$course$/QCM de maths/Première spécialité/Le second degréTrinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,
factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,
parabole (sommet, orientation, lectures graphiques).]]>Le second degré — Q01 : Calculer un discriminantQuel est le discriminant du trinôme 2x² - 3x + 1 ?]]>Pour ax² + bx + c : Δ = b² - 4ac. Avec a = 2,
b = -3, c = 1 : Δ = 9 - 8 = 1.]]>1.00.00truetrueabcΔ = 1]]>Bonne réponse : Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4 × 2 × 1 = 9 - 8 = 1.]]>Δ = 17]]>Erreur de signe : 9 + 8 = 17 correspond à b² + 4ac. La
formule est b² - 4ac, avec un moins.]]>Δ = -1]]>Erreur : 4ac - b² = -1 inverse les deux termes. C'est
b² qui vient en premier : b² - 4ac = 9 - 8 = 1.]]>Δ = 3]]>Erreur : tu as sans doute utilisé b au lieu de b².
Ici b = -3 donc b² = 9, et Δ = 9 - 8 = 1.]]>Le second degré — Q02 : Calculer les racinesQuelles sont les racines du trinôme 2x² - 3x + 1
(on rappelle que Δ = 1) ?]]>Δ = 1 > 0 : deux racines
x = 3 ± 1/2 × 2, soit x₁ = ½ et
x₂ = 1. Vérification : 2 × 1 - 3 + 1 = 0.]]>1.00.00truetrueabcx₁ = ½ et x₂ = 1]]>Bonne réponse : x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
= \dfrac{3 \pm 1}{4}, soit 2/4 = ½
et 4/4 = 1.]]>x₁ = 1 et x₂ = 2]]>Erreur de dénominateur : tu as divisé par 2 au lieu de
2a = 4. La formule est \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.]]>Le trinôme n'a pas de racine réelle]]>Erreur : Δ = 1 > 0, donc il y a exactement deux
racines réelles distinctes.]]>x₁ = -½ et x₂ = -1]]>Erreur de signe : -b = -(-3) = +3. Le numérateur est
3 ± 1, pas -3 ± 1.]]>Le second degré — Q03 : Sommet et forme canoniqueSoit f(x) = (x - 2)² + 3. Quelles sont les coordonnées du
sommet de la parabole représentant f ?]]>Forme canonique f(x) = a(x - α)² + β : le sommet de
la parabole est S(α ; β). Ici α = 2 et
β = 3.]]>1.00.00truetrueabc(2 ; -3)]]>Erreur : β = +3 se lit directement, sans changement de
signe. Seul α est affecté par le moins de la formule.]]>(-2 ; 3)]]>Erreur de signe classique : dans (x - α)², on lit
α = 2 car x - 2 = x - α. Le signe moins
fait que l'abscisse du sommet est +2.]]>(3 ; 2)]]>Erreur d'inversion : α = 2 est l'abscisse et
β = 3 l'ordonnée du sommet, pas l'inverse.]]>(2 ; 3)]]>Bonne réponse : sous la forme canonique
a(x - α)² + β, le sommet est (α ; β),
ici (2 ; 3).]]>Le second degré — Q04 : Signe d'un trinômeLe trinôme x² - 4x + 3 a pour racines 1 et 3.
Sur quel ensemble est-il strictement négatif ?]]>Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de a à
l'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici a = 1 > 0
donc x² - 4x + 3 < 0 exactement sur ]1 ; 3[.]]>1.00.00truetrueabcSur ]-∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[]]>Erreur : c'est là que le trinôme est positif (signe de
a à l'extérieur des racines, avec a = 1 > 0).]]>Nulle part, car a > 0]]>Erreur : a > 0 garantit un signe positif seulement si
Δ < 0. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change
de signe.]]>Sur ]1 ; 3[]]>Bonne réponse : a = 1 > 0, donc le trinôme est du signe de
a (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire
(négatif) entre les racines.]]>Sur [1 ; 3]]]>Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,
mais en 1 et 3 il s'annule. « Strictement négatif »
exclut les racines : intervalle ouvert.]]>Le second degré — Q05 : Somme et produit des racinesLe trinôme x² - 5x + 6 admet deux racines. Que valent leur
somme S et leur produit P ?]]>Pour ax² + bx + c de racines x₁ et x₂ :
S = x₁ + x₂ = -b/a et P = x₁ x₂ = c/a.
Ici S = 5, P = 6 (racines 2 et 3).]]>1.00.00truetrueabcS = 5 et P = -6]]>Erreur de signe sur le produit : P = c/a = 6/1 = 6, sans changement de signe.]]>S = 5 et P = 6]]>Bonne réponse : S = -b/a = 5 et
P = c/a = 6. Les racines sont d'ailleurs 2 et
3.]]>S = -5 et P = 6]]>Erreur de signe : S = -b/a avec b = -5 donne
S = +5. Le moins de la formule et celui de b se
compensent.]]>S = 6 et P = 5]]>Erreur d'inversion : la somme se lit sur b
(S = -b/a) et le produit sur c (P = c/a).]]>Le second degré — Q06 : Orientation de la paraboleSoit f(x) = ax² + bx + c avec a < 0. Que peut-on dire de la
parabole représentant f ?]]>Le signe de a donne l'orientation : a > 0 branches vers le
haut (sommet minimum), a < 0 branches vers le bas (sommet
maximum).]]>1.00.00truetrueabcElle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum]]>Erreur : c'est la situation a > 0. Le signe de a commande
l'orientation des branches.]]>Elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum]]>Bonne réponse : quand a < 0, les branches descendent et le
sommet est le point le plus haut de la courbe.]]>Son orientation dépend du signe de c]]>Erreur : c = f(0) ne fixe que le point d'intersection avec
l'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe
de a.]]>Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum]]>Incohérent : si les branches descendent, le sommet est
au-dessus de tout le reste, c'est un maximum.]]>Le second degré — Q07 : Lire les racines sur la parabole[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,
et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de
f(x) = -x² + 2x + 3.]
