$course$/QCM de maths/Maths expertes/Équations polynomiales et racines de l'unité Équations du second degré à coefficients réels de discriminant
négatif, factorisation de zⁿ - aⁿ et de P(z) par
z - a, majoration du nombre de racines par le degré, racines
n-ièmes de l'unité et ensemble \mathbb{U}_n, utilisation
des complexes en géométrie.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q01 : Second degré à discriminant négatif Quelles sont les solutions complexes de l'équation
z² + 4 = 0 ?

]]> Si Δ < 0, l'équation az² + bz + c = 0 (coefficients
réels) admet deux racines complexes conjuguées :
z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 2 et z = -2

]]> Erreur : (± 2)² = +4 ≠ -4. Les solutions de
z² = -4 sont imaginaires pures.

]]> Aucune : l'équation n'a pas de solution

]]> Vrai dans ℝ, faux dans ℂ : les
complexes ont été créés exactement pour ça.

]]> z = 2i seulement

]]> Incomplet : (-2i)² = 4i² = -4 aussi : une équation
de degré 2 dans ℂ a deux racines (comptées
avec multiplicité).

]]> z = 2i et z = -2i

]]> Bonne réponse : z² = -4 = 4i², donc z = ± 2i :
deux solutions conjuguées, comme toujours pour une
équation à coefficients réels.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q02 : Résolution complète Quelles sont les solutions de z² - 2z + 5 = 0 ?

]]> Δ = -16 < 0 : racines 1 ± 2i. Vérification par
somme et produit : s = 2 = -b/a, p = 1 + 4 = 5 = c/a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z = 1 + 4i et z = 1 - 4i

]]> Division oubliée : √-Δ = 4, puis on divise
tout par 2a = 2 : ± 2i, pas ± 4i.

]]> Pas de solution car Δ = -16 < 0

]]> Réflexe de première à abandonner : dans ℂ,
Δ < 0 donne deux racines conjuguées.

]]> z = -1 + 2i et z = -1 - 2i

]]> Signe de b : la formule commence par -b = +2, d'où
partie réelle +1. (Contrôle : somme des racines
= -b/a = 2.)

]]> z = 1 + 2i et z = 1 - 2i

]]> Bonne réponse : Δ = 4 - 20 = -16, donc
z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2i.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q03 : Somme et produit des racines Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de z² - 6z + 13 = 0 ?

]]> z² - sz + p = (z - z₁)(z - z₂) : s = z₁ + z₂, p = z₁ z₂. Ici : racines 3 ± 2i (somme 6, produit
9 + 4 = 13). Outil de contrôle et de fabrication
d'équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme = -6, produit = 13

]]> Signe : somme = -b = -(-6) = +6 (développer
(z - z₁)(z - z₂) pour s'en convaincre).

]]> Somme = 6, produit = 13

]]> Bonne réponse : pour z² + bz + c unitaire, somme
= -b et produit = c : ils se lisent sur le polynôme.

]]> Somme = 6, produit = -13

]]> Signe du produit : (z - z₁)(z - z₂) = z² - sz + p :
le produit est le terme constant, +13.

]]> Impossible sans calculer les racines

]]> Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se
lisent directement sur les coefficients.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q04 : Factoriser quand une racine est connue Soit P(z) = z³ - 1. On sait que P(1) = 0. Quelle
factorisation est correcte ?

]]> Théorème central (démonstration au programme) : si P(a) = 0, alors P(z) se factorise par (z - a). Cas modèle :
zⁿ - aⁿ = (z - a)∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ aᵏ zⁿ⁻¹⁻ᵏ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z³ - 1 = (z - 1)(z² + 1)

]]> Développement faux : (z-1)(z²+1) = z³ - z² + z - 1.
Le facteur exact est z² + z + 1.

]]> z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1)

]]> Bonne réponse : identité zⁿ - aⁿ = (z - a)(zⁿ⁻¹ + azⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹) avec n = 3, a = 1.
Développer pour contrôler.

]]> z³ - 1 = (z - 1)³

]]> Erreur : (z-1)³ = z³ - 3z² + 3z - 1. Une racine
n'est pas forcément triple !

]]> z³ - 1 = (z - 1)(z² - z + 1)

]]> Signe : z^2 \textbf{+} z + 1. (Le facteur z² - z + 1 correspond à z^3 \textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1).)

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q05 : Nombre de racines et degré Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré 5 ?

]]> Un polynôme de degré n admet au plus n racines.
Application clé : deux polynômes de degré ≤ n égaux en
n + 1 points sont égaux partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement 5, toujours

]]> Nuance : au plus 5 racines distinctes ; il peut y
en avoir moins (z⁵ = 0 n'a que la racine 0,
quintuple).

]]> Une infinité

]]> Erreur : seul le polynôme nul a une infinité de
racines. Degré 5 = au plus 5 racines : c'est le
théorème.

]]> 10

]]> Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double.

]]> 5

]]> Bonne réponse : chaque racine détache un facteur
(z - a) ; le degré 5 ne peut en fournir que 5
(démonstration au programme).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q06 : Équation de degré 3 avec racine connue L'équation z³ - z² + 3z + 5 = 0 admet la racine z = -1. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?

]]> Méthode : identifier z³ - z² + 3z + 5 = (z + 1)(az² + bz + c) (ou poser la division), puis résoudre le
trinôme. Ici : (z+1)(z² - 2z + 5), racines -1,
1 ± 2i.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune autre : -1 est la seule solution

]]> Incomplet : le quotient z² - 2z + 5 a deux racines
complexes conjuguées (Δ = -16).

]]> z = -1 + 2i et z = -1 - 2i

]]> Erreur dans le second facteur : la division donne
z^2 \textbf{−} 2z + 5 (racines de partie réelle
+1).

]]> z = 1 + 2i et z = 1 - 2i

]]> Bonne réponse : z³ - z² + 3z + 5 = (z + 1)(z² - 2z + 5), et le second facteur donne Δ = -16, soit
1 ± 2i.

