$course$/QCM de maths/Maths expertes/Module, argument, formes trigonométrique et exponentielleImage et affixe, module et interprétation géométrique, relation
|z|^2 = z\bar{z}, ensemble \mathbb{U}, arguments, forme
trigonométrique, exponentielle imaginaire e^{i\theta},
formules d'Euler et de Moivre.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q01 : Affixe d'un pointDans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
z = -2 + 3i ?]]>À z = a + ib on associe le point M(a\ ;\ b) : z est
l'affixe de M (et du vecteur OM⃗).
L'image de \bar{z} est le symétrique de M par rapport à
l'axe des abscisses.]]>1.00.00truetrueabcLe point de coordonnées (-2\ ;\ 3i)]]>Erreur : les coordonnées d'un point sont réelles :
l'ordonnée est le coefficient 3, sans i.]]>Le point de coordonnées (3\ ;\ -2)]]>Coordonnées échangées : Re en abscisse,
Im en ordonnée.]]>Le point de coordonnées (-2\ ;\ 3)]]>Bonne réponse : l'abscisse est la partie réelle, l'ordonnée la partie imaginaire. Le plan ℝ² est
l'ensemble des complexes.]]>Le point de coordonnées (2\ ;\ 3)]]>Signe perdu : la partie réelle vaut -2 : le point est
à gauche de l'axe imaginaire.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q02 : Calcul d'un moduleQue vaut le module de z = 3 - 4i ?]]>|a + ib| = √a² + b² : distance OM. Géométrie
immédiate : |z - z'| = distance entre les images de z et
z'.]]>1.00.00truetrueabc|z| = 7]]>Erreur : 3 + 4 = 7 n'est pas le module : on ne
somme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la
majoration de l'inégalité triangulaire).]]>|z| = 25]]>Racine oubliée : a² + b² = 25 est le carré du
module.]]>|z| = 5]]>Bonne réponse : |z| = √3² + (-4)² = √25 = 5 : la distance de l'origine au point
(3\ ;\ -4).]]>|z| = -1]]>Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.
Le module est √a² + b², toujours positif.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q03 : La relation $|z|^2 = z\bar{z}$Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe z ?]]>|z|^2 = z\bar{z} : pont entre algèbre et géométrie. On en
tire |zz'| = |z| |z'| et |1/z| = 1/|z| (démonstrations
au programme).]]>1.00.00truetrueabc|z|² = z²]]>Erreur : z² est en général complexe ((1+i)² = 2i),
alors que |z|² est réel : il faut le conjugué.]]>|z|^2 = z + \bar{z}]]>Confusion : z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z), qui peut
être négatif : le carré du module vient du produit.]]>|z|^2 = z\,\bar{z}]]>Bonne réponse : (a+ib)(a-ib) = a² + b² = |z|²
(démonstration au programme). Cette relation fait tout :
inverses, modules de produits…]]>|z| = z\,\bar{z}]]>Puissance fausse : z\bar{z} = a^2 + b^2 est le carré du module (√\ manquante).]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q04 : Module d'un produitSoient z et z' deux complexes avec |z| = 2 et
|z'| = 3. Que vaut |z z'| ?]]>|zz'| = |z||z'| : se démontre avec |zz'|^2 =
zz'\overline{zz'} = z\bar{z}\,z'\bar{z'}. Les arguments,
eux, s'ajoutent : multiplier revient à tourner et dilater.]]>1.00.00truetrueabc36]]>Erreur : 36 = (|z||z'|)² : carré parasite. Le module
du produit est 2 × 3 = 6.]]>6]]>Bonne réponse : le module est multiplicatif :
|zz'| = |z| |z'| = 6, quelle que soit la direction
des deux nombres.]]>5]]>Erreur : 2 + 3 additionne les modules : c'est au mieux
une majoration de |z + z'|, pas le module du
produit.]]>Impossible à déterminer sans connaître z et z']]>Erreur : justement, la force de la formule |zz'| = |z| |z'| est de ne dépendre que des modules.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q05 : L'ensemble $\mathbb{U}$\mathbb{U} désigne l'ensemble des nombres complexes de
module 1. Pourquoi dit-on que \mathbb{U} est stable par
produit ?]]>\mathbb{U} = cercle unité, stable par produit et passage à
l'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).
Sur \mathbb{U}, multiplier revient à additionner les
angles.]]>1.00.00truetrueabcSi |z| = |z'| = 1, alors |z z'| = 1 × 1 = 1 :
le produit reste dans \mathbb{U}]]>Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le
produit sur le cercle unité. Avec |1/z| = 1,
\mathbb{U} est stable par produit et inverse.]]>Parce que \mathbb{U} contient tous les nombres réels]]>Faux : seuls 1 et -1 sont des réels de module 1.
\mathbb{U} est le cercle unité, pas une droite.]]>Parce que tout produit de complexes est de module 1]]>Faux : |2 × 3i| = 6. La stabilité vaut pour les
éléments de \mathbb{U} uniquement.]]>Parce que la somme de deux éléments de \mathbb{U}
reste dans \mathbb{U}]]>Faux : 1 \in \mathbb{U} et 1 + 1 = 2 \notin
\mathbb{U}. La stabilité concerne le produit, pas
la somme.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q06 : Argument d'un nombre complexe[Figure : Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.]
Le point M ci-contre a pour affixe z = 1 + i. Que valent
|z| et un argument de z ?
]]>Un argument de z ≠ 0 = mesure de l'angle
(u⃗\ ;\ OM⃗), défini modulo 2π.
