$course$/QCM de maths/Première spécialité/Géométrie repéréeDans un repère orthonormé : vecteur normal à une droite (le
vecteur (a ; b) est normal à la droite ax + by + c = 0),
équation d'une droite par point et vecteur normal, projeté
orthogonal d'un point sur une droite, équations de cercles
(centre, rayon, reconnaissance).]]>Géométrie repérée — Q01 : Lire un vecteur normalQuel vecteur est normal à la droite d'équation
3x - 2y + 5 = 0 ?]]>Théorème : la droite ax + by + c = 0 admet
n⃗(a ; b) pour vecteur normal (et (-b ; a) pour
directeur). Contrôle : n⃗ · u⃗ = -ab + ab = 0.]]>1.00.00truetrueabcn⃗(3 ; -2)]]>Bonne réponse : le vecteur (a ; b) des coefficients
est normal à la droite ax + by + c = 0 (résultat au
programme).]]>n⃗(3 ; 5)]]>Erreur : 5 est le terme constant c, qui positionne la
droite mais n'entre pas dans le vecteur normal
(a ; b).]]>n⃗(-2 ; 3)]]>Erreur : (-2 ; 3) est colinéaire au vecteur directeur
(2 ; -3)… vérifie : n⃗ · u⃗ doit être
non nul ici. Le normal se lit directement :
(3 ; -2).]]>n⃗(2 ; 3)]]>Erreur : (2 ; 3) = (-b ; a) est un vecteur directeur de la droite (il lui est parallèle), pas
normal.]]>Géométrie repérée — Q02 : Normal ou directeur ?Toujours pour la droite 3x - 2y + 5 = 0, quel vecteur en
est un vecteur directeur ?]]>Pour ax + by + c = 0 : normal (a ; b), directeur
(-b ; a) : les deux se contrôlent mutuellement par un
produit scalaire nul.]]>1.00.00truetrueabcu⃗(3 ; -2)]]>Erreur : (3 ; -2) est le vecteur normal
(perpendiculaire à la droite), pas directeur.]]>u⃗(3 ; 2)]]>Erreur : ni normal ni directeur : teste
u⃗ · n⃗ = 9 - 4 = 5 ≠ 0 : pas
orthogonal au normal.]]>u⃗(2 ; 3)]]>Bonne réponse : u⃗(-b ; a) = (2 ; 3), et l'on
vérifie u⃗ · n⃗ = 2 × 3 + 3 × (-2) = 0 : directeur bien orthogonal au normal.]]>u⃗(5 ; 0)]]>Erreur : le terme constant 5 ne fabrique aucun vecteur
de la droite. Directeur : (-b ; a) = (2 ; 3).]]>Géométrie repérée — Q03 : Droite par point et vecteur normalQuelle est une équation de la droite passant par
A(1 ; 2) et de vecteur normal n⃗(3 ; 1) ?]]>Méthode (capacité attendue) : le normal donne les
coefficients (ax + by + c = 0 avec (a ; b) = n⃗),
le point donne c. Autre voie :
AM⃗ · n⃗ = 0 développé.]]>1.00.00truetrueabcx + 3y - 7 = 0]]>Coefficients échangés : le vecteur normal impose
(a ; b) = (3 ; 1), donc 3x + 1y + c = 0.]]>3x + y = 0]]>Erreur : cette droite passe par l'origine, pas par A
(3 + 2 = 5 ≠ 0). Il manque la constante c = -5.]]>3x + y + 5 = 0]]>Erreur de signe sur c : en substituant A :
3(1) + 2 + c = 0 ⇒ c = -5. Toujours vérifier
avec le point.]]>3x + y - 5 = 0]]>Bonne réponse : l'équation a la forme 3x + y + c = 0 ;
le passage par A donne 3 + 2 + c = 0, soit c = -5.]]>Géométrie repérée — Q04 : Équation d'un cercleQuelle est l'équation du cercle de centre Ω(2 ; 1)
et de rayon 3 ?]]>Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r :
(x - a)² + (y - b)² = r². Deux pièges : signes du centre
et carré du rayon.]]>1.00.00truetrueabcx² + y² = 9]]>Erreur : ce cercle est centré à l'origine. Le centre
(2 ; 1) doit décaler les deux carrés.]]>(x - 2)² + (y - 1)² = 9]]>Bonne réponse : M(x ; y) est sur le cercle si
Ω M = 3, soit Ω M² = 9 : les coordonnées
du centre en soustraction, le carré du rayon à
droite.]]>(x + 2)² + (y + 1)² = 9]]>Erreur de signes : le centre (2 ; 1) apparaît en soustraction : (x - 2) et (y - 1). (Tel quel, ce
cercle serait centré en (-2 ; -1).)]]>(x - 2)² + (y - 1)² = 3]]>Le piège du rayon : le membre de droite est r² = 9,
pas r = 3 (l'équation traduit Ω M² = r²).]]>Géométrie repérée — Q05 : Lire un cercle sur la figure[Figure : Repère orthonormé avec un cercle bleu de centre Omega(2 ; 1),
marqué d'un point, et de rayon 2 matérialisé par un segment
pointillé horizontal du centre au point (4 ; 1). Le cercle
passe par (0 ; 1), (4 ; 1), (2 ; 3) et (2 ; -1).]
Quelle est l'équation du cercle \mathcal{C} représenté
ci-dessous ?
