$course$/QCM de maths/Première spécialité/Suites numériques, modèles discrets Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de
récurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme
général, sommes 1 + 2 + ⋯ + n et 1 + q + ⋯ + qⁿ,
sens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et
intuition de la notion de limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Reconnaître une suite arithmétique Soit (uₙ) définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = uₙ + 5.
Quelle est la nature de cette suite ?

]]> Suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r (accroissement
constant r) ; suite géométrique : uₙ₊₁ = q × uₙ
(taux constant). Ici : arithmétique, r = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison 5

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en
ajoutant toujours 5 : c'est la définition d'une
suite arithmétique de raison 5.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est
exactement le modèle arithmétique.

]]> Géométrique de raison 5

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par 5 à
chaque étape (uₙ₊₁ = 5uₙ). Ici on ajoute.

]]> Arithmétique de raison 2

]]> Erreur : 2 est le premier terme u₀, pas la
raison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :
5.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Terme général d'une suite arithmétique Soit (uₙ) arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de
raison r = 2. Que vaut u₁₀ ?

]]> Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au
programme) : uₙ = u₀ + n r. Ici u₁₀ = 3 + 10 × 2 = 23. Lien avec les fonctions affines : uₙ = f(n) avec
f(x) = 2x + 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 30

]]> Erreur : 30 = 3 × 10 multiplie le premier terme par
l'indice. La formule est u₀ + n r = 3 + 20 = 23.

]]> 23

]]> Bonne réponse : uₙ = u₀ + n r, donc
u₁₀ = 3 + 10 × 2 = 23.

]]> 21

]]> Erreur d'indice : 21 = 3 + 9 × 2 utilise la formule
u₀ + (n-1)r, valable pour un premier terme u₁. Avec
u₀, on ajoute n fois la raison.

]]> 3 × 2¹⁰ = 3072

]]> Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites
géométriques. Une arithmétique avance par additions :
u₁₀ = 3 + 20.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Terme général d'une suite géométrique Soit (vₙ) géométrique de premier terme v₀ = 5 et de
raison q = 2. Que vaut v₄ ?

]]> Terme général d'une suite géométrique (démonstration au
programme) : vₙ = v₀ × qⁿ. Ici 5 × 2⁴ = 80.
Lien avec l'exponentielle : croissance à taux constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80

]]> Bonne réponse : vₙ = v₀ × qⁿ, donc
v₄ = 5 × 2⁴ = 5 × 16 = 80.

]]> 40

]]> Erreur d'exposant : 40 = 5 × 2³. De v₀ à
v₄, on multiplie quatre fois par la raison :
q⁴ = 16.

]]> 625

]]> Erreur : 625 = 5⁴ élève le premier terme à la
puissance. La formule est v₀ × qⁿ : seule la
raison porte l'exposant.

]]> 13

]]> Erreur de modèle : 13 = 5 + 4 × 2 est le calcul
arithmétique. Une géométrique multiplie :
5 × 2⁴.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Reconnaître une suite géométrique Les premiers termes d'une suite sont 3, 6, 12, 24.
Quel modèle reconnaît-on ?

]]> Réflexe de diagnostic : différences constantes →
arithmétique ; rapports constants → géométrique. Ici
chaque terme est le double du précédent : géométrique de
raison 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite arithmétique de raison 3

]]> Erreur : les écarts valent 3, 6, 12 : ils ne sont
pas constants. C'est le quotient qui l'est : modèle
géométrique.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : le rapport constant 2 signe une suite
géométrique (chaque terme double).

]]> Une suite géométrique de raison 2

]]> Bonne réponse : le rapport de deux termes consécutifs
est constant : 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2.

]]> Une suite géométrique de raison 3

]]> Erreur : 3 est le premier terme. La raison est le
rapport entre termes consécutifs : 2.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Sens de variation Soit (uₙ) définie par u_n = 3 \times 0{,}8^n. Quel est le
sens de variation de cette suite ?

]]> Suite géométrique de premier terme positif : croissante si
q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.
Ici q = 0{,}8 : décroissante (modèle des décroissances à
taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante

]]> Erreur : multiplier par un nombre entre 0 et 1
réduit une quantité positive : 3 ; 2{,}4 ;
1{,}92…

]]> Décroissante

]]> Bonne réponse : chaque terme est multiplié par
0{,}8 < 1 (et les termes sont positifs) : la suite
diminue à chaque rang.

]]> Ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : le signe de u_{n+1} - u_n = 3 \times 0{,}8^n
\times (0{,}8 - 1) < 0 est constant : décroissance à
chaque rang.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison q = 1. Ici
q = 0{,}8 \neq 1.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : La somme $1 + 2 + \cdots + n$ Que vaut la somme 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 ?

]]> Formule (démonstration au programme) : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2. Idée de la preuve : écrire la somme dans
les deux sens et additionner, chaque colonne vaut n + 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4950

]]> Erreur : 4950 = 99 × 100/2 est la somme
1 + ⋯ + 99. Il manque le terme 100.

]]> 5000

]]> Erreur : 5000 = 100 × 100/2. Le second
facteur est n + 1 = 101, d'où 5050.

]]> 10 100

]]> Oubli de la division par 2 : 100 × 101 compte
chaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme
à l'envers).

]]> 5050

]]> Bonne réponse : 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2,
donc 100 × 101/2 = 5050 (la légende de
Gauss écolier).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Somme de termes d'une suite géométrique Que vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2⁹ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : 1 + q + \cdots + q^n
= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} pour q ≠ 1. Avec q = 2,
n = 9 : 2¹⁰ - 1 = 1023.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2046

]]> Erreur : 2046 = 2¹¹ - 2 correspondrait à la somme
2 + 4 + ⋯ + 2¹⁰. Notre somme commence à 1 = 2⁰ et s'arrête à 2⁹.

