$course$/QCM de maths/Maths expertes/Graphes, matrices et chaînes de Markov Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,
connexité), matrices et opérations, inverse et puissances,
matrice d'adjacence et comptage de chemins, suites
Uₙ₊₁ = AUₙ + C, chaînes de Markov à deux ou trois états,
matrice de transition et distributions invariantes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q01 : Degré d'un sommet Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un
sommet ?

]]> Vocabulaire de base : l'ordre est le nombre de sommets ; le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui en partent. Lemme des poignées de
main : la somme des degrés vaut 2 × (nombre d'arêtes),
donc elle est toujours paire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet

]]> Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré
mesure les connexions immédiates.

]]> Le nombre total de sommets du graphe

]]> Confusion : c'est l'ordre du graphe. Le degré est
une caractéristique locale de chaque sommet.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Erreur : le degré ne compte que les arêtes touchant ce
sommet, pas toutes.

]]> Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au
sommet : son « nombre de connexions ».

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q02 : Graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet à 5 sommets
(chaque paire de sommets est reliée) ?

]]> Graphe complet à n sommets : chaque sommet est de degré
n - 1, et il y a \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} arêtes.
Contrôle par les poignées de main : 5 × 4/2 = 10.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20

]]> Double comptage : 5 × 4 compte chaque arête dans
les deux sens ; on divise par 2.

]]> 5

]]> Erreur : 5 arêtes font un simple cycle (pentagone). Le
graphe complet relie toutes les paires : 10.

]]> 25

]]> Erreur : 5² compterait aussi des boucles et les deux
sens. Paires distinctes : \binom{5}{2} = 10.

]]> 10

]]> Bonne réponse : une arête par paire de sommets :
\binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q03 : Graphe connexe Que signifie « le graphe est connexe » ?

]]> Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives ; sa longueur est son nombre d'arêtes. Un graphe est connexe lorsque toute paire de sommets est reliée par une chaîne : le réseau est d'un seul bloc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne

]]> Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de
n'importe quel sommet vers n'importe quel autre en
suivant les arêtes.

]]> Tous les sommets ont le même degré non nul

]]> Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints
ont tous leurs degrés égaux à 2 sans être connexes.

]]> Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe

]]> Trop fort : c'est le graphe complet. La connexité
autorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes).

]]> Le graphe ne contient aucun cycle ni sommet isolé

]]> Autre notion : sans cycle, c'est une forêt ; deux arbres
disjoints n'ont ni cycle ni sommet isolé et ne sont
pourtant pas connexes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q04 : Dimensions d'une matrice Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}. Quelles sont les dimensions de A ?

]]> Matrice n × p : tableau de n lignes et p
colonnes. Cas particuliers : matrice carrée (n = p),
matrice ligne (1 × p), matrice colonne (n × 1). Le produit AB exige : colonnes de A = lignes de
B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 × 2

]]> Ordre inversé : on annonce d'abord les lignes (2),
puis les colonnes (3).

]]> 6

]]> Incomplet : 6 est le nombre de coefficients, mais la
forme (2 × 3 ou 3 × 2 ou 6 × 1…)
est une information essentielle.

]]> 2 × 2

]]> Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a 3
colonnes.

]]> 2 × 3

]]> Bonne réponse : deux lignes et trois colonnes, convention
lignes × colonnes, toujours dans cet ordre.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q05 : Produit de matrices Soient A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et
B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Que vaut
le produit AB ?

]]> Produit ligne × colonne. Attention : en général
AB ≠ BA (ici BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}) : la multiplication des matrices n'est pas
commutative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : ligne par colonne : (1 × 3 + 2 × 1) = 5, (1 × 0 + 2 × 1) = 2, (0 × 3 + 1 × 1) = 1, (0 × 0 + 1 × 1) = 1.

]]> AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Première case fausse : (1\ \ 2) \cdot
\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5, pas 3.

]]> AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la
règle : chaque case croise une ligne de A avec une
colonne de B.

]]> AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

]]> Addition parasite : c'est A + B. Le produit multiplie
ligne par colonne puis somme.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q06 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Soit A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.
Quelle est la matrice inverse A⁻¹ ?

]]> Pour \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} avec
ad - bc ≠ 0 : inverse = \dfrac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
L'inverse sert à résoudre AX = B : X = A⁻¹B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}

]]> Signes oubliés : les coefficients hors diagonale
prennent un signe moins : -1 et -5.

]]> A n'est pas inversible

]]> Erreur : le déterminant 2 × 3 - 1 × 5 = 1 ≠ 0 : inversible.

]]> A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}

]]> Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche
pas : l'inverse doit vérifier AA⁻¹ = I₂, pas
inverser chaque case.

]]> A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : déterminant = 2 × 3 - 1 × 5 = 1, puis échange
de la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :
AA⁻¹ = I₂.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q07 : Matrice d'adjacence Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à n
sommets ?

]]> Matrice d'adjacence A : aᵢⱼ = nombre d'arêtes de i
vers j. Théorème clé (démonstration au programme) : le
coefficient (i\ ;\ j) de Aᵏ compte les chemins de
longueur k de i à j.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice identité Iₙ, dont la diagonale porte un
1 pour chaque sommet

]]> Erreur : Iₙ ne dépend pas des arêtes ; elle décrirait
un graphe où chaque sommet n'a qu'une boucle sur
lui-même. La matrice d'adjacence change avec les
liaisons du graphe.

]]> La matrice n × n où le coefficient (i\ ;\ j)
compte les arêtes reliant i à j

]]> Bonne réponse : la carte d'identité numérique du
graphe : le coefficient (i\ ;\ j) vaut 1 (ou le
nombre d'arêtes) si les sommets i et j sont reliés,
0 sinon. Elle est carrée, indexée par les sommets en
ligne comme en colonne, et symétrique pour un graphe non
orienté.

]]> La matrice colonne n × 1 qui donne le degré de
chacun des n sommets

]]> Erreur : les degrés se déduisent de la matrice
d'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient
bien plus : qui est relié à qui.

]]> La matrice à deux lignes dont chaque colonne donne les
deux extrémités d'une arête

]]> Erreur : ce tableau n'est qu'une liste des arêtes ; la
matrice d'adjacence, elle, est carrée n × n,
indexée par les sommets en ligne et en colonne.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q08 : Compter les chemins avec $A^k$ Soit A la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente
le coefficient (1\ ;\ 3) de la matrice A⁴ ?

]]> Théorème : (Aᵏ)ᵢⱼ = nombre de chemins de
longueur k de i à j. Preuve par récurrence : un chemin
de longueur k = un chemin de longueur k-1 suivi d'une
arête, ce que le produit matriciel somme exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre d'arêtes entre les sommets 1 et 3

]]> C'est A¹ = A qui donne les liaisons directes ; la
puissance 4 compte les parcours en 4 étapes.

]]> 4 fois le coefficient (1\ ;\ 3) de A

]]> Confusion entre A⁴ (produit matriciel itéré) et 4A
(multiplication par un scalaire).

]]> Le nombre de chemins de longueur 4 de 1 à 3

]]> Bonne réponse : le nombre de chemins de longueur 4
allant du sommet 1 au sommet 3 ; chaque produit
intermédiaire cumule une étape, A⁴ compte les
parcours en exactement 4 arêtes (revisites
autorisées).

]]> La distance entre les sommets 1 et 3

]]> Erreur : la distance est la longueur du plus court
chemin ; A⁴ compte les chemins de longueur
exactement 4.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q09 : Suite $U_{n+1} = AU_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie Uₙ₊₁ = A Uₙ
pour tout n. Comment s'exprime Uₙ en fonction de
U₀ ?

]]> Uₙ₊₁ = AUₙ ⇒ Uₙ = Aⁿ U₀ : tout le
comportement asymptotique se lit sur les puissances de A.
Avec un terme constant (Uₙ₊₁ = AUₙ + C), on cherche
une colonne fixe X = AX + C pour s'y ramener.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Uₙ = Aⁿ⁻¹ U₁ donc rien de plus simple

]]> Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à
U₀ : Uₙ = Aⁿ U₀ : la forme close attendue.