]]>Lecture : centre aux coordonnées du point marqué, rayon par
un point du cercle bien placé. Équation :
(x - 2)² + (y - 1)² = 2² = 4.]]>1.00.00truetrueabc(x - 2)² + (y - 1)² = 4]]>Bonne réponse : centre Ω(2 ; 1) (lu sur la
figure) et rayon 2 (le cercle passe par (4 ; 1)) :
membre de droite r² = 4.]]>(x + 2)² + (y + 1)² = 4]]>Erreur de signes : centre (2 ; 1) donne (x - 2) et
(y - 1). Les signes + correspondraient au centre
(-2 ; -1), hors de la figure.]]>(x - 2)² + (y - 1)² = 2]]>Piège du rayon : la figure montre r = 2, donc le membre
de droite vaut r² = 4.]]>(x - 1)² + (y - 2)² = 4]]>Coordonnées du centre échangées : Ω est en
(2 ; 1) (abscisse 2, ordonnée 1).]]>Géométrie repérée — Q06 : Reconnaître un cercleL'équation x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 est celle d'un
cercle. Quels sont son centre et son rayon ?]]>Méthode de complétion du carré : x² - 4x + y² + 2y = 4 ⇒ (x-2)² + (y+1)² = 4 + 4 + 1 = 9. Centre
(2 ; -1), rayon 3. Vérifier que le membre de droite est
strictement positif (sinon, pas un cercle).]]>1.00.00truetrueabcCentre (4 ; -2), rayon 2]]>Erreur : les coefficients -4 et +2 se divisent par
deux dans la complétion du carré : centre
(2 ; -1).]]>Centre (-2 ; 1), rayon 3]]>Signes inversés : (x - 2)² correspond au centre
d'abscisse +2, et (y + 1)² = (y - (-1))² à
l'ordonnée -1.]]>Centre (2 ; -1), rayon 9]]>Piège final : 9 est r². Le rayon vaut √9 = 3.]]>Centre (2 ; -1), rayon 3]]>Bonne réponse : x² - 4x = (x-2)² - 4 et y² + 2y = (y+1)² - 1 : l'équation devient (x-2)² + (y+1)² = 9 : centre (2 ; -1), rayon √9 = 3.]]>Géométrie repérée — Q07 : Un point sur le cercle ?Le point A(5 ; 1) appartient-il au cercle d'équation
(x - 2)² + (y - 1)² = 9 ?]]>Appartenance à une courbe d'équation donnée : substituer les
coordonnées. (5-2)² + (1-1)² = 9 : oui. (Géométriquement :
Ω A = 3 = r.)]]>1.00.00truetrueabcNon, car (5-2)² = 9 ≠ 0]]>Erreur de lecture de l'équation : la somme des deux
carrés doit valoir 9, ce qui est le cas
(9 + 0).]]>Non, car 5 > 3]]>Erreur : on ne compare pas une coordonnée au rayon ; on
teste l'équation avec les deux coordonnées.]]>Oui, car (5-2)² + (1-1)² = 9]]>Bonne réponse : les coordonnées vérifient l'équation
(9 + 0 = 9) : A est sur le cercle, à distance 3 du
centre (2 ; 1).]]>On ne peut pas savoir sans tracer le cercle]]>Erreur : la substitution des coordonnées dans l'équation
répond exactement et sans figure.]]>Géométrie repérée — Q08 : Projeté orthogonal sur une droite horizontaleQuel est le projeté orthogonal du point M(2 ; 3) sur la
droite d d'équation y = 1, et qu'en déduit-on pour la
distance de M à d ?]]>Le projeté orthogonal H est le pied de la perpendiculaire
issue de M ; MH est la distance de M à la droite
(le plus court chemin). Sur y = 1 : H(2 ; 1),
MH = 2.]]>1.00.00truetrueabcH(2 ; 0)]]>Erreur : tu as projeté sur l'axe des abscisses (y = 0)
au lieu de la droite y = 1.]]>H(0 ; 1), et la distance vaut 2]]>Erreur : (0 ; 1) est un point de d, mais pas le
pied de la perpendiculaire issue de M : la projection
conserve l'abscisse quand la droite est horizontale.]]>H(2 ; 1), et la distance vaut 3]]>Bon projeté, mauvaise distance : MH = |3 - 1| = 2
(3 serait la distance à l'axe des abscisses y = 0).]]>H(2 ; 1), et la distance vaut MH = 2]]>Bonne réponse : la droite est horizontale, la
perpendiculaire issue de M est verticale : même
abscisse, ordonnée 1. Distance = |3 - 1| = 2.]]>Géométrie repérée — Q09 : Projeté orthogonal sur une droite obliqueQuel est le projeté orthogonal du point M(3 ; 1) sur la
droite d d'équation y = x ?]]>Méthode : paramétrer le point courant de d
(H(t ; t)), écrire MH⃗ · u⃗ = 0 (u⃗ directeur), résoudre. Ici t = 2 :
H(2 ; 2), et MH = √2 est la distance de M à
d.]]>1.00.00truetrueabcH(1 ; 1)]]>Erreur : MH⃗(-2 ; 0) n'est pas
orthogonal au directeur (1 ; 1) (produit scalaire
-2 ≠ 0). Résous (t-3) + (t-1) = 0.]]>H(3 ; 3)]]>Erreur : (3 ; 3) est sur d mais la projection n'est
pas verticale : MH⃗(0 ; 2) n'est pas
orthogonal à (1 ; 1) (produit scalaire 2 ≠ 0).]]>H(2 ; 2)]]>Bonne réponse : H(t ; t) sur d avec
MH⃗(t-3 ; t-1) orthogonal au
directeur (1 ; 1) : (t-3) + (t-1) = 0, t = 2.]]>H(2{,}5\,;\,2{,}5)]]>Erreur de résolution : 2t - 4 = 0 donne t = 2, pas
2{,}5.]]>Géométrie repérée — Q10 : Droite et cercle sans intersectionUn cercle a pour rayon 3 ; une droite passe à distance 5
de son centre. Combien ont-ils de points communs ?]]>Position relative droite-cercle, par comparaison de la
distance d du centre à la droite avec le rayon r :
d > r : disjoints ; d = r : tangents ; d < r : sécants
en deux points.]]>1.00.00truetrueabcCela dépend de la pente de la droite]]>Erreur : seule compte la distance du centre à la
droite, comparée au rayon : la pente n'apporte rien de