]]> 1024

]]> Presque : 1024 = 2¹⁰ est le terme suivant de la
suite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :
1023.

]]> 1023

]]> Bonne réponse : 1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}, ici \dfrac{1 - 2^{10}}{1 -
2} = 2^{10} - 1 = 1023.

]]> 512

]]> Erreur : 512 = 2⁹ n'est que le dernier terme de la
somme, pas la somme elle-même.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Modes de génération d'une suite La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 est
donnée par :

]]> Deux grands modes de génération : explicite (uₙ = f(n),
accès direct au rang n) et par récurrence (uₙ₊₁ = f(uₙ), calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre
est un enjeu du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La définition d'une suite géométrique

]]> Erreur : le +1 sort du modèle géométrique (uₙ₊₁ = q uₙ) : la relation mélange une multiplication et une addition.

]]> Une relation de récurrence

]]> Bonne réponse : chaque terme se calcule à partir du
précédent : pour connaître u₁₀, on remonte de
proche en proche (ou on cherche une formule explicite).

]]> Une formule explicite

]]> Erreur : une formule explicite donnerait uₙ
directement en fonction de n (comme uₙ = 2ⁿ⁺¹ - 1, qui est d'ailleurs la version explicite de cette
suite).

]]> La définition d'une suite arithmétique

]]> Erreur : la présence du facteur 2 devant uₙ sort du
modèle arithmétique (uₙ₊₁ = uₙ + r).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Modéliser un placement Un capital de 1000 euros est placé à 3\ % d'intérêts par
an (intérêts composés). On note Cₙ le capital après n
années. Quelle est la nature de la suite (Cₙ) ?

]]> Automatisme central (au programme) : une évolution à taux
fixe se modélise par une suite géométrique de raison le
coefficient multiplicateur. +3\ % par an :
C_n = 1000 \times 1{,}03^n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison 0{,}03

]]> Erreur : multiplier par 0{,}03 réduirait le capital à
3\ % de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de
3\ % est 1 + 0{,}03 = 1{,}03.

]]> Géométrique de raison 1{,}03

]]> Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par
1{,}03 (coefficient multiplicateur de +3\ %) :
C_{n+1} = 1{,}03\,C_n.

]]> Arithmétique de raison 30

]]> Erreur : +30 euros par an vaudrait pour des intérêts
simples (toujours calculés sur 1000). Composés, les
intérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif.

]]> Géométrique de raison 3

]]> Erreur : raison 3 signifierait tripler chaque année. Le
taux se convertit en coefficient : 1{,}03.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Taux d'évolution équivalent Une population augmente de 10\ % par an pendant deux ans.
Quel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?

]]> Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les
coefficients. n années à +10\ % : coefficient
1{,}1^n : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +20\ %

]]> Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La
deuxième hausse s'applique à la population déjà
augmentée : 1{,}1^2 = 1{,}21.

]]> +21\ %

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient :
1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21, soit +21\ % (les
10\ % de la deuxième année portent sur une base déjà
augmentée).

]]> +12\ %

]]> Erreur : aucun calcul ne mène à 12\ %. Deux hausses de
10\ % composées : 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21.

]]> +121\ %

]]> Confusion : 1{,}21 est le coefficient ; le taux
d'évolution en est la partie au-delà de 1 : 21\ %.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Conjecturer une limite Soit uₙ = 1/n pour n ≥ 1 : les termes valent
1 ; 0{,}5 ; 0{,}33\ldots ; 0{,}25… Que peut-on
conjecturer sur le comportement de (uₙ) quand n devient
très grand ?

]]> Sensibilisation à la limite (au programme, sans
formalisation) : observer numériquement le comportement des
termes pour n grand. 1/n tend vers 0,
qⁿ (0<q<1) aussi, n² devient arbitrairement grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite semble tendre vers 0

]]> Bonne réponse : les termes se rapprochent de 0 :
u_{1000} = 0{,}001, u_{10^6} = 0{,}000001, ils
s'écrasent vers 0 sans jamais l'atteindre. (La
formalisation de la limite attendra la terminale.)

]]> Les termes finissent par devenir négatifs

]]> Erreur : 1/n reste strictement positif pour
tout n ≥ 1 : la suite s'approche de 0 par valeurs
positives.

]]> La suite semble tendre vers 1

]]> Erreur : 1 n'est que le premier terme. La suite
s'en éloigne dès le rang 2 et continue de descendre.

]]> La suite n'a aucun comportement prévisible

]]> Erreur : la décroissance vers 0 est parfaitement
régulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend
vers » une valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Suite définie par un motif Pour n ≥ 1, on note uₙ = n² le nombre de carreaux
d'un carré de côté n : 1, 4, 9, 16… Cette suite
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Toutes les suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques !
Les suites de motifs (nombres figurés) en donnent des exemples
naturels : uₙ = n² a des accroissements arithmétiques
(2n+1 : les nombres impairs), mais n'est ni arithmétique ni
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre

]]> Bonne réponse : les écarts 3, 5, 7… et les
quotients varient. Les différences uₙ₊₁ - uₙ = 2n + 1 croissent, et les rapports 4/1 ≠ 9/4 ne sont pas constants : aucun des deux
modèles ne convient.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Erreur : l'écart 3 ne tient qu'entre u₁ et u₂ ;
ensuite 9 - 4 = 5. Une seule vérification ne suffit
jamais.

]]> Les deux à la fois

]]> Erreur : seule une suite constante est à la fois
arithmétique (raison 0) et géométrique (raison 1).
Ici ni les écarts (3, 5, 7…) ni les quotients ne
sont constants.

]]> Géométrique de raison 4

]]> Erreur : 4 = 4 × 1 tient entre u₁ et u₂,
mais le rapport suivant vaut \dfrac{9}{4} = 2{,}25 \neq
4 : le quotient n'est pas constant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Ni arithmétique, ni géométrique La suite définie par uₙ = n² est-elle arithmétique ou
géométrique ?

