$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Automatismes Automatismes du programme de première : évolutions successives et
réciproques, équation produit nul, signe d'une expression du premier
degré ou factorisée du second degré, développement et factorisation,
lectures graphiques (équations, inéquations, signe, variations,
droites), indicateurs statistiques, diagrammes et probabilités
conditionnelles.

]]> Automatismes — Q01 : Appliquer une hausse Un loyer de 240 euros augmente de 15\ %. Quel est le nouveau
loyer ?

]]> Une évolution de t\ % revient à multiplier par le coefficient
multiplicateur 1 + t/100 (hausse) ou 1 - t/100
(baisse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 276 euros

]]> Bonne réponse : augmenter de 15\ % revient à multiplier par
1 + 15/100, d'où 240 × (1 + 15/100) = 276.

]]> 204 euros

]]> Erreur de sens : multiplier par 1 - 15/100
correspond à une baisse de 15\ %.

]]> 255 euros

]]> Erreur : on a ajouté 15 euros. Une hausse de 15\ %
ajoute 15\ % du loyer, soit 36 euros.

]]> 36 euros

]]> Erreur : 36 euros est le montant de la hausse, pas le
nouveau loyer. Il reste à l'ajouter à 240.

]]> Automatismes — Q02 : Retrouver un prix avant remise Après une remise de 15\ %, un article coûte 68 euros. Quel
était son prix avant la remise ?

]]> Valeur finale = valeur initiale × coefficient
multiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la
valeur finale par ce coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 78{,}2 euros

]]> Erreur classique : ajouter 15\ % au prix remisé ne
compense pas la remise, car les 15\ % ne portent pas sur
la même valeur. Il faut diviser par 0{,}85.

]]> 57{,}8 euros

]]> Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour
remonter le temps, on divise par le coefficient 0{,}85.

]]> 80 euros

]]> Bonne réponse : le prix initial P vérifie
P \times 0{,}85 = 68, donc P = \dfrac{68}{0{,}85} = 80.

]]> 83 euros

]]> Erreur : on a ajouté 15 euros, comme si la remise était un
montant et non un pourcentage.

]]> Automatismes — Q03 : Exprimer une évolution en pourcentage Le nombre d'adhérents d'un club passe de 80 à 92. Quel est le
taux d'évolution, exprimé en pourcentage ?

]]> Taux d'évolution de V₀ à V₁ : t = V₁ - V₀/V₀,
que l'on multiplie par 100 pour l'écrire en pourcentage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc + 15\ %

]]> Bonne réponse : 92 - 80/80 = 12/80,
soit + 15\ %.

]]> + 13\ %

]]> Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée
92. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur
de départ 80.

]]> + 115\ %

]]> Erreur : 92/80 est le coefficient multiplicateur.
Le taux vaut ce coefficient diminué de 1.

]]> + 12\ %

]]> Erreur : 12 est la variation absolue, un nombre
d'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ.

]]> Automatismes — Q04 : Trois évolutions successives Le prix d'une action augmente de 10\ %, puis baisse de
20\ %, puis augmente de 25\ %. Quelle est son évolution
globale ?

]]> Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients
multiplicateurs : le coefficient global C donne le taux global
C - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc + 15\ %

]]> Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,
car chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les
coefficients multiplicateurs qui se multiplient.

]]> + 110\ %

]]> Erreur : 1{,}1 est le coefficient multiplicateur global. Le
taux global vaut 1{,}1 - 1, et non 1{,}1 \times 100.

]]> + 65\ %

]]> Erreur : la baisse de 20\ % a été traitée comme une
hausse. Son coefficient est 0{,}8, inférieur à 1.

]]> + 10\ %

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient,
1{,}1 \times 0{,}8 \times 1{,}25 = 1{,}1,
soit une évolution de + 10\ %.

]]> Automatismes — Q05 : Effacer une hausse Le tarif d'un abonnement augmente de 25\ %. Quelle évolution
ramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?