]]> z = 5 et z = -1

]]> Erreur : contrôle immédiat : 5³ - 5² + 15 + 5 = 120 ≠ 0. Il faut diviser par (z + 1) puis résoudre
le trinôme.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q07 : Racines $n$-ièmes de l'unité Qu'appelle-t-on racines n-ièmes de l'unité ?

]]> \mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\} :
n points en polygone régulier sur le cercle unité, dont
toujours 1. Détermination au programme (démonstration).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les solutions de zⁿ = 0

]]> Erreur : zⁿ = 0 n'a que la solution z = 0. L'unité,
c'est 1 : on résout zⁿ = 1.

]]> Les solutions de zⁿ = n

]]> Erreur : « unité » désigne le nombre 1 : l'équation
est zⁿ = 1.

]]> Les solutions complexes de l'équation zⁿ = 1

]]> Bonne réponse : elles sont exactement n : e^{2ik\pi/n}
pour k = 0, 1, …, n - 1, régulièrement espacées
sur le cercle unité.

]]> Les nombres 1/n, 2/n, …, 1

]]> Erreur : ce sont des rationnels de [0\ ;\ 1]. Les
racines de l'unité vivent sur le cercle unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q08 : Racines cubiques de l'unité [Figure : Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.]

Les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e^{2i\pi/3}
et j² (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de j ?

]]> \mathbb{U}_3 = \{1,\ j,\ j^2\} avec j = e^{2i\pi/3} =
-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. Relations d'or :
j³ = 1, j^2 = \bar{j} et 1 + j + j² = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> C'est j^2 = e^{4i\pi/3} = \bar{j} : l'autre racine non
réelle, sous l'axe.

]]> j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Signe du cosinus : l'angle 2π/3 est dans le
deuxième quadrant : partie réelle négative. (\frac{1}{2}
+ i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}, racine sixième.)

]]> j = -1

]]> Erreur : (-1)³ = -1 ≠ 1 : -1 est racine
carrée, pas cubique, de l'unité.

]]> j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

]]> Bonne réponse : cos2π/3 = -½,
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} : le sommet en
haut à gauche du triangle équilatéral.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q09 : Racines quatrièmes de l'unité Quelles sont les solutions de z⁴ = 1 ?

]]> \mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\} : carré inscrit dans le
cercle unité. Cas particuliers au programme : n = 2
(± 1), n = 3 (1, j, j²), n = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1, ¼, ½, ¾

]]> Erreur : (½)⁴ = 1/16 ≠ 1. Les racines sont sur le cercle unité, pas dans
l'intervalle [0\ ;\ 1].

]]> 1 et i seulement

]]> Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance
paire) : \mathbb{U}_4 a quatre éléments.

]]> 1 et -1 seulement

]]> Incomplet : ce sont les racines carrées ; i⁴ = (i²)² = 1 et (-i)⁴ = 1 aussi : quatre racines pour
le degré 4.

]]> 1, i, -1 et -i

]]> Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle
unité (e^{ik\pi/2}, k = 0, 1, 2, 3) : le carré
inscrit.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q10 : Somme des racines $n$-ièmes Que vaut la somme 1 + j + j² des trois racines cubiques
de l'unité ?

]]> Pour tout n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de
l'unité est nulle : somme géométrique de raison ω ≠ 1 avec ωⁿ = 1. Un classique des problèmes
(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Erreur : 3 serait la somme si les trois racines
valaient 1. Elles pointent dans trois directions qui
se compensent exactement.

]]> j³

]]> Erreur : j³ = 1 (c'est la définition d'une racine
cubique), et la somme ne vaut pas 1 mais 0.

]]> 0

]]> Bonne réponse : 1 + j + j² = j³ - 1/j - 1 = 0/j - 1 = 0 (somme géométrique). Géométrie :
le centre de gravité du triangle équilatéral est
l'origine.

]]> 1

]]> Erreur : les deux racines non réelles j et j^2 =
\bar{j} somment à 2 Re(j) = -1, qui annule le
1.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q11 : Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ Soient A, B, C trois points d'affixes a, b, c
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
c - a/b - a à ℝ ?

]]> Dictionnaire géométrique : |c-a/b-a| = AC/AB et \arg\dfrac{c-a}{b-a} =
(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC}). Quotient réel : points alignés ; quotient imaginaire pur : angle droit en A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B et C sont confondus

]]> Erreur : b = c donnerait un quotient égal à 1,
certes réel, mais le cas général « quotient réel »
couvre tout l'alignement.

]]> Le triangle ABC est rectangle en A

]]> C'est le cas imaginaire pur : angle ±π/2 en
A, donc orthogonalité de AB⃗ et
AC⃗.

]]> Les points A, B, C sont alignés

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
(AB⃗\ ;\ AC⃗) ;
un quotient réel correspond à un angle nul ou plat, donc à un alignement.

]]> ABC est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module
1 et d'argument ±π/3 (e^{\pm i\pi/3}), pas à
un réel.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q12 : Racines de l'unité et polygones Les images des racines 5-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?

]]> \mathbb{U}_n = sommets du polygone régulier à n côtés
inscrit dans le cercle unité, un sommet en 1. C'est le
pont entre équations polynomiales et géométrie (construction
du pentagone, cos2π/5…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Cinq points régulièrement espacés sur l'axe réel

]]> Erreur : une seule racine 5-ième est réelle (1, car
5 est impair). Les autres se répartissent sur le
cercle unité.

]]> Un pentagone régulier centré au point d'affixe 1

]]> Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le
cercle de centre O (module 1) ; 1 en est un
sommet.

]]> Cinq points au hasard sur le cercle unité

]]> Erreur : les arguments 2kπ/5 sont en
progression arithmétique : espacement parfaitement
régulier, rien d'aléatoire.

]]> Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité

]]> Bonne réponse, avec un sommet en 1 : les
e^{2ik\pi/5} partagent le cercle en 5 arcs égaux à
partir de 1 : polygone régulier garanti par la
régularité des angles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q13 : Racines par paires conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet 2 + 3i comme
racine. Que peut-on affirmer ?

