$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Primitives et équations différentielles Notion de solution d'une équation différentielle, primitives
(équation y' = f, unicité à constante près), reconnaissance
des formes 2uu', eᵘ u' et u'/u, équations
différentielles y' = ay et y' = ay + b : solution
particulière constante et solution générale, vérification
qu'une fonction est solution.

]]> Primitives et équations différentielles — Q01 : Vérifier une solution La fonction f(x) = 5 e²ˣ est-elle solution de
l'équation différentielle y' = 2y ?

]]> Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est
solution en la dérivant et en substituant. f' = 10e²ˣ = 2f : solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car f(0) = 5 ≠ 2

]]> Erreur : l'équation y' = 2y ne fixe aucune valeur en
0 ; elle relie la dérivée à la fonction, ce que
f respecte.

]]> Oui, car f' = 2f

]]> Bonne réponse : on dérive et on compare : f'(x) = 10 e²ˣ = 2 × 5 e²ˣ = 2 f(x) pour tout
x. C'est la méthode de vérification attendue.

]]> On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation

]]> Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on
dérive la candidate et on teste l'égalité.

]]> Non, car il y a un 5 en facteur

]]> Erreur : tout multiple C e²ˣ convient : le facteur
se conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation.

]]> Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive et équation $y' = f$ Chercher une primitive de f revient à résoudre quelle
équation différentielle ?

]]> Lien fondateur du chapitre : primitive de f = solution
de y' = f. Deux primitives d'une même fonction continue
sur un intervalle diffèrent d'une constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = 0

]]> Erreur : y' = 0 caractérise les fonctions constantes.
La primitive répond à y' = f pour un f quelconque.

]]> y = f'

]]> Sens inversé : ceci demanderait de dériver f. La
primitivation remonte : y' = f.

]]> y' = f

]]> Bonne réponse : une primitive de f est une fonction
dont la dérivée est f : c'est l'équation
différentielle la plus simple.

]]> y' = y

]]> Erreur : y' = y définit l'exponentielle (la dérivée
égale la fonction inconnue, pas une fonction
donnée).

]]> Primitives et équations différentielles — Q03 : L'ensemble des primitives F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x sur
ℝ. Quelles sont toutes les primitives de f ?

]]> Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les
primitives de f s'écrivent F + C. Une condition (valeur
en un point) fixe C et isole une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions x ↦ x² + C

]]> Bonne réponse, C constante réelle : deux primitives
d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une
constante, la famille complète est x² + C.

]]> Les fonctions x ↦ x² + Cx

]]> Erreur : (x² + Cx)' = 2x + C ≠ 2x pour C ≠ 0.
Seule une constante ajoutée disparaît en dérivant.

]]> Les fonctions x ↦ Cx²

]]> Erreur : (Cx²)' = 2Cx ≠ 2x dès que C ≠ 1. La
liberté est additive (+C), pas multiplicative.

]]> La seule fonction x ↦ x²

]]> Incomplet : x² + 7 se dérive aussi en 2x. Il y a
une infinité de primitives, décalées verticalement.

]]> Primitives et équations différentielles — Q04 : Reconnaître la forme $2u'u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2 × 3 × (3x + 1), c'est-à-dire f = 2u'u avec u(x) = 3x + 1 ?

]]> Formes à reconnaître (capacité attendue) : 2u'u → u² ;
u'eᵘ → eᵘ ; u'/u → ln u (pour u > 0).
Toujours contrôler en redérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 6x² + 2x

]]> Erreur : (6x² + 2x)' = 12x + 2, alors que f(x) = 18x + 6. En
développant, une primitive correcte serait 9x² + 6x ; vérifie toujours en
dérivant.

]]> F(x) = (3x + 1)²

]]> Bonne réponse : (u²)' = 2u'u : la forme 2u'u se
primitive en u². Contrôle : ((3x+1)²)' = 2 × 3 × (3x+1).

]]> F(x) = (3x + 1)³

]]> Erreur : (u³)' = 3u'u², une autre forme. Ici
l'exposant de départ est 1 : la primitive est u².

]]> F(x) = 2(3x + 1)

]]> Erreur : (2(3x+1))' = 6, constant : ce
n'est pas f. La structure 2u'u appelle u².

]]> Primitives et équations différentielles — Q05 : Reconnaître la forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x\,e^{x^2} ?

]]> f = u'eᵘ avec u = x² : primitive eᵘ. La présence du
facteur u' = 2x devant l'exponentielle est le signal à
repérer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}

]]> Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne
marche que pour un intérieur affine. Ici la
vérification échoue (dérivée d'un quotient).

]]> F(x) = 2\,e^{x^2}

]]> Erreur : \left(2e^{x^2}\right)' = 4x\,e^{x^2}, le
double de f. Le facteur 2x est exactement u' :
aucun coefficient à ajouter.

]]> F(x) = x^2\,e^{x^2}

]]> Erreur : dériver ce produit donne 2x\,e^{x^2} +
x^2 \times 2x\,e^{x^2}, un terme de trop. La primitive
de u'eᵘ est eᵘ tout court.

]]> F(x) = e^{x^2}

]]> Bonne réponse : avec u = x², u' = 2x : f = u'eᵘ,
de primitive e^u = e^{x^2}.

]]> Primitives et équations différentielles — Q06 : Reconnaître la forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x/x² + 1
sur ℝ ?

]]> u'/u → ln u (pour u > 0). Repérer au
numérateur la dérivée exacte du dénominateur : ici
(x²+1)' = 2x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : f = u'/u avec
u = x² + 1 > 0 : primitive ln u.

]]> F(x) = 2x ln(x² + 1)

]]> Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du
produit) et ne redonne pas f. La primitive est
ln(x²+1) seule.

]]> F(x) = 1/x² + 1

]]> Erreur : dériver 1/u donne
-u'/u², pas u'/u. La forme
quotient-de-la-dérivée appelle le logarithme.

