$course$/QCM de maths/Première spécialité/Dérivation Taux de variation et sécantes, nombre dérivé comme limite du taux
de variation, tangente et son équation, approximation linéaire
f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h, fonctions dérivées des fonctions
de référence (carré, cube, inverse, racine), opérations (somme,
produit, inverse, quotient), dérivabilité de la valeur absolue
en 0.

]]> Dérivation — Q01 : Taux de variation Soit f une fonction et a, h des réels (h ≠ 0).
Comment s'écrit le taux de variation de f entre a et
a + h ?

]]> Taux de variation = f(a+h) - f(a)/h : pente de la
sécante, vitesse moyenne en cinématique. Le nombre dérivé en
sera la limite quand h tend vers 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(h) - f(a)/h - a

]]> Erreur : les deux points sont a et a + h, pas a et
h. (La forme f(b)-f(a)/b-a est correcte avec
b = a + h.)

]]> f(a+h) - f(a)

]]> Incomplet : ceci est la variation de f. Le taux la
rapporte à la longueur du pas h, comme une vitesse
moyenne.

]]> f(a+h) - f(a)/a + h

]]> Erreur de dénominateur : on divise par l'écart entre
les deux abscisses, qui vaut (a+h) - a = h.

]]> f(a+h) - f(a)/h

]]> Bonne réponse : variation des images divisée par la
variation de la variable : c'est la pente de la sécante
entre les points d'abscisses a et a + h.

]]> Dérivation — Q02 : Le nombre dérivé Que représente géométriquement le nombre dérivé f'(a) ?

]]> f'(a) = limite du taux de variation
f(a+h)-f(a)/h quand h → 0 : géométriquement, la
pente de la tangente ; en cinématique, la vitesse instantanée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La pente de la tangente au point d'abscisse a

]]> Bonne réponse : quand h tend vers 0, les sécantes
pivotent vers une position limite, la tangente ; leurs
pentes tendent vers f'(a).

]]> La pente de la sécante entre les points d'abscisses a
et a + 1

]]> Erreur : cette pente est le taux de variation pour
h = 1. Le nombre dérivé est la limite des pentes des
sécantes quand h → 0.

]]> L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse a

]]> Erreur : l'ordonnée est f(a). Le nombre dérivé f'(a)
mesure l'inclinaison de la courbe en ce point, pas sa
hauteur.

]]> L'aire sous la courbe entre 0 et a

]]> Erreur : l'aire relève du calcul intégral (programme de
terminale). La dérivation parle de pente.

]]> Dérivation — Q03 : Lire un nombre dérivé sur un graphique [Figure : Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = x² en bleu et sa
tangente T en rouge au point A(1 ; 1). La tangente passe par
les points (0 ; -1) et (2 ; 3) : elle monte de 2 unités par
pas de 1.]

Sur la figure ci-dessous, la droite T est la tangente à la
courbe \mathcal{C}_f au point A(1 ; 1). Que vaut
f'(1) ?

]]> Lecture graphique du nombre dérivé (capacité attendue) :
f'(a) = pente de la tangente, mesurée entre deux points
lisibles de la tangente. Ici : 2 (cohérent avec
f(x) = x² : f'(1) = 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(1) = ½

]]> Pente renversée : entre (0 ; -1) et (2 ; 3), on
monte de 4 pour 2 d'avance : pente 2, pas
½.

]]> f'(1) = 2

]]> Bonne réponse : la tangente passe par (0 ; -1) et
(2 ; 3) : pente 3 - (-1)/2 - 0 = 2. Le
nombre dérivé est cette pente.

]]> f'(1) = 1

]]> Erreur : 1 est l'ordonnée du point A (la valeur
f(1)), pas la pente de la tangente. Compte les carreaux :
T monte de 2 par pas de 1.

]]> f'(1) = -1

]]> Erreur : -1 est l'ordonnée à l'origine de T (son
intersection avec l'axe vertical), pas sa pente.

]]> Dérivation — Q04 : Équation de la tangente Soit f(x) = x². Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse a = 1 ?

]]> Équation de la tangente en a (démonstration au programme) :
y = f'(a)(x - a) + f(a). Toujours vérifier que le point de
tangence vérifie l'équation obtenue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = x + 1

]]> Erreur de pente : f'(1) = 2 × 1 = 2, pas 1. (La
droite y = x + 1 n'est pas assez inclinée et coupe
la parabole.)

]]> y = 2x + 1

]]> Erreur de développement : 2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 = 2x - 1. Contrôle : la tangente doit passer par
(1 ; 1), or 2(1) + 1 = 3 ≠ 1.

]]> y = 2x

]]> Erreur : cette droite a la bonne pente mais passe par
l'origine, pas par le point de tangence (1 ; 1) :
2 × 1 = 2 ≠ 1.

]]> y = 2x - 1

]]> Bonne réponse : y = f'(1)(x - 1) + f(1) avec f(1) = 1
et f'(1) = 2 : y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1.

]]> Dérivation — Q05 : Dérivée de la fonction inverse Quelle est la dérivée de la fonction inverse
f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?

]]> Dérivées de référence à connaître : (x²)' = 2x,
(x³)' = 3x², (1/x)' = -1/x², (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -1/x²

]]> Bonne réponse : c'est une dérivée de référence
(démonstration au programme via le taux de variation). Le
signe négatif traduit la décroissance de l'inverse.

]]> f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : 1/2x mélange avec la dérivée de la
racine carrée \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right). Pour
l'inverse : -1/x².