plus.]]>Un seul]]>Erreur : un unique point commun (tangence) exigerait une
distance égale au rayon : d = r = 3.]]>Deux]]>Erreur : deux intersections demandent une droite qui
traverse le disque : d < r. Ici 5 > 3.]]>Aucun]]>Bonne réponse : la droite reste à distance 5 > 3 du
centre : elle ne peut pas atteindre le cercle, dont tous
les points sont à distance exactement 3.]]>Géométrie repérée — Q11 : Droite tangente à un cercleQue signifie « la droite d est tangente au cercle
\mathcal{C} de centre Ω et de rayon r » ?]]>Tangence : distance du centre à la droite = rayon ; le
point de contact est le projeté orthogonal du centre, et le
rayon y est perpendiculaire à la tangente.]]>1.00.00truetrueabcd coupe le cercle en deux points très proches]]>Erreur : deux points, même proches, font une sécante. La
tangente réalise un contact en un seul point.]]>d n'a aucun point commun avec le cercle]]>Erreur : l'évitement correspond à d(Ω ; d) > r
(aucun point commun). La tangente touche le cercle.]]>d touche le cercle en un seul point]]>Bonne réponse : la tangence est le cas limite, avec un
unique point de contact H, et la distance de Ω
à d vaut alors r : H est le projeté orthogonal de
Ω sur d (le rayon [Ω H] est
perpendiculaire à d).]]>d passe par le centre Ω du cercle]]>Erreur : une droite passant par le centre coupe le cercle
en deux points diamétralement opposés.]]>Géométrie repérée — Q12 : Étudier une configuration dans un repèreDans un repère orthonormé, soit le triangle de sommets
A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Quelle est la
nature de ce triangle ?]]>Utiliser un repère pour étudier une configuration (capacité
attendue) : calculer les vecteurs des côtés et tester
l'orthogonalité par le produit scalaire.
AB⃗ · AC⃗ = 0 :
rectangle en A.]]>1.00.00truetrueabcÉquilatéral]]>Erreur : les trois côtés valent 4, 3 et 5 : tous
différents.]]>Rectangle en A]]>Bonne réponse : AB⃗(4 ; 0) et
AC⃗(0 ; 3) ont un produit scalaire
nul : angle droit en A (et BC = 5 : le triangle
3-4-5).]]>Isocèle en A]]>Erreur : AB = 4 ≠ 3 = AC : deux côtés issus de A
de longueurs différentes.]]>Rectangle en B]]>Erreur : teste BA⃗(-4 ; 0) · BC⃗(-4 ; 3) = 16 ≠ 0 : pas d'angle
droit en B. L'angle droit est en A, entre les deux
axes.]]>Géométrie repérée — Q13 : Équation d'une médiatriceOn donne A(1 ; 3) et B(5 ; 1). Quelle est une équation
cartésienne de la médiatrice de [AB] ?]]>La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et admet
AB⃗ pour vecteur normal. Ces deux données suffisent à
écrire son équation cartésienne.]]>1.00.00truetrueabcx + 2y - 7 = 0]]>Vecteur directeur pris pour normal : cette droite est
perpendiculaire à la médiatrice.]]>2x - y - 1 = 0]]>Constante fausse : le milieu (3 ; 2) donne
6 - 2 + c = 0, donc c = -4.]]>2x - y - 4 = 0]]>Bonne réponse : AB⃗(4 ; -2) est normal et le
milieu (3 ; 2) appartient à la droite.]]>2x + y - 8 = 0]]>Signe du vecteur normal : la seconde coordonnée de
AB⃗ vaut -2.]]>Géométrie repérée — Q14 : Droite perpendiculaire par un pointQuelle est l'équation de la droite perpendiculaire à d : 2x + y - 1 = 0 passant par A(1\ ;\ 3) ?]]>Perpendiculaire à d : le vecteur normal de d devient directeur de la nouvelle droite (donc sa normale est
l'ancienne directrice). Puis la constante s'ajuste avec le
point de passage. Contrôle : produit scalaire des deux
normales = 0.]]>1.00.00truetrueabc2x - y + 1 = 0]]>Normale (2\ ;\ -1) : produit scalaire avec (2\ ;\ 1) : 4 - 1 = 3 ≠ 0 : pas perpendiculaire (il faut
(1\ ;\ -2) ou tout colinéaire).]]>x - 2y = 0]]>Direction correcte, point raté : A(1\ ;\ 3) donne 1 - 6 = -5 ≠ 0 : la constante se calcule avec le point.]]>x - 2y + 5 = 0]]>Bonne réponse : la normale de d, (2\ ;\ 1), dirige
la perpendiculaire : donc la perpendiculaire a pour
normale (1\ ;\ -2) : x - 2y + c = 0, et A donne
1 - 6 + c = 0, c = 5.]]>2x + y - 5 = 0]]>Parallèle, pas perpendiculaire : mêmes coefficients (2\ ;\ 1), donc même vecteur normal et même direction : il faut échanger les rôles.]]>Géométrie repérée — Q15 : Centre et rayon en complétant les carrésQuel est le centre et le rayon du cercle d'équation x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0 ?]]>Forme développée → forme canonique : compléter les deux
carrés, basculer les constantes à droite. (x - a)² + (y - b)² = r² : centre (a\ ;\ b), rayon √r²
(vérifier que le membre de droite est positif !).]]>1.00.00truetrueabcCentre (2\ ;\ -1), rayon 9]]>Racine oubliée : 9 est r² : le rayon vaut 3.]]>Centre (2\ ;\ -1), rayon 3]]>Bonne réponse : (x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 - 4 = 0,
soit (x-2)² + (y+1)² = 9 : centre (2\ ;\ -1),
rayon √9 = 3.]]>Centre (-2\ ;\ 1), rayon 3]]>Signes inversés : (x - 2)² correspond au centre