Ici z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} +
i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.]]>1.00.00truetrueabc|z| = 2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Module faux : 1² + 1² = 2, puis racine :
|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}41.]]>|z| = √2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Bonne réponse : |z| = √1 + 1 = √2
(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel
vaut 45°, soit π/4.]]>|z| = 1 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{4}]]>Module faux : M n'est pas sur le cercle unité :
OM = √2 > 1.]]>|z| = √2 et \arg(z) = \dfrac{\pi}{2}]]>Argument faux : π/2 est l'axe imaginaire (affixe
i). Ici M est sur la bissectrice : π/4.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q07 : Forme trigonométriqueQuelle est la forme algébrique du nombre
z = 2(cosπ/3 + isinπ/3) ?]]>Forme trigonométrique : z = r(cosθ + isinθ)
avec r = |z| et \theta = \arg(z). Conversion : a = rcosθ, b = rsinθ.]]>1.00.00truetrueabcz = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Module oublié : c'est e^{i\pi/3}, de module 1 : il
reste à multiplier par r = 2.]]>z = 1 + i√3]]>Bonne réponse : cosπ/3 = ½ et
\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, puis on
multiplie par 2.]]>z = √3 + i]]>Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle π/6 qui
donne √3 + i (après multiplication par 2).]]>z = 2 + i2π/3]]>Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :
on évalue cosinus et sinus.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q08 : Forme exponentielleQuelle est la forme exponentielle de z = 1 + i ?]]>Notation e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ; tout
z ≠ 0 s'écrit r\,e^{i\theta}. Relation fonctionnelle :
e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} : mêmes
règles que l'exponentielle réelle.]]>1.00.00truetrueabcz = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}]]>Argument faux : π/2 correspond à l'axe imaginaire
pur ; 1 + i est sur la bissectrice (π/4).]]>z = 2\,e^{i\pi/4}]]>Module faux : √1² + 1² = √2, pas 2.]]>z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}]]>Bonne réponse : module √2, argument π/4,
d'où z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} : l'écriture la plus
efficace pour multiplier et élever aux puissances.]]>z = e^{i\pi/4}]]>Module oublié : e^{i\pi/4} est de module 1, or
|1 + i| = √2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q09 : Produit sous forme exponentielleQue vaut le produit 3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3} ?]]>re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} =
rr'\,e^{i(\theta+\theta')} : multiplier des complexes revient à multiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la
géométrie des rotations est là.]]>1.00.00truetrueabc5\,e^{i\pi/2}]]>Erreur : les modules se multiplient (3 × 2 = 6), ils ne s'ajoutent pas.]]>6\,e^{i\pi/2} = 6i]]>Bonne réponse : modules multipliés (3 × 2),
arguments ajoutés (π/6 + π/3 = π/2), et e^{i\pi/2} = i.]]>6\,e^{i\pi^2/18}]]>Erreur : les arguments s'ajoutent (relation
fonctionnelle), ils ne se multiplient pas.]]>6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}]]>Erreur d'écriture : eᵃeᵇ = eᵃ⁺ᵇ : on
additionne les exposants.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q10 : Formules d'EulerQuelle est l'expression de cosθ donnée par les
formules d'Euler ?]]>Euler : \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},
\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}. Usage
typique : linéariser cosⁿθ pour intégrer.]]>1.00.00truetrueabc\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}]]>Bonne réponse : en ajoutant e^{i\theta} = \cos\theta +
i\sin\theta et e^{-i\theta} = \cos\theta -
i\sin\theta, le sinus s'élimine.]]>\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}]]>Facteur oublié : la somme vaut 2cosθ : il faut
diviser par 2.]]>\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}]]>C'est la formule du sinus : la différence élimine le
cosinus, et le 2i normalise.]]>\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}]]>Erreur : la somme est déjà réelle (2cosθ) :
diviser par 2i rendrait le résultat imaginaire.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q11 : Formule de MoivreQue dit la formule de Moivre ?]]>Moivre : (cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ). En développant le membre de gauche par le
binôme, on obtient cos(nθ) et sin(nθ) en
fonction de cosθ et sinθ.]]>1.00.00truetrueabccos(nθ) = ncosθ]]>Faux : déjà pour n = 2 : cos(2θ) = 2cos²θ - 1 ≠ 2cosθ.]]>(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(θⁿ) + isin(θⁿ)]]>Erreur : l'angle est multiplié par n
(nθ), pas élevé à la puissance n.]]>(cosθ + isinθ)ⁿ = ncosθ + insinθ]]>Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par
n : le module reste 1, seul l'angle est multiplié.]]>(cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ)]]>Bonne réponse : c'est \left(e^{i\theta}\right)^n =
e^{in\theta} en notation trigonométrique : élever à la
puissance n = multiplier l'angle par n.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q12 : Puissance par la forme exponentielleEn écrivant 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, que vaut
(1 + i)⁸ ?]]>Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis
\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}. Contrôle :
(1+i)² = 2i, donc (1+i)⁸ = (2i)⁴ = 16i⁴ = 16.]]>1.00.00truetrueabc16]]>Bonne réponse : (\sqrt{2})^8 e^{i\,8\pi/4} =
2^4\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16 : huit lignes de
calcul algébrique évitées.]]>8√2]]>Module faux : (\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16, pas
8\sqrt{2} = 2^{3{,}5}.]]>16 i]]>Erreur : e^{2i\pi} = 1, pas i (i correspond à un
quart de tour, π/2).]]>-16]]>Erreur d'angle : 8 × π/4 = 2π, et
e^{2i\pi} = 1 (tour complet), pas -1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q13 : La valeur $e^{i\pi}$Que vaut e^{i\pi} ?]]>Les quatre points cardinaux : eⁱ⁰ = 1, e^{i\pi/2} =
i, e^{i\pi} = -1, e^{3i\pi/2} = -i : le cercle unité
par quarts de tour. « e^{i\pi} + 1 = 0 » relie les cinq
constantes fondamentales.]]>1.00.00truetrueabc-1]]>Bonne réponse : e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 +
0 : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité
d'Euler.]]>e^{\pi} \approx 23]]>Le i oublié : e^{i\pi} vit sur le cercle unité
(module 1), rien à voir avec l'exponentielle réelle
e^{\pi}.]]>1]]>Erreur : 1 = e^{i \cdot 0} = e^{2i\pi} (tour
complet) : π n'est que le DEMI-tour : -1.]]>i]]>Erreur : i = e^{i\pi/2} (quart de tour) : à π, on
atteint le point (-1\ ;\ 0).]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q14 : Module d'un quotientAvec |z| = 6 et |z'| = 2, que vaut
|z/z'| ?]]>|z/z'| = |z|/|z'| et
\arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z' : le quotient divise
les longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du
produit.]]>1.00.00truetrueabc12]]>Produit au lieu du quotient : 12 = |z z'| : pour la
division : 6/2 = 3.]]>Impossible sans connaître les arguments]]>Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des
modules : les arguments règlent la direction, pas la
longueur.]]>4]]>Soustraction : les modules se divisent dans un
quotient (comme ils se multiplient dans un produit) :
6 - 2 ne correspond à rien.]]>3]]>Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules : 6/2 = 3.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q15 : Argument d'un réel négatifQuel est un argument de z = -5 ?]]>Arguments des réels : positifs : 0 \pmod{2\pi} ;
négatifs : π. Des imaginaires purs : ±π/2.
Quatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle.]]>1.00.00truetrueabc0]]>Erreur : l'argument 0 appartient aux réels positifs : -5 pointe à l'opposé : π.]]>-5]]>Confusion : -5 est le nombre lui-même : son argument
est un ANGLE : π (et son module 5).]]>Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument]]>Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non
nul a un argument (0 pour les positifs, π pour les
négatifs).]]>π]]>Bonne réponse : -5 est sur la demi-droite des réels
négatifs : angle π avec l'axe positif : -5 =
5e^{i\pi}.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q16 : Module et argument du conjuguéComment module et argument de \bar{z} se comparent-ils à
ceux de z (non nul) ?]]>\bar{z} = re^{-i\theta} quand z = re^{i\theta} :
symétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.