]]> f'(x) = 1/x²

]]> Erreur de signe : l'inverse est décroissante, sa
dérivée doit être négative : -1/x².

]]> f'(x) = -1/x

]]> Erreur : l'exposant du dénominateur augmente en dérivant :
(1/x)' = -1/x².

]]> Dérivation — Q06 : Dérivée de la racine carrée Quelle est la dérivée de f(x) = √x sur
]0 ; +∞[ ?

]]> (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} sur ]0 ; +∞[.
En 0 : le taux de variation \frac{\sqrt{h}}{h} =
\frac{1}{\sqrt{h}} explose : non dérivable en 0 (tangente
verticale).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{2}

]]> Erreur : la racine passe au dénominateur en dérivant :
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> f'(x) = 2√x

]]> Erreur : le 2 et la racine doivent passer au dénominateur. Contrôle en x = 1 :
la tangente a pour pente \dfrac{1}{2\sqrt{1}} = \dfrac{1}{2}, alors que 2√1 = 2.

]]> f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

]]> Bonne réponse : dérivée de référence. Elle explose près de
0 : la courbe y démarre avec une tangente verticale
(la fonction n'est pas dérivable en 0, démonstration au
programme).

]]> f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}

]]> Presque : il manque le facteur ½ :
(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

]]> Dérivation — Q07 : Dériver un produit Soit f(x) = x² (x + 3). Que vaut f'(x) ?

]]> Deux chemins concordants : la règle du produit
(uv)' = u'v + uv', ou développer d'abord
(x³ + 3x² → 3x² + 6x). Faire les deux est un excellent
auto-contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3x² + 3

]]> Erreur : en développant d'abord, f(x) = x³ + 3x² et le
terme 3x² se dérive en 6x, pas en 3.

]]> f'(x) = 2x

]]> Erreur : 2x × 1 est le produit des dérivées, ce
qui n'est pas la règle. Le produit se dérive en
u'v + uv'.

]]> f'(x) = 3x² + 6x

]]> Bonne réponse : (uv)' = u'v + uv' donne
2x(x+3) + x² × 1 = 2x² + 6x + x² = 3x² + 6x.
(Contrôle : f(x) = x³ + 3x² se dérive directement en
3x² + 6x.)

]]> f'(x) = 2x(x + 3)

]]> Incomplet : c'est le terme u'v seul. Il faut lui ajouter
uv' = x².

]]> Dérivation — Q08 : Dériver l'inverse d'une fonction Soit f(x) = 1/x² + 1. Que vaut f'(x) ?

]]> (1/u)' = -u'/u² : ici
-2x/(x²+1)². Cas particulier u(x) = x : on
retrouve -1/x².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 1/2x

]]> Erreur : on ne dérive pas un quotient en inversant la
dérivée du dénominateur. Règle :
(1/u)' = -u'/u².

]]> f'(x) = -2x/(x² + 1)²

]]> Bonne réponse : (1/u)' = -u'/u² avec u = x² + 1 et u' = 2x.

]]> f'(x) = 2x/(x² + 1)²

]]> Erreur de signe : la formule de l'inverse porte un
moins : -u'/u².

]]> f'(x) = -1/(x² + 1)²

]]> Oubli de u' = 2x au numérateur : la dérivée de
l'intérieur doit apparaître.

]]> Dérivation — Q09 : Approximation linéaire En utilisant l'approximation f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h
avec f(x) = √x et a = 4, quelle valeur approchée
obtient-on pour \sqrt{4{,}1} ?

]]> Approximation linéaire (au programme) : près de a, la
courbe se confond avec sa tangente : f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h. Ici \sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} =
2{,}025.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}05

]]> Erreur : f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4},
pas ½. Le facteur 2√x du dénominateur
vaut 4 ici.

]]> 2{,}025

]]> Bonne réponse : f(4) = 2, f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}}
= 0{,}25 et h = 0{,}1 : \sqrt{4{,}1} \approx 2 +
0{,}25 \times 0{,}1 = 2{,}025 (valeur exacte :
2{,}0248\ldots).

]]> 2{,}0025

]]> Erreur de décimale : 0{,}25 \times 0{,}1 = 0{,}025, pas
0{,}0025.

]]> 2{,}1

]]> Erreur : ajouter h tel quel revient à prendre
f'(4) = 1. La pente locale de la racine en 4 est bien
plus douce : 0{,}25.

]]> Dérivation — Q10 : La valeur absolue en 0 La fonction x ↦ |x| est-elle dérivable en 0 ?

]]> Étude au programme : |0+h| - |0|/h = |h|/h
vaut 1 si h > 0 et -1 si h < 0 : pas de limite unique,
donc pas de nombre dérivé en 0. La courbe présente un point anguleux en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car la fonction n'est pas définie en 0

]]> Erreur d'argument : |0| = 0, la fonction est bien définie en 0 (et sur ℝ tout
entier). Ce sont les pentes à gauche et à droite qui ne se raccordent pas.

]]> Non, les pentes à gauche et à droite diffèrent

]]> Bonne réponse : le taux de variation vaut 1 à droite
de 0 et -1 à gauche. Les sécantes n'ont pas de
position limite unique : le « V » a un point anguleux en
0.

]]> Oui, avec f'(0) = 0, tangente horizontale

]]> Erreur : une dérivée nulle signifierait une tangente
horizontale au fond du « V » ; or les pentes valent
± 1 de part et d'autre, sans se raccorder.