]]> F(x) = ln(2x)

]]> Erreur : (ln 2x)' = 1/x, sans lien avec
f. C'est tout le bloc u = x² + 1 qui entre dans le
logarithme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q07 : Résoudre $y' = ay$ Quelles sont les solutions sur ℝ de l'équation
différentielle y' = -0{,}5\,y ?

]]> Théorème (démonstration possible) : les solutions de
y' = ay sont exactement les x ↦ C eᵃˣ. Signe
de a : croissance (a > 0) ou extinction (a < 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La seule fonction y = e^{-0{,}5x}

]]> Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la
fonction nulle (C = 0). La constante s'ajuste ensuite à
une condition initiale.

]]> Les fonctions y = C\,e^{-0{,}5x}, C réel

]]> Bonne réponse : solutions de y' = ay : les
C eᵃˣ. Ici a = -0{,}5 : des décroissances
exponentielles (vers 0 en +∞).

]]> Les fonctions y = -0{,}5x + C

]]> Erreur : ces affines résolvent y' = -0{,}5
(second membre constant), pas y' = -0{,}5\,y où la
dérivée dépend de la fonction elle-même.

]]> Les fonctions y = C\,e^{0{,}5x}

]]> Erreur de signe : (Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\,y, l'équation
opposée. Le coefficient a passe tel quel dans
l'exposant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q08 : Méthode de résolution de $y' = ay + b$ Pour résoudre l'équation différentielle y' = -2y + 8, par quelle
étape la méthode du programme commence-t-elle ?

]]> Pour y' = ay + b : on cherche la solution constante
c = -b/a, puis on ajoute les solutions Ceᵃˣ de
y' = ay. Les solutions sont les fonctions Ce⁻²ˣ + 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Dériver les deux membres de l'équation

]]> Dériver ferait apparaître y'' et compliquerait l'équation au
lieu de la résoudre.

]]> Chercher la solution constante, ici y = 4

]]> Bonne réponse : une constante c vérifie 0 = -2c + 8, d'où
c = 4 ; on lui ajoute ensuite les solutions Ce⁻²ˣ de
y' = -2y.

]]> Poser y = Ce⁸ˣ

]]> Le coefficient de l'exponentielle est celui de y, soit -2
; le nombre 8 fixe la solution constante.

]]> Chercher une primitive de -2y + 8

]]> L'inconnue y figure dans le second membre : on ne peut pas
primitiver une expression qui contient la fonction cherchée.

]]> Primitives et équations différentielles — Q09 : Condition initiale Parmi les solutions y = C e⁻²ˣ + 4 de y' = -2y + 8,
laquelle vérifie y(0) = 10 ?

]]> y(0) = C + 4 = 10 donne C = 6. La solution part de
10 et se rapproche de l'équilibre 4, comme dans la loi de
refroidissement ou la charge d'un condensateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 6 e⁻²ˣ

]]> Il manque la solution constante 4 : cette fonction vaut
6 en 0 et ne vérifie pas l'équation complète.

]]> y = 6 e⁻²ˣ + 4

]]> Bonne réponse : y(0) = C + 4 = 10 donne C = 6 ; une
condition initiale isole une seule solution.

]]> y = 10 e⁻²ˣ

]]> Solution constante oubliée : cette fonction résout
y' = -2y, et non y' = -2y + 8.

]]> y = 10 e⁻²ˣ + 4

]]> C n'est pas y(0) : la constante 4 décale la valeur
initiale, d'où C = 10 - 4 = 6.

]]> Primitives et équations différentielles — Q10 : Interpréter la solution constante Dans un modèle de refroidissement T' = -0{,}1\,(T - 20)
(température T en degrés, temps en minutes), que
représente la constante 20 ?

]]> Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :
l'équation y' = a(y - y_{\text{éq}}) a pour équilibre
y_{\text{éq}}, limite de toutes les solutions quand
a < 0. Lire les constantes d'un modèle est une capacité
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La température initiale de l'objet

]]> Erreur : la température initiale est T(0), donnée à
part. Le 20 de l'équation est l'attracteur, pas le
départ.

]]> La température ambiante

]]> Bonne réponse : c'est l'état d'équilibre vers lequel T
tend. T = 20 annule T', c'est la solution constante
; toute solution s'en approche exponentiellement,
l'objet finit à température ambiante.

]]> Une constante d'intégration

]]> Erreur : la constante d'intégration C apparaît dans la
solution générale Ce^{-0{,}1t} + 20 ; le 20, lui,
appartient au modèle.

]]> La vitesse de refroidissement

]]> Erreur : la vitesse est portée par le coefficient
-0{,}1 (par minute). Le 20 est une température.

]]> Primitives et équations différentielles — Q11 : Primitive vérifiant une condition Quelle est la primitive F de f(x) = 3x² vérifiant
F(1) = 5 ?

]]> On écrit d'abord la famille des primitives x³ + C, puis la
condition F(1) = 5 fixe C = 4. Parmi l'infinité de
primitives, une seule passe par le point imposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = x³ + 4

]]> Bonne réponse : les primitives sont x³ + C ;
F(1) = 1 + C = 5 donne C = 4.

]]> F(x) = 5x³

]]> La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de
5x³ vaut 15x² ≠ 3x².

]]> F(x) = x³

]]> Condition ignorée : F(1) = 1 ≠ 5, il faut
ajuster la constante.

]]> F(x) = x³ + 5

]]> C n'est pas la valeur imposée : avec C = 5, on obtient
F(1) = 6 ≠ 5.

]]> Primitives et équations différentielles — Q12 : Choisir la bonne équation différentielle Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif
y(t), avec un taux de 4\ % par unité de temps. Quelle
équation différentielle modélise cette situation ?

