$course$/QCM de maths/Maths expertes/Nombres complexes : point de vue algébrique L'ensemble ℂ, partie réelle et partie imaginaire,
opérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un
nombre complexe non nul, équations az = b et équations
simples faisant intervenir z et \bar{z}, formule du binôme.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q01 : Le nombre $i$ Quelle égalité définit le nombre i ?

]]> ℂ est construit en adjoignant à ℝ un
nombre i tel que i² = -1 ; tout complexe s'écrit alors
z = a + ib (a, b réels). Puissances utiles : i³ = -i,
i⁴ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc i² = -1

]]> Bonne réponse : i est introduit comme un nombre dont le
carré vaut -1 : la clé qui ouvre la résolution de
toutes les équations du second degré.

]]> i² = 1

]]> Erreur : les nombres de carré 1 sont 1 et -1, déjà
réels. La nouveauté de i : i² = -1.

]]> i = √-1, avec les règles usuelles des racines

]]> Piège d'écriture : la notation √\ est réservée
aux réels positifs ; l'utiliser avec -1 mène à des
absurdités (1 = √1 = √(-1)(-1) = i × i = -1 ?!). On dit : i² = -1.

]]> i = -1

]]> Erreur : (-1)² = 1 ≠ -1. Le nombre i n'est pas
réel : c'est son carré qui vaut -1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q02 : Parties réelle et imaginaire Soit z = 3 - 5i. Que valent la partie réelle et la partie
imaginaire de z ?

]]> Forme algébrique z = a + ib : Re(z) = a,
Im(z) = b, tous deux réels. Deux complexes sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Re(z) = 3 et Im(z) = 5

]]> Erreur de signe : z = 3 + (-5)i : le coefficient de
i est -5.

]]> Re(z) = -5 et Im(z) = 3

]]> Rôles échangés : la partie réelle est le terme sans
i (3).

]]> Re(z) = 3 et Im(z) = -5

]]> Bonne réponse : dans z = a + ib, la partie imaginaire
est le réel b (ici -5), sans le facteur i.

]]> Re(z) = 3 et Im(z) = -5i

]]> Erreur de convention : la partie imaginaire est un
nombre réel (le coefficient de i), pas -5i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q03 : Produit de deux complexes Que vaut le produit (2 + i)(3 - 2i) ?

]]> Les opérations dans ℂ suivent les règles usuelles,
avec i² = -1 : (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 - i

]]> Erreur de signe sur i² : le produit des parties
imaginaires donne (-2) i², qu'il faut retrancher
à la partie réelle.

]]> 8 + i

]]> Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut
-4 + 3 = -1.

]]> 8 - i

]]> Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut
6 - (-2) = 8 (car i² = -1) et la partie
imaginaire -4 + 3 = -1.

]]> 6 - 2i

]]> Erreur : produit des seules parties réelles et des seules
parties imaginaires. On développe entièrement (double
distribution), avec i² = -1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q04 : Conjugué d'un nombre complexe Quel est le conjugué de z = 4 + 3i ?

]]> \overline{a + ib} = a - ib. Propriétés (démonstrations au
programme) : \overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'},
\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}, et
z\bar{z} = a^2 + b^2, réel positif : l'outil des
divisions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \bar{z} = -4 - 3i

]]> Erreur : c'est l'opposé -z. Le conjugué ne touche
pas la partie réelle.

]]> \bar{z} = 4 - 3i

]]> Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire seulement (symétrie par rapport à l'axe
réel).

]]> \bar{z} = 3 + 4i

]]> Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe
de la partie imaginaire bascule.

]]> \bar{z} = -4 + 3i

]]> Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer
agit sur le terme en i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q05 : Inverse d'un complexe Quelle est la forme algébrique de 1/1 + 2i ?

]]> Méthode systématique : \dfrac{1}{z} =
\dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}, le dénominateur z\bar{z} =
a^2 + b^2 étant réel. Ici : 1-2i/5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅕ - ⅖i

]]> Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le
conjugué : 1 - 2i/(1+2i)(1-2i) = 1 - 2i/1 + 4 = 1 - 2i/5.

]]> ⅕ + ⅖i

]]> Erreur de signe : le numérateur est le conjugué
1 - 2i : la partie imaginaire de l'inverse est
négative.

]]> 1/1 + 1/2i

]]> Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des
inverses (déjà faux chez les réels !).

]]> 1 - 2i

]]> Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il
faut diviser par z\bar{z} = 5.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q06 : Équation linéaire $az = b$ Quelle est la solution de l'équation (1 + i)z = 4 ?

]]> az = b ⇒ z = b/a, calculé par le
conjugué. Toujours vérifier : (1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i + 2 = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2 - 2i

]]> Bonne réponse : z = \dfrac{4}{1+i} = \dfrac{4(1-i)}
{(1+i)(1-i)} = \dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i).

]]> z = 4(1 + i)

]]> Erreur : multiplier par 1 + i au lieu de diviser.
Contrôle : (1+i) × 4(1+i) = 4(1+i)² = 8i ≠ 4.