]]> Uₙ = n A U₀

]]> Confusion arithmétique/géométrique : on multiplie
par A à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une
puissance, pas un multiple.

]]> Uₙ = A U₀ⁿ

]]> Erreur : la puissance porte sur A (appliquée n
fois) ; U₀ⁿ n'a même pas de sens pour une colonne.

]]> Uₙ = Aⁿ U₀

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie par A à
gauche ; après n étapes : Aⁿ U₀ : exactement comme
une suite géométrique, en version matricielle.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q10 : Matrice de transition [Figure : Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.]

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états
A et B. Quelle est sa matrice de transition P (états
dans l'ordre A, B, chaque ligne correspondant à un état de départ) ?

]]> Matrice de transition : pᵢⱼ = probabilité de passer de
l'état i à l'état j en une étape ; chaque ligne somme à
1. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du
même objet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7
\end{pmatrix}

]]> Transposée : ici les lignes ne somment plus à 1
(0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1) : le signe sûr d'un échange
lignes/colonnes.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : ligne A : rester en A (0{,}8),
aller en B (0{,}2) ; ligne B : 0{,}3 puis
0{,}7. Chaque ligne somme à 1.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}

]]> Diagonale échangée : le coefficient (1\ ;\ 1) est la
probabilité de rester en A, soit 0{,}8 (la
boucle).

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}

]]> Ligne B inversée : depuis B, la probabilité d'aller
en A (première colonne) est 0{,}3, celle de rester
est 0{,}7.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q11 : Distribution après $n$ transitions Une chaîne de Markov a pour matrice de transition P et
pour distribution initiale la matrice ligne π₀. Que
représente la matrice ligne π₀ Pⁿ ?

]]> πₙ₊₁ = πₙ P, d'où πₙ = π₀ Pⁿ
(démonstration au programme). Interprétation coefficient par
coefficient : (Pⁿ)ᵢⱼ = probabilité de passer de i à
j en n transitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité de rester dans l'état initial

]]> Réducteur : π₀ Pⁿ est une ligne complète : une
probabilité par état, pas un seul nombre.

]]> La distribution de l'état après n transitions

]]> Bonne réponse : chaque multiplication par P fait
avancer d'une étape ; πₙ = π₀ Pⁿ donne les
probabilités d'occupation de chaque état à l'instant
n.

]]> Toujours la distribution uniforme sur les états

]]> Erreur : la limite éventuelle dépend de P (c'est la
distribution invariante, rarement uniforme).

]]> La matrice des chemins de longueur n du graphe

]]> Confusion avec la matrice d'adjacence : ici les
coefficients sont des probabilités, et π₀ Pⁿ est
une ligne, pas une matrice carrée.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q12 : Distribution invariante Pour la chaîne de matrice P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}, quelle est la distribution
invariante π = (x\ ;\ y) (vérifiant π P = π et
x + y = 1) ?

]]> Distribution invariante : π P = π avec somme 1 : si
la chaîne démarre sur π, elle y reste ; et ici les
distributions πₙ convergent vers π quel que soit le
départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \pi = (0{,}5\ ;\ 0{,}5)

]]> Uniforme par réflexe : contrôle : 0{,}8 \times 0{,}5 +
0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}55 \neq 0{,}5 : pas
invariante.

]]> \pi = (0{,}6\ ;\ 0{,}4)

]]> Bonne réponse : π P = π donne 0{,}8x + 0{,}3y =
x, soit 0{,}3y = 0{,}2x ; avec x + y = 1 :
x = 0{,}6, y = 0{,}4. Contrôle : 0{,}8 \times 0{,}6 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}6.

]]> \pi = (0{,}8\ ;\ 0{,}2)

]]> Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :
on résout π P = π avec x + y = 1.

]]> Il n'en existe pas

]]> Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le
système π P = π, x + y = 1 a une solution :
(0{,}6\ ;\ 0{,}4).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q13 : Degrés et arêtes d'un graphe Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de
tous les sommets ?

]]> Chaque arête a deux extrémités et compte pour 1 dans le degré de chacune :
la somme des degrés vaut donc le double du nombre d'arêtes. Elle est toujours
paire, si bien que le nombre de sommets de degré impair est pair lui aussi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de sommets

]]> Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul
effectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés
de 6.

]]> Le nombre d'arêtes

]]> Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :
la somme des degrés double le compte des arêtes.

]]> Cela dépend du graphe, sans formule générale

]]> Erreur : la formule \sum \deg = 2 \times arêtes vaut
pour TOUT graphe : c'est un des rares invariants
universels.

]]> Le double du nombre d'arêtes

]]> Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :
elle contribue 2 à la somme des degrés : somme = 2 × arêtes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q14 : La matrice identité Que vaut le produit A I₂, où I_2 = \begin{pmatrix} 1 &
0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et A est une matrice 2 × 2 ?

]]> Iₙ : des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs : le
neutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse
(AA⁻¹ = I) et sert de point de départ aux puissances
(A⁰ = I).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice nulle

]]> Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :
l'identité, elle, laisse tout passer.

]]> I₂

]]> Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas
par elle : chaque ligne de A ressort intacte.

]]> 2A

]]> Erreur : les 1 de la diagonale recopient chaque
coefficient UNE fois : aucun doublement.

]]> A

]]> Bonne réponse : AI = IA = A : l'identité est neutre
pour le produit, elle joue pour les matrices le rôle du
nombre 1 : c'est la référence des inverses
(AA⁻¹ = I).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q15 : $AB$ contre $BA$ Pour deux matrices carrées A et B, a-t-on toujours
AB = BA ?

]]> Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe
permanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs
(développements, factorisations, équations : tout doit
respecter le côté de multiplication). Contre-exemple à
retenir : \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
et \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
ne sont pas égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : en général, le produit dépend de l'ordre des
facteurs

]]> Bonne réponse : par exemple \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &
0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix} alors que \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} : l'ordre
des facteurs CHANGE le résultat.

]]> Non, sauf lorsque les deux matrices sont inversibles

]]> Erreur : l'inversibilité ne garantit rien :
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} sont
inversibles (déterminant 1) et pourtant
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} alors
que BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
Certains couples commutent (une matrice et ses
puissances, l'identité avec tout), mais la règle
générale reste la non-commutativité.

]]> Oui, à condition que les deux matrices soient carrées de
même taille

]]> Erreur : même carrées de même taille, l'ordre compte :
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} et
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} sont deux
matrices 2 × 2 dont les produits valent
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} dans un
ordre et \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
dans l'autre.

]]> Oui : la multiplication des matrices est commutative,
comme celle des nombres

]]> Réflexe des nombres à abandonner : composer des
transformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer
n'est pas étirer puis tourner).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q16 : Dimensions compatibles A est de taille 2 × 3 et B de taille 3 × 1. Que dire du produit AB ?

]]> Règle des dominos : (m × n)(n × p) = m × p :
les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des
erreurs de produit sont des produits impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe et mesure 3 × 3

]]> Erreur : 3 × 3 sortirait de BA… qui n'existe
d'ailleurs pas (1 ≠ 2) : AB prend les dimensions
extérieures : 2 × 1.

]]> Il existe et mesure 2 × 3

]]> Erreur : la dimension commune 3 est CONSOMMÉE par le
produit : restent 2 (lignes de A) et 1 (colonnes
de B).

]]> Il n'existe pas, les tailles sont différentes

]]> Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais
des dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de A =
lignes de B) : c'est le cas.

]]> Il existe et mesure 2 × 1

]]> Bonne réponse : une colonne de hauteur 2. Les
dimensions intérieures coïncident (3 = 3) : le produit
existe, aux dimensions extérieures 2 × 1.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q17 : Calculer $A^2$ Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Que vaut A² ?