]]> Oui, avec f'(0) = 1, comme à droite de 0

]]> Erreur : la pente vaut 1 seulement à droite. À
gauche, elle vaut -1 : pas de valeur commune, pas de
nombre dérivé.

]]> Dérivation — Q11 : Vitesse instantanée Un mobile a pour position d(t) = t² (en mètres, t en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant
t = 3 ?

]]> Interprétation cinématique (au programme) : le taux de variation est une vitesse moyenne ; le nombre dérivé est la vitesse instantanée.
d'(t) = 2t : le mobile accélère, et d'(3) = 6 m/s.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 m/s

]]> Erreur : 3 = d(3) - d(0)/3 est la vitesse
moyenne entre 0 et 3. L'instantanée se lit sur la
dérivée : 2 × 3 = 6.

]]> 6 m/s

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est le nombre
dérivé de la position : d'(t) = 2t, donc d'(3) = 6
m/s.

]]> 2 m/s

]]> Erreur : 2 est le coefficient de d'(t) = 2t, pas sa
valeur en t = 3.

]]> 9 m/s

]]> Erreur : 9 = d(3) est la position à l'instant 3
(en mètres), pas la vitesse.

]]> Dérivation — Q12 : Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif Quelle est la dérivée de f(x) = x⁻² (définie pour
x ≠ 0) ?

]]> (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ pour tout entier relatif n. Avec
n = -2 : f'(x) = -2x⁻³. Cohérent avec
(1/x)' = -1/x² (cas n = -1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -2x⁻¹

]]> Erreur d'exposant : on retranche 1 à l'exposant :
-2 - 1 = -3, pas -1.

]]> f'(x) = -2x⁻³

]]> Bonne réponse : la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ vaut pour
tout n ∈ ℤ : ici n = -2 donne
-2x⁻³ = -2/x³.

]]> f'(x) = \dfrac{x^{-1}}{-1}

]]> Erreur de sens : ici l'exposant a augmenté de 1 et on a divisé par ce nouvel exposant, ce qui
défait une dérivation au lieu de l'effectuer. En dérivant, l'exposant descend et diminue :
-2x⁻³.

]]> f'(x) = 2x⁻³

]]> Erreur de signe : l'exposant n = -2 descend en facteur
avec son signe.

]]> Dérivation — Q13 : Dérivée de $3x^2$ Quelle est la dérivée de f(x) = 3x² ?

]]> (ku)' = ku' : les constantes multiplicatives survivent à
la dérivation. Combiné à (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ : (3x²)' = 6x, et tout polynôme se dérive terme à terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 6x²

]]> Exposant conservé à tort : dériver fait baisser le
degré : x² devient x.

]]> f'(x) = 3x

]]> Exposant non descendu : (x²)' = 2x : le 2 vient
multiplier le 3.

]]> f'(x) = 2x

]]> Coefficient 3 perdu : il traverse la dérivation
intact : (3u)' = 3u'.

]]> f'(x) = 6x

]]> Bonne réponse : la constante multiplicative reste en
facteur : 3 × (x²)' = 3 × 2x = 6x.

]]> Dérivation — Q14 : Dériver un polynôme Quelle est la dérivée de f(x) = x³ - 5x² + 1 ?

]]> Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la
constante s'évanouit. Le degré baisse de 1 : un cubique a
une dérivée quadratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3x² - 10x

]]> Bonne réponse : terme à terme : (x³)' = 3x²,
(-5x²)' = -10x, et la constante 1 disparaît.

]]> f'(x) = 3x² - 10x + 1

]]> Constante fantôme : la dérivée de 1 est 0 : une
constante ne varie pas, sa pente est nulle.

]]> f'(x) = 3x² - 5x²

]]> Erreur : le terme -5x² se dérive en -10x
(l'exposant 2 descend ET le degré baisse).

]]> f'(x) = x² - 5x

]]> Exposants non descendus : chaque terme reçoit son
exposant en facteur : 3x² et -10x.

]]> Dérivation — Q15 : Dérivée d'une constante Quelle est la dérivée de f(x) = 7 ?

]]> Constante ⇒ dérivée nulle (et réciproquement sur
un intervalle : le seul type de fonction de dérivée
partout nulle). Géométrie : l'horizontale n'a pas de pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 7

]]> Erreur : 7 est la valeur, pas la pente : une
fonction constante ne varie pas, sa dérivée est 0.

]]> f'(x) = 0

]]> Bonne réponse : la courbe de f est une droite
horizontale : pente nulle partout, taux de variation
toujours nul.

]]> f'(x) = 1

]]> Confusion : c'est f(x) = x qui a pour dérivée 1
(pente de la diagonale).

]]> f'(x) = 7x

]]> Sens inverse : c'est 7x qui a pour dérivée 7. Dériver la constante 7
donne 0.

]]> Dérivation — Q16 : Dériver un quotient Quelle est la dérivée de f(x) = 3x + 1/x - 2
(pour x ≠ 2) ?

]]> (u/v)' = u'v - uv'/v² : pour
une homographique ax+b/cx+d, le numérateur devient
la constante ad - bc : le signe de ce nombre donne le sens
de variation global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -7/(x - 2)²

]]> Bonne réponse : u'v - uv'/v² = 3(x-2) - (3x+1)/(x-2)² = -7/(x-2)² :
numérateur constant, fonction partout décroissante.

]]> f'(x) = -7/x - 2

]]> Dénominateur : la formule impose v² = (x-2)² : le
carré garantit d'ailleurs le signe constant du
dénominateur.