]]> « Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par y' = ky
: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des
modèles d'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = 0{,}04\,y

]]> Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se
traduit par y' = ky avec k = 0{,}04 ; les solutions sont
Ce^{0{,}04t}.

]]> y' = 0{,}04

]]> Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,
indépendante de l'effectif.

]]> y' = y + 0{,}04

]]> Le taux doit multiplier y, par proportionnalité, et non s'y
ajouter.

]]> y = 0{,}04\,t

]]> Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit
de plus une croissance linéaire.

]]> Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $x^2$ Quelle est une primitive de f(x) = x² ?

]]> Primitive de xⁿ : \dfrac{x^{n+1}}{n+1} : monter
l'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en
redérivant : deux secondes qui évitent toutes les
étourderies.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = x³/3

]]> Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise
par le nouvel exposant : contrôle en dérivant :
3x²/3 = x².

]]> F(x) = 2x

]]> Sens inverse : 2x est la dérivée de x² : la
primitive remonte le courant.

]]> F(x) = x³

]]> Division oubliée : (x³)' = 3x² : trois fois trop :
diviser par le nouvel exposant.

]]> F(x) = x²/2

]]> Exposant figé : x²/2 primitive x : pour
x², l'exposant monte à 3.

]]> Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$ Quelle est une primitive de f(x) = 1/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> L'exception de la règle des puissances : primitive de
1/x = ln x + C (sur ]0\ ;\ +∞[). Un
résultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune
formule mécanique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = eˣ

]]> Erreur : eˣ est sa propre primitive : 1/x
appelle le logarithme.

]]> F(x) = -1/x²

]]> Sens inverse : -1/x² est la dérivée de
1/x.

]]> F(x) = ln x

]]> Bonne réponse : (ln x)' = 1/x : le
logarithme est né pour combler ce trou de la formule des
puissances.

]]> F(x) = x⁰/0

]]> Division par zéro : la règle des puissances casse
exactement pour n = -1 : c'est ln qui prend le
relais.

]]> Primitives et équations différentielles — Q15 : Primitive de $e^{2x}$ Quelle est une primitive de f(x) = e²ˣ ?

]]> Primitive de eᵃˣ : \dfrac{e^{ax}}{a} : l'exposant est
conservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de
toutes les solutions d'équations différentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = e²ˣ

]]> Compensation oubliée : (e²ˣ)' = 2e²ˣ ≠ e²ˣ : seule eˣ (coefficient 1) est sa propre
primitive.

]]> F(x) = 2e²ˣ

]]> Sens inverse : 2e²ˣ est la dérivée de e²ˣ :
pour primitiver, on divise par le coefficient.

]]> F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}

]]> Bonne réponse : dériver e²ˣ fait sortir un 2 :
la primitive le compense par ½. Contrôle :
\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)' = e^{2x} ✓.

]]> F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}

]]> Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas
comme une puissance de x : il reste 2x, et on divise
par 2.

]]> Primitives et équations différentielles — Q16 : Les solutions de $y' = ay$ Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle
y' = 3y ?

]]> Les solutions de y' = ay sont les fonctions Ceᵃˣ, une par
valeur de C, fixée par la condition initiale C = y(0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(x) = 3x + C, C réel quelconque

]]> Ces fonctions résolvent y' = 3 ; ici y' est
proportionnelle à y.

]]> y(x) = C e³ˣ, C réel quelconque

]]> Bonne réponse : (Ce³ˣ)' = 3Ce³ˣ = 3y, et il
n'y a pas d'autre solution.

]]> y(x) = C eˣ + 3, C réel quelconque

]]> Contrôle : y' = Ceˣ alors que 3y = 3Ceˣ + 9
; le coefficient appartient à l'exposant.

]]> y(x) = e³ˣ uniquement

]]> Famille amputée : 5e³ˣ ou -2e³ˣ conviennent
aussi ; les solutions forment une famille indexée par C.

]]> Primitives et équations différentielles — Q17 : Résoudre avec condition initiale Quelle est la solution de y' = -0{,}5\,y + 10 vérifiant
y(0) = 0 ?

]]> Plan de résolution de y' = ay + b : 1) équilibre
-b/a ; 2) forme générale équilibre + Ceᵃᵗ ;
3) condition initiale pour C. La forme \ell(1 -
e^{at}) : la charge d'un réservoir depuis zéro.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}

]]> Condition violée : y(0) = 20 ≠ 0 : cette solution
part du plateau et décroît : la nôtre part de 0 et
monte.

]]> y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}

]]> Équilibre oublié : cette expression tend vers 0 et
part de -20 : la solution complète est équilibre PLUS
partie exponentielle : 20 - 20e^{-0{,}5t}.

]]> y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)

]]> Bonne réponse : équilibre \frac{10}{0{,}5} = 20 ;
solutions 20 + Ce^{-0{,}5t} ; y(0) = 0 force C = -20 : la courbe monte de 0 vers le plateau 20.

]]> y(t) = 20\left(1 + e^{-0{,}5t}\right)

]]> Erreur de signe : y(0) = 40 ≠ 0, et cette fonction
décroît vers 20 au lieu d'y monter. La condition
initiale force C = -20, d'où 20 - 20e^{-0{,}5t}.

]]> Primitives et équations différentielles — Q18 : Long terme des solutions Pour l'équation y' = -0{,}5\,y + 10, que deviennent
toutes les solutions quand t → +∞ ?

]]> Pour y' = ay + b avec a < 0 : l'équilibre
-b/a attire toutes les solutions (la partie
exponentielle meurt). Avec a > 0 : il les repousse. Le
signe de a raconte tout le film.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles finissent toutes par tendre vers 0

]]> Terme constant oublié : le second membre +10 maintient
un apport : l'équilibre est \frac{10}{0{,}5} = 20, pas
0.