Cohérent avec z\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2.]]>1.00.00truetrueabc|\bar{z}| = |z| et \arg\bar{z} = -\arg z]]>Bonne réponse : conjuguer revient à prendre le symétrique par rapport à l'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,
l'angle bascule en son opposé.]]>|\bar{z}| = -|z|]]>Impossible : un module est une distance, toujours
positive : la symétrie ne change pas les longueurs.]]>Module et argument sont tous deux conservés]]>Erreur : garder les deux caractériserait z lui-même :
le conjugué retourne l'ANGLE (z réel excepté).]]>\arg\bar{z} = \pi - \arg z]]>Mauvaise symétrie : π - θ est la réflexion
d'axe VERTICAL (celle de -\bar{z}) : conjuguer
réfléchit horizontalement : -θ.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q17 : Distance entre deux points par les affixesA et B ont pour affixes z_A = 1 + 2i et z_B = 4 + 6i.
Que vaut la distance AB ?]]>Dictionnaire : z_B - z_A = affixe de
AB⃗ ; |z_B - z_A| = AB. Les distances
de la géométrie deviennent des modules : cercles et
médiatrices s'écrivent en une équation complexe.]]>1.00.00truetrueabcAB = 5]]>Bonne réponse : la distance est le module de la différence des affixes : AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = √9 + 16 = 5.]]>AB = 3 + 4i]]>Erreur de nature : 3 + 4i = z_B - z_A est l'affixe du
vecteur AB⃗ ; la distance est son
module, 5.]]>AB = √89]]>Somme au lieu de différence : |z_A + z_B| = |5 + 8i| ne
mesure pas AB ; la distance passe par la soustraction.]]>AB = √52 - √5]]>Erreur : |z_B| - |z_A| minore la distance (inégalité
triangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est
|z_B - z_A|.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q18 : Forme exponentielle de $-1 + i$Quelle est la forme exponentielle de z = -1 + i ?]]>Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)
avant de choisir l'argument : \cos\theta =
\frac{-1}{\sqrt{2}}, \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} :
θ = 3π/4. Le dessin évite l'erreur de
quadrant, la plus fréquente du chapitre.]]>1.00.00truetrueabcz = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}]]>Erreur : -π/4 descend dans le quatrième
quadrant (1 - i normalisé) : notre point est en haut à
gauche.]]>z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}]]>Quadrant raté : e^{i\pi/4} pointe vers (+1\ ;\ +1)
(premier quadrant) : notre point a une partie réelle
NÉGATIVE : 3π/4.]]>z = 2\,e^{3i\pi/4}]]>Module : √(-1)² + 1² = √2, pas 2.]]>z = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}]]>Bonne réponse : module √1 + 1 = √2 ; le
point (-1\ ;\ 1) vit dans le deuxième quadrant, sur la
bissectrice : argument π - π/4 = 3π/4.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q19 : Module d'une sommeOn rappelle que, pour tous points O, A et C du plan, OC ≤ OA + AC.
L'égalité |z + z'| = |z| + |z'| est-elle vraie pour tous nombres complexes
z et z' ?]]>Avec O, A et C d'affixes 0, z et z + z', on obtient
|z + z'| = OC ≤ OA + AC = |z| + |z'|. L'égalité peut être en défaut, comme
le montrent z = 1 et z' = -1.]]>1.00.00truetrueabcNon, pas pour tous z et z']]>Bonne réponse : pour z = 1 et z' = -1, le membre de gauche vaut
0 et celui de droite 2.]]>Non, l'inégalité va dans l'autre sens]]>Avec O, A et C d'affixes 0, z et z + z', on a |z + z'| = OC,
|z| = OA et |z'| = AC : l'inégalité rappelée majore |z + z'|, elle ne le
minore pas.]]>Oui, si les deux modules sont égaux]]>Les complexes 1 et -1 ont le même module et fournissent pourtant un
contre-exemple.]]>Oui, toujours]]>Le contre-exemple de deux complexes opposés suffit à l'écarter.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q20 : Forme exponentielle de $1 + i$Quelle est la forme exponentielle de 1 + i ?]]>Pour passer à la forme exponentielle, on calcule le module, puis on
identifie l'argument à partir du cosinus et du sinus, ou par lecture du
point dans le plan.]]>1.00.00truetrueabc\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}]]>Bonne réponse : le module vaut √2 et l'argument
π/4, le point étant sur la bissectrice.]]>\sqrt{2}\,e^{i\pi/2}]]>Argument faux : π/2 correspondrait à un imaginaire pur.]]>\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}]]>Signe de l'argument : cette forme décrit 1 - i, situé sous l'axe des
abscisses.]]>2\,e^{i\pi/4}]]>Module non réduit : |1 + i| vaut √1 + 1, pas 2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q21 : Argument d'un produitComment obtient-on un argument du produit de deux complexes non
nuls ?]]>Multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et à additionner
les arguments. Géométriquement, c'est une rotation composée avec un
agrandissement.]]>1.00.00truetrueabcEn additionnant leurs arguments]]>Bonne réponse : c'est la traduction de la règle
e^{i\alpha} \times e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}.]]>En soustrayant leurs arguments]]>La soustraction correspond à un quotient, pas à un produit.]]>En multipliant leurs arguments]]>Ce sont les modules qui se multiplient, les arguments s'additionnent.]]>En prenant le plus grand des deux]]>Aucune sélection n'intervient : les deux contribuent également.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q22 : Une puissance par MoivreQue vaut \left(e^{i\pi/6}\right)^{6} ?]]>La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie
l'argument par l'exposant. Ici le module vaut 1, seul l'argument change.]]>1.00.00truetrueabc-1]]>Bonne réponse : l'argument devient 6 × π/6 = π, donc le
résultat est e^{i \pi} = -1.]]>i]]>La valeur i correspondrait à un argument de π/2, pas π.]]>1]]>Argument mal calculé : 6 × π/6 vaut π ; la valeur
1 correspondrait à un argument de 0.]]>e^{i\pi/6}]]>Exposant ignoré : élever à la puissance 6 multiplie l'argument par
6.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q23 : Affixe d'un vecteurLes points A et B ont pour affixes z_A et z_B.
Quelle est l'affixe du vecteur AB⃗ ?]]>L'affixe d'un vecteur AB⃗ vaut z_B - z_A, et sa norme
|z_B - z_A|, ce qui donne la distance AB.]]>1.00.00truetrueabcz_B - z_A]]>Bonne réponse : la soustraction se fait dans le même ordre que pour des
coordonnées.]]>z_A - z_B]]>Sens inversé : cette affixe est celle de BA⃗.]]>z_A + z_B]]>Somme au lieu d'une différence : elle donnerait le double de l'affixe
du milieu.]]>z_A + z_B/2]]>C'est l'affixe du milieu de [AB], pas celle du vecteur.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q24 : Multiplier par $i$Quelle transformation géométrique correspond à la multiplication par
i ?]]>Multiplier par un complexe de module 1 et d'argument θ est une
rotation d'angle θ autour de l'origine. Pour i, cet angle vaut un
quart de tour.]]>1.00.00truetrueabcUne translation de vecteur d'affixe i]]>Une translation correspond à une addition, pas à une multiplication.]]>Un agrandissement de rapport i]]>Un rapport d'agrandissement est un réel positif, et |i| vaut 1 :
les longueurs sont conservées.]]>Une rotation d'un quart de tour autour de l'origine]]>Bonne réponse : le module reste inchangé et l'argument augmente de
π/2.]]>Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses]]>Cette symétrie correspond à la conjugaison.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q25 : Une distance par les affixesLes points A et B ont pour affixes 2 + i et 5 + 5i.
