la hauteur : 5 = 7 - 2 est la
base du rectangle. La hauteur cherchée vaut 4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : l'aire du rectangle vaut c × 5 = 20, donc c = 20 ÷ 5 = 4.

]]> 20/7

]]> Division par la borne au lieu de la largeur : on divise par
7 - 2 = 5, ce qui donne 4.

]]> 20

]]> Valeur de l'intégrale recopiée : 20 est l'aire du
rectangle entier, pas sa hauteur, qui vaut 4.

]]> Intégration — Q33 : Appliquer une primitive donnée On admet que la fonction F définie par F(x) = x³ est une
primitive de f sur ℝ. Que vaut
\displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\,dx ?

]]> Dès qu'une primitive F de f est connue,
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a). Aucune autre étape n'est
nécessaire : il reste à évaluer et à soustraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -7

]]> Ordre inversé : le crochet se lit F(2) - F(1), borne
haute d'abord, ce qui donne 7.

]]> 1

]]> Calcul mal groupé : on élève d'abord chaque borne au cube, puis
on soustrait, soit 2³ - 1³ = 7.

]]> 7

]]> Bonne réponse : F(2) - F(1) = 2³ - 1³ = 7.

]]> 9

]]> Signe du crochet : les deux valeurs se soustraient et ne
s'additionnent pas, d'où 7.

]]> Intégration — Q34 : Deux bornes confondues Soit f une fonction continue sur ℝ. Que vaut
\displaystyle\int_5^5 f(x)\,dx ?

]]> ∫ₐᵃ f = 0 pour toute fonction continue. Cette règle est la
seule compatible avec la convention ∫_bᵃ f = -∫ₐᵇ f :
l'intégrale y est égale à son propre opposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5, la valeur commune des deux bornes

]]> Erreur : les bornes repèrent l'intervalle, elles ne sont pas le
résultat. L'intervalle étant vide, l'intégrale vaut 0.

]]> f(5), la valeur de la fonction en 5

]]> Confusion : une intégrale cumule des aires, elle ne renvoie pas
une valeur de la fonction. Ici le cumul est nul.

]]> 0, quelle que soit la fonction f

]]> Bonne réponse : le domaine est réduit à un segment vertical,
donc d'aire nulle. Par le crochet, F(5) - F(5) = 0.

]]> Rien : on ne peut pas conclure sans f

]]> Erreur : le résultat ne dépend pas de f, puisque
F(5) - F(5) = 0 pour toute primitive F.

]]> Intégration — Q35 : Comparer deux intégrales Deux fonctions continues vérifient f(x) ≤ g(x) pour tout x
de [a ; b], avec a < b. Qu'en déduit-on ?

]]> L'intégration conserve les inégalités : de f ≤ g sur
[a ; b] découle ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g. C'est la
positivité appliquée à la fonction g - f.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \displaystyle\int_a^b |f| \leq \int_a^b |g|

]]> Erreur : les valeurs absolues perdent l'information de signe.
Avec f = -5 et g = 1, cette inégalité est fausse.

]]> \displaystyle\int_a^b f \geq \int_a^b g

]]> Inégalité retournée : la courbe du dessous délimite la plus
petite aire, donc la plus petite intégrale.

]]> \displaystyle\int_a^b f = \int_a^b g

]]> Erreur : l'égalité ne vaut que si les deux fonctions coïncident
partout, ce que l'énoncé n'affirme pas.

]]> \displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g

]]> Bonne réponse : g - f est positive, donc son intégrale l'est
aussi, ce qui donne ∫ₐᵇ g - ∫ₐᵇ f ≥ 0.

]]> Intégration — Q36 : Aire sous l'exponentielle Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la
courbe de la fonction exponentielle entre x = 2 et x = 4 ?

]]> ∫ₐᵇ eˣ dx = [eˣ]ₐᵇ = eᵇ - eᵃ. Le réflexe
utile est de contrôler le signe : l'exponentielle étant positive,
l'aire trouvée doit l'être aussi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁴ - e² unités d'aire

]]> Bonne réponse : la fonction exponentielle est sa propre
primitive, donc [eˣ]₂⁴ = e⁴ - e².