x = +2 (le signe du centre est l'opposé de celui
de l'équation développée).]]>Centre (4\ ;\ -2), rayon 2]]>Division par 2 oubliée : les coordonnées du centre
sont la moitié des coefficients de x et y
(changés de signe) : (2\ ;\ -1).]]>Géométrie repérée — Q16 : Cercle défini par centre et pointQuelle est l'équation du cercle de centre Ω(1\ ;\ 2)
passant par A(4\ ;\ 6) ?]]>Deux données, deux étapes : le rayon est la distance du centre au point
(racine de la somme des carrés), puis équation (x - a)² + (y - b)² = r². Le contrôle : injecter A et vérifier
l'égalité.]]>1.00.00truetrueabc(x - 1)² + (y - 2)² = 5]]>Carré oublié : l'équation utilise r² : la distance
vaut 5, le membre de droite 25.]]>(x - 1)² + (y - 2)² = 25]]>Bonne réponse : le rayon est la distance Ω A = √9 + 16 = 5 : équation avec r² = 25.]]>(x + 1)² + (y + 2)² = 25]]>Signes : centre (1\ ;\ 2) : l'équation soustrait les
coordonnées : (x - 1) et (y - 2).]]>(x - 4)² + (y - 6)² = 25]]>Mauvais centre : A est un point du cercle, pas son
centre : les coordonnées dans les parenthèses sont
celles de Ω.]]>Géométrie repérée — Q17 : Tangente en un point du cercleLe cercle de centre Ω(0\ ;\ 0) passe par A(3\ ;\ 4). Comment obtenir la tangente au cercle en A ?]]>Tangente en A : droite par A de vecteur normal
\overrightarrow{\Omega A} : la construction traduit la
perpendicularité rayon-tangente. La géométrie repérée
combine ici droite (normale imposée) et cercle.]]>1.00.00truetrueabcLa droite (Ω A) elle-même, qui passe par A]]>Contresens : (Ω A) est le rayon : il traverse
le cercle ; la tangente lui est perpendiculaire en A.]]>La droite passant par A de vecteur normal
\overrightarrow{\Omega A}]]>Bonne réponse : la tangente est perpendiculaire au rayon
au point de contact : normale \overrightarrow{\Omega
A}(3\ ;\ 4), et A donne 9 + 16 = 25 : 3x + 4y - 25 = 0.]]>Elle n'existe pas, une tangente exige une fonction
dérivable]]>Erreur : la tangente à un cercle est une notion
géométrique (perpendiculaire au rayon) : aucune dérivée
nécessaire.]]>La droite horizontale passant par A, d'équation y = 4]]>Erreur : l'horizontale n'est tangente qu'aux points
« pôle nord/sud » du cercle : en A(3\ ;\ 4), la
perpendiculaire au rayon est oblique.]]>Géométrie repérée — Q18 : Une équation de cercle… videQue représente l'ensemble des points vérifiant x² + y² + 2x + 5 = 0 ?]]>Après complétion des carrés, trois cas selon le membre de
droite : > 0 : cercle ; = 0 : un point ; < 0 :
ensemble vide. Toujours conclure APRÈS la forme canonique,
jamais sur la seule allure de l'équation.]]>1.00.00truetrueabcUn cercle de rayon 2]]>Erreur de signe : r² = -4 n'a pas de racine réelle :
l'ensemble est vide (avec -4 au lieu de +5 dans
l'équation, on aurait eu un vrai cercle).]]>Un cercle de rayon 4]]>Erreur : le membre de droite est -4, pas 16 : un
rayon au carré négatif n'existe pas.]]>L'ensemble vide]]>Bonne réponse : la forme canonique donne (x + 1)² + y² = -4 ; une somme de carrés ne peut pas être négative :
aucun point ne satisfait l'équation : l'écriture « type
cercle » ne garantit pas un cercle.]]>Le seul point (-1\ ;\ 0)]]>Presque : le point unique correspond à (x+1)^2 + y^2 =
\textbf{0} : ici la constante est -4 < 0 : même le
centre ne convient pas.]]>Géométrie repérée — Q19 : Équation d'un cercle de centre donnéQuelle est l'équation du cercle de centre A(2 ; -3) et de rayon
5 ?]]>L'équation (x - a)² + (y - b)² = r² traduit que la distance de
M(x ; y) au centre (a ; b) vaut r. Attention aux signes lorsque
les coordonnées du centre sont négatives.]]>1.00.00truetrueabc(x - 2)² - (y + 3)² = 25]]>Signe entre les deux carrés : l'équation d'un cercle les additionne,
puisqu'elle traduit une distance.]]>(x - 2)² + (y + 3)² = 25]]>Bonne réponse : les coordonnées du centre se retranchent, et le rayon
apparaît élevé au carré.]]>(x + 2)² + (y - 3)² = 25]]>Signes des coordonnées : le centre de ce cercle serait
(-2 ; 3).]]>(x - 2)² + (y + 3)² = 5]]>Rayon non élevé au carré : ce cercle aurait pour rayon √5.]]>Géométrie repérée — Q20 : Du vecteur normal à l'équationQuelle est l'équation cartésienne de la droite passant par
A(1 ; 2) et de vecteur normal n⃗(3 ; -4) ?]]>Pour une droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b) est
normal et le vecteur (-b ; a) directeur. On détermine c en
remplaçant par les coordonnées d'un point.]]>1.00.00truetrueabc3x - 4y - 5 = 0]]>Signe de la constante : le point A donne 3 - 8 + c = 0, donc
c = 5.]]>3x + 4y - 11 = 0]]>Signe de la seconde coordonnée : le vecteur normal de cette droite
serait (3 ; 4).]]>3x - 4y + 5 = 0]]>Bonne réponse : les coordonnées du vecteur normal donnent a et b,
et le point A fixe c = 5.]]>-4x + 3y - 2 = 0]]>Coordonnées échangées : (-4 ; 3) est un vecteur directeur, pas le