]]> z = 4 - i

]]> Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on
divise par 1 + i (via le conjugué).

]]> z = 2 + 2i

]]> Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est
1 - i, qui transmet son signe : z = 2 - 2i.
(Contrôle : (1+i)(2+2i) = 4i ≠ 4.)

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q07 : Équation avec $z$ et $\bar{z}$ Quelles sont les solutions de l'équation z + \bar{z} = 6 ?

]]> Méthode : poser z = x + iy et identifier.
z + \bar{z} = 2x et z - \bar{z} = 2iy : les équations en
z, \bar{z} se traduisent en conditions sur x et y.
Ici, l'ensemble des solutions est la droite verticale
d'équation x = 3 du plan complexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les complexes de partie réelle 3

]]> Bonne réponse : avec z = x + iy : z + \bar{z} = 2x =
6, donc x = 3, et y reste libre : une droite de
solutions, la droite verticale d'équation x = 3 du plan
complexe.

]]> Uniquement le nombre réel z = 6

]]> Erreur : 6 + \bar{6} = 12 \neq 6. La somme
z + \bar{z} vaut 2 Re(z) : on résout
2x = 6.

]]> Aucun nombre complexe ne vérifie cette équation

]]> Erreur : tout z = 3 + iy convient : une infinité de
solutions.

]]> Uniquement le nombre réel z = 3

]]> Incomplet : 3 + 4i convient aussi (z + \bar{z} = 6).
La partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est
libre.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q08 : Conjugué d'un produit Pour tous complexes z et z', que vaut \overline{z\,z'} ?

]]> Propriétés de la conjugaison : \overline{z + z'} = \bar{z} +
\bar{z'}, \overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'},
\overline{z^n} = \bar{z}^n, \overline{1/z} = 1/\bar{z} :
elle commute avec toutes les opérations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \bar{z} + \bar{z'}

]]> Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la
somme, pas du produit.

]]> -\bar{z} \times \bar{z'}

]]> Erreur : conjuguer n'introduit aucun signe moins global
(seule la partie imaginaire bascule) ; le conjugué d'un
produit est le produit des conjugués, sans opposé.

]]> \bar{z} \times z'

]]> Erreur : la conjugaison porte sur tout le produit,
donc sur chacun des deux facteurs ; ne conjuguer que z
ne donne le bon résultat que si z' est réel.

]]> \bar{z} \times \bar{z'}

]]> Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits
(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après
multiplication revient au même.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q09 : Formule du binôme dans $\mathbb{C}$ Que vaut (1 + i)², et qu'en déduit-on pour
(1 + i)⁴ ?

]]> La formule du binôme vaut dans ℂ (démonstration au
programme). (1+i)² = 2i et (1+i)⁴ = -4 : exemple
fétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (1+i)² = 2, donc (1+i)⁴ = 4

]]> Erreur : le double produit 2i ne disparaît pas :
(1+i)² = 1 + 2i - 1 = 2i (imaginaire pur).

]]> (1+i)² = 2i, donc (1+i)⁴ = 4i

]]> Erreur à la deuxième étape : (2i)² = 4i² = -4, réel
négatif (i² = -1 frappe encore).

]]> (1+i)² = 2i, donc (1+i)⁴ = (2i)² = -4

]]> Bonne réponse : 1 + 2i + i² = 2i, puis (2i)² = 4i² = -4 : les puissances se calculent par étages.

]]> (1+i)² = 1 + i² = 0

]]> Erreur classique : le carré d'une somme exige le double
produit : 1 + 2i + i² = 2i ≠ 0.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q10 : Le produit $z\bar{z}$ Soit z = a + ib (avec a, b réels). Que vaut
z\,\bar{z} ?

]]> z\bar{z} = a^2 + b^2 : toujours réel positif, nul
seulement pour z = 0. C'est le carré du module
(|z|^2 = z\bar{z}, exploité au chapitre géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a² - b²

]]> Erreur de signe : -(ib)² = -i²b² = +b² : le
i² = -1 retourne le signe.

]]> 2a

]]> Confusion : 2a = z + \bar{z} (la somme). Le
produit donne a² + b².

]]> a² + b²

]]> Bonne réponse : (a+ib)(a-ib) = a² - (ib)² = a² + b², un réel positif : l'identité remarquable qui rend
les dénominateurs réels.

]]> a² + b² i

]]> Erreur : les termes croisés -iab + iab s'annulent :
le produit est réel.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q11 : Caractériser les réels par la conjugaison Soit z un nombre complexe. Que signifie l'égalité
\bar{z} = z ?

]]> Caractérisations utiles : z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow
\bar{z} = z ; z imaginaire pur \Leftrightarrow \bar{z} =
-z. Elles transforment des questions de nature en équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 0

]]> Trop restrictif : tout réel (7, -3, π…) est égal
à son conjugué.

]]> z = 1

]]> Trop restrictif : la propriété caractérise tous les
réels, pas seulement 1.