]]> f'(x) = 7/(x - 2)²

]]> Signe : 3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7 : le moins
survit : la fonction est décroissante sur chaque
intervalle.

]]> f'(x) = 3

]]> Erreur : dériver haut et bas séparément
(u'/v' = 3/1) n'est pas la règle du
quotient.

]]> Dérivation — Q17 : Tangente parallèle à une droite Soit f(x) = x². En quel point la tangente à la courbe
est-elle parallèle à la droite y = 4x - 7 ?

]]> Tangente parallèle à une droite de pente m : résoudre
f'(x) = m. (Tangente horizontale : cas particulier
m = 0.) La dérivée est un vivier de pentes : on y puise
celle qu'on veut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point d'abscisse -7

]]> Erreur : -7 est l'ordonnée à l'origine de la droite :
elle règle sa hauteur, pas sa pente : seule la pente
(4) compte pour le parallélisme.

]]> Au point d'abscisse 4

]]> Erreur : en x = 4, la pente vaut f'(4) = 8 ≠ 4 :
on égale la dérivée à 4, pas l'abscisse.

]]> Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique

]]> Erreur : la parabole a des tangentes de toutes les
pentes (une par valeur de f'(x) = 2x) : chaque pente
est atteinte exactement une fois.

]]> Au point d'abscisse 2, car f'(x) = 2x = 4 \iff x = 2

]]> Bonne réponse : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : on résout f'(x) = 4 : la pente de la
tangente est f', celle de la droite est 4.

]]> Dérivation — Q18 : Tangente qui descend Sur un graphique, la tangente à la courbe de f au point
d'abscisse a descend (de gauche à droite). Que peut-on en
déduire ?

]]> Dictionnaire graphique : tangente montante \iff f'(a) >
0 ; horizontale \iff f'(a) = 0 ; descendante \iff
f'(a) < 0. Et la valeur f(a) vit sur un axe totalement
indépendant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(a) = 0

]]> Erreur : f'(a) = 0 correspond à une tangente
horizontale : ici elle penche vers le bas.

]]> f(a) < 0

]]> Confusion valeur/pente : la courbe peut être très haute
(f(a) > 0) avec une tangente qui descend : f(a)
donne l'altitude, f'(a) l'inclinaison.

]]> a < 0

]]> Sans rapport : la position de a sur l'axe n'a rien à
voir avec l'inclinaison de la tangente en ce point.

]]> f'(a) < 0

]]> Bonne réponse : f'(a) est le coefficient directeur de
la tangente : une droite qui descend a une pente
négative.

]]> Dérivation — Q19 : Dérivée de $\dfrac{5}{x}$ Quelle est la dérivée de f(x) = 5/x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> (k/x)' = -k/x² : combinaison
de la constante multiplicative et de la dérivée de
l'inverse. Alternative : f(x) = 5x⁻¹ et la règle
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ avec n = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = -5/x²

]]> Bonne réponse : f = 5 × 1/x et
(1/x)' = -1/x² : le 5
suit, le moins reste.

]]> f'(x) = -5/x

]]> Carré oublié : la dérivée de 1/x est -1/x², donc celle de
5/x est -5/x² et non -5/x.

]]> f'(x) = -1/x²

]]> Coefficient perdu : le 5 multiplie la dérivée comme il
multipliait la fonction.

]]> f'(x) = 5/x²

]]> Signe : la fonction inverse décroît : sa dérivée est
négative : le moins est structurel.

]]> Dérivation — Q20 : Produit : deux chemins, un résultat Quelle est la dérivée de f(x) = (2x + 1)(x - 3) ?

]]> Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :
règle du produit, ou développer puis dériver. Les deux
doivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 2x² - 5x - 3

]]> Développement sans dérivation : 2x² - 5x - 3 est
f(x) développée : il reste à dériver (4x - 5).

]]> f'(x) = 2

]]> Produit des dérivées : 2 × 1 = 2 n'est pas la
règle : (uv)' = u'v + uv', jamais u'v'.

]]> f'(x) = 4x - 5

]]> Bonne réponse : par le produit : 2(x-3) + (2x+1) = 4x - 5 ; ou en développant d'abord (2x² - 5x - 3) puis en
dérivant : même résultat, toujours.

]]> f'(x) = 4x + 5

]]> Signe : 2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5 : le -6 pèse plus que le +1.

]]> Dérivation — Q21 : La racine carrée en $0$ La fonction f(x) = √x est-elle dérivable en 0 ?

]]> √x est définie sur [0\ ;\ +∞[, mais dérivable seulement sur ]0\ ;\ +∞[ :
en 0, la tangente est verticale. Avec |x| et son point anguleux, c'est le deuxième
contre-exemple officiel de non-dérivabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : la tangente en 0 est verticale

]]> Bonne réponse : le taux d'accroissement
\dfrac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}
tend vers +∞ quand h tend vers 0 : pas de
nombre dérivé (fini). La courbe démarre verticalement en
0 : pente infinie.

]]> Oui, car f est définie en 0 avec f(0) = 0

]]> Confusion : être définie en 0 ne suffit pas. La dérivabilité exige une pente
finie, refusée ici puisque \frac{1}{\sqrt{h}} tend vers +∞.

]]> Oui, et le nombre dérivé vaut f'(0) = 0

]]> Erreur : la formule \frac{1}{2\sqrt{x}} n'est pas
définie en 0, et le taux tend vers +∞, pas vers
0 : la tangente serait horizontale, or elle est
verticale.

