$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Statistique à deux variables quantitativesNuage de points et point moyen, droite de régression des
moindres carrés, coefficient de corrélation, ajustements se
ramenant à l'affine par changement de variable, interpolation
et extrapolation, corrélation et causalité.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q01 : Point moyen d'un nuageUn nuage a pour points (0 ; 3), (2 ; 5),
(4 ; 10). Quelles sont les coordonnées du point moyen G
?]]>G(\bar{x}\,;\,\bar{y}) a pour coordonnées les moyennes des
abscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe
par G.]]>1.00.00truetrueabcG(2 ; 5)]]>Point du milieu de la liste : (2 ; 5) appartient au
nuage, mais \bar{y} = 6.]]>G(6 ; 18)]]>Division oubliée : 6 et 18 sont les sommes des
coordonnées ; on divise par l'effectif 3.]]>G(4 ; 10)]]>Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes
les coordonnées.]]>G(2 ; 6)]]>Bonne réponse : \bar{x} = \dfrac{6}{3} = 2 et
\bar{y} = \dfrac{18}{3} = 6.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q02 : Le sens des « moindres carrés »Que minimise la droite de régression des moindres carrés
parmi toutes les droites du plan ?]]>Moindres carrés : minimiser ∑ (yᵢ - (axᵢ + b))².
Les carrés évitent les compensations de signes et pénalisent
les grands écarts. La droite obtenue passe par le point
moyen.]]>1.00.00truetrueabcLa longueur du segment de droite couvrant le nuage]]>Erreur : une droite est illimitée, et la portion
couvrant le nuage ne dépend que des abscisses extrêmes ;
rien à minimiser ici.]]>Le nombre de points situés au-dessus de la droite]]>Erreur : aucun comptage : c'est une somme de carrés
d'écarts qui est minimisée.]]>La distance entre le premier et le dernier point]]>Erreur : ces deux points n'ont aucun rôle privilégié :
tous les points comptent, par leurs écarts à la droite.]]>La somme des carrés des écarts verticaux à la droite]]>Bonne réponse : pour chaque point du nuage, on mesure
l'écart vertical (résidu) ; la droite de régression rend
minimale la somme de leurs carrés.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q03 : Utiliser une droite de régressionLa calculatrice fournit la droite de régression y = 2{,}4x + 10
pour un nuage dont les valeurs de x sont comprises entre 0 et
20. Quelle estimation de y obtient-on pour x = 15 ?]]>On utilise l'ajustement pour interpoler, quand x est dans la
plage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici
x = 15 est dans [0 ; 20] : c'est une interpolation.]]>1.00.00truetrueabc46]]>Bonne réponse : 2{,}4 \times 15 + 10 = 46, une
interpolation à l'intérieur de la plage observée.]]>36]]>Constante oubliée : 2{,}4 \times 15 = 36, il reste à
ajouter 10.]]>25]]>Coefficient directeur ignoré : 15 + 10 ne tient pas
compte de la pente 2{,}4.]]>Aucune, x = 15 n'ayant pas été observé]]>Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la
régression, surtout à l'intérieur de la plage des données.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q04 : Lire un coefficient de corrélationPour un nuage de points, la calculatrice affiche un
coefficient de corrélation r = -0{,}98. Comment
l'interpréter ?]]>Coefficient de corrélation : -1 ≤ r ≤ 1. |r|
proche de 1 : nuage presque aligné (ajustement affine
pertinent) ; proche de 0 : pas de lien affine. Signe
= sens de la pente.]]>1.00.00truetrueabcUne erreur de calcul, un coefficient est toujours
positif]]>Erreur : r vit dans [-1 ; 1] ; son signe porte
le sens de la relation.]]>Un lien très faible, car r est négatif]]>Erreur : la force du lien se lit sur |r| (0{,}98 :
très fort) ; le signe n'indique que le sens.]]>98\ % des points sont sous la droite]]>Erreur : r ne compte aucun pourcentage de points ; il
mesure la qualité de l'alignement affine du nuage.]]>Un lien affine très fort et décroissant]]>Bonne réponse : |r| proche de 1 : le nuage est
presque aligné sur une droite ; signe négatif : cette
droite descend (quand x monte, y descend).]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q05 : Quand l'ajustement affine est-il pertinent ?Deux études donnent r_1 = 0{,}99 et r_2 = 0{,}30. Que
peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement
affine ?]]>Réflexe avant tout ajustement : regarder le nuage et
|r|. Proche de 1 : la droite résume bien ; loin de 1 :
chercher un autre modèle (ou admettre l'absence de lien).]]>1.00.00truetrueabcTrès pertinent pour la première, douteux pour la
seconde]]>Bonne réponse : |r₁| proche de 1 : les données
suivent de près une droite ; |r_2| = 0{,}30 : le nuage
est diffus, une droite résumerait mal.]]>Le second est meilleur, car plus proche de 0]]>Contresens : r proche de 0 signale l'absence de
lien affine, pas sa qualité.]]>Aucun des deux : seul r = 1 exactement autorise
l'ajustement]]>Trop exigeant : les données réelles ne donnent jamais
r = 1 ; 0{,}99 est excellent.]]>Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs]]>Erreur : le signe ne juge pas la qualité ; c'est la proximité de |r| à 1 qui compte.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q06 : Se ramener à l'affine par changement de variableUn nuage (xᵢ ; yᵢ) suit une tendance exponentielle
y = k aˣ. Quel changement de variable ramène à un
ajustement affine ?]]>Linéarisation (au programme) : y = k aˣ ⇒ ln y = ln k + (ln a) x. Si le nuage (x ; ln y) est
presque aligné, le modèle exponentiel est validé et ses
paramètres se lisent sur la droite.]]>1.00.00truetrueabcPoser z = y²]]>Erreur : élever au carré accentue la courbure au lieu de
la redresser. C'est le logarithme qui linéarise une
exponentielle.]]>Poser z = ln y]]>Bonne réponse : alors z = ln k + xln a, affine en
x. Le logarithme transforme le modèle multiplicatif en
modèle additif : le nuage (x ; ln y) s'aligne, et
la régression s'applique.]]>Aucun, un nuage courbé ne s'ajuste jamais]]>Erreur : c'est tout l'intérêt du programme : bien des
modèles se ramènent à l'affine par un changement de
variable adapté.]]>Poser z = 1/y]]>Erreur : l'inverse convient à d'autres formes (du type
y = 1/ax + b), pas à l'exponentielle.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q07 : Les limites de l'extrapolationUne droite de régression ajuste très bien (r = 0{,}99) la
température moyenne d'un lieu selon l'année, observée de
2000 à 2020. Peut-on l'utiliser pour prédire la
température en 2100 ?]]>Interpolation : fiable ; extrapolation : à manier avec un
regard critique, d'autant plus que l'horizon s'éloigne
(thème du programme, notamment sur le climat). Le modèle
