$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois à densité Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,
fonction de répartition x ↦ P(X ≤ x), espérance sous
forme d'intégrale, loi uniforme sur [0 ; 1] puis sur
[a ; b] (densité, espérance), loi exponentielle (densité,
espérance, absence de mémoire).

]]> Lois à densité — Q01 : Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ? Quelles conditions une fonction f doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle I ?

]]> Densité : f ≥ 0 et aire totale = 1. Les probabilités
se lisent alors comme des aires : P(c ≤ X ≤ d) =
aire sous f entre c et d.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Être continue et impaire sur I

]]> Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;
aucune symétrie n'est requise.

]]> Être positive et d'aire totale 1

]]> Bonne réponse : positivité sur I (les probabilités
sont positives) et aire totale 1 sous la courbe sur
I (l'événement certain).

]]> Être croissante et valoir 1 à droite

]]> Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de
répartition P(X ≤ x), pas la densité.

]]> Être comprise entre 0 et 1 sur I

]]> Erreur : une densité peut dépasser 1 (par exemple la
densité uniforme sur [0\,;\,0{,}5] vaut 2) : c'est
l'aire qui est bornée par 1, pas la hauteur.

]]> Lois à densité — Q02 : Lire une probabilité comme une aire [Figure : Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment
horizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul
ailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5,
sous le segment, est coloriée en bleu clair.]

La figure montre la densité de la loi uniforme sur
[0 ; 2] (hauteur 0{,}5) ; la zone colorée s'étend de
0{,}5 à 1{,}5. Que vaut
P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5) ?

]]> Pour une densité, une probabilité se lit comme une aire.
Uniforme sur
[a ; b] : densité constante 1/b-a, et
P(c ≤ X ≤ d) = d - c/b - a : la proportion
de longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}25

]]> Erreur : 0{,}5 \times 0{,}5 prend la mauvaise
largeur : la zone va de 0{,}5 à 1{,}5, largeur 1.

]]> 0{,}75

]]> Erreur : 0{,}75 correspondrait à une largeur de
1{,}5 (par exemple de 0{,}5 à 2). Ici :
1 \times 0{,}5 = 0{,}5.

]]> 1

]]> Erreur : 1 est la largeur de la zone, et la largeur
seule ne suffit pas : l'aire multiplie largeur et
hauteur (0{,}5).

]]> 0{,}5

]]> Bonne réponse : la probabilité est l'aire du rectangle de
largeur 1 et de hauteur 0{,}5 : 1 \times 0{,}5 =
0{,}5. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la
probabilité : cohérent pour une loi uniforme.

]]> Lois à densité — Q03 : Densité de la loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
[2 ; 7] ?

]]> Uniforme sur [a ; b] : densité 1/b-a sur
l'intervalle, nulle ailleurs ; espérance a+b/2
(le milieu).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = ⅕ sur [2 ; 7]

]]> Bonne réponse (et f nulle ailleurs) : constante sur
l'intervalle, de hauteur 1/b-a = ⅕
pour que l'aire totale (5 × ⅕) vaille
1.

]]> f(x) = 5 sur [2 ; 7], nulle ailleurs

]]> Erreur : hauteur 5 sur une largeur 5 donnerait une
aire de 25. La densité est l'inverse de la
longueur.

]]> f(x) = ⅐ sur [2 ; 7]

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur b - a = 5, pas la borne 7. (Aire : 5 × ⅐ ≠ 1.)

]]> f(x) = x - 2 sur [2 ; 7]

]]> Erreur : une densité croissante privilégierait les
grandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur
constante.

]]> Lois à densité — Q04 : Attente moyenne entre deux passages Un bus passe toutes les 10 minutes ; le temps d'attente X
d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur
[0 ; 10]. Que vaut E(X) ?

]]> Pour une loi uniforme sur [a ; b], E(X) = a + b/2,
milieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié
de l'intervalle entre deux passages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅒ de minute

]]> Valeur de la densité : ⅒ est la hauteur du
rectangle, pas l'espérance.

]]> 10 minutes

]]> Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la
moyenne en vaut la moitié.

]]> 5 minutes

]]> Bonne réponse : E(X) = 0 + 10/2 = 5, la moitié
de l'intervalle entre deux passages.

]]> 0 minute

]]> L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne.

]]> Lois à densité — Q05 : Fonction de répartition Pour une variable à densité X, que représente la fonction
de répartition F(x) = P(X ≤ x) ?

]]> Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x), aire
cumulée. Utilité pratique : P(c ≤ X ≤ d) = F(d) - F(c).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La hauteur de la densité au point x

]]> Erreur : la hauteur est f(x) ; la répartition est
l'aire accumulée jusqu'à x (l'intégrale de la
densité).

]]> La probabilité que X = x exactement

]]> Erreur : pour une loi à densité, P(X = x) = 0 (une
aire de largeur nulle). F(x) cumule tout ce qui est
inférieur ou égal à x.

]]> La moyenne des valeurs inférieures à x

]]> Erreur : F(x) est une probabilité (une aire), pas une
moyenne ; l'espérance, elle, est un nombre (∫ x f(x) dx), alors que la répartition est une fonction
de x.

]]> L'aire cumulée sous la densité jusqu'à x

]]> Bonne réponse : F accumule la probabilité de gauche à
droite : fonction croissante, de limite 0 à gauche et
1 à droite.

]]> Lois à densité — Q06 : $P(X = a)$ pour une loi à densité Soit X une variable suivant une loi à densité. Que vaut
P(X = 3) (la probabilité d'une valeur exacte) ?

]]> Différence essentielle discret/continu : en continu,
P(X = a) = 0 pour tout a ; seules les plages de
valeurs portent de la probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(3), la valeur de la densité

]]> Erreur : f(3) est une hauteur, pas une
probabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée
par une largeur (aire).

