$course$/QCM de maths/Première spécialité/Vocabulaire ensembliste et logique Notations ensemblistes (appartenance, inclusion, intersection,
réunion, complémentaire, cardinal, produit cartésien), connecteurs
« et » et « ou », quantificateurs et négation, implication,
réciproque, contraposée, conditions nécessaires et suffisantes,
raisonnements par contre-exemple, par l'absurde et par disjonction
des cas.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q01 : Appartenance ou inclusion On note A = \{1\,;\,3\,;\,5\}. Laquelle de ces écritures est
correcte ?

]]> ∈ relie un élément à un ensemble ; ⊂ relie deux
ensembles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \{3\} \in A

]]> Erreur : les éléments de A sont des nombres, pas des
ensembles.

]]> 3 ⊂ A

]]> Erreur : 3 est un élément ; on écrit 3 ∈ A. Le symbole
⊂ relie deux ensembles.

]]> \{3\} \subset A

]]> Bonne réponse : \{3\} est un ensemble dont l'unique élément
appartient à A : il est inclus dans A.

]]> \{1\,;\,2\} \subset A

]]> Erreur : 2 n'appartient pas à A.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q02 : Intersection de deux intervalles Quel est l'ensemble [-2 ; 5] ∩ [1 ; 8] ?

]]> Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux
deux intervalles ; la réunion est leur partie couverte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ∅

]]> Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre 1 et
5.

]]> [-2 ; 8]

]]> Erreur : [-2 ; 8] est la réunion des deux intervalles.

]]> [1 ; 5]

]]> Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la
fois dans les deux intervalles.

]]> [-2 ; 1]

]]> Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas
tous dans le second.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q03 : Réunion de deux intervalles Quel est l'ensemble ]-3 ; 2] ∪ [0 ; 6[ ?

]]> x ∈ A ∪ B signifie que x est dans A ou dans B, le
« ou » étant inclusif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]2 ; 0[

]]> Erreur : cet ensemble est vide, car 0 < 2.

]]> [-3 ; 6]

]]> Erreur : les bornes -3 et 6 sont exclues des intervalles
de départ, donc de la réunion.

]]> ]-3 ; 6[

]]> Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un
des deux intervalles, qui se chevauchent.

]]> [0 ; 2]

]]> Erreur : [0 ; 2] est l'intersection.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q04 : Complémentaire d'un ensemble Dans l'ensemble E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}, on
considère A = \{2\,;\,4\,;\,5\}. Quel est le complémentaire
Ā de A dans E ?

]]> \overline{A} = E \setminus A : les éléments de E qui ne sont
pas dans A. On a A ∪ Ā = E et
A ∩ Ā = ∅.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ∅

]]> Erreur : A ne contient pas tous les éléments de E.

]]> \{1\,;\,3\}

]]> Erreur : 6 appartient à E et pas à A, il est donc dans le
complémentaire.

]]> \{2\,;\,4\,;\,5\}

]]> Erreur : c'est A lui-même.

]]> \{1\,;\,3\,;\,6\}

]]> Bonne réponse : ce sont les éléments de E qui n'appartiennent
pas à A.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q05 : Cardinal d'une réunion Deux ensembles finis vérifient Card(A) = 12,
Card(B) = 9 et Card(A ∩ B) = 4. Que vaut
Card(A ∪ B) ?

]]> Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) - Card(A ∩ B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 17

]]> Bonne réponse : 12 + 9 - 4, car les éléments communs ont
été comptés deux fois.

]]> 21

]]> Erreur : les 4 éléments communs sont comptés deux fois.

]]> 25

]]> Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les
ajouter.

]]> 4

]]> Erreur : 4 est le cardinal de l'intersection.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q06 : Produit cartésien On pose A = \{a\,;\,b\} et B = \{1\,;\,2\,;\,3\}. Combien
d'éléments compte le produit cartésien A × B ?