]]> Elles convergent toutes vers l'équilibre 20

]]> Bonne réponse : quel que soit le point de départ, la partie
Ce^{-0{,}5t} s'éteint (coefficient négatif dans
l'exposant) : seul le plateau 20 survit : équilibre
attracteur.

]]> Elles divergent toutes vers +∞

]]> Erreur : le coefficient de y est négatif (-0{,}5) :
il freine : l'explosion appartient aux équations y' = ay + b avec a > 0.

]]> Leur limite dépend de la valeur de départ y(0)

]]> Erreur : le départ règle la trajectoire (montée si
y(0) < 20, descente si y(0) > 20), pas la destination :
y(0) = 0 donne y(t) = 20 - 20e^{-0{,}5t} et y(0) = 50
donne y(t) = 20 + 30e^{-0{,}5t}, deux trajectoires pour
une seule limite, 20.

]]> Primitives et équations différentielles — Q19 : Primitive d'une somme Quelle est une primitive de f(x) = 4x³ + 2x ?

]]> La primitive de xⁿ vaut \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. La vérification se fait
toujours en dérivant le résultat obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4x⁴ + 2x²

]]> Division oubliée : la primitive de 4x³ vaut x⁴, pas 4x⁴.

]]> 12x² + 2

]]> Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est
l'inverse.

]]> x⁴ + x²

]]> Bonne réponse : chaque terme se primitive séparément, et la
vérification par dérivation redonne f.

]]> x⁴ + 2x²

]]> Second terme mal traité : la primitive de 2x vaut x².

]]> Primitives et équations différentielles — Q20 : Résoudre $y' = ay + b$ Quelles sont les solutions de l'équation différentielle
y' = 2y + 8 ?

]]> Les solutions de y' = ay + b s'écrivent
Ceᵃˣ - b/a. Le second terme est la solution
constante, obtenue en annulant la dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions x ↦ Ce⁻²ˣ - 4

]]> Signe de l'exposant : le coefficient de y vaut 2 dans
l'équation.

]]> Les fonctions x ↦ Ce²ˣ - 4

]]> Bonne réponse : la solution constante vaut -4, à laquelle
s'ajoutent les solutions de y' = 2y.

]]> Les fonctions x ↦ Ce²ˣ

]]> Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue
serait y' = 2y.

]]> Les fonctions x ↦ Ce²ˣ + 4

]]> Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie
2y + 8 = 0, donc y = -4.

]]> Primitives et équations différentielles — Q21 : Une forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x/x² + 1 ?

]]> La primitive de u'/u est ln|u|, et ln u lorsque u est
strictement positive. Reconnaître la forme dispense de tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2ln(x² + 1)

]]> Coefficient de trop : la dérivée de cette expression vaut le double de
f.

]]> ln(2x)

]]> Numérateur pris pour argument : c'est le dénominateur qui joue le rôle
de u.

]]> ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : l'expression est de la forme u'/u, avec
u(x) = x² + 1 strictement positive.

]]> 2x/x² + 1

]]> Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive.

]]> Primitives et équations différentielles — Q22 : Modéliser un refroidissement La température d'un objet vérifie T' = -0{,}2(T - 20), où 20 est
la température ambiante. Vers quoi tend T ?

]]> Dans une équation y' = a(y - k) avec a négatif, la solution tend vers
k. C'est la loi de refroidissement de Newton.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 20 degrés

]]> Bonne réponse : la dérivée s'annule pour T = 20, et le signe la
ramène toujours vers cette valeur.

]]> Vers 0 degré

]]> L'objet se met à la température de son environnement, pas au zéro de
l'échelle.

]]> Vers -0{,}2 degré

]]> Coefficient recopié : il décrit la vitesse du refroidissement, pas sa
limite.

]]> Vers +∞

]]> Le signe négatif ramène la température vers l'ambiante au lieu de l'en
éloigner.

]]> Primitives et équations différentielles — Q23 : Une primitive qui s'annule Parmi les primitives de f(x) = eˣ, laquelle s'annule en 0 ?

]]> Toutes les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante. Imposer une
valeur en un point détermine cette constante, donc une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ + 1

]]> Signe de la constante : cette primitive vaut 2 en 0.

]]> xeˣ

]]> Fonction fausse : sa dérivée vaut (x+1)eˣ, pas eˣ.

]]> eˣ

]]> Cette primitive vaut 1 en 0, pas 0.

]]> eˣ - 1

]]> Bonne réponse : e⁰ - 1 = 0, la constante vaut donc -1.

]]> Primitives et équations différentielles — Q24 : Déterminer la constante Une solution de y' = 3y vérifie y(0) = 5. Quelle est son
expression ?

]]> Pour y' = ay, la solution générale est Ceᵃˣ et la condition
initiale donne directement C = y(0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(x) = e³ˣ + 5

]]> Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée
ne serait pas proportionnelle à la fonction.

]]> y(x) = 3e⁵ˣ

]]> Coefficients échangés : 3 appartient à l'exposant, 5
à la constante.

]]> y(x) = 5e³ˣ

]]> Bonne réponse : la forme générale est Ce³ˣ, et
y(0) = C donne C = 5.

]]> y(x) = 5eˣ

]]> Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait y et
non 3y.

]]> Primitives et équations différentielles — Q25 : Vérifier une primitive Comment s'assurer qu'une fonction F est bien une primitive de f ?

]]> Une primitive se définit par sa dérivée. La vérification par dérivation
est donc la méthode directe, et elle doit accompagner tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En comparant F et f en un point

]]> Une égalité en un point ne prouve rien : elle peut être fortuite.

]]> En intégrant f une seconde fois

]]> Une seconde primitivation donne une autre fonction, sans rapport avec
la vérification demandée.

]]> En dérivant F et en comparant à f

]]> Bonne réponse : la vérification est immédiate et lève tout doute sur le
calcul.