]]> Une puissance se calcule par produits successifs (jamais coefficient par coefficient). La matrice \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} vérifie A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 &
1 \end{pmatrix} : premier exemple de conjecture + récurrence
matricielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Erreur : A n'est pas idempotente : le coefficient
droit cumule : 1 + 1 = 2.

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le
coefficient supérieur droit bouge : 1 × 1 + 1 × 1 = 2. (Et Aⁿ y affichera n : récurrence
élégante.)

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

]]> Confusion : 2A double les coefficients : A² = A × A suit la règle ligne-colonne : seul le 2
supérieur droit apparaît.

]]> A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} coefficient
par coefficient

]]> Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré
n'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et
colonnes).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q18 : Une matrice de transition valide ? La matrice \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix} peut-elle être la matrice de transition
d'une chaîne de Markov ?

]]> Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans
[0\ ;\ 1] ET chaque ligne somme à 1 (toutes les
destinations depuis un état). Vérification systématique
avant tout calcul de π₀ Pⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les colonnes ne somment pas à 1

]]> Mauvais axe : la convention du programme somme les
lignes (chaque ligne correspond à un état de départ) : et c'est bien une
ligne qui cloche ici.

]]> Oui : tous les coefficients sont entre 0 et 1

]]> Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque
ligne somme à 1 : la première déborde.

]]> Oui : il suffit de la diviser par 1{,}1

]]> Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre
(0{,}3 + 0{,}7 = 1 déjà) : la matrice donnée est
simplement invalide.

]]> Non : la première ligne somme à 1{,}1 \neq 1

]]> Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition
liste les probabilités de départ d'un état : elle doit
sommer à 1 (0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1 : impossible).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q19 : Somme de deux matrices À quelle condition peut-on additionner deux matrices ?

]]> L'addition de matrices se fait coefficient par coefficient, elle exige donc
des dimensions identiques. Le produit, lui, demande une compatibilité
entre colonnes et lignes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles doivent avoir les mêmes dimensions

]]> Bonne réponse : l'addition se fait terme à terme, chaque case ayant une
correspondante.

]]> Elles doivent être carrées

]]> Deux matrices rectangulaires de mêmes dimensions s'additionnent sans
difficulté.

]]> Le nombre de colonnes de l'une doit égaler le nombre de lignes de
l'autre

]]> Cette condition concerne le produit, pas la somme.

]]> Elles doivent être inversibles

]]> L'inversibilité ne concerne que la multiplication et les matrices
carrées.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q20 : Dimensions d'un produit Une matrice 3 × 4 multiplie une matrice 4 × 2.
Quelles sont les dimensions du résultat ?

]]> Le produit d'une matrice n × p par une matrice p × q est une
matrice n × q. Les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent du résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12 × 8

]]> Dimensions multipliées : le produit matriciel ne procède pas ainsi.

]]> 4 × 4

]]> Dimensions intérieures retenues : ce sont elles qui doivent coïncider,
elles disparaissent du résultat.

]]> 2 × 3

]]> Dimensions inversées : le nombre de lignes vient de la première
matrice.

]]> 3 × 2

]]> Bonne réponse : on garde le nombre de lignes de la première et le
nombre de colonnes de la seconde.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q21 : Lire une matrice d'adjacence Dans la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté, que signifie un
coefficient égal à 1 en ligne 2, colonne 5 ?

]]> La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique : son
coefficient d'indices i et j vaut 1 si les deux sommets sont reliés,
0 sinon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un chemin de longueur 5 entre les deux sommets

]]> Les chemins de longueur k se comptent dans la matrice élevée à la
puissance k.

]]> Les sommets 2 et 5 sont reliés par une arête

]]> Bonne réponse : un coefficient nul signalerait l'absence d'arête.

]]> Le sommet 2 est de degré 5

]]> Le degré se lit en additionnant tous les coefficients d'une ligne.

]]> Le graphe comporte 5 sommets

]]> Le nombre de sommets est donné par la taille de la matrice.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q22 : Compter des chemins Que compte le coefficient d'indices i et j de la matrice A³,
où A est une matrice d'adjacence ?

]]> Le coefficient d'indices i et j de Aᵏ donne le nombre de chemins de
longueur exactement k reliant ces deux sommets, en comptant les
répétitions de sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les chemins de longueur 3 entre les sommets i et j

]]> Bonne réponse : chaque produit de trois coefficients correspond à un
chemin de trois arêtes.

]]> Les chemins les plus courts entre i et j

]]> La longueur est fixée à 3 : un chemin plus court n'est pas compté.

]]> Le nombre de sommets à distance 3

]]> Le coefficient compte les chemins, or plusieurs chemins peuvent mener
au même sommet.

]]> Le degré du sommet i élevé au cube

]]> Le degré se lit sur A seule, en sommant une ligne.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q23 : Le rôle de la matrice identité Que donne le produit d'une matrice carrée A par la matrice identité
de même taille ?

]]> La matrice identité est l'élément neutre du produit matriciel :
AI = IA = A. C'est aussi elle qui définit l'inverse, par
AA⁻¹ = I.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'inverse de A

]]> L'inverse s'obtient par un calcul spécifique, quand il existe.

]]> La matrice nulle

]]> C'est le produit par la matrice nulle qui donnerait ce résultat.

]]> La matrice identité

]]> L'identité laisse l'autre facteur inchangé, elle ne l'absorbe pas.

]]> La matrice A elle-même

]]> Bonne réponse : l'identité joue pour les matrices le rôle de 1 pour
les nombres.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q24 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Pour une matrice M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, on appelle
déterminant le nombre ad - bc, et l'on admet l'égalité
M \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = (ad - bc)\,I_2, où I₂
désigne la matrice identité d'ordre 2. À quelle condition une matrice carrée
d'ordre 2 est-elle inversible ?

]]> Si ad - bc ≠ 0, diviser l'égalité admise par ad - bc fournit l'inverse.
Si ad - bc = 0, les lignes sont proportionnelles et la matrice n'est pas
inversible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est symétrique

]]> La symétrie n'a aucun rapport : une matrice symétrique peut être non
inversible.

]]> Tous ses coefficients sont non nuls

]]> La matrice identité comporte des zéros et reste inversible.

]]> Son déterminant est non nul

]]> Bonne réponse : si ad - bc ≠ 0, l'égalité admise montre que
\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} est l'inverse
de la matrice.

]]> Ses deux lignes sont proportionnelles

]]> Cette condition annule au contraire le déterminant, ce qui empêche
l'inversion.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q25 : Somme des degrés Un graphe comporte 10 arêtes. Que vaut la somme des degrés de ses
sommets ?

]]> Chaque arête compte pour 1 dans le degré de chacune de ses deux
extrémités : la somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes, ici
2 × 10 = 20. Il en découle que le nombre de sommets de degré impair est
pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Cela dépend du nombre de sommets

]]> La somme des degrés ne dépend que du nombre d'arêtes, quel que soit le
nombre de sommets.

]]> 5

]]> Division au lieu d'une multiplication : la somme dépasse toujours le
nombre d'arêtes.

]]> 20

]]> Bonne réponse : chaque arête contribue au degré de ses deux
extrémités.

]]> 10

]]> Chaque arête est comptée deux fois dans la somme des degrés.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q26 : Une matrice de transition valide Quelle propriété caractérise une matrice de transition, les états
étant en ligne ?

]]> Une matrice de transition est à coefficients positifs et ses lignes
totalisent 1. Chaque ligne décrit la loi de l'état suivant, sachant
l'état courant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme de chaque ligne vaut 1

]]> Bonne réponse : depuis un état donné, les probabilités de tous les
états d'arrivée totalisent 1.

]]> La somme de tous les coefficients vaut 1

]]> Cette somme vaut le nombre d'états, chaque ligne totalisant déjà 1.

]]> Tous les coefficients valent 1/n

]]> Ce cas très particulier correspondrait à des transitions
équiprobables.

