$course$/QCM de maths/Première spécialité/Fonction exponentielle Définition de l'exponentielle (unique fonction dérivable telle
que f' = f et f(0) = 1), propriétés algébriques, notation
eˣ, signe, variations et courbe, dérivée de t ↦ eᵃᵗ, fonctions t ↦ eᵏᵗ et t ↦ e⁻ᵏᵗ,
lien avec les suites géométriques.

]]> Fonction exponentielle — Q01 : Définition de l'exponentielle Comment la fonction exponentielle est-elle définie au
programme de première ?

]]> Définition (au programme) : exp est l'unique fonction
dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et
exp(0) = 1. Cette équation traduit une croissance dont la
vitesse est proportionnelle à la valeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'unique fonction f dérivable avec f' = f et f(0) = 0

]]> Piège : avec f(0) = 0, la seule solution de f' = f
est la fonction nulle. La condition f(0) = 1 est
essentielle.

]]> La fonction linéaire x ↦ e x, de coefficient e

]]> Erreur : x ↦ e x est linéaire, de dérivée constante égale à e. L'exponentielle
a la variable en exposant et vérifie f' = f avec f(0) = 1.

]]> La fonction puissance x ↦ xᵉ, d'exposant e

]]> Erreur : xᵉ est une fonction puissance (variable en
base). L'exponentielle a la variable en exposant :
eˣ.

]]> L'unique fonction f dérivable avec f' = f et f(0) = 1

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée et
vaut 1 en 0 (existence et unicité admises).

]]> Fonction exponentielle — Q02 : Signe de l'exponentielle Que peut-on dire du signe de eˣ ?

]]> Propriété fondamentale : eˣ > 0 pour tout x (conséquence
de eˣ e⁻ˣ = 1 : le produit valant 1, aucun facteur
ne peut s'annuler). Utile pour les signes de dérivées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ s'annule en x = 0

]]> Erreur : e⁰ = 1 ≠ 0. L'exponentielle ne s'annule
jamais.

]]> eˣ > 0 pour tout réel x

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement positive
sur ℝ : sa courbe reste entièrement au-dessus
de l'axe des abscisses, sans jamais le toucher.

]]> eˣ > 0 seulement pour x > 0

]]> Erreur : e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 > 0 :
même pour les x négatifs, l'exponentielle reste
positive (petite, mais positive).

]]> eˣ change de signe en x = 0

]]> Erreur : aucun changement de signe : eˣ passe par 1
en 0 et reste strictement positive partout.

]]> Fonction exponentielle — Q03 : Équation fonctionnelle Pour tous réels x et y, que vaut e^{x + y} ?

]]> Relation fonctionnelle : eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ. On en
déduit e⁻ˣ = 1/eˣ, eˣ⁻ʸ = eˣ/eʸ et (eˣ)ⁿ = eⁿˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ × eʸ

]]> Bonne réponse : l'exponentielle transforme les sommes en
produits : c'est sa propriété algébrique fondamentale.

]]> eˣ + eʸ

]]> Erreur : teste x = y = 0 : e⁰ = 1 alors que
e⁰ + e⁰ = 2. La somme des exposants correspond au
produit des exponentielles.

]]> eˣ × y

]]> Erreur : aucune règle de ce type. La bonne formule :
eˣ⁺ʸ = eˣ eʸ.

]]> eˣʸ

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à une
puissance de puissance : (eˣ)ʸ = eˣʸ, autre
formule.

]]> Fonction exponentielle — Q04 : Exponentielle d'un opposé Que vaut e⁻³ ?

]]> e⁻ˣ = 1/eˣ (conséquence de eˣ e⁻ˣ = 1).
e^{-3} = \frac{1}{e^3} \approx 0{,}0498 : positif et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{1}{e^{-3}}

]]> Erreur : \dfrac{1}{e^{-3}} = e^{3} : c'est l'inverse
de e⁻³, pas e⁻³ lui-même. L'exposant -3
signifie déjà « inverse de e³ ».

]]> -1/e³

]]> Erreur : une exponentielle n'est jamais négative. Le
signe moins de l'exposant se traduit par un inverse, pas
par un opposé.

]]> 1 - e³

]]> Erreur : aucune soustraction n'intervient :
e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \approx 0{,}05, alors que
1 - e³ ≈ -19.

]]> 1/e³

]]> Bonne réponse : eˣ e⁻ˣ = e⁰ = 1, donc e⁻ˣ = 1/eˣ : l'exponentielle d'un opposé est
l'inverse.

]]> Fonction exponentielle — Q05 : Puissance d'une exponentielle Que vaut (eˣ)² ?

]]> (eˣ)ⁿ = eⁿˣ pour tout entier n. Bien distinguer
e²ˣ = (eˣ)², 2eˣ (double) et e^{x^2} (carré dans
l'exposant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2eˣ

]]> Erreur : 2eˣ est le double, pas le carré. Teste
x = 1 : (e^1)^2 = e^2 \approx 7{,}39 alors que
2e \approx 5{,}44.

]]> e²ˣ

]]> Bonne réponse : (e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{x + x} =
e^{2x} : élever à une puissance multiplie l'exposant.

]]> e^{x^2}

]]> Erreur : e^{x^2} élève x au carré dans
l'exposant : tout autre chose. (eˣ)² double
l'exposant : e²ˣ.

]]> eˣ⁺²

]]> Erreur : eˣ⁺² = eˣ × e² correspond à une
multiplication par e², pas à une mise au carré.

]]> Fonction exponentielle — Q06 : Dérivée de $e^{at}$ Quelle est la dérivée de la fonction f(t) = e⁵ᵗ ?

]]> Formule au programme : pour a réel, (eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ.
Elle traduit l'équation y' = ay des évolutions
exponentielles (croissance si a > 0, décroissance sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(t) = e⁵ᵗ

]]> Oubli du facteur 5 : seule eᵗ est exactement sa
propre dérivée. Le 5t dans l'exposant fait sortir un
facteur 5.