]]> En vérifiant que F est croissante

]]> La croissance de F traduit seulement la positivité de f, ce qui
n'est ni nécessaire ni suffisant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q26 : Primitive de $(ax + b)^2$ Quelle est une primitive sur ℝ de la fonction f
définie par f(x) = (2x + 1)² ?

]]> Pour x ↦ g(ax + b), on part d'une primitive de g, ici
X ↦ X³/3, puis on divise par le coefficient
a = 2. Dériver le résultat le vérifie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (2x + 1)³/6

]]> Bonne réponse : la dérivée de (2x + 1)³/6
vaut
3 × 2 × (2x + 1)²/6 = (2x + 1)².

]]> 2(2x + 1)³/3

]]> Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée
vaudrait 4(2x + 1)².

]]> 4(2x + 1)

]]> C'est la dérivée de f et non une primitive : sa propre
dérivée vaut 8.

]]> (2x + 1)³/3

]]> Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait
2(2x + 1)².

]]> Primitives et équations différentielles — Q27 : Lire un coefficient de décroissance Une quantité vérifie y' = -0{,}05y, avec t en années.
Que représente le coefficient 0{,}05 ?

]]> Dans y' = ay, le coefficient a est le taux de variation instantané
rapporté à la valeur de la quantité. Négatif, il décrit une décroissance
exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le taux de décroissance instantané

]]> Bonne réponse : la quantité perd chaque instant une part
proportionnelle à sa valeur.

]]> La moitié de la durée de demi-vie

]]> La demi-vie vaut \dfrac{\ln 2}{0{,}05}, soit environ 13{,}9 ans,
sans rapport simple avec le coefficient.

]]> La valeur initiale de la quantité

]]> La valeur initiale est la constante C, déterminée par une condition
en t = 0.

]]> La durée au bout de laquelle la quantité s'annule

]]> La quantité tend vers 0 sans jamais l'atteindre en un temps fini.

]]> Primitives et équations différentielles — Q28 : Combien de primitives Combien de primitives une fonction continue admet-elle sur un
intervalle ?

]]> Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, en
nombre infini. Elles diffèrent deux à deux d'une constante, puisque leur
différence a une dérivée nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une infinité, différant d'une constante

]]> Bonne réponse : si F convient, alors F + C convient aussi pour tout
réel C.

]]> Une seule

]]> L'unicité n'apparaît qu'après avoir imposé une valeur en un point.

]]> Deux, opposées l'une de l'autre

]]> L'opposée d'une primitive est une primitive de l'opposée de la
fonction, pas de la fonction elle-même.

]]> Aucune si la fonction change de signe

]]> Le signe n'intervient pas : toute fonction continue sur un intervalle
admet des primitives.

]]> Primitives et équations différentielles — Q29 : Tester une solution proposée La fonction y(x) = 3e⁻ˣ est-elle solution de y' = -y ?

]]> Vérifier une solution consiste à dériver la fonction proposée et à
comparer les deux membres de l'équation. La méthode vaut pour toute
équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, sa dérivée vaut -3e⁻ˣ

]]> Bonne réponse : cette dérivée est bien l'opposée de la fonction.

]]> Non, sa dérivée vaut 3e⁻ˣ

]]> Signe oublié : la dérivée de e⁻ˣ vaut -e⁻ˣ.

]]> Oui, mais seulement pour x positif

]]> L'égalité des deux membres vaut pour tout réel x.

]]> Non, le coefficient 3 l'en empêche

]]> Tout multiple d'une solution est encore solution : l'équation est
linéaire.

]]> Primitives et équations différentielles — Q30 : Une population qui se stabilise Une population vérifie P' = 0{,}1\,(500 - P). Que se passe-t-il si
P vaut 600 au départ ?

]]> Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à
l'équilibre 500 : au-dessus la population diminue, en dessous
elle augmente, et elle converge vers 500 dans les deux cas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle reste constante à 600

]]> Seule la valeur 500 annule la dérivée.

]]> Elle croît et s'éloigne de 500

]]> Signe de la dérivée inversé : 500 - P a le signe qui ramène
P vers 500.

]]> Elle décroît vers 0

]]> La dérivée change de signe en 500 : la population ne
franchit pas l'équilibre.

]]> Elle décroît vers 500

]]> Bonne réponse : la dérivée est négative tant que P est du
même côté de 500 que la valeur initiale.

]]> Primitives et équations différentielles — Q31 : Primitive de $\dfrac{1}{x^2}$ Quelle est une primitive de f(x) = 1/x² sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> La règle x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} vaut aussi pour les exposants
négatifs, sauf pour n = -1. Avec n = -2, elle donne
\dfrac{x^{-1}}{-1}, c'est-à-dire -1/x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 1/x

]]> Signe oublié : la dérivée de 1/x vaut -1/x²,
soit l'opposé de f. La primitive cherchée est -1/x.

]]> F(x) = -1/x

]]> Bonne réponse : en dérivant -1/x, on retrouve
1/x². La règle des puissances appliquée à x⁻² donne
le même résultat.

]]> F(x) = ln(x²)

]]> Confusion avec 1/x : seul l'inverse appelle un logarithme.
Pour 1/x², la règle des puissances suffit.

]]> F(x) = -2/x³

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de 1/x²,
alors que la question demande de remonter à une primitive.

]]> Primitives et équations différentielles — Q32 : Primitive d'un multiple de l'inverse Quelle est une primitive de f(x) = 3/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> Une primitive de k × g s'obtient en multipliant par k une
primitive de g. Ici g(x) = 1/x, dont une primitive est
ln x sur ]0\ ;\ +∞[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 3ln x

]]> Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et
ln est une primitive de 1/x sur ]0\ ;\ +∞[.

]]> F(x) = ln x/3

]]> Division au lieu d'une multiplication : le coefficient 3 reste en
facteur devant le logarithme.

]]> F(x) = ln(3x)

]]> Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut
1/x, sans le coefficient 3.