]]> 0 : une aire de largeur nulle

]]> Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus
du seul point 3, la largeur est nulle. Conséquence :
P(X ≤ 3) = P(X < 3) pour les lois à densité.

]]> ½

]]> Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans
une loi à densité : P(X = 3) = 0.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : pour toute loi à densité, les valeurs
exactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois
discrètes).

]]> Lois à densité — Q07 : La loi exponentielle Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
λ > 0 ?

]]> Loi exponentielle : densité \lambda e^{-\lambda t} sur
[0 ; +∞[, espérance 1/λ, absence de
mémoire. Version continue de la loi géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(t) = e^{-\lambda t} pour t ≥ 0

]]> Erreur : sans le facteur λ, l'aire totale vaut
1/λ et non 1 : la densité est
\lambda e^{-\lambda t}.

]]> f(t) = e^{\lambda t} pour t ≥ 0

]]> Erreur : une exponentielle croissante aurait une
aire infinie : impossible pour une densité.

]]> f(t) = λ pour t ≥ 0

]]> Erreur : une constante sur [0 ; +∞[ aurait
aussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est
constante, sur un intervalle borné.

]]> f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t} pour t ≥ 0

]]> Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la
hauteur λ : le modèle continu des durées de vie
sans vieillissement.

]]> Lois à densité — Q08 : Espérance d'une loi exponentielle La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre \lambda = 0{,}1 (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?

]]> E(X) = 1/λ pour la loi exponentielle
(parallèle exact avec le 1/p de la loi
géométrique). Ici : 10 milliers d'heures.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est infinie, car t peut être arbitrairement grand

]]> Erreur : les grandes durées sont possibles mais si
improbables que la moyenne reste finie :
1/λ.

]]> 1/λ = 10 milliers d'heures

]]> Bonne réponse : E(X) = 1/λ : plus le
taux de panne λ est faible, plus la vie moyenne
est longue.

]]> 0{,}1 millier d'heures

]]> Erreur : 0{,}1 est le paramètre (taux) ;
l'espérance en est l'inverse : 10.

]]> \lambda^2 = 0{,}01

]]> Erreur : aucun carré ici : E = 1/λ
(et l'écart-type vaut aussi 1/λ).

]]> Lois à densité — Q09 : Absence de mémoire continue La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis 5 ans. Que dire de sa durée de
vie restante ?

]]> Absence de mémoire : P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t).
L'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent
leur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi
les lois à densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est plus longue, il a prouvé sa robustesse

]]> Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est
exactement celle d'origine.

]]> Elle devient certaine et égale à 1/λ

]]> Erreur : l'espérance restante vaut
1/λ, mais la durée reste aléatoire, de
même loi qu'au départ.

]]> Elle est plus courte, il a déjà consommé une partie de
sa vie

]]> Intuition d'usure, hors modèle : l'exponentielle
modélise précisément les pannes sans vieillissement
(défaillances accidentelles, désintégration atomique).

]]> Elle suit la même loi qu'un composant neuf

]]> Bonne réponse : le composant ne vieillit pas, c'est
l'absence de mémoire, propriété caractéristique de la
loi exponentielle : conditionner par la survie ne change
pas la loi du temps restant.

]]> Lois à densité — Q10 : L'espérance comme intégrale Pour une variable X de densité f sur [a ; b],
comment s'exprime l'espérance E(X) ?

]]> Analogie discret-continu : ∑ xᵢ pᵢ → ∫ x f(x) dx. Exemple : uniforme sur [a ; b] : ∫ₐᵇ x/b-a dx = a+b/2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = f(a+b/2)

]]> Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne
(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les
valeurs pondérées.

]]> E(X) = f(a) + f(b)/2

]]> Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de
sens probabiliste : l'espérance est ∫ x f(x) dx.

]]> E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

]]> Erreur : cette intégrale vaut toujours 1 (aire
totale). L'espérance pondère par la valeur x :
∫ x f(x) dx.

]]> E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx

]]> Bonne réponse : la version continue de
∑ xᵢ pᵢ : chaque valeur x pondérée par sa
densité, sommée par intégrale.

]]> Lois à densité — Q11 : Simuler avec la loi uniforme En Python, random() renvoie un réel de loi uniforme sur
[0 ; 1[. Comment simuler une variable uniforme sur
[3 ; 8] ?

]]> Rôle central de l'uniforme sur [0 ; 1] (au programme) :
elle simule les autres lois. Uniforme sur [a ; b] :
a + (b-a)U. C'est la brique des simulations continues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc randint(3, 8)

]]> Erreur : randint produit des entiers (loi uniforme
discrète). Pour un réel de loi à densité : random()
transformé.

]]> 3 * random() + 8

]]> Erreur : cette expression vit dans [8 ; 11[ :
coefficients mal placés. Longueur 5 en facteur, départ
3 en décalage.

]]> random(3, 8)

]]> Erreur : random() ne prend pas d'arguments. La
transformation affine a + (b-a) × random() fait
le travail.

]]> 3 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on dilate [0 ; 1[ par la longueur
(× 5) puis on translate au bon départ (+3) :
uniforme sur [3 ; 8[.

]]> Lois à densité — Q12 : Choisir entre uniforme et exponentielle Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
exponentielle ?

]]> Guide de modélisation : position au hasard → uniforme ;
durée d'attente sans mémoire → exponentielle ; comptes
→ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème
« temps d'attente » articule ces choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le temps d'attente entre deux appels à un standard

]]> Bonne réponse : temps d'attente d'événements
indépendants « sans mémoire » (appels, désintégrations,
pannes accidentelles) : le domaine de la loi
exponentielle.

]]> Le nombre de succès en 20 tirages avec remise

]]> Erreur : un compte discret : loi binomiale, pas une
loi à densité.