Quelle est la distance AB ?]]>La distance entre deux points vaut le module de la différence de leurs
affixes. Le calcul reprend celui de la norme d'un vecteur en coordonnées.]]>1.00.00truetrueabc5]]>Bonne réponse : la différence vaut 3 + 4i, de module
√9 + 16.]]>√7]]>Somme placée sous la racine : le module élève chaque partie au carré
avant de les ajouter.]]>25]]>Racine oubliée : 25 est le carré de la distance.]]>7]]>Parties additionnées : 3 + 4 ignore le calcul du module.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q26 : Les formules d'EulerÀ quoi \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} est-il égal ?]]>Les formules d'Euler expriment cosinus et sinus à partir des
exponentielles complexes. Elles servent à linéariser des expressions
trigonométriques.]]>1.00.00truetrueabc1]]>Le résultat dépend de θ : il vaut 1 seulement pour
θ = 0.]]>cosθ]]>Bonne réponse : les parties imaginaires se compensent et les parties
réelles s'ajoutent.]]>sinθ]]>Le sinus s'obtient avec une différence et un dénominateur 2i.]]>e^{i\theta}]]>Les deux exponentielles ne se simplifient pas ainsi : leur somme est
réelle.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q27 : Module d'un quotientPour z' non nul, à quoi |z/z'| est-il égal ?]]>Le module transforme produits et quotients en produits et quotients, alors
que l'argument les transforme en sommes et différences.]]>1.00.00truetrueabc|z'|/|z|]]>Quotient inversé : le numérateur reste au numérateur.]]>|z|/|z'|]]>Bonne réponse : le module est multiplicatif, donc compatible avec les
quotients.]]>|z| × |z'|]]>Cette expression donne le module du produit, pas celui du quotient.]]>|z| - |z'|]]>La soustraction correspondrait aux arguments, pas aux modules.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q28 : L'ensemble des complexes de module $1$Quel ensemble de points du plan décrit la condition |z| = 1 ?]]>Le module |z| est la distance de l'origine au point d'affixe z. Les
conditions de module décrivent donc des cercles ou des disques.]]>1.00.00truetrueabcLe disque de centre l'origine et de rayon 1]]>Le disque correspondrait à l'inégalité |z| ≤ 1.]]>Le cercle de centre l'origine et de rayon 1]]>Bonne réponse : le module est la distance à l'origine.]]>Le point d'affixe 1]]>Ce point vérifie la condition, mais une infinité d'autres aussi.]]>La droite d'équation x = 1]]>Cette droite décrirait la condition portant sur la partie réelle.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q29 : Un argument nulQue décrit l'ensemble des complexes non nuls d'argument nul ?]]>L'argument donne la direction du point vu depuis l'origine, le module sa
distance. Fixer l'argument décrit donc une demi-droite issue de l'origine.]]>1.00.00truetrueabcLes réels strictement positifs]]>Bonne réponse : un argument nul place le point sur l'axe des abscisses,
du côté positif.]]>L'axe des ordonnées tout entier]]>Les imaginaires purs ont pour argument π/2 ou
-π/2.]]>L'axe des abscisses tout entier]]>Les réels négatifs ont pour argument π, pas 0.]]>Le seul point d'affixe égale à 1]]>Tous les réels strictement positifs conviennent, quel que soit leur
module.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q30 : Conjugué sous forme exponentielleQuel est le conjugué de r e^{i\theta}, avec r strictement
positif ?]]>Conjuguer revient à symétriser par rapport à l'axe des abscisses : le
module est conservé et l'argument changé de signe.]]>1.00.00truetrueabc-r e^{i\theta}]]>Cette expression est l'opposé, qui correspond à un argument augmenté de
π.]]>r e^{-i\theta}]]>Bonne réponse : la conjugaison conserve le module et change le signe de
l'argument.]]>\dfrac{1}{r} e^{i\theta}]]>L'inverse du module apparaît pour l'inverse du nombre, pas pour son
conjugué.]]>r e^{i\theta}]]>La conjugaison ne laisse invariants que les réels, donc les arguments
nuls ou égaux à π.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q31 : Affixe d'un point donnéDans le plan complexe, quelle est l'affixe du point M de
coordonnées (-3\ ;\ 5) ?]]>Au point M(a\ ;\ b) correspond l'affixe z = a + ib, et
réciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec
des nombres au lieu de couples.]]>1.00.00truetrueabc5 - 3i]]>Coordonnées échangées : l'abscisse -3 est la partie
réelle, l'ordonnée 5 le coefficient de i.]]>-3 + 5i]]>Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et
l'ordonnée le coefficient de i.]]>3 + 5i]]>Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle
quelle, sans changer de signe.]]>-3i + 5]]>Facteur i mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc
le nombre 5.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q32 : La conjugaison vue comme transformationDans le plan complexe, quelle transformation fait passer du
point d'affixe z au point d'affixe \bar{z} ?]]>Le point d'affixe \bar{z} est le symétrique du point
d'affixe z par rapport à l'axe des abscisses. Module
conservé, argument changé de signe.]]>1.00.00truetrueabcLa symétrie par rapport à l'axe des réels]]>Bonne réponse : la partie réelle est conservée et la
partie imaginaire changée de signe, donc l'ordonnée
devient son opposée.]]>La symétrie par rapport à l'axe des imaginaires purs]]>Axe confondu : cette symétrie change la partie réelle de
signe, elle correspond au nombre -\bar{z}.]]>La symétrie par rapport à l'origine]]>Symétrie centrale : elle change les deux parties de
signe, elle correspond au nombre -z.]]>La rotation d'un quart de tour de centre l'origine]]>Rotation : le quart de tour traduit la multiplication par
i, et non la conjugaison.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q33 : Module de l'inverseLe nombre complexe z est non nul et |z| = 4. Que vaut
|1/z| ?]]>|1/z| = 1/|z| : la
multiplicativité du module se transmet aux quotients. Les
arguments, eux, changent de signe.]]>1.00.00truetrueabc16]]>Carré parasite : 16 est la valeur de z\bar{z},
c'est-à-dire de |z|².]]>4]]>Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la
longueur, qui devient ¼.]]>1/16]]>Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir
|z| qu'une seule fois.]]>¼]]>Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules, donc l'inverse a pour module
¼.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q34 : Remonter au moduleUn nombre complexe z vérifie z\bar{z} = 9. Que vaut
|z| ?]]>La relation |z|^2 = z\bar{z} se lit dans les deux sens : du
module vers le produit, et du produit vers le module par une
racine carrée.]]>1.00.00truetrueabc4{,}5]]>Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du
carré qu'il faut appliquer.]]>9]]>Racine oubliée : 9 est le carré du module, pas le
module lui-même.]]>81]]>Carré de trop : z\bar{z} vaut déjà |z|², l'élever à
nouveau éloigne du module.]]>3]]>Bonne réponse : z\bar{z} = |z|^2, donc |z| est la
racine carrée de 9, soit 3.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q35 : Module de $e^{i\theta}$Pour tout réel θ, que vaut \left|e^{i\theta}\right| ?]]>e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta est toujours de
module 1 : les nombres e^{i\theta} décrivent exactement le
cercle unité \mathbb{U}.]]>1.00.00truetrueabce^{\theta}]]>Exponentielle réelle appelée à tort : l'exposant est
imaginaire pur, le module reste 1.]]>θ]]>Confusion : θ est l'argument, c'est-à-dire un
angle, pas une longueur.]]>cosθ + sinθ]]>Erreur : le module est
√cos²θ + sin²θ, et non la somme du
cosinus et du sinus.]]>1]]>Bonne réponse : cos²θ + sin²θ = 1, donc
le point est sur le cercle unité quel que soit θ.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q36 : Reconnaître un élément de $\mathbb{U}$Lequel de ces nombres appartient à \mathbb{U}, l'ensemble
des complexes de module 1 ?]]>Un nombre appartient à \mathbb{U} lorsque a² + b² = 1.