]]> Non, car √0 n'existe pas

]]> Faux : √0 = 0 existe parfaitement : c'est la
pente en 0 qui fait défaut.

]]> Dérivation — Q22 : Estimer sans calculatrice Soit f(x) = x². En utilisant l'approximation f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a), quelle estimation de 2{,}01^2
obtient-on ?

]]> Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a)
pour h petit : remplacer la courbe par sa tangente.
L'erreur commise est de l'ordre de h² : négligeable au
premier ordre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2{,}01^2 \approx 4{,}4

]]> Facteur 10 : h f'(a) = 0{,}01 \times 4 = 0{,}04,
pas 0{,}4.

]]> 2{,}01^2 \approx 4{,}01

]]> Pente oubliée : 4 + 0{,}01 = 4{,}01 ajoute h au lieu
de h × f'(a) : la courbe monte à la vitesse 4,
pas 1.

]]> 2{,}01^2 \approx 4

]]> Ordre zéro : arrondir à f(2) ignore la variation ; le
terme correctif h f'(a) = 0{,}04 est justement ce que
l'approximation affine apporte.

]]> 2{,}01^2 \approx 4{,}04

]]> Bonne réponse : a = 2, h = 0{,}01, f(2) = 4 et
f'(2) = 4 : 2{,}01^2 \approx 4 + 0{,}01 \times 4 =
4{,}04 (exact : 4{,}0401, l'erreur est en h²).

]]> Dérivation — Q23 : De la position à la vitesse Un mobile a pour position d(t) = t² (en mètres, t en
secondes). Quelle est sa vitesse instantanée à t = 3 ?

]]> La vitesse instantanée est la dérivée de la position : la
signification physique du nombre dérivé. La vitesse moyenne
correspond, elle, au taux de variation sur un intervalle :
les deux se rejoignent quand l'intervalle rétrécit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 m/s

]]> Évaluation manquante : 2 est le coefficient de
d'(t) = 2t : en t = 3, la vitesse vaut 2 × 3 = 6 m/s.

]]> 6 m/s : la dérivée d'(t) = 2t évaluée en 3

]]> Bonne réponse : la vitesse instantanée est la dérivée de
la position : d'(3) = 6 m/s : le compteur affiche la
pente de la courbe position-temps.

]]> 9 m/s

]]> Confusion : 9 = d(3) est la position (distance
parcourue), pas la vitesse : dériver d'abord, évaluer
ensuite.

]]> 3 m/s : la vitesse moyenne depuis le départ

]]> Moyenne au lieu d'instantanée : d(3) - d(0)/3 = 3 m/s est la moyenne sur [0\ ;\ 3] ; le mobile
accélère : à l'instant 3, il file à 6 m/s.

]]> Dérivation — Q24 : Dérivée de $x\sqrt{x}$ Quelle est la dérivée de f(x) = x√x sur
]0\ ;\ +∞[ ?

]]> x\sqrt{x} = x^{3/2} : la réponse \frac{3}{2}x^{1/2}
illustre que la règle (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ s'étend aux
exposants fractionnaires : joli contrôle de cohérence du
calcul par la règle du produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = ⅔√x

]]> Fraction renversée : le calcul donne 3/2, pas
⅔ (ajouter √x et sa moitié).

]]> f'(x) = 3/2√x

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = √x :
\sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} +
\dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}.

]]> f'(x) = √x

]]> Second terme perdu : la règle du produit ajoute x
\times (\sqrt{x})' = \frac{\sqrt{x}}{2} : total
3/2√x.

]]> f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

]]> Facteur x ignoré : \frac{1}{2\sqrt{x}} est la
dérivée de √x seule : le produit exige
u'v + uv'.

]]> Dérivation — Q25 : Tangente horizontale et nombre dérivé La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2 est
horizontale. Que vaut f'(2) ?

]]> Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au
point d'abscisse a. Une tangente horizontale correspond donc à une
dérivée nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(2)

]]> Image confondue avec nombre dérivé : f(2) est l'ordonnée du point de
contact.

]]> 2

]]> Abscisse recopiée : elle indique où l'on se place, pas la valeur de la
dérivée.

]]> 0

]]> Bonne réponse : le nombre dérivé est le coefficient directeur de la
tangente, nul pour une droite horizontale.

]]> La dérivée n'existe pas

]]> Une tangente horizontale existe bel et bien : c'est une tangente
verticale qui poserait problème.

]]> Dérivation — Q26 : Dérivée d'une somme de puissances Quelle est la dérivée de la fonction définie par
f(x) = x³ - 4x² + 7x - 2 ?

]]> La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de xⁿ
vaut nxⁿ⁻¹. Toute constante additive disparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x² - 8x + 7 - 2

]]> Constante conservée : la dérivée d'un nombre est nulle, le terme -2
disparaît.

]]> x² - 8x + 7

]]> Exposant oublié en facteur : la dérivée de x³ vaut 3x².

]]> 3x² - 4x + 7

]]> Coefficient non multiplié : la dérivée de -4x² vaut -8x, car
l'exposant descend en facteur.

]]> 3x² - 8x + 7

]]> Bonne réponse : chaque terme se dérive séparément, et la constante
disparaît.

]]> Dérivation — Q27 : Une tangente en un point donné Soit f(x) = x². Quelle est l'équation de la tangente à sa courbe
au point d'abscisse 3 ?