]]> Le résultat d'un lancer de dé équilibré

]]> Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme
discrète.

]]> La position d'un point choisi au hasard sur un segment

]]> Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :
loi uniforme.

]]> Lois à densité — Q13 : Probabilité uniforme simple X suit la loi uniforme sur [0\ ;\ 10]. Que vaut
P(X ≤ 3) ?

]]> Loi uniforme sur [c\ ;\ d] : P(X ∈ I) = longueur de I/d - c : la probabilité EST la
proportion géométrique. Le modèle du « point au hasard ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Erreur : 3 est la longueur favorable : une probabilité
la rapporte au total : 3/10.

]]> ⅓

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur totale
(10), pas la borne demandée.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 correspondrait à P(X ≤ 5) (la
moitié) : ici la zone couvre 30\ % de l'intervalle.

]]> 0{,}3

]]> Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur
favorable (3) sur longueur totale (10).

]]> Lois à densité — Q14 : L'aire totale sous une densité Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?

]]> Une densité : f ≥ 0 et ∫ f = 1 : les deux
conditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face
à toute densité proposée (et la clé pour trouver une
constante inconnue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'espérance de la variable

]]> Confusion : l'espérance est l'intégrale de
t f(t) (la valeur moyenne) : l'aire de f seule vaut
toujours 1.

]]> 1 : la certitude entière

]]> Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :
la probabilité totale, lue comme aire complète, vaut
1.

]]> 0

]]> Erreur : ce sont les probabilités ponctuelles (P(X = a)) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut 1.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :
positive ET d'aire totale 1, quelle que soit sa forme.

]]> Lois à densité — Q15 : Probabilité d'un sous-intervalle X suit la loi uniforme sur [2 ; 8]. Que vaut
P(3 ≤ X ≤ 5) ?

]]> Pour une loi uniforme sur [a ; b],
P(c ≤ X ≤ d) = d - c/b - a. Piège fréquent :
oublier que l'intervalle ne démarre pas en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¼

]]> Dénominateur faux : la longueur totale vaut 8 - 2 = 6,
l'intervalle ne commençant pas en 0.

]]> ⅓

]]> Bonne réponse : longueur favorable 5 - 3 = 2, longueur
totale 8 - 2 = 6, d'où ⅓.

]]> ⅗

]]> Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise
une longueur par une longueur.

]]> ⅝

]]> Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de
longueurs, 2 sur 6.

]]> Lois à densité — Q16 : Fonction de répartition exponentielle X suit la loi exponentielle de paramètre λ. Que
vaut P(X ≤ t) pour t ≥ 0 ?

]]> Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité
\lambda e^{-\lambda t}, répartition P(X \leq t) = 1 -
e^{-\lambda t}, survie P(X > t) = e^{-\lambda t}. Tout
calcul en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{-\lambda t}

]]> Complémentaire : e^{-\lambda t} est P(X > t) (la
survie) : la répartition en est le complément à 1.

]]> 1 - e^{-\lambda t}

]]> Bonne réponse : l'aire sous la densité entre 0 et t :
part de 0, grimpe vers 1 : la fonction de
répartition de la loi exponentielle.

]]> λ t

]]> Erreur : λ t dépasse 1 pour t grand :
impossible pour une probabilité : la bonne formule
sature vers 1.

]]> \lambda e^{-\lambda t}

]]> Confusion : \lambda e^{-\lambda t} est la densité
(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est
son intégrale.

]]> Lois à densité — Q17 : Durée de vie moyenne La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre \lambda = 0{,}5 par année. Quelle est sa durée de vie
moyenne ?

]]> Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :
un composant de taux 0{,}5 par an dure en moyenne 2 ans.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5 an

]]> Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse.

]]> 1{,}65 an

]]> e^{0{,}5} \approx 1{,}65 : l'exponentielle apparaît dans la
densité, pas dans l'espérance.

]]> 2 ans

]]> Bonne réponse :
E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2 ; le
paramètre est un taux de panne par an.

]]> 0{,}25 an

]]> Aucun carré n'intervient : E(X) = 1/λ.

]]> Lois à densité — Q18 : Probabilité de survie La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}5. Quelle est la
probabilité qu'il fonctionne encore après 4 ans ?

]]> P(X > t) = e^{-\lambda t} : on multiplie λ par t, puis
on prend l'exponentielle de l'opposé. Pour
t = 1/λ, la survie vaut e^{-1} \approx 0{,}37.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{-0{,}5} \approx 0{,}61

]]> Durée oubliée : l'exposant vaut -λ t = -2, pas
-λ seul.

]]> 2

]]> Produit λ t pris pour la probabilité : il n'en est que
l'exposant, au signe près.

]]> e^{-2} \approx 0{,}135

]]> Bonne réponse :
P(X > 4) = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}5 \times 4} = e^{-2}.

]]> 1 - e^{-2} \approx 0{,}865

]]> Événement contraire : 1 - e⁻² est P(X ≤ 4), la
probabilité d'être déjà en panne.

]]> Lois à densité — Q19 : Probabilité sur une loi uniforme Une variable suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. Que vaut
P(3 ≤ X ≤ 7) ?

]]> Pour une loi uniforme sur [a ; b], la probabilité d'un
sous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un
rectangle de hauteur 1/b - a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Borne supérieure seule : 7/10 est
P(X ≤ 7), il faut retirer la partie située avant 3.

]]> 0{,}4

]]> Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle
du support donne \dfrac{4}{10} = 0{,}4.

]]> 4

]]> Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du
support, et une probabilité ne dépasse jamais 1.

]]> 0{,}1

]]> Valeur de la densité : ⅒, à multiplier par la
longueur de l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q20 : Une probabilité exponentielle Pour une loi exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}5, que vaut
P(X > 2) ?