]]> Beaucoup de suites ne sont d'aucun des deux modèles : le
test (différence constante ? quotient constant ?) doit être
vérifié sur tous les rangs, et un seul contre-exemple
suffit à réfuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni arithmétique ni géométrique

]]> Bonne réponse : les différences valent 1, 3, 5, …
(u₁ - u₀ = 1 mais u₂ - u₁ = 3) : pas de raison
additive ; les quotients varient aussi (u₂/u₁ = 4 mais u₃/u₂ = 9/4) : pas de raison
multiplicative.

]]> Géométrique de raison n

]]> Erreur de concept : une raison est une constante :
un quotient qui dépend de n disqualifie la suite.

]]> Arithmétique et géométrique à la fois

]]> Erreur : seules les suites constantes (non nulles)
cumulent les deux statuts : n² n'est ni l'un ni
l'autre.

]]> Arithmétique de raison 2

]]> Erreur : u₁ - u₀ = 1 ≠ u₂ - u₁ = 3 : la
différence n'est pas constante (elle augmente de 2 à
chaque pas, mais ce n'est pas la définition).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Retrouver raison et premier terme Une suite arithmétique vérifie u₃ = 11 et u₇ = 23. Que
valent la raison r et u₀ ?

]]> Entre deux termes d'une suite arithmétique : u_q = uₚ + (q - p)r, d'où r = u_q - uₚ/q - p : une pente,
exactement comme pour une droite. Puis on remonte à u₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc r = 12 et u₀ = 11

]]> Erreur : 12 est l'écart total sur 4 rangs : la
raison est l'écart par pas : 12/4 = 3.

]]> r = 3 et u₀ = 11

]]> Erreur : 11 = u₃, pas u₀ : il faut reculer de
trois pas : 11 - 9 = 2.

]]> r = 4 et u₀ = -1

]]> Erreur : 4 est le nombre de pas entre u₃ et
u₇, pas la raison (23 - 11/7 - 3 = 3).

]]> r = 3 et u₀ = 2

]]> Bonne réponse : de u₃ à u₇ : 4 pas pour +12,
donc r = 3 ; puis u₀ = u₃ - 3r = 11 - 9 = 2.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Somme de termes en progression arithmétique Que vaut la somme 5 + 8 + 11 + … + 35 (termes en
progression arithmétique de raison 3) ?

]]> Une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) × (premier + dernier)/2 : la méthode de Gauss. Deux pièges : compter les
termes (écarts + 1) et diviser la somme des extrêmes par
2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 440

]]> Division oubliée : 11 × 40 prend la somme des
extrêmes au lieu de leur moyenne : diviser par 2.

]]> 40

]]> Erreur : 5 + 35 = 40 n'additionne que les deux bouts :
la formule multiplie leur moyenne par le nombre de
termes.

]]> 220

]]> Bonne réponse : nombre de termes : 35 - 5/3 + 1 = 11 ; moyenne des extrêmes : 5 + 35/2 = 20 ;
la somme vaut nombre de termes × moyenne des extrêmes :
11 × 20 = 220.

]]> 200

]]> Terme manquant : 200 = 10 × 20, mais
35 - 5/3 = 10 compte les écarts, pas les
termes : il y en a 10 + 1 = 11 (le piège du « +1 »).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Variation par la différence Une suite vérifie uₙ₊₁ - uₙ = 2n + 1 pour tout n.
Que peut-on en conclure ?

]]> Méthode reine pour les variations : étudier le signe de
uₙ₊₁ - uₙ. Positif pour tout n : croissante ;
négatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,
comparer \frac{u_{n+1}}{u_n} à 1 marche aussi.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut rien dire sans connaître u₀

]]> Erreur : le sens de variation ne dépend que du signe
des différences : u₀ fixe le point de départ, pas
la pente.

]]> La suite est strictement décroissante

]]> Signe mal lu : 2n + 1 ≥ 1 > 0 : les différences
sont toutes positives : la suite monte.

]]> La suite est strictement croissante

]]> Bonne réponse : 2n + 1 > 0 pour tout n ≥ 0, la
différence uₙ₊₁ - uₙ est positive à chaque rang :
chaque terme dépasse le précédent, croissance stricte
(sans connaître u₀ !).

]]> La suite est arithmétique de raison 2n + 1

]]> Erreur : une raison doit être constante : ici la
différence grandit avec n : croissante oui,
arithmétique non.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : Dépassement de seuil Un capital de 1 000 euros est placé à 5\ % par an
(suite c_n = 1000 \times 1{,}05^n). À partir de quelle
année dépasse-t-il 2 000 euros, sachant que
1{,}05^{14} \approx 1{,}98 et 1{,}05^{15} \approx
2{,}08 ?

]]> Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier n
tel que qⁿ dépasse le rapport visé : par balayage
(calculatrice ou boucle while c < 2000). La réponse est le
PREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de 20 ans : 5\ % × 20 = 100\ %

]]> Raisonnement linéaire sur un phénomène multiplicatif :
les intérêts composés s'accumulent plus vite : le
doublement arrive dès 15 ans.

]]> Jamais : le capital croît de moins en moins

]]> Contresens : la croissance géométrique de raison > 1
s'accélère en valeur absolue : tout seuil finit par
tomber.

]]> Au bout de 15 ans

]]> Bonne réponse : il faut 1{,}05^n > 2 : encore
1{,}98 < 2 au rang 14, et 2{,}08 > 2 au rang
15 : premier dépassement à n = 15.