]]> F(x) = -3/x²

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de f, et non une de
ses primitives.

]]> Primitives et équations différentielles — Q33 : Différence de deux primitives Les fonctions F et G sont deux primitives d'une même fonction f
sur un intervalle I. Que peut-on dire de la fonction F - G ?

]]> Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une
constante. C'est ce résultat qui donne la famille F + C et qui permet
d'isoler une primitive en imposant une valeur en un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante sur I

]]> Bonne réponse : la dérivée de F - G vaut f - f, donc 0 sur tout
l'intervalle : la fonction est constante.

]]> Elle a la même dérivée que f

]]> Erreur : c'est la dérivée de F - G qui est en jeu, et elle vaut 0.
Rien n'est demandé sur la dérivée de f.

]]> Elle est nulle sur I

]]> Cas particulier : x² et x² + 7 sont deux primitives de 2x et
leur différence vaut 7, une constante non nulle.

]]> Elle est encore une primitive de f

]]> Erreur : la dérivée de F - G est nulle, alors qu'une primitive de
f aurait pour dérivée f.

]]> Primitives et équations différentielles — Q34 : Retrouver l'équation à partir des solutions Les fonctions y(x) = C e⁴ˣ, où C décrit ℝ, sont les
solutions de quelle équation différentielle ?

]]> Les solutions de y' = ay sont exactement les fonctions
x ↦ C eᵃˣ. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le
coefficient de x dans l'exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = 4x

]]> Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour
solutions des paraboles, pas des exponentielles.

]]> y' = 4y

]]> Bonne réponse : en dérivant, y'(x) = 4C e⁴ˣ, c'est-à-dire
4 y(x). Le coefficient de l'exposant devient celui de y.

]]> y' = y + 4

]]> Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait
alors de la forme y + b.

]]> y' = -4y

]]> Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation
sans être changé de signe.

]]> Primitives et équations différentielles — Q35 : Une équation à second membre constant Quelles sont les solutions sur ℝ de l'équation différentielle
y' = 4 ?

]]> Une équation y' = f revient à chercher les primitives de f. Quand f
est constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante
additive près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(x) = 4x²/2 + C

]]> Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut
4x, alors que l'équation demande 4.

]]> y(x) = 4 + C

]]> Expression constante : sa dérivée vaut 0 et non 4. Le facteur
x manque.

]]> y(x) = C e⁴ˣ

]]> Modèle confondu : ces fonctions résolvent y' = 4y, où la dérivée
dépend de la fonction. Ici le second membre est constant.

]]> y(x) = 4x + C

]]> Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction
constante égale à 4, qui sont les fonctions affines de
coefficient directeur 4.

]]> Primitives et équations différentielles — Q36 : Reconnaître la forme $u'u$ Quelle est une primitive de f(x) = 2x(x² + 3) sur
ℝ ?

]]> La forme 2u'u a pour primitive u², donc la forme u'u a pour
primitive u²/2. Le contrôle se fait en dérivant :
(u²/2)' = u'u.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = (x² + 3)²

]]> Facteur ½ oublié : la dérivée de cette expression vaut
2u'u, soit le double de f.

]]> F(x) = (x² + 3)³/3

]]> Forme confondue avec u'u² : ici le facteur u est à la puissance
1, la primitive fait donc intervenir u².

]]> F(x) = (x² + 3)²/2

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x² + 3, on a u'(x) = 2x, donc
f = u'u, dont une primitive est u²/2.

]]> F(x) = x²(x² + 3)

]]> Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le
montre la dérivation de ce produit.

]]> Primitives et équations différentielles — Q37 : Ajuster le facteur devant $e^u$ Quelle est une primitive de f(x) = 3x\,e^{x^2} sur ℝ ?

]]> La forme u'eᵘ a pour primitive eᵘ. Quand le facteur placé devant
l'exponentielle n'est pas exactement u', une constante multiplicative
rétablit l'égalité, ici ½.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 3\,e^{x^2}

]]> Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut
6x\,e^{x^2}, soit le double de f.

]]> F(x) = \dfrac{3}{2}\,x^2e^{x^2}

]]> Facteur x primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à
terme, la dérivation le confirme.

]]> F(x) = 6\,e^{x^2}

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient 3 doit
être partagé en deux, non doublé.

]]> F(x) = \dfrac{3}{2}\,e^{x^2}

]]> Bonne réponse : on écrit f(x) = \dfrac{3}{2} \times 2x\,e^{x^2}
pour faire apparaître la forme u'eᵘ avec u(x) = x².

]]> Primitives et équations différentielles — Q38 : Un quotient avec une exponentielle Quelle est une primitive de f(x) = eˣ/eˣ + 1 sur
ℝ ?

]]> La forme u'/u a pour primitive ln u lorsque u est
strictement positive. Ici u(x) = eˣ + 1 et u'(x) = eˣ, qui est
bien le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = eˣln(eˣ + 1)

]]> Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors
que f n'en comporte qu'un.

]]> F(x) = 1/eˣ + 1

]]> Forme confondue : la dérivée de 1/u vaut
-u'/u², ce qui ne redonne pas f.

]]> F(x) = ln(eˣ) + 1

]]> Numérateur pris pour u : c'est le dénominateur qui joue ce rôle
dans la forme u'/u.

]]> F(x) = ln(eˣ + 1)

]]> Bonne réponse : avec u(x) = eˣ + 1, le numérateur est exactement
u'(x), et u est strictement positive sur ℝ.

]]> Primitives et équations différentielles — Q39 : Repérer une forme $u'e^u$ Parmi ces fonctions, laquelle est de la forme u'eᵘ ?

]]> Reconnaître une forme composée, c'est nommer u puis vérifier que le
facteur présent est bien u'. Les trois formes du programme sont
2u'u, u'eᵘ et u'/u.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 3x^2e^{x^3}

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x³, la dérivée u'(x) = 3x² est
exactement le facteur placé devant l'exponentielle.

