$course$/QCM de maths/Première spécialité/Calcul vectoriel et produit scalaire
Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le
cosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de
l'orthogonalité, bilinéarité, développement de
\|u⃗ + v⃗\|², formule d'Al-Kashi, ensemble des
points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q01 : Produit scalaire en coordonnées
Dans un repère orthonormé du plan, on donne
u⃗(2 ; 3) et v⃗(1 ; -2). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?]]>
En base orthonormée : u⃗ · v⃗ = xx' + yy'.
Ici -4 < 0 : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
8]]>
Erreur de signe : 3 × (-2) = -6, pas +6. Total :
2 - 6 = -4.]]>
4]]>
Erreur : le résultat est bien 4 en valeur absolue, mais
négatif : 2 - 6 = -4 (l'angle entre les vecteurs
est obtus).]]>
(2 ; -6)]]>
Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre
(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur.]]>
-4]]>
Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' = 2 × 1 + 3 × (-2) = 2 - 6 = -4.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q02 : Caractériser l'orthogonalité
À quelle condition deux vecteurs non nuls u⃗ et
v⃗ sont-ils orthogonaux ?]]>
\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}
= 0 (via cosπ/2 = 0). En coordonnées :
xx' + yy' = 0.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
u⃗ · v⃗ = 0]]>
Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est la
caractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité
première.]]>
u⃗ · v⃗ = 1]]>
Erreur : la valeur 1 n'a rien de spécial. L'angle droit
correspond à cosπ/2 = 0, donc à un produit
scalaire nul.]]>
\|u⃗\| = \|v⃗\|]]>
Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.
L'orthogonalité se teste par u⃗ · v⃗ = 0.]]>
u⃗ = -v⃗]]>
Erreur : des vecteurs opposés sont colinéaires
(angle plat), le contraire de perpendiculaires.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q03 : Formule avec le cosinus
Soient u⃗ et v⃗ tels que \|u⃗\| = 3,
\|v⃗\| = 4 et l'angle entre eux vaut
π/3. Que vaut u⃗ · v⃗ ?]]>
u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\| cos(u⃗ , v⃗). Avec cosπ/3 = ½ : 6. Choisir la formule adaptée aux données
(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité
clé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
12]]>
Oubli du cosinus : 12 = \|u⃗\| \|v⃗\|
correspondrait à des vecteurs colinéaires de même sens
(cos 0 = 1). Ici cosπ/3 = ½.]]>
0]]>
Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle
droit ; or π/3 ≠ π/2.]]>
6]]>
Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| \|v⃗\|cosθ = 3 × 4 × ½ = 6.]]>
6√3]]>
Erreur : tu as utilisé \sin\dfrac{\pi}{3} =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Le produit scalaire fait intervenir
le cosinus.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q04 : Signe du produit scalaire
Que peut-on dire du signe de u⃗ · v⃗ selon
l'angle θ entre les deux vecteurs (non nuls) ?]]>
Lecture géométrique du signe : u⃗ · v⃗ du
signe de cosθ. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :
négatif. La projection orthogonale raconte la même chose
(projeté du même côté ou non).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Positif si θ est aigu, nul si θ est droit,
négatif si θ est obtus]]>
Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de
cosθ : positif avant π/2, nul à
π/2, négatif au-delà.]]>
Le signe dépend uniquement des normes]]>
Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe
vient exclusivement du cosinus de l'angle.]]>
Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs]]>
Erreur : le facteur cosθ peut être négatif :
deux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit
scalaire négatif.]]>
Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant]]>
Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte
l'angle entre les vecteurs (aigu ou obtus).]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q05 : Utiliser la bilinéarité
Sachant que u⃗ · v⃗ = 3, que vaut
(2u⃗) · (3v⃗) ?]]>
Bilinéarité : (au⃗) · (bv⃗) = ab (u⃗ · v⃗) et distributivité sur les sommes. Ici :
6 × 3 = 18.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
6]]>
Erreur : 6 = 2 × 3 oublie le produit scalaire
initial. Les trois nombres se multiplient :
2 × 3 × 3 = 18.]]>
3]]>
Erreur : les coefficients 2 et 3 ne disparaissent
pas : le produit scalaire est linéaire en chacun de
ses arguments.]]>
18]]>
Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :
(2u⃗) · (3v⃗) = 2 × 3 × (u⃗ · v⃗) = 6 × 3 = 18.]]>
9]]>
Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti
(3 × 3). Chaque coefficient sort : 2 × 3 × 3.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$
Soient \|u⃗\| = 2, \|v⃗\| = 3 et
u⃗ · v⃗ = 1. Que vaut
\|u⃗ + v⃗\|² ?]]>
Identité fondamentale : \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|².