]]> La diagonale est nulle

]]> Rester dans le même état est souvent possible, et alors le coefficient
diagonal est non nul.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q27 : Distribution après plusieurs étapes La distribution initiale est la matrice ligne U₀ et la matrice de
transition est T. Que vaut la distribution après n étapes ?

]]> Avec une distribution écrite en ligne, chaque étape s'obtient par
multiplication à droite par la matrice de transition. Après n étapes, on
multiplie par Tⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n U₀ T

]]> Multiplication par n au lieu d'une puissance : les étapes se
composent, elles ne s'additionnent pas.

]]> Tⁿ U₀

]]> Ordre incompatible : avec une distribution en ligne, elle se place à
gauche.

]]> U₀ Tⁿ

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie la distribution par la matrice
de transition.

]]> U₀ + nT

]]> Une addition n'a pas de sens ici, les deux matrices n'ayant pas les
mêmes dimensions.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q28 : Un graphe connexe Que signifie qu'un graphe est connexe ?

]]> Un graphe est connexe lorsqu'il existe une chaîne entre toute paire de
sommets. Un graphe complet est connexe, mais la réciproque est fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne

]]> Bonne réponse : le graphe est d'un seul tenant, sans morceau isolé.

]]> Toutes les paires de sommets sont reliées par une arête

]]> Cette propriété définit un graphe complet, bien plus exigeante.

]]> Tous les sommets ont le même degré

]]> Cette propriété définit un graphe régulier, une notion distincte.

]]> Le graphe comporte autant d'arêtes que de sommets

]]> Ce comptage ne garantit rien : un graphe peut avoir beaucoup d'arêtes
et rester en deux morceaux.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q29 : Une suite de matrices colonnes Une suite vérifie Uₙ₊₁ = AUₙ, avec Uₙ en colonne.
Quelle est l'expression de Uₙ en fonction de U₀ ?

]]> Une récurrence matricielle se déroule comme une suite géométrique, la
raison étant la matrice A. L'ordre des facteurs dépend de l'orientation
choisie pour les vecteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Uₙ = U₀ Aⁿ

]]> Ordre incompatible : avec une colonne, la matrice se place à gauche.

]]> Uₙ = Aⁿ U₀

]]> Bonne réponse : chaque étape ajoute un facteur A à gauche.

]]> Uₙ = A U₀ⁿ

]]> C'est la matrice A qui est élevée à la puissance, pas la colonne
initiale.

]]> Uₙ = nA U₀

]]> Multiplication par n au lieu d'une puissance : les étapes se
composent.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q30 : Une distribution invariante Que vérifie une distribution invariante U pour une matrice de
transition T ?

]]> Une distribution invariante est un état d'équilibre du système : elle
vérifie UT = U, ses coefficients étant positifs et de somme 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc UT = 0

]]> Une distribution a des coefficients positifs de somme 1, elle ne peut
pas s'annuler.

]]> U + T = U

]]> L'addition n'a pas de sens entre une distribution et une matrice de
transition.

]]> TU = U

]]> Ordre incompatible avec une distribution écrite en ligne.

]]> UT = U

]]> Bonne réponse : appliquer une étape supplémentaire ne change plus rien.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q31 : Degré d'un sommet donné Un graphe non orienté possède 7 sommets. Le sommet A est
relié aux sommets B, C et D, et à aucun autre. Quel est le degré
de A ?

]]> Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une
extrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.
L'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux
nombres n'ont aucune raison de coïncider.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des
degrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut
3.

]]> 7

]]> Confusion avec l'ordre du graphe : 7 est son nombre total
de sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de A,
soit 3.

]]> 4

]]> Le sommet A a été compté en plus de ses voisins : seules les
arêtes comptent, et il y en a 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont A est une
extrémité, soit une arête par voisin cité : 3.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q32 : Longueur d'une chaîne Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on longueur d'une
chaîne ?

]]> Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives et sa longueur est
le nombre de ces arêtes. C'est cette longueur que comptent les
puissances de la matrice d'adjacence : le coefficient d'indices
i et j de Aᵏ donne le nombre de chemins de longueur k
entre ces deux sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le degré du sommet dont elle part

]]> Autre notion : le degré compte les arêtes issues d'un sommet,
pas celles d'un parcours.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Confusion entre le parcours et le graphe entier : seules les
arêtes effectivement empruntées sont comptées.

]]> Le nombre d'arêtes qu'elle emprunte

]]> Bonne réponse : on compte les arêtes parcourues ; une chaîne
qui relie trois sommets consécutifs est de longueur 2.

]]> Le nombre de sommets qu'elle traverse

]]> Décalage de un : une chaîne de longueur 2 traverse 3
sommets. Ce sont les arêtes que l'on compte.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q33 : Des degrés au nombre d'arêtes Dans un graphe non orienté, les 6 sommets ont tous le même
degré 4. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?

]]> Chaque arête possède deux extrémités et compte pour 1 dans le
degré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du
nombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à d pour n
sommets, le nombre d'arêtes est n × d/2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à 6 sommets,
où chaque sommet serait de degré 6 - 1. Ici le degré
imposé est 4, d'où 12 arêtes.

]]> 12

]]> Bonne réponse : la somme des degrés vaut 6 × 4 = 24, et elle compte chaque arête deux fois, d'où
24 ÷ 2 = 12 arêtes.

]]> 10

]]> Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut
6 × 4, puis on divise par 2, ce qui donne
12.

]]> 24

]]> C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses
deux extrémités, il reste à diviser par 2, d'où
12.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q34 : Une ligne du graphe complet On considère le graphe complet à 5 sommets : deux sommets
distincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a
aucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des
coefficients de la première ligne ?

]]> La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence
est le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à
n sommets, chaque sommet est relié aux n - 1 autres : toutes
les lignes somment à n - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule
ligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit
4.

]]> 25

]]> C'est le nombre de cases de la matrice, de taille 5 × 5, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut
4.

]]> 4

]]> Bonne réponse : le premier sommet est relié aux 4
autres, donc sa ligne porte 4 coefficients égaux à 1
et un 0 sur la diagonale.

]]> 5

]]> Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas
relié à lui-même, ce coefficient vaut 0. La somme est
4.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q35 : Lire un coefficient de $A^k$ A est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le
coefficient situé en ligne 2 et colonne 5 de la matrice
A³ vaut 2. Qu'en déduit-on ?

]]> Le coefficient d'indices i et j de Aᵏ donne le nombre de
chemins de longueur exactement k allant de i à j, les
sommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le
coefficient le nombre de chemins.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe 2 chemins de longueur 3 du sommet 2 au
sommet 5

]]> Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le
coefficient leur nombre, soit 2 parcours en 3
arêtes.

]]> La distance entre les sommets 2 et 5 du graphe vaut
exactement 3

]]> La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours
plus court que 3 peut très bien exister.

]]> Il existe 3 chemins de longueur 2 du sommet 2 au
sommet 5

]]> Rôles échangés : c'est l'exposant 3 qui fixe la longueur,
et le coefficient 2 qui compte les chemins.

]]> Les sommets 2 et 5 sont reliés directement par 2
arêtes du graphe

]]> Les liaisons directes se lisent sur A elle-même : la
puissance 3 compte les parcours en 3 étapes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q36 : Repérer un coefficient Soit M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1
& 4 \end{pmatrix}. Quel est le coefficient de M situé en
ligne 2, colonne 3 ?

]]> Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la
colonne ensuite : cette convention est la même que celle des
dimensions, annoncées lignes × colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Colonne mal repérée : -1 occupe la colonne 2, alors
que
la colonne 3 est la dernière.

]]> 4

]]> Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis
on avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière.

]]> 0

]]> Indices lus dans l'ordre inverse : 0 est en ligne 1,
colonne 2. On annonce toujours la ligne en premier.