]]> Pour une loi exponentielle, P(X > t) = e^{-\lambda t} et
P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t} : la première décrit une
survie, la seconde la fonction de répartition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁻¹

]]> Bonne réponse : P(X > t) = e^{-\lambda t}, avec
\lambda t = 0{,}5 \times 2 = 1.

]]> 1 - e⁻¹

]]> Événement contraire : cette expression donne P(X ≤ 2).

]]> e⁻²

]]> Paramètre oublié : l'exposant vaut -λ t, soit -1.

]]> 0{,}5

]]> Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est
pas la probabilité cherchée.

]]> Lois à densité — Q21 : Ce que représente une aire partielle Sous la courbe d'une densité, que représente l'aire comprise entre les
abscisses a et b ?

]]> Pour une variable à densité, chaque probabilité est l'aire d'un domaine
sous la courbe. L'aire totale valant 1, toutes les probabilités sont
comprises entre 0 et 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur de la densité entre a et b

]]> La densité est la hauteur de la courbe, l'aire s'obtient en
l'intégrant.

]]> La probabilité que X appartienne à [a ; b]

]]> Bonne réponse : toute probabilité se lit comme une aire sous la courbe
de la densité.

]]> La valeur moyenne de X sur [a ; b]

]]> Une moyenne s'obtient par une autre intégrale, celle de tf(t).

]]> La longueur de l'intervalle [a ; b]

]]> Cette longueur est la base du domaine, pas son aire.

]]> Lois à densité — Q22 : Probabilité d'une valeur précise Pour une variable à densité, que vaut P(X = 3) ?

]]> Pour une variable à densité, la probabilité d'une valeur isolée est nulle.
C'est pourquoi les inégalités strictes et larges donnent les mêmes
probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur de la densité en 3

]]> La densité n'est pas une probabilité : elle peut d'ailleurs dépasser
1.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Le résultat vaut 0 pour toute variable à densité, quelle que soit sa
loi.

]]> ⅓

]]> Aucun rapport : la valeur prise n'intervient pas ainsi.

]]> 0

]]> Bonne réponse : l'aire sous la courbe au-dessus d'un point unique est
nulle.

]]> Lois à densité — Q23 : L'absence de mémoire continue Un composant de durée de vie exponentielle a déjà fonctionné 3 ans.
Quelle est la probabilité qu'il dure encore 2 ans ?

]]> L'absence de mémoire s'écrit P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t). Elle
rend la loi exponentielle adaptée aux pannes accidentelles, non à l'usure
progressive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La même que pour un composant neuf

]]> Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, l'usure passée
ne compte pas.

]]> Plus faible qu'à l'état neuf

]]> Le modèle exponentiel ne décrit justement aucune usure : c'est sa
limite principale.

]]> Plus forte qu'à l'état neuf

]]> Aucune amélioration non plus : la probabilité reste strictement
identique.

]]> Nulle, le composant est trop ancien

]]> La loi exponentielle accorde une probabilité non nulle à toute durée,
si longue soit-elle.

]]> Lois à densité — Q24 : Retrouver le paramètre à partir de la durée moyenne La durée de vie d'un appareil suit une loi exponentielle, et sa
durée de vie moyenne est de 8 ans. Que vaut le paramètre
λ, par an ?

]]> Taux et durée moyenne sont inverses : λ = 1/E(X).
Un appareil qui dure en moyenne 8 ans a un taux de panne de
0{,}125 par an.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Durée moyenne recopiée : le paramètre en est l'inverse.

]]> 0{,}125

]]> Bonne réponse : E(X) = 1/λ, donc
\lambda = \dfrac{1}{8} = 0{,}125.

]]> ln 2/8

]]> Formule de la demi-vie détournée : la durée médiane vaut
ln 2/λ, l'espérance 1/λ.

]]> 0{,}8

]]> Inverse mal calculé : ⅛ vaut 0{,}125.

]]> Lois à densité — Q25 : Lire une fonction de répartition Que vaut F(t) = P(X ≤ t) lorsque t devient très grand, pour
une variable à densité ?

]]> Une fonction de répartition est croissante, de limite 0 en -∞ et
1 en +∞. Sa dérivée, là où elle existe, est la densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers 0

]]> C'est le comportement de F quand t devient très petit.

]]> Elle oscille sans limite

]]> Une fonction de répartition est croissante, elle ne peut pas osciller.

]]> Elle tend vers 1

]]> Bonne réponse : l'aire cumulée finit par couvrir toute la densité.

]]> Elle tend vers l'espérance

]]> Une probabilité ne peut pas valoir une espérance, qui s'exprime dans
l'unité de la variable.

]]> Lois à densité — Q26 : Densité d'une loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur [2 ; 8] ?

]]> La densité de la loi uniforme sur [a ; b] vaut 1/b-a sur cet
intervalle et 0 ailleurs. Le rectangle correspondant a une aire de 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction identité sur cet intervalle

]]> Une densité uniforme est constante, c'est ce qui traduit
l'équiprobabilité.

]]> La constante ⅛ sur cet intervalle

]]> Borne supérieure prise pour la longueur : celle-ci vaut 8 - 2 = 6.

]]> La constante 6 sur cet intervalle

]]> Longueur recopiée : l'aire du rectangle vaudrait alors 36.

]]> La constante ⅙ sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : l'aire du rectangle doit valoir 1, donc la hauteur
est l'inverse de la longueur.

]]> Lois à densité — Q27 : Une demi-vie Pour une loi exponentielle de paramètre λ, quelle est la
durée t telle que P(X > t) = 0{,}5 ?

]]> La demi-vie vérifie e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}, d'où
t = ln 2/λ. Elle vaut environ 69 % de l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ln 2/λ

]]> Bonne réponse : on résout e^{-\lambda t} = 0{,}5 en appliquant le
logarithme.

]]> 2λ

]]> Le paramètre est un taux : le multiplier ne donne pas une durée.