Lue à l'envers, elle définit le produit scalaire à partir
des normes (polarisation).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
14]]>
Erreur : le double produit vaut 2 × 1 = 2, pas
1 : total 4 + 2 + 9 = 15.]]>
13]]>
Oubli du double produit : 4 + 9 = 13 ne vaudrait que
pour des vecteurs orthogonaux (Pythagore). Ici
2 u⃗·v⃗ = 2 s'ajoute.]]>
25]]>
Erreur : 25 = (2+3)² additionne les normes avant le
carré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de
même sens. La formule exacte passe par le produit
scalaire.]]>
15]]>
Bonne réponse : \|u⃗+v⃗\|² = \|u⃗\|² + 2 u⃗·v⃗ + \|v⃗\|² = 4 + 2 + 9 = 15.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q07 : Formule d'Al-Kashi
Dans un triangle ABC, on donne AB = 3, AC = 4 et
\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Que vaut BC ?]]>
Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit
scalaire) : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} : le
« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici
BC = √13.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
BC = √13]]>
Bonne réponse : Al-Kashi : BC^2 = AB^2 + AC^2 -
2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A} = 9 + 16 -
24 \times \dfrac{1}{2} = 13.]]>
BC = 5]]>
Erreur : 25 = 9 + 16 est le calcul de Pythagore,
valable seulement pour un angle droit en A. Ici
\widehat{A} = \frac{\pi}{3} : le terme correctif
-2bccos A retranche 12.]]>
BC = 13]]>
Oubli de la racine : 13 est BC². La longueur vaut
\sqrt{13} \approx 3{,}6.]]>
BC = √37]]>
Erreur de signe : 9 + 16 + 12 = 37 ajoute le terme au
lieu de le retrancher. La formule porte un moins :
b² + c² - 2bccos A.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q08 : L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$
Soient A et B deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points M vérifiant
MA⃗ · MB⃗ = 0 ?]]>
MA⃗ · MB⃗ = 0 ⇔ M voit [AB] sous un angle droit
⇔ M appartient au cercle de diamètre
[AB]. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le cercle de diamètre [AB]]]>
Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie
que le triangle AMB est rectangle en M (ou que M est
en A ou B) : c'est le cercle de diamètre [AB]
(démonstration au programme).]]>
La médiatrice de [AB]]]>
Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points
équidistants de A et B (MA = MB), une autre
condition.]]>
La droite (AB)]]>
Erreur : sur la droite (AB) (hors segment), les
vecteurs MA⃗ et MB⃗
sont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en A
et B).]]>
Le cercle de centre A passant par B]]>
Erreur : ce cercle correspond à la condition MA = AB.
Notre condition parle d'un angle droit en M :
cercle de diamètre [AB].]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q09 : Produit scalaire par les normes
Soient \|u⃗\| = 3, \|v⃗\| = 4 et
\|u⃗ + v⃗\| = 5. Que vaut
u⃗ · v⃗ ?]]>
Polarisation : u⃗·v⃗ = ½( \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|²).
Le triplet 3-4-5 redonne Pythagore : produit scalaire
nul, vecteurs orthogonaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
0]]>
Bonne réponse : u⃗·v⃗ = ½( \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗\|² - \|v⃗\|² ) = 25 - 9 - 16/2 = 0 : les vecteurs sont
orthogonaux. Le triangle 3-4-5 est rectangle !]]>
-1]]>
Carrés oubliés : 5 - 3 - 4/2 = -1 applique la
polarisation aux normes elles-mêmes ; elle porte sur
leurs carrés : 25 - 9 - 16/2 = 0.]]>
25]]>
Erreur : 25 est \|u⃗+v⃗\|², une étape du
calcul, pas le produit scalaire.]]>
12]]>
Erreur : 12 = 3 × 4 supposerait un angle nul.
La formule de polarisation donne 25 - 25/2 = 0.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q10 : Retrouver un angle
Soient u⃗ et v⃗ tels que
u⃗ · v⃗ = -6, \|u⃗\| = 2 et
\|v⃗\| = 6. Que vaut l'angle θ entre les deux
vecteurs ?]]>
cosθ = u⃗·v⃗/\|u⃗\| \|v⃗\| : ici -½, donc θ = 2π/3. Le produit scalaire mesure les angles sans
rapporteur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
cosθ = -6]]>
Impossible : un cosinus reste entre -1 et 1. Il faut
diviser par le produit des normes : -6/12 = -½.]]>
θ = π/3]]>
Erreur de signe : cosθ = -½, négatif :
l'angle est obtus. π/3 correspond à
+½.]]>
θ = π/2]]>
Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire
nul ; ici il vaut -6.]]>
θ = 2π/3]]>
Bonne réponse : \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-6}{12} =
-\dfrac{1}{2}, donc θ = 2π/3
(120°).]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q11 : Déterminer un paramètre
Pour quelle valeur de k les vecteurs u⃗(3 ; k) et
v⃗(2 ; -1) sont-ils orthogonaux ?]]>
Méthode : écrire la condition u⃗ · v⃗ = 0 et
résoudre. 6 - k = 0 ⇒ k = 6. (Ne pas confondre
avec le déterminant, qui teste la colinéarité.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
k = -6]]>
Erreur de signe : l'équation est 3 × 2 + k × (-1) = 6 - k = 0, donc k = +6.]]>
k = 6]]>
Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = 6 - k = 0 ⇔ k = 6. Vérification :
(3 ; 6) · (2 ; -1) = 6 - 6 = 0.]]>
k = 0]]>
Erreur : avec k = 0, u⃗ · v⃗ = 6 ≠ 0 : pas orthogonaux.]]>
k = 3/2]]>
Erreur : 3/2 rendrait les vecteurs
colinéaires (\det = 3 \times (-1) - k \times 2 = 0
donne k = -3/2… vérifie ton critère). Pour
