$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois discrètes Loi uniforme sur \{1, \ldots, n\} et son espérance, loi de
Bernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et
coefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale
\mathcal{B}(n\,;\,p) (expression, espérance et écart-type
admis), intervalle I tel que P(X ∈ I) ≥ 1 - α et
règle de décision, loi géométrique (expression, espérance
admise, absence de mémoire), probabilités conditionnelles et
formule de Bayes (tests de dépistage, inversion du
conditionnement).

]]> Lois discrètes — Q01 : Espérance d'un dé équilibré On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 :
le résultat X suit la loi uniforme sur \{1, \ldots, 6\}. Que
vaut E(X) ?

]]> Pour la loi uniforme sur \{1, \ldots, n\}, chaque valeur a la
probabilité 1/n et E(X) = n + 1/2, grâce à
1 + ⋯ + n = n(n + 1)/2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Milieu entier : la moyenne des faces vaut 3{,}5, et
l'espérance n'est pas forcément une valeur possible.

]]> ⅙

]]> Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est
pas l'espérance du résultat.

]]> 3{,}5

]]> Bonne réponse :
E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5,
soit n + 1/2.

]]> 6

]]> Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des
valeurs.

]]> Lois discrètes — Q02 : Loi de Bernoulli X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0{,}2
(X = 1 en cas de succès, 0 sinon). Que valent E(X) et
V(X) ?

]]> Bernoulli de paramètre p : E(X) = p,
V(X) = p(1-p), σ(X) = √p(1-p) : la brique
élémentaire de la binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = 1 et V(X) = 0

]]> Erreur : E = 1 et V = 0 décriraient un succès
certain (p = 1). Avec p = 0{,}2, la variable
fluctue.

]]> E(X) = 0{,}5 et V(X) = 0{,}25

]]> Erreur : ces valeurs correspondent à p = 0{,}5
(pièce équilibrée). Ici p = 0{,}2 : E = 0{,}2.

]]> E(X) = 0{,}2 et V(X) = 0{,}2

]]> Erreur sur la variance : V = p(1-p) = 0{,}16, pas p
lui-même.

]]> E(X) = 0{,}2 et V(X) = 0{,}16

]]> Bonne réponse : E(X) = p et V(X) = p(1 - p) = 0{,}2
\times 0{,}8 = 0{,}16 (démonstrations possibles au
programme).

]]> Lois discrètes — Q03 : Triangle de Pascal La ligne n = 4 du triangle de Pascal est 1\ ; 4\ ; 6\ ; 4\ ; 1. Que vaut le coefficient binomial
\dbinom{5}{2} ?

]]> Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux
par le triangle de Pascal. Ligne 5 : 1\ ; 5\ ; 10\ ; 10\ ; 5\ ; 1, obtenue par sommes de la ligne 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24

]]> Erreur : 24 = 4 × 6 multiplie les deux coefficients
situés au-dessus ; la relation de Pascal est additive,
pas multiplicative : 4 + 6 = 10.

]]> 10

]]> Bonne réponse : 10 s'obtient en additionnant 4 + 6
(relation de Pascal) : chaque coefficient est la somme des
deux situés au-dessus : \binom{5}{2} = \binom{4}{1} +
\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10.

]]> 6

]]> Erreur : 6 = \binom{4}{2} appartient à la ligne
n = 4. La ligne suivante s'en déduit par sommes.

]]> 5

]]> Erreur : 5 = \binom{5}{1} (deuxième coefficient de la
ligne). \binom{5}{2} est le troisième : 10.

]]> Lois discrètes — Q04 : Identifier une loi binomiale On tire 10 fois avec remise une boule dans une urne
contenant 30\ % de boules rouges, et on compte le nombre
X de rouges. Quelle est la loi de X ?

]]> Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès
sur n répétitions indépendantes → binomiale ; rang du
premier succès → géométrique ; une seule épreuve →
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)

]]> Bonne réponse : 10 épreuves de Bernoulli identiques
(remise !) et indépendantes, X compte les succès :
binomiale.

]]> La loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3

]]> Erreur : la Bernoulli décrit une épreuve. Le
compte sur 10 épreuves suit la binomiale.

]]> La loi géométrique de paramètre 0{,}3

]]> Erreur : la géométrique donne le rang du premier
succès, pas le nombre de succès en 10 tirages.

]]> La loi uniforme sur \{0, \ldots, 10\}

]]> Erreur : les valeurs de X ne sont pas équiprobables
(5 rouges est bien plus probable que 10).

]]> Lois discrètes — Q05 : Une probabilité binomiale Soit X suivant la loi binomiale \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5),
nombre de « pile » sur 4 lancers d'une pièce équilibrée. Que
vaut P(X = 2), arrondie au dix-millième ?

]]> P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}. Pour une pièce
équilibrée, chaque chemin a la probabilité 0{,}5^n, et le
triangle de Pascal donne le nombre de chemins.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}375

]]> Bonne réponse :
\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^{4} = \dfrac{6}{16} \approx 0{,}375
; il y a 6 chemins à 2 succès.

]]> 0{,}5

]]> Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit
sur les 5 valeurs possibles de X.

]]> 0{,}0625

]]> Un seul chemin compté : 0{,}5^{4} est la probabilité d'un
chemin ; il y en a \dbinom{4}{2} = 6.

]]> 0{,}25

]]> Échecs et placements ignorés : 0{,}5^{2} ne compte que les
succès d'un chemin.

]]> Lois discrètes — Q06 : Espérance et écart-type de B(100 ; 0,25) Soit X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25). Que valent
E(X) et σ(X) (admis au programme) ?

]]> Formules admises : E(X) = np, V(X) = np(1-p),
σ(X) = √np(1-p). Ici : 25 \pm 4{,}3 environ :
l'ordre de grandeur des fluctuations attendues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = 25 et \sigma(X) \approx 4{,}33

]]> Bonne réponse : E = np = 25 et \sigma =
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0{,}25 \times 0{,}75}
= \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33.

]]> E(X) = 25 et \sigma(X) = 18{,}75

]]> Erreur : 18{,}75 est la variance ; l'écart-type en
est la racine carrée.

]]> E(X) = 0{,}25 et \sigma(X) \approx 0{,}43

]]> Erreur : 0{,}25 et \sqrt{0{,}25 \times 0{,}75}
\approx 0{,}43 sont l'espérance et l'écart-type
d'une épreuve ; sur 100 répétitions : 25 et
4{,}33.

]]> E(X) = 50 et σ(X) = 5

]]> Erreur : E = np = 100 \times 0{,}25 = 25, pas la
moitié de n.

]]> Lois discrètes — Q07 : La loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre p jusqu'au
premier succès ; X est le rang de ce premier succès. Que
vaut P(X = k) ?

]]> Loi géométrique de paramètre p : P(X = k) = (1-p)ᵏ⁻¹p pour k ≥ 1, et E(X) = 1/p
(admis). Modèle des temps d'attente discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc pᵏ

]]> Erreur : pᵏ serait k succès d'affilée. Le
premier succès au rang k exige d'abord k-1 échecs.

]]> 1/k

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les
petits rangs sont les plus probables.

]]> \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

]]> Erreur : c'est la formule binomiale (nombre de
succès sur n fixé). La géométrique n'a pas de
coefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès).

]]> (1 - p)ᵏ⁻¹ p

]]> Bonne réponse : k - 1 échecs consécutifs puis un
succès, les épreuves étant indépendantes.

]]> Lois discrètes — Q08 : Espérance d'un temps d'attente On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un 6. Combien de
lancers faut-il en moyenne ?

]]> Règle mémorable : un événement de probabilité p se produit
en moyenne au bout de 1/p essais. Pour le 6 :
six lancers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5 lancers

]]> Confusion : 3{,}5 est l'espérance du résultat d'un
lancer (loi uniforme). Ici on attend un événement de
probabilité ⅙ : 6 essais en moyenne.

]]> 36 lancers

]]> Erreur : 36 = 6² surestime : la formule est
E = 1/p = 6.

]]> 1 lancer

]]> Erreur : le 6 tombe du premier coup une fois sur six
seulement ; en moyenne, l'attente dure 6 lancers.

]]> 6 lancers

]]> Bonne réponse : le rang du premier 6 suit la loi
géométrique de paramètre ⅙ : espérance
E(X) = 1/p = 1/1/6 = 6 (admise au
programme).

]]> Lois discrètes — Q09 : Absence de mémoire On a déjà lancé le dé 10 fois sans obtenir de 6. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un 6 au prochain
lancer ?

]]> Absence de mémoire (au programme) : sachant X > n, la loi
de l'attente restante est celle de X au départ. Le passé
des échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote
mathématique à l'illusion du joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus de ⅙ : le 6 « doit » sortir

]]> L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix
échecs, l'attente restante suit exactement la même
loi qu'au départ.