]]> 1/2λ

]]> Moitié de l'espérance : la demi-vie n'est pas proportionnelle de cette
façon, ln 2 valant environ 0{,}69.

]]> \dfrac{0{,}5}{\lambda}

]]> Même erreur : la résolution passe par un logarithme, pas par une simple
division.

]]> Lois à densité — Q28 : Densité et probabilité Une densité peut-elle prendre des valeurs supérieures à 1 ?

]]> Une densité est positive et d'intégrale 1. Sur un support court, elle
doit donc prendre de grandes valeurs, éventuellement bien supérieures à
1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, sauf pour la loi exponentielle

]]> Aucune exception à établir : la contrainte porte uniquement sur l'aire
totale.

]]> Oui, si la variable est négative

]]> Le signe de la variable n'intervient pas : seule la longueur du support
compte.

]]> Non, comme toute probabilité

]]> Une densité n'est pas une probabilité : ce sont les aires sous sa
courbe qui en sont.

]]> Oui, seule son intégrale vaut 1

]]> Bonne réponse : la densité uniforme sur [0\,;\,0{,}5] vaut 2
partout sur ce support.

]]> Lois à densité — Q29 : Attente à un arrêt de bus régulier Un bus passe exactement toutes les 15 minutes, et un voyageur
arrive à l'arrêt à un instant pris au hasard. Quelle loi modélise
son temps d'attente ?

]]> Passages réguliers et arrivée au hasard donnent une attente
uniforme ; des arrivées sans mémoire, comme des appels à un
standard, donnent une attente exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi exponentielle de paramètre 1/15

]]> Une loi exponentielle autoriserait des attentes de plus de
15 minutes, impossibles avec des passages réguliers.

]]> La loi géométrique de paramètre 1/15

]]> Une loi géométrique compte des épreuves, alors que l'attente
est une durée continue.

]]> La loi uniforme sur [0 ; 15]

]]> Bonne réponse : tous les instants entre deux passages sont
également probables, et l'attente ne dépasse pas 15 minutes.

]]> La loi binomiale de paramètres 15 et 0{,}5

]]> Aucune répétition d'épreuves de Bernoulli n'intervient dans
cette situation.

]]> Lois à densité — Q30 : Espérance d'une loi uniforme continue Quelle est l'espérance d'une variable de loi uniforme sur
[4 ; 10] ?

]]> L'espérance d'une loi uniforme sur [a ; b] vaut a+b/2, par
symétrie de la densité autour du milieu de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Borne supérieure recopiée : l'espérance est une moyenne, elle tombe
entre les deux bornes.

]]> 7

]]> Bonne réponse : c'est le milieu de l'intervalle,
4 + 10/2.

]]> 6

]]> Longueur de l'intervalle : elle sert au calcul de la densité, pas à
celui de l'espérance.

]]> ⅙

]]> Valeur de la densité : elle est constante sur le support, sans lien
direct avec l'espérance.

]]> Lois à densité — Q31 : Attente à un arrêt de tramway Un tramway passe toutes les 12 minutes. Un voyageur arrive au
hasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur
[0 ; 12]. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de
9 minutes ?

]]> Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de
longueurs : P(X ≥ c) = b - c/b - a. Le temps
d'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}25

]]> Bonne réponse : attendre plus de 9 minutes couvre une
longueur de 3 minutes sur les 12 possibles,
soit une probabilité de 0{,}25.

]]> 3

]]> Longueur favorable : 3 est une durée, pas une
probabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale
12.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé
au milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à 12 divisé par
2.

]]> 0{,}75

]]> Erreur : 9/12 est la probabilité d'attendre
MOINS de 9 minutes. Ici on regarde la fin de
l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q32 : Retrouver une hauteur manquante La densité de X est constante et vaut 0{,}3 sur
[0 ; 2], constante et égale à h sur
[2 ; 4], et nulle ailleurs. Que vaut h ?

]]> Une densité est positive et d'aire totale 1. Dès qu'une hauteur
est inconnue, on écrit que la somme des aires vaut 1 et on
résout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.
La seconde est celle qui complète l'aire totale à 1.

]]> 0{,}2

]]> Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de
2 \times 0{,}3 = 0{,}6. Il reste 0{,}4 à répartir
sur une largeur de 2, d'où
h = \dfrac{0{,}4}{2} = 0{,}2.

]]> 0{,}4

]]> Aire prise pour une hauteur : 0{,}4 est l'aire qui
manque, il reste à la diviser par la largeur 2.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : ½ serait la hauteur si le second
morceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que
0{,}4.

]]> Lois à densité — Q33 : Comparer deux taux de panne Les durées de vie de deux composants suivent des lois
exponentielles de paramètres \lambda_A = 0{,}4 et
\lambda_B = 0{,}1, exprimés par année. De combien d'années la
durée de vie moyenne de B dépasse-t-elle celle de A ?

]]> Un paramètre λ est un taux : plus il est grand, plus la
durée de vie moyenne 1/λ est courte. Comparer
deux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12{,}5

]]> Erreur : 12{,}5 additionne les deux durées moyennes
au lieu de les soustraire.

]]> 0{,}3

]]> Erreur : 0{,}3 est l'écart des TAUX. Les durées
moyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre.

]]> 7{,}5

]]> Bonne réponse : A dure en moyenne 2{,}5 ans et B
10 ans, puisque l'espérance vaut
1/λ. L'écart est donc 7{,}5.

]]> 4

]]> Erreur : 4 compare les taux par un quotient,
ce qui donne un rapport et non un écart en années.

]]> Lois à densité — Q34 : Après plusieurs demi-vies La demi-vie d'un isotope radioactif vaut 20 ans : au bout de
20 ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle
proportion de noyaux subsiste après 60 ans ?

