$course$/QCM de maths/Maths expertes/Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers Divisibilité dans ℤ, division euclidienne,
congruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et
algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres
premiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème
de Fermat.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q01 : Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ Que signifie « a divise b » (noté a \mid b) pour deux
entiers relatifs ?

]]> a \mid b \iff \exists k \in \mathbb{Z},\ b = ka.
Propriétés : transitivité, et surtout : si a \mid b et
a \mid c, alors a divise toute combinaison ub + vc :
l'outil de base des raisonnements.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a et b ont le même signe

]]> Sans rapport : -3 \mid 12 (12 = (-4)(-3)). La
divisibilité ignore les signes.

]]> |a| ≤ |b|

]]> Sans rapport : 4 ≤ 6 mais 4 \nmid 6 ; et 5 \mid
0 alors que |5| > |0|. La divisibilité ne se lit pas
sur une inégalité.

]]> Le quotient a/b est un entier

]]> Fraction à l'envers : « a divise b » signifie que
b/a est entier (quand a ≠ 0), pas
a/b.

]]> Il existe un entier k tel que b = ka

]]> Bonne réponse : b est un multiple de a. Exemples :
7 \mid 42 (42 = 6 × 7), -3 \mid 12, et 5
\mid 0 (0 = 0 × 5).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q02 : Division euclidienne d'un négatif Quelle est la division euclidienne de -17 par 5 ?

]]> a = bq + r avec 0 ≤ r < b : le couple (q, r) est
unique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :
-17 = 5 × (-4) + 3. Le reste est aussi le
représentant de -17 modulo 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -17 = 5 × (-3) - 2, quotient -3 et reste -2

]]> Reste négatif interdit : la définition impose 0 ≤ r < 5. On corrige : -17 = 5(-4) + 3.

]]> -17 = 5 × (-4) + 3, quotient -4 et reste 3

]]> Bonne réponse : le reste doit vérifier 0 ≤ r < 5 ;
on descend au multiple de 5 inférieur à -17,
soit -20, et -17 - (-20) = 3.

]]> Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs

]]> Erreur : le programme la définit pour tout dividende de
ℤ (le diviseur restant dans
ℕ^*).

]]> -17 = 5 × (-3) + 2, quotient -3 et reste 2

]]> Calcul faux : 5 × (-3) + 2 = -13 ≠ -17.
L'égalité doit être exacte et le reste dans
[0\ ;\ 5[.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q03 : Définition d'une congruence Que signifie a ≡ b ±od n ?

]]> a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) \iff même reste
modulo n. C'est une relation d'équivalence, et surtout
elle respecte addition et multiplication : on calcule
« dans les restes ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a et b sont premiers avec n

]]> Sans rapport : 10 ≡ 4 ±od 6 alors que ni 10
ni 4 n'est premier avec 6.

]]> n divise a - b

]]> Bonne réponse : même reste dans la division par n,
c'est-à-dire différence multiple de n. Exemple :
23 ≡ 3 ±od 5 car 5 \mid 20.

]]> a = b

]]> Trop fort : la congruence est une égalité à un
multiple de n près : 23 ≠ 3 mais 23 ≡ 3 ±od 5.

]]> a divise b

]]> Confusion : c'est n qui divise la différence
a - b, pas a qui divise b.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q04 : Compatibilité avec les opérations Sachant 10 ≡ 1 ±od 9, que vaut 10²⁰²⁶ ±od 9 ?

]]> Si a ≡ b ±od n alors a + c ≡ b + c, ac ≡ bc et aᵏ ≡ bᵏ ±od n. Conséquence : un
entier est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10²⁰²⁶ ≡ 2026 ±od 9

]]> Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la
congruence à la puissance : 1²⁰²⁶ = 1.

]]> 10²⁰²⁶ ≡ 1 ±od 9

]]> Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :
10²⁰²⁶ ≡ 1²⁰²⁶ = 1. C'est le cœur de la
preuve par neuf et du critère de divisibilité par 9.

]]> 10²⁰²⁶ ≡ 0 ±od 9

]]> Erreur : 10²⁰²⁶ n'est pas multiple de 9 (ses
seuls facteurs premiers sont 2 et 5).

]]> Impossible sans calculer 10²⁰²⁶

]]> Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce
calcul : 10 ≡ 1 suffit.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q05 : Algorithme d'Euclide On calcule PGCD(252\ ;\ 105) par l'algorithme
d'Euclide : 252 = 105 × 2 + 42, puis 105 = 42 × 2 + 21, puis 42 = 21 × 2 + 0. Quel est le PGCD ?

]]> Euclide : on remplace (a\ ;\ b) par (b\ ;\ r) jusqu'au
reste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :
252 = 21 × 12, 105 = 21 × 5, et 12, 5
premiers entre eux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 : le dernier reste

]]> Erreur : le 0 final signale l'arrêt ; le PGCD est le
reste précédent (21).

]]> 2 : le quotient répété

]]> Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls
les restes comptent.

]]> 21 : le dernier reste non nul

]]> Bonne réponse : l'algorithme repose sur
PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r) ; le
dernier reste non nul est le PGCD.

]]> 42 : le premier reste

]]> Erreur : 42 ne divise pas 105 : on continue tant que
le reste n'est pas nul ; c'est le dernier reste non
nul qui gagne.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q06 : Théorème de Bézout Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers a et b ?

]]> Bézout : \text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1. Les coefficients u, v se
calculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide
étendu). Plus généralement, le PGCD d s'écrit toujours
d = au + bv.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si a \mid bc et a premier avec b, alors a \mid c

]]> C'est le théorème de Gauss : conséquence de Bézout,
mais énoncé distinct.

]]> Tout entier ≥ 2 se décompose en produit de facteurs
premiers

]]> C'est le théorème de décomposition (existence et
unicité), pas Bézout.

]]> \text{PGCD}(a\,;\,b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1

]]> Bonne réponse : a et b sont premiers entre eux si et
seulement s'il existe des entiers u et v tels que
au + bv = 1. Le sens « il existe u, v » se lit :
tout diviseur commun divise au + bv = 1, donc vaut
± 1.

]]> Pour tous entiers a et b, il existe u et v tels
que au + bv = 1

]]> Faux sans hypothèse : 6u + 4v est toujours pair, donc
jamais égal à 1. Il faut a et b premiers entre
eux.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q07 : Théorème de Gauss On sait que 7 \mid 3n pour un entier n. Que peut-on
conclure ?

]]> Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si a \mid
bc et PGCD(a\ ;\ b) = 1, alors a \mid c.
L'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : 6 \mid 4
\times 3 sans diviser ni 4 ni 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 \mid 3

]]> Faux : 3 < 7 et 3 ≠ 0. Gauss oriente la
divisibilité vers le facteur non premier avec rien…
c'est n qui hérite.

]]> 7 \mid n

]]> Bonne réponse : théorème de Gauss, 7 divise le produit
3n et est premier avec le facteur 3, donc divise
l'autre facteur.

]]> Rien, il faudrait connaître n

]]> Erreur : c'est exactement la situation du théorème de
Gauss : conclusion garantie sans connaître n.

]]> n = 7

]]> Trop précis : n est multiple de 7 (0, 7,
14, -7…), pas forcément 7.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q08 : Équation diophantienne L'équation 3x + 5y = 1 admet la solution particulière
(x₀\ ;\ y₀) = (2\ ;\ -1). Quelles sont toutes les
solutions entières ?