La parabole \mathcal{P} ci-dessous représente un trinôme du
second degré f. Quelles sont les racines de f ?
]]>Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de
sa parabole avec l'axe des abscisses : ici x = -1 et x = 3.]]>1.00.00truetrueabc3 seulement]]>Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux
points. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,
en x = -1.]]>-1 et 3]]>Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où
la parabole coupe l'axe des abscisses, ici -1 et 3.]]>1 et 3]]>Erreur de lecture : 1 est l'abscisse du sommet, pas un
point de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe
l'axe en x = -1, à gauche de l'origine.]]>1 et 4]]>Erreur : (1 ; 4) sont les coordonnées du sommet. Les
racines se lisent sur l'axe des abscisses, là où f
s'annule.]]>Le second degré — Q08 : Signe de $a$ et de $\Delta$ d'après la courbe[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,
et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de
f(x) = -x² + 2x + 3.]
D'après la parabole \mathcal{P} ci-dessous, quels sont les
signes de a (coefficient dominant) et de Δ
(discriminant) ?
]]>Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le
signe de a (ici vers le bas, a < 0) ; le nombre
d'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de
Δ (ici deux points, Δ > 0).]]>1.00.00truetrueabca > 0 et Δ > 0]]>Erreur sur a : les branches de la parabole descendent,
donc a < 0.]]>a < 0 et Δ = 0]]>Erreur : Δ = 0 signifierait que la parabole touche
l'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici
elle le traverse en deux points distincts.]]>a < 0 et Δ > 0]]>Bonne réponse : branches vers le bas donc a < 0 ; deux
intersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,
donc Δ > 0.]]>a < 0 et Δ < 0]]>Erreur sur Δ : la courbe coupe l'axe des
abscisses (deux racines réelles), donc Δ > 0.
Δ < 0 correspondrait à une parabole entièrement d'un
côté de l'axe.]]>Le second degré — Q09 : Cas $\Delta < 0$Soit f(x) = ax² + bx + c avec Δ < 0. Que peut-on en
déduire ?]]>Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un
signe constant, celui de a.]]>1.00.00truetrueabcLe trinôme admet une racine double]]>Erreur : la racine double correspond à Δ = 0. Avec
Δ < 0, il n'y a aucune racine réelle.]]>Le trinôme change de signe en x = -b/2a]]>Erreur : -b/2a est l'abscisse du sommet, pas un
point de changement de signe. Sans racine, aucun changement
de signe n'est possible.]]>Le trinôme est strictement positif pour tout réel x]]>Incomplet : c'est vrai seulement si de plus a > 0. Avec
a < 0 et Δ < 0, le trinôme est toujours négatif.]]>Le trinôme garde le signe de a pour tout réel x]]>Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas
changer de signe : il reste du signe de a sur tout
ℝ.]]>Le second degré — Q10 : Factoriser un trinômeQuelle est la forme factorisée de x² - x - 6 ?]]>Racines de x² - x - 6 : Δ = 1 + 24 = 25,
x = 1 ± 5/2, soit 3 et -2. D'où la
factorisation a(x - x₁)(x - x₂) = (x - 3)(x + 2).]]>1.00.00truetrueabc(x + 3)(x - 2)]]>Erreur de signes : ce produit se développe en
x² + x - 6. Vérifie toujours le terme en x après
factorisation.]]>(x - 6)(x + 1)]]>Erreur : ce produit vaut x² - 5x - 6. Le produit des
racines doit valoir -6 et leur somme 1 : c'est
3 et -2, pas 6 et -1.]]>(x - 2)(x - 3)]]>Erreur : ce produit vaut x² - 5x + 6, dont le terme
constant est +6. Ici il faut un produit de racines égal à
-6, donc deux racines de signes opposés.]]>(x - 3)(x + 2)]]>Bonne réponse : les racines sont 3 et -2 (avec
Δ = 25), donc
x² - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x-3)(x+2).]]>Le second degré — Q11 : Résoudre une inéquation du second degréQuel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
x² - 2x - 8 < 0 ?]]>Δ = 4 + 32 = 36, racines 2 ± 6/2 = 4 et
-2. Avec a > 0, le trinôme est strictement négatif entre ses
racines : S = ]-2 ; 4[.]]>1.00.00truetrueabc[-2 ; 4]]]>Attention au strict : l'inégalité est < 0, or le trinôme
s'annule en -2 et 4. Ces bornes sont donc exclues :
intervalle ouvert.]]>]-2 ; 4[]]>Bonne réponse : les racines sont -2 et 4
(Δ = 36), et comme a = 1 > 0, le trinôme est
négatif strictement entre ses racines.]]>]2 ; 4[]]>Erreur de calcul des racines : x = 2 ± 6/2
donne 4 et -2, pas 2. Reprends la formule
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.]]>]-∞ ; -2[ ∪ ]4 ; +∞[]]>Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est
du signe de a = 1 > 0, donc positif. La partie négative
est entre les racines.]]>Le second degré — Q12 : Extremum d'un trinômeSoit f(x) = 2x² - 8x + 1. Quel est l'extremum de f sur
ℝ, et en quelle valeur de x est-il atteint ?]]>L'extremum d'un trinôme est atteint en x = -b/2a = 2 ;
f(2) = -7. Le signe de a (2 > 0) indique que la parabole
est tournée vers le haut : c'est un minimum.]]>1.00.00truetrueabcUn maximum égal à -7, atteint en x = 2]]>Erreur d'orientation : a = 2 > 0, la parabole est tournée
vers le haut, son sommet est donc un minimum.]]>Un minimum égal à -7, atteint en x = -2]]>Erreur de signe : -b/2a = --8/4 = +2.