l'orthogonalité, on annule le produit scalaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q12 : Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
Soit I le milieu de [AB]. Quelle transformation de
l'expression MA⃗ · MB⃗
est correcte (pour tout point M) ?]]>
Transformation au programme :
MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²/4 (I milieu). On y lit le cercle de diamètre
[AB] : produit nul ⇔ MI = AB/2.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²]]>
Erreur de facteur : c'est IA² = (AB/2 )² = AB²/4 qui se retranche, pas
AB².]]>
MA⃗ · MB⃗ = MI² + AB²/4]]>
Erreur de signe : IA⃗ et
IB⃗ sont opposés : leur produit
scalaire vaut -IA², d'où le moins.]]>
MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²/4]]>
Bonne réponse : en insérant I par Chasles,
(MI⃗ + IA⃗) · (MI⃗ + IB⃗) se développe
en MI² - IA², et IA = AB/2.]]>
MA⃗ · MB⃗ = MA² + MB²]]>
Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une
autre identité (théorème de la médiane). Le produit
scalaire se transforme en MI² - IA².]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q13 : Un produit scalaire en coordonnées
Soient u⃗(3\ ;\ -1) et v⃗(2\ ;\ 4). Que vaut
u⃗ · v⃗ ?]]>
En repère orthonormé : u⃗ · v⃗ = xx' + yy' :
produits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat
est un réel (positif, négatif ou nul).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
14]]>
Croisement : 3 × 4 + (-1) × 2 = 10… non
plus : la formule apparie x avec x' et y avec
y', sans croiser.]]>
(6\ ;\ -4)]]>
Erreur de nature : le produit scalaire est un
nombre, pas un vecteur : on additionne les produits
de coordonnées.]]>
2]]>
Bonne réponse : xx' + yy' = 3 × 2 + (-1) × 4 = 6 - 4 = 2.]]>
10]]>
Signe : (-1) × 4 = -4, à soustraire : 6 - 4 = 2.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q14 : Norme d'un vecteur
Que vaut la norme du vecteur u⃗(3\ ;\ 4) ?]]>
\|u⃗\| = √x² + y² : Pythagore en habits
vectoriels. Lien avec le produit scalaire : \|u⃗\|² = u⃗ · u⃗.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\|u⃗\| = 12]]>
Erreur : 3 × 4 = 12 multiplie les coordonnées :
rien à voir avec la longueur.]]>
\|u⃗\| = 25]]>
Racine oubliée : 25 = \|u⃗\|² est le carré
scalaire : la longueur vaut 5.]]>
\|u⃗\| = 5]]>
Bonne réponse : √3² + 4² = √25 = 5 : le
triangle 3-4-5 (Pythagore).]]>
\|u⃗\| = 7]]>
Erreur : 3 + 4 = 7 additionne les coordonnées : la
norme additionne leurs carrés puis prend la racine.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q15 : Produit scalaire de vecteurs colinéaires
u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens,
avec \|u⃗\| = 2 et \|v⃗\| = 5. Que vaut
u⃗ · v⃗ ?]]>
u⃗ · v⃗ = \|u⃗\|\|v⃗\|cosθ :
même sens (θ = 0) : produit des normes ; sens
opposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères
mentaux du produit scalaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
10]]>
Bonne réponse : angle nul, cos 0 = 1 : le produit
scalaire atteint son maximum \|u⃗\|\|v⃗\| = 10.]]>
7]]>
Erreur : 2 + 5 = 7 additionne les normes : la formule
les multiplie (avec le cosinus, ici égal à 1).]]>
-10]]>
Sens : -10 correspond aux vecteurs colinéaires de sens
contraires (cos π = -1).]]>
0]]>
Erreur : 0 signe l'orthogonalité : des vecteurs
alignés donnent au contraire le produit scalaire
extrême.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q16 : Al-Kashi en action
Dans un triangle, b = 3, c = 5 et l'angle entre eux vaut
60°. Que vaut le côté opposé a ?]]>
Al-Kashi : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A} :
Pythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;
obtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore
redevient exact.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
a = 2]]>
Cosinus oublié : 9 + 25 - 2 × 3 × 5 = 4 donne
a = 2 ; le terme correctif vaut 2bccos 60° = 15, pas
30, d'où a = \sqrt{19} \approx 4{,}36 (bien compris
entre c - b = 2 et c + b = 8).]]>
a = √19]]>
Bonne réponse : Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bccos 60° = 9 + 25 - 2 × 3 × 5 × ½ = 34 - 15 = 19.]]>
a = √49 = 7]]>
Signe du correctif : 34 + 15 = 49 correspondrait à
cos = -½ (120°) : à 60°, on
retranche.]]>
a = √34]]>
Pythagore appliqué à tort : 34 = 9 + 25 vaudrait pour
un angle droit ; à 60°, le terme correctif
-2bccos 60° = -15 s'impose.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q17 : Retrouver l'angle par le cosinus
Soient u⃗(1\ ;\ 2) et v⃗(3\ ;\ 1). Que vaut
l'angle entre u⃗ et v⃗ ?]]>
Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}, et reconnaissance de la valeur
remarquable (\frac{\sqrt{2}}{2} \to 45°).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
90°]]>
Erreur : le produit scalaire vaut 5 ≠ 0 : les
vecteurs ne sont pas orthogonaux.]]>
60°]]>
Valeur croisée : \cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5, or le
calcul donne \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71 :
c'est 45°.]]>
135°]]>
Signe faux : 135° correspondrait à \cos\theta =
-\frac{\sqrt{2}}{2}, donc à un produit scalaire négatif ;
or u⃗ · v⃗ = 1 × 3 + 2 × 1 = 5 > 0 (ne pas le confondre avec 1 × 1 - 2 × 3 = -5, qui n'est pas le produit scalaire) : l'angle est aigu.]]>
