$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Suites numériques, modèles discrets Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et
théorème des gendarmes, limite de qⁿ pour une raison
positive, limite de la somme 1 + q + ⋯ + qⁿ pour
0 < q < 1, suites arithmético-géométriques (suite constante
solution, solution générale), problèmes de seuil.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1 Que vaut la limite de 0{,}7^n quand n tend vers
+∞ ?

]]> Limites de référence (raison positive) : qⁿ → 0 si
0 < q < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1 ; constante 1 si
q = 1. Socle de tous les modèles exponentiels discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par 0{,}7 < 1
écrase la valeur : 0{,}7 ; 0{,}49 ; 0{,}343… vers
0.

]]> 1

]]> Erreur : qⁿ → 1 exigerait q = 1 (suite constante).
Avec 0{,}7, la décroissance vers 0 est inexorable.

]]> 0{,}7

]]> Erreur : 0{,}7 n'est que le premier terme (n = 1).
Les puissances suivantes continuent de fondre vers 0.

]]> +∞

]]> Erreur : l'explosion vers +∞ demande une raison
q > 1. Ici chaque multiplication réduit.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Limite d'une somme géométrique Pour 0 < q < 1, que vaut la limite de la somme
1 + q + q² + ⋯ + qⁿ quand n tend vers +∞ ?

]]> Résultat clé : 1 + q + ⋯ + qⁿ → 1/1-q
pour 0 < q < 1. Exemple parlant :
1 + ½ + ¼ + ⋯ → 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/1 - q

]]> Bonne réponse : la somme vaut \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}
et qⁿ⁺¹ → 0 : la limite est 1/1-q
(démonstration possible au programme).

]]> +∞

]]> Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,
ceux-ci fondent si vite que le total plafonne :
c'est la somme géométrique convergente.

]]> 1/q - 1

]]> Erreur de signe : pour 0 < q < 1, q - 1 < 0
donnerait une limite négative, impossible pour une somme
de termes positifs. La formule est 1/1 - q.

]]> q/1 - q

]]> Erreur : q/1 - q est la limite de q + q² + ⋯, la somme privée de son premier terme 1. Avec
lui, la limite vaut 1/1 - q (par exemple 2
pour q = ½).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Suite constante solution Soit la relation de récurrence u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4. Quelle
suite constante vérifie cette relation ?

]]> Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite
constante solution en résolvant c = ac + b. Ce point d'équilibre
organise tout le comportement de la suite ; ici c = 20.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite constante égale à 4

]]> Constante de la relation recopiée :
0{,}8 \times 4 + 4 = 7{,}2, différent de 4.

]]> Aucune suite constante ne convient

]]> Dès que le coefficient diffère de 1, l'équation c = ac + b
a une unique solution, ici c = 20.

]]> La suite constante égale à 5

]]> Division par le coefficient : 0{,}8 \times 5 + 4 = 8,
différent de 5 ; on divise par 1 - 0{,}8.

]]> La suite constante égale à 20

]]> Bonne réponse : une constante c vérifie c = 0{,}8c + 4,
soit 0{,}2\,c = 4 et c = 20.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Exploiter la suite constante Toujours avec u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4 (point d'équilibre
20) et u₀ = 30. Que vaut la limite de (uₙ) ?

]]> Schéma complet : poser vₙ = uₙ - c (c point
d'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique
vₙ₊₁ = a vₙ. Pour |a| < 1 : vₙ → 0 et
uₙ → c. Modèle des stabilisations (température,
médicament, capital).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20

]]> Bonne réponse : l'écart au point d'équilibre est multiplié
par 0{,}8 à chaque rang et fond vers 0 : la suite
vₙ = uₙ - 20 vérifie v_{n+1} = 0{,}8\,v_n
(géométrique), donc v_n = 10 \times 0{,}8^n \to 0 et
uₙ → 20.

]]> +∞

]]> Erreur : le coefficient 0{,}8 < 1 contracte
l'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite
converge.

]]> 30

]]> Erreur : la suite ne reste pas à sa valeur initiale :
u_1 = 0{,}8 \times 30 + 4 = 28 \neq 30, elle bouge dès le
premier pas, attirée vers 20.

]]> 0

]]> Erreur : c'est l'écart uₙ - 20 qui tend vers 0,
pas la suite elle-même, qui se stabilise en 20.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Théorème des gendarmes Une suite vérifie, pour tout n ≥ 1,
3 - 1/n ≤ uₙ ≤ 3 + 1/n.
Que peut-on conclure ?

]]> Gendarmes : vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ avec v_n \to \ell et
w_n \to \ell ⇒ u_n \to \ell. Ici le couloir
de largeur 2/n se referme sur 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) converge vers 3

]]> Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers
3 : la suite coincée entre elles aussi (théorème des
gendarmes).

]]> On ne peut rien dire sans connaître uₙ explicitement

]]> Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par
deux suites de même limite suffit à conclure.

]]> (uₙ) est constante égale à 3

]]> Trop fort : la suite peut osciller dans le couloir
(par exemple 3 + (-1)ⁿ/2n) ; seul son
comportement limite est imposé.

]]> (uₙ) converge vers 1/n

]]> Erreur de nature : une limite est un nombre fixe ;
1/n dépend de n. Le couloir se resserre
autour de 3.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : Modéliser un compte avec versements Un compte rapporte 2\ % par an et reçoit un versement de
100 euros chaque fin d'année. Notant uₙ le solde après
n années, quelle récurrence modélise la situation ?

]]> Modèle mixte (taux + versement constant) : récurrence
arithmético-géométrique uₙ₊₁ = a uₙ + b avec
a = 1{,}02 et b = 100. La chronologie des opérations
décide de la formule exacte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100

]]> Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par
1{,}02 (intérêts), puis augmenté du versement : modèle
arithmético-géométrique typique.

]]> uₙ₊₁ = uₙ + 102

]]> Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts
portent sur le solde courant (qui grandit), pas
seulement sur un montant fixe.

]]> u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100

]]> Erreur : multiplier par 0{,}02 ne garderait que les
intérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une
hausse de 2\ % est 1{,}02.

]]> u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)

]]> Piège de chronologie : avec un versement en fin
d'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :
u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Opérations sur les limites Soient uₙ → 5 et v_n \to 0{,}5. Que vaut la limite de
uₙ/vₙ ?

]]> Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,
quotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux
limites. \frac{5}{0{,}5} = 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}5

]]> Erreur : 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 serait la limite du
produit. Le quotient divise : 5 / 0{,}5 = 10.