]]> ⅙, comme à chaque lancer

]]> Bonne réponse : le dé n'a pas de mémoire. Les lancers
sont indépendants, la malchance passée n'augmente en
rien les chances futures : c'est la propriété
caractéristique de la loi géométrique (absence de
mémoire).

]]> Moins de ⅙ : ce dé semble défavorable

]]> Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs
n'ont rien d'extraordinaire
((⅚)¹⁰ ≈ 16\ %) et ne
remettent pas en cause l'équilibre.

]]> 10/6

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas 1. La
réponse est ⅙, inchangée.

]]> Lois discrètes — Q10 : Calcul explicite d'une probabilité géométrique X suit la loi géométrique de paramètre p = 0{,}5
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
P(X = 3) ?

]]> P(X = 3) = (1-p)² p = ⅛ : la moitié des cas au
rang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse
décroît géométriquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est la probabilité d'un pile à un
lancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose
aussi deux échecs préalables.

]]> 0{,}375

]]> Erreur : 0{,}375 = \binom{4}{2}/16 vient d'un calcul
binomial. Ici pas de coefficient : l'ordre
échec-échec-succès est imposé.

]]> 0{,}125

]]> Bonne réponse : deux faces puis un pile :
(1-p)^{2}\,p = 0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125 =
\dfrac{1}{8}.

]]> ⅓

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang
3 a la probabilité (½)³ = ⅛.

]]> Lois discrètes — Q11 : Intervalle et calculatrice Soit X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5) (une pièce testée
sur 50 lancers). La calculatrice donne
P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?

]]> Problème type du programme : construire un intervalle I
tel que P(X ∈ I) ≥ 1 - α sous le modèle, puis
confronter l'observation. Improbable sous le modèle
⇒ modèle remis en question : l'esprit du test
d'hypothèse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un résultat hors de [18 ; 32] conduit à douter de
l'équilibre de la pièce

]]> Bonne réponse : si la pièce est équilibrée, le nombre de
piles tombe dans [18 ; 32] dans environ 97\ % des
cas ; un résultat hors de cet intervalle, rare sous le
modèle, rend le modèle suspect. C'est la démarche du
programme (test d'une pièce) : un intervalle de forte
probabilité sous le modèle, puis une observation très
improbable conduit à douter du modèle.

]]> La probabilité que la pièce soit équilibrée vaut environ
0{,}967

]]> Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les
résultats sous le modèle, pas sur le modèle
lui-même.

]]> Le nombre de piles obtenu sera à coup sûr compris entre
18 et 32

]]> Erreur : il reste environ 3\ % de cas hors
intervalle, parfaitement possibles avec une pièce
équilibrée.

]]> Dès que le nombre de piles s'écarte de 25, la pièce doit
être déclarée truquée

]]> Erreur : avec une pièce équilibrée, X fluctue autour de
25 : obtenir 22 piles (probabilité 0{,}079) ou 29
(probabilité 0{,}060) est banal ; seul un résultat hors
de [18 ; 32], qui n'arrive que dans environ 3\ %
des cas, remet le modèle en cause.

]]> Lois discrètes — Q12 : Choisir la bonne loi Trois variables : A = numéro obtenu en tirant une carte
parmi 10 numérotées de 1 à 10 ; B = nombre de
clients qui achètent parmi 20 visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité 0{,}1) ; C = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité 0{,}6 à chaque appel. Quelles lois ?

]]> Capacité attendue centrale : identifier la loi d'après
la structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;
Bernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur n
épreuves ; géométrique : premier succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A uniforme ; B géométrique ; C binomiale

]]> Erreur sur B et C : compter des acheteurs sur 20
visiteurs est binomial ; attendre le premier décroché
est géométrique.

]]> A binomiale ; B géométrique ; C uniforme

]]> Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa
structure : équiprobable / compte de succès / première
réussite.

]]> A uniforme ; B binomiale ; C géométrique

]]> Bonne réponse : A uniforme sur \{1, \ldots, 10\}
(équiprobabilité sur un ensemble fini), B binomiale
\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1) (compte de succès sur n
répétitions), C géométrique de paramètre 0{,}6 (rang
du premier succès).

]]> Les trois suivent des lois binomiales

]]> Erreur : A n'a ni succès ni répétition, et C n'a
pas de nombre d'épreuves fixé à l'avance.

]]> Lois discrètes — Q13 : Aucun succès sur $n$ essais X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0{,}3.
Que vaut P(X = 0) ?

]]> P(X = 0) = (1 - p)ⁿ : ce cas ouvre le calcul de
P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ par l'événement contraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7^{4}

]]> Bonne réponse : aucun succès, c'est 4 échecs indépendants,
d'où (1 - p)^n = 0{,}7^{4} \approx 0{,}2401.

]]> 1 - 0{,}3^{4}

]]> Complémentaire de P(X = 4) : c'est P(X ≤ 3), et
non l'absence de succès.

]]> 0{,}7

]]> Puissance oubliée : 0{,}7 est la probabilité d'échec sur une
seule épreuve.

]]> 0{,}3^{4}

]]> Succès et échecs inversés : 0{,}3^{4} est P(X = 4).

]]> Lois discrètes — Q14 : Symétrie des coefficients binomiaux Sans calculer sa valeur, à quel coefficient binomial
\dbinom{9}{7} est-il égal ?

]]> Symétrie du triangle de Pascal : \binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}, car choisir k objets, c'est écarter les
n - k autres. Elle permet de lire \binom{9}{7} dans la
colonne k = 2 : 36.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{7}{9}

]]> Erreur : échanger n et k n'a pas de sens, on ne peut
pas choisir 9 objets parmi 7. La symétrie remplace
k par n - k, elle ne permute pas n et k.

]]> \dbinom{7}{2}

]]> Erreur : n = 9 reste en haut ; seul k devient
n - k = 2. Contrôle : \binom{7}{2} = 21 alors que
\binom{9}{7} = 36.

]]> \dbinom{9}{2}

]]> Bonne réponse : choisir 7 objets parmi 9 revient à
choisir les 2 que l'on laisse : \binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}, et les deux valent 36.

]]> \dbinom{8}{6}

]]> Erreur : \binom{8}{6} = 28 n'est qu'un des deux termes
de la relation de Pascal \binom{9}{7} = \binom{8}{6} +
\binom{8}{7} = 28 + 8 = 36.

]]> Lois discrètes — Q15 : Au moins un succès X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p =
0{,}3. Comment calculer P(X ≥ 1) ?

]]> P(X ≥ 1) = 1 - (1 - p)ⁿ : LE réflexe binomial. Toute
question « au moins un » se traite par le complémentaire
« aucun » : un produit, une soustraction, fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - 0{,}7^4

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est «
aucun » : P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}7^4
\approx 0{,}76, un seul terme au lieu de quatre.

]]> 4 \times 0{,}3

]]> Alerte : 4 \times 0{,}3 = 1{,}2, une probabilité
au-dessus de 1. L'addition des p ne calcule pas « au
moins un » (elle ignore les recouvrements).

]]> 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3

]]> Confusion : 4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3 = P(X = 1)
compte exactement un succès ; « au moins un »
englobe 1, 2, 3 et 4 : le complémentaire est la voie
courte.

]]> 0{,}3^4

]]> Erreur : 0{,}3^4 est « QUE des succès » (X = 4) : à
l'opposé du calcul demandé.

]]> Lois discrètes — Q16 : Attendre plus de $n$ essais X suit la loi géométrique de paramètre p (rang du
premier succès). Que vaut P(X > n) ?

]]> P(X > n) = (1 - p)ⁿ : la « fonction de survie » de la loi
géométrique. On en déduit tout : P(X ≤ n) = 1 - (1 - p)ⁿ, et l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1 - p)ⁿ

]]> Bonne réponse : attendre au-delà de n, c'est n'avoir
encore rien obtenu, donc avoir enchaîné n échecs
consécutifs : (1 - p)ⁿ.

]]> 1 - (1 - p)ⁿ

]]> Erreur : 1 - (1 - p)ⁿ est le complémentaire, c'est
P(X ≤ n) (le succès arrive au plus tard au rang n) ;
l'événement « X > n » se décrit directement : n échecs
d'affilée.

]]> n(1 - p)

]]> Erreur : les échecs successifs se multiplient
(indépendance), ils ne s'additionnent pas.

]]> pⁿ

]]> Inversé : pⁿ enchaînerait n succès : attendre,
c'est enchaîner des échecs.

]]> Lois discrètes — Q17 : Temps d'attente moyen Un tir au but réussit avec la probabilité p = 0{,}2, les tirs
étant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour
obtenir le premier succès ?