vecteur normal.]]>Géométrie repérée — Q21 : Reconnaître un cercle sous forme développéeQue représente l'ensemble des points vérifiant
x² + y² - 6x + 2y + 6 = 0 ?]]>On regroupe les termes en x et ceux en y, on complète chaque carré,
puis on lit centre et rayon. Un second membre négatif signalerait un
ensemble vide.]]>1.00.00truetrueabcUn cercle de centre (3 ; -1) et de rayon 4]]>Racine oubliée : le second membre vaut 4, donc le rayon est 2.]]>Un cercle de centre (-3 ; 1) et de rayon 2]]>Signes du centre : le coefficient de x valant -6, le centre a pour
abscisse +3.]]>L'ensemble vide]]>Le second membre obtenu est strictement positif, donc le cercle existe
bel et bien.]]>Un cercle de centre (3 ; -1) et de rayon 2]]>Bonne réponse : les carrés complétés donnent
(x-3)² + (y+1)² = 4.]]>Géométrie repérée — Q22 : Deux droites perpendiculairesComment reconnaître que deux droites d'équations cartésiennes sont
perpendiculaires ?]]>Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux, ou
leurs vecteurs directeurs, sont orthogonaux. Le produit scalaire fournit
le test.]]>1.00.00truetrueabcLeurs constantes sont opposées]]>La constante ne fixe que la position de la droite, pas sa direction.]]>Leurs vecteurs normaux sont colinéaires]]>Des normales colinéaires caractérisent au contraire des droites
parallèles.]]>Le produit de leurs coefficients directeurs vaut 1]]>Valeur fausse : la condition de perpendicularité entre droites non
verticales est mm' = -1. Un produit égal à 1 décrit par exemple
y = x et y = x + 3, deux parallèles.]]>Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux]]>Bonne réponse : si les normales sont orthogonales, les droites le sont
aussi, et le test se fait par un produit scalaire.]]>Géométrie repérée — Q23 : Nombre de points communsUne droite est à une distance de 7 du centre d'un cercle de rayon
5. Combien ont-ils de points communs ?]]>On compare la distance du centre à la droite avec le rayon : supérieure,
aucun point ; égale, un point de tangence ; inférieure, deux points.]]>1.00.00truetrueabcAucun]]>Bonne réponse : la distance dépassant le rayon, la droite reste
entièrement à l'extérieur du cercle.]]>Une infinité]]>Une droite et un cercle ne peuvent pas avoir plus de deux points
communs.]]>Deux]]>Deux points communs demanderaient une distance inférieure au rayon.]]>Un seul]]>Un point unique correspondrait à une distance exactement égale au
rayon, cas de la tangente.]]>Géométrie repérée — Q24 : Cercle défini par un diamètreQuel est le centre du cercle de diamètre [AB], avec
A(-1 ; 4) et B(5 ; 2) ?]]>Le centre d'un cercle de diamètre [AB] est le milieu de [AB], et son
rayon vaut la moitié de la longueur AB.]]>1.00.00truetrueabc(6 ; -2)]]>Coordonnées de AB⃗ : ce vecteur donne la direction,
pas la position du centre.]]>(4 ; 6)]]>Division oubliée : les sommes des coordonnées doivent encore être
partagées en deux.]]>(3 ; 2)]]>Calcul mélangé : l'abscisse du milieu vaut 2 et son ordonnée 3.]]>(2 ; 3)]]>Bonne réponse : le centre est le milieu du diamètre, de coordonnées
(-1+5/2 ; 4+2/2).]]>Géométrie repérée — Q25 : Directeur ou normalPour la droite d'équation 2x + 5y - 1 = 0, quel vecteur est
directeur ?]]>Pour ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b) est normal et le vecteur
(-b ; a) est directeur. On vérifie en calculant leur produit scalaire,
qui doit être nul.]]>1.00.00truetrueabc(1 ; -1)]]>Vecteur quelconque : son produit scalaire avec (2 ; 5) vaut -3,
donc il n'est pas parallèle à la droite.]]>(2 ; 5)]]>C'est le vecteur normal : il est orthogonal à la droite, pas parallèle
à elle.]]>(5 ; 2)]]>Signe manquant : le produit scalaire avec (2 ; 5) vaudrait 20 et
non 0.]]>(-5 ; 2)]]>Bonne réponse : le vecteur (-b ; a) est directeur, ici
(-5 ; 2).]]>Géométrie repérée — Q26 : Construire un projeté orthogonalQuelle démarche donne le projeté orthogonal d'un point M sur une
droite d ?]]>Le projeté orthogonal de M sur d est le point de d le plus proche de
M. On l'obtient en écrivant l'équation de la perpendiculaire à d
passant par M, puis en résolvant le système.]]>1.00.00truetrueabcPrendre le symétrique de M par rapport à d]]>Le symétrique se trouve de l'autre côté de d, à la même distance :
le projeté est le milieu de M et de ce symétrique.]]>Prendre le point de d le plus éloigné de M]]>C'est le point le plus proche qui est le projeté ; la distance n'admet
d'ailleurs pas de maximum sur une droite.]]>Couper d par la perpendiculaire issue de M]]>Bonne réponse : le projeté est l'unique point commun à d et à la
perpendiculaire à d passant par M.]]>Prendre le milieu du segment reliant M à d]]>Ce milieu n'appartient pas à d en général, il ne peut donc pas en