]]> Méthode complète : solution particulière, puis soustraction
et théorème de Gauss pour la forme générale x = x₀ + 5k,
y = y₀ - 3k. Résoudre ax + by = c exige
\text{PGCD}(a\ ;\ b) \mid c.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : 3 et 5 ne divisent pas 1

]]> Erreur : PGCD(3\ ;\ 5) = 1 divise 1 :
Bézout garantit des solutions.

]]> x = 2 + 5k, y = -1 - 3k, pour k ∈ ℤ

]]> Bonne réponse : par différence, 3(x - 2) = -5(y + 1) ;
Gauss (3 premier avec 5) force 5 \mid x - 2, d'où
la forme annoncée. Contrôle : 3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) = 1.

]]> x = 2 + 3k, y = -1 - 5k, pour k ∈ ℤ

]]> Coefficients croisés : c'est 5 (coefficient de y)
qui module x, et 3 qui module y. Contrôle avec
k = 1 : 3 × 5 + 5 × (-6) = -15 ≠ 1.

]]> (2\ ;\ -1) est la seule solution

]]> Incomplet : (7\ ;\ -4) marche aussi (21 - 20 = 1) :
une droite entière de solutions, indexée par k.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q09 : L'ensemble des nombres premiers Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?

]]> L'infinité des premiers est une démonstration au programme.
Argument clé : tout entier ≥ 2 admet un diviseur
premier, et N = p₁⋯ pₙ + 1 échappe à la liste
(reste 1 dans chaque division).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un produit de deux premiers est premier

]]> Contraire de la définition : 3 × 5 = 15 a quatre
diviseurs : composé.

]]> Il est infini (démonstration d'Euclide)

]]> Bonne réponse : si p₁, …, pₙ étaient les seuls
premiers, N = p₁ p₂ ⋯ pₙ + 1 n'en serait
divisible par aucun : contradiction avec l'existence
d'un diviseur premier.

]]> Tous les nombres premiers sont impairs

]]> Oubli de 2 : le seul premier pair, mais premier quand
même.

]]> Il est fini : le plus grand premier est connu

]]> Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les
plus grands premiers connus, pas les plus grands
existants : l'ensemble est infini.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q10 : Décomposition en facteurs premiers Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 360 ?

]]> Existence et unicité de la décomposition : au programme
(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture
des diviseurs (360 en a (3+1)(2+1)(1+1) = 24), PGCD par
exposants minimaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 360 = 2³ × 45

]]> Inachevé : 45 = 3² × 5 est composé. On
factorise jusqu'à n'avoir que des premiers.

]]> 360 = 2² × 3² × 10

]]> Presque : le produit vaut bien 360, mais 10 = 2 × 5 n'est pas premier : la décomposition doit
aller jusqu'au bout.

]]> 360 = 2³ × 3² × 5

]]> Bonne réponse : 360 = 8 × 45 = 8 × 9 × 5. La décomposition existe et est unique (à l'ordre
près) : c'est le théorème fondamental.

]]> 360 = 6 × 60

]]> Simple produit : ni 6 ni 60 n'est premier. La
décomposition canonique : 2³ × 3² × 5.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q11 : Petit théorème de Fermat p = 7 est premier et a = 3 n'est pas divisible par 7.
Que donne le petit théorème de Fermat ?

]]> Petit théorème de Fermat : si p premier et p \nmid a,
alors aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p (variante : aᵖ ≡ a
pour tout a). Usage : réduire les exposants géants modulo
p - 1, tests de primalité, RSA.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3⁷ ≡ 1 ±od 7

]]> Exposant faux : la forme en aᵖ est 3⁷ ≡ 3 ±od 7 (congru à a, pas à 1).

]]> 3⁶ ≡ 0 ±od 7

]]> Erreur : 3⁶ n'a que des facteurs 3 : jamais
divisible par 7. Fermat donne le reste 1.

]]> 3⁶ ≡ 1 ±od 7

]]> Bonne réponse : aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p : l'exposant
est p - 1 = 6. Vérification : 3⁶ = 729 = 104 × 7 + 1.

]]> 6³ ≡ 1 ±od 7

]]> Base et exposant échangés : c'est aᵖ⁻¹ = 3⁶.
(D'ailleurs 6³ = 216 ≡ 6 ±od 7.)

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q12 : Inverse modulo $n$ Quel est l'inverse de 3 modulo 7, c'est-à-dire l'entier
x \in \{1, \dots, 6\} tel que 3x ≡ 1 ±od 7 ?

]]> a inversible modulo n \iff \text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1 ;
l'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :
résoudre 3x ≡ 4 ±od 7 : multiplier par 5 :
x ≡ 20 ≡ 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il n'existe pas

]]> Erreur : PGCD(3\ ;\ 7) = 1 garantit l'inverse
(Bézout : 3 × 5 + 7 × (-2) = 1).

]]> x = ⅓

]]> Hors sujet : l'inverse modulaire est un entier : pas
de fractions dans ℤ/n. Ici 5 joue le rôle
de ⅓.

]]> x = 5

]]> Bonne réponse : 3 × 5 = 15 = 2 × 7 + 1 ≡ 1. L'inverse existe car 3 et 7 sont premiers
entre eux (Bézout).

]]> x = 4

]]> 3 × 4 = 12 ≡ 5 ±od 7 : pas 1. On teste
ou on remonte Bézout : x = 5.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q13 : Divisibilité par $3$ Le nombre 741 est-il divisible par 3 ?

]]> 10 ≡ 1 ±od 3 (et ±od 9) : un entier est congru
à la somme de ses chiffres modulo 3 et 9. Les critères
de divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car il ne se termine pas par 3, 6 ou 9

]]> Faux critère : le dernier chiffre teste 2, 5 ou
10 : pour 3, c'est la somme des chiffres qui
décide.

]]> Non, car un multiple de 3 est toujours pair

]]> Erreur : la parité teste la divisibilité par 2, pas
par 3 : 9, 15, 741… sont impairs ET divisibles
par 3.

]]> Impossible à savoir sans poser la division

]]> Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en
deux secondes : c'est toute la force des congruences.

]]> Oui, car 7 + 4 + 1 = 12 est divisible par 3

]]> Bonne réponse : critère fondé sur 10 ≡ 1 ±od 3
: tout nombre est congru à la somme de ses chiffres
modulo 3. (741 = 3 × 247.)

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q14 : Effectuer une division euclidienne Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de 47 par 6 ?

]]> a = bq + r, 0 ≤ r < b : le quotient est le plus grand
multiple qui tient, le reste est le débordement. La
contrainte sur r rend le couple unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quotient 5, reste 7

]]> Rôles échangés : 47 = 6q + r avec
q = 7 (combien de fois 6) et r = 5 (ce qui
déborde).

]]> Quotient 7, reste 5

]]> Bonne réponse : 47 = 6 × 7 + 5, car 6 × 7 = 42 ≤ 47 < 48 = 6 × 8, et 47 - 42 = 5, bien
dans [0\ ;\ 6[.

]]> Quotient 8, reste -1

]]> Reste négatif interdit : la définition impose 0 ≤ r < 6 : on prend le multiple de 6 juste en dessous.

]]> Quotient 7, reste 6

]]> Reste trop grand : r = 6 signifierait qu'une unité de
quotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur
au diviseur.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q15 : Deux entiers consécutifs Que peut-on dire de n et n + 1 pour tout entier n ?

]]> Argument roi : tout diviseur commun de a et b divise
a - b. Pour des consécutifs, la différence vaut 1 : PGCD
= 1. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations
(dont l'infinité des premiers).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leur PGCD est n

]]> Erreur : n \mid n mais n \nmid n + 1 (dès n ≥ 2) : le PGCD tombe à 1.