45°]]>
Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = 3 + 2 = 5,
normes √5 et √10 : \cos\theta =
\frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2} : 45°.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q18 : Produit scalaire par projection
H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB),
et H appartient à la demi-droite [AB). Que vaut
AB⃗ · AC⃗ ?]]>
Formule du projeté : AB⃗ · AC⃗ = AB⃗ · AH⃗ = ± AB × AH (signe selon la
position de H par rapport à A). La vision géométrique du
produit scalaire : longueur × ombre portée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
AB × HC]]>
Mauvais segment : HC est la partie perpendiculaire,
celle qui ne contribue en rien au produit scalaire.]]>
0, car H est un projeté orthogonal]]>
Confusion : l'orthogonalité est entre (CH) et (AB) :
le produit AB⃗ · AC⃗, lui, capte la partie alignée AH ≠ 0.]]>
AB × AC]]>
Projection oubliée : AB × AC vaudrait pour des
vecteurs alignés : en général, seule la composante
projetée AH compte.]]>
AB × AH]]>
Bonne réponse : la projection remplace
AC⃗ par son ombre
AH⃗ sur la droite (AB) : produit des
longueurs, positif car H est du côté de B.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q19 : Paramètre d'orthogonalité
Pour quelle valeur de m les vecteurs u⃗(2\ ;\ m) et
v⃗(3\ ;\ -1) sont-ils orthogonaux ?]]>
Orthogonalité \iff xx' + yy' = 0 : avec un paramètre,
cette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle
final : u⃗(2\ ;\ 6) · v⃗(3\ ;\ -1) = 6 - 6 = 0 ✓.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
m = 6]]>
Bonne réponse : \vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - m = 0 \iff
m = 6 : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une
inconnue ici.]]>
Aucune valeur ne convient]]>
Erreur : l'équation 6 - m = 0 a une solution : en
dimension 2, on peut toujours ajuster une coordonnée
pour créer l'angle droit.]]>
m = ⅔]]>
Confusion avec la colinéarité : ⅔ sortirait
d'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le
produit scalaire.]]>
m = -6]]>
Signe : u⃗ · v⃗ = 2 × 3 + m × (-1) = 6 - m : s'annule pour m = +6.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q20 : Produit scalaire par la norme d'une différence
On connaît \|u⃗\| = 3, \|v⃗\| = 2 et
\|u⃗ - v⃗\| = 4. Que vaut u⃗ · v⃗ ?]]>
u⃗ · v⃗ = ½(\|u⃗\|² + \|v⃗\|² - \|u⃗ - v⃗\|²).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
-3/2]]>
Bonne réponse : \|u⃗ - v⃗\|² = \|u⃗\|² - 2 u⃗ · v⃗ + \|v⃗\|², soit
16 = 13 - 2 u⃗ · v⃗.]]>
3/2]]>
Erreur de signe : avec une différence, le double produit est
précédé d'un signe moins.]]>
-3]]>
Erreur : le double produit doit être divisé par 2.]]>
-1]]>
Erreur : ce sont les carrés des normes qui interviennent, pas
les normes elles-mêmes.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q21 : Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle
Un triangle a pour côtés a = 7, b = 5, c = 8. Que
vaut l'angle \widehat{A} (opposé au côté a) ?]]>
Forme inversée d'Al-Kashi : \cos\widehat{A} = \frac{b^2 +
c^2 - a^2}{2bc} : l'angle opposé au côté isolé au
numérateur. Avec les trois côtés, on obtient tous les angles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
30°]]>
Valeur croisée : \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87 \neq 0{,}5 : le calcul donne ½,
donc 60°.]]>
90°]]>
Test de Pythagore : 5² + 8² = 89 ≠ 49 : pas
d'angle droit en A (le cosinus calculé, 0{,}5, n'est
pas nul).]]>
120°]]>
Signe inversé : 120° correspondrait à \cos\widehat{A}
= -\frac{1}{2}, ce que donne a² - b² - c²/2bc = 49 - 89/80 ; dans la formule, c'est le carré du
côté opposé qui porte le signe moins : 25 + 64 - 49/80 = ½, angle aigu.]]>
60°]]>
Bonne réponse : Al-Kashi inversé : \cos\widehat{A} =
\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} : angle
de 60°.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q22 : L'ensemble $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$
A est un point et u⃗ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points M tels que AM⃗ · u⃗ = 0 ?]]>
Lignes de niveau du chapitre : AM⃗ · u⃗ = 0 : droite (normale u⃗) ;
MA⃗ · MB⃗ = 0 : cercle
de diamètre [AB] ; AM = r : cercle. Reconnaître la
structure avant de calculer.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La droite passant par A de vecteur normal u⃗]]>
Bonne réponse : AM⃗ doit rester
orthogonal à u⃗ : M décrit la droite passant
par A perpendiculaire à la direction de u⃗.]]>
Le cercle de centre A et de rayon \|u⃗\|]]>
Erreur : un cercle sortirait d'une condition de
distance (AM = r) ; ici la condition est
d'orthogonalité : une droite.]]>
La droite passant par A et dirigée par le vecteur
u⃗]]>
Contresens : sur cette droite, AM⃗ est
colinéaire à u⃗ : produit scalaire maximal
(en valeur absolue), pas nul.]]>
Le seul point A, où AM⃗ est nul]]>
Trop pauvre : A convient (AA⃗ = 0⃗), mais tout point de la perpendiculaire aussi :
l'ensemble est une droite entière.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q23 : L'identité du parallélogramme
Que vaut \|u⃗ + v⃗\|² + \|u⃗ - v⃗\|² ?]]>
Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux
diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.