]]> 2

]]> Ligne mal repérée : 2 se trouve en ligne 1, colonne
3. La ligne demandée est la seconde.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q37 : Taille du second facteur La matrice A est de taille 3 × 4. Quelle doit
être la taille de la matrice B pour que le produit AB existe
et soit de taille 3 × 2 ?

]]> Règle des dominos : (m × n)(n × p) = m × p. Les
dimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du
résultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du
produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 × 3

]]> Le nombre de colonnes de B est celui du produit, soit
2, et non le nombre de lignes de A.

]]> 2 × 4

]]> Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont
elles qui doivent être au nombre de 4.

]]> 3 × 2

]]> C'est la taille du produit, pas celle de B : B doit
d'abord se raccorder aux 4 colonnes de A.

]]> 4 × 2

]]> Bonne réponse : B doit avoir 4 lignes pour se
raccorder aux 4 colonnes de A, et 2 colonnes
puisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q38 : Produit par une colonne Soient A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3
\end{pmatrix} et X = \begin{pmatrix} 4 \\ 5
\end{pmatrix}. Que vaut le produit AX ?

]]> Le produit d'une matrice 2 × 2 par une colonne 2 × 1 est une colonne 2 × 1 : chaque coefficient s'obtient en
croisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme
puis en sommant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}

]]> Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :
chaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où
13 puis 15.

]]> \begin{pmatrix} 8 \\ 19 \end{pmatrix}

]]> Ce sont les colonnes de A qui ont été croisées avec X :
la règle utilise les lignes de A, d'où 13 puis 15.

]]> \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}

]]> Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi
multiplier par 5, ce qui donne 13 puis 15.

]]> \begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : chaque ligne de A rencontre la colonne
X : 2 × 4 + 1 × 5 = 13, puis
0 × 4 + 3 × 5 = 15.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q39 : Une matrice non inversible On rappelle qu'une matrice \begin{pmatrix} a & b \\ c & d
\end{pmatrix} est inversible si et seulement si ad - bc ≠ 0. Pour quelle valeur du réel x la matrice M =
\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ x & 6 \end{pmatrix} n'est-elle
pas inversible ?

]]> Une matrice carrée d'ordre 2 est inversible exactement lorsque
son déterminant ad - bc est non nul : annuler ce déterminant
revient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue
cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 4

]]> Diagonales confondues : x est sur la diagonale de 2,
pas sur celle de 3 et 6, d'où x = 9.

]]> x = 18

]]> La division par 2 a été oubliée : l'équation 2x = 18 donne x = 9.

]]> x = 9

]]> Bonne réponse : le déterminant vaut 3 × 6 - 2 × x = 18 - 2x, et il s'annule pour x = 9.

]]> x = -9

]]> Erreur de signe : le déterminant est la différence
18 - 2x, qui s'annule pour x = 9.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q40 : Carré d'une matrice diagonale Soit D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}. Que
vaut D² ?

]]> Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des
carrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits
croisés. Plus généralement, la puissance n-ième élève chaque
coefficient diagonal à la puissance n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

]]> Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient
25, comme le premier devient 9.

]]> \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il
reste (3)² = 9 puis (5)² = 25.

]]> \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}

]]> Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :
chaque case croise une ligne et une colonne de D, d'où
9 puis 25.

]]> \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}

]]> Confusion entre D² et 2D : la puissance multiplie la
matrice par elle-même, elle ne la double pas.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q41 : Reconnaître $I_3$ Parmi les matrices suivantes, laquelle est la matrice identité
I₃ ?

]]> La matrice identité Iₙ porte des 1 sur sa diagonale
principale et des 0 ailleurs. Elle vérifie AIₙ = IₙA = A et
sert de référence pour l'inverse, défini par AA⁻¹ = Iₙ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

]]> Diagonale secondaire : cette matrice renverse l'ordre des
lignes. L'identité porte ses 1 sur l'autre diagonale.

]]> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}

]]> Tous les coefficients valent 1 : cette matrice mélange les
lignes au lieu de les laisser intactes.

]]> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : des 1 sur la diagonale principale, des 0
partout ailleurs. C'est le neutre du produit : AI₃ = I₃A = A.

]]> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> C'est l'identité d'ordre 4 : l'indice de I₃ annonce le
nombre de lignes et de colonnes, ici 3.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q42 : Première ligne d'une transition Une chaîne de Markov a trois états A, B et C. Depuis l'état
A, on passe en B avec la probabilité 0{,}2 et en C avec la
probabilité 0{,}5. Quelle est la première ligne de sa matrice de
transition, les états étant rangés dans l'ordre A, B, C ?

]]> Dans une matrice de transition, la ligne i donne les
probabilités de passer de l'état i à chacun des états, dans
l'ordre choisi, et elle somme toujours à 1. Le coefficient
diagonal est la probabilité de rester sur place.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : la probabilité de rester en A vaut 1 - 0{,}2
- 0{,}5 = 0{,}3, et la ligne somme bien à 1.

]]> \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \end{pmatrix}

]]> États B et C échangés : la deuxième colonne est l'arrivée
en B, de probabilité 0{,}2.

]]> \begin{pmatrix} 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}

]]> Rester en A est possible : avec un 0, la ligne sommerait à
0{,}7 au lieu de 1.

]]> \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \end{pmatrix}

]]> Ordre des états non respecté : la première colonne correspond
à l'arrivée en A, donc à la probabilité 0{,}3 de rester sur
place.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q43 : Partir de la distribution invariante Une chaîne de Markov a pour matrice de transition P et admet la
distribution invariante π. La chaîne démarre avec la
distribution π. Quelle est sa distribution après 10
étapes ?

]]> Une distribution invariante vérifie π P = π : c'est un état
d'équilibre. En répétant l'opération, π Pⁿ = π pour tout
entier n : partie de π, la chaîne y reste indéfiniment.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P¹⁰

]]> Confusion d'objets : P¹⁰ est une matrice carrée, alors
que la distribution cherchée est une matrice ligne.

]]> π¹⁰

]]> Une distribution ne s'élève pas à une puissance : c'est P
qui est appliquée dix fois, et elle laisse π inchangée.

]]> 10 π

]]> Les coefficients d'une distribution somment à 1 : les
multiplier par 10 donnerait une somme de 10.

]]> π

]]> Bonne réponse : π P = π, donc chaque étape laisse la
distribution inchangée et π P¹⁰ = π.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q44 : Se ramener à $V_{n+1} = AV_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie Uₙ₊₁ = AUₙ + C, où
A est une matrice carrée et C une colonne, toutes deux
fixées. On pose Vₙ = Uₙ - X, avec X une colonne constante.
Que doit vérifier X pour que Vₙ₊₁ = AVₙ ?

]]> On cherche une colonne fixe, solution de X = AX + C : la suite
Vₙ = Uₙ - X vérifie alors Vₙ₊₁ = AVₙ, donc Vₙ = Aⁿ V₀ et Uₙ = Aⁿ V₀ + X. Tout revient ainsi aux puissances de
A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc AX + C = 0

]]> La colonne X retranchée a été oubliée : le terme constant du
calcul est AX + C - X, nul lorsque X = AX + C.

]]> X = AX + C

]]> Bonne réponse : Vₙ₊₁ = AUₙ + C - X = AVₙ + (AX + C - X), et le terme constant disparaît exactement lorsque X = AX + C.

]]> X - AX = -C

]]> Erreur de signe au regroupement : la condition X = AX + C
s'écrit X - AX = C, et non avec -C.

]]> X = CX + A

]]> Rôles échangés : c'est A qui multiplie la colonne et C
qui s'ajoute, d'où la condition X = AX + C.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q45 : Mesurer l'écart entre $AB$ et $BA$ Soient A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} et
B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Que vaut
AB - BA ?

]]> Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici AB et BA ne
diffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence
\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} n'est nulle
que si a = 1 ou b = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : AB = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} et BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix} : seul le coin supérieur droit diffère, de
3 - 1 = 2.