]]> Card(A × B) = Card(A) × Card(B).
Un couple est ordonné : (a ; 1) et (1 ; a) sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Erreur : 9 = 3 × 3 correspondrait à B × B.

]]> 8

]]> Erreur : 8 = 2³ ne correspond pas au nombre de couples.

]]> 5

]]> Erreur : on a additionné les cardinaux au lieu de les
multiplier.

]]> 6

]]> Bonne réponse : A × B contient les couples (x ; y)
avec x ∈ A et y ∈ B, soit 2 × 3 couples.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q07 : Ensembles de nombres Laquelle de ces affirmations est vraie ?

]]> \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}
\subset \mathbb{R}.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √2 ∈ ℚ

]]> Erreur : √2 est irrationnel.

]]> ℚ ⊂ ℤ

]]> Erreur : ½ est rationnel mais pas entier.

]]> ℤ ⊂ ℚ

]]> Bonne réponse : tout entier relatif n s'écrit n/1,
c'est un rationnel.

]]> -3 ∈ ℕ

]]> Erreur : ℕ ne contient que les entiers positifs ou
nuls.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q08 : Complémentaire d'un intervalle Quel est le complémentaire de l'intervalle [-1 ; 4[ dans
ℝ ?

]]> Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son
complémentaire, et inversement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-1 ; 4]

]]> Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas
son complémentaire.

]]> ]-∞ ; -1[ ∪ [4 ; +∞[

]]> Bonne réponse : -1 appartient à l'intervalle, donc pas au
complémentaire ; 4 n'y appartient pas, donc il est dans le
complémentaire.

]]> ]-∞ ; -1[ ∩ [4 ; +∞[

]]> Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est
une réunion.

]]> ]-∞ ; -1] ∪ ]4 ; +∞[

]]> Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q09 : Le connecteur « et » On pose x = 6. La proposition « x est pair et x > 5 »
est-elle vraie ?

]]> « P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Fausse, car 6 est pair et supérieur à 5

]]> Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »
exige les deux conditions à la fois.

]]> Elle est à la fois vraie et fausse

]]> Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit
fausse.

]]> Vraie, car 6 est pair et supérieur à 5

]]> Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont
toutes les deux.

]]> On ne peut pas conclure sans autre information

]]> Erreur : la valeur de x est connue, chaque condition se
vérifie directement.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q10 : Le connecteur « ou » On pose x = 8. La proposition « x est pair ou x > 5 »
est-elle vraie ?

]]> « P ou Q » est vraie dès que l'une au moins des deux propositions
est vraie ; elle n'est fausse que si les deux sont fausses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vraie, car au moins une des deux conditions est remplie

]]> Bonne réponse : ici les deux sont remplies, et le « ou »
mathématique est inclusif.

]]> Fausse, car 8 n'est pas impair

]]> Erreur : aucune condition ne porte sur l'imparité.

]]> Fausse, car les deux conditions sont remplies en même temps

]]> Erreur : en mathématiques, « ou » n'est pas exclusif ; il
autorise les deux à la fois.

]]> Vraie seulement si l'une des conditions est fausse

]]> Erreur : c'est le sens du « ou » exclusif, qui n'est pas celui
des mathématiques.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q11 : Nier une conjonction Quelle est la négation de la proposition « x ≥ 2 et
x < 7 » ?

]]> non(P et Q) = (non P) ou (non Q). Sur une droite graduée : le complémentaire de
[2 ; 7[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « x ≤ 2 ou x > 7 »

]]> Erreur : la négation de x ≥ 2 est x < 2, sans égalité.

]]> « x < 2 et x ≥ 7 »

]]> Erreur : en niant, « et » devient « ou » ; cette proposition
n'est d'ailleurs jamais vraie.

]]> « x < 2 ou x ≥ 7 »

]]> Bonne réponse : la négation de « P et Q » est « non P ou non
Q ».

]]> « x ≥ 7 »

]]> Erreur : les réels inférieurs à 2 rendent aussi la
proposition fausse.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q12 : Nier « pour tout » Quelle est la négation de la proposition « pour tout réel x,
x² ≥ x » ?