]]> \dfrac{e^{4}}{e^{2}} unités d'aire

]]> Quotient au lieu d'une différence : le crochet soustrait les
deux valeurs de la primitive, il ne les divise pas.

]]> e⁴ + e² unités d'aire

]]> Signe du crochet : la valeur en la borne basse se retranche,
d'où e⁴ - e².

]]> e⁴ - 1 unités d'aire

]]> Borne basse traitée comme 0 : on retranche e², et non
e⁰ = 1, car l'aire commence en x = 2.

]]> Intégration — Q37 : Somme de deux rectangles On découpe [0 ; 4] en deux intervalles de même largeur et on
approche \displaystyle\int_0^4 f par deux rectangles dont la
hauteur est prise au bord gauche. On donne f(0) = 3 et
f(2) = 5. Que vaut cette approximation ?

]]> Une somme de rectangles vaut p × (f(x₀) + f(x₁) + ⋯), où p est la largeur commune. Ici p = 2 et deux
hauteurs seulement interviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Bonne réponse : chaque rectangle a pour largeur 2, d'où
2 × 3 + 2 × 5 = 16.

]]> 8

]]> Largeur oubliée : les hauteurs se multiplient par 2 avant
d'être additionnées, ce qui donne 16.

]]> 32

]]> Largeur totale employée deux fois : chaque rectangle mesure
2 de large, pas 4, d'où 16.

]]> 20

]]> Une seule hauteur utilisée : le premier rectangle a pour
hauteur 3, pas 5, d'où 16.

]]> Intégration — Q38 : Ce qu'accumule une boucle Un algorithme part de S = 0 puis, à chaque tour de boucle,
remplace S par S + p × f(x) avant d'augmenter x du pas
p. Que contient S à la fin de la boucle ?

]]> La méthode des rectangles s'écrit en une boucle : à chaque tour, on
ajoute l'aire d'un rectangle, largeur p et hauteur f(x). Le
total approche l'intégrale, d'autant mieux que p est petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur exacte de l'intégrale sur tout l'intervalle

]]> Erreur : des rectangles ne coïncident pas avec la courbe.
L'écart diminue avec le pas sans jamais s'annuler.

]]> La hauteur moyenne des rectangles de la subdivision

]]> Erreur : aucune division par le nombre de tours n'apparaît
dans la boucle, donc S n'est pas une moyenne.

]]> Une valeur approchée de l'intégrale par rectangles

]]> Bonne réponse : chaque tour ajoute l'aire p × f(x) d'un
rectangle, et S finit par cumuler tous ces rectangles.

]]> La somme des valeurs prises par f aux points parcourus

]]> Facteur p oublié : la boucle ajoute des aires, produits d'une
largeur par une hauteur, et non des hauteurs seules.

]]> Intégration — Q39 : Estimer une aire par comptage Un domaine est contenu dans un carré d'aire 4. On tire 500
points au hasard dans ce carré et 150 d'entre eux tombent dans
le domaine. Quelle estimation de l'aire du domaine obtient-on ?

]]> Avec des tirages uniformes, la fréquence des points tombés dans le
domaine estime le rapport des aires. L'aire cherchée vaut donc
environ cette fréquence multipliée par l'aire du carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Aire du carré oubliée : 0{,}3 est une proportion, à
multiplier par 4 pour obtenir une aire.

]]> 0{,}6

]]> Côté employé au lieu de l'aire : le carré mesure 2 de côté,
mais c'est son aire 4 qui sert de référence.

]]> 1{,}2

]]> Bonne réponse : la proportion 0{,}3 estime la part du
carré occupée, d'où une aire d'environ
4 \times 0{,}3 = 1{,}2.

]]> 2{,}8

]]> Points comptés à l'extérieur : ce calcul mesure l'aire de la
partie du carré hors du domaine.

]]> Intégration — Q40 : Aire sous la parabole Quelle est l'aire du domaine délimité par la courbe de
f(x) = x², l'axe des abscisses et les droites d'équations
x = 1 et x = 2 ?

]]> ∫ₐᵇ x² dx = [x³/3]ₐᵇ = b³ - a³/3. Les deux pièges habituels sont la borne
basse oubliée et le dénominateur 3 perdu en route.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 unités d'aire

]]> Division par 3 oubliée : la primitive de x² est
x³/3, d'où 7/3.