Le moins de la formule et celui de b = -8 se compensent.]]>Un minimum égal à -7, atteint en x = 2]]>Bonne réponse : x = -b/2a = 8/4 = 2 et
f(2) = 8 - 16 + 1 = -7. Comme a = 2 > 0, c'est un
minimum.]]>Un minimum égal à 1, atteint en x = 0]]>Erreur : 1 = f(0) est l'ordonnée à l'origine, pas
l'extremum. Le sommet est en x = -b/2a = 2.]]>Le second degré — Q13 : Équation produit nulQuelles sont les solutions de (x - 3)(x + 2) = 0 ?]]>Règle du produit nul : AB = 0 \iff A = 0 ou B = 0. La
forme factorisée donne les racines sans aucun calcul :
c'est pour cela qu'on factorise.]]>1.00.00truetrueabcx = 3 ou x = -2]]>Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si
l'un de ses facteurs est nul : x - 3 = 0 ou x + 2 = 0.]]>x = -3 ou x = 2]]>Signes inversés : x - 3 = 0 donne x = +3 (le signe
bascule en passant de l'autre côté).]]>x = 3 seulement]]>Facteur oublié : x = -2 annule aussi le produit :
une équation de degré 2 peut avoir deux solutions.]]>x = 6]]>Erreur : 6 = 3 × 2 mélange les racines : on
annule chaque facteur, on ne les combine pas.]]>Le second degré — Q14 : Résoudre $x^2 = 16$Quelles sont les solutions de l'équation x² = 16 ?]]>Pour k > 0 : x^2 = k \iff x = \sqrt{k} ou x = -√k : toujours deux solutions. (x² = 0 : une
seule ; x² = k < 0 : aucune.)]]>1.00.00truetrueabcx = 4 ou x = -4]]>Bonne réponse : deux nombres ont pour carré 16 :
4 et -4 (le carré efface le signe).]]>x = 256 ou x = -256]]>Sens inverse : 256 = 16² élève au carré au lieu d'en
revenir : on cherche les nombres dont le carré vaut
16.]]>x = 8 ou x = -8]]>Erreur : 8² = 64. Le nombre 8 est 16 ÷ 2, pas
la racine carrée de 16 (√16 = 4).]]>x = 4 seulement]]>Moitié perdue : (-4)² = 16 aussi : oublier la racine
négative est l'erreur la plus fréquente du chapitre.]]>Le second degré — Q15 : Discriminant nulQue dire des solutions de x² - 6x + 9 = 0 ?]]>Δ = 0 : racine double x₀ = -b/2a, et le
trinôme s'écrit a(x - x₀)² : la parabole est tangente à
l'axe des abscisses. Réflexe : reconnaître les identités
remarquables avant de calculer Δ.]]>1.00.00truetrueabcAucune solution réelle]]>Erreur : « aucune solution réelle » correspond à Δ < 0 ;
ici Δ = 0 : la parabole touche l'axe en un
point.]]>Une seule solution, x = 3]]>Bonne réponse : Δ = 36 - 36 = 0 : racine double
x = -b/2a = 3. D'ailleurs x² - 6x + 9 = (x - 3)².]]>Deux solutions : x = 3 et x = -3]]>Erreur : (-3)² - 6(-3) + 9 = 36 ≠ 0. Le carré
parfait (x-3)² ne s'annule qu'en 3.]]>Une seule solution, x = 9]]>Erreur : 81 - 54 + 9 = 36 ≠ 0. La racine double se
calcule par -b/2a = 6/2 = 3.]]>Le second degré — Q16 : Mettre sous forme canoniqueQuelle est la forme canonique de f(x) = x² + 4x + 1 ?]]>Complétion du carré : x² + bx = (x + b/2)² - b²/4. La forme canonique
a(x - α)² + β livre le sommet (α\ ;\ β) et l'extremum sans dériver.]]>1.00.00truetrueabcf(x) = (x - 2)² - 3]]>Signe : le sommet est en x = -2 (le trinôme
« penche » vers les x négatifs avec +4x) : la forme
est (x + 2)² - 3.]]>f(x) = (x + 2)² + 1]]>Correction oubliée : (x+2)² vaut x² + 4x + 4 : il
faut retirer ce 4 excédentaire : -4 + 1 = -3.]]>f(x) = (x + 2)² - 3]]>Bonne réponse : x² + 4x = (x + 2)² - 4, puis +1 :
(x+2)² - 3. Contrôle : sommet en (-2\ ;\ -3).]]>f(x) = (x + 4)² - 15]]>Erreur : on divise le coefficient de x par 2 :
(x + 2)², pas (x + 4)².]]>Le second degré — Q17 : La racine évidente $x = 1$Pour le trinôme 2x² - 5x + 3, on remarque que 2 - 5 + 3 = 0. Qu'en déduit-on ?]]>f(1) = a + b + c : si la somme des coefficients est
nulle, 1 est racine et l'autre vaut c/a (par le
produit des racines). Variante : a - b + c = 0 ⇒ x = -1 racine. Deux réflexes qui font gagner des minutes.]]>1.00.00truetrueabcx = 0 est racine, l'autre vaut 3]]>Erreur : f(0) = c = 3 ≠ 0, donc 0 n'est pas
racine. C'est f(1) = a + b + c qui est nul.]]>Rien, il faut d'abord calculer Δ]]>Occasion manquée : l'observation a + b + c = 0
court-circuite tout le calcul (Δ = 1 le
confirmerait, mais pourquoi ?).]]>Le trinôme n'a aucune racine réelle]]>Contresens : la somme nulle des coefficients fournit
une racine (x = 1), elle n'en interdit pas.]]>x = 1 est racine, l'autre vaut 3/2]]>Bonne réponse : a + b + c = 0 signifie exactement
