$course$/QCM de maths/Première spécialité/TrigonométrieCercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de
la droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien
avec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation
cos² x + sin² x = 1, angles associés (opposés,
plus un tour).]]>Trigonométrie — Q01 : Degrés et radiansÀ combien de radians correspond un angle de 90° ?]]>Le radian mesure un angle par la longueur d'arc sur le
cercle de rayon 1 : tour complet = 2π, demi-tour = π, quart de tour = π/2. Conversion : x° = x × π/180 rad.]]>1.00.00truetrueabc90/π]]>Erreur : la conversion multiplie par π/180
: 90 × π/180 = π/2. Diviser
par π n'a pas de sens ici (\frac{90}{\pi} \approx
28{,}6).]]>π/3]]>Erreur : π/3 correspond à 60° (le sixième
de tour). Le quart de tour vaut π/2.]]>π/4]]>Erreur : π/4 correspond à 45° (le huitième
de tour).]]>π/2]]>Bonne réponse : le tour complet (360°) mesure 2π
radians, donc le quart de tour vaut 2π/4 = π/2.]]>Trigonométrie — Q02 : Enroulement de la droiteSur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel
π/2 par l'enroulement de la droite des réels ?]]>L'enroulement part de I(1 ; 0) et parcourt le cercle dans
le sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :
π/2 → (0 ; 1), π → (-1 ; 0),
2π → retour en I.]]>1.00.00truetrueabcLe point de coordonnées (1 ; 1)]]>Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa
distance à l'origine vaut √2 ≠ 1).]]>Le point de coordonnées (1 ; 0)]]>Erreur : (1 ; 0) est le point de départ, associé
au réel 0.]]>Le point de coordonnées (0 ; 1)]]>Bonne réponse : partant de I(1 ; 0) et parcourant un
quart de tour dans le sens direct (longueur d'arc
π/2), on atteint le sommet du cercle.]]>Le point de coordonnées (0 ; -1)]]>Erreur : (0 ; -1) est atteint pour -π/2
(quart de tour dans le sens indirect) ou pour
3π/2.]]>Trigonométrie — Q03 : Lire cosinus et sinus sur le cercle[Figure : Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le
cercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3
depuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à
l'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée
racine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.]
Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point M est
associé au réel π/3. Quelles sont ses
coordonnées ?
]]>Définition centrale : le point associé à x a pour
coordonnées (cos x ; sin x). Pour π/3 :
\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).]]>1.00.00truetrueabcM\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]]>Bonne réponse : par définition, M(cos x ; sin x) :
les pointillés donnent cosπ/3 = ½
(abscisse) et \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
(ordonnée).]]>M\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)]]>Coordonnées échangées : ce point correspondrait à
π/6 (angle plus proche de l'axe horizontal,
donc grande abscisse et petite ordonnée).]]>M(π/3 ; 0)]]>Erreur : π/3 est l'angle (la longueur
d'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont
le cosinus et le sinus.]]>M(½ ; ½)]]>Erreur : ce point n'est pas sur le cercle
((½)² + (½)² = ½ ≠ 1). L'ordonnée de M vaut
\frac{\sqrt{3}}{2}.]]>Trigonométrie — Q04 : Définition de cosinus et sinusSoit M le point du cercle trigonométrique associé au réel
x. Comment sont définis cos x et sin x ?]]>Pour tout réel x : M(cos x ; sin x) sur le cercle
trigonométrique. Conséquence immédiate : -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1.]]>1.00.00truetrueabccos x est l'abscisse de M et sin x son ordonnée]]>Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui
étend le cosinus et le sinus à tous les réels.]]>cos x et sin x ne sont définis que pour
x ∈ [0 ; 2π]]]>Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut
faire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :
cosinus et sinus sont définis sur ℝ.]]>cos x est l'ordonnée de M et sin x son abscisse]]>Rôles échangés : le cosinus est l'abscisse
(horizontale). Vérifie en x = 0 : le point (1 ; 0)
donne bien cos 0 = 1 et sin 0 = 0.]]>cos x est la longueur de l'arc parcouru]]>Erreur : la longueur d'arc est le réel x lui-même
(c'est le principe du radian). Le cosinus en est
l'abscisse du point d'arrivée.]]>Trigonométrie — Q05 : Une valeur remarquableQue vaut sinπ/4 ?]]>Valeurs remarquables (dans l'ordre π/6,
π/4, π/3) : sinus ½,
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} : et cosinus dans
l'ordre inverse. En π/4, symétrie : \cos = \sin =
\frac{\sqrt{2}}{2}.]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Bonne réponse : à 45°, le point du cercle est sur la
bissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant
\dfrac{\sqrt{2}}{2} (démonstration au programme).]]>\dfrac{2}{\sqrt{2}}]]>Erreur : \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41
dépasse 1, impossible pour un sinus. La valeur
cherchée est son inverse, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx
0{,}707.]]>½]]>Erreur : ½ est sinπ/6 (ou
cosπ/3). Pour π/4 :
\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707.]]>\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Erreur : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est sinπ/3
(angle plus ouvert, ordonnée plus haute).]]>Trigonométrie — Q06 : La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$Soit x ∈ [0 ; π/2] tel que
\sin x = 0{,}6. Que vaut cos x ?]]>cos² x + sin² x = 1 (théorème de Pythagore sur le
cercle de rayon 1). On en tire l'un connaissant l'autre, au signe près, tranché par le quadrant.]]>1.00.00truetrueabc0{,}4]]>Erreur : 1 - 0{,}6 = 0{,}4 soustrait les valeurs au
lieu de leurs carrés. La relation est
cos² x + sin² x = 1.]]>0{,}64]]>Presque : 0{,}64 est cos² x. Il reste à prendre la
racine : \cos x = 0{,}8.]]>0{,}8]]>Bonne réponse : \cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64, et sur
[0 ; π/2] le cosinus est
positif : \cos x = 0{,}8.]]>\pm 0{,}8]]>Incomplet : l'équation du carré donne bien deux
candidats, mais l'hypothèse x ∈ [0 ; π/2] (premier
quadrant) force le cosinus positif.]]>Trigonométrie — Q07 : Ajouter un tourLe réel 9π/4 est associé au même point du cercle
que lequel de ces réels ?]]>Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur
différence est un multiple de 2π (nombre entier de
tours). 9π/4 = π/4 + 2π : d'où
cos9π/4 = cosπ/4.]]>1.00.00truetrueabc-π/4]]>Erreur : 9π/4 - (-π/4) = 10π/4 = 5π/2 : pas un multiple
de 2π. (-π/4 est le symétrique de π/4,
pas le même point.)]]>3π/4]]>Erreur : l'écart vaut 6π/4 = 3π/2,
pas un tour complet.]]>π/2]]>Erreur : 9π/4 - π/2 = 7π/4, qui n'est pas un multiple de 2π :
points différents.]]>π/4]]>Bonne réponse : 9π/4 = π/4 + 2π : un tour complet de plus, même point d'arrivée.]]>Trigonométrie — Q08 : Angles opposésQue vaut sin(-π/6) ?]]>Angles opposés : cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x
(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle).]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Double erreur : mauvaise valeur remarquable et signe
oublié. sin(-π/6) = -½.]]>½]]>Erreur : c'est le cosinus qui résiste au changement de
signe de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous
l'axe : -½.]]>-½]]>Bonne réponse : les points associés à x et -x sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même
cosinus, sinus opposés. sinπ/6 = ½, donc sin(-π/6) = -½.]]>-\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Erreur de valeur : \dfrac{\sqrt{3}}{2} est le sinus de
π/3, pas de π/6.]]>Trigonométrie — Q09 : Lien avec le triangle rectangleDans un triangle rectangle, l'angle aigu θ a un côté
adjacent de longueur 3 et une hypoténuse de longueur 5.