]]> Au bout de 14 ans

]]> Lecture trop rapide : 1000 \times 1{,}98 = 1980 <
2000 : le seuil n'est pas encore franchi au rang 14.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$ La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 3
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Une relation uₙ₊₁ = auₙ + b (avec a ≠ 1 et b ≠ 0) ne relève d'aucun des deux
modèles purs. Le test numérique sur trois termes suffit à le montrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre

]]> Bonne réponse : les premiers termes sont 1, 5, 13, 29 :
différences 4, 8, 16 (variables), quotients 5,
2{,}6 et \approx 2{,}23 (variables aussi) : le
mélange « fois 2 plus 3 » sort des deux modèles
purs.

]]> Géométrique de raison 2

]]> Le +3 gâche tout : u₁/u₀ = 5 ≠ 2 :
sans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,
elle ne l'est plus.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Le × 2 gâche tout : u₁ - u₀ = 4 ≠ 3 : le
doublement rompt la régularité additive.

]]> Arithmétique ET géométrique

]]> Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;
celle-ci explose (1, 5, 13, 29, …).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q19 : $u_n$ ou $u(n)$ Dans l'écriture uₙ, que désigne l'indice n ?

]]> Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est celui des
entiers. L'indice joue le rôle de la variable, et uₙ celui de l'image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur du terme

]]> La valeur est uₙ elle-même : pour la suite des carrés, u₃ vaut
9 et non 3.

]]> La raison de la suite

]]> La raison est une caractéristique globale de la suite, elle ne dépend
pas du rang considéré.

]]> Le nombre de termes de la suite

]]> Une suite possède une infinité de termes ; l'indice en désigne un
seul.

]]> Le rang du terme

]]> Bonne réponse : l'indice repère la position du terme dans la suite,
pas sa valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q20 : Calculer de proche en proche Une suite est définie par u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ² - 5.
Que vaut u₂ ?

]]> Une suite définie par récurrence se calcule terme après terme : aucun
terme ne s'obtient sans avoir calculé tous les précédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Une seule étape effectuée : 4 est la valeur de u₁, il reste un
pas à faire.

]]> 11

]]> Bonne réponse : u₁ = 9 - 5 = 4, puis u₂ = 16 - 5 = 11.

]]> 121

]]> Une étape de trop : 121 correspond à u₃, obtenu en appliquant
encore la relation.

]]> -1

]]> Formule appliquée au rang initial : u₀² - 5 vaut 4, et le calcul
proposé part de u₀ = 2.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q21 : Somme des puissances de $2$ Combien vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2¹⁰ ?

]]> Pour q ≠ 1, la somme 1 + q + … + qⁿ vaut
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}. Avec q = 2 et n = 10, elle vaut
2¹¹ - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 024

]]> Dernier terme recopié : 2¹⁰ = 1 024 n'est qu'une partie de la
somme.

]]> 1 023

]]> Terme oublié : ce résultat correspond à la somme jusqu'à 2⁹.

]]> 2 048

]]> Une unité de trop : 2¹¹ = 2 048, et la somme vaut ce nombre
diminué de 1.

]]> 2 047

]]> Bonne réponse : la formule donne \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} =
2^{11} - 1 = 2\,047.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q22 : Somme de termes consécutifs Combien vaut la somme des entiers de 1 à 50 ?

]]> La somme des n premiers entiers vaut n(n+1)/2. Elle sert de
brique de base pour toutes les sommes de suites arithmétiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 550

]]> Division oubliée : 50 × 51 compte chaque paire deux fois.

]]> 2 500

]]> Carré du nombre de termes : il dépasse largement une somme dont la
moyenne vaut 25{,}5.

]]> 1 275

]]> Bonne réponse : 50 × 51/2 = 1 275.

]]> 1 250

]]> Formule approchée : 50²/2 néglige la demi-unité par terme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q23 : Variations par le quotient Pour une suite à termes strictement positifs, que conclure si
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1{,}2 pour tout n ?

]]> Pour une suite à termes strictement positifs, comparer
\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 1 donne le sens de variation. La méthode par
différence, elle, vaut quel que soit le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est constante

]]> Un quotient constant ne signifie pas une suite constante : seul le
quotient 1 donnerait ce résultat.

]]> La suite est strictement décroissante

]]> Il faudrait un quotient compris strictement entre 0 et 1 pour que
les termes diminuent.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Le signe des termes étant connu, le quotient décide entièrement du
sens de variation.

]]> La suite est strictement croissante

]]> Bonne réponse : un quotient supérieur à 1 sur des termes positifs
signifie que chaque terme dépasse le précédent.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q24 : Deux versements par an Un compte contient 1 000 euros, rapporte 2 % par an et reçoit
500 euros de versement en fin d'année. Quelle relation le décrit ?

]]> Une évolution mêlant pourcentage et montant fixe donne une relation de la
forme uₙ₊₁ = auₙ + b. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u_{n+1} = 1{,}02(u_n + 500)

]]> Ordre inversé : le versement de fin d'année ne produit pas d'intérêts
la même année.

]]> u_{n+1} = 1{,}02u_n

]]> Versement oublié : le compte ne progresserait alors que par les
intérêts.

]]> u_{n+1} = 1{,}02u_n + 500

]]> Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital, le versement
s'ajoute ensuite.

]]> u_{n+1} = u_n + 500 + 0{,}02

]]> Taux traité comme un montant : 2 % de 1 000 euros font 20
euros, pas deux centimes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q25 : Retrouver une raison géométrique Une suite géométrique vérifie u₂ = 12 et u₅ = 324.
Quelle est sa raison, sachant qu'elle est positive ?

]]> Entre deux termes de rangs p et q, on a u_q = u_p \times r^{q-p}.
La raison s'obtient donc par une racine, pas par une division.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Racine carrée au lieu de la racine cubique : trois pas séparent les
rangs 2 et 5.

]]> 104

]]> Différence des termes divisée par celle des rangs : cette méthode vaut
pour une suite arithmétique.

]]> 27

]]> Quotient non ramené à un seul pas : 27 correspond à trois
multiplications par la raison.