f(1) = 0 ; le produit des racines valant c/a = 3/2, l'autre racine est 3/2 :
zéro discriminant calculé.]]>Le second degré — Q18 : Résoudre $x^2 \leq 9$Quel est l'ensemble des solutions de x² ≤ 9 ?]]>x² ≤ k (k > 0) \iff -\sqrt{k} \leq x \leq
\sqrt{k} : jamais « x ≤ √k » seul. Vision
parabole : y = x² passe sous y = 9 entre les deux
points d'intersection.]]>1.00.00truetrueabc]-∞\ ;\ 3]]]>Piège de la « racine directe » : x = -5 ≤ 3
pourtant 25 > 9 : les grands négatifs ont de grands
carrés : l'ensemble est borné des deux côtés.]]>[3\ ;\ +∞[]]>Sens inverse : c'est (avec la partie négative) la
solution de x² ≥ 9 : le trinôme est positif à
l'extérieur des racines.]]>[-3\ ;\ 3]]]>Bonne réponse : x² - 9 = (x-3)(x+3) est négatif entre ses racines : le segment [-3\ ;\ 3].]]>[0\ ;\ 3]]]>Moitié perdue : (-2)² = 4 ≤ 9 : les négatifs de
[-3\ ;\ 0] conviennent aussi.]]>Le second degré — Q19 : Trinôme sans racineQuel est le signe de f(x) = -x² + x - 1 sur
ℝ ?]]>Δ < 0 : le signe constant est celui de a. Le contrôle
d'une valeur (f(0) = c) confirme en deux secondes. Cas
très fréquent dans les études de signe de dérivées.]]>1.00.00truetrueabcStrictement négatif pour tout x]]>Bonne réponse : Δ = 1 - 4 = -3 < 0, pas de racine
: le trinôme garde partout le signe de a = -1,
négatif. La parabole renversée reste entièrement sous
l'axe.]]>Le signe dépend de x, il faut un tableau complet]]>Tableau inutile ici : Δ < 0 règle tout en une
ligne : signe constant, celui de a.]]>Négatif, puis positif au-delà de sa racine]]>Erreur : changer de signe exigerait de traverser l'axe,
donc des racines : or Δ < 0 : aucun passage.]]>Strictement positif pour tout x]]>Signe de a ignoré : sans racine, le trinôme suit a = -1 : négatif partout (testez f(0) = -1).]]>Le second degré — Q20 : Deux nombres par somme et produitDeux réels ont pour somme 7 et pour produit 12. Quels
sont-ils ?]]>Deux nombres de somme s et produit p = racines de x² - sx + p = 0 (attention au moins devant s). Le sens
inverse de « somme et produit des racines » : très utilisé
en géométrie et en arithmétique.]]>1.00.00truetrueabc3 et 4]]>Bonne réponse : les nombres cherchés sont les racines de
x² - sx + p = 0, soit x² - 7x + 12 : Δ = 1,
racines 3 et 4.]]>6 et 2]]>Contrôle : somme 8 ≠ 7. Les deux conditions doivent
tenir ensemble : l'équation x² - 7x + 12 les
encode toutes les deux.]]>7 et 12]]>Erreur : recopier somme et produit ne les réalise pas
(7 + 12 = 19, 7 × 12 = 84).]]>-3 et -4]]>Signes : leur somme vaut -7 : ce sont les racines de
x^2 \textbf{+} 7x + 12.]]>Le second degré — Q21 : Paramètre pour une racine doublePour quelles valeurs de m le trinôme x² + mx + 9
admet-il une racine double ?]]>Question avec paramètre : exprimer Δ en fonction de
m, puis imposer la condition (= 0 pour racine double,
> 0 pour deux racines…). L'équation en m qui en résulte
se résout à son tour : ne pas perdre ses solutions.]]>1.00.00truetrueabcm = 6 seulement]]>Racine négative de m² = 36 perdue : m = -6 donne
(x - 3)², racine double aussi : l'équation en m est
elle-même du second degré !]]>Aucune : le discriminant dépend de x]]>Erreur : Δ = m² - 36 dépend de m seulement :
le discriminant est un nombre attaché au trinôme, pas
une fonction de x.]]>m = 3]]>Erreur : Δ = 9 - 36 = -27 < 0 pour m = 3 :
aucune racine du tout. La condition est m² = 36.]]>m = 6 ou m = -6]]>Bonne réponse : racine double \iff \Delta = m^2 - 36 =
0 \iff m = \pm 6 : deux valeurs, correspondant à
(x + 3)² et (x - 3)².]]>Le second degré — Q22 : Parabole et droiteEn quels points la parabole y = x² coupe-t-elle la
droite y = 2x + 3 ?]]>Intersection de courbes : égaler les expressions, ramener à
= 0, résoudre. Le discriminant raconte la géométrie :
Δ > 0 deux points, Δ = 0 tangence, Δ < 0 aucun contact.]]>1.00.00truetrueabcAux points d'abscisses -1 et 3]]>Bonne réponse : égaler : x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x -
3 = 0, racines -1 et 3 (somme 2, produit -3) :
points (-1\ ;\ 1) et (3\ ;\ 9).]]>Aux points d'abscisses 1 et -3]]>Signes : contrôle : 1² = 1 mais 2(1) + 3 = 5 : pas
d'intersection en 1. Les racines de x² - 2x - 3