]]> 10

]]> Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non
nul) : \dfrac{5}{0{,}5} = 10.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Erreur : les formes indéterminées demandent 0/0 ou
∞/∞ ; ici tout est fini et le dénominateur ne
s'annule pas : les opérations s'appliquent directement.

]]> 5{,}5

]]> Erreur : 5 + 0{,}5 est la limite de la somme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Dérouler une récurrence Soit u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6 avec u₀ = 4. Que vaut u₂
?

]]> Une récurrence se calcule de proche en proche : u₀ = 4,
u₁ = 8, u₂ = 10. La suite se rapproche de son point
d'équilibre 12.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : u_1 = 0{,}5 \times 4 + 6 = 8, puis
u_2 = 0{,}5 \times 8 + 6 = 10.

]]> 8

]]> Une étape seulement : 8 est u₁, le rang 2 demande
une itération de plus.

]]> 16

]]> Coefficient oublié : ajouter deux fois 6 à 4 néglige
la multiplication par 0{,}5 à chaque rang.

]]> 5

]]> Ordre des opérations : 0{,}5 \times (4 + 6) ajoute avant
de multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Problème de seuil La valeur d'un équipement, en euros, vaut u_n = 1000 \times 0{,}5^n
au bout de n années. À partir de quel rang n la valeur
passe-t-elle sous 10 euros ?

]]> On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,
à la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne
aussi la réponse directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n = 6

]]> Un rang trop tôt : u_{6} \approx 15{,}6 euros, encore
au-dessus de 10.

]]> n = 10

]]> Pas le premier rang : la valeur est déjà sous 10 euros dès
le rang 7.

]]> n = 7

]]> Bonne réponse : u_{6} \approx 15{,}6 euros est encore
au-dessus du seuil, et u_{7} \approx 7{,}8 euros est en
dessous.

]]> n = 100

]]> Raisonnement linéaire : 1000/10 = 100 ne
correspond à aucun calcul sur une suite géométrique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Représentation en toile d'araignée Pour représenter graphiquement une suite uₙ₊₁ = f(uₙ)
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de f
et une autre droite. Laquelle ?

]]> Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :
courbe de f + droite y = x, construction en escalier
ou en spirale. Les intersections f(x) = x sont les
candidats limites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des abscisses

]]> Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter
l'ordonnée f(uₙ) en nouvelle abscisse ; c'est le rôle
de la bissectrice y = x.

]]> La tangente à la courbe en u₀

]]> Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;
l'escalier de la récurrence utilise la droite y = x.

]]> La droite d'équation y = x

]]> Bonne réponse : la construction en escalier rebondit
entre la courbe (calcul de f(uₙ)) et la droite
y = x (report du résultat en abscisse) ; les points
fixes se lisent aux intersections courbe-droite.

]]> La droite y = f(0)

]]> Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la
construction ; le va-et-vient exige y = x.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Décroissance radioactive discrète Chaque année, 3\ % des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec N₀ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit Nₙ (nombre de noyaux après n années) ?

]]> Taux de perte constant → suite géométrique de raison
1 - t. Modèle discret de la radioactivité (thème du
programme), version continue à venir avec y' = ay.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N_n = N_0 - 0{,}03\,n

]]> Erreur : ce modèle linéaire retire un montant fixe
par an. Or 3\ % portent sur le stock restant, qui
diminue : modèle multiplicatif.

]]> N_n = N_0 \times 0{,}97^n

]]> Bonne réponse : perdre 3\ % par an revient à
multiplier par 0{,}97 chaque année : suite géométrique
de raison 0{,}97, décroissance exponentielle discrète.

]]> N_n = N_0 \times 0{,}03^n

]]> Erreur : multiplier par 0{,}03 ferait disparaître
97\ % des noyaux chaque année. Le facteur de
conservation est 0{,}97.

]]> N_n = N_0 \times 1{,}03^n

]]> Erreur de sens : 1{,}03 ferait croître
l'échantillon. Une perte de 3\ % correspond à
\times\,0{,}97.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Comportement selon la raison Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
0{,}9 ; 1 ; 1{,}1 (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?

]]> Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :
q < 1 : extinction ; q = 1 : équilibre ; q > 1 :
explosion. Un écart minime de raison (0{,}9 contre
1{,}1) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation
(épidémies, intérêts).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible à dire sans les premiers termes

]]> Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,
seul le rapport à 1 de la raison décide du
comportement limite.

]]> Vers 0, constante, vers +∞ respectivement

]]> Bonne réponse : vers 0 pour 0{,}9, constante pour
1, vers +∞ pour 1{,}1. La position de la
raison par rapport à 1 sépare trois destins
radicalement différents, même pour des raisons très
proches.

]]> Les trois tendent vers leur raison respective

]]> Erreur : la raison est un facteur, pas un point
d'arrivée. Les limites sont 0, la constante initiale,
et +∞.

]]> Les trois convergent, plus ou moins vite

]]> Erreur : 1{,}1^n explose (1{,}1^{100} \approx
13\,800) : aucune convergence pour q > 1.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Limite d'une suite arithmétique Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
r = 3 ?

]]> Suites arithmétiques : r > 0 : limite +∞ ; r < 0 : -∞ ; r = 0 : constante. Le modèle linéaire
discret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les
géométriques amorties.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite tend vers +∞

]]> Bonne réponse : chaque pas ajoute 3, sans plafond :
uₙ = u₀ + 3n dépasse tout seuil, une suite arithmétique
de raison positive file vers +∞.

]]> La suite tend vers sa raison 3

]]> Confusion : la raison est le pas, pas la
destination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à
3.

]]> La suite tend vers 0

]]> Erreur : ce destin appartient aux suites
géométriques de raison |q| < 1 : l'arithmétique de
raison positive grimpe sans retour.

]]> La suite tend vers son premier terme u₀

]]> Erreur : u₀ est le point de départ : avec r > 0, la
suite s'en éloigne définitivement (u₁₀ = u₀ + 30).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Somme des puissances de $q$ Pour q ≠ 1, que vaut la somme 1 + q + q² + … + qⁿ ?

]]> 1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} :
l'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les
limites : si |q| < 1, la somme tend vers 1/1 - q.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{q^{n+1}}{1 - q}

]]> Numérateur amputé : le 1 - initial est indispensable
(testez q = 0 : la somme vaut 1, la formule doit le
redonner).

]]> \dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}

]]> Exposant décalé : cette formule somme n termes
(1 + … + qⁿ⁻¹) : jusqu'à qⁿ inclus, il y en
a n + 1.

]]> (n + 1) q

]]> Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de
n+1 termes ÉGAUX à q : ici les termes grimpent en
puissances.