]]> L'équation de la tangente au point d'abscisse a est
y = f'(a)(x - a) + f(a). On calcule d'abord le nombre dérivé, puis
l'image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 9x - 6

]]> Rôles échangés : 9 est l'ordonnée du point de contact et 6 le
coefficient directeur.

]]> y = 3x²

]]> Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir de
terme en x².

]]> y = 6x + 9

]]> Signe de la constante : le développement de 6(x-3) + 9 donne
6x - 9.

]]> y = 6x - 9

]]> Bonne réponse : f'(3) = 6 et f(3) = 9, donc
y = 6(x - 3) + 9.

]]> Dérivation — Q28 : Ce que mesure un taux de variation Que représente géométriquement le taux de variation
f(a+h) - f(a)/h ?

]]> Le taux de variation est la pente d'une sécante. Le nombre dérivé en est
la limite lorsque le second point se rapproche du premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire sous la courbe entre a et a+h

]]> L'aire relève de l'intégration, une notion étudiée en terminale.

]]> Le coefficient directeur de la tangente

]]> La tangente s'obtient à la limite, quand h tend vers 0, pas pour
h fixé.

]]> Le coefficient directeur d'une sécante

]]> Bonne réponse : c'est la pente de la droite joignant les points
d'abscisses a et a+h.

]]> La distance entre deux points de la courbe

]]> Une distance ne peut pas être négative, alors que ce quotient le peut.

]]> Dérivation — Q29 : Dériver un quotient de polynômes Quelle est la dérivée de f(x) = x/x + 1 sur son ensemble
de définition ?

]]> La dérivée de u/v vaut u'v - uv'/v². Ici
u(x) = x et v(x) = x+1, ce qui simplifie beaucoup le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/(x+1)²

]]> Bonne réponse : le numérateur de la formule donne
1 × (x+1) - x × 1 = 1.

]]> 1/x+1

]]> Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient l'exige.

]]> 1

]]> Dérivation terme à terme : un quotient ne se dérive pas en dérivant
séparément numérateur et dénominateur.

]]> -1/(x+1)²

]]> Ordre des termes inversé : la formule retranche u v' à u' v, dans
cet ordre.

]]> Dérivation — Q30 : Ce que dit le signe du nombre dérivé En un point où f'(a) < 0, que peut-on dire de la courbe de f ?

]]> Le signe de f'(a) donne l'inclinaison de la tangente, donc la tendance
locale de la courbe. Le signe de f(a), lui, donne sa position par
rapport à l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa tangente y descend

]]> Bonne réponse : un coefficient directeur négatif donne une droite
décroissante.

]]> Elle n'admet pas de tangente en a

]]> L'existence du nombre dérivé garantit au contraire celle de la
tangente.

]]> Elle passe sous l'axe des abscisses

]]> La position par rapport à l'axe dépend du signe de f(a), pas de
celui de f'(a).

]]> Elle atteint un maximum en a

]]> Un extremum demanderait une dérivée nulle, avec changement de signe de
part et d'autre.

]]> Dérivation — Q31 : Dérivée d'une fonction affine Quelle est la dérivée de la fonction définie par f(x) = 5x - 8 ?

]]> Une fonction affine a une dérivée constante, égale à son coefficient
directeur : sa courbe est une droite, dont l'inclinaison ne change
jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 5x

]]> La variable ne subsiste pas : en dérivant 5x, il reste le seul
coefficient 5.

]]> f'(x) = 5x - 8

]]> Rien n'a été dérivé : c'est l'expression de f, et non celle de
f'.

]]> f'(x) = 5

]]> Bonne réponse : le terme 5x a pour dérivée 5, et la
constante a pour dérivée 0.

]]> f'(x) = -8

]]> C'est la constante de l'expression, dont la dérivée est nulle. Le
nombre dérivé vaut 5 en tout point.

]]> Dérivation — Q32 : Un polynôme avec un terme en $x$ Quelle est la dérivée de la fonction définie par
f(x) = 4x³ - x + 6 ?

]]> On dérive terme à terme : xⁿ donne nxⁿ⁻¹, le terme en x donne
son coefficient, et la constante disparaît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 12x² - 1 + 6

]]> La constante 6 a été conservée : la dérivée d'un nombre fixe
est nulle.

]]> f'(x) = 12x²

]]> Le terme -x a été oublié : sa dérivée vaut -1, et non 0.

]]> f'(x) = 4x² - 1

]]> L'exposant 3 doit aussi multiplier le coefficient : 4x³ a
pour dérivée 12x².

]]> f'(x) = 12x² - 1

]]> Bonne réponse : 4x³ donne 12x², -x donne -1, et la
constante 6 disparaît.

]]> Dérivation — Q33 : Calculer un nombre dérivé La dérivée d'une fonction f est f'(x) = 3x² - 4x. Que vaut le
nombre dérivé f'(5) ?

]]> Le nombre dérivé f'(a) s'obtient en remplaçant x par a dans
l'expression de la fonction dérivée, puis en effectuant le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 55

]]> Bonne réponse : on remplace x par 5 dans f', ce qui donne
3 × 5² - 4 × 5 = 55.

]]> 11

]]> Le carré a disparu, et le coefficient 4 n'a pas été multiplié
par 5.

]]> 205

]]> Le carré porte sur x seul : il faut élever 5 au carré, puis
multiplier le résultat par 3.

]]> 95

]]> Le second terme se retranche : le calcul donne 55 et non
95.

]]> Dérivation — Q34 : La courbe de la valeur absolue La courbe de la fonction x ↦ |x| est formée de deux
demi-droites. Que voit-on au point d'abscisse 0 ?