]]> Le taux réciproque d'une évolution de coefficient C est celui de
coefficient 1/C : il ramène à la valeur initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une baisse de 20\ %

]]> Bonne réponse : le coefficient réciproque est
\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8, soit une baisse de
20\ %.

]]> Une baisse de 12{,}5\ \%

]]> Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On
cherche le coefficient c tel que 1{,}25 \times c = 1.

]]> Une baisse de 25\ %

]]> Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus
grand que le tarif initial. Une baisse de 25\ % ferait
descendre sous la valeur de départ.

]]> Une baisse de 80\ %

]]> Erreur : 0{,}8 est le coefficient multiplicateur
réciproque. Il correspond à une baisse de 20\ %, et non
de 80\ %.

]]> Automatismes — Q06 : Compenser une baisse La fréquentation d'un musée a baissé de 20\ %. De quel
pourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau
d'origine ?

]]> Après une baisse de coefficient C, on revient à la valeur
initiale en multipliant par 1/C, qui est supérieur à
1 : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 80\ %

]]> Erreur : 80\ % est la part qui reste après la baisse,
pas la hausse nécessaire.

]]> 20\ %

]]> Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation
plus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que
20\ % pour revenir au départ.

]]> 25\ %

]]> Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut
\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25, soit une hausse de
25\ %.

]]> 125\ %

]]> Erreur : 1{,}25 est le coefficient multiplicateur ; le
taux de hausse vaut ce coefficient diminué de 1, soit
25\ %.

]]> Automatismes — Q07 : Une grandeur multipliée Une grandeur est multipliée par 2. Quel est le taux
d'évolution correspondant ?

]]> Multiplier par C correspond au taux d'évolution C - 1 : doubler,
c'est augmenter de 100\ % ; diviser par deux, c'est baisser de
50\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc + 100\ %

]]> Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de 1,
2 - 1 = 1, soit + 100\ %.

]]> + 200\ %

]]> Erreur : on a confondu le coefficient 2 avec le taux. Un
coefficient de 1 correspond à une évolution nulle.

]]> + 50\ %

]]> Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur
finale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale.

]]> + 2\ %

]]> Erreur : 2 est un coefficient multiplicateur, pas un
pourcentage.

]]> Automatismes — Q08 : Résoudre une équation produit nul Quelles sont les solutions de l'équation
(x - 3)(2x + 8) = 0 ?

]]> Équation produit nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou
B = 0. On résout alors deux équations du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3 et 4

]]> Erreur de signe : x - 3 = 0 donne x = 3 et non
-3. Il suffit de vérifier en remplaçant.

]]> -3 et 8

]]> Erreurs cumulées : signes changés et division par 2
oubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier
degré.

]]> 3 et -8

]]> Erreur : dans 2x + 8 = 0, on obtient 2x = -8, puis
il faut encore diviser par 2.

]]> 3 et -4

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des
facteurs est nul : x - 3 = 0 donne x = 3, et
2x + 8 = 0 donne x = -4.

]]> Automatismes — Q09 : Ne pas diviser par x Quelles sont les solutions de l'équation x(x - 5) = 0 ?

]]> On n'élimine jamais un facteur x en divisant : on applique la
règle du produit nul à chaque facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 et 5

]]> Bonne réponse : x = 0 ou x - 5 = 0, d'où les deux
solutions 0 et 5.

]]> 0 seulement

]]> Erreur : le second facteur s'annule aussi, en x = 5.

]]> 0 et -5

]]> Erreur de signe : x - 5 = 0 donne x = 5.

]]> 5 seulement

]]> Erreur : diviser par x fait perdre la solution x = 0, car
on ne peut diviser par x que si x ≠ 0.

]]> Automatismes — Q10 : Signe d'une expression du premier degré Pour quelles valeurs de x l'expression -2x + 6 est-elle
strictement positive ?

]]> ax + b s'annule en -b/a ; elle est du signe de a
après cette valeur et du signe contraire avant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour x > -3

]]> Deux erreurs : la racine est 3, et l'expression est
positive avant elle, puisque le coefficient de x est
négatif.

]]> Pour x > 3

]]> Erreur : avec un coefficient de x négatif, l'expression
décroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule.