]]> 8/3 unités d'aire

]]> Borne basse oubliée : il faut retrancher la valeur de la
primitive en 1, ce qui donne 7/3.

]]> 7/3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : une primitive est x³/3, donc l'aire
vaut 2³ - 1³/3 = 7/3.

]]> ⅓ unités d'aire

]]> Calcul mal groupé : on élève chaque borne au cube avant de
soustraire, on ne soustrait pas les bornes d'abord.

]]> Intégration — Q41 : Valeur moyenne d'une fonction linéaire Quelle est la valeur moyenne de la fonction f définie par
f(x) = 4x sur l'intervalle [0 ; 3] ?

]]> La valeur moyenne de f sur [a ; b] vaut
1/b - a∫ₐᵇ f. Pour une fonction linéaire partant de
0, elle vaut la moitié de la valeur atteinte au bord droit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 18

]]> Division oubliée : 18 est l'intégrale ; la moyenne
la rapporte à la largeur 3, d'où 6.

]]> 12

]]> Valeur au bord prise pour la moyenne : 12 = f(3) est
la plus grande valeur de f, pas sa moyenne.

]]> 4

]]> Coefficient recopié : 4 est la pente de la droite, elle ne
donne pas directement la moyenne, qui vaut 6.

]]> 6

]]> Bonne réponse : ∫₀³ 4x dx = 18, puis on
divise par la largeur 3, ce qui donne 6.

]]> Intégration — Q42 : Variations de la fonction aire Soit f une fonction continue et strictement positive sur
[a ; b], et F la fonction définie par
F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt. Que dire de F ?

]]> La fonction aire F(x) = ∫ₐˣ f a pour dérivée f. Son sens
de variation se lit donc sur le signe de f : positive, F croît
; négative, F décroît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante sur l'intervalle [a ; b]

]]> Erreur : F serait constante si f était nulle. Ici chaque
avancée de x ajoute une aire strictement positive.

]]> Elle est strictement décroissante sur [a ; b]

]]> Erreur de sens : F' = f est positive, donc F croît. Une
aire ne peut pas diminuer en s'étendant vers la droite.

]]> Elle est strictement croissante sur [a ; b]

]]> Bonne réponse : F' = f > 0, donc F croît. L'aire cumulée
augmente tant que la courbe reste au-dessus de l'axe.

]]> Son sens de variation suit celui de la fonction f

]]> Confusion d'étage : c'est le signe de f, et non son sens de
variation, qui commande les variations de F.

]]> Intégration — Q43 : Dériver une fonction aire Soit F la fonction définie sur ℝ par
F(x) = \displaystyle\int_0^x \left(t^2 + 1\right)\,dt.
Que vaut F'(3) ?

]]> Pour f continue, la fonction x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est
dérivable et sa dérivée est f. Dériver une fonction aire revient
donc à lire la fonction intégrée au point demandé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Valeur de F au lieu de celle de F' : ce calcul est
F(3), l'aire cumulée jusqu'en 3.

]]> 6

]]> Dérivation de trop : on a dérivé t² + 1 au lieu de
l'évaluer. La dérivée de F est la fonction intégrée.

]]> 9

]]> Terme constant oublié : la fonction intégrée vaut
t² + 1, d'où 3² + 1 = 10.

]]> 10

]]> Bonne réponse : F'(x) = x² + 1, donc
F'(3) = 3² + 1 = 10.

]]> Intégration — Q44 : Aire entre une parabole et une droite Sur l'intervalle [0 ; 2], on considère les courbes des
fonctions f(x) = x² et g(x) = 2x. Quelle est l'aire du
domaine compris entre ces deux courbes ?

]]> L'aire entre deux courbes vaut ∫ₐᵇ (h - k), où h désigne
la fonction du dessus. Déterminer laquelle domine est le premier
travail, avant tout calcul de primitive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 unités d'aire

]]> Seule la droite intégrée : ce calcul donne l'aire sous g, à
laquelle il reste à retirer celle sous f.

]]> 4/3 unités d'aire

]]> Bonne réponse : sur [0 ; 2] on a g ≥ f, donc l'aire
vaut ∫₀²(2x - x²)dx = 4/3.