Les couples (⅗\ ;\ ⅘) et
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right) sont
les plus courants.]]>1.00.00truetrueabc½ + ½i]]>Module trop petit : ¼ + ¼ = ½, dont la racine vaut environ 0{,}71.]]>\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i]]>Module trop grand : ¾ + ¾ = 3/2, dont la racine dépasse 1.]]>⅗ + ⅘i]]>Bonne réponse : 9/25 + 16/25 = 1,
donc le module vaut 1.]]>1 + i]]>Module √2 : les deux parties valent 1, ce qui
donne √1 + 1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q37 : Un réel négatif sous forme exponentielleQuelle est la forme exponentielle du nombre réel -7 ?]]>Tout réel strictement négatif -k s'écrit ke^{i\pi} : son
module est k et son argument π. Les réels positifs, eux,
ont pour argument 0.]]>1.00.00truetrueabc7e^{i\pi}]]>Bonne réponse : le module vaut 7 et le point est sur
le demi-axe des réels négatifs, d'argument π.]]>7e^{i\pi/2}]]>Quart de tour : e^{i\pi/2} = i conduit à l'imaginaire
pur 7i, et non à un réel.]]>7e^{2i\pi}]]>Tour complet : e^{2i\pi} = 1, ce qui redonne le réel
positif 7.]]>-7e^{i\pi}]]>Signe compté deux fois : e^{i\pi} = -1 apporte déjà le
signe moins, et le module reste positif.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q38 : La valeur $e^{i\pi/2}$Que vaut e^{i\pi/2} ?]]>Quatre valeurs à connaître : eⁱ⁰ = 1, e^{i\pi/2} = i,
e^{i\pi} = -1 et e^{3i\pi/2} = -i. Elles repèrent les
quatre points cardinaux du cercle unité.]]>1.00.00truetrueabc-1]]>Erreur : -1 correspond au demi-tour, c'est-à-dire à
l'angle π de l'identité d'Euler.]]>i]]>Bonne réponse : cosπ/2 = 0 et
sinπ/2 = 1 : le quart de tour direct amène
au point d'affixe i.]]>-i]]>Sens de rotation : -i correspond à l'angle
-π/2, un quart de tour vers le bas.]]>1]]>Erreur : 1 correspond à l'angle nul, ou au tour complet
2π, pas au quart de tour.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q39 : Un ensemble décrit par un moduleLe point A a pour affixe z_A = 2 - i. Quel est l'ensemble
des points M d'affixe z tels que |z - z_A| = 3 ?]]>|z - z_A| = AM : une condition sur ce module décrit un
cercle de centre A ; l'inégalité correspondante décrit un
disque.]]>1.00.00truetrueabcLe cercle de centre O et de rayon 3]]>Centre déplacé : c'est |z| = 3 qui décrirait un cercle
centré à l'origine.]]>Le disque de centre A et de rayon 3, bord compris]]>Inégalité au lieu d'une égalité : le disque correspond à
la condition |z - z_A| ≤ 3.]]>La médiatrice du segment [OA]]]>Une médiatrice traduit l'égalité de deux distances, donc
deux modules, et non un module fixé.]]>Le cercle de centre A et de rayon 3]]>Bonne réponse : |z - z_A| est la distance AM ; elle
vaut 3 exactement pour les points situés à 3 unités
de A.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q40 : Quotient sous forme exponentielleQue vaut le quotient
\dfrac{6e^{i\pi/2}}{3e^{i\pi/6}} ?]]>\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} =
\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')} : les longueurs se
divisent et les angles se retranchent.]]>1.00.00truetrueabc18e^{i\pi/3}]]>Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;
ici il faut diviser.]]>2e^{2i\pi/3}]]>Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le
quotient demande une différence.]]>2e^{i\pi/3}]]>Bonne réponse : les modules se divisent
(6 ÷ 3 = 2) et les arguments se
soustraient (π/2 - π/6 = π/3).]]>3e^{i\pi/3}]]>Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,
ce qui donne 2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q41 : Puissance d'une forme exponentielleQue vaut \left(2e^{i\pi/4}\right)^{3} ?]]>\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} : c'est la
formule de Moivre, module élevé à la puissance et angle
multiplié.]]>1.00.00truetrueabc8e^{i\pi/4}]]>Argument inchangé : élever à la puissance 3 multiplie
aussi l'angle par 3.]]>2e^{3i\pi/4}]]>Module inchangé : seul un module égal à 1 resterait
fixe ; ici il devient 8.]]>8e^{3i\pi/4}]]>Bonne réponse : le module devient 2³ = 8 et
l'argument est multiplié par 3, ce qui donne 3π/4.]]>6e^{3i\pi/4}]]>Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une
puissance, donc 2³ = 8.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q42 : Une fausse forme trigonométriqueL'écriture
z = -2(cosπ/5 + isinπ/5)
n'est pas une forme trigonométrique. Pourquoi ?]]>Une forme trigonométrique impose r > 0. Un facteur négatif
se rattrape en ajoutant π à l'argument, puisque
-1 = e^{i\pi}.]]>1.00.00truetrueabcLe facteur -2 est négatif, or le module ne l'est jamais]]>Bonne réponse : dans r(cosθ + isinθ), le
nombre r est le module. On ajoute π à l'angle :
z = 2(cos6π/5 + isin6π/5).]]>L'angle π/5 n'est pas un angle remarquable]]>L'angle est libre : aucune contrainte ne pèse sur
θ, seul le facteur placé devant est en cause.]]>Le signe + entre les deux termes devrait être un -]]>Le signe + est correct : la forme s'écrit
r(cosθ + isinθ).]]>Le cosinus et le sinus doivent porter des angles distincts]]>Les deux angles doivent au contraire être égaux : c'est
la définition de la forme trigonométrique.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q43 : Somme des arguments de $z$ et $\bar{z}$Soit z un nombre complexe non nul. Que vaut
\arg(z) + \arg(\bar{z}) ?]]>Conjuguer conserve le module et change l'argument en son
opposé : \bar{z} = re^{-i\theta}. La somme des deux
arguments est donc nulle modulo 2π.]]>1.00.00truetrueabcπ, modulo 2π]]>Demi-tour : π apparaîtrait pour \arg(z) + \arg(-z),
pas pour le conjugué.]]>2\arg(z), modulo 2π]]>Signe oublié : la conjugaison remplace l'argument par son
opposé, elle ne le conserve pas.]]>\arg(z), modulo 2π]]>Argument du conjugué négligé : il vaut -\arg(z), et
non 0.]]>0, modulo 2π]]>Bonne réponse : \arg(\bar{z}) = -\arg(z), les deux