Démonstration en deux lignes par développement : l'archétype
du calcul vectoriel efficace.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\|u⃗\|² + \|v⃗\|²]]>
Erreur : chaque carré de norme apparaît dans les
deux développements, il faut donc le compter deux
fois : 2\|u⃗\|² + 2\|v⃗\|².]]>
2\|u⃗\|² - 2\|v⃗\|²]]>
Signe : les deux développements donnent
+\|v⃗\|² : la somme totale les additionne, sans
soustraction.]]>
4 u⃗ · v⃗]]>
C'est la différence des deux carrés qui isole le
produit scalaire : \|u⃗+v⃗\|² - \|u⃗-v⃗\|² = 4u⃗·v⃗.]]>
2\|u⃗\|² + 2\|v⃗\|²]]>
Bonne réponse : en développant les deux carrés, les
doubles produits +2u⃗·v⃗ et
-2u⃗·v⃗ s'annulent : restent les carrés,
deux fois chacun.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q24 : Peut-on simplifier par $\vec{u}$ ?
On sait que u⃗ · v⃗ = u⃗ · w⃗
avec u⃗ ≠ 0⃗. Peut-on conclure v⃗ = w⃗ ?]]>
Pas de « division » par un vecteur : \vec{u} \cdot \vec{v}
= \vec{u} \cdot \vec{w} \iff \vec{u} \perp (\vec{v} -
\vec{w}). Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée
sur u⃗ : deux vecteurs différents peuvent projeter la
même ombre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, sauf si v⃗ et w⃗ sont opposés]]>
Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des
opposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de
u⃗ et v⃗ - w⃗.]]>
Oui, à condition que u⃗ soit unitaire]]>
Erreur : la norme de u⃗ ne change rien : même
unitaire, u⃗ ignore tout ce qui lui est
orthogonal.]]>
Oui, on simplifie par u⃗ comme avec des nombres]]>
Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une
multiplication de nombres : il « écrase » la composante
orthogonale, qui reste donc libre : pas de
simplification.]]>
Non, seulement \vec{u} \perp (\vec{v} - \vec{w})]]>
Bonne réponse : l'égalité équivaut à u⃗ · (v⃗ - w⃗) = 0 : la différence peut être
n'importe quel vecteur orthogonal à u⃗, pas
seulement le vecteur nul.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q25 : Un vecteur multiplié par lui-même
À quoi le produit scalaire u⃗ · u⃗ est-il égal ?]]>
Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, appelé carré scalaire, vaut
le carré de sa norme. C'est le pont entre produits scalaires et longueurs.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
À zéro, par orthogonalité]]>
Un vecteur non nul n'est jamais orthogonal à lui-même : l'angle vaut
0, pas un angle droit.]]>
À la norme de u⃗]]>
Un carré est oublié : pour u⃗(3 ; 4), le produit scalaire vaut
25 alors que la norme vaut 5.]]>
Au carré de la norme de u⃗]]>
Bonne réponse : l'angle entre le vecteur et lui-même est nul, donc le
cosinus vaut 1 et il reste le produit des deux normes.]]>
Au double de la norme de u⃗]]>
Les deux normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas : le même
exemple donnerait 10 au lieu de 25.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q26 : Développer une différence
Quel développement de \|u⃗ - v⃗\|² est correct ?]]>
Le carré scalaire se développe comme un carré algébrique, à condition de
remplacer le double produit par 2u⃗ · v⃗. C'est de là que
vient la formule d'Al-Kashi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
\|u⃗\|² - \|v⃗\|²]]>
Identité confondue : cette expression développerait
(u⃗ - v⃗) · (u⃗ + v⃗).]]>
\|u⃗\|² - 2u⃗ · v⃗ + \|v⃗\|²]]>
Bonne réponse : le carré scalaire se développe comme une identité
remarquable, le double produit devenant un produit scalaire.]]>
\|u⃗\|² + 2u⃗ · v⃗ + \|v⃗\|²]]>
Signe du double produit : c'est le développement de
\|u⃗ + v⃗\|².]]>
\|u⃗\|² - 2\|u⃗\| × \|v⃗\| + \|v⃗\|²]]>
Produit scalaire remplacé par un produit de normes : les deux ne
coïncident que si les vecteurs sont colinéaires de même sens.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q27 : Un produit scalaire négatif
Que peut-on dire de l'angle entre deux vecteurs non nuls dont le
produit scalaire est négatif ?]]>
Avec u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| × \|v⃗\| × cosθ, les normes étant positives, le signe du produit scalaire est
exactement celui du cosinus de l'angle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est droit]]>
Un angle droit annule le produit scalaire : il serait nul, pas
négatif.]]>
Il est nul]]>
Un angle nul donne le produit des normes, une valeur strictement
positive.]]>
Il est aigu]]>
Un angle aigu a un cosinus positif, donc un produit scalaire positif.]]>
Il est obtus]]>
Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui du cosinus, qui
est négatif pour un angle supérieur à un angle droit.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q28 : Un ensemble de points défini par une distance
Quel est l'ensemble des points M tels que
AM⃗ · AB⃗ = 0, avec A et B
distincts ?]]>
Un produit scalaire nul traduit une orthogonalité. Ici le vecteur
AB⃗ est fixé, donc l'ensemble cherché est une droite,
alors qu'un vecteur variable des deux côtés donnerait un cercle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le seul point A, les autres ne conviennent pas]]>
Tout point M tel que (AM) soit perpendiculaire à (AB) convient,