]]> -4/3 unités d'aire

]]> Courbes prises dans le mauvais ordre : ici la droite est
au-dessus de la parabole. Une aire reste positive.

]]> 20/3 unités d'aire

]]> Somme au lieu d'une différence : l'aire entre deux courbes
intègre leur écart g - f, et non leur somme.

]]> Intégration — Q45 : Intégrale et changement de signe Une fonction continue f est positive sur [0 ; 3] et
négative sur [3 ; 8]. L'aire comprise entre sa courbe et
l'axe des abscisses vaut 9 unités d'aire sur le premier
intervalle et 4 sur le second. Que vaut
\displaystyle\int_0^{8} f(x)\,dx ?

]]> L'intégrale est une aire algébrique : positive au-dessus de l'axe,
négative en dessous. L'aire géométrique, elle, additionne les
valeurs absolues des deux contributions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Seconde portion ignorée : elle contribue bel et bien, pour
-4, d'où le résultat 5.

]]> -5

]]> Signes échangés : c'est la portion située sous l'axe qui compte
négativement, ce qui donne 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : la première portion compte pour +9, la
seconde pour -4, d'où 9 - 4 = 5.

]]> 13

]]> Aires additionnées : ce total 13 est l'aire
géométrique. L'intégrale, elle, retranche la partie négative.

]]> Intégration — Q46 : Retrouver un morceau manquant On sait que \displaystyle\int_0^{5} f = 12 et que
\displaystyle\int_0^{2} f = 5. Que vaut
\displaystyle\int_{2}^{5} f ?

]]> La relation de Chasles se lit dans les deux sens : de
∫₀ᶜ f = ∫₀ᵇ f + ∫_bᶜ f on tire aussi bien la somme
que le morceau manquant, par soustraction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Largeur calculée : 5 - 2 mesure l'intervalle, pas l'aire
qui s'y trouve.

]]> 17

]]> Morceaux additionnés : le second est déjà compris dans le
premier, il faut donc le retrancher.

]]> -7

]]> Soustraction renversée : c'est le morceau connu qu'on retire du
total, ce qui donne 7.

]]> 7

]]> Bonne réponse : le grand morceau se décompose en deux, donc
12 = 5 + ∫₂⁵ f, d'où 7.

]]> Intégration — Q47 : Multiplier une fonction par un nombre On sait que \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 4. Que vaut
\displaystyle\int_a^b 5f(x)\,dx ?

]]> La linéarité permet de sortir un coefficient :
∫ₐᵇ k f = k ∫ₐᵇ f. Géométriquement, étirer la courbe
verticalement d'un facteur k étire l'aire du même facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅘

]]> Division au lieu d'une multiplication : le coefficient
agrandit l'aire, il ne la réduit pas.

]]> 9

]]> Addition au lieu d'un produit : multiplier la fonction par
5 multiplie l'aire par 5.

]]> 20

]]> Bonne réponse : le facteur 5 sort de l'intégrale, donc le
résultat vaut 5 × 4 = 20.

]]> 4

]]> Facteur ignoré : 4 est l'intégrale de f seule ; la courbe
de 5f est 5 fois plus haute.

]]> Intégration — Q48 : Aire sous une droite Que vaut \displaystyle\int_0^{4} x\,dx ?

]]> ∫₀ᵇ x dx = [x²/2]₀ᵇ = b²/2. Le contrôle est immédiat : le domaine est un
triangle rectangle de base b et de hauteur b.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Division par 2 oubliée : la primitive de x est
x²/2, pas x².

]]> 4

]]> Borne recopiée : 4 est la valeur de la fonction en 4,
pas l'aire accumulée depuis 0.

]]> 2

]]> Carré oublié : c'est 4² qui se divise par 2, et non
4 lui-même.

]]> 8

]]> Bonne réponse : une primitive est x²/2, donc le
résultat vaut 4²/2 = 8. C'est bien l'aire du
triangle de base 4 et de hauteur 4.

]]> Intégration — Q49 : Une primitive connue en deux points Une primitive F de f vérifie F(1) = 3 et
F(5) = 11. Que vaut \displaystyle\int_{1}^{5} f(x)\,dx ?

