$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variables aléatoires réelles Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de
probabilité, notations \{X = a\} et P(X ≤ a), espérance
(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,
modélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.

]]> Variables aléatoires réelles — Q01 : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ? Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle X ?

]]> Variable aléatoire réelle : fonction X : Ω → ℝ. La notation \{X = a\} désigne l'événement
« l'issue obtenue a pour image a », de probabilité
P(X = a).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une probabilité comprise entre 0 et 1

]]> Erreur : les valeurs de X sont des nombres quelconques
(gains négatifs compris) ; ce sont les P(X = a) qui
sont des probabilités.

]]> Un nombre qui change à chaque répétition de l'expérience

]]> Trop vague : la variable est une fonction bien
définie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience
qui est aléatoire, pas la règle d'affectation.

]]> Un événement particulier de l'univers

]]> Erreur : un événement est un sous-ensemble de
l'univers. La variable aléatoire est une fonction à
valeurs réelles ; \{X = a\}, lui, est un événement.

]]> Une fonction de l'univers vers ℝ

]]> Bonne réponse : X associe un nombre réel à chaque
issue de l'univers (un gain, un score, un temps…) :
c'est la formalisation au programme.

]]> Variables aléatoires réelles — Q02 : Compléter une loi de probabilité La variable X prend les valeurs -1, 2 et 5 avec
P(X = -1) = 0{,}5 et P(X = 2) = 0{,}3. Que vaut
P(X = 5) ?

]]> Loi de probabilité de X : la donnée des valeurs xᵢ et
des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), positives et de somme
1. Ici : 0{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas savoir

]]> Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.
La contrainte est la somme totale : 1.

]]> 0{,}2

]]> Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut
1 : P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2.

]]> 0{,}8

]]> Erreur : 0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3 est la somme des deux
probabilités connues ; la manquante en est le
complément à 1.

]]> Variables aléatoires réelles — Q03 : Calculer une espérance Avec la loi précédente (-1 avec 0{,}5 ; 2 avec
0{,}3 ; 5 avec 0{,}2), que vaut E(X) ?

]]> E(X) = ∑ xᵢ pᵢ : moyenne des valeurs pondérée par
les probabilités. Ici 1{,}1 : analogie directe avec la
moyenne pondérée des statistiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Erreur : 6 est la somme brute des valeurs, sans les
probabilités.

]]> 2

]]> Erreur : 2 = -1 + 2 + 5/3 est la moyenne
non pondérée des valeurs. L'espérance pondère chaque
valeur par sa probabilité.

]]> 1{,}1

]]> Bonne réponse : E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +
5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1.

]]> 0{,}5

]]> Erreur : 0{,}5 est la probabilité la plus grande, pas
l'espérance. Formule : \sum x_i\,p_i = 1{,}1.

]]> Variables aléatoires réelles — Q04 : Interpréter l'espérance X désigne le gain (en euros) à un jeu, avec E(X) =
1{,}1. Quelle interprétation est correcte ?

]]> E(X) : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre
d'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au
joueur en tendance, sans rien garantir sur une partie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le gain moyen par partie tend vers 1{,}10 euro

]]> Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain
moyen par partie est proche de 1{,}10 euro.
L'espérance est un gain moyen en tendance, que les
fréquences réalisent sur le long terme (loi des grands
nombres, vue en simulation).

]]> On gagne dans 1{,}1 partie sur 2 en moyenne

]]> Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès
(et « 1{,}1 sur 2 » n'a pas de sens). Elle moyenne
les montants.

]]> Le gain le plus probable est 1{,}10 euro

]]> Erreur : la valeur la plus probable est -1 (probabilité
0{,}5). L'espérance ne coïncide pas avec le mode.

]]> À chaque partie, on gagne exactement 1{,}10 euro

]]> Erreur : aucune partie ne rapporte 1{,}10 euro (les
gains possibles sont -1, 2 et 5) : l'espérance est
une moyenne, pas une valeur garantie.

]]> Variables aléatoires réelles — Q05 : Jeu équitable Quand dit-on qu'un jeu d'argent est équitable ?

]]> Jeu équitable : E(gain algébrique) = 0. Capacité
attendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler
l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque toutes les issues sont équiprobables

]]> Erreur : l'équité concerne l'espérance du gain, pas
l'uniformité des probabilités : un jeu peut être
équiprobable et très défavorable.

]]> Lorsque l'espérance du gain est nulle

]]> Bonne réponse : l'espérance du gain algébrique (mise
déduite) est nulle : en moyenne, ni le joueur ni
l'organisateur ne gagnent, E(X) = 0.

]]> Lorsqu'on gagne une fois sur deux

]]> Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre
rarement de gros peut être défavorable : seul le bilan
moyen (l'espérance) juge l'équité.

]]> Lorsque la mise est faible devant les gains

]]> Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport
entre mise et gains espérés.

]]> Variables aléatoires réelles — Q06 : Ce que mesure la variance Que mesure la variance V(X) d'une variable aléatoire ?

]]> V(X) = E((X - μ)²) avec μ = E(X) :
indicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine
σ(X) (écart-type) s'exprime dans l'unité de X.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité que X dépasse sa moyenne

]]> Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la
variance moyenne les carrés des écarts, dépassements
et déficits confondus.

]]> La valeur moyenne de X sur un grand nombre d'essais

]]> Erreur : la valeur moyenne est l'espérance. La
variance mesure l'étalement autour d'elle.

]]> La dispersion de X autour de son espérance

]]> Bonne réponse : c'est la moyenne des carrés des écarts à
l'espérance, V(X) = E((X - μ)²) : plus
les valeurs s'éloignent de μ en probabilité, plus la
variance est grande.

]]> L'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de
X

]]> Erreur : c'est l'étendue, qui ne dépend pas des
probabilités ; la variance, si : elle pèse chaque écart
à la moyenne par sa probabilité.

]]> Variables aléatoires réelles — Q07 : Formule de König-Huygens Soit X telle que E(X) = 2 et E(X²) = 7. Que vaut
V(X) ?