]]> \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> Facteurs inversés : la différence demandée est AB - BA,
soit 3 - 1 = 2.

]]> \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> Seul AB a été calculé : il reste à retrancher le
coefficient 1 venu de BA.

]]> \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit
vaut 3 dans AB et 1 dans BA.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q46 : Résoudre un système par l'inverse Le système \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases} s'écrit
AX = B avec A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},
X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et
B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}. On donne
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. Quelle est
la solution ?

]]> Si A est inversible, AX = B équivaut à X = A⁻¹B : on
multiplie à gauche par A⁻¹ les deux membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2 et y = 1

]]> Bonne réponse : X = A⁻¹B, soit
x = 1 × 5 - 1 × 3 = 2 et
y = -1 × 5 + 2 × 3 = 1.

]]> x = 5 et y = 3

]]> Erreur : ce sont les coefficients de B, les seconds membres du
système, pas ses solutions.

]]> x = 13 et y = 8

]]> Erreur : c'est le produit AB. On multiplie B par l'inverse
A⁻¹, pas par A.

]]> x = 1 et y = 2

]]> Erreur : les deux inconnues sont échangées. Pour contrôler :
2 × 1 + 2 = 4 ≠ 5.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q47 : Ordre d'un graphe Qu'appelle-t-on l'ordre d'un graphe ?

]]> Vocabulaire : ordre = nombre de sommets ; degré d'un sommet = nombre
d'arêtes qui en partent ; longueur d'une chaîne = nombre d'arêtes
parcourues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La longueur de sa plus longue chaîne

]]> La longueur d'une chaîne compte des arêtes ; l'ordre compte les
sommets du graphe.

]]> Le nombre de ses sommets

]]> Bonne réponse : un graphe à 5 sommets est d'ordre 5, quel que soit
son nombre d'arêtes.

]]> Le nombre de ses arêtes

]]> Les arêtes se comptent à part : leur nombre vaut la moitié de la
somme des degrés.

]]> Le plus grand degré d'un sommet

]]> Le degré concerne un sommet ; l'ordre concerne le graphe entier
et compte ses sommets.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q48 : Somme des degrés lue sur un graphe [Figure : Graphe non orienté à cinq sommets A, B, C, D, E et sept arêtes : AB, BC, CD, DE, EA, AC et BD.]

Quelle est la somme des degrés des sommets du graphe ci-contre ?

]]> Dans tout graphe non orienté, la somme des degrés vaut le double du
nombre d'arêtes. Le nombre de sommets de degré impair est donc pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> C'est le nombre d'arêtes : chaque arête compte dans le degré de ses
deux extrémités, la somme des degrés vaut donc le double.

]]> 5

]]> C'est l'ordre du graphe, c'est-à-dire son nombre de sommets.

]]> 14

]]> Bonne réponse : A, B, C et D sont de degré 3, E de degré 2,
d'où 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14, soit deux fois les 7 arêtes.

]]> 15

]]> Une somme des degrés est toujours paire : elle vaut deux fois le
nombre d'arêtes. Un degré a été surestimé.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q49 : Matrice d'adjacence d'un graphe dessiné [Figure : Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D et quatre arêtes : AB, AC, BC et CD.]

Quelle est la matrice d'adjacence du graphe ci-contre, les sommets étant
pris dans l'ordre A, B, C, D ?

]]> La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique. La
somme des coefficients d'une ligne donne le degré du sommet
correspondant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Les degrés ont été placés sur la diagonale : la matrice d'adjacence
ne contient que des 0 et des 1 pour un graphe simple.

]]> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : le coefficient (i, j) vaut 1 si les sommets i et j
sont reliés. La matrice est symétrique, de diagonale nulle (pas de
boucle).

]]> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

]]> Diagonale fausse : un 1 en position (i, i) signalerait une boucle
sur le sommet i, et le graphe n'en a pas.

]]> \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> Seule la moitié des arêtes est notée : dans un graphe non orienté, une
arête AB donne un 1 en (A, B) et en (B, A).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q50 : Reconnaître un graphe non connexe [Figure : Graphe non orienté à cinq sommets : un triangle formé de A, B, C et une arête isolée qui relie D et E, sans arête entre les deux groupes.]

Le graphe ci-contre est-il connexe ?

]]> Un graphe est connexe si deux sommets quelconques sont toujours reliés
par une chaîne. Sur un dessin, cela revient à dire qu'il est « d'un seul
tenant ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : chaque sommet a au moins une arête

]]> Aucun sommet isolé ne suffit pas : il faut une chaîne entre tout
couple de sommets, et rien ne relie \{A, B, C\} à \{D, E\}.

]]> Non : aucune chaîne ne relie A à D

]]> Bonne réponse : depuis A, on n'atteint que B et C. Il suffit d'un
couple de sommets non reliés pour que le graphe ne soit pas connexe.

]]> Oui : il contient un cycle

]]> Le cycle A, B, C n'empêche pas l'existence d'une seconde partie
séparée, formée de D et E.

]]> Non : le sommet C est de degré 2

]]> Le degré d'un sommet ne décide pas de la connexité : le défaut vient
de l'absence de chaîne entre les deux groupes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q51 : Nombre d'arêtes d'un graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre 5 ?

]]> Dans le graphe complet d'ordre n, chaque sommet est relié à tous les
autres : il y a n(n - 1)/2 arêtes, le nombre de paires de
sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête AB est la même
que l'arête BA.

]]> 4

]]> C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes.

]]> 10

]]> Bonne réponse : chacun des 5 sommets est de degré 4, et chaque
arête est comptée deux fois : 5 × 4/2 = 10.

]]> 20

]]> Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses
extrémités : il faut diviser par 2.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q52 : Compter des chemins sur un dessin [Figure : Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D, placés en carré : arêtes AB, BC, CD, DA et la diagonale BD.]

Soit M la matrice d'adjacence du graphe ci-contre (ordre A, B, C,
D). Que vaut le coefficient de M² situé ligne A, colonne C ?

]]> Le coefficient (i, j) de Mᵏ est le nombre de chemins de longueur k
allant de i à j. Pour k = 2, c'est le nombre de voisins communs de
i et de j.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : il compte les chemins de longueur 2 de A à C :
A–B–C et A–D–C.

]]> 0

]]> A et C ne sont pas voisins, mais le coefficient de M² compte les
chemins de longueur 2, qui passent par un sommet intermédiaire.

]]> 3

]]> Le chemin A–B–D ne mène pas à C : seuls les intermédiaires
voisins à la fois de A et de C comptent.

]]> 1

]]> Un chemin a été oublié : on peut passer par B ou par D, tous deux
voisins de A et de C.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q53 : Parcourir chaque arête une seule fois Dans un graphe connexe, quand existe-t-il une chaîne qui emprunte chaque
arête une fois et une seule ?

]]> Théorème d'Euler : un graphe connexe admet une chaîne passant une fois
par chaque arête si et seulement si 0 ou 2 de ses sommets sont de
degré impair (0 pour un cycle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quand tous les sommets sont de degré impair

]]> C'est l'inverse : à Königsberg, les quatre sommets sont de degré impair
et la promenade est impossible.

]]> Toujours, puisque le graphe est connexe

]]> La connexité est nécessaire mais pas suffisante : la parité des degrés
décide.

]]> Quand le graphe est complet

]]> Le graphe complet d'ordre 4 a quatre sommets de degré 3 : il n'admet
pas une telle chaîne.

]]> Quand le nombre de sommets de degré impair vaut 0 ou 2

]]> Bonne réponse (théorème d'Euler) : un sommet intermédiaire est quitté
autant de fois qu'il est atteint, son degré est donc pair ; seules les
extrémités peuvent être de degré impair.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q54 : Matrice d'une rotation Quelle matrice représente la rotation de centre O et d'angle θ, qui
envoie le point de coordonnées X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} sur RX ?