sont -1 et 3.]]>Au seul point d'abscisse 2]]>Erreur : un point unique correspondrait à Δ = 0
(droite tangente) ; ici Δ = 16 ≠ 0.]]>Nulle part : une droite ne coupe jamais une parabole]]>Erreur : tout dépend du discriminant de l'équation aux
abscisses : ici Δ = 16 > 0 : deux points
d'intersection.]]>Le second degré — Q23 : Nombre de racines selon $m$Pour quelles valeurs de m l'équation x² + 2x + m = 0
admet-elle deux solutions distinctes ?]]>Discussion selon le paramètre : Δ(m) = 4 - 4m, puis
trois cas : m < 1 (deux racines), m = 1 (double),
m > 1 (aucune). Vision graphique : la parabole y = x² + 2x coupée par l'horizontale y = -m.]]>1.00.00truetrueabcm < 0]]>Seuil faux : m = 0{,}5 donne Δ = 2 > 0 : deux
racines. La frontière exacte est m = 1.]]>m < 1]]>Bonne réponse : \Delta = 4 - 4m > 0 \iff m < 1 : en
dessous du seuil, deux racines ; en m = 1 : racine
double -1 ; au-delà : plus rien.]]>Tout m : une équation de degré 2 a toujours deux
solutions]]>Erreur (en première !) : dans ℝ, Δ < 0
ne laisse aucune solution : le nombre de racines dépend
de m.]]>m > 1]]>Sens inversé : Δ = 4 - 4m décroît avec m :
plus m grandit, plus le discriminant plonge sous zéro.]]>Le second degré — Q24 : Ne pas diviser par $x$Pour résoudre x² = 5x, un élève divise les deux membres
par x et conclut x = 5. Qu'en penser ?]]>Règle d'or : ne jamais diviser par une expression qui peut
s'annuler : tout ramener à = 0 et factoriser (x(x - 5) = 0). La solution perdue est toujours celle qui annule
le diviseur.]]>1.00.00truetrueabcIl fallait plutôt diviser par 5]]>Hors sujet : diviser par la constante 5 est licite
mais ne résout rien : le problème est la division par la variable.]]>Rien : x = 5 est bien l'unique solution]]>Contrôle : 0² = 5 × 0 : zéro est solution ! La
division silencieuse par x l'a fait disparaître.]]>L'équation n'a pas de solution : les degrés sont
différents]]>Erreur : rien n'interdit d'égaler un carré et un
multiple : l'équation équivaut à x² - 5x = 0, deux
solutions.]]>Il a perdu la solution x = 0 : diviser par x
suppose x ≠ 0]]>Bonne réponse : la méthode sûre factorise : x(x - 5) = 0, d'où x = 0 ou x = 5 : la division par une
quantité pouvant s'annuler ampute l'ensemble des
solutions.]]>Le second degré — Q25 : Signe d'un trinôme à coefficient négatifUn trinôme de coefficient dominant a = -2 admet deux racines, -1
et 4. Sur quel ensemble est-il positif ?]]>La règle du signe d'un trinôme est la même quel que soit a : signe de
a à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Un coefficient
négatif inverse donc la lecture habituelle.]]>1.00.00truetrueabcSur aucun intervalle]]>Pour x = 0, le trinôme vaut -2 × 1 × (-4) = 8, donc il
est bien positif quelque part.]]>Sur ]-∞ ; -1[ ∪ ]4 ; +∞[]]>C'est là qu'il est négatif : à l'extérieur des racines, le trinôme
prend le signe de a.]]>Sur ℝ tout entier]]>Il s'annule en -1 et en 4, et devient négatif au-delà : pour
x = 5, il vaut -12.]]>Sur ]-1 ; 4[]]>Bonne réponse : un trinôme est du signe contraire à celui de a entre
ses racines, donc positif ici.]]>Le second degré — Q26 : Un produit égal à $10$Quelles sont les solutions de l'équation (x - 1)(x + 2) = 10 ?]]>La règle du produit nul exige un second membre égal à zéro. Quand ce n'est
pas le cas, on développe, on ramène tout du même côté, puis on résout le
trinôme obtenu.]]>1.00.00truetrueabc-3 et 4]]>Signes inversés : pour x = 4, le produit vaut 18, et pour
x = -3, il vaut 4.]]>11 et 8]]>Chaque facteur égalé à 10 : cette méthode ne vaut que pour un
produit nul. Ici (11-1)(11+2) = 130.]]>3 et -4]]>Bonne réponse : le développement donne x² + x - 12 = 0, dont le
discriminant vaut 49.]]>1 et -2]]>Racines du produit nul : elles annulent le membre de gauche, elles ne
le rendent pas égal à 10.]]>Le second degré — Q27 : Abscisse du sommetQuelle est l'abscisse du sommet de la parabole d'équation
y = 2x² - 12x + 5 ?]]>L'abscisse du sommet vaut -b/2a. Son ordonnée s'obtient en
calculant l'image de cette valeur, ici f(3) = -13.]]>1.00.00truetrueabc-3]]>Signe perdu : le coefficient b vaut -12, et son opposé est
positif.]]>6]]>Division oubliée : -b/2a divise par 2a, ici par 4 et