]]> Pour la loi géométrique, E(X) = 1/p : un événement de
probabilité 0{,}2 s'attend en moyenne 5 répétitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible, l'attente est aléatoire

]]> Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée
: 1/p.

]]> 0{,}2 tir

]]> Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse.

]]> 0{,}8 tir

]]> Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps
d'attente.

]]> 5 tirs

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi
géométrique et E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5.

]]> Lois discrètes — Q18 : Binomiale ou géométrique ? Expérience A : « je lance 10 fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?

]]> Le test de reconnaissance : « combien de succès sur n
essais fixés ? » : binomiale (n\ ;\ p) ; « combien
d'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique (p).
Identifier la loi AVANT tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux sont binomiales

]]> Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est
justement la variable : hors du cadre binomial.

]]> A géométrique, B binomiale

]]> Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais fixé
d'avance (10 en A) ; la géométrique compte l'attente
(B).

]]> Les deux sont géométriques

]]> Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on
épuise les 10 essais et on compte : binomiale.

]]> A binomiale, B géométrique

]]> Bonne réponse : en A le nombre d'essais est fixé et l'on
compte les succès (binomiale) ; en B on compte les
essais jusqu'au premier succès (géométrique). La
question discriminante : QUI est aléatoire ?

]]> Lois discrètes — Q19 : Espérance d'une loi uniforme Une variable suit la loi uniforme sur \{1, 2, \ldots, 10\}.
Quelle est son espérance ?

]]> Pour une loi uniforme sur des entiers consécutifs, l'espérance est la
moyenne des deux valeurs extrêmes. Toutes les valeurs ayant la même
probabilité, la moyenne est celle des valeurs elles-mêmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5{,}5

]]> Bonne réponse : c'est la moyenne des valeurs extrêmes,
1 + 10/2.

]]> 0{,}1

]]> Probabilité de chaque valeur : elle sert au calcul, elle n'en est pas
le résultat.

]]> 5

]]> Valeur centrale mal choisie : les dix valeurs étant équiprobables, la
moyenne tombe entre 5 et 6.

]]> 10

]]> Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne, elle ne peut
pas valoir l'extrême.

]]> Lois discrètes — Q20 : Une probabilité géométrique Pour une loi géométrique de paramètre p = 0{,}2, que vaut
P(X = 3) ?

]]> La loi géométrique donne le rang du premier succès :
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p. Les k - 1 premiers essais
échouent, le dernier réussit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}512

]]> Succès final oublié : 0{,}8^3 est la probabilité de trois
échecs consécutifs.

]]> 0{,}2

]]> Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le
premier essai.

]]> 0{,}008

]]> Trois succès comptés : 0{,}2^3 décrit une tout autre
situation.

]]> 0{,}128

]]> Bonne réponse : deux échecs puis un succès,
0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128.

]]> Lois discrètes — Q21 : Attendre longtemps le premier six On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six. Quelle est la
probabilité qu'il faille plus de 6 lancers, arrondie au centième
?

]]> Pour une loi géométrique de paramètre p, P(X > n) = (1 - p)ⁿ.
Une attente supérieure à la moyenne 1/p = 6 survient
environ une fois sur trois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement ⅙

]]> Probabilité d'un six à un lancer donné, sans lien avec
l'attente.

]]> Environ 0{,}67

]]> Événement contraire : 1 - (⅚)⁶ est la
probabilité d'obtenir un six en au plus six lancers.

]]> Environ 0{,}33

]]> Bonne réponse : les six premiers lancers échouent,
P(X > 6) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^6 \approx 0{,}33.

]]> Exactement 0

]]> Six lancers est l'attente moyenne, ce n'est pas un maximum :
l'attente peut la dépasser.

]]> Lois discrètes — Q22 : L'absence de mémoire Après cinq lancers sans obtenir de six, quelle est la probabilité
d'en obtenir un au lancer suivant ?

]]> La loi géométrique est sans mémoire : la probabilité d'un succès au
prochain essai ne dépend pas du nombre d'échecs déjà subis.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus de ⅙, par compensation

]]> C'est l'erreur du joueur : le dé ne garde aucune mémoire des lancers
précédents.

]]> ⅚

]]> Probabilité de l'échec recopiée : c'est celle de ne pas obtenir de
six.

]]> Moins de ⅙

]]> Aucune raison non plus : les échecs passés n'influencent pas le lancer
suivant.

]]> ⅙

]]> Bonne réponse : les lancers étant indépendants, le passé ne change
rien.

]]> Lois discrètes — Q23 : Valeurs possibles d'une loi géométrique On compte le nombre X de lancers d'une pièce nécessaires pour
obtenir le premier pile. Quelle valeur X ne peut-il pas prendre
?

]]> Une loi géométrique prend toutes les valeurs entières à partir de
1, sans borne supérieure, ce qui la distingue d'une loi
binomiale, comprise entre 0 et n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : il faut au moins un lancer pour obtenir pile ;
X prend les valeurs 1, 2, 3, …

]]> 2

]]> Face puis pile donne X = 2, avec la probabilité 0{,}25.

]]> 25

]]> Une attente de 25 lancers est très improbable, mais possible
: la loi géométrique n'a pas de valeur maximale.

]]> 1

]]> Pile peut sortir dès le premier lancer, avec la probabilité
0{,}5.

]]> Lois discrètes — Q24 : Attendre au-delà d'un rang Pour une loi géométrique de paramètre p = 0{,}3, que vaut
P(X > 4) ?

]]> Pour une loi géométrique, P(X > n) = (1 - p)ⁿ : l'événement
signifie que les n premiers essais ont tous échoué.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Un seul échec compté : il en faut 4 consécutifs.

]]> 0{,}0081

]]> Succès comptés au lieu des échecs : 0{,}3^{4} décrit une
tout autre situation.

]]> 0{,}7599

]]> Événement contraire : 0{,}7599 est P(X ≤ 4).

]]> 0{,}2401

]]> Bonne réponse : les 4 premiers essais doivent échouer,
soit 0{,}7^{4} = 0{,}2401.

]]> Lois discrètes — Q25 : Retrouver le nombre d'épreuves Une variable suit la loi binomiale de paramètres n et
p = 0{,}25, et son espérance vaut 16. Que vaut n ?

]]> Les relations E(X) = np et V(X) = np(1 - p) permettent de
retrouver un paramètre à partir des autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Produit au lieu du quotient : 16 \times 0{,}25 = 4, alors
que n = E(X)/p.

]]> 12

]]> Calcul de la variance : 16 \times 0{,}75 = 12 ne donne pas
le nombre d'épreuves.

]]> 16

]]> Espérance recopiée : elle compte les succès moyens, pas les
épreuves.

]]> 64

]]> Bonne réponse : E(X) = np, donc
n = \dfrac{16}{0{,}25} = 64.

]]> Lois discrètes — Q26 : Une variable de Bernoulli Quelles valeurs une variable de Bernoulli prend-elle ?

]]> Une variable de Bernoulli vaut 1 en cas de succès, de probabilité p, et
0 sinon. Son espérance vaut p et sa variance p(1-p).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 et -1

]]> La convention retient 0 pour l'échec, ce qui rend la somme égale au
nombre de succès.

]]> 0 et p

]]> Le paramètre p est la probabilité du succès, pas la valeur prise.

]]> Tous les entiers de 0 à n

]]> Ce sont les valeurs d'une loi binomiale, somme de plusieurs Bernoulli.

]]> 0 et 1

]]> Bonne réponse : 1 code le succès et 0 l'échec.

]]> Lois discrètes — Q27 : Que des succès Pour une binomiale de paramètres n = 5 et p = 0{,}4, que vaut
P(X = 5) ?

]]> P(X = n) = pⁿ : dans le cas k = n, le coefficient binomial
vaut 1 et toutes les épreuves réussissent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}4

]]> Une seule épreuve comptée : il faut 5 succès consécutifs.

]]> 0{,}01024

]]> Bonne réponse : les 5 épreuves doivent toutes réussir,
soit 0{,}4^{5} = 0{,}01024.

]]> 2

]]> Espérance calculée : np = 2 est le nombre moyen de
succès, pas une probabilité.

]]> 0{,}07776

]]> Succès et échecs inversés : (1 - p)^{5} = 0{,}07776 est
P(X = 0).

]]> Lois discrètes — Q28 : Choisir la loi adaptée On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, toutes les
cartes ayant la même probabilité. Quelle loi décrit le rang de la
carte tirée ?

]]> La loi uniforme modélise une équiprobabilité sur un ensemble fini de
valeurs. Son espérance est la moyenne de ces valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une loi géométrique

]]> Aucune attente d'un premier succès n'est en jeu.

]]> Une loi binomiale

]]> Aucune répétition d'épreuves n'intervient ici.

]]> Une loi de Bernoulli

]]> La variable prend bien plus de deux valeurs.