]]> \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

]]> Bonne réponse : n + 1 termes, du rang 0 au rang
n : l'exposant du numérateur est le nombre de
termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Point d'équilibre d'un modèle mixte Une suite vérifie u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50. Quelle est la valeur
d'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution
?

]]> L'équilibre de uₙ₊₁ = auₙ + b vaut
\ell = \dfrac{b}{1 - a}. Avec 0 < a < 1, toutes les suites du
modèle convergent vers lui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme
constant : 0{,}8 \times 0 + 50 = 50.

]]> 62{,}5

]]> Division par le coefficient au lieu de 1 - 0{,}8 : l'équation
est 0{,}2\,\ell = 50.

]]> 250

]]> Bonne réponse : l'équilibre résout \ell = 0{,}8\,\ell + 50,
soit 0{,}2\,\ell = 50 et \ell = 250.

]]> 50

]]> Terme constant recopié :
0{,}8 \times 50 + 50 = 90 \neq 50.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Limite d'une forme explicite Que vaut
\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times 0{,}7^n\right)
?

]]> Une forme \ell + Cq^n avec 0 < q < 1 tend vers \ell : la
partie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles
convergents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +∞

]]> Comme 0{,}7 < 1, la puissance décroît vers 0 au lieu de
croître.

]]> 5

]]> Bonne réponse : 0{,}7^n \to 0 car la raison est comprise entre
0 et 1 ; il reste 5.

]]> 0

]]> C'est 0{,}7^n qui tend vers 0, pas l'expression entière : le
terme 5 demeure.

]]> 2

]]> Puissance évaluée à 1, sa valeur pour n = 0 : en
+∞, 0{,}7^n tend vers 0.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$ Pour u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50 (équilibre 250), on pose
vₙ = uₙ - 250. Que devient la suite (vₙ) ?

]]> Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre
transforme le modèle mixte en géométrique pure : v_n = v_0
\times 0{,}8^n, d'où u_n = 250 + (u_0 - 250) \times
0{,}8^n : forme explicite et limite d'un seul coup.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De même nature que (uₙ) : rien ne change

]]> Erreur : tout change ! (uₙ) est arithmético-
géométrique (mixte), (vₙ) est géométrique pure :
c'est le but de la manœuvre.

]]> Géométrique de raison 0{,}8

]]> Bonne réponse : v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n + 50
- 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n : mesurer l'écart à
l'équilibre purifie le modèle.

]]> Arithmétique de raison 50

]]> Erreur : le décalage a précisément absorbé le +50 :
il ne reste que la multiplication par 0{,}8.

]]> Constante, égale à 250

]]> Erreur : vₙ mesure l'écart à 250 : il rétrécit
de 20\ % par étape, il n'est pas figé.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Interpréter la convergence Une population de poissons suit u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50
(en centaines, 50 = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers 250 ?

]]> Lire un modèle uₙ₊₁ = auₙ + b : a = ce qui reste
d'une période à l'autre, b = l'apport fixe, l'équilibre
b/1-a = le point où l'apport compense exactement
les pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population disparaît à terme, malgré les alevins

]]> Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la
limite est 250 centaines, pas 0 (ce serait le cas
sans le +50).

]]> La population explose : on ajoute des poissons chaque
année

]]> Erreur : les pertes de 20\ % grossissent avec la
population : elles finissent par absorber tout l'apport :
le modèle plafonne.

]]> La population se stabilise vers 25 000 poissons

]]> Bonne réponse : pertes et repeuplement finissent par
s'équilibrer. À 250 centaines, les 20\ % de pertes
(50) sont exactement compensées par les 50
introduites : flux entrant égal au flux sortant,
plateau.

]]> La population oscille sans se stabiliser

]]> Erreur : avec une raison 0 < 0{,}8 < 1, la
convergence est monotone : la suite s'approche du
plateau sans le franchir.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q19 : Calculer le terme de rang 3 Une suite vérifie u₀ = 100 et u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30. Que
vaut u₃ ?

]]> Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque
rang, on multiplie le terme précédent par 0{,}8, puis on ajoute
30.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 190

]]> Coefficient oublié : ajouter trois fois 30 à 100 néglige
la multiplication par 0{,}8.

]]> 118

]]> Une étape de moins : 118 est la valeur de u₂.

]]> 124{,}4

]]> Bonne réponse : u₁ = 110, u₂ = 118, puis
u_3 = 0{,}8 \times 118 + 30 = 124{,}4.

]]> 81{,}2

]]> Constante ajoutée une seule fois : 0{,}8^3 \times 100 + 30
oublie les apports des deux premières étapes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q20 : Pourquoi introduire une suite auxiliaire Pour étudier u_{n+1} = 0{,}8u_n + 30, on pose
vₙ = uₙ - 150. Quel est l'intérêt ?

]]> Pour une suite uₙ₊₁ = auₙ + b, on retranche le point fixe
b/1-a. La suite obtenue est géométrique de raison a, ce qui
donne une formule explicite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite (vₙ) est constante

]]> Elle ne le serait que si u₀ valait exactement 150.

]]> La suite (vₙ) est géométrique

]]> Bonne réponse : 150 est le point fixe, et le décalage élimine le
terme constant.

]]> La suite (vₙ) est arithmétique

]]> Le coefficient 0{,}8 subsiste après le changement : la progression
reste multiplicative.

]]> La suite (vₙ) converge plus vite

]]> La vitesse de convergence est la même : seule l'écriture est
simplifiée.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q21 : Limite d'un modèle amorti Vers quoi tend la suite définie par u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30 ?

]]> Pour une suite convergente vérifiant uₙ₊₁ = auₙ + b, la
limite est le point fixe, solution de \ell = a\ell + b. La
convergence est assurée lorsque 0 < a < 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers +∞

]]> Le coefficient étant inférieur à 1, la croissance
s'essouffle et la suite se stabilise.

]]> Vers 30

]]> Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient
0{,}8.

]]> Vers 0

]]> L'apport régulier de 30 empêche la suite de s'annuler.

]]> Vers 150

]]> Bonne réponse : la limite \ell vérifie
\ell = 0{,}8\,\ell + 30, donc 0{,}2\,\ell = 30 et
\ell = 150.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q22 : Somme de termes géométriques Combien vaut 1 + 0{,}5 + 0{,}25 + \ldots + 0{,}5^{9} ?

]]> La somme 1 + q + … + qⁿ vaut \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Pour
q compris entre 0 et 1, elle se rapproche de 1/1-q quand
n grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 5{,}5

]]> Termes additionnés comme s'ils étaient constants : ils décroissent
rapidement.

]]> Environ 1{,}998

]]> Bonne réponse : la formule donne
\dfrac{1 - 0{,}5^{10}}{1 - 0{,}5}, soit presque 2.