]]> f'(t) = 5 e⁵ᵗ

]]> Bonne réponse : (eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ : le coefficient
de t descend en facteur, l'exponentielle se conserve.

]]> f'(t) = 5t\,e^{5t - 1}

]]> Erreur : c'est la règle des puissances (tⁿ)' = ntⁿ⁻¹ appliquée à tort. Pour une exponentielle :
(eᵃᵗ)' = a eᵃᵗ.

]]> f'(t) = 5 eᵗ

]]> Erreur : l'exposant 5t ne change pas en dérivant. On
multiplie par 5 sans toucher à e⁵ᵗ.

]]> Fonction exponentielle — Q07 : La tangente en 0 [Figure : Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu
(croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge
au point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1)
et (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.]

Sur la figure ci-dessous, la droite T est la tangente à la
courbe de l'exponentielle au point d'abscisse 0. Quelle est
son équation ?

]]> En 0 : exp(0) = 1 et exp'(0) = 1 (car exp' = exp) : tangente y = x + 1. La courbe, au-dessus de cette
tangente, illustre eˣ ≥ 1 + x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = x

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, alors que le
point de tangence est (0 ; 1) (e⁰ = 1).

]]> y = e x

]]> Erreur : la pente e \approx 2{,}72 est celle de la
tangente au point d'abscisse 1, pas 0.

]]> y = x + 1

]]> Bonne réponse : pente exp'(0) = exp(0) = 1 et passage
par (0 ; 1) : y = x + 1. (Toute la définition de
l'exponentielle se lit sur cette tangente.)

]]> y = 1

]]> Erreur : une tangente horizontale signifierait
exp'(0) = 0 ; or exp'(0) = exp(0) = 1 : la
tangente monte avec une pente 1.

]]> Fonction exponentielle — Q08 : Comparer avec la croissance Comment se comparent e⁻² et e⁻³ ?

]]> exp strictement croissante sur ℝ :
a < b ⇔ eᵃ < eᵇ. Cette équivalence sert à
comparer, mais aussi à résoudre équations et inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁻² > e⁻³

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante et -2 > -3 ; elle conserve l'ordre des
exposants : -3 < -2 ⇒ e⁻³ < e⁻².

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : la stricte croissance permet de comparer par les
exposants seuls, sans aucune valeur numérique.

]]> e⁻² < e⁻³

]]> Erreur : les exposants négatifs ne renversent rien. La
croissance de l'exponentielle vaut sur tout
ℝ : e^{-3} \approx 0{,}05 < e^{-2} \approx
0{,}14.

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement croissante :
deux exposants distincts donnent deux valeurs distinctes.

]]> Fonction exponentielle — Q09 : Exponentielle et suite géométrique Soit la suite définie par u_n = e^{0{,}5\,n} pour n
entier naturel. Quelle est sa nature ?

]]> Lien au programme : (eᵏⁿ) est géométrique de raison
eᵏ : l'exponentielle est le prolongement continu des
suites géométriques (évolution à taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison e^{0{,}5}

]]> Bonne réponse : u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n}
\times e^{0{,}5} : chaque terme est multiplié par
e^{0{,}5} \approx 1{,}65.

]]> Géométrique de raison 0{,}5

]]> Erreur : la raison est le facteur multiplicatif
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e^{0{,}5}, pas le coefficient de
l'exposant.

]]> Arithmétique de raison 0{,}5

]]> Erreur : c'est l'exposant qui avance de 0{,}5 en
0{,}5 ; les valeurs, elles, sont multipliées par
e^{0{,}5} : modèle géométrique.

]]> Géométrique de raison e

]]> Erreur : la raison e correspondrait à uₙ = eⁿ. Ici
le pas de l'exposant est 0{,}5 : raison e^{0{,}5}.

]]> Fonction exponentielle — Q10 : Croissance ou décroissance de $e^{kt}$ Une quantité radioactive évolue selon N(t) = N_0\,
e^{-0{,}3\,t} (avec N₀ > 0). Que peut-on dire de la
fonction N ?

]]> Fonctions t ↦ eᵏᵗ (capacité attendue) : croissantes
si k > 0, décroissantes si k < 0, toujours strictement
positives. Modèles : intérêts composés, désintégration,
dilution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante égale à N₀

]]> Erreur : N₀ n'est que la valeur initiale
(N(0) = N₀ e⁰ = N₀) ; ensuite le facteur
e^{-0{,}3t} diminue.

]]> Elle devient négative pour t assez grand

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive : la
quantité s'approche de 0 sans jamais l'atteindre ni
passer dessous.

]]> Elle est strictement croissante

]]> Erreur : « une exponentielle croît toujours » ne vaut
que pour t ↦ eᵗ. Avec un exposant -0{,}3\,t,
la fonction décroît (t ↦ e⁻ᵏᵗ, k > 0).

]]> Elle est strictement décroissante

]]> Bonne réponse : c'est une décroissance exponentielle.
N'(t) = -0{,}3\,N_0\,e^{-0{,}3t} < 0 : le coefficient
k = -0{,}3 < 0 impose la décroissance (modèle de la
désintégration radioactive).

]]> Fonction exponentielle — Q11 : Simplifier une expression Simplifier l'expression \dfrac{e^x \times e^2}{e^{x+1}}.

]]> Règles combinées : produit → somme des exposants, quotient
→ différence. \dfrac{e^x e^2}{e^{x+1}} = e^{x + 2 - x -
1} = e. Transformer les écritures est la capacité attendue
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut eˣ⁺², et
\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}} = e^{(x+2)-(x+1)} = e^1 = e.

]]> eˣ

]]> Erreur : les exposants se soustraient entièrement :
(x + 2) - (x + 1) = 1 : les x se compensent.

]]> 1

]]> Erreur : la différence des exposants vaut 1, pas 0 :
le résultat est e^1 = e \approx 2{,}72.