]]> Nier « pour tout x, P » donne « il existe x tel que non P ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Il existe un réel x tel que x² < x »

]]> Bonne réponse : « pour tout » devient « il existe », et
l'inégalité est niée. Par exemple, x = 0{,}5 convient.

]]> « Il existe un réel x tel que x² ≥ x »

]]> Erreur : l'inégalité doit être niée elle aussi.

]]> « Pour tout réel x, x² < x »

]]> Erreur : un seul réel suffit à mettre en défaut une propriété
universelle.

]]> « Il existe un réel x tel que x² ≤ x »

]]> Erreur : la négation de x² ≥ x est x² < x, strict.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q13 : Nier « il existe » Quelle est la négation de la proposition « il existe un entier
naturel n tel que 2ⁿ = 100 » ?

]]> Nier « il existe x tel que P » donne « pour tout x, non P ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Pour tout entier naturel n, 2ⁿ > 100 »

]]> Erreur : la négation de « égal » est « différent », pas
« strictement supérieur ».

]]> « Pour tout entier naturel n, 2ⁿ ≠ 100 »

]]> Bonne réponse : « il existe » devient « pour tout », et l'égalité
devient une différence.

]]> « Il existe un entier naturel n tel que 2ⁿ ≠ 100 »

]]> Erreur : le quantificateur doit changer lui aussi.

]]> « Pour tout entier naturel n, 2ⁿ = 100 »

]]> Erreur : l'égalité doit être niée.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q14 : Choisir un contre-exemple Quel nombre est un contre-exemple à la proposition « pour tout
réel x, x² > x » ?

]]> Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une propriété
universelle est fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2{,}5

]]> Erreur : 2{,}5^2 = 6{,}25 > 2{,}5, ce nombre vérifie la
propriété.

]]> x = 1{,}5

]]> Erreur : 1{,}5^2 = 2{,}25 > 1{,}5, ce nombre vérifie la
propriété.

]]> x = -0{,}5

]]> Erreur : (-0{,}5)^2 = 0{,}25 > -0{,}5, ce nombre vérifie la
propriété.

]]> x = 0{,}5

]]> Bonne réponse : 0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5, la propriété est en
défaut.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q15 : Ce qu'un exemple ne prouve pas Un élève affirme : « pour tout entier n, n² + n + 41 est
premier ». Il le vérifie pour n = 0, 1, 2, 3 et 4. Que
peut-on en conclure ?

]]> Pour démontrer « pour tout », il faut un raisonnement général ;
pour réfuter, un contre-exemple suffit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il suffit d'ajouter le cas n = 5 pour conclure

]]> Erreur : aucun nombre fini de vérifications ne remplace une
démonstration générale.

]]> Rien : quelques cas ne prouvent pas la propriété

]]> Bonne réponse : la propriété est d'ailleurs fausse pour
n = 41, car 41² + 41 + 41 = 41 × 43.

]]> La propriété est démontrée pour tout entier

]]> Erreur : vérifier cinq cas ne dit rien des autres entiers.

]]> La propriété est fausse, faute de démonstration

]]> Erreur : l'absence de preuve ne prouve pas que la propriété
est fausse ; il faut un contre-exemple.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q16 : Repérer une quantification implicite Dans la phrase « si un quadrilatère est un losange, alors ses
diagonales sont perpendiculaires », quelle quantification est
sous-entendue ?

]]> Les propositions conditionnelles « si…, alors… » sont
implicitement universelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Il existe un quadrilatère »

]]> Erreur : la phrase ne se contente pas d'un exemple, elle énonce
une règle générale.

]]> Aucune, la phrase n'est pas quantifiée

]]> Erreur : une implication générale cache presque toujours un
« pour tout ».

]]> « Pour un seul quadrilatère »

]]> Erreur : rien dans la phrase ne limite la propriété à un seul
cas.