être le projeté.]]>Géométrie repérée — Q27 : Vérifier qu'un point est sur un cercleLe point B(6 ; 1) appartient-il au cercle d'équation
(x - 3)² + (y + 3)² = 25 ?]]>Un point appartient au cercle si ses coordonnées vérifient l'équation. Le
calcul revient à comparer sa distance au centre avec le rayon.]]>1.00.00truetrueabcNon, le calcul donne 45]]>Coordonnées non translatées : le calcul semble porter sur
6² + 3², sans retrancher celles du centre.]]>On ne peut pas conclure sans le rayon]]>Le rayon se lit dans l'équation : il vaut √25 = 5.]]>Non, le calcul donne 13]]>Signe de l'ordonnée : remplacer y par 1 donne (1 + 3)² = 16, et
non (1 - 3)² = 4.]]>Oui, le calcul donne 25]]>Bonne réponse : (6-3)² + (1+3)² = 9 + 16 = 25.]]>Géométrie repérée — Q28 : Parallèle passant par un pointQuelle est l'équation de la droite parallèle à 3x - y + 2 = 0 et
passant par A(1 ; 1) ?]]>Deux droites parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires : on garde
donc les mêmes coefficients de x et de y, et seule la constante change.]]>1.00.00truetrueabc-3x + y - 2 = 0]]>Signes tous inversés : cette équation décrit la même droite que
3x - y + 2 = 0, donc pas celle qui passe par A.]]>3x - y + 2 = 0]]>C'est la droite de départ : pour A, le calcul donnerait 4 et non
0.]]>3x - y - 2 = 0]]>Bonne réponse : on conserve les coefficients de x et de y, et le
point A donne 3 - 1 + c = 0.]]>x - 3y + 2 = 0]]>Coefficients échangés : cette droite a une tout autre direction.]]>Géométrie repérée — Q29 : Caractériser la tangente à un cercleQuelle propriété caractérise la tangente à un cercle en l'un de ses
points M ?]]>Le rayon [OM] est un vecteur normal de la tangente en M. L'équation de
la tangente s'écrit donc directement à partir des coordonnées du centre et
de celles de M.]]>1.00.00truetrueabcElle passe par le centre du cercle]]>Une droite passant par le centre coupe le cercle en deux points, ce
n'est donc pas une tangente.]]>Elle est parallèle au rayon en M]]>Une droite parallèle au rayon et passant par M traverserait le
cercle.]]>Elle coupe le cercle en deux points confondus]]>Formulation trompeuse : la tangente a exactement un point commun avec
le cercle, mais c'est la perpendicularité au rayon qui la caractérise.]]>Elle est perpendiculaire au rayon en M]]>Bonne réponse : le rayon joignant le centre à M est normal à la
tangente, ce qui donne immédiatement son équation.]]>Géométrie repérée — Q30 : Distance d'un point à un autreQuelle est la distance entre A(-2 ; 1) et B(4 ; 9) ?]]>Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points vaut
√(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)². C'est le théorème de Pythagore
appliqué aux écarts de coordonnées.]]>1.00.00truetrueabc2√7]]>Différence des carrés : √64 - 36 ne correspond à aucune étape
du calcul de distance.]]>100]]>Racine oubliée : 100 est le carré de la distance.]]>10]]>Bonne réponse : √6² + 8² = √100 = 10.]]>14]]>Écarts additionnés : 6 + 8 ignore la racine carrée de la somme des
carrés.]]>Géométrie repérée — Q31 : Vecteur directeur à partir de deux pointsDans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2) et
B(5 ; 4). Quel vecteur dirige la droite (AB) ?]]>Un vecteur directeur de (AB) est AB⃗, dont les
coordonnées valent (x_B - x_A ; y_B - y_A). Tout vecteur
colinéaire à celui-ci dirige également la droite.]]>1.00.00truetrueabcu⃗(4 ; 2)]]>Bonne réponse : les coordonnées de AB⃗
s'obtiennent par différence, 5 - 1 = 4 et
4 - 2 = 2.]]>u⃗(2 ; 4)]]>Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec
les abscisses des points, ce qui donne 4.]]>u⃗(-4 ; 2)]]>Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :
5 - 1 vaut 4, et non -4.]]>u⃗(6 ; 6)]]>Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit
x_B - x_A et y_B - y_A, donc (4 ; 2).]]>Géométrie repérée — Q32 : Rayon d'un cercle passant par un pointLe cercle de centre Ω(1 ; 2) passe par le point
A(4 ; 6). Quel est son rayon ?]]>Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit
√(x_A - x_Ω)² + (y_A - y_Ω)². On le calcule
avant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré.]]>1.00.00truetrueabc7]]>Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,
elle prend la racine de la somme de leurs carrés.]]>4]]>Une seule direction prise en compte : les deux écarts
interviennent ensemble par le théorème de Pythagore.]]>25]]>Racine oubliée : 25 est le carré du rayon, celui qui
figure au second membre de l'équation du cercle.]]>5]]>Bonne réponse : le rayon vaut Ω A = √3² + 4² = √25 = 5.]]>Géométrie repérée — Q33 : Équation d'une droite passant par deux pointsQuelle est une équation cartésienne de la droite passant par
A(1 ; 2) et B(3 ; 5) ?]]>On calcule d'abord AB⃗(x_B - x_A ; y_B - y_A).