]]> Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après
n demi-vies il subsiste (½)ⁿ. C'est
la traduction concrète de l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici
l'opération se répète 3 fois.

]]> 1/16

]]> Une demi-vie de trop : 60 ans en contiennent 3, pas
4.

]]> ⅛

]]> Bonne réponse : 60 ans contiennent 3 demi-vies et
chacune divise par deux la proportion restante, d'où
(½)³ = ⅛.

]]> ⅞

]]> Proportion disparue : ⅞ des noyaux se sont
désintégrés, la question porte sur ceux qui restent.

]]> Lois à densité — Q35 : Probabilité entre deux dates La durée de vie X d'un composant, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}5. Que vaut
P(2 ≤ X ≤ 6) ?

]]> Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de
P(X > t) = e^{-\lambda t} et de F(t) = 1 - e^{-\lambda t}.
Pour un intervalle : P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁻³ - e⁻¹

]]> Soustraction inversée : cette différence est négative, ce
qu'une probabilité ne peut pas être.

]]> e⁻¹ - e⁻³

]]> Bonne réponse : P(2 ≤ X ≤ 6) = F(6) - F(2),
soit
(1 - e⁻³) - (1 - e⁻¹),
qui se simplifie en e⁻¹ - e⁻³.

]]> 1 - e⁻⁴

]]> Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la
probabilité d'un intervalle est une différence.

]]> e⁻²

]]> Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait
les valeurs de la fonction de répartition, pas les durées.

]]> Lois à densité — Q36 : Deux valeurs de la fonction de répartition Pour une variable à densité X, la fonction de répartition
vérifie F(2) = 0{,}3 et F(5) = 0{,}8. Que vaut
P(2 ≤ X ≤ 5) ?

]]> La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à
droite. Un intervalle s'obtient donc par différence :
P(c ≤ X ≤ d) = F(d) - F(c).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}2

]]> Erreur : 0{,}2 est P(X > 5), la part située à
droite de 5.

]]> 1{,}1

]]> Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne
s'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs 1.

]]> 0{,}8

]]> Erreur : 0{,}8 est P(X ≤ 5), qui compte aussi tout
ce qui se trouve avant 2.

]]> 0{,}5

]]> Bonne réponse : P(2 ≤ X ≤ 5) = F(5) - F(2),
soit 0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5.

]]> Lois à densité — Q37 : De la répartition à la survie Soit X une variable à densité, de fonction de répartition F.
Comment s'exprime P(X > t) ?

]]> Une fonction de répartition donne P(X ≤ t). Le passage à
l'événement contraire, P(X > t) = 1 - F(t), est le calcul le
plus fréquent avec la loi exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(t) - 1

]]> Erreur de signe : cette quantité est négative, ce qu'une
probabilité ne peut pas être.

]]> F(t)

]]> Erreur : F(t) est la probabilité de rester sous le seuil,
alors qu'on cherche celle de le dépasser.

]]> 1 - F(t)

]]> Bonne réponse : les événements X ≤ t et X > t sont
contraires, leurs probabilités se complètent donc à 1.

]]> F(-t)

]]> Erreur : changer t en -t déplace le seuil au lieu de
passer à l'événement contraire.

]]> Lois à densité — Q38 : Espérance par une intégrale La densité de X est la fonction f(x) = 0{,}5x sur
[0 ; 2], nulle ailleurs. Que vaut E(X) ?

]]> L'espérance d'une variable à densité s'écrit
E(X) = \displaystyle\int x\,f(x)\,dx : chaque valeur est
pondérée par la densité. Avec une densité croissante,
l'espérance dépasse le milieu de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅔

]]> Erreur de coefficient : la densité vaut 0{,}5x, et le calcul
complet donne 4/3.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est la valeur maximale possible, pas la
moyenne des valeurs prises.

]]> 1

]]> Erreur : 1 est le milieu de l'intervalle, donc
l'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les
grandes valeurs pèsent davantage.

]]> 4/3

]]> Bonne réponse :
E(X) = \displaystyle\int_0^{2} x \times 0{,}5x\,dx
= 0{,}5 \times \dfrac{2^3}{3} = \dfrac{4}{3}.

]]> Lois à densité — Q39 : D'un taux horaire à une attente moyenne Un standard reçoit en moyenne 3 appels par heure. Le temps
qui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de
paramètre λ = 3, exprimé par heure. Quel est le temps
d'attente moyen entre deux appels ?

]]> Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :
1/λ. La conversion en minutes vient ensuite,
et elle est souvent plus parlante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 33 minutes

]]> Erreur de conversion : une heure vaut 60 minutes et non
100.

]]> 3 minutes

]]> Paramètre recopié : 3 compte des appels par heure, ce
n'est pas une durée.

]]> 60 minutes

]]> Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent
3 appels, pas l'attente entre deux d'entre eux.

]]> 20 minutes

]]> Bonne réponse : E(X) = 1/λ = ⅓
heure, soit 60/3 = 20 minutes.

]]> Lois à densité — Q40 : Inégalité stricte ou large Soit X une variable à densité. Comment P(X < 4) se
compare-t-elle à P(X ≤ 4) ?

]]> Pour une variable à densité, inégalités strictes et larges
donnent la même probabilité, puisqu'une valeur isolée a une
probabilité nulle. Cette souplesse n'existe pas dans le cas
discret.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont égales, car P(X = 4) = 0

]]> Bonne réponse : les deux événements ne diffèrent que par la
valeur 4, dont la probabilité est nulle.

]]> La première est strictement plus petite

]]> Erreur : ce raisonnement vaut pour une loi discrète, où
P(X = 4) peut être non nulle.

]]> La comparaison dépend de la loi de X

]]> Erreur : la conclusion vaut pour toute loi à densité, quelle
que soit la forme de la courbe.