]]> Coefficients réels : P(z) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}) = 0 :
l'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un
polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine
réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien, chaque racine est indépendante

]]> Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par
conjugaison : c'est un théorème, pas un hasard.

]]> Le polynôme n'a que des racines complexes

]]> Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles
sont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne
que les racines NON réelles.

]]> 2 - 3i est aussi racine

]]> Bonne réponse : les racines non réelles vont par paires
conjuguées. Conjuguer l'égalité P(z) = 0 donne
P(\bar{z}) = 0 (les coefficients réels sont leurs
propres conjugués).

]]> -2 - 3i est aussi racine

]]> Confusion : -2 - 3i est l'opposé : la symétrie des
coefficients réels est la conjugaison (signe de la
partie imaginaire seule).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q14 : Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$ Quelles sont les solutions de z² + z + 1 = 0 ?

]]> z² + z + 1 = 0 : les racines sont j = e^{2i\pi/3} et
j^2 = \bar{j} : le facteur non trivial de z³ - 1. Somme
-1, produit 1 : contrôle immédiat par les relations
coefficients-racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune, car Δ < 0

]]> Réflexe de première : dans ℂ, Δ < 0
fournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du
chapitre.

]]> z = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

]]> Erreur : Δ = 1 - 4 = -3, pas 1 + 4 = 5 ; le
signe du terme constant a été inversé, et les racines
sont complexes.

]]> z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}

]]> Le i oublié : Δ = -3 < 0 : les racines sont
complexes : √-Δ = √3 s'accompagne du
facteur i.

]]> z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}

]]> Bonne réponse : Δ = 1 - 4 = -3, racines \frac{-1
\pm i\sqrt{3}}{2}, c'est-à-dire les nombres j et
j², racines cubiques non réelles de l'unité (cohérent
: z³ - 1 = (z - 1)(z² + z + 1)).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q15 : Factoriser $z^2 + a^2$ Comment z² + 9 se factorise-t-il dans ℂ ?

]]> Dans ℂ, a² + b² = (a - ib)(a + ib) : comme i² = -1, une
somme de carrés devient une différence de carrés et se factorise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (z - 3i)(z + 3i)

]]> Bonne réponse : z² + 9 = z² - (3i)² : une
différence de carrés déguisée : les racines ± 3i
fournissent les facteurs.

]]> Il ne se factorise pas : somme de carrés

]]> Vrai avec des facteurs réels, faux dans ℂ : 3i est racine car
(3i)² + 9 = 0, donc z² + 9 = (z - 3i)(z + 3i).

]]> (z + 3)(z - 3)

]]> Signe : (z+3)(z-3) = z² - 9 : pour z² + 9, les
racines sont imaginaires : ± 3i.

]]> (z + 3)²

]]> Développement : (z+3)² = z² + 6z + 9 : le double
produit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en
z.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q16 : Combien de racines $n$-ièmes ? Combien l'équation zⁿ = 1 a-t-elle de solutions
complexes ?

]]> \mathbb{U}_n compte exactement n éléments : le degré
majore, l'exhibition des e^{2ik\pi/n} atteint la borne.
C'est LE cas d'école où « au plus n » devient
« exactement n ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : z = 1

]]> Vision réelle : dans ℂ, le cercle fournit n
solutions régulièrement espacées (1 n'est que celle de
k = 0).

]]> Une infinité

]]> Erreur : un polynôme de degré n a au plus n
racines : les angles 2kπ/n se répètent
modulo 2π : exactement n points distincts.

]]> Deux : z = 1 et z = -1

]]> Cas particulier : ± 1 sont les solutions pour n = 2 (et -1 seulement si n est pair) : en général, il
y en a n.

]]> Exactement n

]]> Bonne réponse : les e^{2ik\pi/n} pour k = 0, …, n - 1, toutes distinctes : le maximum autorisé par le
degré, atteint.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q17 : Quotient imaginaire pur A, B, C sont trois points d'affixes a, b, c
distinctes. Que signifie « c - a/b - a est
imaginaire pur (non nul) » ?

]]> Le quotient c-a/b-a : son argument est l'angle en
A, son module est le rapport AC/AB. Réel :
alignement ; imaginaire pur : angle droit en A, donc
triangle rectangle en A ; e^{i\pi/3} : triangle
équilatéral. Un dictionnaire géométrique complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le triangle ABC est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral demande un quotient e^{\pm
i\pi/3} (module 1, angle 60°) : ni réel ni
imaginaire pur.

]]> Le triangle ABC est isocèle en A

]]> Confusion module/argument : l'égalité AB = AC se lit
sur le MODULE du quotient (égal à 1) : l'imaginaire pur
parle de l'angle, pas des longueurs. Avec a = 0,
b = 1 et c = 2i, le quotient vaut 2i, imaginaire
pur, alors que AB = 1 et AC = 2.

]]> Le triangle ABC est rectangle en A

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
(AB⃗\ ;\ AC⃗) : un
imaginaire pur a pour argument ±π/2, donc
l'angle en A entre AB⃗ et
AC⃗ est droit : le triangle est
rectangle en A.

]]> Les trois points A, B et C sont alignés

]]> Inversé : l'alignement correspond au quotient réel
(argument 0 ou π) : l'imaginaire pur traduit la
perpendicularité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q18 : Résoudre $z^3 = 8$ Quelles sont les solutions complexes de z³ = 8 ?

]]> zⁿ = a (a > 0) : solutions \sqrt[n]{a}\;e^{2ik\pi/n} :
la racine réelle multipliée par les racines n-ièmes de
l'unité : polygone régulier de rayon \sqrt[n]{a}. Ramener
à \mathbb{U}_n par division : le réflexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 seulement

]]> Vision réelle : 2 est la seule solution RÉELLE : dans
ℂ, le degré 3 livre trois racines (2j et
2j² complètent).

]]> 8, 8j et 8j²

]]> Module : la racine cubique de 8 est 2 (2³ = 8) :
le module des solutions est 2, pas 8.