et il y en a une infinité.]]>
Le cercle de diamètre [AB] privé de A]]>
Ce cercle correspond à la condition
MA⃗ · MB⃗ = 0, où l'angle droit
est en M.]]>
La perpendiculaire à (AB) passant par A]]>
Bonne réponse : la condition impose à AM⃗ d'être
orthogonal à AB⃗, ou nul.]]>
La médiatrice du segment [AB] tout entière]]>
La médiatrice s'obtient par une condition d'égalité de distances, pas
par un produit scalaire nul.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q29 : Orthogonalité en coordonnées
Les vecteurs u⃗(3 ; -2) et v⃗(4 ; 6) sont-ils
orthogonaux ?]]>
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire vaut xx' + yy'. Il est nul
si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, leur produit scalaire vaut 24]]>
Ce résultat vient d'une somme de produits sans tenir compte du signe
négatif de la seconde coordonnée.]]>
Non, leur déterminant est non nul]]>
Un déterminant non nul signale l'absence de colinéarité, ce qui est
compatible avec l'orthogonalité.]]>
Non, ils ne sont pas de même norme]]>
L'orthogonalité ne dépend pas des normes : deux vecteurs de longueurs
très différentes peuvent être perpendiculaires.]]>
Oui, leur produit scalaire est nul]]>
Bonne réponse : 3 × 4 + (-2) × 6 = 12 - 12 = 0.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q30 : Calculer une longueur par le produit scalaire
Dans un triangle, AB = 5, AC = 8 et l'angle en A mesure
60 degrés. Que vaut AB⃗ · AC⃗ ?]]>
La formule u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| × \|v⃗\| × cosθ relie produit scalaire, longueurs et angle. Elle sert ensuite,
via Al-Kashi, à calculer le troisième côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
20]]>
Bonne réponse : 5 × 8 × cos 60^∘ = 40 × ½.]]>
40]]>
Cosinus oublié : 40 est le produit des deux longueurs, qui ne vaut le
produit scalaire que pour un angle nul.]]>
13]]>
Longueurs additionnées : le produit scalaire les multiplie.]]>
34{,}6]]>
Cosinus confondu avec le sinus : sin 60^∘ vaut environ
0{,}87, et cette valeur sert pour une aire, pas pour un produit
scalaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q31 : Produit scalaire à partir de trois points
Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 2),
B(5 ; 3) et C(2 ; 6). Que vaut
AB⃗ · AC⃗ ?]]>
On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par
différence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique
u⃗ · v⃗ = xx' + yy' en base orthonormée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
15]]>
Coordonnées croisées : xy' - yx' mesure un déterminant,
qui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire.]]>
8]]>
Bonne réponse : AB⃗(4 ; 1) et
AC⃗(1 ; 4), donc le produit
vaut 4 × 1 + 1 × 4 = 8.]]>
0]]>
Les deux produits se somment : la formule est
xx' + yy', et non xx' - yy'.]]>
28]]>
Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut
d'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant
celles de A.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q32 : Norme déduite du carré scalaire
Un vecteur u⃗ vérifie u⃗ · u⃗ = 49.
Que vaut \|u⃗\| ?]]>
Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :
u⃗ · u⃗ = \|u⃗\|². On remonte donc à la
norme par une racine carrée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
7]]>
Bonne réponse : u⃗ · u⃗ = \|u⃗\|²,
donc \|u⃗\| = √49 = 7.]]>
24{,}5]]>
Division par 2 au lieu d'une racine carrée : le carré
n'est pas un doublement.]]>
14]]>
Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la
relation u⃗ · u⃗ = \|u⃗\|² ne fait
apparaître de facteur 2.]]>
49]]>
C'est le carré de la norme : la racine carrée a été
oubliée en fin de calcul.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q33 : Vecteurs colinéaires de sens contraires
Les vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires de
sens contraires, avec \|u⃗\| = 3 et
\|v⃗\| = 4. Que vaut u⃗ · v⃗ ?]]>
Pour des vecteurs colinéaires, la formule
u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| × \|v⃗\| × cosθ donne cosθ = 1 de même sens et
cosθ = -1 de sens contraires.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
-12]]>
Bonne réponse : l'angle vaut π, donc
cosθ = -1 et le produit vaut
-3 × 4 = -12.]]>
-7]]>
Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas
dans la formule avec le cosinus.]]>
12]]>
C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de même
sens, où l'angle est nul et le cosinus vaut 1.]]>
0]]>
Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici
les vecteurs sont au contraire alignés.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q34 : Développer $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$
On sait que \|u⃗\|² = 25, \|v⃗\|² = 9 et
u⃗ · v⃗ = 3. Que vaut
(u⃗ + v⃗) · (u⃗ - v⃗) ?]]>
La bilinéarité permet de développer comme une identité
remarquable :
(u⃗ + v⃗) · (u⃗ - v⃗) = \|u⃗\|² - \|v⃗\|², les termes croisés se
compensant car le produit scalaire est symétrique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
10]]>
Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même
sens : u⃗ · v⃗ et