]]> z est un nombre réel

]]> Bonne réponse : \bar{z} = z \Leftrightarrow -b = b
\Leftrightarrow b = 0 : la partie imaginaire est nulle.
(De même : \bar{z} = -z \Leftrightarrow z imaginaire
pur.)

]]> z est un imaginaire pur

]]> Inversé : l'imaginaire pur vérifie \bar{z} = -z
(partie réelle nulle).

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q12 : Puissances de $i$ Que vaut i²⁰²⁶ ?

]]> Cycle des puissances : i¹ = i, i² = -1, i³ = -i,
i⁴ = 1, puis répétition. Calculer iⁿ : réduire n
modulo 4 (un avant-goût des congruences du chapitre
d'arithmétique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Bonne réponse : les puissances de i tournent avec une
période 4 (i, -1, -i, 1) ; 2026 = 4 × 506 + 2,
donc i²⁰²⁶ = i² = -1.

]]> i

]]> Erreur : iⁿ = i correspond à n ≡ 1 ±od 4 ;
le reste de 2026 est 2.

]]> -i

]]> Erreur : -i correspond au reste 3. Ici 2026 = 4 × 506 + 2 : i²⁰²⁶ = -1.

]]> 1

]]> Erreur : iⁿ = 1 exige n multiple de 4 ; or
2026 ≡ 2 ±od 4.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q13 : Somme de deux complexes Que vaut la somme (3 + 2i) + (1 - 5i) ?

]]> Addition composante par composante, comme des vecteurs :
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). La structure la
plus simple du chapitre : la géométrie dira « translation ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9i

]]> Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la
somme garde deux composantes : 4 et -3i.

]]> 4 - 3i

]]> Bonne réponse : parties réelles ensemble (3 + 1),
parties imaginaires ensemble (2 - 5).

]]> -1 + 7i

]]> Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles
(3 + 1 = 4), sans croiser les imaginaires.

]]> 4 + 7i

]]> Signe : 2i + (-5i) = -3i : le moins de 5i compte.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q14 : Identifier parties réelles et imaginaires x et y sont des réels tels que x + 2i = 3 + yi. Que
valent x et y ?

]]> Identification : a + ib = c + id \iff a = c et b = d
(a, b, c, d réels). Une égalité complexe se dédouble en
deux égalités réelles : l'outil des équations à
coefficients inconnus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2 et y = 3

]]> Croisement : x (réel) s'identifie à 3 (réel), et le
coefficient 2 de i à y.

]]> x = 3 + yi - 2i, on ne peut pas mieux

]]> Erreur : x est RÉEL par hypothèse : sa partie
imaginaire est nulle, ce qui force y = 2.

]]> Impossible : une équation ne détermine pas deux
inconnues

]]> Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations
réelles (une par partie) : exactement de quoi trouver
x et y.

]]> x = 3 et y = 2

]]> Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles ET imaginaires
coïncident : x = 3, 2 = y.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q15 : Quotient de deux complexes Quelle est la forme algébrique de 2 + i/1 - i ?

]]> Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui
rend celui-ci réel (z\bar{z} = |z|^2). Contrôle : multiplier le
résultat par le dénominateur redonne le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 + 3i/0

]]> Dénominateur : (1 - i)(1 + i) = 1 + 1 = 2 ;
i² = -1 transforme la différence en somme : c'est |1 - i|².

]]> 3 + 3i/2

]]> Développement du numérateur : le terme en i² vaut -1
fois le produit des parties imaginaires, il change de signe.

]]> 2 - i

]]> Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode
passe par le conjugué du dénominateur.

]]> 1 + 3i/2

]]> Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué
1 + i : numérateur (2 + i)(1 + i) = 1 + 3i,
dénominateur 1 + 1 = 2.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q16 : La différence $z - \bar{z}$ Pour z = a + ib, que vaut z - \bar{z} ?

]]> Les deux extracteurs : z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z) et
z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z) : somme pour le réel,
différence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations
en z, \bar{z} en systèmes réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2b

]]> Le i perdu : la différence vaut 2ib, imaginaire
pur : 2b serait un réel.

]]> 2a

]]> Confusion avec la somme : z + \bar{z} = 2a, un réel :
la différence, elle, isole l'imaginaire.

]]> 2ib

]]> Bonne réponse : (a + ib) - (a - ib) = 2ib : la partie
réelle s'annule, la partie imaginaire double : le résultat
est un imaginaire pur.

]]> 0

]]> Erreur : z - \bar{z} = 0 seulement si z est réel
(b = 0) : en général, il reste 2ib.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q17 : Racines carrées d'un réel négatif Quelles sont les solutions complexes de z² = -9 ?

]]> z² = -k (k > 0) : solutions ± i√k : la
brique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir ± i√|Δ|).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 3i seulement

]]> Moitié : (-3i)² = -9 aussi : une équation de degré
2 garde ses deux racines dans ℂ.

]]> Aucune : un carré est toujours positif

]]> Réflexe réel périmé : dans ℂ, tout nombre a
des racines carrées : c'est la raison d'être de i.

]]> z = -3 seulement

]]> Erreur : (-3)² = +9 ≠ -9 : aucun réel n'a de carré
négatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire.