]]> Une loi uniforme

]]> Bonne réponse : toutes les valeurs sont équiprobables, ce qui définit
la loi uniforme.

]]> Lois discrètes — Q29 : Au moins un succès sur cinq Pour une binomiale de paramètres n = 5 et p = 0{,}4, que vaut
P(X ≥ 1) ?

]]> Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Le calcul se
réduit ainsi à un seul terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 0{,}259

]]> Probabilité d'exactement un succès : l'énoncé en demande au moins un.

]]> Exactement 0{,}4

]]> Probabilité d'un succès unique sur une seule épreuve : la répétition
augmente nettement les chances.

]]> Environ 0{,}922

]]> Bonne réponse : 1 - 0{,}6^5 = 1 - 0{,}07776.

]]> Environ 0{,}078

]]> Événement contraire : c'est la probabilité de n'obtenir aucun succès.

]]> Lois discrètes — Q30 : Un contrôle jusqu'au premier défaut Une chaîne produit 2 % de pièces défectueuses. On contrôle les
pièces une à une jusqu'à en trouver une défectueuse. Combien en
contrôle-t-on en moyenne ?

]]> Le rang de la première pièce défectueuse suit une loi géométrique de
paramètre 0{,}02. Son espérance vaut l'inverse de ce paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Pourcentage recopié : l'espérance est l'inverse de la probabilité.

]]> 98

]]> Complément calculé : il décrit la proportion de pièces conformes.

]]> 50

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut \dfrac{1}{0{,}02}.

]]> 0{,}02

]]> Probabilité recopiée : un nombre de contrôles est toujours au moins
égal à 1.

]]> Lois discrètes — Q31 : Probabilité cumulée d'une loi uniforme Une variable X suit la loi uniforme sur
\{1, 2, \ldots, 12\}. Que vaut P(X ≤ 3) ?

]]> Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le
nombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.
Ici P(X ≤ k) = k/n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¼

]]> Bonne réponse : 3 valeurs conviennent sur les 12
possibles, toutes de même probabilité, d'où ¼.

]]> ¾

]]> Événement contraire : ¾ correspond à X > 3, les
valeurs situées au-dessus du seuil.

]]> 1/12

]]> Une seule valeur comptée : 1/12 est la probabilité
d'une valeur isolée. L'événement en réunit 3.

]]> ⅓

]]> Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de
valeurs, soit 12, et non le seuil 3.

]]> Lois discrètes — Q32 : Écart-type d'une loi de Bernoulli Une variable X suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut
0{,}2. Que vaut son écart-type ?

]]> Pour une loi de Bernoulli de paramètre p : E(X) = p,
V(X) = p(1 - p) et σ(X) = √p(1 - p). L'espérance
livre donc directement le paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}8

]]> Probabilité d'échec recopiée : 0{,}8 = 1 - p intervient dans
le calcul, elle n'en est pas le résultat.

]]> 0{,}2

]]> Espérance recopiée : 0{,}2 vaut bien E(X), mais l'écart-type
mesure la dispersion et vaut ici 0{,}4.

]]> 0{,}4

]]> Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est p, donc
p = 0{,}2, et \sigma = \sqrt{0{,}2 \times 0{,}8} = 0{,}4.

]]> 0{,}16

]]> Racine oubliée : 0{,}16 est la variance p(1 - p), dont
l'écart-type est la racine carrée, soit 0{,}4.

]]> Lois discrètes — Q33 : Compter les chemins d'un arbre Dans un schéma de Bernoulli comportant 6 épreuves, combien de
chemins de l'arbre réalisent exactement 2 succès ?

]]> Le coefficient binomial \dbinom{n}{k} compte les chemins de
l'arbre menant à exactement k succès sur n épreuves. C'est lui
qui apparaît dans P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Produit improvisé : 6 × 2 ne compte rien ici. Le
nombre de chemins est \dbinom{6}{2} = 15.

]]> 15

]]> Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial
\dbinom{6}{2} = 15, lu sur la ligne 6 du
triangle de Pascal.

]]> 64

]]> Tous les chemins comptés : 2⁶ = 64 est le nombre
total de chemins, tous nombres de succès confondus.

]]> 8

]]> Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une
addition. Le compte exact vaut 15.

]]> Lois discrètes — Q34 : Au moins deux succès Soit X une variable suivant une loi binomiale. Comment exprimer
P(X ≥ 2) en passant par l'événement contraire ?

]]> Une probabilité du type « au moins k » se calcule par le
contraire : on retranche à 1 les probabilités des valeurs
strictement inférieures à k, en nombre fini et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 - P(X = 1) - P(X = 2)

]]> Valeurs mal choisies : le contraire contient X = 0 et
X = 1 ; la valeur X = 2 en est exclue.

]]> 1 - P(X = 0) + P(X = 1)

]]> Signe fautif : les deux probabilités du contraire se retranchent
toutes les deux, elles ne s'ajoutent pas.

]]> 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

]]> Bonne réponse : le contraire de « X ≥ 2 » est
« X ≤ 1 », qui réunit X = 0 et X = 1.

]]> P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

]]> Événement mal décrit : cette somme vaut P(X ≤ 2), donc à
peu près l'inverse de ce qui est demandé.

]]> Lois discrètes — Q35 : Ne jamais gagner À chaque partie d'un jeu, on gagne avec la probabilité 0{,}2. La
probabilité de ne gagner aucune fois en n parties vaut
0{,}8^n. Que devient-elle lorsque n augmente ?

]]> Pour une loi binomiale, P(X = 0) = (1 - p)ⁿ. Comme 1 - p < 1,
cette quantité décroît vers 0 : plus on répète l'épreuve, plus il
devient improbable de n'obtenir aucun succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle augmente et se rapproche de 1

]]> Sens inversé : c'est la probabilité de gagner au moins une
fois, soit 1 - 0{,}8^n, qui se rapproche de 1.

]]> Elle diminue et se rapproche de 0

]]> Bonne réponse : multiplier par 0{,}8 à chaque partie
supplémentaire fait décroître la probabilité vers 0.

]]> Elle diminue et se stabilise à 0{,}2

]]> Erreur : rien n'arrête la décroissance à 0{,}2, qui est la
probabilité de gagner une partie donnée.

]]> Elle reste toujours égale à 0{,}8

]]> Exposant ignoré : 0{,}8 vaut pour une seule partie ; les
parties suivantes multiplient encore par 0{,}8.

]]> Lois discrètes — Q36 : Retrouver la probabilité de succès On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en
moyenne 25 essais pour l'obtenir. Quelle est la
probabilité de succès à chaque essai ?

]]> Pour une loi géométrique, E(X) = 1/p. La relation se lit
dans les deux sens : une attente moyenne de 10 essais correspond
à une probabilité de succès de 0{,}1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}04

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut 1/p, donc
p = \dfrac{1}{25} = 0{,}04.

]]> 0{,}96

]]> Probabilité d'échec calculée : 0{,}96 vaut
1 - p, c'est la probabilité de rater un essai.

]]> 25

]]> Attente recopiée : 25 est un nombre d'essais, une
probabilité ne peut pas dépasser 1.

]]> 0{,}25

]]> Division par 100 : le passage de l'attente à la probabilité
est un inverse, pas un pourcentage.

]]> Lois discrètes — Q37 : Réussir avant un rang donné On répète une épreuve de probabilité de succès 0{,}25 jusqu'au
premier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès
survienne au plus tard au rang 3 ?

]]> Pour une loi géométrique, P(X > n) = (1 - p)ⁿ et donc
P(X ≤ n) = 1 - (1 - p)ⁿ. Réussir avant le rang n, c'est ne
pas avoir enchaîné n échecs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}0156

]]> Succès enchaînés : 0{,}25^{3} décrit 3 réussites
consécutives, une situation très différente.

]]> 0{,}4219

]]> Événement contraire : 0{,}4219 est la probabilité que
les 3 premiers essais échouent tous.

]]> 0{,}5781

]]> Bonne réponse : le contraire est « les 3 premiers essais
échouent », de probabilité 0{,}75^{3} = 0{,}4219,
d'où 1 - 0{,}4219 = 0{,}5781.

]]> 0{,}75

]]> Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,
leurs probabilités se multiplient.

]]> Lois discrètes — Q38 : Retrouver le paramètre d'une binomiale Une variable X suit une loi binomiale d'espérance 20 et de
variance 16. Que vaut son paramètre p ?

]]> De E(X) = np et V(X) = np(1 - p) on tire
V(X)/E(X) = 1 - p, puis p, puis n = E(X)/p.
Les deux formules déterminent ainsi complètement la loi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}25

]]> Quotient renversé : ce nombre dépasse 1, ce qu'une
probabilité ne peut pas faire.

]]> 0{,}8

]]> Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut
1 - p, il reste à le retrancher à 1.