]]> König-Huygens (au programme) : V(X) = E(X²) - E(X)² :
« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours
positif : E(X²) ≥ E(X)².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3

]]> Impossible : une variance est toujours positive
(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est
E(X²) - E(X)².

]]> 5

]]> Erreur : 7 - 2 soustrait E(X) au lieu de son
carré : V(X) = E(X²) - E(X)² = 7 - 4.

]]> 45

]]> Erreur : 49 - 4 ? C'est E(X²) = 7 qui est donné, pas
E(X²) = 49. V = 7 - 4 = 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : König-Huygens : V(X) = E(X²) - (E(X))² = 7 - 4 = 3.

]]> Variables aléatoires réelles — Q08 : De la variance à l'écart-type Une variable aléatoire vérifie V(X) = 9. Que vaut son
écart-type σ(X) ?

]]> σ(X) = √V(X). La variance s'exprime en unités au
carré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui
qu'on interprète.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 81

]]> Erreur de sens : 81 = 9² élève au carré au lieu de
prendre la racine.

]]> 4{,}5

]]> Erreur : on ne divise pas par 2 : on prend la racine
carrée, √9 = 3.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est la variance elle-même. L'écart-type en
est la racine carrée : 3.

]]> 3

]]> Bonne réponse : σ(X) = √V(X) = √9 = 3 :
l'écart-type ramène la dispersion dans l'unité de
X.

]]> Variables aléatoires réelles — Q09 : Linéarité de l'espérance Soit X avec E(X) = 5. Que vaut E(2X + 3) ?

]]> Linéarité (au programme) : E(aX + b) = a E(X) + b.
Exemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe
à un gain.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> Erreur : 25 = 5² n'a rien à voir : la transformation
est affine, pas quadratique.

]]> 10

]]> Incomplet : 10 = 2E(X) oublie le décalage +3, qui se
transmet tel quel à l'espérance.

]]> 16

]]> Erreur : 2(5 + 3) = 16 distribue mal : le +3 n'est
pas multiplié par 2. Formule : aE(X) + b.

]]> 13

]]> Bonne réponse : E(aX + b) = a E(X) + b = 2 × 5 + 3 = 13.

]]> Variables aléatoires réelles — Q10 : Retrouver une probabilité par l'espérance Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2 et 5, avec P(X = 1) = 0{,}5
et P(X = 2) = p. On sait que E(X) = 2{,}1. Que vaut p ?

]]> La somme des probabilités vaut 1, donc P(X = 5) = 0{,}5 - p. Alors
E(X) = 1 \times 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p = 2{,}1, d'où p = 0{,}3 et P(X = 5) = 0{,}2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc p = 0{,}2

]]> Erreur : 0{,}2 est la valeur de P(X = 5) quand p = 0{,}3. Avec p = 0{,}2,
E(X) = 3 - 0{,}6 = 2{,}4.

]]> p = 0{,}9

]]> Erreur de résolution : 3 - 3p = 2{,}1 donne 3p = 0{,}9, puis il faut diviser par 3.

]]> p = 0{,}8

]]> Erreur : le terme 5 × P(X = 5) a été oublié. D'ailleurs 0{,}5 + 0{,}8 dépasse 1,
ce qui est impossible pour une loi de probabilité.

]]> p = 0{,}3

]]> Bonne réponse : P(X = 5) = 0{,}5 - p, donc E(X) = 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p,
et 3 - 3p = 2{,}1 donne p = 0{,}3.

]]> Variables aléatoires réelles — Q11 : Utiliser la notation $P(X \leq a)$ Avec la loi : P(X = -1) = 0{,}5, P(X = 2) = 0{,}3,
P(X = 5) = 0{,}2, que vaut P(X ≤ 2) ?

]]> Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :
\{X \leq a\} cumule toutes les valeurs inférieures ou
égales à a. Ici 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8 (ou 1 - P(X = 5)).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}2

]]> Erreur : 0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2) est la probabilité
de l'événement contraire.

]]> 0{,}3

]]> Incomplet : 0{,}3 = P(X = 2) seulement. L'inégalité
large inclut aussi la valeur -1.

]]> 0{,}5

]]> Incomplet : 0{,}5 = P(X = -1) oublie la valeur 2,
incluse dans X ≤ 2.

]]> 0{,}8

]]> Bonne réponse : \{X \leq 2\} regroupe les valeurs -1
et 2 : P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8.

]]> Variables aléatoires réelles — Q12 : Espérance d'une loterie Une loterie vend 100 billets à 1 euro ; un seul billet
gagne un lot de 50 euros. Soit X le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut E(X) ?

]]> Modélisation type : gain algébrique = lot - mise. Loi :
49 avec 1/100, -1 avec 99/100 :
E(X) = -0{,}50 euro : la moitié de la mise part en moyenne
à l'organisateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -0{,}50 euro : le jeu est défavorable au joueur

]]> Bonne réponse : X vaut 49 (lot moins mise) avec
probabilité 0{,}01, et -1 avec probabilité 0{,}99 :
E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5.

]]> 0 euro : le jeu est équitable, ni gain ni perte en moyenne

]]> Erreur : l'équité exigerait un lot de 100 euros
(recette entière redistribuée). Avec 50 euros :
E(X) = -0{,}5.

]]> +0{,}50 euro : le jeu est favorable au joueur

]]> Erreur de signe : le joueur perd en moyenne, le jeu ne
lui est pas favorable. La recette (100 euros) dépasse le
lot (50 euros) : la différence se répartit sur les
joueurs.

]]> -1 euro : le joueur perd sa mise dans tous les cas

]]> Erreur : -1 serait la perte certaine sans aucun
lot ; or un billet sur cent gagne : cette petite chance
(49 euros avec probabilité 0{,}01) relève l'espérance
à -0{,}5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q13 : Compléter une loi X prend les valeurs 0, 1, 2 avec P(X = 0) =
0{,}3 et P(X = 1) = 0{,}45. Que vaut P(X = 2) ?