]]> Exactement 2

]]> La valeur 2 est la limite de la somme infinie, jamais atteinte par
une somme finie.

]]> Environ 0{,}999

]]> Premier terme oublié : la somme commence à 1, pas à 0{,}5.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q23 : Un seuil à franchir Une population de 5000 individus décroît de 6\ % par an. Au
bout de combien d'années passe-t-elle sous 3000 individus ?

]]> La population vaut 5000 \times 0{,}94^n au bout de n années. Le
premier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs
successifs ou à l'aide du logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de 8 ans

]]> Un an trop tôt : la population vaut encore environ 3048
individus.

]]> Au bout de 10 ans

]]> Pas le premier rang : la population est déjà sous 3000 au
bout de 9 ans.

]]> Au bout de 7 ans

]]> Raisonnement linéaire : retrancher chaque année 6\ % du
nombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage.

]]> Au bout de 9 ans

]]> Bonne réponse : 5000 \times 0{,}94^{8} \approx 3048 et
5000 \times 0{,}94^{9} \approx 2865.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q24 : Sens de variation d'un modèle Une suite vérifie u₀ = 200 et u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 10.
Comment varie-t-elle ?

]]> Pour uₙ₊₁ = auₙ + b avec 0 < a < 1, le sens de variation
dépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :
au-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers 10

]]> Terme constant recopié : la limite est le point fixe 100, et
non l'apport 10.

]]> Elle croît vers 100

]]> Sens inversé : partant de 200, la suite doit se rapprocher
de 100, ce qui fixe son sens de variation.

]]> Elle décroît vers 100

]]> Bonne réponse : le point fixe vaut 100, et le premier terme
200 lui est supérieur.

]]> Elle est constante

]]> Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement
100.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q25 : Limite d'une expression explicite Vers quoi tend la suite définie par
uₙ = 3 + 5/n ?

]]> Les limites usuelles donnent 1/n → 0. Les opérations sur les
limites permettent ensuite de conclure sur toute expression explicite
construite à partir de ces briques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 3

]]> Bonne réponse : le quotient tend vers 0, il ne reste que la
constante.

]]> Vers +∞

]]> La suite décroît vers 3 : pour n = 100, elle vaut déjà
3{,}05.

]]> Vers 0

]]> Constante oubliée : elle subsiste quelle que soit la valeur de n.

]]> Vers 8

]]> Coefficient ajouté tel quel : le terme 5/n diminue avec le
rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q26 : Traduire un énoncé en récurrence Un bassin perd chaque jour 5\ % de son volume, puis reçoit
200 litres. Quelle relation décrit le volume vₙ ?

]]> Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par
uₙ₊₁ = auₙ + b. Le coefficient a vient de la perte ou du
gain relatif, la constante b de l'apport.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc vₙ₊₁ = vₙ - 5 + 200

]]> Pourcentage traité comme un volume : 5\ % de 10 000
litres font 500 litres, pas 5.

]]> v_{n+1} = 0{,}95\,v_n + 200

]]> Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,
l'apport s'ajoute ensuite.

]]> v_{n+1} = 0{,}05\,v_n + 200

]]> Coefficient de la perte : il reste 95\ % du volume,
pas 5\ %.

]]> v_{n+1} = 0{,}95\,(v_n + 200)

]]> Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la
perte qui le précède.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q27 : Quand la suite diverge Vers quoi tend la suite définie par u_{n+1} = 1{,}1u_n avec
u₀ = 2 ?

]]> Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme positif :
q > 1 donne une limite infinie, 0 < q < 1 une limite nulle, et
q = 1 une suite constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 1{,}1

]]> Raison confondue avec la limite : elle décrit le passage d'un terme au
suivant.

]]> Vers 2, son premier terme

]]> Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang.

]]> Vers +∞

]]> Bonne réponse : la raison dépassant 1, les termes croissent sans
limite.

]]> Vers 0, par amortissement

]]> Une raison supérieure à 1 fait croître les termes positifs.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q28 : Interpréter un point fixe Un modèle de population converge vers 4 000 individus.
Que signifie ce nombre ?

]]> La limite d'un modèle discret décrit son état d'équilibre. Elle s'obtient
en résolvant \ell = a\ell + b, et s'interprète comme la valeur autour de
laquelle le système se stabilise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population ne dépasse jamais 4 000

]]> Une suite décroissante partant de 6 000 converge vers 4 000 en
restant toujours au-dessus.

]]> La population se stabilise autour de cette valeur

]]> Bonne réponse : à long terme, les gains et les pertes se compensent
exactement.

]]> La population double tous les 4 000 ans

]]> Aucune durée n'intervient : le nombre est un effectif limite.

]]> La population atteint 4 000 puis s'arrête

]]> La convergence est asymptotique : la valeur est approchée sans être
nécessairement atteinte.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q29 : Encadrer pour conclure On sait que 2 - 1/n ≤ uₙ ≤ 2 + 1/n.
Vers quoi tend la suite ?

]]> Le théorème des gendarmes conclut lorsque les deux bornes d'un encadrement
convergent vers la même limite. Il évite d'avoir à connaître la formule de
la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 2

]]> Bonne réponse : les deux bornes tendent vers 2, la suite y est donc
contrainte.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Le théorème des gendarmes s'applique précisément dans ce cas.

]]> Vers 0

]]> Les termes 1/n tendent vers 0, mais la constante 2
subsiste.

]]> Vers 1

]]> Cette valeur sort de l'encadrement dès que n dépasse 1.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q30 : Lire une suite dans un tableur Dans un tableur, la cellule B3 contient =0,95*B2+200, recopiée vers
le bas. Que calcule-t-elle ?

]]> Un tableur traduit directement une relation de récurrence : chaque cellule
calcule le terme suivant à partir de celle du dessus. La recopie vers le
bas déroule la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rang du terme

]]> Le rang figure en général dans une colonne voisine, avec une formule
d'incrémentation.

]]> Le terme suivant à partir du précédent

]]> Bonne réponse : la référence relative fait descendre le calcul ligne
après ligne.

]]> La limite de la suite

]]> La limite se lit en descendant assez loin dans la colonne, elle n'est
pas calculée directement.

]]> La somme de tous les termes précédents

]]> Une somme cumulée demanderait une formule additionnant la cellule
au-dessus et la nouvelle valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q31 : Terme d'une suite géométrique Soit (uₙ) la suite géométrique de premier terme
u₀ = 5 et de raison 2. Que vaut u₃ ?