]]> 2, 2j et 2j²

]]> Bonne réponse, avec j = e^{2i\pi/3} : z^3 = 8 \iff
\left(\frac{z}{2}\right)^3 = 1, les solutions sont 2
fois les racines cubiques de l'unité : un triangle
équilatéral de rayon 2.

]]> 2, -2 et 2i

]]> Contrôle : (-2)³ = -8 ≠ 8 et (2i)³ = -8i : les
bonnes racines s'obtiennent en tournant de 120° :
2e^{2i\pi/3}, 2e^{4i\pi/3}.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q19 : Résoudre une équation du second degré à racines conjuguées Quelles sont les solutions de z² - 2z + 5 = 0 dans ℂ ?

]]> Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent
\dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}. Elles sont conjuguées l'une de
l'autre lorsque les coefficients sont réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution

]]> Dans ℂ, un discriminant négatif fournit deux racines
conjuguées.

]]> 2 + 4i et 2 - 4i

]]> Division oubliée : les deux parties sont à diviser par 2a = 2 ;
la partie réelle vaut -b/2a = 1.

]]> 1 + 4i et 1 - 4i

]]> Division incomplète : le dénominateur 2a = 2 divise aussi la
partie imaginaire √|Δ| = 4.

]]> 1 + 2i et 1 - 2i

]]> Bonne réponse : le discriminant vaut -16, donc les racines sont
2 ± 4i/2.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q20 : Les racines sixièmes de l'unité Combien de racines sixièmes de l'unité existe-t-il, et quel est leur
module ?

]]> L'équation zⁿ = 1 admet exactement n solutions dans ℂ,
toutes de module 1, formant un polygone régulier à n sommets sur le
cercle unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Six racines, de modules différents

]]> Le module de chacune élevé à la puissance 6 doit valoir 1, donc il
vaut 1.

]]> Six racines, toutes de module 1

]]> Bonne réponse : elles se répartissent régulièrement sur le cercle
unité.

]]> Une seule racine, égale à 1

]]> C'est la seule racine réelle positive, mais cinq autres existent dans
ℂ.

]]> Deux racines, 1 et -1

]]> Ce sont les deux racines réelles ; les quatre autres sont non réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q21 : Factoriser $z^3 - a^3$ Sachant que z³ - 27 se factorise par z - 3, quelle est cette
factorisation ?

]]> La factorisation de zⁿ - aⁿ par z - a donne ici
z³ - 3³ = (z - 3)(z² + 3z + 9). Le second facteur a pour discriminant
-27, négatif : l'équation z³ = 27 a donc deux autres solutions,
non réelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (z - 3)(z² + 3z + 9)

]]> Bonne réponse : z³ - a³ = (z - a)(z² + az + a²) avec a = 3 ; le
développement redonne z³ - 27.

]]> (z - 3)(z² - 3z + 9)

]]> Signe du terme en z : le développement donne z³ - 6z² + 18z - 27.

]]> (z - 3)(z² + 9)

]]> Terme en z oublié : le développement donne z³ - 3z² + 9z - 27.

]]> (z - 3)(z² + 6z + 9)

]]> Confusion avec (z + 3)² : le développement donne z³ + 3z² - 9z - 27.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q22 : Factoriser à partir d'une racine Le polynôme P(z) = z³ - 1 admet 1 pour racine.
Quelle est sa factorisation ?

]]> Si a est racine de P, alors P se factorise par z - a. Le quotient
s'obtient par division euclidienne ou par identification des
coefficients.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (z - 1)(z² + z + 1)

]]> Bonne réponse : la division par z - 1 donne le trinôme
z² + z + 1.

]]> (z - 1)(z² - z + 1)

]]> Signe faux : le développement donnerait z³ - 2z² + 2z - 1.

]]> (z + 1)(z² - z + 1)

]]> Ce produit vaut z³ + 1, pas z³ - 1.

]]> (z - 1)³

]]> Ce produit vaut z³ - 3z² + 3z - 1, et supposerait une racine
triple.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q23 : Racines conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet 3 - 2i pour racine.
Quelle autre racine possède-t-il nécessairement ?

]]> Si P est à coefficients réels et a en est racine, alors \bar{a} l'est
aussi. Les racines non réelles apparaissent donc toujours par paires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 + 2i

]]> L'opposé n'a aucune raison d'être racine : c'est le conjugué qui l'est.

]]> 3 + 2i

]]> Bonne réponse : pour des coefficients réels, les racines non réelles
vont par paires conjuguées.

]]> 2 - 3i

]]> Parties échangées : le conjugué garde la même partie réelle.

]]> -3 - 2i

]]> Même remarque : seuls les signes de la partie imaginaire changent.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q24 : Une racine double selon $m$ Pour quelles valeurs réelles de m l'équation z² + mz + 9 = 0
admet-elle une racine double ?

]]> Une racine double correspond à un discriminant nul. On résout donc
m² - 4 × 1 × 9 = 0, ce qui donne deux valeurs opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 9 ou m = -9

]]> Terme constant recopié : le discriminant fait intervenir 4ac, soit
36.

]]> m = 3 ou m = -3

]]> Racine prise trop tôt : √9 vaut 3, mais le discriminant vaut
m² - 36.

]]> m = 36 seulement

]]> Racine carrée oubliée, et la valeur opposée convient aussi.

]]> m = 6 ou m = -6

]]> Bonne réponse : le discriminant m² - 36 s'annule pour ces deux
valeurs.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q25 : Somme et produit des racines Pour z² - 6z + 13 = 0, que valent la somme et le produit des
racines ?

]]> Les relations entre coefficients et racines valent dans ℂ comme
dans ℝ. Elles permettent de vérifier un calcul sans résoudre
l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme 13, produit 6

]]> Rôles échangés : le terme constant donne le produit, le coefficient de
z la somme.

]]> Somme 6, produit -13

]]> Signe du produit : il vaut le terme constant, sans changement de
signe.