]]> Elles diffèrent de f(4), la densité en 4

]]> Confusion : f(4) est une hauteur, pas une probabilité.
L'écart vaut P(X = 4), c'est-à-dire 0.

]]> Lois à densité — Q41 : Estimer une probabilité par simulation Pour estimer P(X ≤ 3), on simule un grand nombre de valeurs
de X et on calcule la proportion de celles qui sont
inférieures ou égales à 3. Que devient cette proportion quand
le nombre de simulations augmente ?

]]> Simuler, c'est remplacer un calcul par une fréquence observée
sur un grand nombre de tirages. L'estimation obtenue se
stabilise quand le nombre de simulations grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se rapproche de la probabilité cherchée

]]> Bonne réponse : la fréquence observée se stabilise autour de
la probabilité théorique, ce qui rend la simulation utile.

]]> Elle s'éloigne peu à peu de la probabilité

]]> Contresens : multiplier les tirages stabilise l'estimation
au lieu de la dégrader.

]]> Elle se rapproche de 0{,}5, quelle que soit la loi

]]> Erreur : aucune raison d'obtenir 0{,}5, la valeur limite
dépend de la loi et du seuil choisi.

]]> Elle finit par valoir exactement la probabilité

]]> Trop fort : une simulation fournit une estimation, qui
fluctue encore autour de la valeur cherchée.

]]> Lois à densité — Q42 : Retrouver un seuil X suit la loi uniforme sur [10 ; 30]. Pour quelle valeur
de t a-t-on P(X \leq t) = 0{,}25 ?

]]> Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle
à la longueur parcourue :
P(X ≤ t) = t - a/b - a. Lire cette relation à
l'envers revient à résoudre une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7{,}5

]]> Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en 10
et non en 0.

]]> 15

]]> Bonne réponse : P(X ≤ t) = t - 10/20. En
résolvant \dfrac{t - 10}{20} = 0{,}25, on obtient
t = 10 + 0{,}25 \times 20 = 15.

]]> 17{,}5

]]> Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de
l'intervalle vaut 20 et non 30.

]]> 20

]]> Erreur : 20 est le milieu de l'intervalle, le seuil
associé à la probabilité 0{,}5.

]]> Lois à densité — Q43 : De la densité à la longueur La densité d'une loi uniforme est constante et vaut 0{,}2 sur
son intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?

]]> Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de
l'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de
1. Une densité élevée signale donc un intervalle court.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}8

]]> Erreur : une densité ne se complète pas à 1, c'est l'aire
du rectangle qui vaut 1.

]]> 1

]]> Confusion : 1 est l'aire totale sous la densité, pas une
longueur.

]]> 5

]]> Bonne réponse : la densité vaut 1/b - a, donc la
longueur en est l'inverse : \dfrac{1}{0{,}2} = 5.

]]> 0{,}2

]]> Densité recopiée : 0{,}2 est la hauteur du rectangle, pas sa
largeur.

]]> Lois à densité — Q44 : Une ampoule déjà en service La durée de vie X d'une ampoule, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}2. Sachant qu'elle
éclaire encore après 3 ans, quelle est la probabilité que sa
durée de vie dépasse 5 ans ?

]]> L'absence de mémoire s'écrit
P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) : le calcul se ramène à une
survie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit
pas dans ce modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{-0{,}4}

]]> Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc
P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}4}.
Seules comptent les 2 années qui restent à courir.

]]> e⁻¹

]]> Erreur : e⁻¹ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE
dépasse 5 ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu 3
ans.

]]> e^{-0{,}6}

]]> Erreur : cet exposant utilise les 3 années déjà
écoulées, alors que la durée utile est celle qui reste.

]]> 1 - e^{-0{,}4}

]]> Événement contraire : cette expression donne la probabilité
que l'ampoule s'éteigne dans les 2 années à venir.

]]> Lois à densité — Q45 : Deux zones extrêmes X suit la loi uniforme sur [0 ; 6]. Quelle est la
probabilité que X soit inférieur à 1 ou supérieur à 5 ?

]]> Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de
diviser par la longueur totale. Le passage par l'événement
contraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅚

]]> Erreur : ⅚ est P(X ≤ 5), qui couvre
presque tout l'intervalle.

]]> ⅓

]]> Bonne réponse : les deux zones mesurent 1 et 1,
soit 2 en tout, à rapporter à la longueur totale
6 : ⅓.

]]> ⅙

]]> Une seule zone : ⅙ ne compte que les valeurs
inférieures à 1, il reste celles qui dépassent 5.

]]> ⅔

]]> Événement contraire : ⅔ est la probabilité de
tomber entre 1 et 5.

]]> Lois à densité — Q46 : Simuler une somme de variables uniformes On simule un grand nombre de fois la somme S de 12 variables
indépendantes de loi uniforme sur [0 ; 1], puis on trace
l'histogramme des valeurs obtenues. Quelle allure observe-t-on ?

]]> Une somme de variables indépendantes de même loi a une espérance
égale à la somme des espérances, et ses valeurs se regroupent autour
d'elle en prenant une forme en cloche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une forme en cloche, centrée vers 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est l'espérance d'une seule variable. Les
espérances s'additionnent : 12 \times 0{,}5 = 6.

]]> Des valeurs toutes égales à 6

]]> Erreur : S reste aléatoire. Ses valeurs se concentrent autour de
6 sans lui être égales.

]]> Des barres de même hauteur entre 0 et 12

]]> Erreur : une somme de variables uniformes n'est pas uniforme ;
les valeurs extrêmes, proches de 0 ou de 12, sont très rares.

]]> Une forme en cloche, centrée vers 6

]]> Bonne réponse : chaque variable a pour espérance 0{,}5, donc
S a pour espérance 6 ; les sommes se concentrent autour de
cette valeur.

]]> Lois à densité — Q47 : Espérance d'une loi uniforme Un bus passe à un instant uniformément réparti entre 2 et
10 minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,
en minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?