]]> « Pour tout quadrilatère »

]]> Bonne réponse : la propriété est énoncée pour n'importe quel
quadrilatère qui est un losange.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q17 : Identité ou équation Quel est le statut de l'égalité (x + 1)² = x² + 2x + 1 ?

]]> Une identité est vraie pour toutes les valeurs de la variable ; une
équation pose la question des valeurs qui la rendent vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une équation, d'inconnue x, à résoudre

]]> Erreur : il n'y a rien à résoudre, l'égalité est toujours
vraie.

]]> Une identité, vraie pour tout réel x

]]> Bonne réponse : c'est un développement, valable quelle que soit
la valeur de x.

]]> Une égalité vraie seulement pour x = 0

]]> Erreur : en x = 2, par exemple, les deux membres valent 9.

]]> Une équation sans solution

]]> Erreur : tout réel la vérifie.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q18 : Variable, inconnue ou paramètre Pour tout réel m, on cherche les réels x tels que mx + 3 = 0.
Quel est le statut de la lettre m ?

]]> Dans une équation à paramètre, on résout en x pour chaque valeur
fixée du paramètre, en distinguant parfois des cas (m = 0 ici).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un paramètre, fixé avant de résoudre

]]> Bonne réponse : m est choisi d'abord ; les solutions en x
dépendent ensuite de sa valeur.

]]> Une variable sans rôle particulier

]]> Erreur : m joue un rôle précis, celui de paramètre.

]]> L'inconnue de l'équation

]]> Erreur : l'inconnue est x, la lettre que l'on cherche.

]]> Une constante égale à 3

]]> Erreur : 3 est le terme constant ; m peut prendre toute
valeur réelle.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q19 : Écrire une réciproque Quelle est la réciproque de l'implication « si x = 3, alors
x² = 9 » ?

]]> Réciproque de « si P, alors Q » : « si Q, alors P ». Elle peut être
fausse alors que l'implication est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Si x² ≠ 9, alors x ≠ 3 »

]]> Erreur : c'est la contraposée, pas la réciproque.

]]> « x = 3 et x² = 9 »

]]> Erreur : une réciproque reste une implication.

]]> « Si x² = 9, alors x = 3 »

]]> Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la
conclusion. Elle est fausse ici : x = -3 convient aussi.

]]> « Si x ≠ 3, alors x² ≠ 9 »

]]> Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q20 : Écrire une contraposée Quelle est la contraposée de l'implication « si un entier est
multiple de 6, alors il est pair » ?

]]> Contraposée de « si P, alors Q » : « si non Q, alors non P ». Elle
est équivalente à l'implication de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc « Si un entier n'est pas multiple de 6, alors il n'est pas
pair »

]]> Erreur : on a nié sans échanger ; cette phrase est fausse
(4).

]]> « Un entier est multiple de 6 ou il est pair »

]]> Erreur : la contraposée reste une implication.

]]> « Si un entier est pair, alors il est multiple de 6 »

]]> Erreur : c'est la réciproque, d'ailleurs fausse (4 est pair).

]]> « Si un entier n'est pas pair, alors il n'est pas multiple de
6 »

]]> Bonne réponse : on échange les deux membres et on les nie. La
contraposée a la même valeur de vérité que l'implication.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q21 : Condition nécessaire Pour un entier n, l'implication « si n est multiple de 4,
alors n est pair » est vraie. Que représente « n est pair » pour
« n est multiple de 4 » ?

]]> Si « P ⇒ Q » est vraie : P est une condition suffisante pour Q, et
Q une condition nécessaire pour P.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune des trois

]]> Erreur : l'implication établit un lien entre les deux
propositions.

]]> Une condition nécessaire et suffisante

]]> Erreur : la réciproque est fausse, il n'y a pas équivalence.

]]> Une condition suffisante

]]> Erreur : être pair ne suffit pas ; 6 est pair sans être
multiple de 4.