angles sont opposés et leur somme est nulle.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q44 : Forme exponentielle et quadrantQuelle est la forme exponentielle de z = 1 - i√3 ?]]>Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir
cosθ et sinθ, puis placer le point pour
choisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant.]]>1.00.00truetrueabc2e^{2i\pi/3}]]>Quadrant raté : avec cosθ = ½, le point
n'est pas du côté annoncé par cet angle.]]>2e^{-i\pi/3}]]>Bonne réponse : le module vaut 2, puis
cosθ = ½ et \sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, ce
qui donne θ = -π/3.]]>4e^{-i\pi/3}]]>Module non réduit : a² + b² = 4 est le carré du
module, il reste à en prendre la racine.]]>2e^{i\pi/3}]]>Signe de l'angle : le sinus vaut -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, ce qui fixe
le côté de l'axe des réels où se trouve le point.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q45 : Une égalité de deux distancesQuel est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant
|z - 1| = |z + 1| ?]]>|z - z_A| = AM : une égalité de deux modules de ce type
traduit AM = BM et décrit la médiatrice de [AB]. Les
conditions de distance se lisent en géométrie.]]>1.00.00truetrueabcL'axe des imaginaires purs]]>Bonne réponse : avec A d'affixe 1 et B d'affixe
-1, la condition s'écrit AM = BM : c'est la
médiatrice de [AB], ici l'axe des ordonnées.]]>Le segment joignant les points d'affixes -1 et 1]]>Erreur : les points du segment sont à égale distance des
extrémités seulement au milieu.]]>L'axe des réels]]>Axe confondu : sur l'axe des réels, seul le point O est
à égale distance de 1 et de -1.]]>Le cercle de centre l'origine et de rayon 1]]>Ce cercle correspondrait à |z| = 1, une seule distance
imposée, et non deux distances égales.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q46 : Linéariser un carré de cosinusEn écrivant \cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} et en
développant le carré, quelle expression de cos²θ obtient-on ?]]>Les formules d'Euler transforment une puissance de cosinus ou de
sinus en somme de cosinus : on dit qu'on linéarise. C'est utile pour
calculer des primitives, comme celle de cos².]]>1.00.00truetrueabccos(2θ)]]>Erreur : en θ = π/2, cos²θ = 0 alors que
cos(π) = -1 : les deux expressions diffèrent.]]>cos(2θ)/2]]>Erreur : le terme constant 2/4 du développement a été
oublié.]]>1 + cos(2θ)/2]]>Bonne réponse : \cos^2\theta = \dfrac{e^{2i\theta} + 2 +
e^{-2i\theta}}{4}, et e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} =
2\cos(2\theta).]]>1 - cos(2θ)/2]]>Erreur de signe : cette expression est celle de sin²θ.
En θ = 0, elle vaut 0 et non 1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q47 : Module d'un produitDeux complexes vérifient |z₁| = 2 et |z₂| = 3. Que vaut
|z₁ z₂| ?]]>|z₁ z₂| = |z₁| |z₂| et \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2.]]>1.00.00truetrueabc6]]>Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des
modules : 2 × 3 = 6.]]>√13]]>Erreur : √a² + b² est le module de a + bi, sans
rapport avec un produit.]]>On ne peut pas savoir sans connaître z₁ et z₂]]>Erreur : la propriété |z₁ z₂| = |z₁| |z₂| suffit.]]>5]]>Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q48 : Argument d'un produitDeux complexes non nuls ont pour arguments π/3 et π/6. Quel est
un argument de leur produit ?]]>Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs
modules.]]>1.00.00truetrueabc0, le produit étant réel]]>Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument
est la somme π/2.]]>π/2]]>Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des
arguments : π/3 + π/6 = π/2.]]>π²/18]]>Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.]]>π/6]]>Erreur : la différence des arguments est l'argument du quotient.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q49 : Argument du quotient d'un complexe par son conjuguéSoit z = e^{i\dfrac{\pi}{4}}. Quel est un argument de \dfrac{z}{\bar{z}} ?]]>\arg \bar{z} = -\arg z et \arg \dfrac{z_1}{z_2} = \arg z_1 -
\arg z_2 : d'où \arg \dfrac{z}{\bar{z}} = 2\arg z.]]>1.00.00truetrueabc-π/2]]>Erreur : c'est l'argument de \dfrac{\bar{z}}{z}, le quotient
inverse.]]>π/2]]>Bonne réponse : \bar{z} = e^{-i\dfrac{\pi}{4}}, donc
\dfrac{z}{\bar{z}} = e^{i\dfrac{\pi}{4}} \times e^{i\dfrac{\pi}{4}} = e^{2i\dfrac{\pi}{4}},
d'argument 2 × π/4 = π/2.]]>0, le quotient étant réel]]>Erreur : \dfrac{z}{\bar{z}} a pour module 1 mais n'est réel
que si z l'est.]]>π/4]]>Erreur : diviser par \bar{z} ajoute π/4 à l'argument, il
ne le laisse pas inchangé.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q50 : Affixe du milieu d'un segmentLes points A et B ont pour affixes z_A = 1 + 2i et
z_B = 3 - 4i. Quelle est l'affixe du milieu de [AB] ?]]>Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des
affixes des extrémités.]]>1.00.00truetrueabc4 - 2i]]>Erreur : la somme des affixes doit être divisée par 2.]]>2 - i]]>Bonne réponse : z_I = z_A + z_B/2 = 4 - 2i/2 = 2 - i.]]>1 - 3i]]>Erreur : z_B - z_A/2 est la moitié de l'affixe du
vecteur AB⃗, pas celle du milieu.]]>2 + i]]>Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez
la somme des parties imaginaires.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q51 : Un ensemble défini par un moduleDans le plan complexe, on considère les points M dont l'affixe
z vérifie |z - 2| = 3. Quelle figure forment-ils ?]]>|z - z_A| = r : les points à distance r de A, le cercle de
centre A et de rayon r.]]>1.00.00truetrueabcLa droite d'équation x = 2]]>Erreur : une égalité de module à une constante décrit un
cercle, pas une droite.]]>Le cercle de centre A(3) et de rayon 2]]>Erreur : centre et rayon ont été échangés.]]>Le cercle de centre O et de rayon 3]]>Erreur : |z| = 3 donnerait le cercle centré en O ; ici le
centre est le point d'affixe 2.]]>Le cercle de centre A(2) et de rayon 3]]>Bonne réponse : |z - 2| est la distance AM avec A