décrit les données, pas l'avenir garanti.]]>1.00.00truetrueabcNon, une droite de régression ne sert jamais à prédire]]>Trop fort : prédire est l'un de ses usages ; c'est la distance aux données qui commande la confiance.]]>Avec de grandes réserves, c'est une extrapolation
lointaine]]>Bonne réponse : la tendance peut changer. Le bon
ajustement vaut sur la plage observée ; à 80 ans
de distance, rien ne garantit la persistance de la
tendance (regard critique exigé par le programme,
exemple climatique compris).]]>Oui, sans réserve, r = 0{,}99 garantit la prédiction]]>Erreur : r mesure l'alignement passé, pas la
validité future du modèle. Extrapoler loin est toujours
fragile.]]>Oui, à condition d'utiliser plus de décimales]]>Erreur : la précision numérique ne répare pas
l'incertitude du modèle hors de son domaine.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q08 : La droite passe par le point moyenUn nuage a pour point moyen G(4 ; 11) et la droite des
moindres carrés a pour pente 2. Quelle est l'équation de cette
droite ?]]>La droite des moindres carrés passe par le point moyen
G(\bar{x}\,;\,\bar{y}). Avec la pente, l'équation s'en déduit :
y = 2x + 3.]]>1.00.00truetrueabcy = 2x - 3]]>Erreur de signe : b = 11 - 8 = 3.]]>y = 2x + 11]]>Ordonnée de G prise pour ordonnée à l'origine : on impose le
passage par G, soit 11 = 8 + b.]]>On ne peut pas conclure sans tous les points]]>La pente et le passage par G, propriété des moindres carrés,
déterminent entièrement la droite.]]>y = 2x + 3]]>Bonne réponse : la droite passe par G, donc
11 = 2 × 4 + b et b = 3.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q09 : Corrélation n'est pas causalitéSur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre
de cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés
(r = 0{,}9). Peut-on conclure que les médecins provoquent
la maladie ?]]>Thème explicite du programme : distinguer corrélation et
causalité. Devant un r élevé, examiner : facteur commun
(ici la population), causalité inverse, coïncidence :
prédire n'est pas expliquer.]]>1.00.00truetrueabcOui, r = 0{,}9 est une preuve causale forte]]>Erreur fondamentale : r mesure une association,
jamais un mécanisme. Aucun seuil de r ne crée de la
causalité.]]>Oui, si la droite de régression est croissante]]>Erreur : le sens de la pente n'ajoute rien : facteur
commun, hasard ou causalité inverse restent des
explications candidates.]]>Non, la population des communes explique les deux]]>Bonne réponse : facteur commun classique, la taille de
la population explique vraisemblablement les deux
variables : les grandes communes ont plus de médecins et plus de cas. La corrélation est réelle, la
causalité illusoire.]]>Non, les corrélations n'ont jamais aucun sens]]>Trop fort : la corrélation décrit un lien réel
(utile pour prédire) ; c'est son interprétation causale
qui exige d'autres arguments.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q10 : Bien lire un résiduAvec l'ajustement y = 2{,}4x + 10, une observation donne
x = 5 et y = 25. Que vaut le résidu, défini comme valeur
observée moins valeur prédite ?]]>Résidu = observé - prédit : positif si le point est au-dessus
de la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés
minimisent la somme des carrés des résidus.]]>1.00.00truetrueabc20]]>Comparaison de y à x : 25 - 5 n'a pas de sens ; on
compare y observé à y prédit, 22.]]>3]]>Bonne réponse : la prédiction vaut
2{,}4 \times 5 + 10 = 22, d'où le résidu
25 - 22 = 3.]]>0]]>Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;
elle passe au plus près des points, pas par chacun.]]>-3]]>Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins
valeur prédite, 25 - 22.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q11 : Obtenir la régression en pratiqueComment obtient-on en pratique la droite de régression d'une
série de données (au programme) ?]]>Position du programme : déterminer la droite à l'aide de
la calculatrice ou d'un logiciel, puis interpréter (pente,
r, prédictions). La démonstration des formules reste une
possibilité, pas une exigence.]]>1.00.00truetrueabcEn reliant le premier et le dernier point du nuage]]>Erreur : cette corde dépend de deux points seulement et
ignore tout le reste du nuage.]]>En traçant à main levée, seule méthode admise]]>Erreur : l'ajustement au jugé est une première approche,
mais la droite des moindres carrés se calcule
exactement, et les outils la fournissent.]]>Par la calculatrice, un tableur ou Python]]>Bonne réponse : la détermination est instrumentée
(capacité attendue) : on saisit les listes, l'outil
renvoie la pente a, l'ordonnée à l'origine b (et
r) ; à nous l'interprétation.]]>Il faut connaître par cœur les formules de a et b]]>Erreur : aucune formule n'est exigée : l'accent porte
sur l'usage des outils et l'interprétation des résultats.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q12 : La démarche complète d'un ajustementQuel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série
de données à deux variables ?]]>Démarche type : nuage → choix du modèle (affine direct
ou changement de variable) → ajustement outillé et r
→ interprétation critique (interpolation, extrapolation
prudente, corrélation ≠ causalité).]]>1.00.00truetrueabcPrédire d'abord la valeur cherchée, puis ajuster un modèle
qui confirme la prédiction]]>Erreur : aucune prédiction sans modèle ajusté et validé ;
ajuster après coup pour confirmer une prédiction inverse la
démarche.]]>Calculer r d'abord, et ne représenter le nuage que si
r est trop faible pour conclure]]>Erreur : un même r peut cacher des nuages très
différents (courbure, point aberrant) : la
représentation graphique vient en premier.]]>Supprimer les points qui s'écartent de la tendance, puis
ajuster sur les points restants]]>Erreur méthodologique : écarter des données pour
embellir l'ajustement fausse l'étude (un point aberrant
se discute, ne se supprime pas en silence).]]>Tracer le nuage, choisir la forme du modèle, ajuster et
calculer r, puis interpréter]]>Bonne réponse : le regard sur le nuage précède tout
calcul et guide le choix du modèle (affine direct ou à
linéariser par changement de variable) ; le coefficient r
valide l'ajustement ; l'interprétation conclut, avec des
prédictions prudentes et en distinguant corrélation et
causalité.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q13 : Un coefficient de $-0{,}95$Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient
de corrélation r = -0{,}95. Comment l'interpréter ?]]>Lire r en deux temps : |r| = force du lien linéaire