]]> L'un des deux est toujours premier

]]> Faux : 8 et 9 sont tous deux composés : « premiers
entre eux » ne dit rien de la primalité individuelle.

]]> Ils sont toujours premiers entre eux

]]> Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur
différence (n+1) - n = 1 : le PGCD vaut 1, sans
exception.

]]> Ils ont toujours un facteur commun

]]> Erreur : leur seul diviseur commun est 1 : deux
voisins n'ont rien à partager (l'argument de la
différence le prouve).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q16 : Dernier chiffre et modulo $10$ Quel est le dernier chiffre de 7⁴ ?

]]> Le dernier chiffre est le reste modulo 10 : réduire À
CHAQUE étape garde les nombres minuscules (7² ≡ 9,
puis 7⁴ ≡ 81 ≡ 1). Les puissances modulo 10
tournent en cycles courts (7 : période 4) : les repérer
économise tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Erreur : 4 est l'exposant, pas le reste : le calcul
modulaire donne 1 (7⁴ = 2401).

]]> 9

]]> Arrêt à mi-course : 9 est le dernier chiffre de
7² : encore une élévation au carré : 9² ≡ 1.

]]> 1

]]> Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo
10 : 7² = 49 ≡ 9, puis 7^4 \equiv 9^2 = 81
\equiv 1 \pmod{10}. On réduit à chaque étape (49 → 9, 81 → 1) au lieu de calculer 2401.

]]> 7

]]> Erreur : les derniers chiffres de 7ⁿ tournent :
7, 9, 3, 1, 7, … : au rang 4, le cycle retombe
sur 1.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q17 : Compter les diviseurs Sachant 360 = 2³ × 3² × 5, combien 360
a-t-il de diviseurs positifs ?

]]> Nombre de diviseurs de p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k} :
(e₁ + 1)⋯(eₖ + 1) : chaque diviseur est un choix
d'exposants entre 0 et eᵢ. La décomposition en facteurs
premiers révèle TOUTE la structure multiplicative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3+1)(2+1)(1+1) = 24

]]> Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour
chaque facteur premier : 4 choix pour le 2 (2⁰ à
2³), 3 pour le 3, 2 pour le 5 : produit 24.

]]> 360 ÷ 2 = 180

]]> Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la
décomposition : (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

]]> 3 + 2 + 1 = 6

]]> Addition au lieu de multiplication : les choix
d'exposants sont indépendants : principe
multiplicatif.

]]> 3 × 2 × 1 = 6

]]> Le « +1 » oublié : l'exposant 0 est un choix
légitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant
offre e + 1 possibilités.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q18 : Rendre une fraction irréductible Sachant PGCD(252\ ;\ 105) = 21, quelle est la
forme irréductible de 252/105 ?

]]> Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA
forme irréductible en une étape : c'est l'application
quotidienne de l'algorithme d'Euclide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 84/35

]]> Simplification partielle : diviser par 3 seulement
laisse le facteur 7 commun : le PGCD simplifie EN UNE
FOIS et à fond.

]]> 12/5

]]> Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :
252 ÷ 21/105 ÷ 21 = 12/5, et
12, 5 sont premiers entre eux : irréductible
garanti.

]]> 5/12

]]> Fraction renversée : le numérateur 252 donne 12, le
dénominateur 105 donne 5.

]]> 21/5

]]> Erreur : 21 est le PGCD (le diviseur commun), pas le
numérateur simplifié (252 ÷ 21 = 12).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q19 : Tester la primalité de $97$ Pour vérifier que 97 est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?

]]> Test de primalité : diviser par les premiers ≤ √n : si n = ab avec a ≤ b, alors a ≤ √n. Pour 97 : quatre tests, verdict premier : la
racine carrée divise le travail par dix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Seulement les deux nombres premiers 2 et 3

]]> Insuffisant : 35 = 5 × 7 échappe à 2 et 3 :
il faut monter jusqu'à √n (5 et 7 compris).

]]> Tous les entiers compris entre 2 et 96

]]> Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous √97,
aucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :
9{,}8 est la frontière utile.

]]> Uniquement les nombres pairs inférieurs à 97

]]> Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de
2 : ce sont les premiers IMPAIRS (3, 5, 7) qui
restent à examiner. Ainsi 91 = 7 × 13 n'a aucun
diviseur pair et n'est pourtant pas premier.

]]> Les quatre nombres premiers 2, 3, 5 et 7

]]> Bonne réponse : un composé n = ab a toujours un
facteur ≤ √n ; or \sqrt{97} \approx 9{,}8,
donc il suffit de tester les nombres premiers qui ne
dépassent pas 9 : quatre divisions, aucune ne tombe
juste, 97 est premier.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q20 : Le calendrier modulo $7$ Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans 100 jours ?

]]> Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des
congruences : seul le reste importe. 100 ≡ 2 ±od 7 : le décalage net de 100 jours est de 2 jours.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible sans calendrier

]]> Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique
modulo 7 : le reste répond sans calendrier.

]]> Lundi

]]> Erreur : 100 est un compte « rond » en base 10, ce
qui ne dit rien modulo 7 : seul le reste de 100 par
7 (qui vaut 2) compte.

]]> Vendredi

]]> Erreur de reste : 100 = 98 + 2 et 98 = 14 × 7 :
reste 2, pas 4 : lundi + 2 = mercredi.

]]> Mercredi

]]> Bonne réponse : 100 = 14 × 7 + 2, soit 100 ≡ 2 ±od 7 : les 14 semaines pleines ne
comptent pas, seuls les 2 jours de reste décalent,
deux jours après lundi.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q21 : Reste d'une grande puissance Que vaut le reste de 2¹⁰⁰ dans la division par 7 ?

]]> Puissances modulo n : trouver le cycle (une puissance congrue à 1),
puis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de
Fermat garantit, pour n premier, un cycle dont la longueur divise
n - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur de position dans le cycle : 1 correspond aux exposants
congrus à 0 modulo 3 ; or 100 \equiv 1 \pmod{3}.

]]> 4

]]> Erreur de position dans le cycle : 4 correspond aux exposants
congrus à 2 modulo 3 ; or 100 \equiv 1 \pmod{3}.

]]> 0

]]> Erreur : 2¹⁰⁰ n'a que des facteurs 2 : il n'est
jamais divisible par 7, le reste ne peut pas être nul.

]]> 2

]]> Bonne réponse : 2^{3} \equiv 1 \pmod{7}, donc les restes des puissances
successives forment le cycle 2, 4, 1, de longueur 3 ; comme
100 = 3 × 33 + 1, on a 2¹⁰⁰ ≡ 2¹ ≡ 2.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q22 : Résoudre une congruence $ax \equiv b \pmod n$ Quelles sont les solutions de la congruence 5x \equiv 3
\pmod{7} ?

]]> ax ≡ b ±od n avec PGCD(a\ ;\ n) = 1 :
multiplier par l'inverse de a : x ≡ a⁻¹b.
L'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par
l'algorithme d'Euclide étendu (grands modules).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x \equiv 2 \pmod{7}

]]> Bonne réponse : on multiplie par 3, inverse de 5
modulo 7 (5 × 3 = 15 ≡ 1) ; alors
x ≡ 3 × 3 = 9 ≡ 2. Contrôle : 5 × 2 = 10 ≡ 3.

]]> x = ⅗

]]> Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait
en multipliant par l'inverse modulaire de 5 (qui est 3).

]]> x \equiv 3 \pmod{7}

]]> Contrôle : 5 \times 3 \equiv 1 \not\equiv 3 : c'est l'inverse de
5, pas la solution : il reste à multiplier par 3.