]]> Loi uniforme sur [a ; b] : E(X) = a + b/2, le centre de
l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 minutes

]]> Erreur : 8 est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur
moyenne.

]]> 6 minutes

]]> Bonne réponse : pour une loi uniforme sur [2 ; 10],
l'espérance est le milieu de l'intervalle,
2 + 10/2 = 6.

]]> ⅛ minute

]]> Erreur : ⅛ est la valeur de la densité, pas
l'espérance.

]]> 10 minutes

]]> Erreur : 10 est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.

]]> Lois à densité — Q48 : Attendre plus longtemps qu'une durée donnée La durée de vie T, en années, d'un composant suit la loi
exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}1. Quelle est la
probabilité qu'il fonctionne encore après 10 ans ?

]]> Pour une loi exponentielle, P(T > t) = e^{-\lambda t} : la
probabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{1} \approx 2{,}72

]]> Erreur : e¹ > 1 ne peut pas être une probabilité ; le
signe de l'exposant est négatif.

]]> e^{-1} \approx 0{,}37

]]> Bonne réponse : P(T > t) = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}1 \times
10} = e^{-1} \approx 0{,}37.

]]> 1 - e^{-1} \approx 0{,}63

]]> Erreur : 1 - e^{-\lambda t} est P(T ≤ t), la probabilité
d'une panne avant 10 ans.

]]> 0{,}1 \times 10 = 1

]]> Erreur : λ t est l'exposant, pas la probabilité
elle-même.

]]> Lois à densité — Q49 : Simuler une loi uniforme sur un intervalle La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
[0 ; 1[. Quelle expression simule un réel uniformément réparti
dans [2 ; 7[ ?

]]> Transformation affine : a + (b - a) U avec U uniforme sur
[0 ; 1[ suit la loi uniforme sur [a ; b[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc randint(2, 7)

]]> Erreur : randint renvoie des entiers, pas des réels répartis
uniformément.

]]> 2 + 7 * random()

]]> Erreur : le facteur doit être la longueur de l'intervalle,
5, et non sa borne supérieure.

]]> random() * 7

]]> Erreur : cette expression couvre [0 ; 7[, pas [2 ; 7[.

]]> 2 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on étire [0 ; 1[ à la longueur 5 en
multipliant, puis on décale de 2 en ajoutant.

]]> Lois à densité — Q50 : Simuler un lancer de dé La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
[0 ; 1[, et int donne la partie entière d'un réel positif.
Quelle expression simule le lancer d'un dé équilibré à six faces ?

]]> Si U suit la loi uniforme sur [0 ; 1[, 6U tombe dans
chacun des intervalles [k ; k + 1[, pour k de 0 à 5,
avec la probabilité ⅙ : la partie entière plus un
simule le dé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 + int(6 * random())

]]> Bonne réponse : 6 * random() est uniforme sur [0 ; 6[,
sa partie entière prend les valeurs 0 à 5 avec la même
probabilité, et l'on ajoute 1.

]]> int(6 * random())

]]> Décalage oublié : les valeurs obtenues vont de 0 à 5, et
non de 1 à 6.

]]> 6 * random()

]]> Partie entière oubliée : on obtient un réel de [0 ; 6[,
pas un numéro de face.

]]> int(7 * random())

]]> Sept valeurs : on obtient les entiers de 0 à 6, chacun
avec la probabilité ⅐.

]]> Lois à densité — Q51 : Une probabilité lue comme une aire de triangle [Figure : Repère quadrillé. La densité est un segment qui monte de
l'origine au point (2 ; 1), puis redescend verticalement jusqu'à
(2 ; 0) ; elle est nulle ailleurs. Le domaine sous la densité
est un triangle d'aire 1.]

La figure représente la densité f d'une variable X :
f(x) = x/2 sur [0 ; 2] et f(x) = 0 ailleurs. Que
vaut P(X ≤ 1) ?

]]> Pour une loi à densité, P(X ≤ a) est l'aire sous la courbe de
la densité à gauche de a. Ici
\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{2}\,dx = 0{,}25.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}25

]]> Bonne réponse : l'aire du triangle de base 1 et de hauteur
f(1) = 0{,}5 vaut \dfrac{1 \times 0{,}5}{2} = 0{,}25.

]]> 0{,}75

]]> Événement contraire : 0{,}75 est P(X > 1), l'aire du
trapèze situé à droite.

]]> 1

]]> Aire totale sous la densité : elle vaut 1 sur [0 ; 2],
et non sur [0 ; 1].

]]> 0{,}5

]]> Proportion de l'intervalle : la densité n'est pas constante,
la moitié gauche porte moins de probabilité.

]]> Lois à densité — Q52 : Lire le paramètre d'une loi exponentielle [Figure : Courbe décroissante sur [0 ; 6] qui part du point (0 ; 0,5) et
se rapproche de l'axe des abscisses ; elle vaut environ 0,18 en
x = 2.]

La courbe représente la densité f(x) = \lambda e^{-\lambda x},
pour x ≥ 0, d'une loi exponentielle. Que vaut λ ?

]]> La densité d'une loi exponentielle vaut λ en 0, puis
décroît. Un paramètre élevé donne une courbe qui part plus haut et
décroît plus vite : les durées sont plus courtes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc λ = 1

]]> Aire totale sous la densité : elle vaut toujours 1, quel que
soit λ.

]]> λ = 6

]]> Borne du graphique : la densité est définie sur
[0 ; +∞[, la figure n'en montre qu'une partie.

]]> \lambda = 0{,}5

]]> Bonne réponse : f(0) = λ e⁰ = λ, la hauteur
de la courbe en 0.

]]> λ = 2

]]> Espérance 1/λ = 2 : c'est la durée moyenne,
pas le paramètre.

]]>