(0 = aucun, 1 = parfait) ; le signe donne le sens (croissant ou décroissant). Et jamais de causalité sur la seule foi du
coefficient.]]>1.00.00truetrueabcL'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé]]>Trop dit : la corrélation mesure l'ASSOCIATION : la
causalité (ici plausible physiquement) demande d'autres
arguments que le seul r.]]>Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être
négatif]]>Erreur : r vit dans [-1\ ;\ 1] : les valeurs
négatives décrivent les liens décroissants, parfaitement
légitimes.]]>Lien très faible, car le coefficient est négatif]]>Confusion signe/force : la force se lit sur |r| =
0{,}95 (très forte) : le signe donne seulement le SENS
du lien.]]>Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude
monte, la température descend]]>Bonne réponse : |r| proche de 1 : lien fort ; signe
négatif : les deux variables varient en sens contraires.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q14 : Un coefficient proche de $0$Un nuage de points donne r = 0{,}05. Que peut-on en
conclure ?]]>r ≈ 0 : pas d'alignement : soit indépendance, soit
lien NON linéaire : seul le graphique tranche. Règle d'or :
jamais de conclusion sur r sans avoir vu le nuage.]]>1.00.00truetrueabcPas de lien linéaire entre les variables]]>Bonne réponse : un lien courbe reste possible. r ne
mesure QUE l'alignement : une parabole parfaite peut
donner r ≈ 0 : toujours regarder le nuage.]]>Un lien faible mais croissant entre les variables]]>Sur-lecture : à 0{,}05, le signe n'a plus de
signification : le nuage est un brouillard (ou une
courbe).]]>Les données sont fausses ou mal saisies]]>Erreur : l'absence de lien linéaire est un résultat
parfaitement valide : deux variables peuvent n'avoir
rien à voir.]]>Aucun lien d'aucune sorte entre les variables]]>Trop fort : r est aveugle aux liens non
linéaires : un nuage en U a un r presque nul et un
lien très net.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q15 : Prévoir avec la droite de régressionLa droite de régression a pour équation y = 2x + 1. Quelle
valeur le modèle prévoit-il pour x = 7 ?]]>Prévoir avec la régression, c'est remplacer x par la valeur
voulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des
données, fragile au-delà.]]>1.00.00truetrueabcAucune sans valeur observée en x = 7]]>La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas
observé.]]>y = 14]]>Constante oubliée : 14 = 2 × 7, il reste à
ajouter 1.]]>y = 15]]>Bonne réponse : 2 × 7 + 1 = 15.]]>y = 9]]>Addition à la place du produit : 2x signifie
2 × x.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q16 : Le signe de $r$ et la penteQuel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de
corrélation r et la droite de régression ?]]>Le signe de r est celui de la pente de la droite de régression, et il donne le sens du lien. La force, elle, appartient à |r| : une droite peut
être pentue avec un nuage très dispersé (petit |r|).]]>1.00.00truetrueabcIls sont toujours de signes opposés]]>Erreur : un nuage montant donne une droite montante ET
un r positif : les deux signes coïncident.]]>r et la pente de la droite ont toujours le même signe]]>Bonne réponse : lien croissant : r > 0 ET droite
montante ; lien décroissant : les deux négatifs : les
deux indicateurs racontent le même sens.]]>Aucun lien : r et la droite sont indépendants]]>Erreur : les deux sortent des mêmes données : le sens du
lien (signe) leur est commun (r ajoute la mesure de la
force).]]>r est le carré de la pente]]>Erreur : aucune formule de ce type (un carré serait
toujours positif, or r peut être négatif) : seul le
SIGNE est partagé.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q17 : Signe d'un résiduLe modèle y = 2x + 1 prévoit 15 pour x = 7, et
l'on observe y = 14. Que vaut le résidu, observé moins
prédit, et que signifie son signe ?]]>Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif
quand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme
des carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont
normaux.]]>1.00.00truetrueabc1 : le point est au-dessus de la droite]]>Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,
14 - 15 = -1.]]>-1 : le point est en dessous de la droite]]>Bonne réponse : 14 - 15 = -1.]]>29 : la somme des deux valeurs]]>Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme.]]>0 : un bon modèle n'a aucun écart]]>Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne
passe pas par tous les points.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q18 : Quand $|r| = 1$Que signifie un coefficient de corrélation égal à -1
exactement ?]]>Échelle de |r| : 1 = alignement parfait, 0 = aucun
alignement, entre les deux : un continuum. En pratique, les
données réelles vivent entre 0 et 1 strictement : ± 1 signale souvent une variable dupliquée.]]>1.00.00truetrueabcLes points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite
décroissante]]>Bonne réponse : |r| = 1 : alignement exact (tous les
résidus nuls) ; signe négatif : droite qui descend. Cas
limite rarissime sur données réelles.]]>Les variables n'ont aucun lien]]>Contresens complet : l'absence de lien linéaire
correspond à r ≈ 0 : ± 1 est le lien le plus
fort possible.]]>La moitié des points est au-dessus de la droite]]>Erreur : à |r| = 1, AUCUN point ne quitte la droite :
tous les résidus sont nuls.]]>Il y a forcément une erreur : r ne peut pas atteindre
-1]]>Erreur : -1 est la borne atteignable de
l'intervalle [-1\ ;\ 1] : il suffit de points
exactement alignés en descente.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q19 : Interpréter la pente d'une régressionUne régression donne y = 1{,}8x + 12, où x est une durée en
heures et y un chiffre d'affaires en milliers d'euros. Que signifie
1{,}8 ?]]>Le coefficient directeur d'une droite de régression s'interprète toujours
avec les unités des deux variables : tant de y par unité de x.]]>1.00.00truetrueabcLe chiffre d'affaires augmente de 180 %]]>Le modèle est additif : le coefficient s'exprime en milliers d'euros
par heure, pas en pourcentage.]]>Le chiffre d'affaires initial vaut 1 800 euros]]>Cette valeur est donnée par l'ordonnée à l'origine, soit 12 000
euros.]]>Une heure de plus rapporte 1 800 euros]]>Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation de y pour
une unité de x, ici en milliers d'euros.]]>Le chiffre d'affaires moyen vaut 1 800 euros]]>La moyenne se lit au point moyen du nuage, pas sur la pente.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q20 : Un coefficient de corrélation de $0{,}3$Une étude donne un coefficient de corrélation linéaire de 0{,}3.