]]> Pour une suite géométrique, uₙ = u₀ × qⁿ : l'exposant
est le rang visé et le premier terme reste en facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11

]]> Modèle additif : ajouter trois fois 2 décrit une suite
arithmétique. Ici chaque rang multiplie par 2.

]]> 40

]]> Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la
raison, donc u₃ = 5 × 2³ = 40.

]]> 8

]]> Premier terme oublié : 2³ = 8
ne tient pas compte de u₀ = 5, qui reste en facteur.

]]> 20

]]> Un rang de retard : 5 × 2² = 20
donne u₂. Il reste une multiplication par 2 à faire.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q32 : Lire une suite arithmétique décroissante Une suite est définie pour tout entier n par
uₙ = 40 - 3n. Comment se comporte-t-elle ?

]]> Une écriture uₙ = u₀ + rn signale une suite arithmétique
de raison r. Le signe de r donne le sens de variation et
la limite : +∞ si r > 0, -∞ si r < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît et se stabilise en 40

]]> Erreur : 40 est le premier terme, pas une limite. La
suite s'en éloigne dès le rang 1, où elle vaut 37.

]]> Elle décroît et se rapproche de 0

]]> Erreur : la suite traverse 0 vers le rang 14 et
continue de descendre. Tendre vers 0 est le destin des
suites géométriques de raison comprise entre 0 et 1.

]]> Elle croît et tend vers +∞

]]> Erreur de sens : le coefficient de n vaut -3, donc
chaque terme est plus petit que le précédent.

]]> Elle décroît et tend vers -∞

]]> Bonne réponse : chaque rang retire 3, sans plancher.
La suite arithmétique de raison -3 descend sous tout
seuil, donc sa limite est -∞.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q33 : Vérifier une valeur d'équilibre Pour la suite définie par u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 20, un
élève affirme que la valeur d'équilibre est 50. Comment le
vérifier le plus simplement ?

]]> Une valeur d'équilibre d'une suite uₙ₊₁ = a uₙ + b est
un nombre \ell que la relation laisse inchangé. Pour le
vérifier, on remplace et on compare le résultat à \ell.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En calculant les dix premiers termes et en regardant
s'ils se rapprochent de 50

]]> Méthode coûteuse et incertaine : elle suggère la valeur
sans la prouver. Une seule ligne de calcul suffit à
tester si 50 est laissé inchangé.

]]> En calculant 0{,}6 \times 50 + 20 et en constatant que
l'on retombe sur 50

]]> Bonne réponse : une valeur d'équilibre est une valeur que
la relation de récurrence laisse inchangée. Ici
0{,}6 \times 50 + 20 = 50 : l'affirmation est exacte.

]]> En vérifiant que 50 est le quotient de 20 par le
coefficient 0{,}6

]]> Formule fausse : ce quotient vaut environ 33{,}3. La
valeur d'équilibre se calcule en divisant 20 par
1 - 0{,}6, et se teste par simple remplacement.

]]> En vérifiant que le produit 0{,}6 \times 50 redonne le
terme constant 20

]]> Condition inventée : ce produit vaut 30. La relation à
tester porte sur le calcul complet, terme constant
compris.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q34 : Coefficient multiplicateur d'une baisse Un échantillon perd 4\ % de sa masse chaque année. Par
quel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la
suivante ?

]]> Une baisse de t\ % correspond au coefficient
multiplicateur 1 - t/100, et une hausse au
coefficient 1 + t/100. Répété chaque année, il
engendre une suite géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}96

]]> Bonne réponse : perdre 4\ % revient à conserver
96\ % de la masse, soit un coefficient
multiplicateur de 0{,}96.

]]> 1{,}04

]]> Erreur de sens : ce coefficient décrit une hausse de
4\ %. Une perte conduit à un nombre inférieur à 1.

]]> 96

]]> Pourcentage laissé tel quel : 96 est un
pourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par
100.

]]> 0{,}04

]]> Taux confondu avec le coefficient : multiplier par
0{,}04 ne garderait que la part perdue. Il
faut conserver ce qui reste.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q35 : Compter les termes d'une somme Combien de termes compte la somme
1 + q + q² + … + q¹² ?

]]> Dans une somme allant de l'exposant 0 à l'exposant n, il y
a n + 1 termes. Ce décompte explique l'exposant n+1 de la
formule \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 11 termes

]]> Deux termes perdus : ni q⁰ ni q¹² ne doivent être
écartés, les deux bornes étant incluses.

]]> 24 termes

]]> Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une
fois, de 0 à 12.

]]> 13 termes

]]> Bonne réponse : les exposants vont de 0 à 12, ce qui
fait 12 + 1 = 13 termes, le terme 1 = q⁰ compris.

]]> 12 termes

]]> Premier terme oublié : compter les exposants de 1 à
12 laisse de côté q⁰ = 1, qui ouvre la somme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q36 : Remonter d'un rang Une suite vérifie uₙ₊₁ = 2 uₙ + 4 et
u₁ = 18. Que vaut u₀ ?

]]> Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans
l'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on
divise par le coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14

]]> Division oubliée : retirer 4 ne suffit pas, il reste à
annuler la multiplication par 2.

]]> 40

]]> Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne
u₂, le terme suivant. Pour revenir en arrière, on
défait les opérations.

]]> 5

]]> Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord
4, on divise ensuite par 2.

]]> 7

]]> Bonne réponse : on remonte la relation. De
18 = 2 u₀ + 4 on tire
2 u₀ = 14, puis
u₀ = 7.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q37 : Écrire la formule d'un tableur Dans un tableur, u₀ est saisi en B1 et la colonne B doit
dérouler la suite u_{n+1} = 1{,}05\,u_n + 20. Quelle formule
saisir en B2 avant de la recopier vers le bas ?

]]> Un tableur traduit la relation uₙ₊₁ = a uₙ + b par une
formule qui appelle la cellule du dessus. La recopie vers le
bas déroule alors la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =1,05*(B1+20)

]]> Parenthèses de trop : elles appliquent le coefficient à
l'apport de 20, alors qu'il ne porte que sur le terme
précédent.

]]> =1,05*B1+20

]]> Bonne réponse : la formule lit le terme précédent, juste
au-dessus. Recopiée vers le bas, la référence relative
descend d'une ligne à chaque rang.

]]> =1,05*B2+20

]]> La cellule se référence elle-même : le tableur signale une
référence circulaire. Le terme à utiliser est celui de la
ligne au-dessus.

]]> =1,05*A1+20

]]> Mauvaise colonne : la colonne A contient les rangs. Les
termes de la suite se lisent en colonne B.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q38 : Ce que compte une boucle On exécute l'algorithme suivant : partir de u = 500 et
n = 0, puis, tant que u > 100, remplacer u par
0{,}9\,u et augmenter n de 1. Que contient n à la
fin ?