]]> Toute loi de probabilité vérifie ∑ P(X = xᵢ) = 1 : la
première vérification à faire sur un tableau, et l'outil
pour compléter une case manquante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0

]]> Erreur : la somme 0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \neq 1 : il
manque 0{,}25, qui revient à la valeur 2.

]]> 0{,}75

]]> Soustraction incomplète : 1 - 0{,}3 + 0{,}45 mélange
les signes : on retire les deux probabilités
connues.

]]> 0{,}25

]]> Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à
1 : 1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : la contrainte « somme = 1 » détermine
entièrement la probabilité manquante.

]]> Variables aléatoires réelles — Q14 : Espérance d'un dé X est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
E(X) ?

]]> Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des
valeurs. E(X) = 3{,}5 montre aussi qu'une espérance n'est
pas forcément une valeur atteignable : aucun dé
n'affiche 3{,}5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 21

]]> Division oubliée : 21 est la somme des faces : chaque
face pèse ⅙ : moyenne 3{,}5.

]]> 3

]]> Erreur : 3 serait la « valeur du milieu » arrondie
vers le bas : la moyenne exacte des six faces est
3{,}5.

]]> 3{,}5

]]> Bonne réponse : \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5 : la moyenne des faces,
équiprobables.

]]> 6

]]> Erreur : 6 est la valeur maximale, pas la moyenne
de long terme.

]]> Variables aléatoires réelles — Q15 : Espérance de $2X + 3$ X a pour espérance E(X) = 5. Que vaut E(2X + 3) ?

]]> E(aX + b) = aE(X) + b : la linéarité, appliquée
mécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après
frais fixes, mise initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Erreur : 2 × (5 + 3) = 16 applique le facteur à
la constante aussi : le +3 est ajouté après la
multiplication.

]]> 2E(X) + 3X

]]> Erreur d'objet : une espérance est un nombre : X
ne peut pas subsister dans le résultat.

]]> 10

]]> Constante oubliée : 2E(X) = 10, puis le décalage +3
s'ajoute : 13.

]]> 13

]]> Bonne réponse : E(aX + b) = aE(X) + b = 2 × 5 + 3 = 13 : la moyenne suit la transformation affine.

]]> Variables aléatoires réelles — Q16 : Gain net d'un jeu payant Un jeu coûte 2 euros. On gagne 10 euros avec probabilité
0{,}1, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain net
(gain moins mise) ?

]]> Le gain net est le gain brut diminué de la mise : E(net) = E(brut) - mise (linéarité !). Jeu équitable
\iff E(\text{net}) = 0. Les jeux d'argent réels sont tous
à espérance négative pour le joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8 euros : le jeu est très favorable au joueur

]]> Erreur : 10 - 2 = 8 est le net en cas de victoire
seulement, une fois sur dix : l'espérance pondère par
0{,}1 (et -2 pèse 0{,}9) : 0{,}8 - 1{,}8 = -1.

]]> -1 euro : le jeu est défavorable au joueur

]]> Bonne réponse : gain brut espéré = 10 \times 0{,}1 =
1 euro ; net : 1 - 2 = -1 euro : en moyenne, le
joueur perd un euro par partie.

]]> +1 euro : le jeu est favorable au joueur

]]> Mise oubliée : 1 euro est le gain brut moyen
(10 \times 0{,}1) : il faut retrancher les 2 euros de
mise : -1, le jeu n'est pas favorable au joueur.

]]> 0 euro : le jeu est équitable

]]> Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à
la mise (2 euros) : ici il ne vaut que 1 euro.

]]> Variables aléatoires réelles — Q17 : Variance par König-Huygens X prend les valeurs 0 et 2 avec P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5. Que vaut V(X) ?

]]> König-Huygens : V(X) = E(X²) - [E(X)]² : calculer les
deux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : V ≥ 0 toujours.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Soustraction oubliée : 2 = E(X²) : König-Huygens
retranche le carré de la moyenne : 2 - 1 = 1.

]]> 0

]]> Confusion : la symétrie de la loi centre la moyenne,
elle n'annule pas la dispersion : seules les
variables constantes ont une variance nulle.

]]> 1

]]> Bonne réponse : E(X) = 1, E(X^2) = 0 \times 0{,}5 + 4
\times 0{,}5 = 2, donc V(X) = E(X²) - E(X)² = 2 - 1 = 1 (écart-type 1 : les valeurs sont à distance 1
de la moyenne).

]]> -1

]]> Impossible : une variance est toujours positive (moyenne
de carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une
erreur de calcul.

]]> Variables aléatoires réelles — Q18 : Même espérance, risques différents Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de 2 euros et le placement B
de 50 euros. Comment interpréter ?

]]> Le couple (E\ ;\ σ) résume une variable aléatoire :
tendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type
départage : c'est la définition quantitative du risque
(finance, assurance, files d'attente).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B est beaucoup plus risqué

]]> Bonne réponse : mêmes gains moyens, mais des résultats
bien plus dispersés. L'espérance dit la tendance,
l'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou
perdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »
est dans σ.

]]> A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises

]]> Contresens : un petit σ signifie des résultats concentrés autour de la moyenne, donc peu de surprises : le risque
croît avec l'écart-type.

]]> B rapporte plus en moyenne

]]> Erreur : les espérances sont égales par hypothèse :
l'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure
d'incertitude.

]]> A et B sont équivalents, ils ont la même espérance

]]> Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et
différer du tout au tout en dispersion : c'est
exactement ce que la variance capture.

]]> Variables aléatoires réelles — Q19 : Contrôler une loi de probabilité Une variable aléatoire prend les valeurs 0, 1 et 2 avec les
probabilités 0{,}3, 0{,}5 et 0{,}3. Que faut-il en conclure ?

]]> Une loi de probabilité attribue à chaque valeur un nombre compris entre
0 et 1, et ces nombres totalisent 1. Ce contrôle précède tout calcul
d'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi est erronée, la somme vaut 1{,}1

]]> Bonne réponse : les probabilités d'une loi doivent totaliser
exactement 1.