]]> 4

]]> Écart-type calculé : √16 = 4 mesure la
dispersion, ce n'est pas le paramètre p.

]]> 0{,}2

]]> Bonne réponse : V(X)/E(X) = np(1-p)/np = 1 - p, donc 1 - p = 0{,}8 et p = 0{,}2.

]]> Lois discrètes — Q39 : Probabilité sur un intervalle Pour une variable binomiale X, la calculatrice donne
P(X \leq 3) = 0{,}12 et P(X \leq 8) = 0{,}8.
Que vaut P(4 ≤ X ≤ 8) ?

]]> Pour une variable à valeurs entières,
P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a - 1). Le piège est
la borne basse : c'est a - 1 qui se retranche, pas a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -0{,}68

]]> Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être
négative, l'ordre des deux termes est à revoir.

]]> 0{,}92

]]> Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans 0{,}12
sont déjà comprises dans 0{,}8, il faut les retirer.

]]> 0{,}68

]]> Bonne réponse : on retire de P(X ≤ 8) les valeurs
inférieures à 4, c'est-à-dire P(X ≤ 3), d'où
0{,}8 - 0{,}12 = 0{,}68.

]]> 0{,}2

]]> Autre événement : ce calcul donne P(X > 8) et laisse de
côté toute la partie basse de l'intervalle.

]]> Lois discrètes — Q40 : Deux espérances dans un même contexte Un standard téléphonique décroche un appel sur 4. On note X
le nombre d'appels décrochés sur 20 appels passés et Y le rang
du premier appel décroché. Que valent E(X) et E(Y) ?

]]> Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un
nombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance np ;
attendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance
1/p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E(X) = 5 et E(Y) = 20

]]> Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de
20, elle vaut 1/p = 4.

]]> E(X) = 4 et E(Y) = 4

]]> Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent
des lois différentes, donc E(X) = 5.

]]> E(X) = 5 et E(Y) = 4

]]> Bonne réponse : X est binomiale, donc E(X) = np = 5 ;
Y est géométrique, donc E(Y) = 1/p = 4.

]]> E(X) = 4 et E(Y) = 5

]]> Formules échangées : np revient au compte de succès et
1/p au temps d'attente, pas l'inverse.

]]> Lois discrètes — Q41 : Répondre au hasard à un questionnaire Un questionnaire comporte 20 questions proposant chacune quatre
réponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement
au hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?

]]> Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici n épreuves
indépendantes de probabilité de succès 0{,}25, donc une loi
binomiale, dont l'espérance np donne la moyenne cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ¼

]]> Probabilité recopiée : ¼ vaut pour une question
isolée ; les 20 questions se cumulent.

]]> 10

]]> Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,
la probabilité de réussite est 0{,}25.

]]> 20

]]> Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit
aucune bonne réponse, et encore moins toutes.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi
binomiale de paramètres 20 et 0{,}25, d'espérance
20 \times 0{,}25 = 5.

]]> Lois discrètes — Q42 : Une loi aux valeurs non bornées Parmi les lois discrètes du programme, laquelle peut prendre une
infinité de valeurs ?

]]> Uniforme, Bernoulli et binomiale portent sur un nombre fini de
valeurs. Seule la loi géométrique décrit une attente qui peut
durer indéfiniment, avec des probabilités décroissant très vite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale

]]> Erreur : le nombre de succès va de 0 à n, soit n + 1
valeurs possibles seulement.

]]> La loi uniforme

]]> Erreur : elle est définie sur un ensemble fini de valeurs,
toutes de même probabilité.

]]> La loi de Bernoulli

]]> Erreur : une variable de Bernoulli ne prend que deux valeurs,
0 et 1.

]]> La loi géométrique

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès n'est pas borné, il
peut valoir 1, 2, 3 et ainsi de suite sans limite.

]]> Lois discrètes — Q43 : Symétrie d'une binomiale équilibrée Soit X une variable suivant la loi binomiale
\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5). À quelle autre probabilité
P(X = 3) est-elle égale ?

]]> Pour p = 0{,}5, la loi binomiale est symétrique :
P(X = k) = P(X = n - k), car \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}
et les deux puissances de 0{,}5 coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P(X = 5)

]]> Valeur centrale prise : 5 est la valeur la plus
probable, elle ne s'apparie avec aucune autre.

]]> P(X = 4)

]]> Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison
d'avoir la même probabilité.

]]> P(X = 7)

]]> Bonne réponse : avec p = 0{,}5, échanger succès et échecs ne
change rien, et \dbinom{10}{3} = \dbinom{10}{7}.

]]> P(X = 10)

]]> Borne haute prise : P(X = 10) correspond à 10 succès, la
valeur la moins probable de toutes.

]]> Lois discrètes — Q44 : Valeurs prises par une binomiale Une variable X suit la loi binomiale
\mathcal{B}(12\,;\,0{,}3). Combien de valeurs différentes X
peut-elle prendre ?

]]> Une variable binomiale de paramètre n prend les valeurs entières
de 0 à n, soit n + 1 valeurs. Le paramètre p ne change pas
cet ensemble, seulement les probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13

]]> Bonne réponse : X compte les succès, de 0 à 12, ce qui
fait 12 + 1 = 13 valeurs.

]]> 12

]]> Valeur 0 oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce
qui ajoute une valeur au compte.

]]> 24

]]> Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais X
n'en retient que le nombre de succès.

]]> 11

]]> Compte trop court : les valeurs vont de 0 à 12 incluses,
soit 13 en tout.

]]> Lois discrètes — Q45 : Espérance sur des valeurs décalées Une roue porte les numéros entiers de 4 à 12, tous
équiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?

]]> Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,
l'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas
\{1, \ldots, n\}, d'espérance n+1/2, en est un cas
particulier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc
la moyenne est celle des extrêmes :
4 + 12/2 = 8.

]]> 6

]]> Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à 0 mais à
4, ce qui décale la moyenne vers le haut.

]]> 9

]]> Nombre de secteurs calculé : 9 compte les numéros
présents, il ne dit rien de leur moyenne.

]]> 4

]]> Différence au lieu d'une somme : 4 mesure la
moitié de l'étendue, pas la position du centre.

]]> Lois discrètes — Q46 : Nombre moyen de succès Une variable X suit la loi binomiale
\mathcal{B}(50\,;\,0{,}4). Que vaut E(X) ?

]]> Pour une loi binomiale, E(X) = np : le nombre d'épreuves
multiplié par la probabilité de succès. Formule admise au
programme, et cohérente avec l'intuition de la proportion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Variance calculée : np(1 - p) = 12 mesure la
dispersion, pas la valeur moyenne.

]]> 50

]]> Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une
proportion 0{,}4 seulement l'est en moyenne.

]]> 0{,}4

]]> Paramètre recopié : 0{,}4 est l'espérance d'une seule épreuve ;
sur 50 répétitions, elle est multipliée par 50.

]]> 20

]]> Bonne réponse : E(X) = np = 50 \times 0{,}4 = 20.

]]> Lois discrètes — Q47 : Le premier coefficient d'une ligne Chaque ligne du triangle de Pascal commence par le coefficient
\dbinom{n}{0}. Quelle égalité est exacte pour tout entier n
supérieur ou égal à 1 ?

]]> Chaque ligne du triangle de Pascal commence et finit par 1 :
\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1. Dans la formule binomiale, ce
coefficient donne P(X = 0) = (1 - p)ⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dbinom{n}{0} = n + 1

]]> Erreur : n + 1 est le nombre de coefficients de la ligne,
de \dbinom{n}{0} à \dbinom{n}{n}.

]]> \dbinom{n}{0} = n

]]> Coefficient voisin : n est la valeur de \dbinom{n}{1}, le
nombre de chemins à exactement un succès.

]]> \dbinom{n}{0} = 0

]]> Confusion : « aucun succès » n'est pas « aucune possibilité ».
Ce cas existe, et d'une seule manière.

]]> \dbinom{n}{0} = 1

]]> Bonne réponse : il existe une seule façon de n'obtenir aucun
succès, le chemin où toutes les épreuves échouent.

]]> Lois discrètes — Q48 : Réussir au deuxième essai Un archer atteint la cible avec la probabilité 0{,}3 à chaque tir,
indépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il
atteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?

]]> Pour une loi géométrique, P(X = k) = (1 - p)ᵏ⁻¹p. Au rang 2,
cela donne un échec suivi d'un succès, soit (1 - p)p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}6

]]> Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,
leurs probabilités se multiplient.

]]> 0{,}21

]]> Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité
0{,}7, puis le second réussit :
0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21.

]]> 0{,}09

]]> Deux réussites comptées : 0{,}3 \times 0{,}3 décrit deux tirs
réussis, alors que le premier doit manquer.