Que vaut cosθ ?]]>Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,
la définition du cercle redonne
cosθ = adjacent/hypoténuse et
sinθ = opposé/hypoténuse. Ici :
triangle 3-4-5.]]>1.00.00truetrueabc⅗]]>Bonne réponse : cosθ = côté adjacent/hypoténuse = ⅗ (et le
troisième côté vaut 4 : sinθ = ⅘).]]>5/3]]>Fraction renversée : un cosinus reste entre -1 et 1 ;
l'hypoténuse, plus grande, va au dénominateur.]]>¾]]>Erreur : ¾ divise l'adjacent par l'opposé
(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à
l'hypoténuse : ⅗.]]>⅘]]>Erreur : ⅘ est le sinus (côté opposé,
qui vaut 4 par Pythagore, sur hypoténuse).]]>Trigonométrie — Q10 : Placer un réel sur le cercleDans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le
point associé au réel 5π/6, et quels sont les
signes de son cosinus et de son sinus ?]]>Placer un réel : le comparer aux multiples de
π/2. 5π/6 ∈ ]π/2 ; π[ : deuxième quadrant, \cos\frac{5\pi}{6} =
-\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 et sin5π/6 = ½ > 0.]]>1.00.00truetrueabcTroisième quadrant : cos < 0 et sin < 0]]>Erreur : le troisième quadrant commence à π = 6π/6, pas encore atteint par
5π/6.]]>Deuxième quadrant : cos > 0 et sin < 0]]>Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse
(cosinus) est négative et l'ordonnée (sinus) positive.]]>Premier quadrant : cos > 0 et sin > 0]]>Erreur : le premier quadrant s'arrête à π/2 = 3π/6 ; or 5π/6 le dépasse.]]>Deuxième quadrant (en haut à gauche) : cos < 0 et
sin > 0]]>Bonne réponse : π/2 < 5π/6 < π :
entre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,
ordonnée positive.]]>Trigonométrie — Q11 : Pourquoi $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$ ?Comment justifier que cosπ/4 = sinπ/4 ?]]>L'angle π/4 est sur la bissectrice du premier quadrant :
abscisse = ordonnée. En injectant dans cos² x + sin² x = 1 : 2cos²π/4 = 1, d'où \cos\frac{\pi}{4} =
\frac{\sqrt{2}}{2}.]]>1.00.00truetrueabcC'est une convention adoptée sans justification possible]]>Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de
tour (triangle rectangle isocèle) plus la relation
cos² + sin² = 1.]]>Parce que les deux valent ½]]>Erreur de valeur : elles valent \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\approx 0{,}707. (Et (½)² + (½)² = ½ ≠ 1 :
le point ne serait pas sur le cercle.)]]>Parce que cos x = sin x pour tout réel x]]>Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout
(cos 0 = 1 ≠ 0 = sin 0). L'égalité en π/4
vient de la symétrie particulière de cet angle.]]>Le point associé à π/4 est sur la
bissectrice y = x]]>Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point
est sur la droite y = x, son abscisse égale son
ordonnée. Avec cos² + sin² = 1, chaque coordonnée
vaut \frac{\sqrt{2}}{2} (démonstration au programme).]]>Trigonométrie — Q12 : Le sens de parcoursQuel point du cercle trigonométrique est associé au réel
-π/2 ?]]>Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels
positifs, sens indirect pour les négatifs.