]]> La loi est correcte mais l'espérance est fausse

]]> Aucune espérance n'est donnée, et elle ne peut pas être calculée sur
une loi invalide.

]]> La loi est correcte

]]> La somme des trois probabilités dépasse 1, ce qui est impossible.

]]> La loi est erronée, une valeur est répétée

]]> Deux issues peuvent parfaitement avoir la même probabilité : le défaut
est ailleurs.

]]> Variables aléatoires réelles — Q20 : Espérance d'une variable à trois valeurs Une variable aléatoire prend les valeurs -1, 0 et 4 avec les
probabilités 0{,}5, 0{,}2 et 0{,}3. Que vaut son espérance ?

]]> L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.
Elle n'est pas nécessairement une valeur prise par la variable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Valeurs additionnées : -1 + 0 + 4 ne tient aucun compte des
probabilités.

]]> 1

]]> Moyenne simple des valeurs : elle ignore les probabilités, pourtant
très différentes.

]]> 1{,}2

]]> Terme négatif oublié : la valeur -1 contribue pour -0{,}5.

]]> 0{,}7

]]> Bonne réponse : (-1)(0{,}5) + 0(0{,}2) + 4(0{,}3) = -0{,}5 + 1{,}2.

]]> Variables aléatoires réelles — Q21 : Variance par la formule directe Une variable vaut 0 avec probabilité 0{,}5 et 2 avec probabilité
0{,}5. Que vaut sa variance ?

]]> La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Son écart-
type, racine carrée de la variance, vaut ici 1 également.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5

]]> Probabilité recopiée : elle sert de coefficient, elle n'est pas le
résultat.

]]> 2

]]> Écarts non élevés au carré : la variance mesure la moyenne des carrés
des écarts.

]]> 1

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut 1, et la variance
0{,}5(0-1)^2 + 0{,}5(2-1)^2 = 1.

]]> 0

]]> Une variance nulle signalerait une variable constante, ce qui n'est
pas le cas ici.

]]> Variables aléatoires réelles — Q22 : Ce que l'espérance ne dit pas Un jeu a une espérance de gain de 0 euro.
Que peut-on en conclure pour un joueur ?

]]> Un jeu d'espérance nulle est dit équitable. Deux jeux équitables peuvent
présenter des risques très différents, que seule la variance distingue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le jeu ne comporte aucun risque

]]> Le risque se mesure par la variance, qui peut être très grande même
avec une espérance nulle.

]]> Il a une chance sur deux de gagner

]]> L'espérance ne dit rien de la probabilité de gagner : elle pondère les
gains par ces probabilités.

]]> Il gagne exactement 0 euro à chaque partie

]]> Un jeu d'espérance nulle peut faire gagner 10 euros une fois sur
deux et en perdre 10 l'autre fois.

]]> Sur un grand nombre de parties, il ne gagne ni ne perd

]]> Bonne réponse : l'espérance décrit le gain moyen à long terme, pas le
résultat d'une partie.

]]> Variables aléatoires réelles — Q23 : Espérance d'une transformation affine Une variable X a pour espérance 6.
Que vaut l'espérance de Y = 3X - 5 ?

]]> L'espérance est linéaire : E(aX + b) = aE(X) + b. La variance, elle,
vérifie V(aX + b) = a² V(X), la constante disparaissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Coefficient oublié : le facteur 3 multiplie l'espérance.

]]> 13

]]> Bonne réponse : E(3X - 5) = 3 × 6 - 5.

]]> 6

]]> Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie.

]]> 18

]]> Constante oubliée : le terme -5 se retranche aussi à l'espérance.

]]> Variables aléatoires réelles — Q24 : Nombre de piles en trois lancers On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et on note X le nombre de « pile »
obtenus. Que vaut P(X = 2) ?

]]> L'univers compte 2 × 2 × 2 = 8 résultats équiprobables. L'événement \{X = 2\}
regroupe PPF, PFP et FPP, donc P(X = 2) = ⅜.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ½

]]> Erreur : 4/8 = ½ est la probabilité d'obtenir au moins deux « pile »,
c'est-à-dire P(X ≥ 2), qui ajoute le résultat PPP.

]]> ¼

]]> Erreur : les quatre valeurs 0, 1, 2 et 3 de X ne sont pas équiprobables. Il faut
raisonner sur les 8 résultats de l'expérience.

]]> ⅜

]]> Bonne réponse : les 8 résultats possibles sont équiprobables, et trois d'entre eux
comportent exactement deux « pile » : PPF, PFP et FPP.

]]> ⅛

]]> Erreur : un seul ordre a été compté. Le « face » peut arriver au premier, au deuxième
ou au troisième lancer, ce qui donne trois résultats favorables.

]]> Variables aléatoires réelles — Q25 : Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance Quel intérêt présente l'écart-type par rapport à la variance ?

]]> La variance s'exprime dans le carré de l'unité de la variable, ce qui la
rend difficile à interpréter. L'écart-type, sa racine carrée, retrouve
l'unité de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il s'exprime dans la même unité que la variable

]]> Bonne réponse : si X est en euros, la variance est en euros carrés,
alors que l'écart-type est en euros.

]]> Il peut être négatif, ce qui donne le sens de l'écart

]]> Une racine carrée est positive ou nulle : l'écart-type n'a pas de
signe.

]]> Il se calcule sans connaître l'espérance

]]> Le calcul passe par la variance, qui exige l'espérance.

]]> Il est toujours plus petit que la variance

]]> C'est faux pour une variance inférieure à 1 : l'écart-type de
0{,}25 vaut 0{,}5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q26 : Lire $P(X \geq 2)$ Une variable prend les valeurs 0, 1, 2 et 3 avec les
probabilités 0{,}1, 0{,}4, 0{,}3 et 0{,}2.
Que vaut P(X ≥ 2) ?