]]> Aucune solution, car 5 ne divise pas 3

]]> Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :
PGCD(5\ ;\ 7) = 1 garantit un inverse, donc une
solution unique modulo 7.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q23 : $n^2$ pair implique $n$ pair Comment démontrer proprement : « si n² est pair, alors
n est pair » ?

]]> Contraposée : « A ⇒ B » équivaut à « non B
⇒ non A » : quand l'hypothèse directe est
difficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se
calcule (2k+1), la parité de n² ne se remonte pas
directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par contraposée : n impair ⇒ n² impair

]]> Bonne réponse : si n est impair, n = 2k + 1 donne
n² = 2(2k² + 2k) + 1, impair. La contraposée se
calcule en une ligne, et elle est logiquement
ÉQUIVALENTE à l'énoncé.

]]> En divisant n² par n pour retrouver n

]]> Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage
par l'écriture n = 2k + 1 (contraposée) est le chemin
rigoureux.

]]> C'est faux, n² pair n'impose rien à n

]]> Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,
dans la preuve de l'irrationalité de √2) : la
contraposée le démontre.

]]> En vérifiant pour n = 2, 4, 6 et 8

]]> Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous
les entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !).

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q24 : Pourquoi Euclide fonctionne L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r) où r est le
reste de a par b. Pourquoi est-elle vraie ?

]]> Deux ingrédients : correction (PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r), par conservation des diviseurs
communs) et terminaison (les restes décroissent strictement
vers 0). Le modèle de toute preuve d'algorithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que r est toujours plus petit que b

]]> C'est la raison de la terminaison (les restes
décroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD
vient de a = bq + r.

]]> Parce que le PGCD est toujours le dernier reste

]]> Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,
pas sa justification.

]]> Parce que a = bq + r conserve les diviseurs communs

]]> Bonne réponse : les diviseurs communs de (a\ ;\ b) et
de (b\ ;\ r) sont exactement les mêmes : d divise
a et b ⇒ il divise r = a - bq ; et d
divise b et r ⇒ il divise a = bq + r :
même PGCD.

]]> C'est une convention posée sans démonstration

]]> Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par
la conservation des diviseurs communs à travers a = bq + r.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q25 : Calculer une congruence À quoi 37 est-il congru modulo 5 ?

]]> Deux entiers sont congrus modulo n lorsqu'ils ont le même reste dans la
division euclidienne par n. Le reste choisi est celui compris entre 0
et n-1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : 37 = 5 × 7 + 2, le reste vaut 2.

]]> 3

]]> Reste faux : 5 × 7 vaut 35, il reste donc 2.

]]> 0

]]> Un reste nul signifierait que 5 divise 37, ce qui n'est pas le
cas.

]]> 7

]]> Quotient recopié : le reste d'une division par 5 est toujours
inférieur à 5.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q26 : Une identité de Bézout Quelle condition garantit l'existence d'entiers u et v tels que
au + bv = 1 ?

]]> Le théorème de Bézout affirme que au + bv = 1 a des solutions entières si
et seulement si a et b sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide
étendu fournit un couple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le PGCD de a et b vaut 1

]]> Bonne réponse : c'est exactement le théorème de Bézout, pour des
entiers premiers entre eux.

]]> a et b sont de signes contraires

]]> Le signe n'intervient pas : la condition porte sur le PGCD.

]]> a divise b

]]> Cette condition donne au contraire un PGCD égal à a, donc supérieur à
1 en général.

]]> a et b sont premiers

]]> Condition trop forte : 4 et 9 ne sont pas premiers mais sont
premiers entre eux.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q27 : Une puissance modulo À quoi 3⁴ est-il congru modulo 5 ?

]]> Le petit théorème de Fermat donne aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p pour p
premier ne divisant pas a. Avec p = 5, toute puissance quatrième d'un
entier non multiple de 5 est congrue à 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Reste faux : 3⁴ vaut 81, dont le reste modulo 5 est 1.

]]> 3

]]> Base recopiée : c'est 3¹ qui est congru à 3.

]]> 0

]]> Un reste nul exigerait que 5 divise 81, ce qui est faux.

]]> 1

]]> Bonne réponse : 81 = 5 × 16 + 1, ce que prédit aussi le petit
théorème de Fermat.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q28 : Un PGCD par l'algorithme d'Euclide Quel est le PGCD de 48 et 18 ?

]]> L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,
jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste
n'est pas nul.

]]> 3

]]> Diviseur commun mais pas le plus grand : 6 divise aussi les deux
nombres.

]]> 144

]]> Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce
qui exclut un PGCD.

]]> 6

]]> Bonne réponse : 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 + 6, 12 = 6 × 2 + 0 ; le dernier reste non nul
est 6.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q29 : Une équation diophantienne L'équation 6x + 9y = 5 admet-elle des solutions entières ?

]]> L'équation ax + by = c admet des solutions entières si et seulement si le
PGCD de a et b divise c. Ici ce PGCD vaut 3, qui ne divise pas
5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, une infinité

]]> L'infinité de solutions apparaît seulement lorsque le PGCD divise le
second membre.

]]> Non, car les coefficients sont positifs

]]> Le signe n'intervient pas : 6x + 9y = 3 a des solutions, avec les
mêmes coefficients.

]]> Non, car 3 divise le membre de gauche

]]> Bonne réponse : le membre de gauche est toujours multiple de 3, alors
que 5 ne l'est pas.

]]> Oui, exactement une

]]> Une équation de ce type n'a jamais exactement une solution entière :
soit aucune, soit une infinité.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q30 : Un jour de la semaine Aujourd'hui est un lundi. Quel jour sera-t-on dans 100 jours ?

]]> Les jours de la semaine se comptent modulo 7. Le reste de la division
euclidienne du nombre de jours par 7 donne le décalage à appliquer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un mardi

]]> Reste faux : 7 × 14 vaut 98, il reste donc deux jours et non
un.

]]> Un lundi

]]> Il faudrait que 100 soit un multiple de 7, ce qui n'est pas le
cas.

]]> Un dimanche

]]> Ce serait le cas pour un reste de 6, obtenu par exemple après 104
jours.

]]> Un mercredi

]]> Bonne réponse : 100 = 7 × 14 + 2, donc deux jours après lundi.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q31 : Retrouver le reste à partir du quotient Dans la division euclidienne de 254 par 7, le quotient vaut
36. Quel est le reste ?

]]> La division euclidienne de a par b (avec b > 0) s'écrit
a = bq + r et 0 ≤ r < b, et ce couple est unique.
Le quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple
soustraction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 36

]]> Quotient recopié : 36 compte combien de fois 7 tient
dans 254 ; le reste est ce qui dépasse.

]]> 2

]]> Bonne réponse : l'égalité 254 = 7 × 36 + r donne
r = 254 - 7 × 36 = 2, bien compris entre 0 et
7.

]]> 5

]]> Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour
atteindre 7 × 36 + 7, et non le reste, qui vaut
2.

]]> 7

]]> Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à
7, il ne peut donc pas lui être égal.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q32 : Diviseur commun et combinaisons Un entier d divise à la fois a et b. Que divise-t-il
nécessairement aussi ?

]]> La définition « a = kd » donne aussitôt : tout diviseur commun
de a et b divise ua + vb pour tous entiers u et v. Cette
propriété fait fonctionner l'algorithme d'Euclide et le théorème
de Bézout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le quotient de a par b, lorsqu'il est entier

]]> Erreur : 4 divise 8 et 4, mais ne divise pas le
quotient 2. Ce sont les combinaisons qui héritent de la
divisibilité.