]]> 3

]]> Bonne réponse : 324/12 = 27 = q³, donc q = 3.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q26 : Un algorithme de seuil Une suite croissante est calculée dans une boucle while qui
s'arrête quand le terme dépasse 1 000. Que contient le compteur à
la sortie ?

]]> Un algorithme de seuil compte les itérations jusqu'au dépassement. Le
compteur donne le rang cherché, la variable de la suite la valeur
atteinte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La valeur du premier terme supérieur à 1 000

]]> C'est la variable de la suite qui contient cette valeur, pas le
compteur.

]]> Le nombre 1 000

]]> Ce nombre est le seuil testé, il n'est pas stocké dans le compteur.

]]> Le rang du dernier terme inférieur à 1 000

]]> Ce rang vaut une unité de moins : le compteur est incrémenté une
dernière fois avant la sortie.

]]> Le rang du premier terme supérieur à 1 000

]]> Bonne réponse : la boucle s'interrompt dès que la condition cesse
d'être vérifiée, donc au premier dépassement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q27 : Arithmétique ou géométrique Une suite prend les valeurs 5, 15, 45, 135.
De quelle nature est-elle ?

]]> Pour trancher, on calcule les différences puis les quotients de termes
consécutifs. C'est celui des deux qui reste constant qui donne la nature
de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison 10

]]> L'écart n'est constant qu'au début : il vaut 10, puis 30, puis
90.

]]> Géométrique de raison 3

]]> Bonne réponse : chaque terme est le triple du précédent, alors que les
écarts, eux, changent.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Une raison arithmétique s'ajoute : la suite donnerait 5, 8, 11,
14.

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Le quotient de deux termes consécutifs vaut toujours 3, ce qui
caractérise une suite géométrique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q28 : Un terme lointain Une suite arithmétique a pour premier terme u₁ = 7 et pour raison
4. Que vaut u₁₀₀ ?

]]> Pour une suite arithmétique commençant au rang 1, on a
uₙ = u₁ + (n-1)r. Compter les pas plutôt que les rangs évite le décalage
d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 403

]]> Bonne réponse : u₁₀₀ = 7 + 99 × 4, puisque quatre-vingt-dix-
neuf pas séparent les rangs 1 et 100.

]]> 400

]]> Premier terme oublié : 99 × 4 ne mesure que la progression
depuis u₁.

]]> 407

]]> Un pas de trop : la formule pour une suite commençant au rang 1
utilise n - 1 et non n.

]]> 28

]]> Produit du premier terme par la raison : cette opération ne correspond
à aucune étape du calcul.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q29 : Vers quoi tend une suite géométrique Vers quoi tendent les termes d'une suite géométrique de premier terme
100 et de raison 0{,}5 ?

]]> Une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1
tend vers 0. Les termes deviennent aussi proches de zéro que l'on veut,
pourvu que le rang soit assez grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers 0

]]> Bonne réponse : chaque terme vaut la moitié du précédent, donc ils se
rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.

]]> Vers 50

]]> Deuxième terme recopié : la décroissance se poursuit bien au-delà.

]]> Vers 0{,}5

]]> Raison confondue avec la limite : la raison décrit le passage d'un
terme au suivant.

]]> Vers 100

]]> Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q30 : Lire une suite sur un graphique Sur la représentation graphique d'une suite, que lit-on en abscisse ?

]]> Une suite se représente par des points isolés, jamais par une courbe
continue : seuls les rangs entiers ont un terme associé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La raison de la suite

]]> La raison n'est pas une coordonnée : elle se lit dans l'écart entre
points consécutifs.

]]> Le premier terme

]]> Il correspond à un point précis, celui du rang le plus petit, pas à un
axe entier.

]]> La valeur du terme

]]> Elle se lit en ordonnée, comme l'image d'une fonction.

]]> Le rang du terme

]]> Bonne réponse : chaque point a pour coordonnées le rang et le terme
correspondant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q31 : Nature d'une suite donnée par une formule Une suite est définie, pour tout entier n, par uₙ = 4 × 3ⁿ.
Quelle est sa nature ?

]]> Une écriture de la forme uₙ = c × qⁿ est la formule explicite
d'une suite géométrique : q en est la raison et c le terme de rang
0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison 3, de premier terme 4

]]> Le modèle arithmétique ajouterait 3 à chaque étape. Ici on
multiplie, puisque u₁ = 12 et non 4 + 3.

]]> Ni arithmétique ni géométrique, car n est en exposant

]]> L'exposant n est au contraire la marque du modèle géométrique :
multiplier n fois par 3 revient à écrire 3ⁿ.

]]> Géométrique de raison 4, de premier terme 3

]]> Rôles échangés : le facteur répété 3 est la raison, alors que
4 est le terme de rang 0.

]]> Géométrique de raison 3, de premier terme 4

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par
3, et le rang 0 donne u₀ = 4.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q32 : Trois pas de récurrence Une suite est définie par u₀ = 2 et, pour tout entier n,
uₙ₊₁ = 3uₙ - 1. Que vaut u₃ ?

]]> Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se
calcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de
rangs à franchir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 41

]]> Bonne réponse : u₁ = 5, puis u₂ = 14, puis
u₃ = 3 × 14 - 1 = 41.

]]> 54

]]> Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas
seulement à la fin. On obtient 41.

]]> 53

]]> Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,
alors qu'il intervient à chacune des trois étapes.

]]> 14

]]> Un pas de trop tôt : 14 est le terme u₂, il reste une étape
pour atteindre u₃ = 41.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q33 : $u_{n+1}$ ou $u_n + 1$ Pour une suite (uₙ), quelle différence y a-t-il entre uₙ₊₁ et
uₙ + 1 ?

]]> Dans une écriture uₙ, l'indice indique le rang. Modifier l'indice
change de terme, tandis qu'ajouter un nombre après uₙ modifie la
valeur du terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le premier est le terme de rang 1, le second celui de rang n

]]> L'indice n+1 désigne le rang qui suit n, et non le rang 1.