Que conclure ?]]>Le coefficient de corrélation mesure l'intensité d'un lien linéaire, entre
-1 et 1. Une valeur proche de zéro n'exclut ni lien d'une autre forme,
ni dépendance.]]>1.00.00truetrueabcLa première variable cause la seconde]]>Aucun coefficient de corrélation n'établit une causalité.]]>Le lien linéaire est fort]]>Un lien fort demanderait une valeur absolue proche de 1.]]>Le lien linéaire est faible]]>Bonne réponse : loin de 1 en valeur absolue, le coefficient signale un
nuage peu aligné.]]>Les variables sont indépendantes]]>Un lien non linéaire peut exister malgré un coefficient faible : une
parabole en donne l'exemple.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q21 : Un point toujours sur la droiteQuel point appartient nécessairement à la droite de régression ?]]>La droite de régression passe par le point moyen du nuage. Cette propriété
sert à vérifier un calcul et à retrouver l'ordonnée à l'origine.]]>1.00.00truetrueabcLe point moyen du nuage]]>Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe toujours par le
point de coordonnées les deux moyennes.]]>Le premier point du nuage]]>Aucun point observé n'appartient nécessairement à la droite.]]>L'origine du repère]]>La droite y passe seulement si l'ordonnée à l'origine est nulle, cas
particulier.]]>Le point le plus éloigné du nuage]]>Ce point a au contraire un résidu important, donc un écart marqué à la
droite.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q22 : Résidu à partir d'une prédiction donnéeOn appelle résidu la différence entre la valeur observée et la
valeur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour x = 5, la
valeur observée vaut 22 et le modèle prédit 19. Que
vaut le résidu ?]]>Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur
prédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,
il est en dessous.]]>1.00.00truetrueabc41]]>Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une
somme.]]>3]]>Bonne réponse : le résidu vaut 22 - 19 = 3.]]>-3]]>Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la
valeur observée.]]>5]]>Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa
valeur.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q23 : Les limites d'une prévisionUne régression établie sur des durées comprises entre 1 et 8
heures est utilisée pour prédire à 40 heures. Quel est le risque ?]]>L'interpolation reste dans la plage des données observées, l'extrapolation
en sort. La seconde exige une justification, faute de quoi elle n'a aucune
garantie.]]>1.00.00truetrueabcLe modèle n'est pas validé aussi loin]]>Bonne réponse : rien ne garantit que la relation reste affine si loin
des données.]]>Le coefficient de corrélation s'en trouve changé]]>Ce coefficient est calculé sur les données observées, il ne dépend pas
des prévisions.]]>Le calcul devient impossible]]>Le calcul se fait sans difficulté : c'est son interprétation qui pose
problème.]]>La droite cesse d'être une droite]]>La droite se prolonge indéfiniment : c'est le phénomène étudié qui
n'est plus décrit.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q24 : Se ramener à un ajustement affineUn nuage suit une tendance exponentielle. Quel changement de variable
permet un ajustement affine ?]]>Le logarithme transforme les produits en sommes : appliqué à une relation
exponentielle, il la rend affine, ce qui autorise une régression
classique.]]>1.00.00truetrueabcRemplacer x par ln x]]>Ce changement convient à une tendance logarithmique, pas
exponentielle.]]>Remplacer x par 1/x]]>Ce changement sert pour une tendance hyperbolique.]]>Remplacer y par ln y]]>Bonne réponse : si y = kaˣ, alors ln y = ln k + xln a, une
relation affine en x.]]>Remplacer y par y²]]>Élever au carré accentue la courbure au lieu de la redresser.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q25 : Signe du coefficient de corrélationUn coefficient de corrélation vaut -0{,}88.