]]> 0{,}7

]]> Second tir oublié : 0{,}7 ne décrit que l'échec du premier
tir, il reste à réussir le second.

]]> Lois discrètes — Q49 : Dispersion des moyennes d'échantillons Une variable aléatoire a pour écart type σ = 2. On simule un
grand nombre d'échantillons de taille n = 100 et l'on calcule
l'écart type s de la série des moyennes. Autour de quelle valeur se
situe s ?

]]> La simulation permet de constater que la moyenne d'un échantillon
de taille n fluctue avec un écart type voisin de
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}2

]]> Bonne réponse : l'écart type des moyennes est proche de
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2}{10}.

]]> 0{,}02

]]> Erreur : on divise σ par √n = 10, pas par
n = 100.

]]> 2

]]> Erreur : les moyennes d'échantillons fluctuent bien moins que les
valeurs individuelles.

]]> 20

]]> Erreur : l'écart type diminue quand la taille de l'échantillon
augmente, il ne se multiplie pas.

]]> Lois discrètes — Q50 : Espérance d'une loi binomiale X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}3.
Que vaut E(X) ?

]]> Pour une loi binomiale, E(X) = np : le nombre moyen de succès sur
n épreuves.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20

]]> Erreur : 20 est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une
proportion p d'entre elles sont des succès.

]]> 0{,}3

]]> Erreur : 0{,}3 est la probabilité d'un succès, pas le nombre
moyen de succès.

]]> 4{,}2

]]> Erreur : 4{,}2 est la variance np(1 - p), pas l'espérance.

]]> 6

]]> Bonne réponse : E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6.

]]> Lois discrètes — Q51 : Espérance d'une loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès
p = 0{,}2 jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en
moyenne ?

]]> Loi géométrique de paramètre p : E(X) = 1/p. Plus le
succès est rare, plus il faut attendre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5, soit \dfrac{1}{0{,}2}

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi
géométrique de paramètre p, d'espérance 1/p = 5.

]]> 0{,}2, la probabilité du succès

]]> Erreur : 0{,}2 est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.

]]> 10, deux fois \dfrac{1}{0{,}2}

]]> Erreur : 2/p n'est pas l'espérance ; relisez la
formule.

]]> 0{,}8, la probabilité d'un échec

]]> Erreur : 1 - p est la probabilité d'un échec, sans rapport
avec le nombre moyen d'épreuves.

]]> Lois discrètes — Q52 : Variance d'une loi binomiale X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0{,}3.
Que vaut V(X) ?

]]> Variance d'une binomiale : np(1 - p) ; l'écart-type en est la
racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4{,}2

]]> Bonne réponse : V(X) = np(1 - p) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7
= 4{,}2.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est l'espérance np ; il manque le facteur
1 - p.

]]> 0{,}7

]]> Erreur : 1 - p n'est qu'un facteur de la formule.

]]> 1{,}8

]]> Erreur : np² n'est pas la variance ; le second facteur est
1 - p, pas p.

]]> Lois discrètes — Q53 : Choisir le nombre d'épreuves pour une espérance donnée Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité 0{,}25, les tirs
étant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le
nombre moyen de réussites soit 15 ?

]]> On inverse la formule de l'espérance : n = E(X)/p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}75 tirs

]]> Erreur : 3{,}75 est le produit 15 \times 0{,}25, sans
signification ici, et un nombre de tirs est entier.

]]> 60 tirs

]]> Bonne réponse : E(X) = np = 15 donne
n = \dfrac{15}{0{,}25} = 60.

]]> 15 tirs

]]> Erreur : avec 15 tirs, le nombre moyen de réussites serait
15 \times 0{,}25 = 3{,}75.

]]> 25 tirs

]]> Erreur : 25 tirs donneraient en moyenne 25 \times 0{,}25
réussites, pas 15.

]]> Lois discrètes — Q54 : Écart-type et nombre d'épreuves X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0{,}5,
et Y la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = 0{,}5.
Comment leurs écarts-types se comparent-ils ?

]]> L'écart-type d'une binomiale croît comme √n : il est
multiplié par 2 quand n est multiplié par 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont égaux, p étant le même

]]> Erreur : l'écart-type dépend aussi de n.

]]> σ(Y) = 10 est le double de σ(X) = 5

]]> Bonne réponse : σ = √np(1-p) ; √25 = 5 et
√100 = 10. Multiplier n par 4 multiplie l'écart-type
par √4 = 2.

]]> σ(Y) est la moitié de σ(X)

]]> Erreur : plus d'épreuves donne un écart-type plus grand en
valeur absolue, même si la proportion de succès fluctue moins.

]]> σ(Y) est le quadruple de σ(X)

]]> Erreur : c'est la variance qui est multipliée par 4 ;
l'écart-type, sa racine carrée, l'est par 2.

]]> Lois discrètes — Q55 : Lire une probabilité conditionnelle Pour un test médical, on note M l'événement « la personne est
malade » et T l'événement « le test est positif ». Que
représente P_T(M) ?

]]> Dans P_T(M), on se restreint aux personnes dont le test est
positif et l'on mesure la part de malades parmi elles. La
distinction entre P_T(M) et P_M(T) est l'objectif central de
l'inférence bayésienne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'être malade sachant que le test est positif

]]> Bonne réponse : l'événement placé en indice, ici T, est
celui que l'on sait réalisé.

]]> La probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est
malade

]]> Conditionnement inversé : cette phrase décrit P_M(T), la
sensibilité du test, en général différente de P_T(M).

]]> La probabilité d'avoir un test positif, malade ou non

]]> Probabilité non conditionnelle : c'est P(T), qui ne tient
pas compte de l'état de la personne.

]]> La probabilité d'être malade et d'avoir un test positif à la
fois

]]> Intersection : « à la fois » décrit P(M ∩ T), qui vaut
P(T) × P_T(M).

]]> Lois discrètes — Q56 : Probabilité d'une intersection On sait que P(A) = 0{,}3 et P_A(B) = 0{,}6. Que vaut P(A ∩ B)
?

]]> Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit
des probabilités lues sur ses branches :
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}12

]]> Mauvaise branche : 0{,}3 \times (1 - 0{,}6) = 0{,}12 est
P(A ∩ B̄).

]]> 0{,}3

]]> Probabilité de A recopiée : il faut encore la multiplier par
P_A(B) = 0{,}6.

]]> 0{,}18

]]> Bonne réponse :
P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18.

]]> 0{,}6

]]> Facteur P(A) oublié : 0{,}6 est la probabilité de B parmi
les issues de A seulement.

]]> Lois discrètes — Q57 : Formule des probabilités totales Sur un arbre, P(A) = 0{,}4, P_A(B) = 0{,}7 et
P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2. Que vaut P(B) ?

]]> B se réalise soit avec A, soit avec Ā :
P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B), somme
des chemins qui mènent à B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}9

]]> Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque
probabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de
sa branche.

]]> 0{,}45

]]> Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose
P(A) = 0{,}5, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> 0{,}4

]]> Bonne réponse :
P(B) = 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}4.

]]> 0{,}28

]]> Un seul chemin compté : 0{,}28 est P(A ∩ B) ; il
manque le chemin passant par Ā.

]]> Lois discrètes — Q58 : Inverser un conditionnement Sur un arbre, P(A) = 0{,}5, P_A(B) = 0{,}6 et
P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2. On observe que B est réalisé. Que
vaut P_B(A) ?

]]> Formule de Bayes : P_B(A) = P_A(B) P(A)/P(B). On
calcule d'abord P(B) par la formule des probabilités totales,
puis on divise la probabilité du chemin A ∩ B par P(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}3

]]> Division oubliée : 0{,}3 est P(A ∩ B), qu'il faut
encore diviser par P(B) = 0{,}4.

]]> 0{,}6

]]> Conditionnement non inversé : 0{,}6 est P_A(B), alors que la
question porte sur A sachant B.

]]> 0{,}75

]]> Bonne réponse : P(B) = 0{,}4 et
P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75.

]]> 0{,}4

]]> Dénominateur seul : 0{,}4 est P(B), calculée par les
probabilités totales, et non P_B(A).

]]> Lois discrètes — Q59 : Valeur prédictive positive d'un test Une maladie touche une proportion 0{,}01 de la population. Un test
a une sensibilité P_M(T) = 0{,}99 et une spécificité
P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95. Que vaut, arrondie au
centième, la probabilité d'être malade sachant que le test est
positif ?

]]> Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une
population saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais
positifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même
pour un test fiable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}95

]]> Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades
et ne répond pas à la question posée.

]]> 0{,}0099

]]> Intersection seule : 0{,}0099 est P(M ∩ T) ; il faut la
diviser par P(T), qui compte aussi les faux positifs.