]]> Tout entier compris entre a et b

]]> Erreur : 3 divise 6 et 12, mais pas 7. Rien n'oblige
les entiers intermédiaires à être des multiples de d.

]]> Toute somme ua + vb avec u et v entiers

]]> Bonne réponse : si a = da' et b = db', alors
ua + vb = d(ua' + vb'). C'est l'outil de base de tous les
raisonnements de divisibilité.

]]> Le successeur a + b + 1 de leur somme

]]> Erreur : d divise a + b, donc il ne divise a + b + 1
que dans le cas particulier d = 1.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q33 : Reste modulo $9$ par la somme des chiffres Quel est le reste de la division euclidienne de 573 par 9 ?

]]> Comme 10 ≡ 1 ±od 9, toute puissance de 10 est congrue à
1 : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo
9. On répète l'opération tant que le résultat dépasse 8.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur 2, 5 et
10 ; pour 9, c'est la somme des chiffres qui décide.

]]> 15

]]> Étape non terminée : la somme des chiffres vaut
15, mais un reste modulo 9 est inférieur à
9 : on recommence sur 15.

]]> 6

]]> Bonne réponse : 10 ≡ 1 ±od 9, donc 573 est congru à
la somme de ses chiffres, qui vaut 15, dont le
reste modulo 9 est 6.

]]> 9

]]> Valeur impossible : le reste d'une division par 9 est
toujours compris entre 0 et 8.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q34 : Pourquoi $1$ n'est pas premier Pourquoi le nombre 1 n'est-il pas un nombre premier ?

]]> Un entier p ≥ 2 est premier lorsqu'il admet exactement deux
diviseurs positifs, 1 et p. Le nombre 1 n'en a qu'un seul et
reste hors de la classification, ce qui garantit l'unicité de la
décomposition en facteurs premiers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il n'a qu'un seul diviseur positif

]]> Bonne réponse : un nombre premier admet exactement deux
diviseurs positifs, 1 et lui-même. Le nombre 1 n'en a
qu'un, il est donc exclu.

]]> C'est une simple convention sans raison

]]> Presque : l'exclusion n'est pas arbitraire, elle rend unique
la décomposition en facteurs premiers, qu'on pourrait sinon
allonger de facteurs 1 à volonté.

]]> Son seul diviseur premier est 1

]]> Erreur : 1 n'étant pas premier, il n'a aucun diviseur
premier. Le critère porte sur le nombre de diviseurs
positifs.

]]> Il est le diviseur de tous les entiers

]]> Vrai mais hors sujet : 1 divise effectivement tout entier,
ce qui ne dit rien sur son propre nombre de diviseurs.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q35 : Produit de deux entiers consécutifs Que peut-on affirmer du produit n(n + 1) de deux entiers
naturels consécutifs ?

]]> Sur deux entiers consécutifs, exactement un est pair : leur
produit est donc toujours divisible par 2. Le même raisonnement
appliqué à n(n+1)(n+2) donne une divisibilité par 6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est toujours pair

]]> Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair,
donc le produit l'est aussi, quelle que soit la parité de n.

]]> Il est pair si n est pair seulement

]]> Cas oublié : si n est impair, alors n + 1 est pair, et le
produit reste pair.

]]> Il est toujours un multiple de 4

]]> Trop fort : 2 × 3 = 6 n'est pas multiple de 4. Un
seul des deux facteurs est pair, il n'apporte qu'un facteur
2.

]]> Il est toujours impair

]]> Contre-exemple immédiat : 2 × 3 = 6 est pair. Un
produit n'est impair que si ses deux facteurs le sont.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q36 : Simplifier une fraction en une seule étape Par quel entier faut-il simplifier la fraction
36/60 pour la rendre irréductible en une seule
étape ?

]]> La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et
dénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui
épuise tous les facteurs partagés. Ici
⅗ a un numérateur et un
dénominateur premiers entre eux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Simplification partielle : diviser par 2 laisse
encore des facteurs communs ; le PGCD 12 termine le travail
en une fois.

]]> 12

]]> Bonne réponse : PGCD(36\ ;\ 60) = 12, et diviser
par ce nombre donne d'un coup la forme irréductible
⅗.

]]> 24

]]> Différence sans rapport : 60 - 36 = 24 ne divise
même pas 36. C'est le PGCD, soit 12, qu'il faut.

]]> 3

]]> Résultat pris pour l'outil : 3 est le numérateur
obtenu après simplification, pas le diviseur employé.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q37 : Chiffre des unités et reste modulo $5$ Un entier N s'écrit avec 7 pour chiffre des unités. Quel est
le reste de N dans la division euclidienne par 5 ?

]]> Un entier est congru modulo 10 à son chiffre des unités. Comme
5 divise 10, la congruence se transporte : le reste modulo 5
se lit sur ce seul chiffre, sans poser la division.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Erreur : N se terminerait alors par 0 ou par 5, ce qui
n'est pas le cas ici.

]]> 2

]]> Bonne réponse : N est congru à son chiffre des unités modulo
10, donc aussi modulo 5 puisque 5 divise 10. Or
7 = 5 + 2, d'où le reste 2.

]]> 7

]]> Étape non terminée : 7 dépasse 5, ce n'est donc pas un
reste valide modulo 5 ; il faut encore retirer 5.

]]> 3

]]> Complément au multiple suivant : il manque 3 à
N pour atteindre un multiple de 5 ; le reste, lui,
compte ce qui dépasse le multiple précédent.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q38 : Hypothèses du petit théorème de Fermat Le petit théorème de Fermat affirme que aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p.
Peut-on l'appliquer à a = 10 et p = 5 ?

]]> Le petit théorème de Fermat s'énonce ainsi : si p est premier et
si p ne divise pas a, alors aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p. Les
deux hypothèses comptent ; lorsque p divise a, on a simplement
a ≡ 0 ±od p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 5 est un nombre premier

]]> Condition incomplète : la primalité de p ne suffit pas, il
faut aussi que p ne divise pas a.

]]> Non, car 10 n'est pas premier

]]> Fausse condition : le théorème ne demande rien à a, sinon de
ne pas être multiple de p. Il s'applique ainsi à a = 4 et
p = 5.

]]> Non, car 5 divise 10

]]> Bonne réponse : le théorème exige que p ne divise pas a.
Ici 10 ≡ 0 ±od 5, donc 10⁴ ≡ 0, et non 1.

]]> Oui, car 10 est plus grand que 5

]]> Sans rapport : la taille de a n'intervient jamais, seule
compte sa divisibilité par p.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q39 : Plus petit facteur premier Quel est le plus petit facteur premier de 91 ?

]]> Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier n, on
teste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne
dépassent pas √n. Si aucun ne convient, n est premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Critère mal appliqué : la somme des chiffres de 91 n'est
pas un multiple de 3, donc 3 ne divise pas 91.

]]> 7

]]> Bonne réponse : 91 n'est divisible ni par 2, ni par 3,
ni par 5, et la division par 7 tombe juste :
91 = 7 × 13.

]]> 13

]]> Facteur exact mais pas le plus petit : 13
divise bien 91, seulement 7 le divise aussi et lui est
inférieur.

]]> 91

]]> Nombre supposé premier : 91 = 7 × 13,
il est donc composé et admet un facteur premier plus petit.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q40 : L'hypothèse du théorème de Gauss On sait que 6 divise 4n. Peut-on en conclure que 6 divise
n ?