non par 2.]]>3]]>Bonne réponse : -b/2a = --12/4 = 3.]]>5]]>Terme constant recopié : il donne l'ordonnée à l'origine, pas la
position du sommet.]]>Le second degré — Q28 : Construire un trinôme à partir de ses racinesQuel trinôme de coefficient dominant 1 admet pour racines 2 et
-5 ?]]>Si x₁ et x₂ sont les racines d'un trinôme de coefficient dominant
1, alors il s'écrit x² - (x₁ + x₂)x + x₁ x₂.]]>1.00.00truetrueabcx² - 7x - 10]]>Différence au lieu de la somme : 2 - 5 n'intervient pas, c'est bien
2 + (-5) qu'il faut prendre au signe près.]]>x² - 3x - 10]]>Signe du coefficient de x : il vaut l'opposé de la somme des
racines, soit +3.]]>x² + 3x + 10]]>Signe du terme constant : le produit de 2 et de -5 vaut -10.]]>x² + 3x - 10]]>Bonne réponse : la somme des racines vaut -3 et leur produit -10,
d'où x² - (-3)x + (-10).]]>Le second degré — Q29 : Une inéquation toujours vraieQuel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
x² + 2x + 5 > 0 ?]]>Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme garde partout le signe de
son coefficient dominant. La forme canonique (x+1)² + 4 le confirme.]]>1.00.00truetrueabcℝ]]>Bonne réponse : le discriminant vaut 4 - 20 = -16, donc le trinôme
ne s'annule jamais et garde le signe de a, positif.]]>]-∞ ; -1[]]>Pour x = 0, le trinôme vaut 5, donc l'inéquation est vérifiée
au-delà de -1 également.]]>]-5 ; 1[]]>Intervalle inventé : sans racine, le trinôme ne change pas de signe,
il n'y a aucun intervalle à délimiter.]]>L'ensemble vide]]>Ce serait le cas d'un trinôme sans racine à coefficient dominant
négatif, ce qui n'est pas la situation.]]>Le second degré — Q30 : Quelle forme pour quelle lectureQuelle écriture d'un trinôme permet de lire directement les
coordonnées du sommet ?]]>Forme développée pour le discriminant et l'ordonnée à l'origine, forme
factorisée pour les racines et le signe, forme canonique pour le sommet et
les variations.]]>1.00.00truetrueabcLa forme factorisée]]>Elle donne les racines ; le sommet s'en déduit ensuite, en prenant leur
milieu.]]>Les trois indifféremment]]>Chacune met en évidence une information différente, c'est justement
pourquoi on passe de l'une à l'autre.]]>La forme développée]]>Elle donne l'ordonnée à l'origine et permet le calcul du
discriminant, mais pas la lecture directe du sommet.]]>La forme canonique]]>Bonne réponse : dans a(x - α)² + β, le sommet est le point
de coordonnées (α ; β).]]>Le second degré — Q31 : Un carré égal à un nombre négatifQuelles sont les solutions réelles de l'équation x² = -9 ?]]>L'équation x² = k admet deux solutions si k > 0, une seule si
k = 0, et aucune si k < 0. Le signe du second membre se regarde
avant tout calcul de racine carrée.]]>1.00.00truetrueabcAucune solution réelle]]>Bonne réponse : le carré d'un réel est toujours positif ou nul, il
ne peut donc pas valoir -9.]]>Deux solutions : 3 et -3]]>Signe du second membre oublié : 3² et -3² valent tous deux
9, c'est-à-dire l'opposé de -9.]]>Une seule solution : -3]]>Un nombre négatif élevé au carré redevient positif : -3² vaut
9, jamais -9.]]>Une seule solution : 3]]>Même erreur de signe : 3² = 9 et non -9. Aucun
carré ne prend une valeur négative.]]>Le second degré — Q32 : Reconnaître une parabole tournée vers le basParmi ces quatre trinômes, lequel est représenté par une parabole
tournée vers le bas ?]]>Seul le coefficient de x² décide de l'orientation : positif, les
branches montent et le sommet est un minimum ; négatif, elles descendent
et le sommet est un maximum.]]>1.00.00truetrueabcf(x) = 2x² - 5x - 1]]>Signe lu sur le mauvais terme : c'est -5x qui est négatif, alors
que le coefficient de x² vaut 2.]]>f(x) = 3x² + 7x - 6]]>Signe lu sur le terme constant : -6 donne l'ordonnée à l'origine,
pas l'orientation de la parabole.]]>f(x) = 10x² - 12x + 3]]>Coefficient dominant 10 > 0 : les branches montent. Les signes de
b et de c n'y changent rien.]]>f(x) = -2x² + 5x - 1]]>Bonne réponse : le coefficient de x² vaut -2, il est négatif,
donc les branches de la parabole descendent.]]>Le second degré — Q33 : Ordonner un trinômeUn trinôme est donné sous la forme f(x) = 5 - 3x + 2x².
Quelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?]]>La forme développée d'un trinôme est ax² + bx + c. Avant de calculer
quoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances
décroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe.]]>1.00.00truetrueabc2x² + 3x + 5]]>Signe perdu en chemin : le terme en x est - 3x, donc le
coefficient b vaut -3.]]>-3x + 2x² + 5]]>Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée
commence par le terme de plus haut degré.]]>5x² - 3x + 2]]>Coefficients échangés : 2 accompagne x² et 5 est la
constante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits.]]>2x² - 3x + 5]]>Bonne réponse : on range le terme en x², puis celui en x, puis
la constante, en conservant chaque signe : a = 2, b = -3 et
c = 5.]]>Le second degré — Q34 : Un carré parfaitLe trinôme x² + 10x + 25 admet une racine double. Quelle est sa
forme factorisée ?]]>Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et
s'écrit a(x - x₀)² avec x₀ = -b/2a. Reconnaître
l'identité remarquable évite tout calcul.]]>1.00.00truetrueabc(x + 25)²]]>Terme constant recopié : c'est sa racine carrée 5 qui figure
dans le carré, puisque 5² = 25.]]>(x - 5)²]]>Signe inversé : ce carré se développe en x² - 10x + 25, dont le
terme en x est négatif.]]>(x + 5)²]]>Bonne réponse : la racine double vaut -b/2a = -5, donc
le trinôme s'écrit (x + 5)². On retrouve bien 5² = 25.]]>(x + 5)(x + 10)]]>Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut
x² + 15x + 50, pas le trinôme donné.]]>Le second degré — Q35 : Croissance lue sur la forme canoniqueSoit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = -2(x - 3)² + 5. Sur quel intervalle f est-elle
croissante ?]]>La forme canonique a(x - α)² + β donne le sommet
(α ; β) et le sens de variation : pour a < 0, la fonction
croît jusqu'à α puis décroît.]]>1.00.00truetrueabcℝ tout entier]]>Un trinôme n'est jamais croissant sur ℝ : il change de
sens de variation en son sommet.]]>[3 ; +∞[]]>Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le
coefficient dominant est négatif.]]>]-∞ ; 5]]]>Coordonnées confondues : 5 est l'ordonnée du sommet, alors que
le changement de sens a lieu en x = 3.]]>]-∞ ; 3]]]>Bonne réponse : avec a = -2 < 0, la parabole monte jusqu'à son
sommet d'abscisse 3, puis redescend.]]>Le second degré — Q36 : Produit nul avec un coefficientQuelles sont les solutions de l'équation
(2x - 3)(x + 5) = 0 ?]]>Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur
se résout à part, et un coefficient devant x fait apparaître une
solution fractionnaire.]]>1.00.00truetrueabcx = 3 ou x = 5]]>Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change
les signes et fait apparaître le coefficient 2.]]>x = -3/2 ou x = 5]]>Signes inversés dans les deux facteurs : 2x - 3 = 0 donne un
quotient positif, et x + 5 = 0 un nombre négatif.]]>x = 3/2 ou x = -5]]>Bonne réponse : 2x - 3 = 0 donne x = 3/2, et x + 5 = 0
donne x = -5.]]>x = ⅔ ou x = -5]]>Quotient à l'envers : on divise 3 par 2, le coefficient de
x passant au dénominateur.]]>Le second degré — Q37 : Factoriser avec un coefficient dominantQuelle est la forme factorisée du trinôme 2x² - 4x - 6,
dont les racines sont 3 et -1 ?]]>Connaissant les racines x₁ et x₂, un trinôme se factorise en
a(x - x₁)(x - x₂). Le coefficient dominant reste en facteur devant
le produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses.]]>1.00.00truetrueabc(x - 3)(x + 1)]]>Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,
mais son terme en x² vaut x² et non 2x².]]>2(x - 3)(x + 1)]]>Bonne réponse : la factorisation s'écrit a(x - x₁)(x - x₂), donc
2(x - 3)(x + 1) ici.]]>2(x + 3)(x - 1)]]>Signes des racines recopiés : dans a(x - x₁)(x - x₂), chaque
racine change de signe en passant dans la parenthèse.]]>(2x - 3)(2x + 1)]]>Coefficient distribué deux fois : le terme en x² vaudrait alors
4x² au lieu de 2x².]]>Le second degré — Q38 : Remonter d'un tableau de signes au trinômeUn trinôme est strictement négatif sur ]-∞ ; -2[,
strictement positif sur ]-2 ; 5[, puis strictement négatif sur
]5 ; +∞[. Que peut-on en déduire ?]]>Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui
séparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur
de ces racines est celui du coefficient dominant.]]>1.00.00truetrueabca > 0, et les racines sont 2 et -5]]>Deux erreurs : le signe de a est inversé, et les racines se lisent
directement dans le tableau, sans changement de signe.]]>a > 0, et les racines sont -2 et 5]]>Règle appliquée à l'envers : avec a > 0, le trinôme serait positif
à l'extérieur des racines, pas entre elles.]]>a < 0, et les racines sont -2 et 5]]>Bonne réponse : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des
racines, donc a < 0, et il s'annule en -2 et 5.]]>a < 0, et le trinôme n'a pas de racine]]>Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,
donc il y a bien deux racines.]]>Le second degré — Q39 : La racine évidente $x = -1$Pour le trinôme 3x² + 5x + 2, on remarque que
3 - 5 + 2 = 0. Qu'en déduit-on ?]]>Deux réflexes à garder : a + b + c = 0 signifie que 1 est racine, et
a - b + c = 0 que -1 est racine. La seconde racine s'obtient alors
par le produit c/a, sans aucun discriminant.]]>1.00.00truetrueabc1 est racine, et l'autre racine vaut ⅔]]>Signe confondu : f(1) = a + b + c, qui ne s'annule pas ici. C'est
la somme alternée qui est nulle, donc f(-1) = 0.]]>-1 est racine, et l'autre racine vaut ⅔]]>Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit
des racines vaut ⅔, or la première est négative.]]>-1 est racine, et l'autre racine vaut -⅔]]>Bonne réponse : a - b + c est exactement f(-1), donc -1 est
racine. Le produit des racines valant c/a = ⅔,
l'autre racine est -⅔.]]>Le trinôme n'admet aucune racine réelle]]>Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en
interdit pas. Le trinôme en a donc au moins une.]]>Le second degré — Q40 : Inéquation à coefficient dominant négatifQuel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
-x² + 2x + 8 > 0, sachant que les racines du trinôme sont
-2 et 4 ?]]>La règle du signe ne change pas quand a est négatif : signe de a à
l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les
conclusions habituelles qui s'inversent.]]>1.00.00truetrueabcL'ensemble vide]]>Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses
racines : l'ensemble cherché n'est pas vide.]]>]-∞ ; -2[ ∪ ]4 ; +∞[]]>Règle du cas a > 0 appliquée par habitude : à l'extérieur des
racines, le trinôme prend le signe de a, ici négatif.]]>[-2 ; 4]]]>Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en
-2 et en 4.]]>]-2 ; 4[]]>Bonne réponse : le coefficient dominant vaut -1, donc le trinôme
est positif entre ses racines.]]>Le second degré — Q41 : Dimensions d'un rectangleUn rectangle a pour périmètre 22 cm et pour aire 24 cm².