-v⃗ · u⃗ s'annulent.]]>
34]]>
Signe du second facteur oublié : c'est une différence de
carrés, donc 25 - 9.]]>
16]]>
Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés
se compensent et il reste
\|u⃗\|² - \|v⃗\|² = 25 - 9 = 16.]]>
6]]>
Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce
sont justement eux qui disparaissent.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q35 : Produit scalaire avec un angle obtus
Deux vecteurs vérifient \|u⃗\| = 4,
\|v⃗\| = 6 et forment un angle de
3π/4. Que vaut u⃗ · v⃗ ?]]>
La formule u⃗ · v⃗ = \|u⃗\| × \|v⃗\| × cosθ s'applique quel que soit
l'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un
produit scalaire négatif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
-24√2]]>
Le dénominateur 2 du cosinus a été perdu :
cos3π/4 vaut -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, et non
-√2.]]>
-12√2]]>
Bonne réponse : \cos\dfrac{3\pi}{4} =
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, donc le produit vaut
4 \times 6 \times
\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -12\sqrt{2}.]]>
-12√3]]>
Angle confondu avec 5π/6, dont le cosinus
vaut -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.]]>
12√2]]>
Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus
est négatif, donc le produit scalaire l'est aussi.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q36 : Angle obtus entre deux vecteurs
Dans un repère orthonormé, on donne u⃗(3 ; 0) et
v⃗(-1 ; 1). Que vaut l'angle entre u⃗ et
v⃗ ?]]>
On calcule le produit scalaire et les deux normes, puis on
isole \cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}
{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} avant de reconnaître une
valeur remarquable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
3π/4]]>
Bonne réponse : u⃗ · v⃗ = -3,
\|u⃗\| = 3 et \|v⃗\| = √2, donc
\cos\theta = \dfrac{-3}{3\sqrt{2}} =
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.]]>
L'angle n'est pas une valeur remarquable]]>
Le calcul aboutit pourtant à -\dfrac{\sqrt{2}}{2}, qui
est bien le cosinus d'un angle remarquable.]]>
π/4]]>
Signe négligé : le produit scalaire vaut -3, donc le
cosinus est négatif et l'angle dépasse
π/2.]]>
π/2]]>
L'angle serait droit si le produit scalaire était nul :
ici il vaut -3.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q37 : Al-Kashi avec un angle obtus
Dans un triangle ABC, on donne AC = 3, AB = 5 et
\widehat{A} = \dfrac{2\pi}{3}. Que vaut BC² ?]]>
La formule d'Al-Kashi s'écrit
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. Avec un angle obtus,
le cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui
allonge le côté opposé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
19]]>
Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme
-2bc\cos\widehat{A} devient positif.]]>
34]]>
C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si
l'angle en A est droit.]]>
64]]>
Le facteur \cos\widehat{A} = -\dfrac{1}{2} a été
remplacé par -1 : le terme correctif vaut bc, pas
2bc.]]>
49]]>
Bonne réponse : cos2π/3 = -½,
donc BC² = 3² + 5² + 3 × 5 = 49.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q38 : Reconnaître un angle obtus
Un triangle a pour longueurs de côtés a = 7, b = 3 et
c = 5. Que vaut l'angle \widehat{A}, opposé au côté
a ?]]>
En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi, on obtient
\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. Son signe
indique aussitôt si l'angle est aigu ou obtus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un tel triangle ne peut pas exister]]>
L'inégalité triangulaire est pourtant respectée, puisque
3 + 5 dépasse 7.]]>
π/2]]>
L'angle serait droit si a² = b² + c², ce qui n'est
pas le cas ici.]]>
π/3]]>
Signe du cosinus perdu : -15/30 est
négatif, et seul un angle obtus a un cosinus négatif.]]>
2π/3]]>
Bonne réponse : Al-Kashi donne
\cos\widehat{A} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2},
d'où \widehat{A} = \dfrac{2\pi}{3}.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q39 : Projection hors de la demi-droite
Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est un
point H tel que AH = 2, situé en dehors de la
demi-droite [AB). Sachant que AB = 6, que vaut
AB⃗ · AC⃗ ?]]>
Le produit AB⃗ · AC⃗
vaut \overline{AH} \times AB, où \overline{AH} est une
mesure algébrique : positive si H est du côté de B,
négative sinon.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
-3]]>
Quotient au lieu d'un produit : la projection donne
\overline{AH} \times AB.]]>
12]]>
Position de H négligée : hors de [AB), la mesure
algébrique est négative, donc le produit aussi.]]>
-12]]>
Bonne réponse : AH⃗ et
AB⃗ sont de sens contraires, donc le
produit vaut -6 × 2 = -12.]]>
-8]]>
Les deux longueurs se multiplient, elles ne
s'additionnent pas.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q40 : Un paramètre dans les deux vecteurs
Pour quelles valeurs de t les vecteurs
u⃗(t ; 3) et v⃗(t ; -12) sont-ils
orthogonaux ?]]>
L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la