Que peut-on en dire ?]]>La valeur absolue du coefficient mesure la force du lien linéaire, son
signe donne le sens. Ce signe est aussi celui de la pente de la droite de
régression.]]>1.00.00truetrueabcLe lien est faible et décroissant]]>Une valeur absolue de 0{,}88 signale au contraire un nuage très
aligné.]]>Le lien est fort et croissant]]>Le signe négatif impose une pente négative, donc une décroissance.]]>Les variables ne sont pas liées]]>Un coefficient aussi proche de -1 traduit une relation nette.]]>Le lien est fort et décroissant]]>Bonne réponse : la valeur absolue proche de 1 indique un lien fort, le
signe négatif un sens décroissant.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q26 : Obtenir une régression en pratiqueComment obtient-on l'équation d'une droite de régression sur un jeu de
données réel ?]]>Les coefficients de la droite de régression se calculent à partir des
moyennes, des écarts-types et de la covariance. En pratique, calculatrice
et tableur les fournissent directement.]]>1.00.00truetrueabcEn calculant la moyenne des ordonnées]]>Cette moyenne donne une horizontale, qui ne rend compte d'aucune
tendance.]]>En traçant la droite à la règle sur le nuage]]>Un tracé à main levée donne une approximation, pas la droite qui
minimise les écarts.]]>En reliant le premier et le dernier point]]>Cette droite ignore tous les points intermédiaires, y compris les plus
nombreux.]]>Par la fonction dédiée d'une calculatrice ou d'un tableur]]>Bonne réponse : les coefficients se calculent par des formules que
l'outil applique directement.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q27 : Corrélation et causalitéLes ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées.
Que conclure ?]]>Une corrélation forte peut venir d'une causalité, d'une causalité inverse,
d'une variable cachée ou du hasard. Seule une démarche expérimentale
permet de trancher.]]>1.00.00truetrueabcLes noyades augmentent les ventes de glaces]]>Inverser le sens de la causalité ne la justifie pas davantage.]]>Les glaces provoquent les noyades]]>Aucune corrélation n'établit une causalité, si forte soit-elle.]]>Une cause commune explique les deux]]>Bonne réponse : la chaleur estivale augmente à la fois la consommation
de glaces et la fréquentation des plages.]]>La corrélation est une coïncidence sans cause]]>Il y a bien une explication : la variable cachée qu'est la saison.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q28 : Prévision et nature de l'estimationUne régression établie sur des valeurs de x comprises entre 0
et 10 donne y = 2{,}5x + 4. Quelle prévision obtient-on pour
x = 6, et de quelle nature est-elle ?]]>Une prévision remplace x dans l'équation de la droite. Hors de
la plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se
prolonge : elle demande un regard critique.]]>1.00.00truetrueabc19, une interpolation]]>Bonne réponse : 2{,}5 \times 6 + 4 = 19, et x = 6
se situe par rapport à la plage [0 ; 10] des données.]]>15, une interpolation]]>Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter 4 à
15.]]>15, une extrapolation]]>Deux erreurs : la constante 4 est oubliée et la nature de
l'estimation est inversée.]]>19, une extrapolation]]>Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données
observées et l'on extrapole au-delà.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q29 : Quand le coefficient vaut exactement $1$Que signifie un coefficient de corrélation égal à 1 ?]]>Un coefficient valant 1 ou -1 signale un alignement parfait. Le signe
donne le sens de la relation, jamais la valeur de la pente.]]>1.00.00truetrueabcLa pente de la droite de régression vaut 1]]>Le coefficient de corrélation ne donne pas la valeur de la pente, mais
son signe et la qualité de l'alignement.]]>Les deux variables sont égales]]>L'égalité n'est pas requise : y = 3x + 7 donne aussi un coefficient
de 1.]]>Les points sont alignés, en croissant]]>Bonne réponse : l'alignement est parfait, et la pente est positive.]]>Le nuage ne comporte qu'un seul point]]>Le coefficient ne se calcule pas sur un point unique, faute de
dispersion.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q30 : L'ordre des étapesQuelle est la première étape d'une étude d'ajustement ?]]>La démarche va du nuage à la prévision : représenter, juger de la forme,
ajuster, mesurer la qualité, puis seulement prévoir en restant dans la
plage des données.]]>1.00.00truetrueabcÉcrire l'équation de la droite]]>Écrire une droite avant d'avoir constaté une tendance affine met la
conclusion avant l'analyse.]]>Faire une prévision]]>La prévision est la dernière étape, et seulement si le modèle a été
validé.]]>Calculer le coefficient de corrélation]]>Ce coefficient ne mesure qu'un lien linéaire : il ne se lit
correctement qu'après avoir vu le nuage.]]>Représenter le nuage de points]]>Bonne réponse : la forme du nuage décide du type d'ajustement à
tenter.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q31 : Lire la sortie de la calculatricePour une série de données, la calculatrice affiche a = 1{,}25,
b = -3{,}4 et r = 0{,}97. Quelle est l'équation de la droite de
régression de y en x ?]]>La calculatrice fournit trois nombres : la pente a,
l'ordonnée à l'origine b et le coefficient de corrélation
r. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si
elle mérite d'être utilisée.]]>1.00.00truetrueabcy = 1{,}25x + 3{,}4]]>Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche
b = -3{,}4, qu'il faut recopier tel quel.]]>y = -3{,}4x + 1{,}25]]>Coefficients échangés : 1{,}25 est la pente et -3{,}4
l'ordonnée à l'origine, pas l'inverse.]]>y = 1{,}25x - 3{,}4]]>Bonne réponse : la machine donne la pente a et l'ordonnée
à l'origine b de la droite y = ax + b.]]>y = 0{,}97x - 3{,}4]]>Erreur : 0{,}97 est le coefficient de corrélation, qui juge
l'alignement et n'entre pas dans l'équation.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q32 : Un coefficient supérieur à $1$Un élève annonce avoir trouvé un coefficient de corrélation
égal à 1{,}2. Que faut-il en penser ?]]>Le coefficient de corrélation est encadré par -1 et 1.