]]> L'écriture P(X ≥ a) désigne la somme des probabilités de toutes les
valeurs supérieures ou égales à a. L'inégalité large inclut la borne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}2

]]> Seule la valeur 3 prise en compte : l'inégalité étant large, 2
compte également.

]]> 0{,}5

]]> Bonne réponse : on additionne les probabilités des valeurs 2 et 3,
soit 0{,}3 + 0{,}2.

]]> 0{,}3

]]> Seule la valeur 2 prise en compte : l'inégalité inclut aussi 3.

]]> 0{,}8

]]> Événement contraire mal formé : P(X < 2) vaut 0{,}5, pas
0{,}8.

]]> Variables aléatoires réelles — Q27 : Un jeu à mise Un jeu coûte 2 euros et rapporte 10 euros avec une probabilité de
0{,}15, rien sinon. Quelle est l'espérance du gain net ?

]]> Le gain net retranche la mise dans tous les cas. On établit d'abord la loi
de ce gain, puis on calcule l'espérance. Négative, elle indique un jeu
défavorable au joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2 euros

]]> Gain oublié : le joueur récupère parfois 10 euros, ce qui relève
l'espérance.

]]> 1{,}5 euro

]]> Mise oubliée : 0{,}15 \times 10 décrit le gain brut, avant
déduction des deux euros.

]]> -0{,}5 euro

]]> Bonne réponse : 0{,}15 \times 8 + 0{,}85 \times (-2) = 1{,}2 - 1{,}7.

]]> 8 euros

]]> Gain net d'une partie gagnante : il reste à le pondérer par sa
probabilité et à tenir compte des parties perdues.

]]> Variables aléatoires réelles — Q28 : La formule de König-Huygens Que permet de calculer la formule V(X) = E(X²) - E(X)² ?

]]> La formule de König-Huygens exprime la variance comme la différence entre
la moyenne des carrés et le carré de la moyenne. Les deux quantités se
calculent directement sur la loi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi de probabilité de X

]]> La loi est la donnée de départ ; la formule ne fait que la résumer par
deux nombres.

]]> La variance sans passer par les écarts

]]> Bonne réponse : elle évite de calculer chaque écart à l'espérance, ce
qui allège nettement les calculs.

]]> L'espérance à partir de la variance

]]> La formule donne la variance, l'espérance devant être connue au
préalable.

]]> L'écart-type directement

]]> Elle donne la variance : il reste une racine carrée à prendre.

]]> Variables aléatoires réelles — Q29 : Deux variables, même espérance Deux variables ont la même espérance, mais l'une a une variance bien
plus grande. Qu'est-ce que cela traduit ?

]]> L'espérance situe le centre d'une loi, la variance son étalement. Deux
lois de même espérance peuvent décrire des risques très différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ses valeurs s'écartent davantage de la moyenne

]]> Bonne réponse : la variance mesure la dispersion autour de
l'espérance, pas sa position.

]]> Elle prend davantage de valeurs différentes

]]> Le nombre de valeurs n'est pas en cause : deux valeurs très éloignées
suffisent à obtenir une grande variance.

]]> Elle prend des valeurs plus grandes

]]> L'espérance étant la même, les valeurs ne sont pas globalement plus
grandes, seulement plus étalées.

]]> Son espérance est mal calculée

]]> Rien ne le laisse penser : espérance et variance décrivent deux
aspects différents de la même loi.

]]> Variables aléatoires réelles — Q30 : Ce qu'est une variable aléatoire Qu'est-ce qu'une variable aléatoire sur un univers fini ?

]]> Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'univers, à valeurs
numériques. Sa loi donne, pour chaque valeur possible, la probabilité
qu'elle soit prise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'un événement de l'univers

]]> Les probabilités interviennent ensuite, quand on établit la loi de la
variable.

]]> Un nombre tiré au hasard dans l'univers

]]> La variable n'est pas le résultat du tirage, mais la règle qui associe
un nombre à chaque résultat possible.

]]> L'ensemble de toutes les issues possibles

]]> Cet ensemble est l'univers, qui sert de point de départ à la variable.

]]> Une fonction de l'univers vers les nombres

]]> Bonne réponse : elle traduit chaque résultat de l'expérience en un
nombre, par exemple un gain.

]]> Variables aléatoires réelles — Q31 : Une probabilité négative Un élève propose la loi suivante : P(X = 0) = 0{,}6,
P(X = 1) = -0{,}1 et P(X = 2) = 0{,}5. Que faut-il en
penser ?

]]> Une loi de probabilité remplit deux conditions : chaque
probabilité appartient à [0 ; 1], et leur somme vaut 1.
Contrôler les deux avant tout calcul évite de travailler sur
un tableau impossible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi est à rejeter : une probabilité reste positive

]]> Bonne réponse : chaque probabilité d'une loi appartient à
l'intervalle [0 ; 1]. La somme vaut bien 1, mais la
valeur -0{,}1 disqualifie le tableau.

]]> On ne peut pas conclure sans l'espérance de X

]]> Erreur d'ordre : l'espérance se calcule une fois la loi
validée. Ici le tableau est déjà à rejeter.

]]> La loi est fausse car la somme des nombres dépasse 1

]]> Erreur de calcul : 0{,}6 - 0{,}1 + 0{,}5 = 1. Le défaut
se trouve ailleurs, dans le signe de la deuxième
probabilité.

]]> La loi convient, puisque les trois nombres totalisent 1

]]> Vérification incomplète : la somme égale à 1 est
nécessaire, elle ne suffit pas. Chaque probabilité doit
aussi rester positive.

]]> Variables aléatoires réelles — Q32 : Espérance d'un tirage équiprobable Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,
numérotés 1, 3, 6 et 10. On en tire un au
hasard et on note X le numéro obtenu. Que vaut E(X) ?

]]> Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance
se réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque
valeur est pondérée par sa probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas
deux. La somme se partage en quatre parts égales.

]]> 20

]]> Division oubliée : 20 est la somme des quatre
numéros. Chaque jeton pesant ¼, l'espérance
vaut 5.