]]> 0{,}17

]]> Bonne réponse : P(M \cap T) = 0{,}0099,
P(\overline{M} \cap T) = 0{,}0495, donc
P_T(M) = \dfrac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} \approx 0{,}17.

]]> 0{,}99

]]> Sensibilité recopiée : 0{,}99 est P_M(T), la probabilité
d'un test positif chez un malade, et non l'inverse.

]]> Lois discrètes — Q60 : Définition de la sensibilité Avec M « la personne est malade » et T « le test est positif
», quelle probabilité désigne la sensibilité du test ?

]]> Sensibilité P_M(T) et spécificité
P_{\overline{M}}(\overline{T}) sont des propriétés du test. Les
valeurs prédictives P_T(M) et P_{\overline{T}}(\overline{M})
dépendent en plus de la proportion de malades.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P_{\overline{M}}(\overline{T}), un test négatif chez un
non-malade

]]> Spécificité : cette probabilité mesure la capacité du test à
reconnaître les personnes saines.

]]> P(M ∩ T), être malade avec un test positif

]]> Intersection : elle dépend de la proportion de malades,
contrairement à la sensibilité, propriété du test.

]]> P_M(T), un test positif chez un malade

]]> Bonne réponse : la sensibilité mesure la capacité du test à
détecter les malades.

]]> P_T(M), être malade quand le test est positif

]]> Conditionnement inversé : P_T(M) est la valeur prédictive
positive, qui dépend aussi de la proportion de malades.

]]> Lois discrètes — Q61 : Probabilité d'un faux positif Un test a une spécificité de 0{,}95 et une sensibilité de 0{,}9.
Quelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un
test positif ?

]]> Sachant M̄, le test est soit négatif, soit positif :
P_{\overline{M}}(T) = 1 - P_{\overline{M}}(\overline{T}). C'est
la probabilité d'un faux positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}05

]]> Bonne réponse :
P_{\overline{M}}(T) = 1 - P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05.

]]> 0{,}1

]]> Faux négatif : 1 - 0{,}9 = 0{,}1 concerne les malades dont le
test est négatif.

]]> 0{,}95

]]> Spécificité recopiée : 0{,}95 est la probabilité d'un test
négatif chez une personne non malade, l'événement contraire.

]]> 0{,}9

]]> Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que
la question porte sur les personnes saines.

]]> Lois discrètes — Q62 : Valeur prédictive négative d'un test Une maladie touche une proportion 0{,}1 de la population ; un test
a une sensibilité de 0{,}9 et une spécificité de 0{,}95. Que
vaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade
sachant que le test est négatif ?

]]> La valeur prédictive négative P_{\overline{T}}(\overline{M}) se
calcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin
M̄ ∩ T̄ par P(T̄), somme des
deux chemins qui aboutissent à un test négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}95

]]> Spécificité recopiée : 0{,}95 est
P_{\overline{M}}(\overline{T}) ; la question demande le
conditionnement inverse.

]]> 0{,}67

]]> Valeur prédictive positive : 0{,}67 est la probabilité d'être
malade sachant le test positif, une autre question.

]]> 0{,}9

]]> Proportion de non-malades : 0{,}9 est la probabilité a
priori, avant de connaître le résultat du test.

]]> 0{,}99

]]> Bonne réponse : P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}855,
P(M \cap \overline{T}) = 0{,}01, d'où
\dfrac{0{,}855}{0{,}855 + 0{,}01} \approx 0{,}99.

]]> Lois discrètes — Q63 : De quelle urne vient la boule L'urne U₁ contient 3 boules rouges sur 5, l'urne
U₂ en contient 1 sur 5. On choisit une urne à pile ou
face, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la
probabilité qu'elle vienne de U₁ ?

]]> On construit l'arbre : U₁ ou U₂ avec probabilité 0{,}5,
puis la couleur. La formule de Bayes donne
P_R(U₁) = P(U₁ ∩ R)/P(R) : l'observation d'une
rouge rend U₁ plus probable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅖

]]> Urnes fusionnées : ⅖ compterait les rouges des deux
urnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite.

]]> ¾

]]> Bonne réponse :
P_R(U_1) = \dfrac{0{,}5 \times \dfrac{3}{5}}{0{,}5 \times \dfrac{3}{5} + 0{,}5 \times \dfrac{1}{5}} = \dfrac{3}{4}.

]]> ⅗

]]> Conditionnement inversé : ⅗ est P_{U_1}(R), la
probabilité de tirer une rouge dans U₁.

]]> ½

]]> Probabilité a priori : ½ ignore l'information
apportée par la couleur, plus fréquente dans U₁.

]]> Lois discrètes — Q64 : Conditionnement et indépendance Deux événements A et B, avec P(A) > 0, vérifient
P_A(B) = P(B). Que peut-on en conclure ?

]]> P_A(B) = P(B) équivaut à P(A ∩ B) = P(A)P(B) : c'est la
définition de l'indépendance. L'information « A est réalisé »
n'apporte alors rien sur B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B est inclus dans l'événement A

]]> Inclusion : si B ⊂ A, alors
P_A(B) = P(B)/P(A), différent de P(B) dès que
P(A) < 1.

]]> A et B ont la même probabilité

]]> Conclusion sans fondement : l'égalité porte sur B seul et ne
dit rien de P(A).

]]> A et B sont incompatibles

]]> Confusion : incompatibles signifie P(A ∩ B) = 0, ce qui
donnerait P_A(B) = 0 et non P(B).

]]> A et B sont indépendants

]]> Bonne réponse : savoir que A est réalisé ne modifie pas la
probabilité de B, d'où P(A ∩ B) = P(A)P(B).

]]> Lois discrètes — Q65 : Valeur prédictive et proportion de malades Un test a une sensibilité de 0{,}99 et une spécificité de
0{,}95. Comment évolue la probabilité d'être malade sachant le
test positif quand la proportion p de malades augmente ?

]]> P_T(M) = \dfrac{0{,}99p}{0{,}99p + 0{,}05(1 - p)} est une
fonction croissante de p. Un dépistage de masse dans une
population peu touchée produit donc beaucoup de faux positifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle diminue quand p augmente

]]> Sens inversé : pour p = 0{,}01 on trouve environ 0{,}17,
pour p = 0{,}1 environ 0{,}69.

]]> Elle reste égale à 0{,}99

]]> Sensibilité confondue avec la valeur prédictive : 0{,}99 est
P_M(T), qui ne dépend pas de p, contrairement à P_T(M).

]]> Elle reste égale à 0{,}95

]]> Spécificité confondue avec la valeur prédictive : la
spécificité est une propriété fixe du test.

]]> Elle augmente avec p

]]> Bonne réponse : elle vaut environ 0{,}17 pour p = 0{,}01
et environ 0{,}69 pour p = 0{,}1 ; les vrais positifs
pèsent de plus en plus.

]]> Lois discrètes — Q66 : Une erreur de raisonnement au tribunal Un expert déclare : « Si l'accusé était innocent, cet indice
n'aurait que 1\ % de chances d'apparaître. Il y a donc 99\ %
de chances qu'il soit coupable. » Quelle est l'erreur ?

]]> Calculer P_E(I) demande la probabilité a priori d'innocence et
P_{\overline{I}}(E). Si beaucoup d'innocents peuvent présenter
l'indice, P_E(I) peut rester élevée malgré les 1\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune, car P(Ī) = 1 - P(I)

]]> La formule du contraire est juste, mais elle s'applique à
P_E(I), que l'expert n'a pas calculée.

]]> Il aurait dû multiplier 0{,}01 par 0{,}99

]]> Produit sans signification : 0{,}01 \times 0{,}99 ne
correspond à aucun chemin de l'arbre décrit.

]]> Il confond P_I(E) et P_E(I)

]]> Bonne réponse : 1\ % est la probabilité de l'indice E
sachant l'innocence I ; la conclusion porte sur l'innocence
sachant l'indice, qui exige la formule de Bayes.

]]> Il aurait dû additionner 1\ % et 99\ %

]]> Somme sans objet : elle vaut 1 et ne renseigne pas sur la
culpabilité.

]]> Lois discrètes — Q67 : Plus petit entier k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95 X suit la loi binomiale \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2). La
calculatrice donne P(X \leq 14) \approx 0{,}939,
P(X \leq 15) \approx 0{,}969 et P(X \leq 16) \approx 0{,}986.
Quel est le plus petit entier k tel que
P(X \leq k) \geq 0{,}95 ?

]]> On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au
premier k qui franchit 0{,}95. L'intervalle [0 ; k]
vérifie alors P(X ∈ I) ≥ 1 - α avec \alpha = 0{,}05.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc k = 15

]]> Bonne réponse : P(X \leq 14) \approx 0{,}939 reste sous
0{,}95, et P(X \leq 15) \approx 0{,}969 le dépasse.