Toute valeur hors de cet intervalle signale une erreur, et non
un lien exceptionnellement fort.]]>1.00.00truetrueabcC'est impossible, r reste entre -1 et 1]]>Bonne réponse : le coefficient de corrélation appartient
toujours à [-1 ; 1]. Une telle valeur vient d'une
erreur de saisie ou de lecture.]]>La pente de la droite de régression vaut 1{,}2]]>Confusion : pente et coefficient de corrélation partagent
leur signe, mais jamais leur valeur.]]>Le lien est fort et croissant, comme pour 0{,}9]]>Erreur : la valeur annoncée sort de l'intervalle possible,
elle ne s'interprète donc pas.]]>Le lien est meilleur qu'un alignement parfait]]>Erreur : 1 correspond déjà à des points exactement
alignés, on ne peut pas faire mieux.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q33 : Comparer deux coefficientsDeux séries donnent respectivement r_1 = -0{,}92 et
r_2 = 0{,}68. Dans laquelle le nuage est-il le plus proche
d'une droite ?]]>Lire un coefficient de corrélation se fait en deux temps : sa
valeur absolue donne la force du lien linéaire, son signe en
donne le sens.]]>1.00.00truetrueabcLa seconde, son coefficient est positif]]>Confusion signe et force : un coefficient positif décrit un
lien croissant, pas un lien plus net.]]>La première, sa valeur absolue est plus grande]]>Bonne réponse : la force du lien se lit sur |r|, et
0{,}92 dépasse 0{,}68. Le signe indique seulement que
la droite descend.]]>La seconde, 0{,}68 dépasse -0{,}92]]>Comparaison algébrique : ce sont les valeurs absolues qu'il
faut comparer, pas les nombres signés.]]>Aucune, des signes contraires ne se comparent pas]]>Erreur : deux coefficients se comparent toujours, à
condition de regarder leurs valeurs absolues.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q34 : Retrouver la valeur préditeLe résidu est la différence entre la valeur observée et la
valeur prédite, dans cet ordre. Pour x = 5, l'observation
vaut 17 et le résidu 2. Que prédit le modèle ?]]>Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule
relation : le résidu est l'observation moins la prédiction.
Connaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le
troisième.]]>1.00.00truetrueabc19]]>Opération inversée : le résidu se retranche à
l'observation, il ne s'y ajoute pas.]]>17]]>Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement
que le modèle ne prédit pas la valeur observée.]]>15]]>Bonne réponse : la prédiction vaut 17 - 2,
c'est-à-dire 15.]]>2]]>Résidu recopié : 2 mesure l'écart au modèle, ce n'est
pas la valeur prédite.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q35 : Un coefficient compatible avec la droiteLa droite de régression d'une série a pour équation
y = -1{,}4x + 30. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son
coefficient de corrélation ?]]>L'équation de la droite donne le signe du coefficient de
corrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes
identiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très
dispersé.]]>1.00.00truetrueabc-1{,}4]]>Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,
mais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison.]]>0{,}87]]>Erreur de signe : la pente vaut -1{,}4, le coefficient porte
donc le même signe qu'elle.]]>0]]>Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans
tendance, incompatible avec une pente de -1{,}4.]]>-0{,}87]]>Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même
signe que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas 1.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q36 : Retrouver la moyenne des ordonnéesLa moyenne des abscisses d'un nuage vaut \bar{x} = 6 et sa
droite de régression a pour équation y = 1{,}5x + 4. Que
vaut la moyenne des ordonnées \bar{y} ?]]>La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen
G(\bar{x}\,;\,\bar{y}). Cette propriété relie les deux
moyennes et l'équation de la droite.]]>1.00.00truetrueabc6]]>Erreur : 6 est la moyenne des abscisses, et les deux
moyennes n'ont aucune raison de coïncider.]]>13]]>Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc
\bar{y} = 1{,}5 \times 6 + 4 = 13.]]>9]]>Terme constant oublié : après 1{,}5 \times 6 =
9, il reste à ajouter 4.]]>4]]>Ordonnée à l'origine recopiée : 4 est la valeur prédite
en x = 0, pas en x = 6.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q37 : Remonter à l'antécédentLe modèle ajusté est y = 2{,}5x + 10. Pour quelle valeur de
x prévoit-il y = 45 ?]]>Prévoir y à partir de x demande un calcul, retrouver x à
partir de y demande de résoudre une équation du premier
degré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage
des données.]]>1.00.00truetrueabc18]]>Terme constant ignoré : diviser 45 par 2{,}5 revient à
supposer que la droite passe par l'origine.]]>22]]>Signe mal géré : le terme constant change de signe en
passant de l'autre côté, d'où 2{,}5x = 35.]]>35]]>Division oubliée : 35 est la valeur de 2{,}5x,
il reste à diviser par 2{,}5.]]>14]]>Bonne réponse : on résout 2{,}5x + 10 = 45, soit
2{,}5x = 35, puis x = 14.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q38 : Une pente négative en contextePour un article, la régression donne y = -0{,}8x + 45, où x
est le prix en euros et y le nombre d'articles vendus par
jour. Que signifie le coefficient -0{,}8 ?]]>Une pente s'interprète avec les unités des deux variables :
tant d'articles par euro. Son signe donne le sens de la
variation, sa valeur absolue son ampleur.]]>1.00.00truetrueabcLes ventes diminuent de 0{,}8\ \% par euro de plus]]>Le modèle est additif : la pente s'exprime en articles par
euro, pas en pourcentage.]]>Un euro de plus fait gagner 0{,}8 vente par jour]]>Signe négligé : le coefficient est négatif, les ventes
reculent quand le prix monte.]]>Un euro de plus fait perdre 0{,}8 vente par jour]]>Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation
de y quand x augmente d'une unité, ici une perte de
0{,}8 vente par euro supplémentaire.]]>Baisser le prix de 0{,}8 euro fait vendre un article]]>Rapport inversé : il faudrait baisser le prix de 1{,}25
euro pour espérer une vente de plus.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q39 : Pourquoi élever les écarts au carréDans la méthode des moindres carrés, pourquoi élève-t-on les
résidus au carré au lieu de les additionner tels quels ?]]>Les moindres carrés minimisent ∑ (yᵢ - (axᵢ + b))².