]]> Somme -6, produit 13

]]> Signe de la somme : elle vaut l'opposé du coefficient de z.

]]> Somme 6, produit 13

]]> Bonne réponse : les relations donnent -b/a et
c/a.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q26 : Une équation sans solution réelle Combien l'équation z⁴ + 1 = 0 a-t-elle de solutions réelles ?

]]> Une équation de degré 4 a toujours quatre solutions dans ℂ,
mais elles peuvent toutes être non réelles. Ici les quatre racines ont pour
arguments π/4, 3π/4, 5π/4 et
7π/4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Bonne réponse : une puissance quatrième d'un réel est positive, donc la
somme ne peut pas s'annuler.

]]> Quatre

]]> Le compte de quatre vaut dans ℂ, pas dans ℝ.

]]> Deux

]]> Les quatre solutions complexes sont toutes non réelles, réparties en
deux paires conjuguées.

]]> Une seule

]]> Aucun réel ne convient : pour tout réel x, x⁴ + 1 vaut au moins
1.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q27 : Résoudre $z^4 = 16$ Combien l'équation z⁴ = 16 a-t-elle de solutions dans
ℂ ?

]]> L'équation zⁿ = a admet exactement n solutions dans ℂ,
obtenues en divisant l'argument de a par n puis en ajoutant
régulièrement 2π/n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Huit

]]> Le nombre de solutions égale le degré, soit quatre.

]]> Une seule

]]> Même dans ℝ, l'équation admet déjà deux solutions.

]]> Deux

]]> Seules les solutions réelles sont comptées : deux autres sont
imaginaires pures.

]]> Quatre

]]> Bonne réponse : ce sont 2, -2, 2i et -2i.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q28 : Reconstituer un polynôme Quel polynôme unitaire de degré 2 admet 2 + i et 2 - i pour
racines ?

]]> Un polynôme unitaire de degré 2 s'écrit z² - sz + p, où s est la
somme des racines et p leur produit. Pour deux conjugués, les deux sont
réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc z² - 5z + 4

]]> Somme et produit échangés : la somme vaut 4, le produit 5.

]]> z² - 4z - 5

]]> Produit mal calculé : (2+i)(2-i) vaut 4 + 1 = 5.

]]> z² - 4z + 5

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut 4 et leur produit 5.

]]> z² + 4z + 5

]]> Signe du coefficient de z : il vaut l'opposé de la somme des
racines.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q29 : Discriminant négatif Que devient la formule des racines lorsque le discriminant est
négatif ?

]]> La formule du second degré vaut dans ℂ sans modification, en
écrivant √Δ = i√|Δ| lorsque le discriminant est
négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le radical devient i√|Δ|

]]> Bonne réponse : le reste de la formule est inchangé.

]]> Les deux racines deviennent égales

]]> Elles sont distinctes et conjuguées ; l'égalité correspond à un
discriminant nul.

]]> La formule ne s'applique tout simplement plus

]]> Elle s'applique parfaitement, à condition d'accepter les racines
complexes.

]]> Le dénominateur devient 2ai

]]> Le dénominateur reste 2a : seul le radical change.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q30 : Écrire les racines $n$-ièmes Comment s'écrivent les racines n-ièmes de l'unité ?

]]> Les racines n-ièmes de l'unité sont les e^{2ik\pi/n} pour k variant
de 0 à n-1. Elles forment un groupe pour la multiplication, engendré
par e^{2i\pi/n}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e^{2ik\pi/n} pour k de 1 à n

]]> Les valeurs k = 0 et k = n donnent la même racine : la liste est
correcte mais décalée, et l'énoncé attend l'écriture usuelle.

]]> 2ikπ/n pour k de 0 à n-1

]]> Exponentielle oubliée : ces nombres sont des imaginaires purs, pas des
racines de l'unité.

]]> e^{2ik\pi/n} pour k de 0 à n-1

]]> Bonne réponse : au-delà de n-1, les valeurs se répètent
périodiquement.

]]> e^{ik\pi/n} pour k de 0 à n-1

]]> Facteur 2 oublié : ces nombres ne couvrent qu'un demi-tour.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q31 : Calculer un discriminant Quel est le discriminant de l'équation z² + 2z + 5 = 0 ?

]]> Le discriminant de az² + bz + c = 0 vaut Δ = b² - 4ac.
Lorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées
\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 24

]]> Signe inversé : la formule retranche 4ac, elle ne l'ajoute
pas. On obtient (2)² - 4 × 5 = -16.

]]> -16

]]> Bonne réponse : Δ = b² - 4ac = (2)² - 4 × 5 = -16. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines
complexes conjuguées.

]]> -1

]]> Facteur 4 oublié : le discriminant vaut b² - 4ac, donc
(2)² - 4 × 5 = -16.

]]> 16

]]> Termes échangés : on part de b² et on en retranche 4ac,
dans cet ordre, ce qui donne -16.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q32 : Imaginaires purs parmi les racines quatrièmes Parmi les quatre solutions complexes de l'équation z⁴ = 1,
combien sont des imaginaires purs ?

]]> Les solutions de z⁴ = 1 sont 1, i, -1 et -i, les quatre
points cardinaux du cercle unité. Un imaginaire pur ayant une
partie réelle nulle, seules i et -i en sont.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule, le nombre i

]]> Conjugué oublié : (-i)⁴ = 1 également, donc -i convient
aussi. Cela fait deux imaginaires purs.

]]> Aucune : elles sont toutes réelles

]]> Erreur : seules 1 et -1 sont réelles ; les deux autres
solutions sont i et -i.

]]> Les quatre, car elles sont complexes

]]> Confusion : un imaginaire pur a une partie réelle nulle, ce
qui exclut 1 et -1, pourtant bien complexes.

]]> Deux : i et -i

]]> Bonne réponse : les solutions sont 1, i, -1 et -i, et
seules les deux dernières ont une partie réelle nulle.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q33 : La relation $j^3 = 1$ On note j = e^{2i\pi/3}. Que vaut j³ ?