-π/2 → (0 ; -1) : cohérent avec
cos(-π/2) = 0 et
sin(-π/2) = -1.]]>1.00.00truetrueabc(-1 ; 0)]]>Erreur : (-1 ; 0) correspond à π (ou -π) : un
demi-tour, pas un quart.]]>(1 ; 0)]]>Erreur : (1 ; 0) est le point de départ (réel 0, ou
tout multiple de 2π).]]>(0 ; -1)]]>Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le
sens indirect (celui des aiguilles d'une montre) :
-π/2 correspond à un quart de tour vers le
bas, d'où le point (0 ; -1).]]>(0 ; 1)]]>Erreur de sens : (0 ; 1) correspond à
+π/2 (sens direct). Le signe moins renverse
le sens de parcours.]]>Trigonométrie — Q13 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{3}$Que vaut sinπ/3 ?]]>Le trio à mémoriser : π/6, π/4, π/3 donnent pour sinus \frac{1}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} (et les mêmes
valeurs en cosinus, dans l'ordre inverse).]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Bonne réponse : à 60°, le point du cercle est haut :
grand sinus \frac{\sqrt{3}}{2}, petit cosinus
½.]]>\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Erreur : \frac{\sqrt{2}}{2} appartient à
π/4 (45°), l'angle de l'égalité
sinus-cosinus.]]>½]]>Échange : ½ est cosπ/3 (ou
sinπ/6) : à 60° le point est plus haut
que large.]]>√3]]>Trop grand : un sinus reste entre -1 et 1 ; or
\sqrt{3} \approx 1{,}73. Le bon rapport est
\frac{\sqrt{3}}{2}.]]>Trigonométrie — Q14 : Cosinus de l'angle opposéPour tout réel x, que vaut cos(-x) ?]]>cos(-x) = cos x (cosinus pair), sin(-x) = -sin x
(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des
abscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une
symétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter.]]>1.00.00truetrueabc1 - cos x]]>Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait
apparaître de « 1 - » : les transformations donnent
±cos ou ±sin.]]>-cos x]]>Erreur : c'est le sinus qui change de signe
(sin(-x) = -sin x) : la symétrie horizontale
préserve l'abscisse.]]>sin x]]>Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de
π/2 - x (angles complémentaires), pas de
l'opposé.]]>cos x]]>Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes x
et -x sont symétriques par rapport à l'axe
horizontal : même abscisse, donc même cosinus.]]>Trigonométrie — Q15 : Cosinus de $\pi - x$Pour tout réel x, que vaut cos(π - x) ?]]>π - x (symétrie verticale) : cos bascule, sin
tient ; π + x (symétrie centrale) : les deux basculent ;
-x (symétrie horizontale) : sin bascule, cos tient.
Trois symétries, tout le jeu des angles associés.]]>1.00.00truetrueabccos x]]>Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :
cos2π/3 = -cosπ/3 = -½, pas +½.]]>-cos x]]>Bonne réponse : π - x est le symétrique de x par
rapport à l'axe vertical : l'abscisse change de
signe, l'ordonnée est conservée (sin(π - x) = sin x).]]>-sin x]]>Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à
π/2 - x) : le supplémentaire donne
-cos x.]]>sin x]]>Erreur : sin x est la valeur de sin(π - x) : le sinus est conservé par cette symétrie, le cosinus
bascule.]]>Trigonométrie — Q16 : Le radian par la longueur d'arcSur un cercle de rayon r, quelle longueur d'arc un angle au
centre de 1 radian intercepte-t-il ?]]>Le radian est défini par la longueur d'arc : 1 radian
intercepte un arc égal au rayon, donc un angle de α
radians intercepte un arc de longueur α r. Le tour
complet (2π r) correspond ainsi à 2π radians, et 1
radian = \dfrac{180}{\pi}° \approx 57{,}3°.]]>1.00.00truetrueabc1]]>Erreur : vrai seulement pour r = 1. Sur un cercle de
rayon r, toutes les longueurs sont multipliées par
r : l'arc de 1 radian mesure r.]]>r]]>Bonne réponse : c'est la définition du radian : l'angle
qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur le
cercle trigonométrique (r = 1), cet arc mesure 1.]]>2π r/360]]>Erreur : 2π r/360 est l'arc intercepté par
1 degré (le tour 2π r partagé en 360). Un
radian vaut environ 57{,}3°, bien plus qu'un degré.]]>π r]]>Erreur : π r est le demi-périmètre, intercepté par un
angle de π radians (le demi-tour), pas de 1 radian.]]>Trigonométrie — Q17 : Calculer $\sin\dfrac{7\pi}{6}$Que vaut sin7π/6 ?]]>Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à π ou
π/2 (7π/6 = π + π/6),
appliquer la formule d'angle associé, conclure avec la
valeur remarquable. Placer mentalement le point sur le
cercle valide le signe.]]>1.00.00truetrueabc-\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Valeur : l'angle de référence est π/6, de
sinus ½ (\frac{\sqrt{3}}{2} appartient à
π/3).]]>-½]]>Bonne réponse : 7π/6 = π + π/6 : symétrie centrale : sin(π + x) = -sin x = -½ (point dans le troisième
quadrant, sous l'axe).]]>7/6]]>Erreur : un sinus reste dans [-1\ ;\ 1] : on
décompose l'angle (π + π/6) et on applique
la symétrie.]]>½]]>Signe : au-delà de π, le point passe sous l'axe
des abscisses : le sinus devient négatif.]]>Trigonométrie — Q18 : Coordonnées d'un point du cercleQuelles sont les coordonnées du point du cercle
trigonométrique associé au réel 2π/3 ?]]>Point associé à x : (cos x\ ;\ sin x) : ici
2π/3 = π - π/3 : cosinus basculé,
sinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +).]]>1.00.00truetrueabc\left(\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]]>Signe du cosinus : 2π/3 > π/2 : le
point a dépassé la verticale : abscisse négative (ce
point-là est celui de π/3).]]>\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)]]>Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est
le cosinus (-½), l'ordonnée le sinus
(+\frac{\sqrt{3}}{2}).]]>\left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]]>Bonne réponse : coordonnées = (cos\ ;\ sin) :
deuxième quadrant : cosinus négatif (-½),
sinus positif (\frac{\sqrt{3}}{2}).]]>\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)]]>Valeurs échangées : l'angle de référence π/3
donne cos = ½ (au signe près) et \sin =