]]> Connaître une primitive en deux points suffit :
∫ₐᵇ f = F(b) - F(a). L'expression de f n'est même pas
nécessaire, et la constante d'intégration disparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -8

]]> Ordre inversé : on écrit F(5) - F(1), la borne haute en
premier, ce qui donne 8.

]]> 14

]]> Valeurs additionnées : le crochet soustrait la valeur en la
borne basse, il ne l'ajoute pas.

]]> 8

]]> Bonne réponse : l'intégrale vaut F(5) - F(1) = 11 - 3 = 8.

]]> 11

]]> Borne basse oubliée : la valeur F(1) = 3 doit être
retranchée, d'où 8.

]]> Intégration — Q50 : Approcher une intégrale par des trapèzes On approche \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt par deux trapèzes de
largeur 1, avec f(0) = 1{,}5, f(1) = 3 et f(2) = 4{,}5.
Quelle valeur obtient-on ?

]]> La méthode des trapèzes donne la moyenne des méthodes des
rectangles à gauche et à droite ; elle est en général plus
précise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse :
\dfrac{1{,}5 + 3}{2} + \dfrac{3 + 4{,}5}{2} = 2{,}25 + 3{,}75 = 6.

]]> 9

]]> Somme des trois valeurs : l'aire d'un trapèze est sa largeur
multipliée par la moyenne des deux côtés.

]]> 7{,}5

]]> Rectangles à droite : les hauteurs f(1) et f(2) sont
prises seules.

]]> 4{,}5

]]> Rectangles à gauche : les hauteurs f(0) et f(1) sont
prises seules.

]]> Intégration — Q51 : La largeur des rectangles Pour approcher \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx par la
méthode des rectangles, on découpe [0 ; 2] en 4
intervalles de même largeur. Quelle est cette largeur ?

]]> Le pas de la méthode des rectangles est h = b - a/n ;
plus n est grand, plus h est petit et l'approximation précise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5

]]> Bonne réponse : largeur = \dfrac{2 - 0}{4} = 0{,}5.

]]> 4

]]> Erreur : 4 est le nombre d'intervalles, pas leur largeur.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est la longueur totale de l'intervalle, à diviser
par 4.

]]> 8

]]> Erreur : on divise la longueur par 4, on ne la multiplie
pas.

]]> Intégration — Q52 : Rectangles à gauche sous une fonction croissante Une fonction f est continue et croissante sur [a ; b]. On
approche \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx par des rectangles dont la
hauteur est la valeur de f au bord gauche de chaque
intervalle. Que peut-on dire de cette approximation ?

]]> Pour une fonction croissante, rectangles à gauche et à droite
encadrent l'intégrale ; l'écart entre les deux diminue avec le pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est supérieure ou égale à l'intégrale

]]> Erreur : ce serait le cas avec les rectangles à droite,
dont la hauteur est la valeur maximale sur l'intervalle.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître f

]]> Erreur : la croissance de f suffit à positionner chaque
rectangle sous la courbe.

]]> Elle est inférieure ou égale à l'intégrale

]]> Bonne réponse : sur chaque intervalle, f croissante est
minimale au bord gauche ; chaque rectangle est sous la courbe,
la somme minore l'intégrale.

]]> Elle est exactement égale à l'intégrale

]]> Erreur : l'égalité n'a lieu que si f est constante sur chaque
intervalle.

]]> Intégration — Q53 : Lire une méthode des rectangles en Python Dans ce programme, que représente l'expression f(a + i h) h ?
`python
def rectangles(f, a, b, n):
h = (b - a) / n
s = 0
for i in range(n):
s = s + f(a + i h) h
return s
`

]]> Le programme traduit la définition : somme des aires de n
rectangles de largeur h et de hauteur f(a + ih).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur de la primitive de f en a + i * h

]]> Erreur : aucune primitive n'intervient ; le programme additionne
des aires de rectangles.

]]> L'intégrale de f entre a et a + i * h

]]> Erreur : c'est la somme s accumulée qui approche une
intégrale, pas un terme isolé.

]]> La longueur du i-ième intervalle de la subdivision

]]> Erreur : la longueur est h seul ; le produit par f(...) en
fait une aire.

]]> L'aire du i-ième rectangle, de largeur h

]]> Bonne réponse : a + i * h est le bord gauche du i-ième
intervalle, f(...) la hauteur du rectangle, h sa largeur.