]]> Un complexe z est racine cubique de l'unité lorsque z³ = 1.
Les trois racines cubiques sont 1, j et j². Les relations
j³ = 1 et 1 + j + j² = 0 réduisent tout calcul portant sur
j.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Confusion avec (-1)³ = -1 : ici l'argument 2π/3
multiplié par 3 donne un tour complet, donc 1.

]]> 0

]]> Erreur : j a pour module 1, donc j³ aussi ; un produit
de nombres non nuls n'est jamais nul.

]]> 1

]]> Bonne réponse : j^3 = e^{3 \times 2i\pi/3} = e^{2i\pi} = 1.
C'est la définition même d'une racine cubique de l'unité.

]]> j

]]> Erreur : l'exposant 3 triple l'argument, qui devient
2π : on revient au point 1, pas à j.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q34 : Factoriser à partir de deux racines conjuguées Le trinôme P(z) = z² - 4z + 13 admet pour racines
2 + 3i et 2 - 3i. Quelle est sa forme factorisée dans
ℂ ?

]]> Un polynôme unitaire de degré 2 de racines z₁ et z₂ s'écrit
(z - z₁)(z - z₂). Pour deux racines conjuguées, le produit
(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i) vaut (z - 2)² + 9 :
les coefficients obtenus sont bien réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)

]]> Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit
(z - z₁)(z - z₂). On soustrait chaque racine, et le
produit redonne bien z² - 4z + 13.

]]> (z - 2 - 3i)²

]]> Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il
faut donc deux facteurs différents.

]]> (z + 2 + 3i)(z + 2 - 3i)

]]> Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines
-2 - 3i et -2 + 3i, donc au trinôme
z² + 4z + 13.

]]> (z - (2 + 3i))(z + (2 - 3i))

]]> Signe du second facteur : soustraire la racine 2 - 3i
s'écrit z - 2 + 3i, et non z + 2 - 3i.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q35 : Degré d'un produit de polynômes Quel est le degré du polynôme
P(z) = (z² + 4)(z³ - 8) ?

]]> Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés
des facteurs. Ce polynôme de degré 5 admet donc au plus 5
racines complexes distinctes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Premier facteur oublié : z² + 4 est de degré 2, qui
s'ajoute au degré 3 du second facteur.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés
des facteurs, soit 2 + 3 = 5.

]]> 6

]]> Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne
les multiplie pas : 2 + 3 = 5.

]]> 4

]]> Erreur de somme : 2 + 3 vaut 5, et non
4.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q36 : Solutions réelles de $z^3 = -27$ Combien l'équation z³ = -27 admet-elle de solutions réelles ?

]]> Dans ℂ, l'équation z³ = a admet trois solutions,
obtenues en multipliant l'une d'elles par les racines cubiques de
l'unité. Ici ce sont -3, -3j et -3j², et seule la première
est réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule, le nombre -3

]]> Bonne réponse : (-3)³ = -27, et la fonction cube est
strictement croissante sur ℝ : aucune autre valeur
réelle ne convient.

]]> Trois, autant que le degré

]]> Ensembles confondus : l'équation a bien trois solutions dans
ℂ, mais une seule d'entre elles est réelle.

]]> Deux, opposées l'une de l'autre

]]> Erreur : 3³ = 27 et non -27. Pour une puissance impaire,
l'opposé d'une solution ne convient pas.

]]> Aucune, car -27 est négatif

]]> Erreur : le cube d'un réel négatif est négatif. C'est la
racine carrée qui refuse les négatifs, pas la racine cubique.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q37 : La notation $\mathbb{U}_n$ Que désigne la notation \mathbb{U}_n ?

]]> \mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\} est
l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. Il compte exactement
n éléments, tous de module 1, sommets d'un polygone régulier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble des puissances n-ièmes d'un complexe

]]> Sens inversé : ce sont les nombres dont la puissance
n-ième vaut 1, et non des puissances n-ièmes.

]]> L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité

]]> Bonne réponse : \mathbb{U}_n rassemble les n solutions de
zⁿ = 1, c'est-à-dire les e^{2ik\pi/n} pour k allant de
0 à n - 1.

]]> L'ensemble des entiers strictement inférieurs à n

]]> Erreur : \mathbb{U}_n ne contient pas des entiers, mais des
nombres complexes de module 1.

]]> L'ensemble des complexes de module n

]]> Module faux : l'égalité |z|ⁿ = 1 impose |z| = 1. Tous les
éléments de \mathbb{U}_n sont sur le cercle unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q38 : Régler un paramètre par la somme des racines Pour quelle valeur réelle de m la somme des racines de
l'équation z² + mz + 7 = 0 vaut-elle 6 ?

]]> Pour az² + bz + c = 0, la somme des racines vaut
-b/a et leur produit c/a. Ces relations
valent dans ℂ et permettent de régler un paramètre sans
résoudre l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = -6

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut -b/a,
soit -m ici. On résout -m = 6, d'où m = -6.

]]> m = 6

]]> Signe oublié : la somme vaut -m et non m ; il faut donc
prendre l'opposé de 6.

]]> m = 3

]]> Division injustifiée : le coefficient de z² vaut 1, la
somme des racines vaut simplement -m.

]]> m = -3

]]> Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par 2 n'entre
en jeu, la somme vaut -m, donc m = -6.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q39 : Vérifier qu'un complexe est racine Le polynôme P(z) = z³ + 3z² + z + 3 admet-il i pour racine ?

]]> Pour savoir si a est racine de P, on calcule P(a) en
réduisant les puissances de i grâce à i² = -1. Si P(a) = 0,
alors P se factorise par z - a.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Impossible de conclure sans factoriser P

]]> Erreur : il suffit de remplacer z par i et de calculer.
La factorisation vient après cette vérification, pas avant.

]]> Non, un polynôme réel n'a pas de racine complexe

]]> Erreur : des coefficients réels n'interdisent pas les racines
non réelles, ils imposent seulement qu'elles aillent par
paires conjuguées. Ici i et -i sont racines.