]]> e^{2x + 1}

]]> Erreur : au quotient, les exposants se soustraient,
ils ne s'ajoutent pas : (x+2) - (x+1) = 1.

]]> Fonction exponentielle — Q12 : Résoudre une équation avec exponentielles Quelle est la solution de l'équation e^{x} = e^{2x - 1} ?

]]> Stricte croissance ⇒ eᵃ = eᵇ ⇔ a = b (et eᵃ < eᵇ ⇔ a < b pour les
inéquations). L'équation se transporte sur les exposants :
x = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement
croissante, eᵃ = eᵇ ⇔ a = b : x = 2x - 1 donne x = 1.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : l'équation se ramène à une équation du premier
degré x = 2x - 1, qui a une solution : x = 1.

]]> x = 0

]]> Erreur : teste : e⁰ = 1 et e^{-1} \approx 0{,}37 :
pas égaux. L'égalité des exponentielles équivaut à
l'égalité des exposants.

]]> x = -1

]]> Erreur de résolution : x = 2x - 1 ⇒ -x = -1 ⇒ x = 1 (attention aux signes en regroupant).

]]> Fonction exponentielle — Q13 : La valeur $e^0$ Que vaut e⁰ ?

]]> e⁰ = 1 : ancre de toutes les courbes exponentielles, et
point de tangence avec la droite y = 1 + x. À coupler avec
e^1 = e \approx 2{,}72.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -1

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement positive : elle
ne prend jamais de valeur négative.

]]> 0

]]> Erreur : l'exponentielle ne s'annule jamais : en 0
elle vaut 1, comme toute puissance d'exposant nul.

]]> e

]]> Décalage : e = e¹ : c'est l'image de 1, pas de
0.

]]> 1

]]> Bonne réponse : exp(0) = 1 : le point de départ de la
courbe, imposé par la définition (f' = f et f(0) = 1).

]]> Fonction exponentielle — Q14 : Produit d'exponentielles Que vaut e² × e³ ?

]]> Relation fonctionnelle : eᵃeᵇ = eᵃ⁺ᵇ, d'où
eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ et e⁻ᵃ = 1/eᵃ : les règles des puissances, intégralement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e² + e³

]]> Erreur : la relation transforme le produit en somme
d'exposants, pas en somme d'exponentielles.

]]> e⁶

]]> Exposants multipliés : 2 × 3 = 6 correspondrait à
(e²)³ : le produit additionne : 2 + 3 = 5.

]]> e⁵

]]> Bonne réponse : eᵃ eᵇ = eᵃ⁺ᵇ : les exposants
s'additionnent quand les exponentielles se multiplient.

]]> 2e³

]]> Erreur : e² n'est pas 2e : les exponentielles se
combinent par la relation fonctionnelle, pas par des
coefficients.

]]> Fonction exponentielle — Q15 : Résoudre $e^x = e^@k@$ Quelle est la solution de l'équation eˣ = e³ ?

]]> e^a = e^b \iff a = b (stricte croissance) : le levier de
toutes les équations exponentielles : ramener chaque membre
à UNE exponentielle, puis égaler les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3 ou x = -3

]]> Symétrie imaginaire : l'exponentielle n'est pas paire :
e⁻³ = 1/e³ ≠ e³ : une seule solution.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : x = 3 convient à l'évidence : l'équation
eˣ = k a une solution dès que k > 0.

]]> x = 3

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante, donc deux exponentielles égales ont des exposants égaux.

]]> x = e³

]]> Erreur : la comparaison se fait exposant contre
exposant : x = 3, pas x = e³ ≈ 20.

]]> Fonction exponentielle — Q16 : Simplifier $(e^x)^2$ Pour tout réel x, que vaut (eˣ)² ?

]]> (eˣ)² = eˣ × eˣ = e²ˣ : cas particulier de
(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Bien distinguer e²ˣ = (eˣ)² de
e^{x^2} : les parenthèses changent tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ⁺²

]]> Erreur : eˣ⁺² = eˣ × e² : l'addition
d'exposants vient d'un produit par e², pas d'un
carré.

]]> 2eˣ

]]> Erreur : le carré multiplie l'exponentielle par
elle-même (eˣ × eˣ = e²ˣ), pas par 2.

]]> e²ˣ

]]> Bonne réponse : (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ : élever à une
puissance multiplie l'exposant.

]]> e^{x^2}

]]> Erreur : e^{x^2} élève x au carré dans
l'exposant : tout autre objet : la règle donne 2x en
exposant.

]]> Fonction exponentielle — Q17 : Résoudre $e^x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de eˣ ≥ 1 ?

]]> Méthode : écrire le second membre comme exponentielle (1 = e⁰), puis comparer les exposants dans le même sens
(croissance stricte). Signe de eˣ - 1 : celui de x :
très utile dans les tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0\ ;\ +∞[

]]> Bonne réponse : 1 = e⁰, et la croissance stricte
conserve l'ordre : e^x \geq e^0 \iff x \geq 0.

]]> ℝ : une exponentielle est toujours positive

]]> Confusion : positive, oui (eˣ > 0), mais pas toujours
≥ 1 : e^{-1} \approx 0{,}37 < 1 : la barre est à
x = 0.

]]> ]-∞\ ;\ 0]

]]> Sens inversé : pour x ≤ 0, eˣ ≤ 1 :
l'exponentielle croît, elle dépasse 1 après 0.

]]> [1\ ;\ +∞[

]]> Erreur : 1 est la valeur seuil, pas l'abscisse :
eˣ = 1 en x = 0.

]]> Fonction exponentielle — Q18 : Dérivée de $x\,e^x$ Quelle est la dérivée de f(x) = x eˣ ?