]]> 5

]]> Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité
¼, donc E(X) est la moyenne des numéros :
1 + 3 + 6 + 10/4 = 5.

]]> 5{,}5

]]> Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : 3 et
6 comptent autant que les autres dans le calcul.

]]> Variables aléatoires réelles — Q33 : Ce que désigne l'écriture $\{X = 3\}$ Dans l'étude d'une variable aléatoire X, que désigne
l'écriture \{X = 3\} ?

]]> L'accolade désigne un événement : \{X = 3\} regroupe les
issues auxquelles X associe 3. Sa probabilité s'écrit
P(X = 3), et la même logique vaut pour \{X \leq 3\}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité que X soit égale à 3, entre 0 et 1

]]> Confusion entre l'événement et sa probabilité : le nombre
compris entre 0 et 1 s'écrit P(X = 3), avec la
lettre P devant.

]]> Une équation d'inconnue X, dont la solution vaut 3

]]> Erreur de lecture : X n'est pas une inconnue à trouver,
mais une fonction définie sur l'univers.

]]> La valeur moyenne de la variable X

]]> Erreur d'objet : la valeur moyenne est l'espérance
E(X), un nombre, alors que \{X = 3\} est un ensemble
d'issues.

]]> L'ensemble des issues dont l'image par X vaut 3

]]> Bonne réponse : ces issues forment un événement, dont la
probabilité se note P(X = 3). L'accolade désigne donc
un ensemble, et non un nombre.

]]> Variables aléatoires réelles — Q34 : Repérer la variable aléatoire On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes : le
joueur gagne 5 euros si la carte est un cœur, et perd
2 euros sinon. Qu'est-ce qui joue le rôle de la variable
aléatoire ?

]]> Une variable aléatoire est la règle qui transforme chaque
issue en un nombre : ici la carte tirée devient un gain. Sa
loi se lit ensuite sur les probabilités des issues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le gain algébrique obtenu par le joueur

]]> Bonne réponse : la variable associe à chaque carte tirée
un nombre, ici 5 ou -2. C'est bien une fonction
définie sur l'univers, à valeurs réelles.

]]> L'ensemble des 52 cartes du jeu

]]> Cet ensemble est l'univers, c'est-à-dire l'ensemble des
issues. La variable aléatoire est définie sur lui, elle
ne se confond pas avec lui.

]]> La probabilité de tirer un cœur, égale à 0{,}25

]]> Ce nombre sert à établir la loi de la variable, mais une
probabilité n'est pas une variable aléatoire.

]]> Le tirage d'une carte au hasard dans le jeu

]]> C'est l'expérience aléatoire. La variable vient ensuite :
elle traduit chaque résultat de cette expérience en un
nombre.

]]> Variables aléatoires réelles — Q35 : Des probabilités cumulées à une probabilité Une variable aléatoire X prend des valeurs entières et
vérifie P(X \leq 1) = 0{,}45 et P(X \leq 2) = 0{,}7. Que
vaut P(X = 2) ?

]]> Les probabilités cumulées se soustraient :
P(X = a) = P(X ≤ a) - P(X < a). Sur des valeurs
entières, l'événement précédent est \{X \leq a - 1\}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}7

]]> Soustraction oubliée : 0{,}7 cumule toutes les valeurs
inférieures ou égales à 2, pas seulement la valeur 2.

]]> 0{,}25

]]> Bonne réponse : l'événement \{X \leq 2\} réunit
\{X \leq 1\} et \{X = 2\}, donc
P(X = 2) = 0{,}7 - 0{,}45 = 0{,}25.

]]> 0{,}3

]]> Contraire pris par erreur : 1 - 0{,}7 donne
P(X > 2), la probabilité des valeurs situées au-delà
de 2.

]]> 0{,}45

]]> Mauvais cumul recopié : 0{,}45 correspond aux valeurs
inférieures ou égales à 1, celles que l'on retranche.

]]> Variables aléatoires réelles — Q36 : Remonter à l'espérance de $X$ Soit X une variable aléatoire et Y = 5X - 2. On
sait que E(Y) = 33. Que vaut E(X) ?

]]> La relation E(aX + b) = a E(X) + b se lit dans les deux
sens. Pour remonter à E(X) : retrancher la constante, puis
diviser par le coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6{,}6

]]> Constante oubliée : diviser 33 par 5 suppose que
Y = 5X. Il faut d'abord retirer le terme constant.

]]> 6{,}2

]]> Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté
de l'égalité, donc il change de signe avant la division.

]]> 7

]]> Bonne réponse : E(Y) = 5 E(X) - 2, donc
5 E(X) = 33 + 2, puis on divise par 5 :
E(X) = 7.

]]> 35

]]> Division oubliée : retirer la constante donne
5 E(X), il reste à partager ce produit par 5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q37 : Variance d'une transformation affine Une variable aléatoire X a pour variance V(X) = 3. Que
vaut V(2X + 5) ?

]]> V(aX + b) = a² V(X) : le coefficient agit au carré, la
constante disparaît. Pour l'écart-type,
σ(aX + b) = |a| σ(X).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la
variance, car elle moyenne des écarts élevés au carré.

]]> 17

]]> Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs
de 5 ne change rien à leur dispersion.

]]> 12

]]> Bonne réponse : V(aX + b) = a² V(X), soit
2² × 3 = 12. La constante décale les
valeurs sans modifier leur dispersion.

]]> 11

]]> Règle de l'espérance appliquée à la variance : la
formule a V(X) + 5 vaut pour E, pas pour V.

]]> Variables aléatoires réelles — Q38 : Fixer une mise équitable Un jeu rapporte 50 euros avec la probabilité 0{,}08, et
rien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?

]]> Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,
c'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 euros

]]> Bonne réponse : le gain brut moyen vaut
50 \times 0{,}08 = 4 euros. Une mise de ce montant
annule l'espérance du gain net.

]]> 50 euros

]]> Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le
gagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la
probabilité 0{,}08.

]]> 46 euros

]]> Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par
sa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer.