]]> Les colonnes de la matrice d'une transformation sont les images des
vecteurs \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. Ce lien
matrice et nombres complexes : multiplier par e^{i\theta} fait la même rotation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc R = \begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}

]]> Pour θ = 0, cette matrice échange x et y : c'est une symétrie,
pas la rotation d'angle nul.

]]> R = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

]]> Signe mal placé : cette matrice représente la rotation d'angle
-θ.

]]> R = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta \end{pmatrix}

]]> Avec θ = 0, on trouverait la matrice nulle en bas à droite : la
rotation d'angle nul doit donner I₂.

]]> R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : l'image de (1\ ;\ 0) est (cosθ\ ;\ sinθ) (première
colonne) et celle de (0\ ;\ 1) est (-sinθ\ ;\ cosθ).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q55 : Image d'un point par une matrice La matrice R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} représente la rotation de
centre O d'angle π/2. Quelle est l'image du point M(3\ ;\ 1) ?

]]> Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des
coordonnées. La rotation d'angle π/2 envoie (x\ ;\ y) sur (-y\ ;\ x), comme la
multiplication par i dans ℂ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-1\ ;\ 3)

]]> Bonne réponse : R\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 3 - 1 \times (1) \\ 1 \times 3 + 0 \times (1) \end{pmatrix}.

]]> (1\ ;\ 3)

]]> C'est l'image par la symétrie d'axe y = x : les coordonnées ont été
échangées sans le signe moins.

]]> (-3\ ;\ -1)

]]> C'est l'image par la symétrie de centre O, de matrice -I₂, soit la
rotation d'angle π.

]]> (1\ ;\ -3)

]]> C'est l'image par la rotation d'angle -π/2 : le produit a été
fait avec les signes inversés.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q56 : Reconnaître une transformation Quelle transformation du plan est représentée par la matrice
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ?

]]> Pour reconnaître une transformation, on calcule l'image d'un point
quelconque (x\ ;\ y), ou celles de (1\ ;\ 0) et (0\ ;\ 1), lues dans les colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie de centre O

]]> Elle change les deux signes ; sa matrice est -I₂.

]]> La symétrie d'axe des ordonnées

]]> Cette symétrie envoie (x\ ;\ y) sur (-x\ ;\ y) ; sa matrice est
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

]]> La symétrie d'axe des abscisses

]]> Bonne réponse : (x\ ;\ y) a pour image (x\ ;\ -y) : l'abscisse est
conservée, l'ordonnée change de signe.

]]> La rotation d'angle π/2

]]> Une rotation d'angle droit échange les coordonnées (au signe près) :
sa matrice est \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q57 : Matrice d'une homothétie Quelle matrice représente l'homothétie de centre O et de rapport 2 ?

]]> L'homothétie de centre O de rapport k a pour matrice kI₂. Elle
commute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel k
dans ℂ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

]]> Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose
l'homothétie avec la symétrie d'axe y = x.

]]> \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une
direction, pas une homothétie.

]]> \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

]]> L'image de (1\ ;\ 0) serait (2\ ;\ 2) au lieu de (2\ ;\ 0) :
les coefficients hors diagonale doivent être nuls.

]]> \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : (x\ ;\ y) a pour image (2x\ ;\ 2y) : la matrice vaut
2 I₂.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q58 : Écrire un système sous forme matricielle Le système \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} s'écrit AX = B avec
X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. Que valent A et B ?

]]> Un système linéaire de n équations à n inconnues s'écrit AX = B,
où A est carrée d'ordre n. Si A est inversible, la solution est
unique : X = A⁻¹B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

]]> Matrice transposée : la première ligne de A doit contenir les
coefficients de la première équation.

]]> A = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

]]> Le produit AX ne serait pas défini : une matrice colonne de taille
2 × 1 ne se multiplie pas par une colonne X.

]]> A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

]]> Rôles confondus : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} est l'inconnue X ; B est la colonne des
seconds membres.

]]> A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : chaque ligne de A contient les coefficients d'une
équation, et B la colonne des seconds membres.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q59 : Résoudre un système par l'inverse On a A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}, d'inverse A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}. Quelle est la solution X
de l'équation AX = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix} ?

]]> Si A est inversible, AX = B \iff X = A^{-1}B : on multiplie à gauche
par A⁻¹, car le produit matriciel n'est pas commutatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc X = \begin{pmatrix} 19 \\ 53 \end{pmatrix}

]]> C'est AB : pour isoler X, on multiplie à gauche par A⁻¹, pas
par A.

]]> X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}

]]> Bonnes valeurs, mauvais ordre : x = 1 est la première coordonnée et
y = 2 la seconde.

]]> X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. Contrôle : AX redonne
\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}.

]]> X = \begin{pmatrix} -43 \\ 18 \end{pmatrix}

]]> L'inverse a été transposé par erreur : on utilise A⁻¹ tel quel,
lignes comme écrites.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q60 : Système et matrice inversible A est une matrice carrée inversible et B une matrice colonne de même
taille. Que peut-on dire de l'équation AX = B ?

]]> Pour un système carré, A inversible équivaut à une solution unique
pour tout second membre. Pour une matrice 2 × 2, cela revient à un
déterminant non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle a une unique solution, X = A⁻¹B

]]> Bonne réponse : en multipliant à gauche par A⁻¹, on obtient
A⁻¹AX = X = A⁻¹B, et ce X convient.

]]> On ne peut rien dire sans connaître B

]]> Quel que soit B, la solution existe et vaut A⁻¹B : l'inversibilité
de A suffit.

]]> Elle a une unique solution, X = BA⁻¹

]]> Le produit BA⁻¹ n'est en général pas défini (colonne fois matrice
carrée), et l'ordre compte : on multiplie à gauche.

]]> Elle a une infinité de solutions

]]> C'est le cas de certaines matrices non inversibles ; une matrice
inversible donne une solution unique.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q61 : Taille des matrices d'un système Un système de 3 équations à 3 inconnues x, y, z s'écrit AX = B.
Quelles sont les tailles de A, X et B ?

]]> Le produit d'une matrice n × p par une matrice p × q est une
matrice n × q. Ici 3 × 3 par 3 × 1 donne bien 3 × 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A, X et B : 3 × 3

]]> X ne contient que les trois inconnues : c'est une matrice colonne,
tout comme B.

]]> A : 3 × 4 ; X : 3 × 1 ; B : 4 × 1

]]> Les seconds membres ne vont pas dans A : ils forment la colonne B,
et A est carrée.

]]> A : 3 × 3 ; X et B : 1 × 3

]]> Avec X en ligne, le produit AX ne serait pas défini : le nombre de
colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de X.

]]> A : 3 × 3 ; X et B : 3 × 1

]]> Bonne réponse : une ligne de A par équation, une colonne par
inconnue ; X et B sont des colonnes à 3 coefficients.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q62 : Calculer $U_1$ pour $U_{n+1} = AU_n + C$ On pose A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} et Uₙ₊₁ = AUₙ + C avec U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.
Que vaut U₁ ?

]]> Pour une suite de matrices colonnes Uₙ₊₁ = AUₙ + C, chaque terme se
calcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si C = 0,
on obtient directement Uₙ = AⁿU₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}

]]> Le terme C a été oublié : U₁ = AU₀ + C, pas seulement AU₀.

]]> U_1 = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : AU_0 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}, puis on ajoute C :
U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}.

]]> U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}

]]> Parenthèses ajoutées : on a calculé A(U₀ + C) ; la relation est
AU₀ + C, où seul U₀ est multiplié par A.

]]> U_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}

]]> La multiplication par A manque : on a seulement ajouté C à U₀.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q63 : Colonne fixe d'une suite matricielle Pour la suite Uₙ₊₁ = AUₙ + C, on cherche une colonne L telle que
L = AL + C. Si I - A est inversible, que vaut L ?

]]> Si L = AL + C, la suite Vₙ = Uₙ - L vérifie Vₙ₊₁ = AVₙ, donc
Vₙ = AⁿV₀ : on retrouve une suite étudiée par les puissances de A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L = A⁻¹C

]]> Le terme L du membre de gauche a été oublié : AL = C n'est pas
l'équation L = AL + C.