]]> (xeˣ)' = (1 + x)eˣ : le produit polynôme × exponentielle
garde toujours un facteur eˣ : son signe (toujours
positif) laisse le polynôme décider des variations : ici f
décroît avant -1, croît après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f'(x) = x eˣ

]]> Erreur : f' = f ne vaut que pour eˣ pur : le
facteur x casse cette propriété (il ajoute le terme
eˣ).

]]> f'(x) = eˣ

]]> Produit ignoré : eˣ est la dérivée de eˣ seul : le
facteur x impose la règle u'v + uv'.

]]> f'(x) = (1 + x) eˣ

]]> Bonne réponse : produit u = x, v = eˣ : u'v + uv' = eˣ + xeˣ = (1 + x)eˣ.

]]> f'(x) = eˣ + x

]]> Erreur : le second terme est x × (eˣ)' = xeˣ,
pas x : l'exponentielle ne disparaît pas en dérivant.

]]> Fonction exponentielle — Q19 : L'allure de $e^{-x}$ Quelle description correspond à la fonction x ↦ e⁻ˣ ?

]]> La courbe de e⁻ˣ est symétrique de celle de eˣ par rapport à l'axe des
ordonnées : fonction décroissante et strictement positive. Les valeurs e⁻ⁿ forment une
suite géométrique de raison 1/e, qui se rapproche de 0 : c'est le modèle des
décharges, refroidissements et désintégrations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante puis négative après son zéro

]]> Erreur : e⁻ˣ ne s'annule jamais : elle frôle
zéro sans le toucher : aucun passage en négatif.

]]> Constante, égale à 1/e pour tout x

]]> Erreur : 1/e = e⁻¹ est la valeur en
1 : la fonction varie (1 en 0, \approx 0{,}14
en 2…).

]]> Croissante, strictement positive, égale à 1 en 0

]]> Erreur : c'est la description de x ↦ eˣ. Le
signe de l'exposant décide : eᵏᵗ croît pour k > 0, décroît pour k < 0 ; ici k = -1.

]]> Décroissante, strictement positive, égale à 1 en 0

]]> Bonne réponse : e⁻ˣ = 1/eˣ est strictement positive, et sa dérivée
-e⁻ˣ est strictement négative : la fonction décroît. C'est la décroissance
exponentielle type.

]]> Fonction exponentielle — Q20 : Simplifier $\dfrac{e^{x+1}}{e^x}$ Pour tout réel x, que vaut \dfrac{e^{x+1}}{e^{x}} ?

]]> eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ : ici eˣ⁺¹⁻ˣ = e. Les
quotients d'exponentielles décalées sont constants : la
signature des suites géométriques (\frac{u_{n+1}}{u_n} = e
pour uₙ = eⁿ).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ

]]> Erreur : la soustraction des exposants donne (x + 1) - x = 1 : tout le x disparaît.

]]> 1 + 1/eˣ

]]> Erreur : eˣ⁺¹ n'est pas eˣ + e : l'exposant
somme se factorise (eˣ × e), il ne se
développe pas en somme.

]]> e

]]> Bonne réponse : e^{(x+1) - x} = e^1 = e : le quotient
soustrait les exposants, et le x s'efface : résultat
constant.

]]> x + 1 - x = 1

]]> Presque : 1 est le bon exposant : le quotient vaut
e^1 = e \approx 2{,}72, pas 1.

]]> Fonction exponentielle — Q21 : Décroissance exponentielle modélisée La température d'un café suit f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}
(t en minutes). Que valent la température initiale et la
température de long terme ?

]]> Lecture d'un modèle A + Be⁻ᵏᵗ : valeur initiale A + B, valeur limite A (l'exponentielle s'évanouit), vitesse
réglée par k. Trois questions, trois lectures immédiates :
aucun calcul lourd.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80 degrés au départ, 20 degrés à long terme

]]> Bonne réponse : f(0) = 20 + 60 = 80 ; quand t → +∞, e^{-0{,}1t} \to 0 : reste 20 degrés : la
température de la pièce.

]]> 60 degrés au départ, 0 degré à long terme

]]> Deux oublis : le +20 compte dès le départ (f(0) = 80), et à long terme il reste : le café finit à
température ambiante, pas à zéro.

]]> 80 degrés au départ, 0 degré à long terme

]]> Asymptote fausse : le terme constant 20 ne s'éteint
pas : seule la partie exponentielle fond : limite 20.

]]> 20 degrés au départ, 80 degrés à long terme

]]> Inversé : l'exponentielle décroît (e^{-0{,}1t}) :
le café refroidit de 80 vers 20, il ne chauffe pas.

]]> Fonction exponentielle — Q22 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Pourquoi a-t-on eˣ ≥ 1 + x pour tout réel x ?

]]> On étudie g(x) = eˣ - 1 - x : g'(x) = eˣ - 1 s'annule en 0 en passant du négatif au
positif, donc g admet en 0 un minimum égal à 0. Graphiquement, la courbe de
l'exponentielle est au-dessus de la droite d'équation y = 1 + x, sa tangente en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que eˣ est toujours strictement positif

]]> Insuffisant : 1 + x est aussi strictement positif dès
que x > -1. La positivité ne compare pas les deux
membres : il faut étudier le signe de leur différence.

]]> Parce que g(x) = eˣ - 1 - x a pour minimum 0

]]> Bonne réponse : g'(x) = eˣ - 1 est négative sur ]-∞\ ;\ 0] et positive sur
[0\ ;\ +∞[, donc g admet en 0 un minimum égal à g(0) = 0. Ainsi g(x) ≥ 0,
c'est-à-dire eˣ ≥ 1 + x, pour tout réel x.

]]> Parce que la base e est plus grande que 2

]]> Hors sujet : la valeur de e (e \approx 2{,}718)
n'explique pas une inégalité valable pour tout x :
il faut étudier les variations de la différence des deux membres.

]]> En fait, l'inégalité est fausse dès que x devient négatif

]]> Erreur : testez x = -2 : e^{-2} \approx 0{,}14 \geq
-1 : vrai. L'inégalité tient sur tout ℝ
(égalité en x = 0 seulement).