]]> z = 3i et z = -3i

]]> Bonne réponse : (3i)² = 9i² = -9 et (-3i)² = -9 :
les « racines carrées » de -9 sont imaginaires pures,
conjuguées l'une de l'autre.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q18 : Calculer $(1 + i)^3$ Que vaut (1 + i)³ ?

]]> Stratégie des puissances : passer par le carré ((1+i)² = 2i, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :
|1+i|³ = (√2)³ = 2√2 = |-2 + 2i| ✓.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 + 3i

]]> Erreur : multiplier par 3 n'est pas élever au cube :
(1+i)³ se calcule via (1+i)² = 2i.

]]> -2 + 2i

]]> Bonne réponse : (1+i)² = 2i, puis (1+i)³ = 2i(1 + i) = 2i + 2i² = -2 + 2i : par étages, jamais en force.

]]> 2 + 2i

]]> Signe : 2i × i = 2i² = -2 : la partie réelle
est négative.

]]> 1 + i³ = 1 - i

]]> Cube distribué à tort : (a + b)³ ≠ a³ + b³ : le
binôme complet (ou le calcul par étages) est
obligatoire.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q19 : Conjugué d'une somme À quoi \overline{z + z'} est-il égal ?

]]> La conjugaison est compatible avec toutes les opérations : somme, produit,
quotient et puissance. Elle laisse fixes exactement les nombres réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \overline{z} \times \overline{z'}

]]> Opération changée : c'est pour un produit que l'on obtient un produit
de conjugués.

]]> \bar{z} - \bar{z'}

]]> Signe inventé : la conjugaison ne transforme pas une somme en
différence.

]]> z + z'

]]> La conjugaison ne laisse invariants que les nombres réels.

]]> \bar{z} + \bar{z'}

]]> Bonne réponse : la conjugaison change le signe de la partie imaginaire,
terme par terme.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q20 : Forme algébrique d'un quotient Quelle est la forme algébrique de 1/2 - i ?

]]> Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient, on multiplie numérateur et
dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient alors réel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 + i

]]> Conjugué recopié : il sert au calcul, mais le dénominateur 5 reste à
appliquer.

]]> ½ + 1/i

]]> Termes traités séparément : l'inverse d'une différence n'est pas la
différence des inverses, et 1/i vaut -i.

]]> ⅖ + ⅕i

]]> Bonne réponse : on multiplie haut et bas par 2 + i, et le
dénominateur devient 5.

]]> ⅖ - ⅕i

]]> Signe de la partie imaginaire : multiplier par le conjugué donne
2 + i au numérateur.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q21 : Un imaginaire pur Quelle condition caractérise un nombre complexe imaginaire pur ?

]]> Un complexe est réel lorsque z = \bar{z}, et imaginaire pur lorsque
z = -\bar{z}. Dans le plan, ces deux cas correspondent aux deux axes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est égal à son conjugué

]]> Cette égalité caractérise les réels ; un imaginaire pur est l'opposé de
son conjugué.

]]> Son module est nul

]]> Un module nul caractérise le seul nombre 0.

]]> Sa partie imaginaire est nulle

]]> Cette condition caractérise au contraire les nombres réels.

]]> Sa partie réelle est nulle

]]> Bonne réponse : il s'écrit alors ib avec b réel.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q22 : Une équation avec le conjugué Quelle est la solution de 2z + \bar{z} = 6 + i ?

]]> Une équation mêlant z et \bar{z} se résout en posant z = x + iy,
puis en identifiant parties réelle et imaginaire des deux membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 3 + i

]]> Partie réelle fausse : les deux termes en x s'ajoutent, d'où
3x = 6.

]]> z = 6 + i

]]> Second membre recopié : il reste à résoudre le système obtenu.

]]> z = 2 - i

]]> Signe de la partie imaginaire : le calcul donne y = 1, car
2iy - iy vaut iy.

]]> z = 2 + i

]]> Bonne réponse : en posant z = x + iy, on obtient 3x = 6 et
y = 1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q23 : Calculer $i^{2026}$ Combien vaut i²⁰²⁶ ?

]]> Les puissances de i se répètent de quatre en quatre : i, -1, -i,
1. Il suffit donc de calculer le reste de l'exposant dans la division par
4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Bonne réponse : 2026 = 4 × 506 + 2, donc la puissance vaut
i².

]]> i

]]> Reste faux : la valeur i correspond à un reste de 1 dans la
division par 4.

]]> -i

]]> Reste faux : la valeur -i correspond à un reste de 3.

]]> 1

]]> Reste faux : la valeur 1 correspond à un exposant multiple de 4.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q24 : Développer le carré d'un complexe Quelle est la forme algébrique de (2 + 3i)² ?

]]> Les identités remarquables valent dans ℂ comme dans
ℝ. La seule différence est la simplification i² = -1 à la
fin du calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -5 + 6i

]]> Double produit mal calculé : le facteur 2 manque, il vaut 12i.

]]> 13 + 12i

]]> Carré de i oublié : 9i² vaut -9, pas +9.