]]> f(x) = x^3e^{3x^2}

]]> Rôles échangés : le facteur devant l'exponentielle doit être la
dérivée de l'exposant, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> f(x) = e^{x^3}

]]> Facteur manquant : sans la dérivée de l'exposant devant
l'exponentielle, la règle ne s'applique pas.

]]> f(x) = 3x^2e^{3x^2}

]]> Exposant mal dérivé : la dérivée de 3x² vaut 6x, et non 3x².
La forme n'est donc pas reconnue.

]]> Primitives et équations différentielles — Q40 : Primitive de $e^{ax + b}$ Quelle est une primitive de f(x) = e^{3x + 1} sur ℝ ?

]]> Pour une composée affine x ↦ g(ax + b), on prend une primitive
G de g et l'on divise par a. Avec l'exponentielle, cela donne
\dfrac{e^{ax + b}}{a}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = 3e^{3x + 1}

]]> Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors
9f(x).

]]> F(x) = \dfrac{e^{3x + 1}}{3}

]]> Bonne réponse : dériver e^{3x + 1} fait sortir le facteur
3, que la division compense exactement.

]]> F(x) = \dfrac{e^{3x + 1}}{3x + 1}

]]> Division par l'exposant entier : seul son coefficient en x, ici
3, intervient dans la compensation.

]]> F(x) = e^{3x + 1}

]]> Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut
3f(x), et non f(x).

]]> Primitives et équations différentielles — Q41 : Traduire une élimination proportionnelle La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant
proportionnellement à la quantité restante, au rythme de 8\ % par
heure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?

]]> « Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par
y' = ay avec a négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un
coefficient décimal, ici 0{,}08.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y' = -0{,}08\,y

]]> Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité
restante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et
8\ % s'écrit 0{,}08.

]]> y' = -0{,}08

]]> Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité
chaque heure, sans tenir compte de ce qui reste.

]]> y' = 0{,}08\,y

]]> Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans
le sang augmenterait au lieu de diminuer.

]]> y' = -8 y

]]> Pourcentage non converti : 8\ % vaut 0{,}08, ce qui change
complètement la vitesse d'élimination.

]]> Primitives et équations différentielles — Q42 : La solution constante L'équation différentielle y' = -4y + 12 admet une unique solution
constante. Quelle est cette constante ?

]]> Une solution constante a une dérivée nulle : on résout ay + b = 0, ce
qui donne y = -b/a. Cette valeur est l'équilibre du modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La constante -3

]]> Erreur de signe : la résolution de -4y + 12 = 0 conduit à
3, et non à son opposé.

]]> La constante -4

]]> Coefficient de y recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas
la valeur d'équilibre.

]]> La constante 3

]]> Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc
-4y + 12 = 0, ce qui donne y = 3.

]]> La constante 12

]]> Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut -b/a,
c'est-à-dire 3 ici.

]]> Primitives et équations différentielles — Q43 : Un numérateur à compléter Quelle est une primitive de f(x) = x/x² + 1 sur
ℝ ?

]]> Avant d'appliquer la forme u'/u, on vérifie que le numérateur
est exactement u'. S'il n'en est qu'un multiple, une constante
multiplicative rétablit l'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = ln(x² + 1)

]]> Facteur ½ oublié : la dérivée de cette expression vaut
2x/x² + 1, le double de f.

]]> F(x) = ½ln(x² + 1)

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée
(x² + 1)' = 2x, d'où le facteur ½.

]]> F(x) = x²/2ln(x² + 1)

]]> Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se
traite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit.

]]> F(x) = 2ln(x² + 1)

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer
devant le logarithme est ½.

]]> Primitives et équations différentielles — Q44 : Résolution avec valeur initiale Quelle est la solution de l'équation différentielle y' = -2y + 10
qui vérifie y(0) = 8 ?

]]> Trois étapes : la solution constante -b/a, la forme générale
obtenue en lui ajoutant Ceᵃˣ, puis la condition initiale qui fixe
C.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y(x) = 8e⁻²ˣ + 5

]]> Constante confondue avec la valeur initiale : le terme 5 décale
le départ, donc C = 8 - 5, soit 3.

]]> y(x) = 3e⁻²ˣ + 5

]]> Bonne réponse : la solution constante vaut 5, les solutions
s'écrivent Ce⁻²ˣ + 5, et y(0) = C + 5 = 8 donne
C = 3.

]]> y(x) = 3e²ˣ + 5

]]> Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est y' = -2y,
dont les solutions sont les Ce⁻²ˣ.

]]> y(x) = 3e⁻²ˣ + 10

]]> Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut
-b/a, c'est-à-dire 5.

]]> Primitives et équations différentielles — Q45 : Un équilibre qui repousse Les solutions de l'équation y' = 0{,}3\,y - 6 ont pour valeur
d'équilibre 20. Que devient celle qui vérifie y(0) = 25 lorsque t
tend vers +∞ ?

]]> Pour y' = ay + b, l'équilibre -b/a attire les solutions
quand a est négatif et les repousse quand a est positif. Le signe du
coefficient de y décide du comportement en +∞.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle reste constante, égale à 25

]]> Seule la valeur 20 annule la dérivée : en 25, celle-ci vaut
1{,}5, donc la solution croît.

]]> Elle tend vers +∞

]]> Bonne réponse : cette solution s'écrit 20 + 5e^{0{,}3t}. Le
coefficient de y étant positif, la partie exponentielle grandit et
éloigne la solution de l'équilibre.

]]> Elle tend vers 0

]]> Erreur : le second membre comporte un terme constant, et un
coefficient positif éloigne de l'équilibre au lieu d'y ramener.

]]> Elle tend vers 20

]]> Équilibre pris pour une limite : il n'attire les solutions que
lorsque le coefficient de y est négatif, ce qui n'est pas le cas.