]]> L = (I - A)⁻¹C

]]> Bonne réponse : L - AL = C, soit (I - A)L = C, puis on multiplie à
gauche par (I - A)⁻¹.

]]> L = (A - I)⁻¹C

]]> Signe : L - AL se factorise en (I - A)L ; la matrice proposée donne
l'opposé de L.

]]> L = C(I - A)⁻¹

]]> Ordre du produit : une colonne C ne se multiplie pas à droite par
une matrice carrée 2 × 2. On multiplie à gauche.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q64 : Une récurrence d'ordre deux en matrices La suite (uₙ) vérifie uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + 2uₙ. On pose
U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}. Quelle matrice A vérifie Uₙ₊₁ = AUₙ ?

]]> Une récurrence uₙ₊₂ = auₙ₊₁ + buₙ devient Uₙ₊₁ = AUₙ avec
A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, puis Uₙ = AⁿU₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1} + 2u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix} : première
ligne (1\ ;\ 2), seconde ligne (1\ ;\ 0).

]]> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Seconde ligne fausse : elle doit donner uₙ₊₁, première coordonnée
de Uₙ, d'où (1\ ;\ 0).

]]> A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

]]> Matrice transposée : la première ligne doit produire
uₙ₊₂ = 1 × uₙ₊₁ + 2 × uₙ.

]]> A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

]]> Coefficients échangés : le 2 multiplie uₙ, qui est la seconde
coordonnée de Uₙ.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q65 : Puissance d'une matrice triangulaire Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Que vaut A⁵ ?

]]> On calcule A², A³, on conjecture la forme de Aⁿ, puis on la
démontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances
de matrices d'ordre 2 ou 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \begin{pmatrix} 1 & 32 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se
calcule pas coefficient par coefficient. A² donne déjà 2 × 2.

]]> \begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : A^n = \begin{pmatrix} 1 & nk \\ 0 & 1 \end{pmatrix} se démontre par récurrence ;
ici 5 × 2 = 10.

]]> \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

]]> Le coefficient augmente de 2 à chaque multiplication par A, pas de
1 : il vaut 5 × 2.

]]> \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

]]> C'est 5A : la puissance 5-ième n'est pas le produit par 5 ; la
diagonale reste à 1⁵ = 1.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q66 : Puissances d'une matrice d'ordre $3$ Soit N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. Que vaut N³ ?

]]> Une matrice dont une puissance est nulle est dite nilpotente. Pour
elle, Aⁿ est nulle à partir d'un certain rang, ce qui simplifie les
calculs de puissances de matrices de la forme I + N.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc I₃

]]> Une puissance de N ne peut pas valoir I₃ : N n'est pas
inversible (sa dernière ligne est nulle).

]]> \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

]]> C'est N² : il reste une multiplication par N, qui annule ce
dernier coefficient.

]]> N

]]> Les puissances de N ne reviennent pas à N : chaque multiplication
décale les 1 d'un cran vers le coin supérieur droit.

]]> La matrice nulle d'ordre 3

]]> Bonne réponse : N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, et le
produit par N décale encore le 1, qui sort de la matrice.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q67 : Matrice de transition à trois états [Figure : Graphe orienté pondéré à trois états A, B, C. De A : boucle 0,5, vers B 0,3, vers C 0,2. De B : vers A 0,4, vers C 0,6, pas de boucle. De C : vers A 0,1, vers B 0,2, boucle 0,7.]

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à trois états. Quelle est
sa matrice de transition P (ordre A, B, C, une ligne par état de
départ) ?

]]> Matrice de transition : coefficient (i, j) = probabilité de passer de
l'état i à l'état j en une étape. Chaque ligne est une loi de
probabilité, de somme 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}

]]> Ligne B décalée : de B, on va en A avec probabilité 0{,}4 et l'on
ne reste jamais en B.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}

]]> Bonne réponse : la ligne A lit les flèches qui partent de A (boucle
0{,}5, puis 0{,}3 et 0{,}2) ; chaque ligne a pour somme 1.

]]> P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}7 \end{pmatrix}

]]> Matrice transposée : ici ce sont les colonnes qui somment à 1. Par
convention, la ligne i décrit les départs de l'état i.

]]> P = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}

]]> Boucles oubliées : rester en A (0{,}5) ou en C (0{,}7) est une
transition, notée sur la diagonale.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q68 : Distribution après une transition Une chaîne de Markov sur les états A, B, C a pour matrice de transition
P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}. La distribution initiale est
\pi_0 = (0{,}5\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0). Que vaut π₁ = π₀P ?

]]> La distribution après n transitions est la matrice ligne πₙ = π₀Pⁿ.
Ses coefficients sont positifs et de somme 1 : c'est un premier contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \pi_1 = (0{,}5\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0)

]]> La distribution n'a pas été mise à jour : π₀ n'est pas invariante
pour cette chaîne.

]]> \pi_1 = (0{,}4\ ;\ 0{,}2\ ;\ 0{,}15)

]]> Produit fait avec les lignes de P (c'est Pπ₀ en colonne) : la
distribution est une ligne, multipliée à gauche de P.

]]> \pi_1 = (0{,}45\ ;\ 0{,}15\ ;\ 0{,}4)

]]> Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de π₀ par une
colonne de P ; pour A : 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}4 + 0 \times 0{,}1 = 0{,}45.

]]> \pi_1 = (0{,}5\ ;\ 0{,}3\ ;\ 0{,}2)

]]> C'est la première ligne de P, la distribution après une étape
lorsque l'on part de A à coup sûr ; ici, le départ est réparti.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q69 : Interpréter un coefficient de $P^n$ P est la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Que représente
le coefficient (i, j) de Pⁿ ?

]]> Les puissances de P décrivent l'évolution à long terme. Le coefficient
(i, j) de Pⁿ somme, sur tous les chemins de longueur n de i à j,
les produits des probabilités rencontrées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'être dans l'état i après n transitions, en partant de l'état j

]]> Sens inversé : la ligne indique l'état de départ, la colonne l'état
d'arrivée.

]]> Le nombre de chemins de longueur n de i à j

]]> Cette lecture vaut pour la matrice d'adjacence d'un graphe ; pour une
matrice de transition, on obtient une probabilité.

]]> n fois la probabilité de passer de i à j en une transition

]]> Les probabilités ne s'ajoutent pas d'une étape à l'autre : Pⁿ est un
produit de matrices, pas nP.

]]> La probabilité d'être dans l'état j après n transitions, en partant de l'état i

]]> Bonne réponse : c'est le cas π₀ = « état i à coup sûr » dans
πₙ = π₀Pⁿ ; on lit la ligne i de Pⁿ.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q70 : Repérer une distribution invariante Une chaîne de Markov a pour matrice P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix}.
Quelle distribution π vérifie π P = π ?

]]> Une distribution invariante vérifie π P = π et a une somme de 1. On
la trouve en résolvant un système linéaire, ou on vérifie une candidate
par un simple produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc π = (½\ ;\ ¼\ ;\ ¼)

]]> Première ligne recopiée : le calcul donne
π P = (⅜\ ;\ 5/16\ ;\ 5/16) ≠ π.

]]> π = (¼\ ;\ ¼\ ;\ ½)

]]> Troisième ligne recopiée : π P = (5/16\ ;\ 5/16\ ;\ ⅜), qui
diffère de π.

]]> π = (⅓\ ;\ ⅓\ ;\ ⅓)

]]> Bonne réponse : chaque colonne de P a pour somme 1, donc
π P a pour coefficients ⅓ × 1 = ⅓.

]]> π = (¼\ ;\ ½\ ;\ ¼)

]]> Deuxième ligne recopiée : π P = (5/16\ ;\ ⅜\ ;\ 5/16), qui diffère
de π.

]]>