]]> -5 + 12i

]]> Bonne réponse : 4 + 12i + 9i², et 9i² vaut -9.

]]> 4 + 9i

]]> Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q25 : Calculer le produit $z\bar{z}$ Pour z = 3 - 4i, que vaut z\bar{z} ?

]]> Pour tout complexe z = a + ib, le produit z\bar{z} vaut a² + b²,
c'est-à-dire |z|². C'est ce qui permet de rationaliser un quotient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> Bonne réponse : le produit vaut 9 + 16, soit le carré du module.

]]> 25i

]]> Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif.

]]> 5

]]> Module recopié : le produit z\bar{z} vaut le carré du module.

]]> -7

]]> Carré développé sans conjugaison : (3 - 4i)² vaut -7 - 24i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q26 : Identifier deux complexes Quelle condition traduit l'égalité de deux nombres complexes ?

]]> L'unicité de la forme algébrique transforme une équation complexe en un
système de deux équations réelles. C'est la méthode d'identification.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Mêmes modules, quels que soient les arguments

]]> Deux complexes de même module peuvent différer, par exemple 1 et
-1.

]]> Mêmes conjugués et mêmes modules

]]> L'égalité des conjugués suffit à elle seule, la condition sur les
modules est redondante.

]]> Mêmes arguments, quels que soient les modules

]]> Deux complexes de même argument peuvent différer par leur module,
comme 1 et 2.

]]> Mêmes parties réelles et imaginaires

]]> Bonne réponse : l'écriture algébrique est unique, ce qui fournit deux
équations réelles.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q27 : Résoudre $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif Quelles sont les solutions de z² = -16 dans ℂ ?

]]> Dans ℂ, l'équation z² = a avec a réel négatif admet deux
solutions imaginaires pures opposées, ± i√-a. C'est l'extension
qui motive l'introduction de i.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 et -4

]]> Carré positif : (4)² vaut 16, pas -16.

]]> 4 i et -4 i

]]> Bonne réponse : (4 i)² = 16 i² = -16, et l'opposé convient aussi.

]]> 16i seulement

]]> Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :
(16i)² vaut -256.

]]> Aucune solution

]]> Dans ℂ, toute équation de ce type admet deux solutions
opposées.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q28 : Un complexe réel Quelle condition sur z traduit que z est un nombre réel ?

]]> Un complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué, et
imaginaire pur si et seulement s'il est l'opposé de son conjugué. Ces deux
critères évitent de passer par les parties réelle et imaginaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = \bar{z}

]]> Bonne réponse : la partie imaginaire est alors son propre opposé, donc
nulle.

]]> z = -\bar{z}

]]> Cette condition caractérise les imaginaires purs.

]]> |z| = 1

]]> Cette condition décrit le cercle unité, qui contient des complexes non
réels.

]]> z\bar{z} = 1

]]> Cette égalité équivaut à |z| = 1, ce qui ne caractérise pas les
réels.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q29 : Une somme de puissances Combien vaut 1 + i + i² + i³ ?

]]> La somme de quatre puissances consécutives de i est toujours nulle,
puisque le cycle i, -1, -i, 1 se compense exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2i

]]> Signes ignorés : les deux termes imaginaires sont opposés.

]]> 0

]]> Bonne réponse : 1 + i - 1 - i se simplifie entièrement.

]]> 2

]]> Même remarque pour les termes réels : 1 et -1 se compensent.

]]> 1

]]> Termes mal simplifiés : i² vaut -1 et i³ vaut -i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q30 : Conjugué d'un quotient À quoi \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} est-il égal, pour
z' non nul ?

]]> La conjugaison est compatible avec les quatre opérations. Elle se comporte
donc comme un changement de signe global de la partie imaginaire, appliqué
terme à terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \overline{z} \times \overline{z'}

]]> Opération changée : un quotient reste un quotient après conjugaison.

]]> \dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}

]]> Bonne réponse : la conjugaison passe au numérateur comme au
dénominateur.

]]> \dfrac{z}{\bar{z'}}

]]> Conjugaison incomplète : elle s'applique aux deux nombres.

]]> \dfrac{\bar{z'}}{\bar{z}}

]]> Quotient inversé : la conjugaison ne permute pas les deux termes.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q31 : Différence de deux complexes Que vaut la différence (5 + 3i) - (2 + 7i) ?

]]> La soustraction se fait composante par composante :
(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d). Le signe moins se
distribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 + 10i

]]> Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre
entier qui est retranché, donc 3 - 7 = -4.

]]> 3 - 4i

]]> Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre
elles (5 - 2 = 3) et les parties imaginaires de
même (3 - 7 = -4).

]]> -4 + 3i

]]> Rôles échangés : la partie réelle reste réelle (3),
et -4 est le coefficient de i.

]]> 7 + 10i

]]> Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte
sur les deux parties du second nombre, d'où
3 - 4i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q32 : Produit par un nombre réel Quelle est la forme algébrique de 3(2 - 5i) ?