]]> Un algorithme de seuil répète le pas de la récurrence tant que
la condition est vérifiée, en comptant les étapes. Il rend le
premier rang qui franchit le seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le premier rang à partir duquel la suite passe sous 100

]]> Bonne réponse : la boucle s'arrête dès que la condition
u > 100 devient fausse, et n a compté exactement le
nombre d'étapes effectuées pour y parvenir.

]]> Le nombre d'étapes nécessaires pour que la suite
atteigne 0

]]> Seuil confondu avec la limite : la suite tend vers 0
sans jamais l'atteindre. L'algorithme s'arrête à 100.

]]> La limite de la suite, obtenue après la dernière étape

]]> Erreur de nature : une limite n'est pas le résultat d'un
nombre fini d'étapes. L'algorithme rend un rang, pas une
limite.

]]> La valeur de la suite au moment où la boucle s'arrête

]]> Variables confondues : cette valeur est celle de u.
La variable n ne fait que compter les passages dans la
boucle.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q39 : Une forme explicite qui diverge Une suite est définie par u_n = 6 + 4 \times 1{,}25^n.
Quelle est sa limite ?

]]> Dans une forme \ell + C q^n, tout se joue sur la position de
q par rapport à 1 : la suite converge vers \ell si
0 < q < 1, et diverge si q > 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se stabilise vers 10

]]> Valeur du rang 0 : 6 + 4 × 1 = 10 est le premier
terme, pas une limite. Au rang 30, la suite dépasse déjà
3 000.

]]> Elle croît sans limite

]]> Bonne réponse : la raison 1{,}25 dépasse 1, donc
1{,}25^n tend vers +∞. Multiplié par 4 puis
augmenté de 6, l'ensemble diverge.

]]> Elle se stabilise vers 6

]]> Réflexe appliqué trop vite : la puissance ne s'efface que
si la raison est comprise entre 0 et 1. Ici elle
grandit.

]]> Elle se stabilise vers 4

]]> Coefficient recopié : 4 multiplie la puissance, il ne
décrit pas le comportement à long terme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q40 : Somme de quatre puissances Que vaut la somme 1 + 2 + 2² + 2³ ?

]]> La somme 1 + q + … + qⁿ vaut \dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}
pour q ≠ 1. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur
est 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Exposant de trop : 2⁴ = 16
n'appartient pas à la somme, qui s'arrête à 2³.

]]> 15

]]> Bonne réponse : la formule donne
1 - 2⁴/1 - 2 = 15, ce que confirme
l'addition directe des quatre termes.

]]> 9

]]> Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,
elles ne valent pas toutes 2.

]]> 8

]]> Dernier terme seul : 2³ = 8 est
le plus grand des quatre termes, pas leur somme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q41 : Capital à intérêts composés Un capital de 800 euros est placé au taux annuel de
4\ %, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle
est sa valeur au bout de 5 ans ?

]]> Un placement à intérêts composés engendre une suite
géométrique de raison 1 + t/100, donc une valeur
c × (1 + t/100)ⁿ au bout de n
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 973 euros

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par
1 + 4/100, donc la valeur cherchée est
800 × (1 + 4/100)⁵, soit
environ 973 euros.

]]> Environ 936 euros

]]> Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang
5 - 1. Il reste une multiplication par
1 + 4/100 à effectuer.

]]> Environ 820 euros

]]> Pourcentage traité comme une somme d'argent : 4\ %
de 800 euros ne font pas 4 euros.

]]> Environ 960 euros

]]> Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital
de départ chaque année. Or les intérêts produisent
eux-mêmes des intérêts.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q42 : Un encadrement qui ne conclut pas Une suite vérifie, pour tout n ≥ 1,
3 - 1/n ≤ uₙ ≤ 5 + 1/n. Que peut-on
conclure ?

]]> Le théorème des gendarmes ne conclut que si les deux suites
encadrantes ont la même limite. Sinon il faut une autre
information sur la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien sur la limite : les deux bornes n'ont pas la même
limite

]]> Bonne réponse : les bornes tendent vers 3 et vers 5.
Le couloir ne se referme pas, et la suite peut osciller
entre ces deux valeurs sans converger.

]]> La suite converge vers 4, la valeur centrale du
couloir

]]> Centre du couloir sans justification : rien n'oblige la
suite à s'y installer. Le théorème exige deux bornes de
même limite.

]]> La suite converge vers 3, la plus petite des deux
bornes

]]> Borne inférieure privilégiée à tort : l'encadrement
autorise aussi la suite à rester près de 5.

]]> La suite diverge, puisque le théorème ne s'applique pas

]]> Conclusion trop forte : un théorème inapplicable ne prouve
rien. La suite constante égale à 4 satisfait
l'encadrement et converge.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q43 : Lire une limite sur une construction en escalier Sur une construction en escalier associée à
uₙ₊₁ = f(uₙ), les points se resserrent autour d'un point
d'intersection entre la courbe de f et la droite y = x.
Que représente l'abscisse de ce point ?

]]> Sur une construction en escalier, les intersections entre la
courbe et la droite y = x donnent les limites possibles,
puisqu'elles vérifient f(x) = x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La hauteur des marches de la construction

]]> Erreur de lecture : les marches rétrécissent au fur et à
mesure. C'est justement ce rétrécissement qui signale la
convergence.

]]> Le premier terme de la suite

]]> Confusion de rôle : le premier terme est le point de
départ de l'escalier, sur l'axe des abscisses, et il est
choisi librement.

]]> La raison de la suite

]]> Vocabulaire déplacé : une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ) n'a pas de raison, sauf si f est une
multiplication.

]]> La limite de la suite

]]> Bonne réponse : en ce point, f(x) = x. Une suite qui s'y
accumule y reste, ce qui en fait la limite conjecturée par
le graphique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q44 : Forme explicite d'un modèle mixte Une suite vérifie u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 30 avec
u₀ = 100, et sa valeur d'équilibre est 60. Quelle est
sa forme explicite ?

]]> Pour uₙ₊₁ = a uₙ + b de valeur d'équilibre \ell, la
suite v_n = u_n - \ell est géométrique de raison a. On en
déduit u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc uₙ = 60 + 40 × n

]]> Modèle additif : l'écart à l'équilibre est multiplié
par 0{,}5 à chaque rang, il n'est pas ajouté.

]]> u_n = 60 + 100 \times 0{,}5^n

]]> Écart mal calculé : le coefficient est la différence
100 - 60, soit 40, et non le premier terme
lui-même.