]]> Une condition nécessaire

]]> Bonne réponse : pour être multiple de 4, il faut être pair.
La conclusion d'une implication vraie est nécessaire à son
hypothèse.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q22 : Condition suffisante Pour un réel x, la condition « x > 3 » est-elle suffisante pour
que x² > 9 ?

]]> « P est suffisante pour Q » signifie « P ⇒ Q ». « P est nécessaire
pour Q » signifie « Q ⇒ P ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car x = -4 vérifie x² > 9 sans vérifier x > 3

]]> Erreur : cet exemple montre que la condition n'est pas
nécessaire ; il ne dit rien de son caractère suffisant.

]]> Oui, car si x > 3, alors x² > 9

]]> Bonne réponse : pour x > 3 > 0, la fonction carré étant
croissante sur [0 ; +∞[, x² > 9.

]]> Non, car x² > 9 n'entraîne pas x > 3

]]> Erreur : ce constat porte sur la réciproque ; la condition
reste suffisante.

]]> Oui, et elle est aussi nécessaire

]]> Erreur : x = -4 vérifie x² > 9 sans que x > 3.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q23 : Reconnaître une équivalence Laquelle de ces propositions est une équivalence vraie pour tout
réel x ?

]]> « P ⇔ Q » est vraie quand « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » le sont toutes
les deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x > 1 \iff x^2 > 1

]]> Erreur : x = -3 vérifie x² > 1 sans vérifier x > 1.

]]> x^2 = 4 \iff x = 2

]]> Erreur : x = -2 vérifie x² = 4 ; seule l'implication de
droite à gauche est vraie.

]]> x^2 = 0 \iff x = 0

]]> Bonne réponse : un carré est nul si et seulement si le nombre est
nul ; les deux implications sont vraies.

]]> x \geq 0 \iff x > 0

]]> Erreur : x = 0 vérifie la première sans vérifier la seconde.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q24 : Implication à hypothèse fausse On considère l'implication « si n est un entier pair et impair à la
fois, alors n = 7 ». Est-elle vraie ?

]]> « P ⇒ Q » est fausse dans un seul cas : P vraie et Q fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car la conclusion n'a aucun rapport avec l'hypothèse

]]> Erreur : la vérité d'une implication ne dépend pas d'un lien de
sens entre ses membres.

]]> Oui, car aucun entier ne vérifie l'hypothèse

]]> Bonne réponse : une implication n'est fausse que si l'hypothèse
est vraie et la conclusion fausse, ce qui n'arrive jamais ici.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : la règle de vérité de l'implication permet de conclure.

]]> Non, car 7 n'est pas pair

]]> Erreur : il faudrait un entier vérifiant l'hypothèse sans
vérifier la conclusion, et il n'en existe pas.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q25 : Utiliser la contraposée On sait que « si un triangle est rectangle, alors le carré du plus
grand côté est la somme des carrés des deux autres ». Un triangle a
pour côtés 4, 5 et 6. Que peut-on en déduire ?

]]> Si « P ⇒ Q » est vraie et que Q est fausse, alors P est fausse :
c'est le raisonnement par contraposée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est rectangle, car ses côtés sont des entiers consécutifs

]]> Erreur : aucune propriété ne relie des côtés consécutifs à un
angle droit.

]]> Il n'est pas rectangle, car 6² ≠ 4² + 5²

]]> Bonne réponse : 36 ≠ 41 ; par contraposée, la conclusion
étant fausse, l'hypothèse l'est aussi.

]]> Il est rectangle, car 4² + 5² > 6²

]]> Erreur : une inégalité stricte exclut justement l'égalité de
Pythagore.

]]> On ne peut rien dire sans mesurer les angles

]]> Erreur : la contraposée du théorème de Pythagore permet de
conclure par le calcul.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q26 : Principe du raisonnement par l'absurde Pour démontrer par l'absurde que √2 n'est pas rationnel,
par quoi commence-t-on ?