]]> Multiplier par un réel k revient à multiplier les deux
parties : k(a + ib) = ka + ikb. Dans le plan, c'est
l'agrandissement de rapport k de centre l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6 - 5i

]]> Partie imaginaire laissée de côté : 3 multiplie
aussi le coefficient de i, qui devient -15.

]]> 5 - 15i

]]> Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :
3 × 2 = 6, et non 3 + 2.

]]> 6 - 15i

]]> Bonne réponse : le facteur 3 multiplie les deux
parties : 3 × 2 = 6 et
3 × -5 = -15.

]]> 2 - 15i

]]> Partie réelle laissée de côté : 3 multiplie aussi le
terme constant, qui devient 6.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q33 : L'inverse de $i$ Que vaut 1/i ?

]]> Diviser par i revient à multiplier par 1/i = -i.
À retenir avec le cycle des puissances : i⁻¹ = i³ = -i.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : i × 1 = i, et non 1 : l'inverse de i
n'est pas un nombre réel.

]]> i

]]> Signe oublié : le dénominateur devient i² = -1, qui
retourne le signe. Contrôle : i × i = -1 ≠ 1.

]]> -i

]]> Bonne réponse : on multiplie haut et bas par i, ce qui
donne i/i² = i/-1 = -i. Contrôle :
i × (-i) = -i² = 1.

]]> -1

]]> Erreur : i × (-1) = -i, et non 1 : il manque un
facteur i pour revenir à l'unité.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q34 : Conjuguer deux fois Pour tout nombre complexe z, que vaut
\overline{\left(\bar{z}\right)} ?

]]> La conjugaison appliquée deux fois redonne le nombre de
départ : \overline{\bar{z}} = z. Géométriquement, deux
symétries d'axe l'axe des réels se compensent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z

]]> Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire ; le faire une seconde fois le rétablit, donc
on retrouve z.

]]> |z|

]]> Confusion : le module est un réel positif, alors que la
conjugaison rend un nombre complexe.

]]> -z

]]> Erreur : la conjugaison ne touche jamais à la partie
réelle, le résultat n'est donc pas l'opposé.

]]> \bar{z}

]]> Deuxième conjugaison ignorée : elle agit elle aussi, et
ramène au nombre de départ.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q35 : Calculer $z - \bar{z}$ Soit z = 5 - 3i. Que vaut z - \bar{z} ?

]]> Pour z = a + ib : z - \bar{z} = 2ib, imaginaire pur, et
z + \bar{z} = 2a, réel. Ces deux différences extraient les
parties imaginaire et réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6i

]]> Signe inversé : 6i est la valeur de
\bar{z} - z ; ici c'est \bar{z} qui est retranché.

]]> -6

]]> Facteur i perdu : la différence vaut -6i, un
imaginaire pur, et non un nombre réel.

]]> 10

]]> Confusion avec la somme : z + \bar{z} = 10, un
réel. La différence, elle, efface la partie réelle.

]]> -6i

]]> Bonne réponse : \bar{z} = 5 + 3i, les parties
réelles s'annulent et il reste 2ib avec b = -3,
soit -6i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q36 : Nature du produit $z\bar{z}$ Soit z un nombre complexe quelconque. Quelle est la nature
du nombre z\bar{z} ?

]]> z\bar{z} = a^2 + b^2 : toujours réel positif ou nul. C'est
le carré du module, ce qui explique son rôle pour rendre réel
le dénominateur d'un quotient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un réel de signe quelconque

]]> Erreur : une somme de deux carrés de réels ne peut pas
être négative.

]]> Un complexe non réel en général

]]> Erreur : le calcul donne a² + b², sans aucun terme
en i, quel que soit z.

]]> Un imaginaire pur

]]> Erreur : les termes en i se compensent dans le produit,
qui est toujours réel.

]]> Un réel positif ou nul

]]> Bonne réponse : z\bar{z} = a^2 + b^2, somme de deux
carrés, nulle uniquement lorsque z = 0.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q37 : Les réels parmi les complexes Quelle affirmation décrit correctement le lien entre
ℝ et ℂ ?

]]> ℂ prolonge ℝ : tout réel a s'écrit
a + 0i. Les opérations de ℝ y gardent leurs
règles, seule la relation d'ordre disparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un réel est un complexe seulement s'il est positif

]]> Erreur : le signe ne joue aucun rôle, -7 est un
complexe comme les autres.

]]> Les deux ensembles n'ont que le nombre 0 en commun

]]> Erreur : tous les réels sont des complexes, pas seulement
le nombre 0.

]]> Tout complexe est en fait un réel de partie imaginaire
nulle

]]> Inclusion inversée : 2 + 3i est un complexe qui n'est
pas un réel.

]]> Tout réel est un complexe de partie imaginaire nulle

]]> Bonne réponse : a = a + 0i, donc ℝ est
contenu dans ℂ.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q38 : Une égalité à zéro Les réels x et y vérifient
(x - 3) + (y + 2)i = 0. Que valent x et y ?