]]> Primitives et équations différentielles — Q46 : Signe de $f$ et variations de $F$ La fonction f est positive sur un intervalle I. Que peut-on dire de
ses primitives sur I ?

]]> Une primitive a pour dérivée la fonction de départ. Le signe de f donne
donc directement le sens de variation de ses primitives : positive pour
croissantes, négative pour décroissantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont positives sur I

]]> Étages confondus : c'est la dérivée de F qui est positive. La
fonction F(x) = x² - 9 croît sur [0\ ;\ +∞[ en y prenant
des valeurs négatives.

]]> Elles sont décroissantes sur I

]]> Signe inversé : une dérivée positive fait croître la fonction, elle
ne la fait pas diminuer.

]]> Elles sont constantes sur I

]]> Cas d'une fonction f nulle : dès que f prend des valeurs
strictement positives, F augmente.

]]> Elles sont croissantes sur I

]]> Bonne réponse : une primitive F vérifie F' = f, donc F' ≥ 0
sur I, ce qui fait croître F.

]]> Primitives et équations différentielles — Q47 : Primitive de $e^{-ax}$ Quelle est une primitive de f(x) = e⁻²ˣ sur ℝ ?

]]> Une primitive de eᵃˣ est \dfrac{e^{ax}}{a}, y compris lorsque a
est négatif. Avec a = -2, cela donne -\dfrac{e^{-2x}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = \dfrac{e^{-2x}}{2}

]]> Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut -f(x), soit
l'opposé de la fonction de départ.

]]> F(x) = -\dfrac{e^{-2x}}{2}

]]> Bonne réponse : dériver e⁻²ˣ fait sortir le facteur -2,
que la division compense exactement.

]]> F(x) = -2e⁻²ˣ

]]> Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la
dérivée de f, pas une de ses primitives.

]]> F(x) = -\dfrac{e^{-2x}}{2x}

]]> Division par l'exposant entier : seul son coefficient en x
intervient dans la compensation.

]]> Primitives et équations différentielles — Q48 : Primitive de $\dfrac{1}{x + c}$ Quelle est une primitive de f(x) = 1/x + 3 sur
]-3\ ;\ +∞[ ?

]]> La forme u'/u a pour primitive ln u quand u est
strictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec u affine de
dérivée 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc F(x) = -1/(x + 3)²

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de f, alors qu'il
faut remonter à une primitive.

]]> F(x) = 3ln(x + 3)

]]> Coefficient inutile : le numérateur vaut 1, qui est déjà la dérivée
de x + 3.

]]> F(x) = ln(x + 3)

]]> Bonne réponse : avec u(x) = x + 3, on a u'(x) = 1, donc
f = u'/u avec u strictement positive sur l'intervalle.

]]> F(x) = ln x + 3

]]> Terme sorti du logarithme : c'est le bloc x + 3 tout entier qui
joue le rôle de u.

]]> Primitives et équations différentielles — Q49 : Deux pas de la méthode d'Euler La fonction y vérifie y' = 0{,}5\,y et y(0) = 2. La méthode
d'Euler de pas h = 1 utilise y(t + h) ≈ y(t) + h y'(t).
Quelle valeur approchée de y(2) obtient-on ?

]]> Avec un pas plus petit, les valeurs obtenues se rapprochent de la
solution exacte y(t) = 2e^{0{,}5t}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4{,}5

]]> Bonne réponse : chaque pas multiplie par 1 + 0{,}5 = 1{,}5 :
y(1) ≈ 3 puis y(2) \approx 4{,}5.

]]> 4

]]> Erreur : on a ajouté deux fois l'accroissement du premier pas,
1. Au second pas, la pente vaut 0{,}5 \times 3 = 1{,}5.

]]> 2e \approx 5{,}44

]]> Erreur : c'est la valeur exacte 2e^{0{,}5 \times 2}. La
méthode d'Euler n'en donne qu'une approximation.

]]> 3

]]> Erreur : 3 approche y(1). Il faut un second pas pour atteindre
t = 2.

]]> Primitives et équations différentielles — Q50 : Un pas de la méthode d'Euler On approche la solution de y' = 2y + 1 telle que
y(0) = 3 par la méthode d'Euler, avec le pas h = 0{,}1 :
y(h) ≈ y(0) + h × y'(0). Quelle valeur obtient-on ?

]]> La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :
y(x + h) ≈ y(x) + h y'(x), où y'(x) est donné par
l'équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Point de départ oublié : 0{,}7 est seulement
l'accroissement h × y'(0).

]]> 10

]]> Pas oublié : on a ajouté y'(0) entier au lieu de
h × y'(0).

]]> 3{,}6

]]> Terme constant oublié : y'(0) vaut 2y(0) + 1, et non
2y(0) seul.

]]> 3{,}7

]]> Bonne réponse : y'(0) = 2 × 3 + 1 = 7,
puis 3 + 0{,}1 \times 7 = 3{,}7.

]]> Primitives et équations différentielles — Q51 : Principe de la méthode d'Euler Sur quelle approximation, valable pour h petit, repose la
méthode d'Euler ?

]]> Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement :
f(x + h) - f(x)/h ≈ f'(x) pour h petit, d'où
f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x + h) ≈ f(x) + h f(x)

]]> Dérivée remplacée par la fonction : cette formule n'est juste
que si f' = f.

]]> f(x + h) ≈ h f(x) + f'(x)

]]> Rôles échangés : c'est la dérivée, et non la valeur f(x),
qui doit être multipliée par h.

]]> f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x)

]]> Bonne réponse : on remplace la courbe par sa tangente sur un
pas de longueur h.

]]> f(x + h) ≈ f(x) + f'(x)

]]> Pas oublié : sans le facteur h, l'accroissement ne dépend
plus de la longueur du pas.

]]>