d'affixe 2 ; AM = 3 caractérise le cercle.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q52 : Un ensemble défini par un argumentQuel est l'ensemble des points M d'affixe z non nulle tels que
\arg(z) = \dfrac{\pi}{4} ?]]>Un argument fixé décrit une demi-droite issue de l'origine ; un
module fixé décrit un cercle.]]>1.00.00truetrueabcLe seul point d'affixe e^{i\pi/4}, de module 1]]>Erreur : tous les multiples positifs de e^{i\pi/4} ont le même
argument.]]>La droite d'équation y = x tout entière]]>Erreur : les points de la demi-droite opposée ont pour argument
π/4 + π.]]>La demi-droite issue de O d'angle π/4, sans O]]>Bonne réponse : l'argument fixe la direction et le sens depuis
O, le module reste libre et strictement positif.]]>Le cercle trigonométrique, de rayon 1]]>Erreur : le cercle trigonométrique est défini par |z| = 1, pas
par un argument.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q53 : Image d'un point par une translationQuelle est l'affixe de l'image du point d'affixe 1 + i par la
translation de vecteur d'affixe 2 - i ?]]>Translation de vecteur u⃗ d'affixe b : z' = z + b.]]>1.00.00truetrueabc-1 + 2i]]>Erreur : c'est z - b ; une translation ajoute l'affixe du
vecteur.]]>1 - i]]>Erreur : le conjugué de z correspond à une symétrie, pas à une
translation.]]>3]]>Bonne réponse : la translation z ↦ z + 2 - i donne
(1 + i) + (2 - i) = 3.]]>3 + i]]>Erreur : z × b n'est pas une translation.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q54 : Image d'un point par la rotation d'angle droitQuelle est l'affixe de l'image du point d'affixe 3 + i par la
rotation de centre O et d'angle π/2 ?]]>La rotation de centre O et d'angle θ s'écrit
z \mapsto e^{i\theta} z ; pour θ = π/2,
e^{i\theta} = i.]]>1.00.00truetrueabc-1 + 3i]]>Bonne réponse : cette rotation s'écrit z ↦ iz ;
i(3 + i) = -1 + 3i, en utilisant i² = -1.]]>3 - i]]>Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe
(O ; u⃗), pas par la rotation.]]>1 - 3i]]>Erreur : -iz correspond à la rotation d'angle
-π/2.]]>-3 - i]]>Erreur : -z est l'image par la symétrie de centre O,
rotation d'angle π.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q55 : Distances et homothétie de centre OA et B ont pour affixes 1 + i et 3 + 2i, donc AB = √5.
Soit A' et B' leurs images par z ↦ 2z. Que vaut
A'B' ?]]>z ↦ kz est l'homothétie de centre O et de rapport k :
elle multiplie toutes les distances par |k|.]]>1.00.00truetrueabc4√5]]>Erreur : les distances sont multipliées par 2 ; ce sont
les aires qui le sont par 2².]]>√5]]>Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,
conserve les distances.]]>2√5]]>Bonne réponse : z_{B'} - z_{A'} = 2(z_B - z_A), donc
A'B' = |2| AB = 2√5 ; l'homothétie multiplie les
distances par 2.]]>\dfrac{\sqrt{5}}{2}]]>Erreur : le rapport 2 > 1 agrandit, il ne réduit pas.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q56 : Formule d'addition du cosinusPour tous réels a et b, à quoi cos(a + b) est-il égal ?]]>Partie réelle de eⁱ⁽ᵃ⁺ᵇ⁾ = eⁱᵃeⁱᵇ = (cos a + isin a)(cos b + isin b) :
cos(a+b) = cos acos b - sin a sin b, et la partie imaginaire
donne sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.]]>1.00.00truetrueabccos a cos b + sin a sin b]]>Signe inversé : cette expression vaut cos(a - b).]]>sin a cos b + cos a sin b]]>Formule voisine : cette expression vaut sin(a + b),
pas cos(a + b).]]>cos a cos b - sin a sin b]]>Bonne réponse : elle se démontre avec le produit scalaire de
deux vecteurs unitaires, ou en développant eⁱᵃeⁱᵇ.]]>cos a + cos b]]>Le cosinus n'est pas linéaire : pour a = b = π/2,
cos π = -1 alors que cos a + cos b = 0.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q57 : Formule de duplication du cosinusPour tout réel a, quelle égalité est vraie ?]]>Avec b = a dans les formules d'addition : cos(2a) = cos² a - sin² a = 2cos² a - 1 = 1 - 2sin² a et sin(2a) = 2sin a cos a.]]>1.00.00truetrueabccos(2a) = cos² a + sin² a]]>Cette somme vaut toujours 1 ; la duplication fait
intervenir une différence, cos² a - sin² a.]]>cos(2a) = 2cos² a - 1]]>Bonne réponse : cos(2a) = cos² a - sin² a, et
sin² a = 1 - cos² a.]]>cos(2a) = 1 - 2cos² a]]>Signe inversé : pour a = 0, on trouverait
cos 0 = -1. La bonne forme est 2cos² a - 1 (ou 1 - 2sin² a).]]>cos(2a) = 2cos a]]>Le cosinus n'est pas linéaire : pour a = π,
cos(2π) = 1 alors que 2cos π = -2.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q58 : Une valeur exacte par la formule d'additionEn écrivant π/12 = π/3 - π/4, que vaut
cos(π/12) ?]]>Les formules d'addition fournissent des valeurs exactes à partir des
angles remarquables : π/12 = π/3 - π/4 et
5π/12 = π/4 + π/6.]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{\sqrt{2}}{4}]]>Terme oublié : le produit \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}
s'ajoute au produit des cosinus.]]>\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}]]>Bonne réponse : \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}
= \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4}.]]>\dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}]]>Erreur : cosπ/3 - cosπ/4 ; le cosinus d'une
différence n'est pas la différence des cosinus (ce nombre est
d'ailleurs négatif).]]>\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}]]>Signe de la formule : cos(a - b) s'écrit avec un plus,
cos a cos b + sin a sin b. La valeur trouvée est
sinπ/12.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q59 : Calculer $\cos(2a)$ à partir de $\cos a$On sait que cos a = ⅓. Que vaut cos(2a) ?]]>La formule cos(2a) = 2cos² a - 1 ne demande que cos a : inutile
de connaître a ni sin a.]]>1.00.00truetrueabc7/9]]>Signe inversé : la formule est 2cos² a - 1, et non
1 - 2cos² a (qui donne l'opposé).]]>-7/9]]>Bonne réponse : cos(2a) = 2cos² a - 1 = 2 × ⅑ - 1 = -7/9.]]>2/9]]>Le -1 de la formule a été oublié : cos(2a) = 2cos² a - 1.]]>⅔]]>Le cosinus n'est pas linéaire : cos(2a) ≠ 2cos a.