]]> Le premier est le terme suivant, le second est le terme augmenté de 1

]]> Bonne réponse : dans uₙ₊₁, c'est le rang qui augmente ; dans
uₙ + 1, c'est la valeur du terme.

]]> Aucune différence : les deux écritures désignent toujours le même nombre

]]> Elles ne coïncident que pour une suite arithmétique de raison 1,
ce qui est un cas très particulier.

]]> Le premier n'a de sens que si la suite est définie par récurrence

]]> L'écriture uₙ₊₁ désigne un terme, quel que soit le mode de
génération de la suite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q34 : Atteindre un rang lointain Deux suites sont définies ainsi : (uₙ) par uₙ = 5n - 2, et
(vₙ) par v₀ = 3 et vₙ₊₁ = vₙ + 4. Laquelle donne le terme
de rang 100 en un seul calcul ?

]]> Une formule explicite donne un terme directement à partir de son rang ;
une relation de récurrence exige de dérouler la suite depuis son
premier terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite (vₙ), donnée par une relation de récurrence

]]> Cette relation oblige à calculer les cent termes qui précèdent,
l'un après l'autre.

]]> Les deux, puisqu'elles sont toutes les deux arithmétiques

]]> Les deux sont bien arithmétiques, mais seule une formule explicite
donne un terme sans passer par les autres.

]]> Aucune des deux : il faut toujours calculer les termes un par un

]]> Une formule explicite exprime uₙ en fonction du seul rang n,
ce qui évite justement ce déroulement.

]]> La suite (uₙ), donnée par une formule explicite

]]> Bonne réponse : il suffit de remplacer n par 100, sans calculer
les termes précédents.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q35 : Des points alignés Sur un graphique, les points représentant les termes d'une suite sont
alignés. Que peut-on en déduire ?

]]> Des points alignés traduisent un écart constant d'un rang au suivant :
c'est exactement la définition d'une suite arithmétique, dont la raison
se lit dans la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est géométrique

]]> Les points d'une suite géométrique de raison différente de 1 ne
sont pas alignés : les écarts sont multipliés, pas constants.

]]> La suite est constante à partir d'un certain rang

]]> Une suite constante donne des points alignés horizontalement, mais
c'est seulement un cas particulier.

]]> La suite est arithmétique

]]> Bonne réponse : passer d'un point au suivant fait toujours avancer
d'un rang et monter de la même quantité, qui est la raison.

]]> La suite est croissante

]]> Des points alignés peuvent descendre : c'est le cas lorsque la
raison est négative.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q36 : Les rangées d'un gradin Un gradin compte 15 rangées. La première a 12 places, et chaque
rangée suivante en compte 3 de plus que la précédente. Combien de
places compte le gradin ?

]]> Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se
calcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier
et du dernier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 495 places

]]> Bonne réponse : la dernière rangée a 54 places, et la
somme vaut 15 × 12 + 54/2 = 495.

]]> 990 places

]]> Division par 2 oubliée : la somme vaut la moyenne des termes
extrêmes multipliée par le nombre de rangées.

]]> 54 places

]]> C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la
question porte sur le gradin entier.

]]> 180 places

]]> Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et
ignore les 3 places ajoutées à chaque rangée.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q37 : Une raison négative Une suite arithmétique vérifie u₀ = 50 et u₈ = 18.
Quelle est sa raison ?

]]> Entre les rangs 0 et k, la suite fait k pas de longueur r. On
obtient donc r en divisant la variation totale uₖ - u₀ par k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -4

]]> Bonne réponse : entre les rangs 0 et 8, la suite a varié de
-32. En partageant cette variation entre les 8 étapes, on
obtient la raison -4.

]]> 4

]]> Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est
négative.

]]> 46

]]> C'est le terme u₁, et non la raison : la raison est l'écart entre
deux termes consécutifs.

]]> -32

]]> C'est la variation totale entre les rangs 0 et 8. Il reste à
la partager entre les 8 étapes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q38 : Des quotients presque constants Pour une suite à termes strictement positifs, on calcule
u₁/u₀ = 3, u₂/u₁ = 3 et
\dfrac{u_3}{u_2} \approx 2{,}8. Que peut-on conclure ?

]]> Le quotient de deux termes consécutifs sert à tester le modèle
géométrique : il doit être le même à chaque rang. Une seule valeur
différente suffit à conclure par la négative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est géométrique, à un arrondi près

]]> Rien n'indique un arrondi dans l'énoncé, et 2{,}8 est trop
éloigné de 3 pour être une simple approximation.

]]> Elle n'est pas géométrique

]]> Bonne réponse : un seul quotient différent des autres suffit à
écarter le modèle géométrique, qui exige un quotient constant.

]]> Elle est arithmétique, puisqu'elle n'est pas géométrique

]]> Les deux modèles ne recouvrent pas tous les cas : une suite peut
n'être ni l'un ni l'autre.

]]> Elle est géométrique de raison 3

]]> Les deux premiers quotients valent 3, mais le troisième non : la
raison ne serait alors pas la même partout.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q39 : Un motif d'allumettes La figure 1 d'un motif utilise 4 allumettes, et chaque figure
suivante en utilise 3 de plus que la précédente. Combien
d'allumettes utilise la figure 10 ?

]]> Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une
suite arithmétique. Attention au décalage : de la figure 1 à la
figure n, il n'y a que n - 1 ajouts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 40

]]> Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute
toujours la même quantité.

]]> 34

]]> Une étape de trop : la figure 1 est le point de départ, il n'y a
que 9 ajouts à effectuer.

]]> 31

]]> Bonne réponse : de la figure 1 à la figure 10, on ajoute
3 allumettes 9 fois, d'où 4 + 3 × 9 = 31.