]]> Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle
et sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe
équivaut donc à deux équations réelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -2 et y = 3

]]> Rôles échangés : x vient de la partie réelle et y du
coefficient de i.

]]> x = 3 et y = 2

]]> Erreur sur y : l'équation y + 2 = 0 conduit à
y = -2, la partie réelle étant traitée correctement.

]]> x = -3 et y = 2

]]> Signes recopiés : on résout x - 3 = 0, ce qui
donne x = 3, et de même y = -2.

]]> x = 3 et y = -2

]]> Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux
parties le sont, d'où x - 3 = 0 et
y + 2 = 0.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q39 : Un carré négatif décalé Quelles sont les solutions de l'équation
(z - 1)² = -4 ?

]]> On se ramène à Z² = -k² avec Z = z - p : les solutions
sont Z = ± ik, donc z = p ± ik, deux nombres
conjugués.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2i ou z = -2i

]]> Décalage oublié : c'est z - 1 qui vaut
± 2i, il reste à en déduire z.

]]> z = 3 ou z = -1

]]> Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les
solutions ont une partie imaginaire.

]]> z = 1 + 2i ou z = 1 - 2i

]]> Bonne réponse : z - 1 = 2i ou
z - 1 = -2i, puis on ajoute 1 de chaque
côté.

]]> z = 1 + 4i ou z = 1 - 4i

]]> Racine oubliée : les carrés valant -4 sont
± 2i, et non ± 4i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q40 : Somme de deux carrés conjugués Que vaut (2 + i)² + (2 - i)² ?

]]> (a + i)² + (a - i)² = 2a² + 2i² = 2a² - 2 : les
doubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux
nombres conjugués est toujours réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : les doubles produits 4i
et -4i s'annulent, et il reste
2 × 2² - 2 = 6.

]]> 10

]]> Signe de i² : chaque carré apporte i² = -1, donc
-2 au total et non +2.

]]> 16

]]> Termes en i² oubliés : ils retirent 2 au résultat,
qui vaut 6.

]]> 6 + 8i

]]> Doubles produits conservés : ils sont opposés et se
compensent, la somme est un réel.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q41 : Diviser par $i$ Quelle est la forme algébrique de
3 + 2i/i ?

]]> 1/i = -i, donc a + ib/i = -i(a + ib) = b - ia : les deux parties échangent leur rôle, avec un
changement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2 + 3i

]]> Signe global inversé : le facteur utile est -i, car
1/i = -i, et non +i.

]]> 3 - 2i

]]> Conjugué du numérateur : diviser par i ne conjugue pas,
cela échange les deux parties.

]]> 2 - 3i

]]> Bonne réponse : diviser par i revient à multiplier par
-i, d'où (3 + 2i)×(-i) = 2 - 3i.

]]> 2 + 3i

]]> Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le
coefficient -3, avec un changement de signe.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q42 : Cube d'un imaginaire pur Que vaut (2i)³ ?

]]> (ki)³ = k³ i³ = -k³ i : on élève le réel au cube et on
utilise i³ = -i. Le résultat reste un imaginaire pur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -6i

]]> Cube confondu avec un produit par 3 :
2³ = 8, et non 6.

]]> -8

]]> Facteur i perdu : i³ = -i reste imaginaire pur, la
réponse aussi.

]]> 8i

]]> Signe de i³ : i³ = i² × i = -i, le résultat
est donc négatif.

]]> -8i

]]> Bonne réponse : (2i)³ = 2³ × i³ = 8 × (-i) = -8i.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q43 : Rendre un nombre imaginaire pur Pour quelle valeur du réel x le nombre
z = (x - 2) + 5i est-il un imaginaire pur ?

]]> Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est
nulle. On isole donc la partie réelle, ici x - p, et on
résout l'équation qu'elle donne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0

]]> Valeur trop rapide : pour x = 0, la partie réelle vaut
-2, qui n'est pas nulle.

]]> x = -2

]]> Signe recopié : l'équation x - 2 = 0 se résout en
x = 2.

]]> x = 5

]]> Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit
s'annuler, le coefficient 5 ne change pas.

]]> x = 2

]]> Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc
résoudre x - 2 = 0, ce qui donne x = 2.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q44 : Retrouver deux réels Quels réels a et b vérifient
(a + bi)(1 + i) = 3 + 5i ?

]]> On développe : (a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i, puis on
identifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système
de deux équations réelles à résoudre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a = 4 et b = 1

]]> Bonne réponse : le développement donne
(a - b) + (a + b)i, d'où a - b = 3 et
a + b = 5.

]]> a = 4 et b = -1

]]> Les deux équations sont inversées : c'est a - b qui
vaut 3, et a + b qui vaut 5.

]]> a = 3 et b = 5

]]> Coefficients recopiés du second membre : le facteur
1 + i mélange a et b, il faut développer.

]]> a = 1 et b = 4

]]> Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne
a = 4, et la demi-différence donne b = 1.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q45 : Une longue somme de puissances Que vaut la somme
1 + i + i² + i³ + … + i²⁰²⁶ ?