\frac{\sqrt{3}}{2} : pas l'inverse.]]>Trigonométrie — Q19 : Convertir un angle en radiansQuelle est la mesure en radians d'un angle de 30 degrés ?]]>La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :
180 degrés correspondent à π radians, donc une mesure en degrés se
multiplie par π/180.]]>1.00.00truetrueabcπ/3]]>C'est la mesure de 60 degrés : le rapport à 180 vaut ici
⅙ et non ⅓.]]>30π]]>Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de 30 degrés est
bien plus petit qu'un tour complet.]]>π/30]]>Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par
π/180.]]>π/6]]>Bonne réponse : 180 degrés valent π radians, donc 30 degrés en
valent le sixième.]]>Trigonométrie — Q20 : Signe du cosinus selon le quadrantPour un réel x compris entre π/2 et π, quel est le
signe de cos x ?]]>Le cosinus est l'abscisse du point du cercle trigonométrique, le sinus son
ordonnée. Le signe se lit donc directement sur le quadrant où se trouve le
point.]]>1.00.00truetrueabcNul]]>Il ne s'annule qu'aux bornes de cet intervalle, en
π/2 précisément.]]>Négatif]]>Bonne réponse : le point associé se trouve dans le quadrant en haut à
gauche, donc d'abscisse négative.]]>Positif]]>Le cosinus n'est positif que pour les points situés à droite de l'axe
des ordonnées.]]>Cela dépend de la valeur exacte]]>Sur tout l'intervalle ouvert, le signe est le même : l'abscisse reste
strictement négative.]]>Trigonométrie — Q21 : Calculer un sinus à partir d'un cosinusOn sait que cos x = ⅗ et que x appartient à
]0 ; π/2[. Que vaut sin x ?]]>La relation cos² x + sin² x = 1 donne le carré du sinus. L'intervalle
précisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe.]]>1.00.00truetrueabc⅖]]>Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les
valeurs elles-mêmes.]]>⅘]]>Bonne réponse : sin² x = 1 - 9/25 = 16/25, et le
sinus est positif sur cet intervalle.]]>-⅘]]>Signe mal choisi : sur ]0 ; π/2[, le point
est dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive.]]>16/25]]>Racine oubliée : 16/25 est la valeur de sin² x.]]>Trigonométrie — Q22 : Deux réels, un même pointQuels réels sont associés au même point du cercle trigonométrique que
π/3 ?]]>L'enroulement de la droite numérique sur le cercle est périodique de
période 2π. Deux réels ont donc la même image si et seulement si leur
différence est un multiple de 2π.]]>1.00.00truetrueabcCeux de la forme π/3 + 2kπ]]>Bonne réponse : ajouter un nombre entier de tours complets ramène au
même point.]]>Seulement π/3 lui-même]]>L'enroulement de la droite sur le cercle envoie une infinité de réels
sur chaque point.]]>Ceux de la forme π/3 + kπ]]>Un demi-tour amène au point diamétralement opposé, pas au même point.]]>Ceux de la forme π/3 × k]]>Multiplier le réel change l'angle : pour k = 2, on obtient
2π/3, un autre point.]]>Trigonométrie — Q23 : La valeur de $\cos\dfrac{\pi}{6}$Combien vaut cosπ/6 ?]]>Les trois valeurs remarquables du cosinus sont
\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} et ½ pour
π/6, π/4 et π/3. Elles décroissent
quand l'angle augmente.]]>1.00.00truetrueabc½]]>C'est sinπ/6, ou encore cosπ/3 : les deux
valeurs s'échangent d'un angle à l'autre.]]>\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Cette valeur correspond à π/4, l'angle de 45 degrés.]]>\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Bonne réponse : c'est la valeur associée à l'angle de 30 degrés,
proche de 0{,}87.]]>\dfrac{\sqrt{3}}{3}]]>Dénominateur faux : les valeurs remarquables du cosinus s'écrivent
toutes avec un dénominateur égal à 2.]]>Trigonométrie — Q24 : Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$Quelles sont les solutions de cos x = ½ dans
]-π ; π] ?]]>L'équation cos x = a a deux solutions opposées sur un intervalle de
longueur 2π, car deux points symétriques par rapport à l'axe des
abscisses ont la même abscisse.]]>1.00.00truetrueabcπ/3 et -π/3]]>Bonne réponse : deux points du cercle ont pour abscisse
½, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.]]>π/6 et -π/6]]>Valeur remarquable confondue : cosπ/6 vaut
\dfrac{\sqrt{3}}{2}, pas ½.]]>π/3 et 2π/3]]>Symétrie du sinus appliquée au cosinus : cos2π/3 vaut
-½.]]>π/3 seulement]]>Solution symétrique oubliée : l'angle opposé a le même cosinus.]]>Trigonométrie — Q25 : Sinus d'un angle et de son opposéQuelle relation lie sin(-x) et sin x ?]]>La symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve l'abscisse et change
le signe de l'ordonnée. D'où cos(-x) = cos x et
sin(-x) = -sin x.]]>1.00.00truetrueabcsin(-x) = 1/sin x]]>Aucune inversion n'intervient : pour x = π/6, le sinus
vaut ½ et son opposé -½.]]>sin(-x) = -sin x]]>Bonne réponse : les points associés à x et à -x sont symétriques
par rapport à l'axe des abscisses, donc d'ordonnées opposées.]]>sin(-x) = sin x]]>C'est le cosinus qui est conservé par cette symétrie, pas le sinus.]]>sin(-x) = cos x]]>Les deux fonctions ne s'échangent pas par changement de signe : pour
x = 0, sin(0) = 0 et cos(0) = 1.]]>Trigonométrie — Q26 : Longueur d'un arcSur un cercle de rayon 4 cm, quelle est la longueur de l'arc
intercepté par un angle au centre de π/2 radian ?]]>La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en
radians. C'est précisément ce qui définit le radian.]]>1.00.00truetrueabc2π cm]]>Bonne réponse : la longueur vaut rθ = 4 × π/2,
soit un quart du périmètre.]]>π/2 cm]]>Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un
cercle de rayon 1.]]>8π cm]]>C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché.]]>4π cm]]>Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc
à un angle de π.]]>Trigonométrie — Q27 : Cosinus de $\pi + x$À quoi cos(π + x) est-il égal ?]]>Ajouter π correspond à la symétrie par rapport à l'origine : les deux
coordonnées changent de signe, donc
cos(π + x) = -cos x et sin(π + x) = -sin x.]]>1.00.00truetrueabc-cos x]]>Bonne réponse : ajouter π amène au point diamétralement opposé,