]]> Fonction exponentielle — Q23 : Résoudre $e^{2x} = e^{x}$ Quelles sont les solutions de e²ˣ = eˣ ?

]]> Deux voies sûres : la stricte croissance (e^a = e^b \iff a = b) ou
la factorisation par eˣ, qui n'est jamais nul. La factorisation
généralise mieux : e²ˣ - 3eˣ = 0, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : les exposants sont différents

]]> Erreur : les exposants 2x et x coïncident en x = 0 : c'est exactement là que l'équation se résout.

]]> x = 0 ou x = 1

]]> Contrôle : x = 1 : e² ≠ e. L'équation 2x = x
n'a qu'une solution : 0.

]]> x = 0 seulement

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement croissante, 2x = x \iff x = 0.
(Ou en factorisant : eˣ(eˣ - 1) = 0, et eˣ ≠ 0 : reste eˣ = 1.)

]]> Tout réel x

]]> Erreur : x = 1 échoue déjà (e^2 \approx 7{,}4
contre e \approx 2{,}7) : l'égalité est
exceptionnelle, pas générale.

]]> Fonction exponentielle — Q24 : Signe de $e^x - 1$ Quel est le signe de eˣ - 1 selon les valeurs de x ?

]]> Signe de eˣ - 1 = signe de x (et plus généralement,
signe de eᵘ - 1 = signe de u) : brique récurrente
des tableaux de signes dès que l'exponentielle s'invite dans
une dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de x

]]> Bonne réponse : négatif pour x < 0, nul en 0,
positif pour x > 0. En effet e^x - 1 > 0 \iff e^x >
e^0 \iff x > 0 (croissance stricte).

]]> Toujours positif

]]> Le -1 change la donne : e^{-1} - 1 \approx -0{,}63 <
0. C'est eˣ qui est toujours positif, pas eˣ - 1.

]]> Le signe opposé à celui de x

]]> Inversé : l'exponentielle croît : elle est sous 1
avant 0, au-dessus après.

]]> Toujours négatif

]]> Erreur : e^1 - 1 \approx 1{,}72 > 0 : le signe bascule
en x = 0.

]]> Fonction exponentielle — Q25 : Comparer $e^{-t}$ et $e^{-2t}$ Pour tout réel t > 0, quelle relation lie e⁻ᵗ et e⁻²ᵗ ?

]]> Comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants : pour t > 0,
-2t < -t, donc e⁻²ᵗ < e⁻ᵗ. La courbe de t ↦ e⁻²ᵗ est au-dessous de celle
de t ↦ e⁻ᵗ sur ]0\ ;\ +∞[ : la décroissance est plus rapide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁻²ᵗ > e⁻ᵗ

]]> Erreur : le facteur 2 rend l'exposant plus négatif, pas plus grand. Pour t = 1,
e^{-2} \approx 0{,}135 alors que e^{-1} \approx 0{,}368.

]]> e^{-2t} = \dfrac{e^{-t}}{2}

]]> Erreur : e⁻²ᵗ = e⁻ᵗ × e⁻ᵗ, le 2 de l'exposant ne divise pas. Pour t = 1,
e^{-2} \approx 0{,}135 alors que \frac{e^{-1}}{2} \approx 0{,}184.

]]> e⁻²ᵗ < e⁻ᵗ

]]> Bonne réponse : pour t > 0, -2t < -t, et l'exponentielle est strictement
croissante, donc e⁻²ᵗ < e⁻ᵗ.

]]> Cela dépend de la valeur de t

]]> Erreur : pour tout t > 0, on a -2t < -t, et l'exponentielle est strictement
croissante : l'inégalité garde toujours le même sens.

]]> Fonction exponentielle — Q26 : Une équation à changement de variable Combien l'équation e²ˣ - 3eˣ + 2 = 0 a-t-elle de solutions
réelles ?

]]> Le changement de variable X = eˣ ramène l'équation à un trinôme. Seules
les racines strictement positives donnent une solution, l'exponentielle ne
prenant jamais de valeur négative ou nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Le discriminant du trinôme en X vaut 1, donc il possède deux
racines.

]]> Une seule

]]> Les deux valeurs de X étant positives, chacune fournit bien une
solution en x.

]]> Deux

]]> Bonne réponse : en posant X = eˣ, on trouve X = 1 et X = 2,
toutes deux strictement positives.

]]> Quatre

]]> Chaque valeur positive de X donne une seule solution en x, contrairement
au cas d'un changement de variable en x².

]]> Fonction exponentielle — Q27 : Dérivée d'un quotient avec exponentielle Quelle est la dérivée de f(x) = eˣ/x sur
]0 ; +∞[ ?

]]> Avec u(x) = eˣ et v(x) = x, la formule u'v - uv'/v² donne
directement le résultat, que l'on factorise ensuite par eˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc eˣ/x²

]]> Numérateur incomplet : il reste le terme provenant de la dérivée du
dénominateur.

]]> eˣ/1

]]> Dérivation terme à terme : un quotient ne se dérive pas en dérivant
séparément le haut et le bas.

]]> eˣ(1 - x)/x²

]]> Ordre des termes inversé : la formule retranche uv' à u'v, dans cet
ordre.

]]> eˣ(x - 1)/x²

]]> Bonne réponse : le numérateur donne eˣ × x - eˣ × 1, que
l'on factorise par eˣ.

]]> Fonction exponentielle — Q28 : Une demi-vie exponentielle Une quantité suit Q(t) = Q_0 e^{-0{,}05t}, avec t en années.
Que décrit le signe du coefficient -0{,}05 ?

]]> La fonction t ↦ eᵏᵗ croît si k est positif et décroît s'il est
négatif. Sa dérivée vaut k eᵏᵗ, du signe de k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une décroissance de la quantité

]]> Bonne réponse : un exposant négatif rend la fonction décroissante, la
quantité diminue avec le temps.