]]> Une fonction n'est dérivable en un point que si la courbe y admet une
tangente unique. Un point anguleux réunit deux directions différentes,
donc la dérivabilité échoue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une tangente verticale d'équation x = 0

]]> La tangente verticale est le cas de la fonction racine carrée en
0, où les pentes deviennent très grandes.

]]> Un point où la courbe s'interrompt

]]> La courbe se trace d'un seul trait : c'est sa direction qui change
brutalement, pas son tracé.

]]> Un point anguleux, sans tangente unique

]]> Bonne réponse : les pentes valent -1 à gauche et 1 à droite,
donc aucune droite unique ne prolonge la courbe.

]]> Une tangente horizontale d'équation y = 0

]]> Une tangente horizontale supposerait des pentes nulles de part et
d'autre, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Dérivation — Q35 : Dérivée de $\dfrac{1}{x^n}$ Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
f(x) = 1/x³ ?

]]> En écrivant 1/xⁿ sous la forme x⁻ⁿ, la règle sur les
puissances s'applique : l'exposant descend en facteur et diminue d'une
unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3/x⁴

]]> Le signe manque : comme pour la fonction inverse, la dérivée est
négative sur ]0 ; +∞[.

]]> f'(x) = -3/x⁴

]]> Bonne réponse : 1/x³ s'écrit x⁻³, dont la
dérivée est -3x⁻⁴, soit -3/x⁴.

]]> f'(x) = -1/3x⁴

]]> Le facteur 3 multiplie la dérivée : il figure au numérateur, et
non au dénominateur.

]]> f'(x) = -2/x³

]]> L'exposant du dénominateur augmente d'une unité, et c'est 3 qui
passe au numérateur.

]]> Dérivation — Q36 : Le signe d'un nombre dérivé Soit f la fonction définie par f(x) = x² - 6x + 10. Que peut-on
dire du nombre dérivé f'(2) ?

]]> Le signe du nombre dérivé renseigne sur l'inclinaison de la tangente,
tandis que le signe de f(a) renseigne sur la position de la courbe par
rapport à l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est positif : la tangente monte

]]> Le calcul donne f'(2) = -2, qui est négatif : la tangente
descend en ce point.

]]> Il est négatif : la tangente descend

]]> Bonne réponse : f'(x) = 2x - 6, donc f'(2) = -2, et une
pente négative donne une tangente qui descend.

]]> Il est nul : la tangente est horizontale

]]> La tangente n'est horizontale qu'au point d'abscisse 3,
seul endroit où 2x - 6 s'annule.

]]> Il est négatif, donc la courbe est sous l'axe des abscisses

]]> Le signe est bon, mais la conclusion non : f(2) = 2 est
positif, donc la courbe est au-dessus de l'axe.

]]> Dérivation — Q37 : Une somme avec un inverse Quelle est la dérivée de la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
f(x) = 3x + 2/x ?

]]> La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Un quotient de la
forme k/x se dérive comme k fois la fonction inverse, ce
qui donne -k/x².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3x - 2/x²

]]> Le premier terme n'a pas été dérivé : 3x a pour dérivée le seul
coefficient 3.

]]> f'(x) = 3 + 2/x²

]]> Le signe manque : la fonction inverse est décroissante, sa dérivée
est donc négative.

]]> f'(x) = 3 - 2/x

]]> Le dénominateur doit être élevé au carré : 1/x a pour
dérivée -1/x².

]]> f'(x) = 3 - 2/x²

]]> Bonne réponse : 3x donne 3, et 2/x donne
-2/x².

]]> Dérivation — Q38 : La formule du quotient Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle où v ne
s'annule pas. Quelle est la dérivée de u/v ?

]]> La dérivée de u/v vaut u'v - uv'/v². L'ordre du
numérateur se retient en remarquant qu'avec u = 1 on retrouve
-v'/v².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u'v + uv'/v²

]]> C'est le numérateur de la formule du produit : pour un quotient, le
second terme se retranche.

]]> u'v - uv'/v²

]]> Bonne réponse : le numérateur commence par u'v, puis retranche
uv', et le dénominateur est le carré de v.

]]> uv' - u'v/v²

]]> Les deux produits sont échangés : l'ordre compte, car le résultat
est alors l'opposé du bon.

]]> u'/v - u/v'

]]> On ne dérive pas un quotient morceau par morceau : la formule fait
intervenir les quatre fonctions ensemble.

]]> Dérivation — Q39 : Un produit à deux facteurs Quelle est la dérivée de la fonction définie par
f(x) = (x² + 4)(x + 2) ?

]]> La dérivée d'un produit vaut u'v + uv'. On peut aussi développer
d'abord, puis dériver terme à terme : les deux chemins mènent au même
résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x³ + 2x² + 4x + 8

]]> C'est le développement de f, pas sa dérivée : il reste à dériver
cette expression.

]]> 3x² + 4x

]]> Le terme constant 4 a disparu : il provient du produit
(x² + 4) × 1.

]]> 3x² + 4x + 4

]]> Bonne réponse : u'v + uv' donne 2x(x + 2) + (x² + 4), soit
3x² + 4x + 4 après réduction.

]]> 2x × (x + 2)

]]> Seul le premier morceau de la formule a été écrit : il manque
(x² + 4) × 1.

]]> Dérivation — Q40 : Inverse d'une expression affine Quelle est la dérivée de la fonction définie par
f(x) = 1/3x + 5, sur un intervalle où le dénominateur ne
s'annule pas ?