dont les deux coordonnées sont opposées.]]>cos x]]>Pour x = 0, on aurait cos π = 1, alors que cette valeur vaut
-1.]]>sin x]]>L'échange entre cosinus et sinus se produit pour un décalage de
π/2, pas de π.]]>-sin x]]>Même objection : le demi-tour conserve la nature de chaque
coordonnée, en changeant son signe.]]>Trigonométrie — Q28 : Les valeurs possibles d'un cosinusEntre quelles valeurs cos x est-il nécessairement compris ?]]>Cosinus et sinus sont les coordonnées d'un point du cercle de rayon 1 :
ils appartiennent donc tous deux à [-1 ; 1]. Une équation comme
cos x = 2 n'a aucune solution.]]>1.00.00truetrueabcEntre -2 et 2]]>Encadrement correct mais trop large : aucune valeur ne dépasse 1 en
valeur absolue.]]>Entre -π et π]]>Cet intervalle concerne les angles, pas leurs cosinus.]]>Entre -1 et 1]]>Bonne réponse : c'est l'abscisse d'un point du cercle de rayon 1
centré à l'origine.]]>Entre 0 et 1]]>Le cosinus est négatif pour les points situés à gauche de l'axe des
ordonnées, par exemple cos π = -1.]]>Trigonométrie — Q29 : Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{4}$Combien vaut cos5π/4 ?]]>On décompose l'angle à l'aide d'une valeur remarquable et d'un demi-tour,
puis on applique la symétrie correspondante. Un schéma du cercle rend le
signe immédiat.]]>1.00.00truetrueabc\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Signe oublié : le point se trouve dans le quadrant en bas à gauche,
d'abscisse négative.]]>-½]]>Autre valeur remarquable : ½ correspond à
π/3.]]>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Bonne réponse : 5π/4 = π + π/4, donc le
cosinus est l'opposé de celui de π/4.]]>-\dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Valeur remarquable confondue : \dfrac{\sqrt{3}}{2} correspond à
π/6, pas à π/4.]]>Trigonométrie — Q30 : Ramener un réel dans $]-\pi\,;\,\pi]$Quel réel de ]-π ; π] correspond au même point du cercle que
9π/4 ?]]>Ramener un réel dans ]-π ; π] consiste à lui ajouter ou retrancher
des multiples de 2π jusqu'à tomber dans cet intervalle. Le réel obtenu
s'appelle la mesure principale.]]>1.00.00truetrueabcπ/2]]>Retrait mal calculé : un tour vaut 2π, c'est-à-dire
8π/4.]]>-π/4]]>Signe du retrait : on retranche des tours complets, ce qui ne change
pas le signe du reste ici.]]>5π/4]]>Un demi-tour retranché au lieu d'un tour : le résultat n'appartient
d'ailleurs pas à l'intervalle demandé.]]>π/4]]>Bonne réponse : 9π/4 - 2π = π/4, soit un
tour complet retranché.]]>Trigonométrie — Q31 : Des radians vers les degrésQuelle est la mesure en degrés d'un angle de
3π/4 radians ?]]>Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par
180/π : la mesure 3π/4 devient
¾ × 180 = 135°.]]>1.00.00truetrueabc135°]]>Bonne réponse : un demi-tour vaut π radians, soit
180°, donc ¾ × 180 = 135°.]]>240°]]>Fraction retournée : c'est ¾ qui
multiplie 180, et non 4/3.]]>45°]]>C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion
multiplie par 180/π, elle ne retranche rien
à 180.]]>270°]]>Le tour complet a servi de référence à la place du
demi-tour : c'est π qui vaut 180°, et non 360°.]]>Trigonométrie — Q32 : Retrouver un angle à partir d'un arcSur un cercle de rayon 3 cm, un arc a pour longueur
12 cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au
centre qui intercepte cet arc ?]]>Sur un cercle de rayon r, un angle au centre de α
radians intercepte un arc de longueur r × α. On
retrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon.]]>1.00.00truetrueabc8]]>Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la
formule fait intervenir r, soit 3 cm.]]>4]]>Bonne réponse : la longueur d'arc vaut r × α,
donc α = 12/3 = 4.]]>9]]>Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le
rapport de la longueur d'arc au rayon.]]>36]]>Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur
d'arc qui vaut r × α, pas l'angle.]]>Trigonométrie — Q33 : Repérer l'égalité fausseParmi les égalités suivantes, laquelle est fausse ?]]>Les valeurs remarquables se lisent sur le cercle :
π/6 donne \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)
et π/3 donne
\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Plus le
réel grandit de 0 à π/2, plus le sinus grandit.]]>1.00.00truetrueabcsinπ/3 = ½]]>Bonne réponse : \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
C'est sinπ/6 qui vaut ½.]]>cosπ/3 = ½]]>Cette égalité est exacte : elle est la compagne de
sinπ/6 = ½, par symétrie autour
de la première bissectrice.]]>\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}]]>Cette égalité est exacte : π/6 est proche de
l'axe des abscisses, son cosinus est donc grand.]]>\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>Cette égalité est exacte : le point associé à
π/4 a deux coordonnées égales, qui valent
toutes deux \dfrac{\sqrt{2}}{2}.]]>Trigonométrie — Q34 : Parcourir le cercle dans le sens indirectOn part du point I(1 ; 0) du cercle trigonométrique et on
parcourt un arc de longueur 3π/2 dans le sens indirect, celui des aiguilles d'une montre. Quel point
atteint-on ?]]>Parcourir un arc de longueur \ell dans le sens indirect
revient à enrouler le réel -\ell. On ramène ensuite ce réel
dans ]-π ; π] en ajoutant des tours de 2π.]]>1.00.00truetrueabc(1 ; 0)]]>C'est le point de départ : on y revient après un tour
complet, de longueur 2π.]]>(0 ; 1)]]>Bonne réponse : ce parcours correspond au réel
-3π/2, qui repère le même point que
-3π/2 + 2π = π/2.]]>(-1 ; 0)]]>Un demi-tour seulement : π mène en (-1 ; 0),
alors que l'arc demandé mesure trois quarts de tour.]]>(0 ; -1)]]>Sens de parcours oublié : trois quarts de tour dans le
sens direct mènent en (0 ; -1), associé à
3π/2.]]>Trigonométrie — Q35 : Choisir un réel d'après les signesLe point du cercle trigonométrique associé au réel x a un
cosinus négatif et un sinus négatif. Parmi ces réels, lequel peut
convenir pour x ?]]>Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.