]]> Une quantité négative

]]> L'exponentielle reste strictement positive, donc Q(t) garde le signe
de Q₀.

]]> Une quantité qui s'annule après 20 ans

]]> La quantité tend vers 0 sans jamais l'atteindre : après 20 ans, il
en reste environ 37 %.

]]> Une croissance de la quantité

]]> La croissance demanderait un coefficient positif : ici Q(10) vaut
environ 0{,}61 Q_0.

]]> Fonction exponentielle — Q29 : Résoudre $e^{x} < e^{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation eˣ < e² ?

]]> La stricte croissance de l'exponentielle permet de passer de
eᵃ < eᵇ à a < b, et réciproquement, sans changer le sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ℝ

]]> L'inégalité est fausse dès que x dépasse 2, par exemple pour
x = 10.

]]> ]2 ; +∞[

]]> Sens inversé : pour x = 3, on aurait e³ > e², l'inéquation
n'est pas vérifiée.

]]> ]0 ; 2[

]]> Borne inférieure inventée : pour x = -5, l'inéquation est encore
vérifiée.

]]> ]-∞ ; 2[

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement croissante, elle
conserve donc le sens de l'inégalité.

]]> Fonction exponentielle — Q30 : Une tangente qui passe par l'origine Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de x ↦ eˣ
au point d'abscisse 1 ?

]]> La tangente au point d'abscisse a a pour équation
y = f'(a)(x-a) + f(a). Pour l'exponentielle, f' et f coïncident, ce
qui simplifie le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = ex + e

]]> Constante mal calculée : le développement de e(x-1) + e élimine le
terme constant.

]]> y = eˣ

]]> Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir
d'exponentielle.

]]> y = x + e

]]> Coefficient directeur faux : la dérivée en 1 vaut e, pas 1.

]]> y = ex

]]> Bonne réponse : f'(1) = e et f(1) = e, donc
y = e(x - 1) + e = ex.

]]> Fonction exponentielle — Q31 : Un produit divisé par une exponentielle Que vaut \dfrac{e^{3} \times e^{4}}{e^{2}} ?

]]> Les deux règles à mobiliser sont e^{x} \times e^{y} = e^{x + y} et
\dfrac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y}. Une expression de ce type se ramène
donc toujours à une seule exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e⁹

]]> Signe du quotient oublié : l'exposant du dénominateur se retranche,
il ne s'ajoute pas. Le calcul donne 5.

]]> e⁵

]]> Bonne réponse : le produit ajoute les exposants et le quotient
retranche celui du dénominateur, soit 3 + 4 - 2 = 5.

]]> e¹⁰

]]> Un produit d'exponentielles ajoute les exposants, il ne les
multiplie pas : e^{3} \times e^{4} = e^{3 + 4}.

]]> e⁷

]]> Dénominateur négligé : il reste à retrancher 2, ce qui conduit à
l'exposant 5.

]]> Fonction exponentielle — Q32 : Quand l'exponentielle vaut 1 Pour quelle valeur de x a-t-on eˣ = 1 ?

]]> La valeur e⁰ = 1 fait partie de la définition de l'exponentielle.
Comme cette fonction est strictement croissante, elle ne prend jamais
deux fois la même valeur : 0 est donc la seule solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0

]]> Bonne réponse : e⁰ = 1, et l'exponentielle étant strictement
croissante, aucune autre valeur ne convient.

]]> Aucune valeur ne convient

]]> Si : la courbe coupe la droite d'équation y = 1, précisément au
point d'abscisse 0.

]]> x = e

]]> L'inconnue est l'exposant, pas la base : eᵉ dépasse 15, il
n'est pas égal à 1.

]]> x = 1

]]> Confusion entre l'exposant et le résultat : e¹ = e, un nombre
voisin de 2{,}718, et non 1.

]]> Fonction exponentielle — Q33 : Quotient de deux exponentielles en $x$ Pour tout réel x, que vaut \dfrac{e^{6x}}{e^{2x}} ?

]]> La règle \dfrac{e^{u}}{e^{v}} = e^{u - v} s'applique aux exposants
complets, variable comprise. On factorise ensuite par x pour présenter
le résultat sous la forme eᵏˣ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e³ˣ

]]> Les exposants ne se divisent pas entre eux : ils se soustraient, ce
qui donne 4x.

]]> e⁶ˣ - e²ˣ

]]> Un quotient d'exponentielles n'est pas une différence : ce sont les
exposants qui se soustraient, ce qui donne e⁴ˣ.

]]> e⁴ˣ

]]> Bonne réponse : diviser retranche les exposants, et
6x - 2x = 4x.

]]> e⁸ˣ

]]> Opération inversée : c'est le produit qui ajoute les exposants, le
quotient les retranche.

]]> Fonction exponentielle — Q34 : La valeur du nombre $e$ Le nombre e est l'image de 1 par la fonction exponentielle. Quelle
est sa valeur approchée ?

]]> Par définition, e = exp(1). Retenir e \approx 2{,}718 permet
d'estimer rapidement une image : e² vaut environ 7{,}4, e³
environ 20.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}414

]]> Cette valeur est celle de √2. Le nombre e est plus grand
que 2, puisque e¹ dépasse e⁰ = 1 largement.

]]> 2{,}178

]]> Chiffres permutés : la valeur approchée usuelle s'écrit 2{,}718,
et non 2{,}178.

]]> 3{,}1416

]]> Cette valeur est celle de π, sans rapport avec l'exponentielle,
dont la valeur en 1 est voisine de 2{,}718.

]]> 2{,}718

]]> Bonne réponse : e \approx 2{,}718, un nombre compris entre 2 et
3, ce qui permet de contrôler un ordre de grandeur.

]]> Fonction exponentielle — Q35 : Une équation entre deux exponentielles Quelle est la solution de l'équation e^{2x - 4} = e^{6} ?