Le vecteur (y_B - y_A ; x_A - x_B) lui est orthogonal, donc
normal à la droite, et il fournit les coefficients de x et de
y. La constante s'obtient en substituant un point.]]>1.00.00truetrueabc2x + 3y - 8 = 0]]>Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les
coordonnées d'un vecteur normal qui donnent a et b.]]>3x - 2y + 1 = 0]]>Bonne réponse : AB⃗(2 ; 3) dirige la
droite, donc (3 ; -2) lui est normal, et le point A
fixe la constante.]]>3x - 2y - 1 = 0]]>Constante de signe contraire : en remplaçant par les
coordonnées de A, on obtient bien 1.]]>-2x + 3y + 1 = 0]]>Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à
celle que l'on cherche, et elle ne passe pas par A.]]>Géométrie repérée — Q34 : Médiatrice d'un segment verticalOn donne A(3 ; 1) et B(3 ; 7). Quelle est une
équation de la médiatrice de [AB] ?]]>La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et lui est
perpendiculaire. Quand A et B ont la même abscisse, elle est
horizontale et son équation s'écrit directement.]]>1.00.00truetrueabcx = 3]]>Il s'agit de la droite (AB) elle-même : la médiatrice lui est
perpendiculaire, donc horizontale ici.]]>y = 4]]>Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc
horizontale et passe par le milieu, d'ordonnée 4.]]>y = 8]]>Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des
ordonnées, soit 4.]]>x = 4]]>Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit
par une équation portant sur y.]]>Géométrie repérée — Q35 : Quatrième sommet d'un parallélogrammeDans un repère, ABCD est un parallélogramme avec
A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(5 ; 5).
Quelles sont les coordonnées de D ?]]>L'égalité AB⃗ = DC⃗ se traduit
coordonnée par coordonnée et donne
D(x_A + x_C - x_B ; y_A + y_C - y_B). Un contrôle rapide
consiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu.]]>1.00.00truetrueabcD(2 ; 4)]]>Bonne réponse : ABCD est un parallélogramme lorsque
AB⃗ = DC⃗, ce qui conduit à
D(2 ; 4).]]>D(8 ; 6)]]>Rôles permutés : ce point ferait de A le quatrième sommet du
parallélogramme BCDA.]]>D(6 ; 6)]]>Soustraction oubliée : les coordonnées de B se retranchent de
la somme de celles de A et de C.]]>D(0 ; -2)]]>Point retranché à tort : c'est B qui se retranche, puisque
AB⃗ = DC⃗.]]>Géométrie repérée — Q36 : Lire l'équation d'une droite[Figure : Repère orthonormé avec une droite bleue croissante qui passe par
les deux points marqués (0 ; 1) et (3 ; 3). Elle coupe l'axe des
abscisses en (-1,5 ; 0).]
Quelle est une équation cartésienne de la droite d tracée
ci-dessous ?
]]>On lit deux points à coordonnées entières, ici (0 ; 1) et
(3 ; 3). Le vecteur (3 ; 2) dirige la droite, donc
(2 ; -3) lui est normal, et la constante se règle sur l'un des
deux points.]]>1.00.00truetrueabc3x - 2y + 2 = 0]]>Coefficients permutés : le point (3 ; 3) donnerait
9 - 6 + 2 = 5, différent de 0.]]>2x + 3y - 3 = 0]]>Droite décroissante : avec ces coefficients, y diminue quand
x augmente, ce que la figure contredit.]]>-2x + 3y + 3 = 0]]>Constante mal corrigée : le point (0 ; 1) donne ici
3 + 3 = 6, donc la droite ne passe pas par lui.]]>2x - 3y + 3 = 0]]>Bonne réponse : les deux points marqués vérifient cette
équation, puisque -3 + 3 = 0 et 6 - 9 + 3 = 0.]]>Géométrie repérée — Q37 : Paramètre et droites parallèlesLes droites d : 2x - 3y + 1 = 0 et
d' : 4x + m y - 5 = 0 sont parallèles. Que vaut m ?]]>Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont
colinéaires, c'est-à-dire lorsque ab' - a'b = 0. Ici les
coefficients de d' sont proportionnels à ceux de d, avec le
même facteur pour x et pour y.]]>1.00.00truetrueabc6]]>Signe inversé : le facteur 2 s'applique aux deux
coefficients sans en changer le signe.]]>3]]>Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme
donne 2 × m - 4 × -3 = 0.]]>-3]]>Facteur oublié : le coefficient de x a été multiplié par
2, celui de y doit l'être aussi.]]>-6]]>Bonne réponse : les coefficients de d' sont ceux de d
multipliés par 2, donc m = 2 × -3 = -6.]]>Géométrie repérée — Q38 : Rayon d'un cercle de diamètre donnéQuel est le rayon du cercle de diamètre [AB], avec
A(-3 ; 1) et B(3 ; 9) ?]]>Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu de [AB] et
pour rayon la moitié de la longueur AB. Cette longueur se calcule
par la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées.]]>1.00.00truetrueabc10]]>Diamètre pris pour le rayon : [AB] traverse le cercle de part
en part, le rayon vaut sa moitié.]]>100]]>Racine oubliée : cette valeur est le carré de AB, qui doit
encore être réduit à sa racine puis partagé en deux.]]>5]]>Bonne réponse : AB = 10, et le rayon en est la
moitié, soit 5.]]>7]]>Écarts additionnés : la longueur AB passe par la racine de la
somme des carrés, et vaut 10.]]>Géométrie repérée — Q39 : Du centre et du rayon à la forme développéeLe cercle de centre Ω(3 ; -2) a pour rayon 4.