]]> Raisonnement par l'absurde : supposer la négation de la
conclusion, en déduire une contradiction, conclure que la négation
était fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Supposer que √2 est rationnel

]]> Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut
démontrer, puis on aboutit à une contradiction.

]]> Calculer √2 à la calculatrice

]]> Erreur : une valeur approchée ne dit rien de la nature exacte du
nombre.

]]> Supposer que √2 n'est pas rationnel

]]> Erreur : on ne peut pas supposer ce que l'on veut démontrer.

]]> Trouver un contre-exemple

]]> Erreur : un contre-exemple réfute une propriété universelle ; il
ne démontre pas qu'un nombre est irrationnel.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q27 : Disjonction des cas Pour démontrer que n(n + 1) est pair pour tout entier n, quelle
démarche convient ?

]]> La disjonction des cas sépare l'étude en cas qui recouvrent toutes
les possibilités, puis conclut dans chacun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Chercher un contre-exemple

]]> Erreur : un contre-exemple servirait à montrer que la propriété
est fausse.

]]> Vérifier pour n = 1, 2 et 3

]]> Erreur : quelques exemples ne démontrent pas une propriété
universelle.

]]> Distinguer le cas n pair et le cas n impair

]]> Bonne réponse : si n est pair, n l'est ; sinon n + 1 est
pair. Dans les deux cas, le produit est pair.

]]> Supposer que n(n + 1) est pair

]]> Erreur : supposer la conclusion ne la démontre pas.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q28 : Repérer la contradiction On suppose qu'il existe un plus grand entier naturel N. Quelle
observation conduit à une contradiction ?

]]> Une contradiction est une proposition à la fois vraie et fausse
sous l'hypothèse faite ; elle oblige à rejeter cette hypothèse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc N - 1 est un entier plus petit que N

]]> Erreur : cela ne contredit pas l'hypothèse, qui porte sur les
entiers plus grands que N.

]]> N + 1 est un entier et dépasse N

]]> Bonne réponse : cela contredit le fait que N soit le plus
grand ; l'hypothèse est donc fausse.

]]> N est soit pair, soit impair

]]> Erreur : c'est toujours vrai et ne contredit rien.

]]> N est un entier positif ou nul

]]> Erreur : ce constat est compatible avec l'hypothèse.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q29 : Démontrer par contraposée Pour démontrer « si n² est pair, alors n est pair », que
suffit-il de démontrer ?

]]> Démontrer « non Q ⇒ non P » revient à démontrer « P ⇒ Q ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n² est pair pour n = 2, 4 et 6

]]> Erreur : des exemples ne démontrent pas une propriété générale.

]]> Si n est impair, alors n² est impair

]]> Bonne réponse : c'est la contraposée, équivalente à
l'implication. Avec n = 2k + 1, n² = 2(2k² + 2k) + 1.

]]> Si n² est impair, alors n est impair

]]> Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger.

]]> Si n est pair, alors n² est pair

]]> Erreur : c'est la réciproque ; la démontrer ne prouve pas
l'implication de départ.

]]> Vocabulaire ensembliste et logique — Q30 : Choisir le bon raisonnement Quel raisonnement permet de démontrer que la proposition « tout
nombre premier est impair » est fausse ?

]]> Pour réfuter « pour tout », on exhibe un contre-exemple ; pour
démontrer « pour tout », il faut un raisonnement général.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une vérification sur 3, 5 et 7

]]> Erreur : ces exemples vont dans le sens de la proposition et ne
prouvent rien.

]]> Un contre-exemple : 2 est premier et pair

]]> Bonne réponse : un seul cas suffit à réfuter une propriété
universelle.

]]> Un raisonnement par l'absurde sur la parité

]]> Erreur : un contre-exemple suffit, aucune démonstration
générale n'est nécessaire.

]]> Une disjonction des cas sur la parité

]]> Erreur : la disjonction des cas sert à démontrer une propriété,
pas à la réfuter.

]]>