]]> Quatre puissances consécutives de i ont une somme nulle. On
divise donc l'exposant maximal par 4 : ici 2026 = 4 × 506 + 2, et la somme se réduit aux trois derniers termes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Reste incomplet : les trois termes restants sont
1, i et -1, dont la somme vaut i.

]]> i

]]> Bonne réponse : la somme compte 2027 termes. Les 2024
premiers se regroupent par quatre, de somme nulle, et il
reste i²⁰²⁴ + i²⁰²⁵ + i²⁰²⁶ = 1 + i - 1 = i.

]]> -1

]]> Dernier terme isolé : i²⁰²⁶ = -1 n'est que l'un des
trois termes restants.

]]> 0

]]> Regroupement trop rapide : 2027 n'est pas un multiple
de 4, trois termes restent après les paquets.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q46 : Une équation du premier degré dans C Résoudre dans ℂ l'équation z + 3i = 5.

]]> Une équation du premier degré se résout dans ℂ comme dans
ℝ : on isole l'inconnue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 5 - 3i

]]> Bonne réponse : on isole z en soustrayant 3i aux deux
membres : z = 5 - 3i.

]]> z = 5 + 3i

]]> Erreur : 3i passe de l'autre côté en changeant de signe.

]]> z = 3 - 5i

]]> Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.

]]> z = -5 - 3i

]]> Erreur : seul le terme en i change de signe, pas 5.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q47 : Équation du second degré à discriminant négatif Résoudre dans ℂ l'équation z² + 2z + 5 = 0.

]]> Si Δ < 0, les solutions sont les deux complexes conjugués
\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = -1 ± 2i

]]> Bonne réponse : Δ = (2)² - 4 × 5 = -16 < 0 ; les
solutions sont \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2}, soit
-1 ± 2i.

]]> z = -2 ± 4i

]]> Erreur : la division par 2 a été oubliée pour les deux
parties.

]]> z = 1 ± 2i

]]> Erreur : le signe de la partie réelle est -b/2, avec
b = 2.

]]> z = -1 ± 4i

]]> Erreur : √-Δ doit être divisé par 2, comme la
partie réelle.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q48 : Diviser par un nombre complexe Résoudre dans ℂ l'équation (2 + i) z = 1.

]]> Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :
1/a + bi = a - bi/a² + b².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2 + i/5

]]> Erreur : le numérateur doit être le conjugué de 2 + i.

]]> z = 2 - i/5

]]> Bonne réponse : z = 1/2 + i ; on multiplie numérateur et
dénominateur par le conjugué, le dénominateur devient
|2 + i|².

]]> z = 2 - i/3

]]> Erreur : |a + bi|² = a² + b², et non a² - b².

]]> z = 2 - i

]]> Erreur : il manque la division par |2 + i|².

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q49 : Retrouver l'équation à partir de ses racines Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour
solutions 1 ± i ?

]]> Deux racines z₁, z₂ donnent l'équation z² - (z₁ + z₂)z + z₁ z₂ = 0 ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z² - 2z - 2 = 0

]]> Erreur : le produit de deux conjugués est |z|² > 0 ; le terme
constant est positif.

]]> z² - 2z + 2 = 0

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut 2 et leur produit
2 ; l'équation est z² - Sz + P = 0.

]]> z² + 2z + 2 = 0

]]> Erreur : le coefficient de z est l'opposé de la somme des
racines.

]]> z² - 2z = 0

]]> Erreur : le produit (a + bi)(a - bi) = a² + b², pas a² - b².

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q50 : Une équation de degré trois avec une racine réelle connue On admet que z³ - 8 = (z - 2)(z² + 2z + 4). Quelles sont les
solutions dans ℂ de z³ - 8 = 0 ?

]]> Une équation de degré trois se résout en factorisant par une racine
connue, puis en résolvant le trinôme restant dans ℂ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2, 1 + i√3 et 1 - i√3

]]> Erreur : la partie réelle des racines du trinôme est
-2/2 = -1, pas 1.

]]> 2, -2 et 2i

]]> Erreur : (-2)³ = -8 et (2i)³ = -8i ; aucun des deux ne
vaut 8 au cube.

]]> 2 seulement, z² + 2z + 4 n'ayant pas de racine

]]> Erreur : dans ℂ, un trinôme à discriminant négatif a
deux racines conjuguées.

]]> 2, -1 + i√3 et -1 - i√3

]]> Bonne réponse : z = 2 annule le premier facteur ; pour le
second, Δ = 4 - 16 = -12 et z = \dfrac{-2 \pm
i\sqrt{12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.

]]> Nombres complexes : point de vue algébrique — Q51 : Partie imaginaire d'une solution Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation
2z = 4 + 6i ?

]]> La partie imaginaire de x + yi est le réel y.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Erreur : 2 est la partie réelle.

]]> 3

]]> Bonne réponse : z = 4 + 6i/2 = 2 + 3i,
dont la partie imaginaire est 3.

]]> 6

]]> Erreur : il faut diviser par 2.

]]> 3i

]]> Erreur : la partie imaginaire est un réel, le coefficient de
i, sans le i.

]]>