Quelle est son équation sous forme développée ?]]>On part de (x - a)² + (y - b)² = r², on développe les deux
carrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de
x et de y valent -2a et -2b, et la constante a² + b² - r².]]>1.00.00truetrueabcx² + y² - 6x + 4y + 29 = 0]]>Rayon mal reporté : 4² passe au premier membre, il se
retranche donc de la constante.]]>x² + y² - 3x + 2y - 3 = 0]]>Facteur 2 oublié : le double produit vaut deux fois le
produit des deux termes, d'où -6x.]]>x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0]]>Bonne réponse : en développant (x - 3)² + (y + 2)² = 4², les doubles produits donnent -6x et 4y.]]>x² + y² + 6x - 4y - 3 = 0]]>Signes des doubles produits : le développement de
(x - 3)² fait apparaître -6x.]]>Géométrie repérée — Q40 : Écrire la forme canonique d'un cercleQuelle est la forme canonique de l'équation
x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0 ?]]>Compléter le carré consiste à écrire x² + px = (x + p/2)² - p²/4, puis de même pour y. Les
constantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors
r².]]>1.00.00truetrueabc(x - 2)² + (y + 3)² = 16]]>Bonne réponse : les carrés complétés absorbent -4x et
6y, et les constantes réunies au second membre donnent
16.]]>(x - 2)² + (y + 3)² = 4]]>Rayon et carré confondus : 4 est le rayon, alors que le
second membre porte son carré.]]>(x + 2)² + (y - 3)² = 16]]>Signes non inversés : -4x provient de (x - 2)²,
dont le centre a pour abscisse 2.]]>(x - 2)² + (y + 3)² = 3]]>Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés
complétés doivent aussi passer au second membre.]]>Géométrie repérée — Q41 : Un cercle réduit à un pointQue représente l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant
x² + y² - 4x + 6y + 13 = 0 ?]]>Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement
positif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;
strictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais
sur la forme développée seule.]]>1.00.00truetrueabcUn cercle de rayon 13]]>Constante recopiée : 13 disparaît lorsqu'on complète les
carrés, et le second membre devient nul.]]>Le seul point (2 ; -3)]]>Bonne réponse : la forme canonique s'écrit
(x - 2)² + (y + 3)² = 0, et une somme de carrés
est nulle seulement si chaque carré l'est.]]>L'ensemble vide]]>Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un
second membre strictement négatif, pas nul.]]>Un cercle de centre (2 ; -3) et de rayon 13]]>Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut
0, il n'y a donc aucun rayon strictement positif.]]>Géométrie repérée — Q42 : Équation d'une tangente en un pointLe point A(4 ; 6) appartient au cercle de centre
Ω(1 ; 2). Quelle est l'équation de la tangente à ce
cercle en A ?]]>La tangente en A est la droite passant par A et de vecteur
normal \overrightarrow{\Omega A}. Ses coefficients sont donc les
coordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en
substituant les coordonnées de A.]]>1.00.00truetrueabc3x + 4y - 11 = 0]]>Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en A,
elle ne passe pas par le centre Ω.]]>3x + 4y - 36 = 0]]>Bonne réponse : \overrightarrow{\Omega A}(3\,;\,4) est
normal à la tangente, et le passage par A fixe la constante.]]>3x + 4y + 36 = 0]]>Constante de signe contraire : le point A doit annuler
l'expression, ce qui impose -36.]]>-4x + 3y - 2 = 0]]>Droite (Ω A) : elle porte le rayon et traverse le
cercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire.]]>Géométrie repérée — Q43 : Intersection de deux droitesComment obtient-on les coordonnées du point d'intersection de deux
droites sécantes données par leurs équations cartésiennes ?]]>Un point appartient à une droite lorsque ses coordonnées vérifient
son équation. Le point d'intersection vérifie les deux équations,
donc le système qu'elles forment, qui admet ici une solution
unique.]]>1.00.00truetrueabcEn additionnant membre à membre les deux équations]]>Cette somme fournit une troisième équation, qui ne suffit pas à
déterminer deux inconnues.]]>En comparant les constantes des deux équations]]>Les constantes situent les droites, elles ne livrent pas les
coordonnées de leur point commun.]]>En résolvant le système formé par les deux équations]]>Bonne réponse : le point commun est celui dont les coordonnées
vérifient les deux équations à la fois.]]>En calculant le produit scalaire des vecteurs normaux]]>Ce calcul renseigne sur l'angle des deux droites, pas sur la
position de leur intersection.]]>Géométrie repérée — Q44 : Ordonnée d'un point d'une droiteLa droite d a pour équation 3x + 2y - 4 = 0. Quelle
est l'ordonnée du point de d d'abscisse 2 ?]]>Un point de d d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette
abscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier
degré qui reste en y.]]>1.00.00truetrueabc-2]]>Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient 2
de y pour isoler l'ordonnée.]]>-1]]>Bonne réponse : en remplaçant x par 2, l'équation
devient 6 + 2y - 4 = 0, d'où y = -1.]]>1]]>Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant
de l'autre côté de l'égalité.]]>0]]>Rôles échangés : c'est x qui vaut 2, donc le
remplacement se fait dans le terme en x.]]>Géométrie repérée — Q45 : Retrouver une extrémité à partir du milieuLe point I(5 ; 3) est le milieu du segment [AB], avec
A(1 ; 2). Quelles sont les coordonnées de B ?]]>Le milieu de [AB] a pour coordonnées les demi-sommes de celles de
A et de B. En renversant ces deux égalités, on obtient
x_B = 2x_I - x_A et y_B = 2y_I - y_A.]]>1.00.00truetrueabcB(-3 ; 1)]]>Rôles permutés : ce point serait le symétrique de I par
rapport à A, alors que c'est A qui se réfléchit.]]>B(9 ; 4)]]>Bonne réponse : de x_I = x_A + x_B/2 on tire
x_B = 2 × 5 - 1 = 9, et de même pour
l'ordonnée.]]>B(6 ; 5)]]>Facteur 2 oublié : le milieu est la demi-somme, donc
l'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins A.]]>B(4 ; 1)]]>Coordonnées de AI⃗ : ce vecteur donne un
déplacement, non la position du point cherché.]]>