]]> 30

]]> Les 4 allumettes de la figure 1 ont disparu du calcul : elles
font pourtant partie du motif.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q40 : Intérêts simples ou composés Un capital de 2 000 euros peut être placé de deux façons : le
placement A rapporte 80 euros chaque année, le placement B
augmente de 3\ % chaque année. Que peut-on dire au bout de deux ans ?

]]> Un versement fixe chaque année relève du modèle arithmétique, un
pourcentage fixe du modèle géométrique. Le second l'emporte à long
terme, mais il faut comparer les valeurs pour un petit nombre d'années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B dépasse A, car un pourcentage croît plus vite

]]> Un modèle géométrique finit par l'emporter, mais pas
nécessairement au bout de deux ans : ici B reste derrière.

]]> B dépasse A de près de 38 euros

]]> Le sens est inversé : sur deux ans seulement, 3\ % de 2 000
euros rapportent moins que 80 euros par an.

]]> Les deux placements donnent le même capital

]]> Les capitaux diffèrent : 2 160 euros d'un côté,
2\,121{,}80 euros de l'autre.

]]> A dépasse B de près de 38 euros

]]> Bonne réponse : A donne 2 160 euros et B donne
2\,000 \times 1{,}03^2 = 2\,121{,}80 euros.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q41 : Deux baisses successives Un prix baisse de 20\ %, puis baisse encore de 15\ %.
Quel est le taux d'évolution global ?

]]> Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs
coefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le
coefficient obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -32\ %

]]> Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et
0{,}80 \times 0{,}85 = 0{,}68,
soit une baisse de 32\ %.

]]> -17\ %

]]> Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses
successives retranchent davantage que leur moyenne.

]]> -35\ %

]]> Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un
prix déjà diminué, donc sur une base plus petite.

]]> -3\ %

]]> Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non
les taux eux-mêmes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q42 : Pourquoi ni l'un ni l'autre Pour la suite définie par u₀ = 4 et uₙ₊₁ = 3uₙ - 2, on obtient
u₁ = 10, u₂ = 28 et u₃ = 82. Pourquoi cette suite n'est-elle
ni arithmétique ni géométrique ?

]]> Pour écarter les deux modèles, on teste les deux outils : la différence
de deux termes consécutifs pour le modèle arithmétique, leur quotient
pour le modèle géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce qu'elle est définie par une relation de récurrence

]]> Les suites arithmétiques et géométriques se définissent elles aussi
par récurrence : ce n'est pas le critère.

]]> Ni les différences ni les quotients ne sont constants

]]> Bonne réponse : les différences valent 6, 18, 54 et les
quotients 2{,}5 puis 2{,}8 : aucune des deux listes n'est
constante.

]]> Les quotients varient, mais les différences sont constantes

]]> Les différences 6, 18 et 54 ne sont pas constantes : elles
sont même triplées à chaque étape.

]]> Les différences varient, mais les quotients sont constants

]]> Les quotients \dfrac{10}{4} = 2{,}5 et \dfrac{28}{10} = 2{,}8
diffèrent : ils ne sont pas constants non plus.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q43 : Une différence qui change de signe Une suite vérifie uₙ₊₁ - uₙ = 2n - 9 pour tout entier n ≥ 0.
Comment varie-t-elle ?

]]> Le signe de uₙ₊₁ - uₙ donne le sens de variation rang par rang.
Lorsque cette différence change de signe, la suite change elle aussi de
sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est arithmétique de raison 2n - 9

]]> Une raison est un nombre fixe. Ici l'écart dépend de n, donc la
suite n'est pas arithmétique.

]]> Elle croît jusqu'au rang 5, puis elle décroît

]]> Le sens est inversé : la différence commence par être négative, et
c'est ensuite qu'elle devient positive.

]]> Elle décroît jusqu'au rang 5, puis croît

]]> Bonne réponse : 2n - 9 est négatif tant que n ≤ 4 et positif
dès que n ≥ 5, donc u₅ est le plus petit terme.

]]> Elle est décroissante pour tout entier n

]]> La différence change de signe : à partir de n = 5, elle est
positive et la suite remonte.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q44 : Retrouver le rang d'un terme Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 5 et pour raison
4. Quel est le rang du terme égal à 61 ?

]]> Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit uₙ = u₀ + nr.
Chercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation
du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 15

]]> Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence
au rang 0, donc le rang cherché vaut 14.

]]> 14

]]> Bonne réponse : on résout 5 + 4n = 61, soit
4n = 56 et donc n = 14.

]]> 56

]]> C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la
diviser par la raison 4.

]]> 12

]]> La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier
terme lui-même.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q45 : Somme de termes géométriques Soit (uₙ) la suite géométrique de premier terme u₀ = 3 et de
raison 2. Que vaut la somme u₀ + u₁ + ⋯ + u₅ ?

]]> La somme des termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut le
premier terme multiplié par \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 189

]]> Bonne réponse : la somme compte 6 termes et vaut
3 \times \dfrac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 189.

]]> 93

]]> Un terme manque : la somme s'arrête au rang 5, elle compte donc
6 termes et non 5.

]]> 63

]]> Le premier terme 3 a été oublié : il multiplie toute la somme
des puissances de 2.

]]> 96

]]> C'est le dernier terme u₅ seul, alors que la question porte
sur la somme de tous les termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q46 : Reconnaître une suite arithmétique et sa raison Les premiers termes d'une suite sont 5, 8, 11, 14.
Que peut-on dire de cette suite ?

]]> Une suite est arithmétique si la différence uₙ₊₁ - uₙ est
constante ; cette constante est la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est
constante, ce qui définit une suite arithmétique.

]]> Arithmétique de raison 3

]]> Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant 3 au
précédent : 8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3.

]]> Géométrique de raison 3

]]> Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;
ils augmentent d'une même quantité.