]]> Le théorème de Gauss s'énonce : si a divise bc et si a est
premier avec b, alors a divise c. L'hypothèse de primalité
entre eux est indispensable, comme le montre
6 \mid 4 \times 3 alors que 6 ne divise ni 4 ni 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car 6 et 4 ne sont pas premiers entre eux

]]> Bonne réponse : Gauss exige un diviseur premier avec le
facteur écarté. Ici PGCD(6\ ;\ 4) = 2, et n = 3
fournit un contre-exemple : 6 \mid 12 sans diviser 3.

]]> Oui, d'après le théorème de Gauss appliqué au facteur 4

]]> Hypothèse oubliée : le théorème ne s'applique que si le
diviseur est premier avec le facteur écarté, ce qui n'est pas
le cas de 6 et 4.

]]> Non, car 4 ne divise pas 6 non plus

]]> Conclusion juste, raison fausse : l'obstacle est que 6 et
4 ne sont pas premiers entre eux.

]]> Oui, car 6 ne divise pas 4

]]> Mauvais critère : ce qui compte est le PGCD de 6 et 4, qui
vaut 2, et non la divisibilité de l'un par l'autre.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q41 : Existence d'un inverse modulo $12$ Parmi les entiers 2, 3, 5 et 6, lequel admet un inverse
modulo 12 ?

]]> Un entier a admet un inverse modulo n si et seulement si
PGCD(a\ ;\ n) = 1 : Bézout donne alors au + nv = 1,
c'est-à-dire au ≡ 1 ±od n. Les diviseurs de n autres
que 1 n'en ont jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6, moitié de 12

]]> Diviseur commun : PGCD(6\ ;\ 12) = 6 ; aucun multiple
de 6 n'est congru à 1 modulo 12.

]]> 2, car 12 est pair

]]> Diviseur commun : PGCD(2\ ;\ 12) = 2, donc 2x reste
pair et n'est jamais congru à 1 modulo 12.

]]> 3, car 3 × 4 = 12

]]> Diviseur commun : 3x est toujours multiple de 3, or 1 ne
l'est pas, pas davantage modulo 12.

]]> 5, premier avec 12

]]> Bonne réponse : PGCD(5\ ;\ 12) = 1, donc Bézout
fournit un inverse. Ici 5 \times 5 = 25 \equiv 1 \pmod{12} :
5 est son propre inverse.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q42 : Résoudre une congruence par l'inverse Quelles sont les solutions entières de la congruence
2x \equiv 3 \pmod{5} ?

]]> Pour résoudre ax ≡ b ±od n lorsque a est premier avec
n, on multiplie les deux membres par l'inverse de a modulo
n. La solution est unique modulo n et se contrôle en la
reportant dans la congruence de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x \equiv 1 \pmod{5}

]]> Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :
2 × 3 ≡ 1, alors que c'est
l'inverse 3 qu'il faut employer.

]]> x \equiv 3 \pmod{5}

]]> Second membre recopié : 3 est la valeur visée, pas la
solution. Il reste à multiplier par l'inverse de 2.

]]> x \equiv 4 \pmod{5}

]]> Bonne réponse : 2 est premier avec 5, et son inverse
modulo 5 est 3. En multipliant par 3 :
x ≡ 3 × 3 ≡ 4. Contrôle :
2 × 4 = 8 ≡ 3.

]]> x \equiv 0 \pmod{5}

]]> Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le
coefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par
son inverse.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q43 : Réduire une puissance par son cycle Quel est le reste de 2¹¹ dans la division euclidienne par
5 ?

]]> Pour une puissance modulo n, on cherche le plus petit exposant
d tel que aᵈ ≡ 1, puis on réduit l'exposant modulo d.
Le petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand n est
premier, mais le cycle réel peut être plus court.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Cycle mal repéré : le reste vaut 1 quand l'exposant est un
multiple de 4 ; or 11 laisse 3.

]]> 2

]]> Base recopiée : 2 est le reste de 2¹ ; l'exposant
11 déplace le résultat plus loin dans le cycle.

]]> 3

]]> Bonne réponse : 2^{4} \equiv 1 \pmod{5}, et
11 = 4 × 2 + 3, donc
2¹¹ ≡ 2³ ≡ 3.

]]> 0

]]> Reste nul impossible : 2¹¹ n'a que des facteurs
2, qui ne figurent pas dans la décomposition de 5.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q44 : Le PGCD de $2n + 1$ et de $n$ Pour tout entier naturel n non nul, que vaut
PGCD(2n + 1\ ;\ n) ?

]]> L'égalité PGCD(a\ ;\ b) = PGCD(b\ ;\ r) conclut en
une ligne : la division de 2n+1 par n laisse le reste 1,
donc le PGCD vaut PGCD(n\ ;\ 1) = 1. Conserver les
diviseurs communs est bien le principe de l'algorithme d'Euclide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Parité : 2n + 1 est impair, donc 2 ne le divise jamais ;
aucun diviseur commun pair n'est possible.

]]> 2n + 1

]]> Erreur : 2n + 1 est plus grand que n, il ne peut pas
diviser n, donc pas non plus être un diviseur commun.

]]> 1

]]> Bonne réponse : tout diviseur commun divise la combinaison
(2n + 1) - 2 × n = 1, donc vaut 1. Les deux entiers
sont premiers entre eux.

]]> n

]]> Erreur : n divise n, mais il ne divise 2n + 1 que s'il
divise 1. Le PGCD ne peut donc pas valoir n en général.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q45 : Un carré congru à $1$ modulo $4$ Un entier n vérifie n² ≡ 1 ±od 4. Que peut-on en
déduire sur n ?

]]> Étudier un carré modulo 4 revient à examiner les deux restes
possibles de n modulo 2 : pair donne n² ≡ 0, impair
donne n² ≡ 1. C'est le raisonnement par contraposée déjà
utilisé pour « n² pair entraîne n pair ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est pair

]]> Sens inversé : si n était pair, son carré serait multiple de
4, donc congru à 0 et non à 1.

]]> Il est impair

]]> Bonne réponse : un entier pair s'écrit 2k et donne
n² = 4k² ≡ 0. Le carré valant 1, n ne peut être
pair, et (2k+1)² = 4k(k+1) + 1 ≡ 1 confirme le cas
impair.

]]> Il est multiple de 4

]]> Trop fort et faux : n est impair, il n'est donc divisible ni
par 4, ni même par 2.

]]> On ne peut rien en déduire

]]> Erreur : examiner les deux cas de parité suffit, l'un donne
0 modulo 4 et l'autre 1 : la conclusion est certaine.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q46 : Un chiffrement affine On numérote les lettres de A = 0 à Z = 25. Une lettre de rang x
est chiffrée par la lettre de rang y, reste de la division de
3x + 5 par 26. Par quelle lettre la lettre K, de rang 10,
est-elle chiffrée ?

]]> Pour déchiffrer, on résout 3x + 5 \equiv y \pmod{26} : c'est
possible car 3 est inversible modulo 26 (3 × 9 = 27 ≡ 1), d'où x \equiv 9(y - 5) \pmod{26}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La lettre K elle-même

]]> Erreur : le chiffrement transforme le rang 10 en 9, donc la
lettre change.

]]> La lettre J, de rang 9

]]> Bonne réponse : 3 × 10 + 5 = 35 et
35 \equiv 9 \pmod{26}, car 35 = 26 + 9.

]]> La lettre de rang 35

]]> Erreur : il n'y a que 26 lettres. On remplace 35 par son
reste modulo 26.

]]> La lettre P, de rang 15

]]> Erreur : on a ajouté 5 au rang sans le multiplier par 3.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q47 : Arrêter le crible d'Ératosthène Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à 100 avec le crible
d'Ératosthène, on barre les multiples de 2, 3, 5 et 7. Pourquoi
peut-on s'arrêter là ?