condition porte sur t², donc la résolution donne deux
valeurs opposées, à ne pas réduire à une seule.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
t = 6 seulement]]>
Une seule solution retenue : l'équation t² = 36
en admet deux, opposées l'une de l'autre.]]>
t = 6 ou t = -6]]>
Bonne réponse : la condition s'écrit
t² - 36 = 0, équation qui admet les deux
solutions opposées 6 et -6.]]>
Aucune valeur de t ne convient]]>
L'équation t² = 36 a bien des solutions, car
36 est positif.]]>
t = 36]]>
C'est la valeur de t², pas celle de t : la racine
carrée a été oubliée.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q41 : Calcul avec le milieu de $[AB]$
Soit I le milieu d'un segment [AB] de longueur 8. Un
point M vérifie MI = 5. Que vaut
MA⃗ · MB⃗ ?]]>
En introduisant le milieu I, on écrit
MA⃗ = MI⃗ + IA⃗ et
MB⃗ = MI⃗ - IA⃗, ce qui donne
MI² - IA², avec IA = AB/2.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
9]]>
Bonne réponse : MA⃗ · MB⃗ = MI² - AB²/4 = 5² - 4² = 9.]]>
-39]]>
C'est AB entier qui a été élevé au carré : la formule
fait intervenir la demi-longueur IA = 4.]]>
-9]]>
Les deux termes ont été intervertis : c'est MI² qui
vient en premier.]]>
41]]>
Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de AB
se retranche.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q42 : Un point sur le cercle de diamètre $[AB]$
Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] et il
est distinct de A et de B. Que vaut
MA⃗ · MB⃗ ?]]>
L'ensemble des points M tels que
MA⃗ · MB⃗ = 0 est
exactement le cercle de diamètre [AB]. Appartenir à ce
cercle et annuler ce produit sont donc équivalents.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
AB², soit le carré du diamètre]]>
Cette valeur serait celle de
AB⃗ · AB⃗ : ici les
vecteurs partent tous deux de M.]]>
-AB²/4, valeur prise au centre]]>
C'est la valeur obtenue lorsque M est le centre du
cercle, qui n'appartient pas au cercle lui-même.]]>
0, car l'angle \widehat{AMB} est droit]]>
Bonne réponse : un point du cercle de diamètre [AB]
voit ce diamètre sous un angle droit, donc les deux
vecteurs sont orthogonaux.]]>
MA × MB, les vecteurs étant alignés]]>
Les vecteurs ne sont pas colinéaires : M n'est pas sur
la droite (AB), puisqu'il diffère de A et de B.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q43 : Une ligne de niveau non nulle
Soient A et B deux points distincts. Quel est l'ensemble
des points M tels que AM⃗ · AB⃗ = AB²/2 ?]]>
Une ligne de niveau AM⃗ · AB⃗ = k est toujours une droite
perpendiculaire à (AB). La valeur de k ne fait que
choisir le point de (AB) par lequel elle passe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le cercle de diamètre [AB]]]>
Ce cercle est l'ensemble obtenu pour
MA⃗ · MB⃗ = 0,
avec deux vecteurs issus de M.]]>
La médiatrice du segment [AB]]]>
Bonne réponse : le produit vaut \overline{AH} \times AB
avec H projeté de M, donc AH = AB/2 et
H est le milieu de [AB].]]>
La perpendiculaire à (AB) passant par A]]>
Cette droite correspond au second membre 0 : ici le
projeté doit être à mi-chemin, pas en A.]]>
La parallèle à (AB) passant par le milieu de [AB]]]>
Cette droite est (AB) elle-même : un produit scalaire
constant impose au contraire une perpendiculaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q44 : Un côté déduit des diagonales
Dans un parallélogramme ABCD, les diagonales mesurent
AC = 14 et BD = 8, et le côté AB mesure 7.
Que vaut AD ?]]>
L'identité du parallélogramme s'écrit
AC² + BD² = 2(AB² + AD²). Elle permet de retrouver un
côté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre
côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
81]]>
C'est AD² : la racine carrée a été oubliée à la
dernière étape.]]>
4]]>
Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur
les carrés des longueurs, pas sur les longueurs.]]>
9]]>
Bonne réponse : AC² + BD² = 2(AB² + AD²) donne
AD² = 81, donc AD = 9.]]>
7]]>
C'est la demi-diagonale AO, qui relie un sommet au
point d'intersection des diagonales, et non un côté.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q45 : Un produit scalaire nul
On sait que u⃗ · v⃗ = 0. Peut-on en conclure
que u⃗ = 0⃗ ou v⃗ = 0⃗ ?]]>
Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité, y
compris pour des vecteurs non nuls. La règle du produit nul,
valable dans les réels, ne se transpose donc pas au produit
scalaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, un produit nul entraîne un facteur nul]]>
Cette règle vaut pour le produit de deux nombres : le
produit scalaire de deux vecteurs ne la suit pas.]]>
Non, sauf si les deux vecteurs sont unitaires]]>
La norme ne joue aucun rôle ici : deux vecteurs
unitaires perpendiculaires ont aussi un produit nul.]]>
Non, ils peuvent simplement être orthogonaux]]>
Bonne réponse : deux vecteurs non nuls perpendiculaires
ont un produit scalaire nul, par exemple
u⃗(1 ; 0) et v⃗(0 ; 1).]]>
Oui, car le produit scalaire est un nombre réel]]>
Le résultat est bien un nombre, mais les facteurs sont
des vecteurs, ce qui change la règle applicable.]]>