Élever au carré supprime les compensations de signe et
pénalise fortement les grands écarts.]]>1.00.00truetrueabcParce que des écarts contraires se compenseraient]]>Bonne réponse : une somme d'écarts signés peut être nulle
pour une droite très mal placée. Le carré rend chaque écart
positif et empêche ces compensations.]]>Parce que la somme dépendrait du nombre de points]]>Hors sujet : le nombre de points intervient de la même
façon pour toutes les droites comparées.]]>Parce qu'un résidu négatif n'aurait aucun sens]]>Erreur : un résidu négatif a un sens très clair, il situe
le point en dessous de la droite.]]>Parce que le carré atténue les points très éloignés]]>Effet contraire : le carré accentue le poids des points
situés loin de la droite.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q40 : Prévoir sans lien linéaireSur une série de données, le coefficient de corrélation vaut
0{,}03. Peut-on se servir de la droite de régression pour
prévoir y ?]]>Une droite de régression se calcule presque toujours, même sur
un nuage informe. Le coefficient de corrélation sert justement
à décider si elle mérite d'être utilisée.]]>1.00.00truetrueabcOui, la droite existe donc sa prévision est valable]]>Erreur : l'existence du calcul ne garantit pas sa
pertinence, c'est |r| qui en décide.]]>Oui, à condition de rester dans la plage observée]]>Insuffisant : rester dans la plage protège de
l'extrapolation, pas d'un modèle qui ne décrit rien.]]>Non, sans tendance affine on ne prévoit rien]]>Bonne réponse : le calcul fournit bien une droite, mais un
nuage sans alignement ne se résume pas par elle et la
valeur prévue serait arbitraire.]]>Non, la droite ne peut pas être calculée ici]]>Erreur : la droite se calcule dès que les données varient,
c'est son interprétation qui pose problème.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q41 : Un nuage nettement incurvéLe nuage d'une série dessine une courbe régulière et nettement
incurvée, et le coefficient de corrélation vaut 0{,}82. Que
faire ?]]>Le coefficient de corrélation ne mesure qu'un alignement.
Devant un nuage courbe, la démarche consiste à changer de
variable, par exemple en posant z = ln y, puis à ajuster le
nouveau nuage.]]>1.00.00truetrueabcRetirer les points les plus éloignés de la droite]]>Erreur de méthode : supprimer des données pour embellir un
ajustement fausse l'étude.]]>Garder la droite, car 0{,}82 est proche de 1]]>Erreur : un coefficient honorable n'efface pas une
courbure visible, et le graphique prime sur le nombre.]]>Conclure qu'aucun modèle ne convient ici]]>Trop pessimiste : la régularité de la courbe est au
contraire le signe qu'un modèle existe.]]>Chercher un changement de variable adapté]]>Bonne réponse : une courbure nette signale un modèle non
affine. Un changement de variable bien choisi ramène
souvent le nuage à un alignement.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q42 : Des points tous sur la droiteTous les points d'un nuage sont exactement situés sur la droite
d'équation y = -3x + 5. Que vaut le coefficient de
corrélation de cette série ?]]>Un alignement parfait donne r = 1 si la droite monte et
r = -1 si elle descend, quelle que soit la valeur de la
pente.]]>1.00.00truetrueabc1]]>Signe opposé : la pente vaut -3, le coefficient de
corrélation porte le même signe qu'elle.]]>-3]]>Pente recopiée : le coefficient de corrélation mesure
l'alignement, pas l'inclinaison de la droite.]]>-1]]>Bonne réponse : un alignement exact donne |r| = 1, et le
signe est celui de la pente -3.]]>0]]>Contresens : 0 décrit un nuage sans alignement, alors
qu'ici tous les points sont sur la droite.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q43 : Un lien à contre-courantDans un lycée, le nombre d'heures de soutien suivies et la
moyenne obtenue sont corrélés négativement : plus un élève
suit d'heures de soutien, plus sa moyenne est basse. Que montre
cet exemple ?]]>Une corrélation ne porte aucune flèche : elle ne dit pas
laquelle des deux variables agit sur l'autre. L'exemple du
soutien montre que le sens réel peut être l'inverse du sens
attendu.]]>1.00.00truetrueabcUne corrélation négative révèle un calcul erroné]]>Erreur : une corrélation négative est un résultat
ordinaire, qui décrit deux variables évoluant en sens
contraires.]]>Le lien joue peut-être en sens inverse]]>Bonne réponse : ce sont les résultats faibles qui
conduisent au soutien. Une corrélation ne dit pas dans quel
sens le lien fonctionne.]]>Le soutien scolaire fait baisser les résultats]]>Lecture causale hâtive : la corrélation montre une
association, pas un effet du soutien sur les notes.]]>Supprimer le soutien ferait remonter les moyennes]]>Décision infondée : elle repose sur une causalité qui n'a
pas été établie, et probablement inversée.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q44 : Revenir au modèle initialPour ajuster un nuage, on a posé z = ln y, et la régression
donne z = 0{,}4x + 1{,}2. Quelle expression de y en fonction
de x en découle ?]]>Un changement de variable se défait à la fin : après avoir
ajusté z = ln y par une droite, on écrit y = e^{ax + b},
soit y = eᵇ × (eᵃ)ˣ, un modèle exponentiel.]]>1.00.00truetrueabcy = 0{,}4x + 1{,}2]]>Changement de variable oublié : la régression porte sur
z = ln y, pas directement sur y.]]>y = \ln(0{,}4x + 1{,}2)]]>Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui
défait le logarithme, pas un second logarithme.]]>y = e^{0{,}4x + 1{,}2}]]>Bonne réponse : de \ln y = 0{,}4x + 1{,}2, on revient à y
en appliquant l'exponentielle aux deux membres.]]>y = e^{0{,}4x} + 1{,}2]]>Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre
de droite, ce qui donne un produit et non une somme.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q45 : Une prévision absurdeLes ventes mensuelles d'un magasin, relevées de 2020 à
2024, s'ajustent par une droite décroissante avec
r = -0{,}98. Prolongée jusqu'en 2035, cette droite annonce
un nombre de ventes négatif. Que conclure ?]]>Une extrapolation lointaine doit être confrontée au bon sens :
une prévision impossible, comme un effectif négatif, montre que