]]> Intégration — Q54 : Doubler le nombre de rectangles Avec la méthode des rectangles, on passe de n à 2n rectangles
pour approcher la même intégrale. Comment l'erreur évolue-t-elle,
en général ?

]]> Méthode des rectangles : erreur en O(h) ; méthode des trapèzes :
erreur en O(h²). Doubler n divise l'erreur par 2 ou par 4
selon la méthode.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle devient nulle

]]> Erreur : l'erreur ne s'annule qu'à la limite, pour n infini.

]]> Elle est environ divisée par 2

]]> Bonne réponse : l'erreur de la méthode des rectangles est
proportionnelle au pas h ; diviser h par 2 divise l'erreur
par 2 environ.

]]> Elle est environ divisée par 4

]]> Erreur : la division par 4 caractérise la méthode des
trapèzes, plus précise, pas celle des rectangles.

]]> Elle ne change pas

]]> Erreur : affiner le découpage rapproche la somme de l'intégrale.

]]> Intégration — Q55 : Intégrale d'une fonction affine par une primitive Calculer \displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx.

]]> \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) où F est une
primitive de f.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Erreur : 2(3 - 1) serait l'intégrale de la constante 2,
pas de 2x.

]]> 9

]]> Erreur : la valeur de la primitive en 1 a été oubliée ; il
faut soustraire 1².

]]> 2

]]> Erreur : 2 est la longueur de l'intervalle, pas l'intégrale.

]]> 8

]]> Bonne réponse : une primitive de 2x est x² ;
[x²]₁³ = 3² - 1² = 8.

]]> Intégration — Q56 : Intégrale d'un polynôme sur l'intervalle unité Calculer \displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1)\,dx.

]]> On intègre terme à terme : x³/3 pour x², x pour
la constante, puis on évalue entre les bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4/3

]]> Bonne réponse : une primitive est x³/3 + x ;
entre 0 et 1, on obtient ⅓ + 1 = 4/3.

]]> 3/2

]]> Erreur : ½ + 1 correspond à l'intégrale de
x + 1, pas de x² + 1.

]]> ⅓

]]> Erreur : le terme constant 1 a été oublié dans la primitive.

]]> 2

]]> Erreur : la primitive de x² est x³/3, pas x³.

]]> Intégration — Q57 : Intégrale de l'inverse Calculer \displaystyle\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx.

]]> \displaystyle\int_1^{e^k} \dfrac{dx}{x} = \ln(e^k) - \ln(1) = k :
le logarithme mesure l'aire sous l'hyperbole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Erreur : ln(1) = 0, mais ln(e) = 1 ; la différence
n'est pas nulle.

]]> 1 - 1/e

]]> Erreur : -1/x est une primitive de 1/x²,
pas de 1/x.

]]> 1

]]> Bonne réponse : une primitive de 1/x sur
]0 ; +∞[ est ln(x) ; ln(e) - ln(1) = 1 - 0.

]]> e - 1

]]> Erreur : e - 1 serait l'intégrale de la constante 1, pas
de 1/x.

]]> Intégration — Q58 : Indice de Gini d'une courbe de Lorenz L'indice de Gini d'une répartition de courbe de Lorenz L vaut
G = 2\displaystyle\int_0^1 \left(x - L(x)\right)dx. Que vaut G
pour L(x) = x⁴ ?

]]> L'indice de Gini est le double de l'aire comprise entre la
première bissectrice et la courbe de Lorenz. Il vaut 0 pour une
répartition égalitaire et se rapproche de 1 quand les inégalités
augmentent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅗

]]> Bonne réponse : \displaystyle\int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2}
et \displaystyle\int_0^1 x^{4}dx = \dfrac{1}{5}, donc
G = 2(½ - ⅕) = ⅗.

]]> ⅘

]]> Complément erroné : 1 - ⅕ n'est pas l'aire entre la
bissectrice et la courbe.

]]> ⅕

]]> Aire sous la courbe de Lorenz seule : ⅕ est
\displaystyle\int_0^1 L, pas l'indice.

]]> 3/10

]]> Facteur 2 oublié : 3/10 est l'aire entre la bissectrice
et la courbe ; l'indice en est le double.