]]> u_n = 60 + 40 \times 0{,}5^n

]]> Bonne réponse : la suite vₙ = uₙ - 60 est géométrique
de raison 0{,}5 et de premier terme 40, d'où
u_n = 60 + 40 \times 0{,}5^n.

]]> u_n = 100 \times 0{,}5^n

]]> Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite
géométrique pure, qui tendrait vers 0 et non vers 60.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q45 : Deux placements comparés Deux placements partent du même capital de 1 000 euros. Le
premier rapporte 50 euros chaque année, le second augmente
de 2\ % par an. Que se passe-t-il à très long terme ?

]]> Un modèle arithmétique ajoute un gain fixe, un modèle
géométrique multiplie par un coefficient constant. Dès que ce
coefficient dépasse 1, le second l'emporte à long terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le second finit par dépasser le premier, puis s'en écarte
définitivement

]]> Bonne réponse : une croissance géométrique finit toujours
par dépasser une croissance arithmétique. Ici le
croisement a lieu vers la trentième année, et l'écart ne
cesse ensuite de grandir.

]]> Les deux capitaux restent proches, car leurs gains
annuels sont voisins

]]> Erreur de nature : le premier gain est fixe, le second
proportionnel. L'écart entre les deux modèles devient
arbitrairement grand.

]]> Le résultat dépend du capital de départ, aucune réponse
générale n'est possible

]]> Erreur : quel que soit le capital de départ strictement
positif, le modèle géométrique l'emporte à terme. Seule la
date du croisement change.

]]> Le premier reste devant, car 50 euros dépassent
2\ % de 1 000 euros

]]> Comparaison faite au départ seulement : les 2\ %
portent sur un capital qui grossit, donc le gain annuel du
second placement augmente sans cesse.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q46 : Retrouver la raison Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont
4 ; 12 ; 36. Quelle est sa raison ?

]]> Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un
terme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même
d'un rang à l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8

]]> Écart calculé au lieu du quotient : 12 - 4 est la
raison d'une suite arithmétique. Ici on divise.

]]> 9

]]> Deux rangs franchis d'un coup : 36/4 vaut
le carré de la raison, car il saute un terme.

]]> 4

]]> Premier terme recopié : 4 est le point de départ de
la suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au
suivant.

]]> 3

]]> Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par
le précédent, soit 12/4 = 3, ce que
confirme 36/12.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q47 : Limite d'une somme Soient deux suites telles que uₙ → 7 et
vₙ → 3. Que vaut la limite de uₙ + vₙ ?

]]> Opérations sur les limites : si u_n \to \ell et
v_n \to \ell', deux nombres, alors u_n + v_n \to \ell +
\ell'. Les expressions des suites n'interviennent pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Signe inversé : la différence uₙ - vₙ tendrait vers
4. Ici les deux suites s'ajoutent.

]]> 10

]]> Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des
limites lorsque les deux sont finies, donc
7 + 3 = 10.

]]> 21

]]> Opération changée : 7 × 3 serait la limite du
produit uₙvₙ, pas celle de la somme.

]]> On ne peut pas conclure sans les expressions des deux
suites

]]> Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée
n'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q48 : Lire une égalité de suite Pour une suite (uₙ), que signifie l'égalité
u₅ = 12 ?

]]> Dans l'écriture uₙ, l'indice n est le rang du terme et
uₙ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le
vocabulaire des suites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le terme de rang 5 vaut 12

]]> Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur
écrite après le signe d'égalité est le terme
correspondant.

]]> La raison de la suite vaut 12 à partir du rang 5

]]> Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de
terme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison.

]]> Le terme de rang 12 vaut 5

]]> Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme
est à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens.

]]> La suite compte 5 termes tous égaux à 12

]]> Une suite a une infinité de termes, et l'indice 5
désigne une position, pas un effectif.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q49 : Un écart constant entre deux termes Une suite vérifie uₙ₊₁ - uₙ = 4 pour tout entier n.
Que peut-on en déduire ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence
uₙ₊₁ - uₙ est constante. Cette raison donne aussitôt le
sens de variation : croissante si elle est positive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît, puisque l'écart est retranché à chaque rang

]]> Erreur de lecture : uₙ₊₁ - uₙ = 4 signifie que
uₙ₊₁ dépasse uₙ de 4.

]]> Elle est géométrique de raison 4, donc croissante

]]> Nature confondue : une suite géométrique a un quotient
constant. Ici c'est la différence qui l'est.

]]> Elle est constante, puisque cet écart ne change jamais

]]> Écart confondu avec la suite : l'écart est figé, mais les
termes gagnent 4 à chaque rang.

]]> Elle est arithmétique de raison 4, donc croissante

]]> Bonne réponse : un écart constant entre deux termes
consécutifs caractérise une suite arithmétique, et cet
écart positif la fait croître.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q50 : Limite de $q^n$, raison supérieure à 1 Comment se comporte la suite de terme général 1{,}4^n
quand n tend vers +∞ ?

]]> Limites de référence pour une raison positive : qⁿ → 0
si 0 < q < 1, qⁿ → +∞ si q > 1. La position de
q par rapport à 1 décide de tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers 1{,}4

]]> Raison confondue avec la limite : 1{,}4 est le facteur
de passage d'un terme au suivant, pas une valeur
d'arrivée.

]]> Elle tend vers 0

]]> Erreur : cette extinction concerne les raisons comprises
entre 0 et 1. Ici chaque multiplication augmente le
terme.

]]> Elle n'a pas de limite, car ses termes oscillent

]]> Erreur : la raison étant positive, tous les termes le
sont, et la suite croît sans jamais changer de sens.

]]> Elle tend vers +∞

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par 1{,}4 > 1 fait
grossir les termes au-delà de tout seuil. Au rang 20,
la suite dépasse déjà 836.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q51 : Approcher racine de deux par une suite La suite définie par u₀ = 1 et
uₙ₊₁ = ½(uₙ + 2/uₙ) converge vers
un réel \ell > 0 qui vérifie \ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell +
\dfrac{2}{\ell}\right). Que vaut \ell, et que vaut u₁ ?

]]> Cette méthode, attribuée à Héron d'Alexandrie, donne
u_2 \approx 1{,}4167 et u_3 \approx 1{,}41421 : la précision
augmente très vite. Calculer les termes successifs est un exemple
d'algorithme de recherche d'une constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \ell = 1 et u₁ = 1

]]> Erreur : la suite n'est pas constante, puisque
u_1 = 1{,}5 \neq u_0.

]]> \ell = 2 et u_1 = 1{,}5

]]> Erreur : pour \ell = 2, le membre de droite vaut
\dfrac{1}{2}(2 + 1) = 1{,}5 \neq 2. L'égalité conduit à
\ell^2 = 2.