]]> Pour x < 3

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en x = 3 et, son
coefficient -2 étant négatif, elle est positive avant cette
valeur.

]]> Pour x < -3

]]> Erreur de signe sur la racine : -2x + 6 = 0 donne
x = 3.

]]> Automatismes — Q11 : Résoudre une inéquation produit Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
(x + 3)(x - 1) < 0 ?

]]> On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des
signes dans un tableau. Le produit (x - x₁)(x - x₂) est négatif
entre les racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-1 ; 3[

]]> Erreur de signe : x + 3 s'annule en -3, pas en
3.

]]> ]-3 ; 1[

]]> Bonne réponse : le produit s'annule en -3 et 1 ; il est
négatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de
signes contraires.

]]> ]-∞ ; -3[ ∪ ]1 ; +∞[

]]> Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le
même signe et le produit est positif.

]]> [-3 ; 1]

]]> Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit
vaut 0 en -3 et en 1 ; elles sont exclues.

]]> Automatismes — Q12 : Développer un produit Quelle est la forme développée et réduite de
(3x + 2)(x - 4) ?

]]> (ax + b)(x + c) = ax² + acx + bx + bc : chaque terme du premier
facteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x² - 8

]]> Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été
multipliés. La double distributivité donne quatre produits.

]]> 3x² - 2x - 8

]]> Erreur : le terme 3x × (-4) vaut -12x ; il ne
suffit pas d'ajouter 2 et -4.

]]> 3x² - 10x - 8

]]> Bonne réponse : 3x × x + 3x × (-4) + 2 × x + 2 × (-4) = 3x² - 10x - 8.

]]> 3x² - 10x + 8

]]> Erreur de signe sur le terme constant :
2 × (-4) = -8.

]]> Automatismes — Q13 : Factoriser par un facteur commun Quelle est une factorisation de 6x² - 9x ?

]]> Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On
vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x(2x - 3)

]]> Bonne réponse : le facteur commun est 3x, et
3x × 2x - 3x × 3 = 6x² - 9x.

]]> 3(2x - 3)

]]> Erreur : le facteur x a disparu. En développant, on obtient
6x - 9, sans terme en x².

]]> 3x(2x + 3)

]]> Erreur de signe : en développant, on obtient
6x² + 9x.

]]> 3x²(2 - 3x)

]]> Erreur : en développant, 3x² × 3x donne un terme en
x³. Le facteur commun est 3x, pas 3x².

]]> Automatismes — Q14 : Factoriser une différence de deux carrés Quelle est la forme factorisée de x² - 25 ?

]]> On reconnaît a² - b² avec a = x et b = √25, puis on
factorise en (a - b)(a + b).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x + 5)²

]]> Erreur : (x + 5)² = x² + 10x + 25, qui n'est pas une
différence.

]]> (x - 5)²

]]> Erreur : (x - 5)² = x² - 10x + 25, qui comporte un
terme en x et se termine par + 25.

]]> (x - 25)(x + 25)

]]> Erreur : ce produit vaut x² - 625. Il faut écrire
25 comme le carré de 5.

]]> (x - 5)(x + 5)

]]> Bonne réponse : 25 = 5², et a² - b² = (a - b)(a + b).

]]> Automatismes — Q15 : Réduire une expression avec des parenthèses Quelle est la forme réduite de 5(x - 2) - 3(x - 4) ?

]]> On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on
regroupe les termes en x et les constantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x - 22

]]> Erreur de signe : le signe « - » devant 3(x - 4) change
le signe des deux termes, et -3 × (-4) = +12.

]]> 2x + 2

]]> Bonne réponse : 5x - 10 - 3x + 12 = 2x + 2.

]]> 8x + 2

]]> Erreur : le terme -3x se soustrait à 5x ; on obtient
2x.

]]> 2x + 10

]]> Erreur : 5 multiplie aussi -2, ce qui donne
-10 et non -2.

]]> Automatismes — Q16 : Résoudre graphiquement une équation [Figure : Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie
les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).]