]]> Non, car P(i) vaut 6

]]> Puissances de i mal réduites : i² = -1 et i³ = -i, ce
qui fait tout disparaître : P(i) = 0.

]]> Oui, car P(i) = 0

]]> Bonne réponse : i² = -1 et i³ = -i, donc
P(i) = -i - 3 + i + 3 = 0. Le polynôme se factorise
d'ailleurs en (z + 3)(z² + 1).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q40 : Racines réelles de $z^n = 1$ Combien l'équation z⁶ = 1 admet-elle de solutions réelles ?

]]> Les solutions de zⁿ = 1 sont les e^{2ik\pi/n}, réparties
régulièrement sur le cercle unité. Seuls les points 1 et, quand
n est pair, -1 tombent sur l'axe réel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Erreur : 1ⁿ = 1 pour tout n, donc 1 est toujours
solution : il y a au moins une solution réelle.

]]> 6

]]> Ensembles confondus : l'équation a bien 6 solutions dans
ℂ, mais la plupart ne sont pas réelles.

]]> 2

]]> Bonne réponse : le nombre 1 convient toujours, et -1
convient lorsque l'exposant est pair, car (-1)⁶ doit
valoir 1. On en compte donc 2.

]]> 4

]]> Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés
sur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire 1 et parfois -1.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q41 : Angle entre deux racines consécutives Les solutions de l'équation z⁵ = 1 sont les sommets d'un
polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle
au centre entre deux sommets consécutifs ?

]]> Les racines n-ièmes de l'unité ont pour arguments
2kπ/n. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de
2π/n : les images forment un polygone régulier à n
côtés, dont 1 est un sommet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π/10

]]> Deux erreurs de facteur 2 : le tour complet mesure 2π,
et il se partage en 5 parts.

]]> 2π/4

]]> Un sommet oublié : le polygone a 5 sommets, donc 5
arcs, et non 4.

]]> 2π/5

]]> Bonne réponse : les arguments sont les 2kπ/5,
en progression arithmétique de raison 2π/5 :
le tour complet est partagé en 5 parts égales.

]]> π/5

]]> Demi-tour seulement : 5 angles de π/5 ne
couvrent que π, alors que les sommets font le tour
complet.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q42 : Module de deux racines conjuguées Les deux racines de l'équation z² - 6z + 25 = 0 sont
conjuguées. Quel est leur module commun ?

]]> Pour z² - sz + p = 0, la somme des racines vaut s et leur
produit p. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut
z\bar{z} = |z|^2 : le module commun est donc √p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Partie réelle prise pour le module : elle vaut 3, mais le
module tient compte aussi de la partie imaginaire.

]]> 5

]]> Bonne réponse : le produit des racines vaut 25, et pour
deux conjuguées z\bar{z} = |z|^2. Donc |z|² = 25 et
|z| = 5.

]]> 22

]]> Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des
racines, soit √25 = 5.

]]> 25

]]> Racine carrée oubliée : 25 est le carré du module, pas le
module lui-même, qui vaut 5.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q43 : Module du quotient et distances Soient A, B et C trois points deux à deux distincts,
d'affixes respectives a, b et c. Que représente le module
|c - a/b - a| ?

]]> Le quotient c-a/b-a résume la position des trois
points : son module vaut AC/AB et son argument mesure
l'angle (AB⃗\ ;\ AC⃗). Réel, il
traduit l'alignement ; imaginaire pur, un angle droit en A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire du triangle ABC obtenu

]]> Erreur : un quotient de deux longueurs est un nombre sans
dimension ; il ne peut pas mesurer une aire.

]]> Le rapport AC/AB

]]> Bonne réponse : |c - a| = AC et |b - a| = AB, et le module
d'un quotient est le quotient des modules.

]]> La longueur BC du côté opposé

]]> Erreur : la longueur BC vaut |c - b|. Ici les deux
différences partent toutes les deux de a.

]]> L'angle du triangle au sommet A

]]> Module et argument confondus : l'angle en A se lit sur
l'argument du quotient, pas sur son module.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q44 : Produit des deux autres racines Le polynôme P(z) = z³ - 5z² + 8z - 6 admet 3 pour
racine. Que vaut le produit des deux autres racines ?

]]> Pour z³ - sz² + tz - u, la somme des trois racines vaut s et
leur produit u. Connaître une racine donne donc aussitôt la
somme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles
sont les racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Racine connue non retirée : 6 est le produit des trois
racines ; il faut encore le diviser par 3.

]]> 2

]]> Bonne réponse : le produit des trois racines vaut 6. En le
divisant par la racine connue 3, il reste 2 pour les
deux autres.

]]> 18

]]> Multiplication au lieu d'une division : 3 est déjà un
facteur du produit 6, on l'en retire en divisant.

]]> 3

]]> Soustraction au lieu d'une division : les racines se
multiplient, elles ne s'additionnent pas.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q45 : Calculer $(1 + j)^3$ On note j = e^{2i\pi/3}, qui vérifie 1 + j + j² = 0. Que vaut
(1 + j)³ ?

]]> Les racines cubiques de l'unité vérifient j³ = 1 et
1 + j + j² = 0. Ces deux relations réduisent toute expression
en j : ici 1 + j = -j², puis (-j²)³ = -j⁶ = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Bonne réponse : la relation donne 1 + j = -j², donc
(1 + j)³ = -j⁶ = -(j³)² = -1.

]]> -j²

]]> Cube oublié : -j² est la valeur de 1 + j, pas celle de
son cube.

]]> 3j

]]> Développement abusif : (1 + j)³ ne vaut ni 1 + j³ ni
3j. Il faut passer par la relation 1 + j + j² = 0.

]]> 1

]]> Signe perdu : 1 + j = -j², et le cube d'un opposé reste un
opposé, car l'exposant 3 est impair.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q46 : Lire le quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$ A, B, C sont trois points distincts d'affixes a, b, c. Que
représente le module de c - a/b - a ?