]]> L'exponentielle est strictement croissante : eᵘ = eᵛ équivaut à
u = v. L'équation se ramène donc à une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Le terme constant de l'exposant a été négligé : il intervient avant
la division, et la solution vaut 5.

]]> x = 5

]]> Bonne réponse : l'exponentielle ne prend jamais deux fois la même
valeur, donc 2x - 4 = 6, d'où x = 5.

]]> x = 1

]]> Erreur de signe : le terme -4 passe de l'autre côté en changeant
de signe, ce qui donne x = 5.

]]> x = 10

]]> Division oubliée : après avoir isolé 2x, il reste à diviser par
2 pour obtenir 5.

]]> Fonction exponentielle — Q36 : Dérivée d'un produit avec l'exponentielle Quelle est la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = (2x + 3) eˣ ?

]]> Pour un produit de la forme u(x) eˣ, la dérivée vaut
(u'(x) + u(x)) eˣ, car eˣ est sa propre dérivée. On factorise
systématiquement par eˣ pour étudier ensuite le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 eˣ + 2x + 3

]]> La dérivée de eˣ a été remplacée par 1 dans le terme uv' :
l'exponentielle est sa propre dérivée, et elle reste en facteur.

]]> (2x + 1) eˣ

]]> Le terme ajouté est u' = 2, et il s'ajoute à 3 : la
parenthèse se termine par + 5.

]]> (2x + 3) eˣ

]]> Seul le facteur eˣ a été dérivé : le terme u'v, égal à
2eˣ, manque dans le résultat.

]]> (2x + 5) eˣ

]]> Bonne réponse : (uv)' = u'v + uv' = 2eˣ + (2x + 3)eˣ,
soit (2x + 5)eˣ après factorisation.

]]> Fonction exponentielle — Q37 : Ce qui règle les variations de $e^{kx}$ Soit k un réel non nul et f définie sur ℝ par
f(x) = eᵏˣ. Qu'est-ce qui détermine le sens de variation de f ?

]]> La dérivée de x ↦ eᵏˣ est k eᵏˣ. Comme une exponentielle
est toujours strictement positive, le signe de k commande à lui seul le
sens de variation, et sa valeur absolue la rapidité de l'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de k : croissante si k > 0, décroissante sinon

]]> Bonne réponse : f'(x) = k eᵏˣ et eᵏˣ > 0, donc la dérivée
a exactement le signe de k.

]]> Rien : la fonction f est croissante quel que soit k

]]> Avec k négatif, l'exposant diminue quand x augmente : la
fonction décroît, comme x ↦ e⁻ˣ.

]]> La valeur de k : croissante si k > 1, décroissante si k < 1

]]> Le seuil est 0, pas 1 : pour k = 0{,}5, la fonction croît
encore, simplement plus lentement.

]]> Le signe de x : croissante après 0, décroissante avant

]]> La dérivée k eᵏˣ garde le même signe sur ℝ : il n'y
a aucun changement de sens en 0.

]]> Fonction exponentielle — Q38 : De la courbe de $e^{x}$ à celle de $e^{-x}$ Comment obtient-on la courbe de la fonction x ↦ e⁻ˣ à partir
de celle de l'exponentielle ?

]]> Remplacer x par -x revient à appliquer la symétrie d'axe (Oy).
C'est cette lecture qui donne l'allure de e⁻ˣ : une courbe
décroissante, toujours au-dessus de l'axe des abscisses, passant par le
point de coordonnées (0 ; 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par une translation vers la gauche, sans déformation

]]> Une translation conserverait le sens de variation, alors que
e⁻ˣ décroît quand eˣ croît.

]]> Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Cette symétrie donnerait -eˣ, une fonction négative. Or
e⁻ˣ reste strictement positive.

]]> Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : le point d'abscisse x de la première courbe a la
même ordonnée que le point d'abscisse -x de la seconde.

]]> Par symétrie par rapport à l'origine du repère

]]> Elle changerait aussi le signe des ordonnées, ce qui ne convient pas
à une fonction à valeurs strictement positives.

]]> Fonction exponentielle — Q39 : Un produit nul avec une exponentielle Quelles sont les solutions de l'équation (2x - 6) eˣ = 0 ?

]]> Comme eˣ > 0 pour tout réel x, un produit de la forme
u(x) eˣ s'annule exactement là où u s'annule, et il a partout le
signe de u.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -3 uniquement

]]> Erreur de signe : résoudre 2x - 6 = 0 donne x = 3, et
non -3.

]]> L'équation n'a aucune solution

]]> Le premier facteur, lui, peut s'annuler : il suffit de résoudre
2x - 6 = 0 pour trouver 3.

]]> x = 3 et x = 0

]]> La valeur 0 annulerait eˣ, ce qui est impossible :
e⁰ = 1, et l'exponentielle est strictement positive.

]]> x = 3 uniquement

]]> Bonne réponse : un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est, et
eˣ ne s'annule jamais, donc 2x - 6 = 0.

]]> Fonction exponentielle — Q40 : Encadrer $e^{x}$ sur un intervalle Pour tout x de l'intervalle [0 ; 2], entre quelles valeurs le
nombre eˣ est-il compris ?

]]> Une fonction strictement croissante transforme un encadrement des
antécédents en un encadrement des images, dans le même ordre. Ici
l'écart entre les bornes des antécédents vaut 2, mais celui des
images est bien plus grand, car la croissance s'accélère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc e² ≤ eˣ ≤ e⁰

]]> Encadrement renversé : e² est bien plus grand que
e⁰ = 1, il ne peut donc pas servir de minorant.

]]> 0 ≤ eˣ ≤ e²

]]> Minoration trop faible : l'image de la borne 0 vaut 1, et
l'exponentielle ne descend jamais jusqu'à 0.

]]> 1 ≤ eˣ ≤ e²

]]> Bonne réponse : la croissance de l'exponentielle transmet
l'encadrement 0 ≤ x ≤ 2 aux images, et e⁰ = 1.