]]> Un entier n ≥ 2 qui n'a aucun diviseur premier p avec p² ≤ n
est premier. C'est ce qui arrête le crible et limite les tests de
primalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'il n'existe pas de nombre premier entre 10 et 100

]]> Faux : 11, 13, 97… sont premiers. Ils restent justement
non barrés à la fin du crible.

]]> Parce que les multiples de 11 sont tous supérieurs à 100

]]> Faux : 22, 33, … 99 sont des multiples de 11, mais ils ont
déjà été barrés comme multiples de 2, 3, 5 ou 7.

]]> Parce que 7 est le plus grand nombre premier

]]> L'ensemble des nombres premiers est infini : il n'y a pas de plus
grand nombre premier.

]]> Un nombre composé inférieur à 100 a un facteur premier inférieur ou égal à 10

]]> Bonne réponse : si n = ab avec 1 < a ≤ b, alors a² ≤ n < 100,
donc a < 10 ; le multiple de 11 suivant non barré serait
11² = 121.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q48 : Jusqu'où tester la primalité Pour savoir si 97 est premier, on cherche un diviseur premier.
Quel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?

]]> Pour tester la primalité de n, il suffit d'essayer les nombres
premiers p tels que p² ≤ n. Si aucun ne divise n, alors n est
premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> 9 est bien la partie entière de √97, mais il n'est pas
premier : on teste seulement les diviseurs premiers.

]]> 11

]]> Inutile : 11² = 121 > 97. Si 11 divisait 97, l'autre
facteur serait plus petit que 11 et aurait déjà été trouvé.

]]> 7

]]> Bonne réponse : 7² = 49 ≤ 97 < 121 = 11² ; un diviseur
a ≤ b de 97 = ab vérifierait a² ≤ 97.

]]> 48

]]> Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à √97, car un
diviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q49 : Un PGCD par les décompositions On a a = 2³ × 3² × 5 et b = 2² × 3³ × 7. Quel est le PGCD de a et b ?

]]> Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs
communs au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus
grand exposant. On a de plus PGCD × PPCM = ab.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2² × 3²

]]> Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec
le plus petit exposant ; ici PGCD(a\ ;\ b) = 36.

]]> 2⁵ × 3⁵

]]> Exposants additionnés : c'est la règle du produit ab, pas
celle du PGCD.

]]> 2³ × 3³

]]> Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas
contenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres.

]]> 2³ × 3³ × 5 × 7

]]> C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le
PGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q50 : L'infinité des nombres premiers Pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, on suppose
qu'il n'y en a qu'un nombre fini, p₁, p₂, …, pₙ, et l'on pose
N = p₁p₂⋯ pₙ + 1. Quel est l'argument clé ?

]]> Démonstration attribuée à Euclide : tout entier N ≥ 2 admet un
diviseur premier, et N = p₁ ⋯ pₙ + 1 n'est divisible par aucun pₖ.
La liste supposée complète en oublie donc au moins un.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N est pair, donc divisible par le premier p₁ = 2

]]> N - 1 est pair (il contient le facteur 2), donc N est impair :
2 ne divise justement pas N.

]]> N est forcément un nombre premier lui-même

]]> Pas forcément : 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30 031 = 59 × 509.
L'argument porte sur ses facteurs premiers, pas sur N lui-même.

]]> Aucun pₖ ne divise N, qui a pourtant un facteur premier

]]> Bonne réponse : chaque pₖ divise N - 1, donc le reste de N
dans la division par pₖ vaut 1.
Le facteur premier de N n'est donc aucun des pₖ : contradiction.

]]> N dépasse tous les pₖ, donc il est premier

]]> Être grand ne rend pas premier : 30 031 dépasse 13 sans être
premier. Seule l'absence de diviseur parmi les pₖ compte.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q51 : Utiliser le petit théorème de Fermat Que vaut le reste de 3³³ dans la division par 7 ?

]]> Petit théorème de Fermat : si p est premier et ne divise pas a,
alors aᵖ⁻¹ ≡ 1 ±od p. On réduit donc l'exposant modulo p - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Exposant réduit modulo 7 au lieu de 7 - 1 = 6 : c'est
aᵖ⁻¹ qui vaut 1 modulo p, pas aᵖ.

]]> 6

]]> Bonne réponse : 7 est premier et ne divise pas 3, donc
3^{6} \equiv 1 \pmod{7} ; avec 33 = 6 × 5 + 3, on obtient
3³³ ≡ 3³ ≡ 6.

]]> 3

]]> Le reste n'est pas l'exposant réduit : après 33 \equiv 3 \pmod{6},
il faut encore calculer 3³ modulo 7.

]]> 1

]]> Fermat donne 3⁶ ≡ 1, mais 33 n'est pas un multiple de
6 : il reste 3³ à calculer.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q52 : Entiers premiers entre eux Que signifie « a et b sont premiers entre eux » ?

]]> a et b sont premiers entre eux lorsque PGCD(a\ ;\ b) = 1. C'est
l'hypothèse des théorèmes de Bézout et de Gauss, et de l'existence d'un
inverse modulo n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a et b sont tous deux impairs

]]> Contre-exemple : 9 et 15 sont impairs et ont 3 pour diviseur
commun ; inversement 2 et 3 sont premiers entre eux.

]]> Aucun des deux ne divise l'autre

]]> Contre-exemple : 6 et 10 ne se divisent pas, mais ont 2 pour
diviseur commun.

]]> a et b sont deux nombres premiers

]]> Confusion de vocabulaire : 8 et 15 sont premiers entre eux
sans être premiers ; et 3 et 3 sont premiers sans être premiers
entre eux.

]]> Leur PGCD vaut 1

]]> Bonne réponse : leur seul diviseur commun positif est 1. Exemple :
8 et 15, qui ne sont premiers ni l'un ni l'autre.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q53 : Appliquer le théorème de Bézout Existe-t-il des entiers u et v tels que 9u + 14v = 1 ?

]]> Bézout : \text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff il existe u, v entiers tels que
au + bv = 1. Si le PGCD vaut d > 1, toute combinaison au + bv est un
multiple de d.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car 9 + 14 ≠ 1

]]> Raisonnement faux : Les coefficients u et v sont libres : on ne demande pas a + b = 1,
mais une combinaison au + bv = 1.

]]> Oui, par exemple u = -3 et v = 2

]]> Bonne réponse : PGCD(9\ ;\ 14) = 1, donc un couple de Bézout existe ;
on vérifie 9 × (-3) + 14 × (2) = 1.

]]> Non, car ni 9 ni 14 n'est un nombre premier

]]> Raisonnement faux : Être premiers entre eux ne demande pas d'être premiers : PGCD(9\ ;\ 14) = 1
suffit, d'après le théorème de Bézout.

]]> Non, car u et v devraient être des fractions

]]> Raisonnement faux : Des entiers conviennent : 9 × (-3) + 14 × (2) = 1.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q54 : Appliquer le théorème de Gauss x est un entier tel que 7 divise 12x. Que peut-on en déduire ?

]]> Théorème de Gauss : si n divise ab et si n est premier avec a,
alors n divise b. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la
conclusion tombe : 6 \mid 4 \times 3 sans que 6 \mid 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut rien conclure sur x

]]> Le théorème de Gauss conclut ici : si n \mid ab et
PGCD(n\ ;\ a) = 1, alors n \mid b.

]]> 7 divise x

]]> Bonne réponse : PGCD(7\ ;\ 12) = 1, donc par le théorème
de Gauss, 7 divise x.