]]> Un argument de c - a/b - a est une mesure de l'angle orienté
(AB⃗, AC⃗) et son module vaut AC/AB.
Un seul quotient décrit donc la forme du triangle ABC.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La mesure de l'angle (AB⃗, AC⃗)

]]> C'est l'argument du quotient qui donne cet angle ; le module
donne un rapport de longueurs.

]]> La longueur BC

]]> BC = |c - b| : ce n'est pas le module du quotient, qui compare
deux longueurs issues de A.

]]> Le produit AB × AC

]]> Le module d'un quotient est le quotient des modules, pas leur
produit.

]]> Le rapport des longueurs AC/AB

]]> Bonne réponse : |c - a/b - a| = |c - a|/|b - a| = AC/AB.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q47 : Nature d'un triangle par les complexes Les points A, B, C ont pour affixes a = 1 + i, b = 3 + 2i et c = 3i.
On calcule c - a/b - a = i. Que peut-on en conclure ?

]]> Le quotient c - a/b - a code l'angle (AB⃗, AC⃗) par son
argument et le rapport AC/AB par son module : réel pour un
alignement, imaginaire pur pour un angle droit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ABC est équilatéral

]]> Conclusion inexacte : un quotient égal à e^{\pm i\pi/3} donne AC = AB et un angle de 60°, or le quotient vaut i.

]]> ABC est isocèle rectangle en A

]]> Bonne réponse : un quotient égal à ± i donne un angle droit et AC = AB.

]]> A, B, C sont alignés

]]> Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs AB⃗ et AC⃗ sont colinéaires, or le quotient vaut i.

]]> ABC est rectangle en A sans être isocèle

]]> Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de 1 donne un angle droit en A avec AB ≠ AC, or le quotient vaut i.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q48 : Un ensemble de points par un quotient réel A et B ont pour affixes 1 et i. Quel est l'ensemble des points M
d'affixe z ≠ i tels que z - 1/z - i soit un nombre réel ?

]]> Quotient réel : alignement. Quotient imaginaire pur : orthogonalité.
Module 1 : égalité de distances. Ces trois traductions décrivent la
plupart des ensembles de points usuels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de diamètre [AB]

]]> Ce cercle correspond à un quotient imaginaire pur (angle droit
en M), pas réel.

]]> La droite (AB) privée du point B

]]> Bonne réponse : pour M ≠ A, le quotient est réel si et seulement si
(MB⃗, MA⃗) vaut 0 ou π : M, A, B alignés ; et
M = A donne le réel 0.

]]> Le segment [AB] privé de B

]]> Les points de la droite situés hors du segment conviennent aussi :
l'angle vaut alors 0 au lieu de π, et le quotient reste réel.

]]> La médiatrice de [AB]

]]> La médiatrice correspond à |z - 1| = |z - i|, c'est-à-dire à un
quotient de module 1.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q49 : Racines carrées d'un nombre complexe Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut 3 + 4i ?

]]> Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On
les trouve par identification (x² - y², 2xy), en ajoutant si besoin
x² + y² = |w|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 - i et son opposé

]]> Conjugué de la bonne réponse : (2 - i)² = 3 - 4i, le conjugué de
3 + 4i.

]]> 1 + 2i et son opposé

]]> Parties échangées : (1 + 2i)² = -3 + 4i.

]]> √5 et -√5

]]> Racine du module : |3 + 4i| = 5, mais les racines carrées de w
ont pour module √5 et un argument moitié de celui de w ;
elles ne sont pas réelles.

]]> 2 + i et son opposé

]]> Bonne réponse : en posant z = x + iy, on résout
x^2 - y^2 = \mathrm{Re}(w) et 2xy = \mathrm{Im}(w) ; on vérifie que
(2 + i)² = 3 + 4i.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q50 : Racines quatrièmes d'un nombre négatif Quelles sont les solutions dans ℂ de l'équation z⁴ = -16 ?

]]> Pour résoudre zⁿ = w, on écrit w = Re^{i\alpha} : les solutions sont
les n complexes R^{1/n}e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}, sommets d'un polygone
régulier centré en O.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} pour k \in \{0, 1, 2, 3\}

]]> Module : r⁴ = 16 donne r = 2 ; 4 est la racine carrée de 16.

]]> 2i et -2i seulement

]]> Ces nombres vérifient z² = -4, mais (2i)⁴ = 16. Une équation de
degré 4 a ici quatre solutions.

]]> 2e^{ik\pi/2} pour k \in \{0, 1, 2, 3\}

]]> Ces nombres (2, 2i, -2, -2i) vérifient z⁴ = 16 : l'argument
π de -16 a été oublié.

]]> 2e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} pour k \in \{0, 1, 2, 3\}

]]> Bonne réponse : -16 = 16e^{i\pi} ; on cherche z = re^{i\theta} avec r⁴ = 16
et 4θ = π + 2kπ, d'où r = 2 et θ = π/4 + kπ/2.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q51 : Démontrer une orthogonalité A, B, C, D ont pour affixes a, b, c, d, avec A ≠ B et
C ≠ D. Quelle condition garantit que les droites (AB) et (CD)
sont perpendiculaires ?

]]> Parallélisme et alignement : quotient réel. Orthogonalité : quotient
imaginaire pur. On calcule le quotient sous forme algébrique, puis on
regarde sa partie réelle ou sa partie imaginaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (d - c)(b - a) est un nombre réel

]]> Un produit réel ne traduit pas un angle droit : par exemple
b - a = 1 et d - c = 2 donnent des droites parallèles.

]]> d - c/b - a est imaginaire pur

]]> Bonne réponse : un argument de ce quotient mesure l'angle
(AB⃗, CD⃗), qui vaut ±π/2 exactement quand
le quotient est imaginaire pur (non nul).

]]> |d - c| est égal à |b - a|

]]> Cette égalité dit que CD = AB : elle porte sur les longueurs, pas
sur l'angle.

]]> d - c/b - a est un nombre réel

]]> Un quotient réel traduit des vecteurs colinéaires : les droites
sont alors parallèles.

]]>