le modèle affine a dépassé son domaine de validité.]]>1.00.00truetrueabcSi loin des données, la prévision est à rejeter]]>Bonne réponse : la droite décrit la période observée. Une
prévision impossible signale que le modèle est sorti de son
domaine de validité.]]>La qualité de l'ajustement garantit cette prévision]]>Confusion : r juge l'alignement des données observées, il
ne dit rien du comportement futur.]]>Les ventes deviendront négatives, le calcul le démontre]]>Erreur : un calcul exact mené sur un modèle inadapté ne
démontre rien, et un nombre de ventes reste positif.]]>Il suffit de remplacer la prévision négative par zéro]]>Rafistolage : corriger le résultat ne corrige pas le
modèle, qui a cessé de décrire la situation.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q46 : Abscisse du point moyenLes abscisses des points d'un nuage sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Quelle est
l'abscisse du point moyen G ?]]>Le point moyen a pour coordonnées les moyennes \bar{x} et
\bar{y} des abscisses et des ordonnées du nuage.]]>1.00.00truetrueabc1, la première abscisse]]>Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.]]>3, la moyenne des abscisses]]>Bonne réponse : \bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3.]]>15, la somme des abscisses]]>Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.]]>5, le nombre de points]]>Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q47 : Quand un ajustement affine a du sensDans quel cas un ajustement affine d'un nuage de points est-il
pertinent ?]]>Avant d'ajuster, on regarde le nuage : la forme allongée justifie
le modèle affine.]]>1.00.00truetrueabcQuand les points sont approximativement alignés le long d'une droite]]>Bonne réponse : un nuage allongé, dont les points s'écartent peu
d'une droite, se résume bien par une fonction affine.]]>Dans tous les cas, la calculatrice fournissant toujours une droite]]>Erreur : la calculatrice calcule une droite quel que soit le
nuage ; c'est à l'utilisateur de juger si elle décrit bien les
données.]]>Quand les points dessinent une courbe en forme de U]]>Erreur : une droite ne peut pas suivre un nuage en U ; un autre
modèle, par exemple polynomial, convient mieux.]]>Quand le nuage comporte au moins dix points]]>Erreur : le nombre de points ne dit rien de la forme du nuage.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q48 : Un point par lequel passe la droite d'ajustementPar quel point la droite d'ajustement obtenue par la méthode des
moindres carrés passe-t-elle toujours ?]]>La droite des moindres carrés a pour équation y = ax + b avec
b = \bar{y} - a\bar{x} : elle contient G.]]>1.00.00truetrueabcL'origine du repère]]>Erreur : rien n'impose à la droite de passer par l'origine ; son
ordonnée à l'origine est calculée.]]>Le point moyen G(\bar{x} ; \bar{y})]]>Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe par le
point moyen du nuage ; c'est une propriété de la méthode.]]>Le premier point du nuage]]>Erreur : la droite ne passe en général par aucun point du
nuage.]]>Le point le plus proche du centre du nuage]]>Erreur : le point moyen n'est pas nécessairement un point du
nuage.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q49 : L'effet d'une valeur aberrante sur le point moyenLes ordonnées d'un nuage de cinq points sont 2, 3,
4, 5 et 16, la dernière étant une erreur de saisie.
Quel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?]]>Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux
valeurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de
l'ajustement.]]>1.00.00truetrueabcAucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes]]>C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la
moyenne, elle, les subit.]]>Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage]]>Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut.]]>Elle la porte à 16, la plus grande valeur]]>La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec
les autres.]]>Elle la porte à 6 au lieu de 3{,}5]]>Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut 6, celle
des quatre premières \dfrac{14}{4} = 3{,}5 ; une seule
valeur aberrante déplace nettement le point moyen.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q50 : Choisir un coefficient au vu d'un nuage[Figure : Nuage de dix points d'abscisses 1 à 10 : les ordonnées
décroissent régulièrement de 18,2 à 2,9, presque alignées sur
une droite descendante.]
Quelle valeur du coefficient de corrélation correspond au nuage de
points représenté ?
]]>Le signe de r donne le sens de la tendance, sa valeur absolue la
qualité de l'alignement : proche de 1, les points sont presque
alignés.]]>1.00.00truetrueabcr = 0{,}99]]>Signe faux : la tendance est décroissante, le coefficient est
négatif.]]>r = -0{,}99]]>Bonne réponse : les points sont presque alignés sur une droite
descendante, d'où r négatif et proche de -1.]]>r = -18]]>Le coefficient de corrélation est toujours compris entre -1
et 1.]]>r = -0{,}2]]>Lien trop faible : un tel coefficient correspond à un nuage
très dispersé.]]>Statistique à deux variables quantitatives — Q51 : Un nuage qui appelle un changement de variable[Figure : Nuage de sept points d'abscisses 0 à 6, d'ordonnées 2 ; 3 ; 4,5
; 6,8 ; 10,1 ; 15,2 ; 22,8 : chaque ordonnée vaut environ une
fois et demie la précédente, le nuage se courbe vers le haut.]
Le nuage de points représenté semble suivre une croissance de plus
en plus rapide. Quel ajustement est le plus pertinent ?
]]>Quand y est multiplié par un facteur constant à chaque pas de
x, ln y augmente d'une constante : l'ajustement affine de
ln y en x donne un modèle y = e^{ax + b}.]]>1.00.00truetrueabcPoser z = eʸ, puis ajuster z en x]]>Changement de variable dans le mauvais sens : eʸ
accentuerait encore la courbure.]]>Aucun ajustement n'est possible]]>Un changement de variable ramène ce nuage à un ajustement
affine.]]>Poser z = ln y, puis ajuster z en x par une droite]]>Bonne réponse : les ordonnées sont multipliées par un même
facteur, environ 1{,}5 ; ln y croît alors de façon
affine.]]>Ajuster directement y en x par une droite]]>Le nuage est nettement courbé : une droite le représenterait
mal, surtout aux extrémités.]]>