]]> 0 ≤ eˣ ≤ 2

]]> Le majorant est l'image de 2, c'est-à-dire e², et non
2 lui-même.

]]> Fonction exponentielle — Q41 : La raison d'une suite exponentielle On pose uₙ = e³ⁿ pour tout entier naturel n. Cette suite est
géométrique : quelle est sa raison ?

]]> Toute suite de la forme uₙ = eᵏⁿ est géométrique de raison eᵏ
et de premier terme u₀ = 1. Deux pas multiplient donc par
e⁶ : c'est le pont entre modèle discret et modèle continu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> L'exposant n'est pas la raison : le facteur multiplicatif est
l'exponentielle de cet exposant, soit e³.

]]> e³

]]> Bonne réponse : uₙ₊₁ = e³ⁿ × e³, donc on passe
d'un terme au suivant en multipliant par e³.

]]> 3e

]]> Le coefficient 3 se place en exposant, il ne multiplie pas e :
la raison est e³.

]]> e³ⁿ

]]> C'est le terme de rang n lui-même : la raison est le facteur
constant par lequel on multiplie pour passer au terme suivant.

]]> Fonction exponentielle — Q42 : Signe d'un produit avec l'exponentielle Quel est le signe de x eˣ suivant les valeurs de x ?

]]> Une exponentielle est strictement positive : dans un produit, elle ne
change jamais le signe. Le signe de x eˣ se lit donc directement
sur x, négatif avant 0 et positif après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Celui de x

]]> Bonne réponse : eˣ est strictement positif, donc il ne modifie
pas le signe du facteur x.

]]> Négatif pour tout réel x

]]> Pour x positif, les deux facteurs sont positifs, donc le produit
l'est aussi.

]]> Il change de signe en x = 1

]]> Le seul facteur qui change de signe est x, et il s'annule en 0,
pas en 1.

]]> Positif pour tout réel x

]]> Pour x négatif, le produit d'un nombre négatif par un nombre
positif est négatif : par exemple -2 e⁻² < 0.

]]> Fonction exponentielle — Q43 : Une simplification qui donne 1 Pour tout réel x, que vaut
(e⁻ˣ)³ × e³ˣ ?

]]> On utilise (eᵘ)ⁿ = eⁿᵘ, puis l'addition des
exposants. Deux exposants opposés se compensent et laissent e⁰ = 1 :
l'expression ne dépend finalement pas de x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : (e⁻ˣ)³ = e⁻³ˣ, et le
produit par e³ˣ donne e⁰, c'est-à-dire 1.

]]> e³ˣ

]]> Le premier facteur a été négligé : il apporte l'exposant -3x,
qui annule exactement le second.

]]> e⁻³ˣ

]]> Seul le premier facteur a été simplifié : il reste à lui ajouter
l'exposant 3x du second.

]]> e⁶ˣ

]]> Signe de l'exposant oublié : la puissance porte sur e⁻ˣ, ce qui
donne e⁻³ˣ, pas e³ˣ.

]]> Fonction exponentielle — Q44 : Une équation d'exposants du second degré Quelles sont les solutions de l'équation e^{x^2} = e^{3x - 2} ?

]]> L'égalité eᵘ = eᵛ équivaut à u = v, car l'exponentielle est
strictement croissante. On se ramène ainsi à une équation du second
degré, résolue par les méthodes habituelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1 uniquement

]]> Une seconde solution a été perdue : l'équation du second degré
obtenue admet deux racines, 1 et 2.

]]> x = 1 et x = 2

]]> Bonne réponse : l'équation équivaut à
x² - 3x + 2 = 0, dont les solutions sont 1 et
2.

]]> x = 3 uniquement

]]> Le coefficient de x a été pris pour une solution. Il faut résoudre
l'équation du second degré, qui donne 1 et 2.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Deux exponentielles sont égales lorsque leurs exposants le sont, et
cette égalité d'exposants a bien des solutions.

]]> Fonction exponentielle — Q45 : Une inéquation entre deux exponentielles Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
e^{3x} \geq e^{x + 6} ?

]]> Comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants, dans le
même ordre puisque la fonction est strictement croissante. L'inéquation
se ramène alors au premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [3 ; +∞[

]]> Bonne réponse : la croissance de l'exponentielle donne
3x ≥ x + 6, soit 2x ≥ 6 et x ≥ 3.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Sens renversé : l'exponentielle étant croissante, l'inégalité des
exposants garde le sens de celle des images.

]]> [2 ; +∞[

]]> Mauvais diviseur : après avoir retranché x aux deux membres, il
reste 2x, et non 3x.

]]> [6 ; +∞[

]]> Division oubliée : de 2x ≥ 6 on tire x ≥ 3, la
moitié de 6.

]]> Fonction exponentielle — Q46 : Approcher le nombre e par une suite On calcule quelques termes de la suite définie pour n ≥ 1 par
uₙ = (1 + 1/n)ⁿ : u₁ = 2,
u_{10} \approx 2{,}594, u_{100} \approx 2{,}705 et
u_{1000} \approx 2{,}717. Vers quel nombre la suite semble-t-elle
converger ?

]]> La suite (1 + 1/n)ⁿ converge vers e = exp(1) ;
on l'observe en calculant ses termes, par exemple avec une boucle en
Python.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers e \approx 2{,}718

]]> Bonne réponse : les termes se rapprochent de e, dont c'est une
méthode classique d'approximation.

]]> Vers 3, valeur arrondie des derniers termes

]]> Erreur : les termes restent nettement en dessous de 3 et
semblent se stabiliser vers 2{,}718.

]]> Vers 1, car 1 + 1/n tend vers 1

]]> Erreur : l'exposant n grandit en même temps ; les valeurs
calculées s'éloignent d'ailleurs de 1.

]]> Vers +∞, car l'exposant tend vers +∞

]]> Erreur : les termes augmentent de moins en moins et restent
sous 2{,}72.

]]>