]]> Arithmétique de raison 5

]]> Erreur : 5 est le premier terme, pas la raison.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q47 : Terme général quand la suite commence au rang un Une suite arithmétique vérifie u₁ = 7 et a pour raison 4.
Que vaut u₂₀ ?

]]> Entre u₁ et uₙ, on ajoute n - 1 fois la raison :
uₙ = u₁ + (n - 1)r.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 532

]]> Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier
terme.

]]> 83

]]> Bonne réponse : uₙ = u₁ + (n - 1)r, donc
u₂₀ = 7 + 19 × 4 = 83.

]]> 87

]]> Erreur : la formule u₀ + nr suppose un premier terme de rang
0 ; ici le premier rang est 1, d'où (n - 1) raisons.

]]> 7 + 4

]]> Erreur : 7 + 4 n'est que u₂.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q48 : Sens de variation d'une suite arithmétique Une suite arithmétique a pour raison -2. Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite arithmétique de raison r : croissante si r > 0,
décroissante si r < 0, constante si r = 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante, car |{-2}| = 2 > 0

]]> Erreur : c'est le signe de uₙ₊₁ - uₙ = -2 qui décide.

]]> Constante, une suite arithmétique ne variant pas

]]> Erreur : une suite arithmétique n'est constante que si sa
raison est nulle.

]]> Cela dépend du premier terme

]]> Erreur : le premier terme ne change pas le signe des
différences successives.

]]> Décroissante, la raison étant négative

]]> Bonne réponse : uₙ₊₁ - uₙ = -2 ; le signe de la raison
donne le sens de variation.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q49 : Retrouver la raison à partir de deux termes Une suite arithmétique vérifie u₃ = 10 et u₈ = 25. Quelle est sa raison ?

]]> Pour une suite arithmétique, u_q - uₚ = (q - p) r : deux termes
suffisent à retrouver la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : u₈ - u₃ = (8 - 3)r, donc
r = 15/5 = 3 ; on en déduit u₀ = 1.

]]> 15

]]> Erreur : 15 est l'écart entre les deux termes, qui couvre
5 raisons.

]]> 10

]]> Erreur : 10 est un terme de la suite, pas sa raison.

]]> 5

]]> Erreur : 5 est l'écart entre les rangs, pas la raison.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q50 : Somme des premiers entiers Calculer 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100.

]]> 1 + 2 + ⋯ + n = n(n + 1)/2 : nombre de termes fois
moyenne du premier et du dernier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10000

]]> Erreur : 100² serait la somme des 100 premiers nombres
impairs, pas celle des entiers de 1 à 100.

]]> 5050

]]> Bonne réponse : 100 × 101/2 = 5050.

]]> 4950

]]> Erreur : n(n - 1)/2 est la somme de 1 à 99.

]]> 100

]]> Erreur : 100 est le dernier terme, pas la somme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q51 : Somme des premières puissances de deux Calculer 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2⁵.

]]> Pour q ≠ 1 : 1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}
{1 - q} ; avec q = 2, la somme vaut le terme suivant moins 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Erreur : 6 est le nombre de termes.

]]> 63

]]> Bonne réponse : 1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1} - 1}
{q - 1} avec q = 2 : 2⁶ - 1 = 63.

]]> 32

]]> Erreur : 2⁵ = 32 est le dernier terme, pas la somme.

]]> 31

]]> Erreur : 2⁵ - 1 est la somme jusqu'à 2⁴
seulement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q52 : Somme de termes en progression arithmétique par la formule Une suite arithmétique a 10 termes consécutifs allant de 3
à 39. Quelle est leur somme ?

]]> Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :
n \times \dfrac{u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}}}{2}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 42

]]> Erreur : 3 + 39 n'est que la somme des deux termes
extrêmes.

]]> 210

]]> Bonne réponse : somme = nombre de termes ×
premier + dernier/2 = 10 × 3 + 39/2 = 210.

]]> 10

]]> Erreur : 10 est le nombre de termes.

]]> 420

]]> Erreur : la division par 2 a été oubliée ; on multiplie par
la moyenne du premier et du dernier terme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q53 : Passer sous un seuil avec une suite géométrique décroissante Soit u_n = 100 \times 0{,}8^n. À partir de quel rang a-t-on
uₙ < 10 ?

]]> Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang
pour lequel uₙ < 10 ; la décroissance garantit que tous les
rangs suivants conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Jamais, la suite restant positive

]]> Erreur : une suite géométrique de raison dans ]0 ; 1[ tend vers
0 et passe sous tout seuil positif.

]]> n = 11, car u_{11} \approx 8{,}6

]]> Bonne réponse : u_{10} \approx 10{,}7 \geq 10 et
u_{11} \approx 8{,}6 < 10 ; le seuil est franchi au rang
11, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.

]]> n = 12, par sécurité

]]> Erreur : le seuil est déjà franchi au rang 11.

]]> n = 10, car u_{10} \approx 10{,}7

]]> Erreur : 10{,}7 est encore supérieur ou égal à 10.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q54 : Une somme calculée par un programme Que renvoie somme(n) ?
`python
def somme(n):
s = 0
for k in range(1, n + 1):
s = s + k
return s
`

]]> Accumulateur initialisé à 0, boucle sur les entiers de 1 à n :
le programme calcule n(n + 1)/2 pas à pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n, la dernière valeur de k

]]> Erreur : la fonction renvoie s, pas k.

]]> 1 + 2 + ⋯ + (n - 1), la borne étant exclue

]]> Erreur : la borne n + 1 étant exclue, le dernier entier
parcouru est bien n.

]]> 1 + 2 + ⋯ + n, la somme de 1 à n

]]> Bonne réponse : range(1, n + 1) parcourt les entiers de 1 à
n, et s accumule leur somme.

]]> n!, le produit des entiers de 1 à n

]]> Erreur : l'instruction s = s + k additionne ; un produit
s'écrirait s = s * k avec s initialisé à 1.

]]>