]]> k = 14

]]> Seuil non atteint : P(X \leq 14) \approx 0{,}939 est
inférieur à 0{,}95.

]]> k = 10

]]> Espérance : np = 10 est la valeur moyenne de X ; on a
seulement P(X ≤ 10) proche de 0{,}5.

]]> k = 16

]]> Pas le plus petit : 16 convient, mais 15 convient
déjà.

]]> Lois discrètes — Q68 : Surréservation d'un avion Une compagnie vend 160 billets pour un avion de 150 places.
Chaque passager se présente avec la probabilité 0{,}9,
indépendamment des autres, et X compte les passagers présents.
La calculatrice donne P(X \leq 150) \approx 0{,}964. Quelle est la
probabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?

]]> X suit \mathcal{B}(160\,;\,0{,}9). Le risque se lit sur
l'événement X > 150 ; la compagnie choisit le nombre de billets
pour que ce risque reste inférieur à un seuil α fixé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 144

]]> Espérance de X : 160 \times 0{,}9 = 144 passagers en
moyenne, ce n'est pas une probabilité.

]]> Exactement 0{,}1

]]> Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le
risque de dépasser 150 présents.

]]> Environ 0{,}036

]]> Bonne réponse : il y a surréservation quand X > 150, de
probabilité 1 - P(X \leq 150) \approx 0{,}036.

]]> Environ 0{,}964

]]> Événement contraire : 0{,}964 est la probabilité que tous les
passagers présents trouvent une place.

]]> Lois discrètes — Q69 : Tester une pièce de monnaie Sous l'hypothèse d'une pièce équilibrée, le nombre X de « pile »
sur 100 lancers suit \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5), et
P(40 \leq X \leq 60) \approx 0{,}965. On obtient 63 « pile ».
Que décide-t-on au seuil 0{,}95 ?

]]> On construit un intervalle I tel que P(X \in I) \geq 0{,}95
sous le modèle. Une observation hors de I conduit à rejeter le
modèle, avec un risque d'erreur au plus 0{,}05.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On rejette l'hypothèse d'une pièce équilibrée

]]> Bonne réponse : 63 est hors de l'intervalle [40 ; 60],
qui contient X avec une probabilité d'au moins 0{,}95 sous
l'hypothèse.

]]> On garde l'hypothèse, 63 restant proche de 50

]]> Appréciation à l'œil : la règle de décision compare
l'observation à l'intervalle, et 63 en sort.

]]> On prouve que la pièce est truquée

]]> Certitude abusive : une pièce équilibrée donne un résultat
hors de l'intervalle avec une probabilité d'environ 0{,}035.

]]> On ne peut rien décider sans relancer la pièce

]]> Démarche incomplète : la règle de décision permet de conclure
avec l'échantillon obtenu.

]]> Lois discrètes — Q70 : Sens de la condition P(X ∈ I) ≥ 0,95 Pour une variable X de loi binomiale, on a construit un
intervalle I tel que P(X \in I) \geq 0{,}95. Que signifie
cette condition ?

]]> L'intervalle traduit la fluctuation d'échantillonnage attendue si
le modèle est vrai. C'est la base de la règle de décision : une
observation très improbable sous le modèle conduit à le remettre
en cause.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le modèle est exact avec une probabilité d'au moins 0{,}95

]]> Inversion : la probabilité porte sur X sachant le modèle, et
non sur le modèle sachant l'observation.

]]> X prend au moins 95\ % des valeurs de l'intervalle I

]]> Lecture erronée : on mesure la probabilité que X appartienne
à I, pas une part des valeurs de I.

]]> Sous le modèle, X tombe dans I au moins 95 fois sur
100

]]> Bonne réponse : c'est une probabilité calculée en supposant le
modèle vrai ; elle mesure la fluctuation de X.

]]> Toutes les valeurs de I ont une probabilité au moins
0{,}95

]]> Confusion entre l'intervalle entier et chacune de ses valeurs,
de probabilité bien plus faible.

]]> Lois discrètes — Q71 : Une observation dans l'intervalle Un fabricant annonce 10\ % de pièces défectueuses. Sur un
échantillon, le nombre de pièces défectueuses observé appartient à
l'intervalle I tel que P(X \in I) \geq 0{,}95 sous ce modèle.
Que conclut-on ?

]]> Une observation dans I ne démontre pas le modèle : elle signifie
seulement que l'échantillon ne le contredit pas. Seule une
observation hors de I conduit à une décision, le rejet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La proportion vaut exactement 10\ % dans l'échantillon

]]> Confusion entre fréquence observée et proportion du modèle :
la fréquence fluctue autour de 0{,}1.

]]> L'annonce du fabricant est prouvée exacte

]]> Conclusion trop forte : d'autres proportions proches de
10\ % donneraient aussi une observation dans I.

]]> On ne rejette pas l'annonce du fabricant

]]> Bonne réponse : l'observation est compatible avec le modèle ;
on n'a pas de raison de le remettre en cause.

]]> On rejette l'annonce au risque de 5\ %

]]> Décision inversée : on rejette lorsque l'observation sort de
I, pas lorsqu'elle y tombe.

]]> Lois discrètes — Q72 : Simuler une loi binomiale en Python La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
[0 ; 1[. Quelle loi suit la valeur renvoyée par
simule(20, 0.3) ?
`python
def simule(n, p):
s = 0
for i in range(n):
if random() < p:
s = s + 1
return s
`

]]> random() < p est vrai avec la probabilité p : c'est une
épreuve de Bernoulli. Répéter n épreuves indépendantes et
compter les succès réalise un schéma de Bernoulli, donc une loi
binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi uniforme sur \{0, 1, \ldots, 20\}

]]> Équiprobabilité supposée : les valeurs proches de
20 \times 0{,}3 = 6 sont bien plus fréquentes que 0 ou
20.

]]> La loi géométrique de paramètre 0{,}3

]]> Temps d'attente : la boucle ne s'arrête pas au premier succès,
elle effectue toujours vingt tirages.

]]> La loi de Bernoulli de paramètre 0{,}3

]]> Une seule épreuve : la loi de Bernoulli décrit le test
random() < p isolé, alors que la boucle en répète vingt.

]]> La loi binomiale \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)

]]> Bonne réponse : 20 épreuves indépendantes, chacune réussie
avec la probabilité 0{,}3, et s compte les succès.

]]> Lois discrètes — Q73 : Reconnaître une loi sur son diagramme [Figure : Diagramme en bâtons pour k de 0 à 10. Les hauteurs, environ 0,03
; 0,12 ; 0,23 ; 0,27 ; 0,20 ; 0,10 ; 0,04 ; 0,01 puis presque
nulles, montent jusqu'au maximum en k = 3 puis décroissent.]

Le diagramme en bâtons représente la loi d'une variable aléatoire
X à valeurs dans \{0, 1, \ldots, 10\}. Quelle loi peut-il
représenter ?

]]> Le diagramme d'une loi binomiale \mathcal{B}(n\,;\,p) est en
cloche, avec un maximum proche de l'espérance np. Il est
symétrique seulement pour p = 0{,}5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi uniforme sur \{0, 1, \ldots, 10\}

]]> Une loi uniforme aurait onze bâtons de même hauteur.

]]> La loi binomiale \mathcal{B}(10\,;\,0{,}7)

]]> Diagramme symétrique : avec p = 0{,}7, le maximum serait
vers 7.

]]> La loi géométrique de paramètre 0{,}3

]]> Une loi géométrique est décroissante dès la valeur 1 et ne
prend pas la valeur 0.

]]> La loi binomiale \mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)

]]> Bonne réponse : la distribution est centrée vers
10 \times 0{,}3 = 3, valeur la plus probable.

]]> Lois discrètes — Q74 : Lire le paramètre d'une loi géométrique [Figure : Diagramme en bâtons pour k de 1 à 7, aux hauteurs décroissantes
: 0,4 ; 0,24 ; 0,144 ; environ 0,09 ; 0,05 ; 0,03 ; 0,02. Chaque
bâton vaut 0,6 fois le précédent.]

Le diagramme représente P(X = k) pour une variable X de loi
géométrique. Quel est son paramètre p ?

]]> Pour une loi géométrique, P(X = 1) = p et chaque bâton s'obtient
en multipliant le précédent par 1 - p :
P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc p = 0{,}24

]]> Hauteur du deuxième bâton :
P(X = 2) = (1 - p)p = 0{,}6 \times 0{,}4.

]]> p = 0{,}6

]]> Rapport entre deux bâtons consécutifs : il vaut 1 - p, la
probabilité d'un échec.

]]> p = 0{,}4

]]> Bonne réponse : P(X = 1) = p, la hauteur du premier bâton.

]]> p = 2{,}5

]]> Espérance 1/p : une probabilité ne dépasse jamais
1.

]]>