]]> La dérivée de 1/u vaut -u'/u². Il suffit donc de
dériver l'expression du dénominateur et de l'élever au carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = 3/(3x + 5)²

]]> Le signe manque : la formule de l'inverse fait apparaître
-u' au numérateur.

]]> f'(x) = -3/3x + 5

]]> Le dénominateur doit être élevé au carré, comme dans
-1/x² pour la fonction inverse.

]]> f'(x) = -1/3(3x + 5)²

]]> Le nombre 3 est la dérivée de u : il multiplie le numérateur
et ne divise pas le dénominateur.

]]> f'(x) = -3/(3x + 5)²

]]> Bonne réponse : avec u(x) = 3x + 5, la dérivée de
1/u vaut -u'/u², et u'(x) = 3.

]]> Dérivation — Q41 : Deux tangentes, deux signes Sur la courbe de f, la tangente au point d'abscisse 2 est
horizontale, et celle au point d'abscisse 5 monte. Que peut-on dire
des nombres dérivés ?

]]> Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la
tangente : nul si elle est horizontale, positif si elle monte, négatif
si elle descend.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(2) = 0 et f'(5) < 0

]]> Une tangente qui monte a une pente positive : le second signe est
inversé.

]]> f'(2) = 0 et f'(5) > 0

]]> Bonne réponse : une tangente horizontale a un coefficient directeur
nul, et une tangente qui monte un coefficient positif.

]]> f'(2) > 0 et f'(5) > 0

]]> Une tangente horizontale n'a aucune inclinaison : son coefficient
directeur vaut 0.

]]> f'(2) n'existe pas et f'(5) > 0

]]> Une tangente horizontale existe bel et bien : le nombre dérivé est
nul, ce qui est différent d'une absence de dérivée.

]]> Dérivation — Q42 : Un produit avec une racine Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
f(x) = (x + 5)√x. Que vaut f'(1) ?

]]> On applique (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x + 5 et
v(x) = √x, puis on remplace x par 1, ce qui simplifie les
racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Le dénominateur 2 de la dérivée de √x a été oublié dans
le second terme.

]]> 4

]]> Bonne réponse : f'(x) = \sqrt{x} + \dfrac{x + 5}{2\sqrt{x}},
donc f'(1) = 1 + 6/2 = 4.

]]> 1

]]> Seul le terme u'v a été gardé : il reste à ajouter
\dfrac{x + 5}{2\sqrt{x}} pris en 1.

]]> ½

]]> Un produit ne se dérive pas facteur par facteur : la formule est
u'v + uv', et non u'v'.

]]> Dérivation — Q43 : Approcher un cube En utilisant l'approximation f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a) avec
f(x) = x³ et a = 2, quelle valeur approchée de
2{,}01^3 obtient-on ?

]]> L'approximation affine remplace la courbe par sa tangente au point
d'abscisse a : pour un petit déplacement h, l'image augmente à peu
près de h f'(a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8{,}12

]]> Bonne réponse : f'(x) = 3x², donc f'(2) = 12, et
l'approximation donne 8 + 12 \times 0{,}01 = 8{,}12.

]]> 8{,}06

]]> Le nombre dérivé vaut 3 × 2² et non 3 × 2 : le
carré a été perdu.

]]> 8

]]> C'est 2³, la valeur de départ : l'approximation ajoute encore
le terme h f'(2).

]]> 8{,}01

]]> Le nombre dérivé a été oublié : h doit être multiplié par
f'(2) = 12.

]]> Dérivation — Q44 : Le taux de variation à gauche Soit f la fonction définie par f(x) = |x|. Que vaut le taux de
variation f(0 + h) - f(0)/h lorsque h est strictement
négatif ?

]]> Le taux de variation vaut -1 à gauche de 0 et 1 à droite. Ces deux
valeurs ne se rejoignent pas, ce qui interdit à la fonction d'être
dérivable en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Bonne réponse : pour h < 0, on a |h| = -h, donc le taux vaut
-h/h = -1.

]]> 1

]]> C'est la valeur du taux pour h > 0 : à gauche de 0, la courbe
descend.

]]> 0

]]> Le taux ne s'annule jamais ici : la courbe est formée de deux
demi-droites de pentes -1 et 1.

]]> Il dépend de la valeur de h

]]> Le calcul -h/h se simplifie : le résultat est le même
pour tout h strictement négatif.

]]> Dérivation — Q45 : Combien de tangentes parallèles Soit f la fonction cube, définie par f(x) = x³. En combien de
points sa courbe admet-elle une tangente parallèle à la droite
d'équation y = 12x + 5 ?

]]> Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient
directeur. On résout donc f'(x) = m, équation du second degré qui peut
avoir deux solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En deux points, d'abscisses 2 et -2

]]> Bonne réponse : 3x² = 12 donne x² = 4, équation qui admet
les deux solutions 2 et -2.

]]> En aucun point, car la courbe de la fonction cube n'a pas de tangente oblique

]]> Les tangentes à cette courbe sont obliques presque partout : seule
celle du point d'abscisse 0 est horizontale.

]]> En un seul point, d'abscisse 2

]]> La solution négative a été oubliée : un carré égal à 4 est
obtenu pour deux valeurs opposées.

]]> En un seul point, d'abscisse 12

]]> Le coefficient directeur 12 est la valeur de f'(x), pas celle
de x : il reste à résoudre 3x² = 12.

]]>