Les signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus
est positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est.]]>1.00.00truetrueabc5π/6]]>Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le
symétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses.]]>π/6]]>C'est le point diamétralement opposé : ses deux
coordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc
les deux signes sont inversés.]]>11π/6]]>Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le
symétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées.]]>7π/6]]>Bonne réponse : le point associé à 7π/6 est dans le
quadrant où le cosinus est négatif et le sinus négatif.]]>Trigonométrie — Q36 : Mesure principale d'un réel négatifQuelle est la mesure principale du réel
-8π/3, c'est-à-dire son unique représentant
dans ]-π ; π] ?]]>La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant
des tours de 2π jusqu'à tomber dans ]-π ; π]. Pour
un réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter.]]>1.00.00truetrueabc2π/3]]>Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif
ne suffit pas ici à le rendre positif.]]>4π/3]]>Représentant choisi dans [0 ; 2π[ : ce réel dépasse
π, il ne peut pas être la mesure principale.]]>-2π/3]]>Bonne réponse : on ajoute un tour,
-8π/3 + 6π/3 = -2π/3, qui appartient bien à
]-π ; π].]]>-14π/3]]>Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui
éloigne encore le réel de l'intervalle demandé.]]>Trigonométrie — Q37 : Des coordonnées vers le réelLe point M du cercle trigonométrique a pour coordonnées
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right). À quel réel de
]-π ; π] est-il associé ?]]>Le point associé à x a pour coordonnées
(cos x ; sin x). Lire un réel à partir des coordonnées
demande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de
choisir le quadrant d'après les deux signes.]]>1.00.00truetrueabc5π/6]]>C'est le point diamétralement opposé à M : ses deux
coordonnées sont les opposées de celles de M.]]>π/6]]>Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le
symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.]]>-5π/6]]>Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le
symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées.]]>-π/6]]>Bonne réponse : l'abscisse donne \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et
l'ordonnée sin x = -½, ce qui désigne -π/6.]]>Trigonométrie — Q38 : Sinus de $\pi - x$Pour tout réel x, à quoi sin(π - x) est-il égal ?]]>Les points associés à x et à π - x sont symétriques par
rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe,
l'ordonnée est conservée, donc cos(π - x) = -cos x et
sin(π - x) = sin x.]]>1.00.00truetrueabccos x]]>Les deux fonctions ont été échangées : une symétrie
d'axe vertical laisse l'ordonnée être une ordonnée.]]>-cos x]]>C'est la valeur de cos(π - x), l'abscisse changeant
de signe, et non celle de sin(π - x).]]>-sin x]]>Confusion avec sin(π + x), qui vaut bien -sin x.
La symétrie d'axe vertical conserve l'ordonnée.]]>sin x]]>Bonne réponse : les points associés à x et à π - x
sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc
ils ont la même ordonnée.]]>Trigonométrie — Q39 : La transformation qui envoie $x$ sur $-x$Sur le cercle trigonométrique, le point associé au réel -x
se déduit du point associé à x par quelle transformation ?]]>Enrouler -x revient à parcourir le même arc dans l'autre
sens : le point obtenu est le symétrique du premier par
rapport à l'axe des abscisses. Le cosinus est donc conservé,
le sinus changé de signe.]]>1.00.00truetrueabcLa symétrie d'axe (OI), l'axe des abscisses]]>Bonne réponse : l'abscisse est conservée et l'ordonnée
change de signe, d'où cos(-x) = cos x et
sin(-x) = -sin x.]]>La rotation d'un quart de tour dans le sens direct]]>Une rotation d'un quart de tour ajoute π/2
au réel, elle ne le remplace pas par son opposé.]]>La symétrie de centre O, origine du repère]]>Cette symétrie est celle qui envoie x sur π + x :
elle change les deux coordonnées de signe.]]>La symétrie d'axe (OJ), l'axe des ordonnées]]>Cette symétrie est celle qui envoie x sur π - x :
elle change le cosinus de signe, pas le sinus.]]>Trigonométrie — Q40 : Signe d'un produit dans un quadrantLe point associé au réel x se trouve dans le troisième
quadrant, en bas à gauche du cercle. Quel est le signe du
produit cos x × sin x ?]]>Dans le troisième quadrant, cos x < 0 et sin x < 0. Le
produit de deux nombres strictement négatifs est strictement
positif, quelle que soit la position dans le quadrant.]]>1.00.00truetrueabcPositif, car les deux facteurs sont négatifs]]>Bonne réponse : dans ce quadrant l'abscisse et l'ordonnée
sont toutes deux négatives, et le produit de deux nombres
négatifs est positif.]]>Négatif, car le cosinus y est négatif]]>Le cosinus y est bien négatif, mais le sinus l'est aussi,
et deux facteurs négatifs donnent un produit positif.]]>Négatif, car le sinus y est également négatif]]>Le signe des deux facteurs est correct, la règle des
signes ne l'est pas : (-) × (-) = (+).]]>Variable, selon la position exacte du point]]>Les signes ne changent pas à l'intérieur d'un quadrant :
seule la valeur du produit varie, pas son signe.]]>Trigonométrie — Q41 : Résoudre $\sin x = 0$Quelles sont les solutions de l'équation sin x = 0 dans
l'intervalle [0 ; 2π] ?]]>Résoudre sin x = 0, c'est chercher les points du cercle
d'ordonnée nulle : ce sont I(1 ; 0) et (-1 ; 0). Sur
[0 ; 2π], les réels correspondants sont 0, π et
2π.]]>1.00.00truetrueabc0 et π uniquement]]>L'intervalle est fermé en 2π : ce réel repère le même
point que 0, il est donc aussi solution.]]>0, π et 2π]]>Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point, elle
s'annule aux deux points de l'axe des abscisses, soit
0 et π, auxquels s'ajoute 2π inclus dans
l'intervalle.]]>π, seul réel où le sinus s'annule]]>Le sinus s'annule en plusieurs réels de l'intervalle :
les points concernés sont les deux de l'axe horizontal.]]>π/2 et 3π/2]]>Ce sont les réels où le cosinus s'annule : le sinus y
vaut 1 et -1.]]>Trigonométrie — Q42 : Repérer un point sur le cercle[Figure : Cercle trigonométrique de centre O, avec le point I de
coordonnées (1 ; 0). Trois points sont marqués sur le
cercle : A en haut à gauche, d'abscisse -0,5 et d'ordonnée
environ 0,87 ; B en bas à gauche, d'abscisse -0,5 et
d'ordonnée environ -0,87 ; C en bas à droite, d'abscisse
0,5 et d'ordonnée environ -0,87.]
Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, quel point est
associé au réel -2π/3 ?
]]>Un réel négatif s'enroule dans le sens indirect. Comme
-2π/3 est compris entre -π et
-π/2, son point est dans le quadrant où
l'abscisse et l'ordonnée sont toutes deux négatives.]]>1.00.00truetrueabcAucun des trois points]]>Le réel -2π/3 appartient bien à
]-π ; π] : son point figure sur la figure, dans
le troisième quadrant.]]>Le point A]]>Signe du réel négligé : A est associé à
2π/3, obtenu en parcourant le cercle vers
le haut.]]>Le point C]]>Ce point est associé à -π/3 : son abscisse
est positive, alors que cos(-2π/3)
est négatif.]]>Le point B]]>Bonne réponse : le réel est négatif, donc on parcourt le
cercle vers le bas, sur deux tiers de demi-tour. On
obtient le point d'abscisse -½ situé
au-dessous de l'axe des abscisses.]]>Trigonométrie — Q43 : Longueur dans un triangle rectangleUn triangle ABC est rectangle en B. L'angle en A mesure
π/3 et l'hypoténuse AC mesure 10 cm.
Quelle est la longueur AB ?]]>Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le
quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition
coïncide avec celle du cercle trigonométrique.]]>1.00.00truetrueabc5√2 cm]]>Angle confondu avec π/4, dont le cosinus
vaut \dfrac{\sqrt{2}}{2}.]]>5√3 cm]]>C'est la longueur BC : le sinus donne le côté opposé,
10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}.]]>5 cm]]>Bonne réponse : \cos\widehat{A} = \dfrac{AB}{AC}, donc
AB = 10 × ½ = 5 cm.]]>20 cm]]>Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent
est plus court que l'hypoténuse.]]>Trigonométrie — Q44 : D'où vient $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ?Quel argument démontre que cos² x + sin² x = 1 pour
tout réel x ?]]>Le point associé à x a pour coordonnées
(cos x ; sin x) et appartient au cercle de rayon 1.
Sa distance au centre vaut donc 1, ce qui s'écrit
cos² x + sin² x = 1 par le théorème de Pythagore.]]>1.00.00truetrueabcL'arc parcouru depuis I a pour longueur le réel x
lui-même]]>C'est la définition du radian, qui sert à placer le
point. L'égalité vient ensuite de la distance au centre.]]>Le cosinus et le sinus d'un réel sont tous deux compris
entre -1 et 1]]>Cet encadrement est exact, mais il est une conséquence de
l'égalité, pas sa démonstration : il n'impose aucune
valeur à la somme des carrés.]]>Le cosinus et le sinus ont la même période, égale à
2π]]>La périodicité dit que les valeurs se répètent d'un tour
à l'autre, elle ne relie pas le cosinus au sinus d'un
même réel.]]>Le point de coordonnées (cos x ; sin x) est à la
distance 1 de O]]>Bonne réponse : ce point est sur le cercle de centre O
et de rayon 1 ; le théorème de Pythagore appliqué au
triangle rectangle formé donne l'égalité.]]>Trigonométrie — Q45 : Une valeur impossible pour un sinusParmi ces nombres, lequel ne peut pas être la valeur de
sin x pour un réel x ?]]>Le point associé à x est sur le cercle de rayon 1 : son
abscisse et son ordonnée appartiennent toutes deux à
[-1 ; 1]. Tout nombre hors de cet intervalle est donc
impossible pour un cosinus comme pour un sinus.]]>1.00.00truetrueabc4/3]]>Bonne réponse : 4/3 > 1, or le sinus est
l'ordonnée d'un point du cercle de rayon 1, donc il
reste entre -1 et 1.]]>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}]]>C'est une valeur remarquable, environ -0{,}71 : elle
vaut sin(-π/4).]]>-0{,}95]]>Ce nombre appartient à [-1 ; 1] : le sinus le prend
deux fois au cours d'un tour de cercle.]]>¾]]>\dfrac{3}{4} = 0{,}75 appartient à [-1 ; 1] : cette
valeur est atteinte, même si le réel correspondant n'est
pas remarquable.]]>Trigonométrie — Q46 : Résoudre cos x égale zéroQuelles sont les solutions de cos x = 0 sur ]-π ; π] ?]]>Sur le cercle trigonométrique, cos x = 0 correspond aux points
d'abscisse nulle, en haut et en bas du cercle.]]>1.00.00truetrueabcx = π/2 et x = -π/2]]>Bonne réponse : le cosinus est l'abscisse du point du cercle
trigonométrique ; elle est nulle aux deux points de l'axe des
ordonnées, d'angles π/2 et -π/2.]]>x = 0 et x = π]]>Erreur : en 0 et π, le cosinus vaut 1 et -1 ; c'est le
sinus qui s'y annule.]]>x = π/4 et x = -π/4]]>Erreur : \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq 0.]]>x = π/2 seulement]]>Erreur : -π/2 appartient aussi à l'intervalle et
convient.]]>Trigonométrie — Q47 : Résoudre une équation en sinus avec une valeur remarquableQuelles sont les solutions de \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} sur [0 ; 2π[ ?]]>sin x = sin a a pour solutions x = a et x = π - a, à
2π près.]]>1.00.00truetrueabcx = π/4 et x = 7π/4]]>Erreur : 7π/4 = -π/4 + 2π a pour sinus -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; les angles
x et -x ont le même cosinus, pas le même sinus.]]>x = π/4 et x = 3π/4]]>Bonne réponse : \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, et les deux points du cercle de
même ordonnée ont pour angles π/4 et π - π/4 = 3π/4.]]>x = π/4 seulement]]>Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;