Quelles sont ses dimensions ?]]>Deux nombres de somme s et de produit p sont les racines de
x² - sx + p. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc
toujours à une équation du second degré.]]>1.00.00truetrueabc8 cm et 3 cm]]>Bonne réponse : la somme des côtés vaut 11 et leur produit
24, donc ils sont racines de x² - 11x + 24.]]>9 cm et 2 cm]]>Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien 11, mais le
produit donne 18 au lieu de 24.]]>24 cm et 1 cm]]>Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien 24, mais
le périmètre atteindrait 50 cm.]]>5{,}5 cm et 5{,}5 cm]]>Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait
30{,}25 cm².]]>Le second degré — Q42 : Aucune racine et une valeur connueUn trinôme f n'admet aucune racine réelle et vérifie f(0) = -7.
Que peut-on dire de son signe sur ℝ ?]]>Un trinôme sans racine réelle garde le signe de son coefficient
dominant sur ℝ. Calculer une image, la plus simple étant
f(0) = c, suffit alors à trancher.]]>1.00.00truetrueabcSon signe dépend de la valeur de x considérée]]>Sans racine, le signe est le même pour tous les réels : une seule
valeur calculée suffit à le déterminer.]]>Il est strictement positif sur ℝ]]>Valeur connue ignorée : f(0) = -7 est négatif, donc le trinôme
l'est partout puisque son signe ne change pas.]]>Il change de signe en une valeur de x]]>Changer de signe suppose de traverser l'axe des abscisses, donc
d'avoir une racine, ce que l'énoncé exclut.]]>Il est strictement négatif sur ℝ]]>Bonne réponse : sans racine, le signe est constant ; la valeur
f(0) = -7 montre que ce signe est négatif.]]>Le second degré — Q43 : Simplifier un facteur communPour résoudre (x - 2)(x + 5) = (x - 2)(3x - 1), un élève
simplifie les deux membres par (x - 2) et annonce une solution
unique. Qu'en penser ?]]>Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On
ramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,
puis on applique la règle du produit nul.]]>1.00.00truetrueabcIl a raison : x = 3 est la seule solution]]>Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : x = 2
annule aussi les deux membres.]]>Il a tort : l'équation n'a aucune solution]]>L'équation en a deux : x = 2, perdue par la simplification, et
x = 3, trouvée par l'élève.]]>Il a perdu la solution x = 2]]>Bonne réponse : x = 2 annule le facteur commun, donc les deux
membres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise.]]>Il a tort : il fallait diviser par (3x - 1)]]>Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute
division par une expression pouvant s'annuler perd des solutions.]]>Le second degré — Q44 : Droite tangente à une parabolePour quelle valeur de m la droite d'équation y = 2x + m
est-elle tangente à la parabole d'équation y = x² ?]]>Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses
communes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.
Le contact unique se traduit ainsi par une condition sur m.]]>1.00.00truetrueabcm = 4]]>Discriminant confondu avec sa première partie : 4 est la valeur
de b², et la condition porte sur b² - 4ac tout entier.]]>m = 1]]>Signe inversé : 4 + 4m = 0 impose 4m = -4, donc m est
négatif.]]>m = 0]]>La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux
points, d'abscisses 0 et 2.]]>m = -1]]>Bonne réponse : l'égalité x² = 2x + m donne
x² - 2x - m = 0, de discriminant 4 + 4m, nul pour
m = -1.]]>Le second degré — Q45 : Somme des inverses des racinesLe trinôme x² - 7x + 12 admet deux racines non nulles x₁ et
x₂. Que vaut 1/x₁ + 1/x₂ ?]]>Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des
racines : 1/x₁ + 1/x₂ = -b/a/c/a. Les
relations entre coefficients et racines évitent de les calculer.]]>1.00.00truetrueabc7/12]]>Bonne réponse : 1/x₁ + 1/x₂ = x₁ + x₂/x₁ x₂ = 7/12 = 7/12.]]>12/7]]>Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur
produit au dénominateur, pas l'inverse.]]>19]]>Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne
répond pas à la question posée.]]>-7/12]]>Signe de la somme : x₁ + x₂ = -b/a = 7, qui est
positif ici.]]>Le second degré — Q46 : Exploiter une racine évidenteOn remarque que 2 est racine du trinôme x² - 7x + 10.
Quelle est son autre racine ?]]>Pour ax² + bx + c de racines x₁ et x₂ :
x₁ x₂ = c/a et x₁ + x₂ = -b/a. Une racine
évidente donne l'autre sans discriminant.]]>1.00.00truetrueabc10]]>Erreur : 10 est le produit des deux racines, pas la seconde
racine.]]>7]]>Erreur : 7 est la somme des deux racines.]]>-5]]>Erreur de signe : avec a = 1, le produit des racines vaut
+10 et leur somme +7.]]>5]]>Bonne réponse : le produit des racines vaut 10, donc l'autre
racine est 10/2 = 5.]]>