La courbe ci-dessous représente une fonction f définie sur
[-4 ; 4]. Quelles sont les solutions de l'équation
f(x) = 2 ?

]]> Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points de la
courbe d'ordonnée k, intersections avec la droite y = k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Erreur : 4 est l'image de 2, c'est-à-dire f(2). On cherche
au contraire les antécédents de 2.

]]> -4, 0 et 3

]]> Bonne réponse : on trace la droite horizontale y = 2 et on lit
les abscisses des trois points d'intersection avec la courbe.

]]> 0 et 3

]]> Oubli : la courbe part du point (-4 ; 2), donc
f(-4) = 2 et -4 est aussi solution.

]]> -3, -1 et 4

]]> Erreur : ce sont les solutions de f(x) = 0, lues sur l'axe des
abscisses et non sur la droite y = 2.

]]> Automatismes — Q17 : Résoudre graphiquement une inéquation [Figure : Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie
les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).]

Avec la même courbe de la fonction f, quel est l'ensemble des
solutions de l'inéquation f(x) < 2 ?

]]> Les solutions de f(x) < k sont les abscisses des points de la
courbe situés strictement sous la droite y = k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-4 ; 0[ ∪ ]3 ; 4]

]]> Bonne réponse : la courbe est strictement sous la droite
y = 2 entre -4 et 0, puis de 3 jusqu'à 4 inclus,
puisque f(4) = 0.

]]> [-4 ; 0] ∪ [3 ; 4]

]]> Erreur sur les bornes : en -4, 0 et 3, f(x) = 2, ce qui
ne vérifie pas l'inégalité stricte.

]]> [-4 ; -2] ∪ [2 ; 4]

]]> Erreur : ce sont les intervalles où f est décroissante. On
compare ici les ordonnées des points de la courbe à 2.

]]> ]0 ; 3[

]]> Erreur : sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de la
droite y = 2 ; c'est l'ensemble des solutions de f(x) > 2.

]]> Automatismes — Q18 : Lire le signe d'une fonction [Figure : Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie
les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).]

Toujours avec la courbe de f ci-dessous, sur quel intervalle
f(x) est-il strictement négatif ?

]]> f(x) < 0 là où la courbe est sous l'axe des abscisses. Les bornes
sont les abscisses des points où la courbe coupe cet axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-3 ; -1[

]]> Bonne réponse : la courbe passe sous l'axe des abscisses entre
ses deux points d'intersection avec cet axe, d'abscisses -3
et -1.

]]> ]-4 ; -2[

]]> Erreur : sur cet intervalle, f est décroissante, mais elle
reste positive jusqu'à x = -3. Signe et variations sont deux
lectures différentes.

]]> ]-2 ; 2[

]]> Erreur : c'est l'intervalle où f est croissante, pas celui où
elle est négative.

]]> ]-2 ; -1[

]]> Erreur : il manque la partie entre -3 et -2, où la courbe
est déjà sous l'axe.

]]> Automatismes — Q19 : Lire des variations sur une courbe [Figure : Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie
les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).]

Quelles sont les variations de la fonction f représentée
ci-dessous ?

]]> Une fonction est croissante sur un intervalle quand sa courbe
monte de gauche à droite. Les intervalles se lisent sur l'axe des
abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur [-4 ; -2], croissante sur [-2 ; 2],
décroissante sur [2 ; 4]

]]> Bonne réponse : on lit la courbe de gauche à droite ; elle
descend jusqu'à x = -2, monte jusqu'à x = 2, puis
redescend.

]]> Positive sur [-4 ; -3], négative sur [-3 ; -1],
positive sur [-1 ; 4]

]]> Erreur : ce découpage décrit le signe de f(x), pas ses
variations.

]]> Décroissante sur [-4 ; -2], puis croissante sur
[-2 ; 4]

]]> Erreur : après le maximum atteint en x = 2, la courbe
redescend jusqu'à (4 ; 0).

]]> Croissante sur [-4 ; -2], décroissante sur [-2 ; 2],
croissante sur [2 ; 4]

]]> Erreur : les sens sont inversés. La courbe commence par
descendre de (-4 ; 2) à (-2 ; -2).