il manque π - π/4.]]>x = 3π/4 et x = 5π/4]]>Erreur : 5π/4 = π + π/4 a pour sinus -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.]]>Trigonométrie — Q48 : Résoudre une équation en cosinus avec une valeur négativeQuelles sont les solutions de cos x = -½ sur [0 ; 2π[ ?]]>cos x = cos a a pour solutions x = a et x = -a, à 2π
près ; sur [0 ; 2π[, -a se lit 2π - a.]]>1.00.00truetrueabcx = 2π/3 et x = 4π/3]]>Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche
de l'axe des ordonnées ; cos 2π/3 = -½, et le second point
est 2π - 2π/3 = 4π/3.]]>x = π/3 et x = 5π/3]]>Erreur : cos π/3 est positif ; ces angles sont à droite
de l'axe des ordonnées.]]>x = 2π/3 et x = π/3]]>Erreur : cos π/3 = -cos 2π/3 ; ces deux angles n'ont pas le
même cosinus.]]>x = 2π/3 seulement]]>Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;
il manque 2π - 2π/3.]]>Trigonométrie — Q49 : Nombre de solutions d'une équation en sinusCombien de solutions l'équation sin x = 1 possède-t-elle sur
[0 ; 2π[ ?]]>Sur un tour, sin x = k a deux solutions si -1 < k < 1, une si
k = ± 1, aucune sinon.]]>1.00.00truetrueabcAucune]]>Erreur : relisez la position de 1 par rapport à -1 et
1.]]>Une infinité, à cause de la périodicité]]>Erreur : sur [0 ; 2π[, un seul tour est parcouru ; la
périodicité joue sur ℝ entier.]]>Une seule, x = π/2]]>Bonne réponse : la droite horizontale y = 1 coupe le cercle
trigonométrique en zéro, un ou deux points selon que 1
est hors de [-1 ; 1], égal à ± 1, ou strictement entre.]]>Deux, symétriques]]>Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée 1.]]>Trigonométrie — Q50 : Retrouver un cosinus avec le signeSoit x ∈ [π/2 ; π] tel que
sin x = ⅗. Que vaut cos x ?]]>cos² x + sin² x = 1 donne cos x au signe près ;
l'intervalle fixe le signe.]]>1.00.00truetrueabc⅘]]>Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus
est négatif.]]>⅖]]>Erreur : 1 - sin x n'a rien à voir ; la relation porte sur
les carrés.]]>-⅘]]>Bonne réponse : cos² x = 1 - sin² x = 16/25, donc
cos x = ± ⅘ ; sur [π/2 ; π],
le cosinus est négatif.]]>16/25]]>Erreur : 16/25 est cos² x ; il reste à prendre la racine
carrée.]]>Trigonométrie — Q51 : Parité de la fonction cosinusQue vaut cos(-x) pour tout réel x ?]]>cos(-x) = cos x : la courbe du cosinus est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.]]>1.00.00truetrueabc1 - cos x]]>Erreur : aucune relation de ce type n'existe.]]>cos x, la fonction cosinus étant paire]]>Bonne réponse : les points d'angles x et -x sont symétriques
par rapport à l'axe des abscisses et ont la même abscisse.]]>-cos x, la fonction cosinus étant impaire]]>Erreur : c'est le sinus qui est impair, sin(-x) = -sin x.]]>sin x]]>Erreur : changer x en -x ne transforme pas un cosinus en
sinus.]]>Trigonométrie — Q52 : Périodicité du cosinusQue vaut cos(x + 2π) pour tout réel x ?]]>Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques : leurs
courbes se répètent à chaque tour.]]>1.00.00truetrueabccos x, après un tour complet]]>Bonne réponse : ajouter 2π ramène au même point du cercle ;
cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.]]>sin x]]>Erreur : un décalage de π/2 relie cosinus et sinus,
pas un décalage de 2π.]]>cos x + 2π]]>Erreur : 2π s'ajoute à l'angle, pas au cosinus.]]>-cos x, le point étant diamétralement opposé]]>Erreur : c'est x + π qui donne le point opposé ; 2π est
un tour complet.]]>Trigonométrie — Q53 : Signe du sinus sur un demi-tourQuel est le signe de sin x pour x ∈\ ]π ; 2π[ ?]]>Le sinus est l'ordonnée du point du cercle : positif sur
]0 ; π[, négatif sur ]π ; 2π[.]]>1.00.00truetrueabcNul, le sinus s'annulant en π et 2π]]>Erreur : le sinus est nul aux bornes, pas entre elles.]]>Positif, comme sur ]0 ; π[, par symétrie]]>Erreur : le sinus change de signe en π.]]>Négatif, les points étant sous l'axe des abscisses]]>Bonne réponse : entre π et 2π, le point du cercle est
dans la moitié inférieure, d'ordonnée négative.]]>Le signe dépend de la valeur de x dans l'intervalle]]>Erreur : sur tout cet intervalle ouvert, le sinus garde le même
signe.]]>Trigonométrie — Q54 : Valeur maximale d'un sinus multipliéQuelle est la valeur maximale de la fonction f(x) = 3sin x sur
ℝ ?]]>Multiplier le sinus par k > 0 étire la courbe verticalement : les
valeurs vont de -k à k.]]>1.00.00truetrueabc6, deux fois le coefficient]]>Erreur : l'amplitude totale, de -3 à 3, vaut 6, mais
le maximum est 3.]]>3, quand sin x = 1]]>Bonne réponse : -1 ≤ sin x ≤ 1, donc
-3 ≤ 3sin x ≤ 3 ; le maximum 3 est atteint
en x = π/2.]]>-3, en x = -π/2]]>Erreur : -3 est le minimum de f.]]>1, maximum du sinus]]>Erreur : le facteur 3 multiplie toutes les valeurs, le
maximum compris.]]>Trigonométrie — Q55 : Cosinus après un demi-tourQue vaut cos(x + π) pour tout réel x ?]]>Angles associés : cos(x + π) = -cos x et
sin(x + π) = -sin x.]]>1.00.00truetrueabccos x + π, en ajoutant au cosinus]]>Erreur : π s'ajoute à l'angle, pas à sa valeur de cosinus.]]>cos x, un demi-tour ne changeant rien]]>Erreur : seul un tour complet, 2π, ramène au même point.]]>sin x, par échange des coordonnées]]>Erreur : c'est un quart de tour, π/2, qui échange
cosinus et sinus, au signe près.]]>-cos x, le point étant opposé]]>Bonne réponse : ajouter π envoie le point sur son symétrique
par rapport à O ; abscisse et ordonnée changent de signe.]]>