]]> 25 euros

]]> Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun
compte de la probabilité de gagner, seule donnée qui
fixe la mise.

]]> Variables aléatoires réelles — Q39 : Retrouver $E(X^2)$ Une variable aléatoire X vérifie E(X) = 3 et
V(X) = 4. Que vaut E(X²) ?

]]> La formule de König-Huygens V(X) = E(X²) - E(X)² se
réarrange en E(X²) = V(X) + E(X)². Elle fournit la
moyenne des carrés sans revenir à la loi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Soustraction inversée : la variance se retranche à
E(X²), elle s'ajoute donc quand on remonte à E(X²).

]]> 7

]]> Carré oublié : la formule fait intervenir E(X)², donc
3², et non 3.

]]> 12

]]> Opération erronée : la formule additionne la variance et
le carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas.

]]> 13

]]> Bonne réponse : de V(X) = E(X²) - E(X)² on tire
E(X²) = 4 + 3² = 13.

]]> Variables aléatoires réelles — Q40 : Laquelle est la plus dispersée Deux variables aléatoires prennent chacune deux valeurs avec
la probabilité 0{,}5 : X prend 9 ou 11, et Y prend
0 ou 20. Laquelle a le plus grand écart-type ?

]]> L'écart-type mesure l'éloignement moyen des valeurs à
l'espérance. À espérance égale, la loi dont les valeurs sont
les plus écartées est la plus dispersée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc X, dont les deux valeurs sont les plus resserrées

]]> Interprétation inversée : des valeurs resserrées donnent
un petit écart-type, donc une faible dispersion.

]]> Impossible à savoir sans le détail des probabilités

]]> Les probabilités sont pourtant connues : elles valent
0{,}5 pour chacune des quatre valeurs annoncées.

]]> Les deux, car elles ont la même espérance 10

]]> Une espérance commune ne dit rien de la dispersion : deux
lois de même centre peuvent être très différentes.

]]> Y, dont les valeurs sont plus éloignées de 10

]]> Bonne réponse : les deux espérances valent 10, mais les
écarts à cette moyenne valent 1 pour X et 10 pour
Y : l'écart-type de Y est dix fois plus grand.

]]> Variables aléatoires réelles — Q41 : Choisir entre deux placements Deux placements ont le même écart-type, 40 euros. Le
premier a une espérance de gain de 15 euros, le second de
5 euros. Lequel choisir ?

]]> Le couple espérance et écart-type résume une variable
aléatoire : le gain moyen et son incertitude. À dispersion
égale, la plus forte espérance l'emporte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun des deux, leur écart-type étant trop élevé

]]> Jugement hors sujet : la question est comparative, et un
écart-type ne s'interprète que rapporté aux gains
attendus.

]]> Le second, car une espérance faible protège des pertes

]]> Erreur : le risque se lit sur l'écart-type, identique
ici. Une espérance plus faible ne protège de rien.

]]> Le premier, à risque égal et gain moyen supérieur

]]> Bonne réponse : les écarts-types étant égaux, les deux
placements fluctuent autant. L'espérance départage, et
elle est trois fois plus élevée pour le premier.

]]> Les deux se valent, leurs écarts-types étant égaux

]]> Critère unique : l'écart-type ne décrit que la
dispersion. Deux placements aussi dispersés se départagent
sur leur gain moyen.

]]> Variables aléatoires réelles — Q42 : Contrôler un résultat d'espérance Une variable aléatoire prend les valeurs 2, 5 et 9. Un
élève annonce E(X) = 12. Sans refaire le calcul, que peut-on
affirmer ?

]]> Premier réflexe de contrôle : l'espérance appartient à
l'intervalle formé par la plus petite et la plus grande
valeur de la variable. Un résultat hors de cet intervalle
signale une erreur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le résultat convient si une probabilité est grande

]]> Aucune pondération n'y suffit : même en donnant la
probabilité 1 à la valeur 9, l'espérance vaut 9.

]]> Le résultat convient, l'espérance étant rarement atteinte

]]> Argument détourné : l'espérance n'est en effet pas
toujours une valeur prise par X, mais elle reste
toujours entre les valeurs extrêmes.

]]> Il faut refaire le calcul pour se prononcer

]]> Contrôle possible sans calcul : une moyenne pondérée ne
peut pas sortir de l'intervalle des valeurs.

]]> Le résultat annoncé est nécessairement erroné

]]> Bonne réponse : l'espérance est une moyenne pondérée des
valeurs, elle reste donc comprise entre la plus petite,
2, et la plus grande, 9. Il y a une erreur de calcul.

]]> Variables aléatoires réelles — Q43 : Variance d'une loi à trois valeurs Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2
avec les probabilités 0{,}2, 0{,}5 et 0{,}3. Que vaut
V(X) ?

]]> Méthode : calculer E(X) = ∑ xᵢ pᵢ, puis
E(X²) = ∑ xᵢ² pᵢ, enfin appliquer König-Huygens
V(X) = E(X²) - E(X)². Le résultat doit être positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}7

]]> Soustraction oubliée : 1{,}7 est la moyenne des
carrés E(X²). Il reste à lui retrancher E(X)².

]]> 0{,}6

]]> Carré oublié : la formule retranche le carré de
l'espérance, soit 1{,}1^2, et non l'espérance 1{,}1.

]]> 1{,}1

]]> Espérance recopiée : 1{,}1 situe le centre de la loi,
alors que la variance en mesure la dispersion.

]]> 0{,}49

]]> Bonne réponse : E(X) = 1{,}1 et E(X^2) = 1{,}7,
donc V(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49.

]]> Variables aléatoires réelles — Q44 : Espérance d'une tombola Une tombola met en vente 200 billets à 3 euros
pièce. Elle offre un lot de 200 euros et 5 lots de
20 euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net
d'un acheteur d'un billet ?

]]> Gain net d'un billet = lot reçu - mise. Par linéarité,
l'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots
divisé par le nombre de billets, moins la mise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2

]]> Petits lots oubliés : les 5 lots de 20 euros
comptent autant que le gros lot dans le total distribué.