]]> x = 7

]]> Trop précis : x peut être n'importe quel multiple de 7 (par
exemple 2 × 7).

]]> 7 divise 12

]]> Faux : 7 ne divise pas 12. C'est justement parce qu'ils sont
premiers entre eux que 7 doit diviser l'autre facteur.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q55 : Trouver un couple de Bézout Quel couple (u\ ;\ v) d'entiers vérifie 7u + 4v = 1 ?

]]> Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,
pour de petits nombres, en cherchant u tel que au ≡ 1 ±od b. On
vérifie toujours en recalculant au + bv.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-3\ ;\ -5)

]]> Signe de u inversé : 7u + 4v vaut alors -41.

]]> (3\ ;\ 5)

]]> Signe de v inversé : 7u + 4v vaut alors 41.

]]> (3\ ;\ -5)

]]> Bonne réponse : 7 × 3 + 4 × (-5) = 21 + (-20) = 1.

]]> (-5\ ;\ 3)

]]> Valeurs échangées : 7u + 4v vaut alors -23, pas 1.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q56 : Deux congruences simultanées Quel est le plus petit entier naturel x tel que x \equiv 2 \pmod{3} et
x \equiv 3 \pmod{5} ?

]]> Lemme chinois : si m et n sont premiers entre eux, le système
x ≡ r ±od m, x ≡ s ±od n a une solution unique modulo mn.
On la trouve en parcourant r, r + m, r + 2m, …

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Seule la seconde condition est remplie : modulo 3, le reste de
3 vaut 0.

]]> 23

]]> C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut
retirer 15 et obtenir 8.

]]> 8

]]> Bonne réponse : 8 a pour reste 2 modulo 3 et 3 modulo 5. Les
solutions sont les 8 + 15k, car 3 et 5 sont premiers entre eux.

]]> 2

]]> Seule la première condition est remplie : modulo 5, le reste de
2 vaut 2.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q57 : Déchiffrer un chiffrement affine Les lettres sont numérotées de 0 à 25 et chiffrées par
y \equiv 3x + 5 \pmod{26}. Quelle formule permet de déchiffrer ?

]]> Un chiffrement affine y \equiv ax + b \pmod{26} se déchiffre par
x ≡ a'(y - b), où a' est l'inverse de a modulo 26. Il n'existe
que si a est premier avec 26.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x \equiv 3(y - 5) \pmod{26}

]]> Multiplier par 3 chiffre une seconde fois : pour défaire la
multiplication par 3, il faut son inverse modulo 26.

]]> x \equiv 23(y - 5) \pmod{26}

]]> 23 ≡ -3 est l'opposé de 3 modulo 26, pas son inverse :
3 \times 23 \not\equiv 1 \pmod{26}.

]]> x \equiv 9(y - 5) \pmod{26}

]]> Bonne réponse : 3x ≡ y - 5, et 9 est l'inverse de 3 modulo 26
(3 × 9 = 27 ≡ 1).

]]> x \equiv 9y - 5 \pmod{26}

]]> Ordre des opérations : on retire d'abord 5, puis on multiplie
par l'inverse ; ici le 5 n'est pas multiplié par 9.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q58 : Choisir une clé de chiffrement affine On chiffre les lettres (numérotées de 0 à 25) par
y \equiv ax + 3 \pmod{26}. Pour quelle valeur de a deux lettres
différentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?

]]> La clé a d'un chiffrement affine doit être première avec 26, c'est-à-dire
impaire et différente de 13 modulo 26 : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a = 7

]]> Bonne réponse : 7 est premier avec 26, donc il a un inverse modulo 26
et le chiffrement se déchiffre.

]]> a = 13

]]> PGCD(13\ ;\ 26) = 13 : les lettres 0 et 2 donnent la même
lettre chiffrée, car 13 \times 2 = 26 \equiv 0 \pmod{26}.

]]> a = 4

]]> PGCD(4\ ;\ 26) = 2 : les lettres 0 et 13 donnent la même
lettre chiffrée, car 4 \times 13 = 52 \equiv 0 \pmod{26}.

]]> a = 2

]]> PGCD(2\ ;\ 26) = 2 : les lettres 0 et 13 donnent la même
lettre chiffrée, car 2 \times 13 = 26 \equiv 0 \pmod{26}.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q59 : Calculer une clé privée RSA Dans un système RSA, n = 3 × 11 = 33 et la clé publique est e = 7.
La clé privée d vérifie ed \equiv 1 \pmod{(p - 1)(q - 1)}. Que vaut d
(entre 1 et 20) ?

]]> RSA : on chiffre par c ≡ mᵉ ±od n et l'on déchiffre par
m ≡ cᵈ ±od n, avec ed \equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)}. La sécurité
repose sur la difficulté de factoriser n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc d = 7

]]> Clé publique recopiée : 7 \times 7 \not\equiv 1 \pmod{20} ici.

]]> d = 13

]]> 20 - 7 est l'opposé de e modulo 20 : ed serait alors
congru à -7², pas à 1.

]]> d = 3

]]> Bonne réponse : (p - 1)(q - 1) = 2 × 10 = 20 et
7 \times 3 = 21 \equiv 1 \pmod{20}.

]]> d = 19

]]> C'est l'inverse de 7 modulo n = 33 ; la clé privée est l'inverse
modulo (p - 1)(q - 1) = 20.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q60 : Chiffrer une lettre Les lettres sont numérotées de 0 (A) à 25 (Z) et chiffrées par
y \equiv 3x + 5 \pmod{26}, avec 0 ≤ y ≤ 25. Quel est le nombre y
associé à x = 6 ?

]]> Chiffrer : calculer ax + b, puis prendre le reste modulo 26. Le
résultat est toujours un entier entre 0 et 25, donc une lettre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 18

]]> Le décalage +5 a été oublié : on calcule 3x + 5 avant de
réduire modulo 26.

]]> y = 23

]]> Bonne réponse : 3 × 6 + 5 = 23, dont le reste dans la
division par 26 vaut 23.

]]> y = 7

]]> Parenthèses mal placées : la formule est 3x + 5, et non
3(x + 5).

]]> y = 11

]]> Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par 3
manque.

]]> Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q61 : Clé de contrôle modulo $11$ Un code ISBN-10 a₁a₂… a₁₀ vérifie
10a_1 + 9a_2 + \dots + 2a_9 + a_{10} \equiv 0 \pmod{11}. Pourquoi une erreur
sur un seul chiffre est-elle toujours détectée ?

]]> Les clés de contrôle (ISBN, RIB, numéro INSEE) reposent sur une
congruence. Un module premier rend tous les poids inversibles, ce qui
garantit la détection d'une erreur sur un chiffre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'une erreur change toujours le dernier chiffre a₁₀

]]> L'erreur peut porter sur n'importe quel chiffre ; c'est la somme
pondérée qui la révèle, pas le dernier chiffre seul.

]]> Parce que la somme pondérée obtenue est toujours paire

]]> Rien n'impose la parité de la somme ; la détection repose sur la
divisibilité par 11.

]]> Parce que chaque chiffre du code est inférieur à 11

]]> C'est nécessaire, mais insuffisant : avec des poids multiples de
11, une erreur passerait inaperçue. Il faut que 11 soit premier
avec chaque poids et chaque écart.

]]> Une erreur δ sur aₖ change la somme de c δ, non multiple de 11

]]> Bonne réponse : si aₖ change de δ ≠ 0, la somme change de c δ ;
11 est premier et ne divise ni le poids c
(entre 1 et 10) ni δ (entre -10 et 10), donc il ne divise
pas c δ : la somme n'est plus multiple de 11.

]]>