]]> Intégration — Q59 : Interpréter un indice de Gini nul L'indice de Gini d'une répartition des revenus vaut 0. Que
peut-on en conclure ?

]]> G = 2\displaystyle\int_0^1 (x - L(x))\,dx est nul exactement
quand L(x) = x sur [0 ; 1] : les x\ % les plus modestes
détiennent x\ % du revenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le revenu total de la population est nul

]]> Confusion : l'indice mesure la répartition du revenu, pas son
montant.

]]> Tous les revenus sont égaux

]]> Bonne réponse : la courbe de Lorenz est alors la première
bissectrice, chaque part de la population détient la même part
du revenu.

]]> Une seule personne détient tout le revenu

]]> Situation inverse : l'inégalité maximale donne un indice
proche de 1.

]]> La moitié la plus pauvre ne détient rien

]]> Cas très inégalitaire : la courbe s'éloignerait de la
bissectrice et l'indice serait positif.

]]> Intégration — Q60 : Approcher une intégrale par un trapèze On approche \displaystyle\int_{1}^{3} f(x)\,dx par l'aire du
trapèze de sommets (1 ; 0), (3 ; 0), (3 ; 6)
et (1 ; 2), avec f(1) = 2 et f(3) = 6.
Quelle valeur obtient-on ?

]]> La méthode des trapèzes remplace la courbe par une corde : l'aire
vaut la largeur multipliée par la moyenne des hauteurs aux deux
bords. C'est la moyenne des approximations par rectangles à gauche
et à droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : aire d'un trapèze,
(3 - 1) × 2 + 6/2 = 8.

]]> 16

]]> Division par 2 oubliée : la hauteur moyenne est
2 + 6/2, et non la somme des deux hauteurs.

]]> 12

]]> Rectangle à droite : (3 - 1) × 6 prend la
hauteur au seul bord droit.

]]> 4

]]> Rectangle à gauche : (3 - 1) × 2 prend la
hauteur au seul bord gauche.

]]> Intégration — Q61 : Une méthode de Monte-Carlo en Python La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
[0 ; 1[. De quel nombre estime(100000) donne-t-il une valeur
approchée ?
`python
def estime(n):
c = 0
for i in range(n):
x = random()
y = random()
if y <= x * x:
c = c + 1
return c / n
`

]]> Le point (x ; y) est tiré uniformément dans le carré
[0 ; 1]², d'aire 1. La fréquence des points sous la courbe
approche l'aire du domaine, ici
\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1, aire du carré unité

]]> Proportion confondue avec une aire totale : seuls les points
sous la parabole sont comptés.

]]> ½, aire sous la droite y = x

]]> Mauvaise courbe : le test y <= x * x compare y à x², et
non à x.

]]> \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}

]]> Bonne réponse : la proportion de points du carré unité situés
sous la parabole approche l'aire sous la courbe, soit
⅓.

]]> ⅔, aire au-dessus de la parabole

]]> Région complémentaire : les points comptés vérifient
y ≤ x², donc sont sous la courbe.

]]> Intégration — Q62 : Estimer une aire sur un quadrillage [Figure : Repère quadrillé. La courbe d'une fonction croissante part du
point (0 ; 1) et monte jusqu'au point (4 ; 5) en se courbant
vers le haut, en passant par (2 ; 2). Le domaine entre la
courbe, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4 est
colorié.]

Le domaine coloré est situé sous la courbe d'une fonction f
positive, entre x = 0 et x = 4. Parmi les valeurs suivantes,
laquelle est la plus proche de \displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx ?

]]> L'intégrale d'une fonction positive est l'aire sous sa courbe, qui
s'estime en comptant les carreaux. Les rectangles à gauche donnent
7{,}5, ceux à droite 11{,}5 : l'aire est entre les deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Valeur de f(4) : c'est une hauteur, pas une aire.

]]> 20

]]> Rectangle englobant : 4 × 5 = 20 compte tout le carré
situé sous la hauteur maximale.

]]> 9

]]> Bonne réponse : le domaine couvre environ neuf carreaux d'une
unité d'aire ; la valeur exacte est
\dfrac{28}{3} \approx 9{,}3.

]]> 4

]]> Largeur de l'intervalle : l'aire dépend aussi de la hauteur de
la courbe.

]]>