]]> \ell = \sqrt{2} et u₁ = 3

]]> Erreur : 1 + 2/1 = 3 doit encore être multiplié par
½.

]]> \ell = \sqrt{2} et u_1 = 1{,}5

]]> Bonne réponse : l'égalité donne 2\ell = \ell + \dfrac{2}{\ell},
soit \ell^2 = 2 ; et u_1 = \dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q52 : Une population qui augmente d'un même pourcentage chaque année La population d'une ville augmente de 2\ % chaque année. On
note uₙ la population au bout de n années. Quelle est la
nature de la suite (uₙ) ?

]]> Une évolution de t\ % par an se modélise par une suite
géométrique de raison 1 + t/100.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison 0{,}02

]]> Erreur : 0{,}02 est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;
multiplier par 0{,}02 ferait chuter la population.

]]> Géométrique de raison 1{,}2

]]> Erreur : 1{,}2 multiplie la population par bien plus que
1 + 2/100 ; le taux a été mal converti.

]]> Arithmétique de raison 2

]]> Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,
elle multiplie par un coefficient.

]]> Géométrique de raison 1{,}02

]]> Bonne réponse : augmenter de 2\ % revient à multiplier par
1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02 ; donc u_{n+1} = 1{,}02\,u_n.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q53 : Intérêts puis versement Chaque année, un capital uₙ produit 5\ % d'intérêts, puis
son propriétaire verse 100 € supplémentaires. Quelle relation
lie uₙ₊₁ à uₙ ?

]]> Une suite de la forme uₙ₊₁ = a uₙ + b modélise une évolution
multiplicative suivie d'un ajout constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u_{n+1} = u_n + 100 \times 1{,}05

]]> Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas
sur le capital.

]]> u_{n+1} = u_n + 0{,}05 + 100

]]> Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,
ils multiplient le capital.

]]> u_{n+1} = 1{,}05\,u_n + 100

]]> Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par 1{,}05,
puis le versement ajoute 100 ; l'ordre « intérêts puis
versement » donne 1{,}05\,u_n + 100.

]]> u_{n+1} = 1{,}05\,(u_n + 100)

]]> Erreur : cette relation correspond à un versement effectué
avant le calcul des intérêts.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q54 : Le nombre d'années pour dépasser un seuil Un capital de 1000 € augmente de 5\ % par an : u_n = 1000
\times 1{,}05^n. Au bout de combien d'années dépasse-t-il 1500 € ?

]]> On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un
algorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 ans, u_{8} \approx 1477{,}5

]]> Erreur : 1477{,}5 est encore inférieur à 1500 ; il faut une
année de plus.

]]> Jamais, la suite étant bornée

]]> Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à 1 tend
vers +∞ et dépasse tout seuil.

]]> 9 ans, u_{9} \approx 1551{,}3

]]> Bonne réponse : u_{8} \approx 1477{,}5 < 1500 et
u_{9} \approx 1551{,}3 > 1500 ; le seuil est franchi à la
9ᵉ année.

]]> 10 ans, par sécurité

]]> Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang 9.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q55 : Une quantité qui perd dix pour cent par an Un stock de 200 kg d'une substance perd 10\ % de sa masse
chaque année : u_{n+1} = 0{,}9\,u_n avec u₀ = 200. Que
devient la masse à long terme ?

]]> Une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 converge
vers 0 : la quantité diminue indéfiniment sans disparaître.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers 0 sans jamais s'annuler

]]> Bonne réponse : u_n = 200 \times 0{,}9^n ; comme
0 < 0{,}9 < 1, 0{,}9^n tend vers 0 mais reste strictement
positif.

]]> Elle est nulle au bout de dix ans, après dix pertes de 10\ %

]]> Erreur : les pertes successives portent chaque fois sur une
masse plus petite ; au bout de dix ans il reste
200 \times 0{,}9^{10} \approx 70 kg.

]]> Elle devient négative après un certain nombre d'années

]]> Erreur : multiplier un nombre positif par 0{,}9 donne un
nombre positif ; la masse ne passe jamais sous 0.

]]> Elle se stabilise à 20 kg

]]> Erreur : aucune valeur positive n'est stable, la suite décroît
vers 0.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q56 : Exécuter un algorithme de seuil Que renvoie l'appel seuil(100) ?
`python
def seuil(s):
u = 1
n = 0
while u <= s:
u = 2 * u
n = n + 1
return n
`

]]> La boucle while multiplie u par 2 tant qu'il reste
inférieur ou égal au seuil ; le compteur n donne le premier rang
où la suite géométrique dépasse ce seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Bonne réponse : u prend les valeurs 1 × 2ⁿ et
dépasse 100 pour la première fois au rang 7, où il vaut
128.

]]> 6

]]> Un passage de moins : au rang 6, u ne dépasse pas
encore 100, la boucle continue.

]]> 128

]]> Terme renvoyé à la place du rang : 128 est la valeur finale
de u, alors que la fonction renvoie n.

]]> 8

]]> Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que u > 100,
soit au rang 7.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q57 : Conjecturer à partir d'une construction en escalier [Figure : Repère avec la droite y = 0,5x + 2 et la première bissectrice,
qui se coupent au point (4 ; 4). Une ligne brisée en escalier
part de u0 = 0,5 sur l'axe des abscisses, monte vers la droite,
revient horizontalement vers la bissectrice, et ainsi de suite :
les marches rapetissent en se rapprochant du point (4 ; 4).]

La figure montre la droite d'équation y = f(x), la droite
d'équation y = x et la construction des premiers termes de la
suite définie par u_0 = 0{,}5 et uₙ₊₁ = f(uₙ). Quelle
conjecture peut-on formuler ?

]]> On reporte chaque terme sur l'axe des abscisses grâce à la droite
y = x. Les termes se rapprochent de l'abscisse du point où la
courbe de f coupe la bissectrice : c'est la limite conjecturée,
solution de f(\ell) = \ell.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (uₙ) converge vers 2

]]> 2 est l'ordonnée à l'origine de la droite y = f(x), pas
l'abscisse du point d'intersection.

]]> (uₙ) est décroissante et converge vers 4

]]> Sens de variation inversé : les termes successifs, lus sur
l'axe des abscisses, augmentent.

]]> (uₙ) est croissante et converge vers 4

]]> Bonne réponse : l'escalier monte et ses marches rapetissent
vers le point d'intersection des deux droites, d'abscisse 4.

]]> (uₙ) est croissante et tend vers +∞

]]> L'escalier reste bloqué sous le point d'intersection des deux
droites : il ne s'échappe pas.

]]>