]]> -3

]]> Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait
qu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance.

]]> 1{,}5

]]> Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc
l'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne.

]]> -1{,}5

]]> Bonne réponse : les lots totalisent
200 + 5 × 20 euros, répartis sur
200 billets. Le lot moyen moins la mise 3
donne -1{,}5 euros.

]]> Variables aléatoires réelles — Q45 : Loi de la somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on note X la
somme des deux résultats. Que vaut P(X = 5) ?

]]> L'univers compte 6 × 6 = 36 couples équiprobables. La
loi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,
les couples qui la réalisent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/12

]]> Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc
(2 ; 3) et (3 ; 2) sont deux issues distinctes.

]]> ⅙

]]> Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de 2 à
12 ne sont pas également probables, contrairement aux
faces d'un seul dé.

]]> ⅑

]]> Bonne réponse : les 36 couples de résultats sont
équiprobables et 4 d'entre eux donnent la somme
5, d'où P(X = 5) = ⅑.

]]> 1/36

]]> Un seul couple compté : plusieurs couples différents
conduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer.

]]> Variables aléatoires réelles — Q46 : Choisir entre deux jeux par l'espérance Le gain du jeu A a pour espérance 2 € et celui du jeu B
1{,}5 €, pour une même mise. Lequel choisir pour gagner le plus en
moyenne sur un grand nombre de parties ?

]]> L'espérance d'un gain est le gain moyen par partie à long terme :
elle sert à comparer des jeux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le jeu B, l'espérance la plus petite étant la moins risquée

]]> Erreur : l'espérance mesure le gain moyen, pas le risque ; une
espérance plus petite rapporte moins.

]]> Aucun, les deux espérances étant positives

]]> Erreur : deux espérances positives signifient deux jeux
favorables ; le plus favorable reste A.

]]> Les deux, les gains étant imprévisibles à chaque partie

]]> Erreur : chaque partie est imprévisible, mais la moyenne sur
de nombreuses parties ne l'est pas.

]]> Le jeu A, dont l'espérance de gain est la plus grande

]]> Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain moyen
par partie se rapproche de l'espérance ; 2 > 1{,}5.

]]> Variables aléatoires réelles — Q47 : Espérance d'un dé truqué Un dé truqué donne 6 avec la probabilité 0{,}5, et chacune des
faces 1 à 5 avec la même probabilité. Quelle est l'espérance
du nombre obtenu ?

]]> E(X) = ∑ xᵢ pᵢ : chaque valeur est pondérée par sa
probabilité, le trucage déplace la moyenne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4{,}5

]]> Bonne réponse : les faces 1 à 5 ont chacune la probabilité
\dfrac{1 - 0{,}5}{5}, de somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ;
l'espérance vaut 15 \times \dfrac{1 - 0{,}5}{5} + 6 \times
0{,}5 = 4{,}5.

]]> 3

]]> Erreur : 3 est la moyenne des faces 1 à 5, sans tenir
compte de la face 6.

]]> 5{,}5

]]> Erreur : les probabilités des faces 1 à 5 ont été mal
réparties ; leur somme doit valoir 1 - 0{,}5.

]]> 3{,}5

]]> Erreur : 3{,}5 est l'espérance d'un dé équilibré ; le
trucage augmente la valeur moyenne.

]]> Variables aléatoires réelles — Q48 : Gain moyen sur de nombreuses parties Le gain algébrique d'une partie a pour espérance -0{,}5 €. Quel
gain total peut-on attendre sur 100 parties ?

]]> Sur n parties, le gain total est voisin de n × E(X) :
c'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 50 €

]]> Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne
une perte, une positive un gain.

]]> Environ -50 €

]]> Bonne réponse : 100 \times (-0{,}5) = -50 € ; l'espérance se
cumule partie après partie.

]]> 0 €, les gains et pertes se compensant

]]> Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si
l'espérance est nulle.

]]> Environ -0{,}5 €

]]> Erreur : -0{,}5 € est le gain moyen d'une partie.

]]> Variables aléatoires réelles — Q49 : Fixer le prix d'une assurance Un assureur rembourse 1000 € en cas de vol, qui survient avec la
probabilité 0{,}02 dans l'année. Quel est le coût moyen d'un
contrat pour l'assureur, hors frais ?

]]> Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par
probabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 €, soit 0{,}02 fois 100

]]> Erreur : c'est le montant 1000 qu'il faut multiplier par
0{,}02, pas 100.

]]> 1000 €, le remboursement maximal

]]> Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité
0{,}02 ; en moyenne il coûte bien moins.

]]> 20 €, l'espérance du remboursement

]]> Bonne réponse : E = 1000 \times 0{,}02 + 0 \times (1 - 0{,}02) =
20 € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur
gagne en moyenne.

]]> 0 €, le vol étant peu probable

]]> Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux
contrats, les vols coûtent en moyenne 20 € chacun.

]]> Variables aléatoires réelles — Q50 : Comparer deux jeux équitables par la variance Deux jeux ont une espérance de gain nulle. Le jeu A fait gagner
ou perdre 1 € avec la même probabilité ; le jeu B fait gagner
ou perdre 100 € avec la même probabilité. Que distingue ces deux
jeux ?

]]> Deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance et des
variances très différentes : l'espérance dit le gain moyen, la
variance le risque.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leur espérance, celle de B étant plus grande

]]> Erreur : les deux espérances sont nulles, par hypothèse.

]]> Rien, deux jeux de même espérance étant équivalents

]]> Erreur : l'espérance ne résume pas tout ; l'ampleur des gains
et des pertes diffère énormément.

]]> Leur variance, celle de B étant bien plus grande

]]> Bonne réponse : V(A) = 1 et V(B) = 10 000 ; la variance
mesure la dispersion des gains, donc le risque, que l'espérance
ne voit pas.

]]> Leur équité, le jeu B n'étant pas équitable

]]> Erreur : un jeu est équitable quand son espérance est nulle ;
les deux le sont.

]]>