On utilise cos(2a) = 2cos² a - 1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q60 : Calculer $\sin(2a)$Soit a ∈ [0\ ;\ π/2] tel que sin a = ⅗, et donc
cos a = ⅘. Que vaut sin(2a) ?]]>Avec b = a dans sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, on obtient
sin(2a) = 2sin a cos a.]]>1.00.00truetrueabc24/25]]>Bonne réponse : sin(2a) = 2sin a cos a = 2 × ⅗ × ⅘ = 24/25.]]>7/25]]>Formule échangée : cos² a - sin² a vaut cos(2a), pas
sin(2a).]]>6/5]]>Le sinus n'est pas linéaire : sin(2a) ≠ 2sin a (cette
valeur dépasse d'ailleurs parfois 1).]]>12/25]]>Facteur 2 oublié : sin(2a) = 2sin a cos a.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q61 : Développer $\cos(3\theta)$ par MoivreEn développant (cosθ + isinθ)³ par la formule de Moivre et en
utilisant sin²θ = 1 - cos²θ, on exprime cos(3θ)
en fonction de cosθ. Quel résultat obtient-on ?]]>Moivre : cos(3θ) + isin(3θ) = (cosθ + isinθ)³. On
développe par le binôme et on identifie les parties réelles et imaginaires
(la partie imaginaire donne sin(3θ) = 3sinθ - 4sin³θ).]]>1.00.00truetrueabc4cos³θ + 3cosθ]]>Signe : -3cosθ(1 - cos²θ) = -3cosθ + 3cos³θ ;
pour θ = 0, on trouverait cos 0 = 7.]]>cos³θ - 3cosθ]]>sin²θ a été remplacé par 1 au lieu de 1 - cos²θ ;
pour θ = 0, on trouverait cos 0 = -2.]]>4cos³θ - 3cosθ]]>Bonne réponse : la partie réelle vaut cos³θ - 3cosθsin²θ,
soit cos³θ - 3cosθ(1 - cos²θ).]]>3cosθ - 4cos³θ]]>Signe inversé : pour θ = 0, on trouverait cos 0 = -1.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q62 : Une suite géométrique complexeLa suite (zₙ) est définie par z₀ = 1 et zₙ₊₁ = (1 + i) zₙ.
Que vaut z₈ ?]]>Une suite zₙ₊₁ = q zₙ est géométrique : zₙ = qⁿ z₀. La forme
exponentielle de q rend le calcul de qⁿ immédiat : le module est élevé
à la puissance n, l'argument multiplié par n.]]>1.00.00truetrueabc256]]>Module mal pris : |1 + i| = √2, pas 2 ; et l'argument
a été oublié.]]>16]]>Bonne réponse : zₙ = (1 + i)ⁿ et 1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, donc
z_{8} = \left(\sqrt{2}\right)^{8} e^{i 8\pi/4} = 16\,e^{i2\pi} = 16.]]>8 + 8i]]>Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on multiplie
par 1 + i, la suite est géométrique.]]>-16]]>Argument mal compté : 8 × π/4 = 2π, ce qui donne
16 et non son opposé.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q63 : Point fixe d'une suite $z_{n+1} = az_n + b$On considère la suite définie par zₙ₊₁ = i zₙ + 1 + i. Quel est
le complexe \ell tel que \ell = i\,\ell + 1 + i ?]]>Si a ≠ 1, la suite u_n = z_n - \ell vérifie uₙ₊₁ = a uₙ :
elle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de zₙ.]]>1.00.00truetrueabc\ell = i]]>Bonne réponse : \ell(1 - a) = b, donc \ell = \dfrac{1 + i}{1 - i} = i.]]>\ell = 1]]>Signe : en passant a\ell à gauche, on obtient \ell - a\ell, soit
\ell(1 - a) et non \ell(1 + a).]]>\ell = 1 - i]]>Le terme \ell du membre de gauche a été oublié : l'équation
\ell = a\ell + b donne \ell(1 - a) = b, pas a\ell = b.]]>\ell = 2]]>On a multiplié par 1 - a au lieu de diviser : \ell(1 - a) = b
donne \ell = \dfrac{b}{1 - a}.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q64 : Cas d'égalité de l'inégalité triangulaireSoit z et z' deux complexes non nuls, d'images M et M'. Dans quel
cas a-t-on |z + z'| = |z| + |z'| ?]]>Inégalité triangulaire : |z + z'| ≤ |z| + |z'|, avec égalité si et
seulement si les vecteurs OM⃗ et \overrightarrow{OM'} sont
colinéaires et de même sens.]]>1.00.00truetrueabcQuand z et z' sont conjugués l'un de l'autre]]>Contre-exemple : z = i, z' = -i donne |z + z'| = 0 alors que
|z| + |z'| = 2.]]>Quand z et z' ont le même module]]>Contre-exemple : z = 1 et z' = -1 ont même module, mais
|z + z'| = 0. L'égalité dépend des arguments.]]>Quand z' = kz avec k réel strictement positif]]>Bonne réponse : z et z' ont alors un même argument : M et M'
sont sur une même demi-droite d'origine O.]]>Pour tous z et z', c'est une propriété du module]]>Le module d'une somme n'est pas la somme des modules : on a
seulement |z + z'| ≤ |z| + |z'|.]]>Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q65 : Stabilité de $\mathbb{U}$Soit z et z' deux éléments de \mathbb{U}, l'ensemble des complexes de
module 1. Quelle affirmation est toujours vraie ?]]>\mathbb{U} est le cercle trigonométrique. Il est stable par produit et
par passage à l'inverse : e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} et
\dfrac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}}.]]>1.00.00truetrueabczz' = 1 et 1/z = z]]>Contre-exemple : i × i = -1. Le produit est de module 1 sans
valoir forcément 1, et \dfrac{1}{z} = \bar{z}, pas z.]]>zz' \in \mathbb{U} et \dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}]]>Bonne réponse : |zz'| = |z| |z'| = 1 et |1/z| = 1/|z| = 1.]]>z + z' \in \mathbb{U} et z - z' \in \mathbb{U}]]>Contre-exemple : 1 + 1 = 2 est de module 2. \mathbb{U} est stable
par produit, pas par somme.]]>z = z' ou bien z = -z']]>\mathbb{U} contient une infinité de points : tout le cercle de
centre O et de rayon 1, par exemple 1 et i.]]>