]]> Automatismes — Q20 : Lire l'équation réduite d'une droite [Figure : Repère quadrillé. La droite d passe par les points (0 ; 3) et
(6 ; 0) ; elle descend de gauche à droite.]

Quelle est l'équation réduite de la droite d tracée ci-dessous ?

]]> Dans y = mx + p, p se lit à l'intersection avec l'axe des
ordonnées et m est la variation de y quand x augmente de 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = -0{,}5x + 3

]]> Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est 3 ; en avançant de
2 unités vers la droite, on descend de 1 : le coefficient
directeur vaut -½.

]]> y = -0{,}5x + 6

]]> Erreur : 6 est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe
des abscisses. L'ordonnée à l'origine se lit sur l'axe des
ordonnées : 3.

]]> y = -2x + 3

]]> Erreur : le coefficient directeur est le rapport « déplacement
vertical sur déplacement horizontal », ici -1/2, et
non l'inverse.

]]> y = 0{,}5x + 3

]]> Erreur de signe : la droite descend, son coefficient directeur
est négatif.

]]> Automatismes — Q21 : L'équation d'une droite passant par deux points Une droite passe par les points A(1 ; 3) et
B(3 ; 7). Quelle est son équation réduite ?

]]> On calcule m = y_B - y_A/x_B - x_A, puis p en écrivant
que les coordonnées de A vérifient y = mx + p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x + 1

]]> Bonne réponse : m = 7 - (3)/3 - (1) = 2,
puis 3 = 2 × (1) + p donne p = 1.

]]> y = ½x + 1

]]> Erreur : le coefficient directeur est
y_B - y_A/x_B - x_A ; on a calculé son inverse.

]]> y = -2x + 1

]]> Erreur de signe sur le coefficient directeur : de A à B,
y varie de 4 quand x varie de 2.

]]> y = 2x + 5

]]> Erreur de signe dans le calcul de p : p = y_A - m x_A = 1.

]]> Automatismes — Q22 : Tracer une droite à partir d'un point et d'une pente Une droite passe par le point A(1 ; 2) et a pour
coefficient directeur -3. Quel autre point lui appartient ?

]]> Pour tracer une droite de coefficient directeur m passant par
A, on part de A, on avance de 1 et on monte (ou descend) de
m.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (2 ; -1)

]]> Bonne réponse : quand x augmente de 1, y varie du
coefficient directeur, -3 ; on passe de 2 à -1.

]]> (2 ; -3)

]]> Erreur : -3 est la variation de y, pas sa nouvelle valeur.
Il faut l'ajouter à 2.

]]> (-2 ; 3)

]]> Erreur : les rôles de x et de y sont inversés. C'est y
qui varie de -3 quand x augmente de 1.

]]> (2 ; 5)

]]> Erreur de signe : quand x augmente de 1, on ajoute
-3 à y.

]]> Automatismes — Q23 : Un point sur une droite donnée par son équation Quel point appartient à la droite d'équation y = -2x + 5 ?

]]> Un point appartient à la droite d'équation y = mx + p si et
seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-1 ; 3)

]]> Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace x
par l'abscisse du point.

]]> (3 ; -16)

]]> Erreur de priorité : on a calculé -2 × (3 + 5).
La multiplication porte seulement sur x.

]]> (3 ; -11)

]]> Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute
5, on ne le retranche pas.

]]> (3 ; -1)

]]> Bonne réponse : -2 × (3) + 5 = -1, donc les
coordonnées vérifient l'équation.

]]> Automatismes — Q24 : Calculer une moyenne pondérée Dans une série statistique, la valeur 8 apparaît 3 fois,
la valeur 10 apparaît 5 fois, la valeur 12 apparaît
8 fois et la valeur 15 apparaît 4 fois. Quelle est la
moyenne de cette série ?

]]> Moyenne pondérée : \bar{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots}{n_1 +
n_2 + \dots}, somme des produits valeur × effectif divisée
par l'effectif total.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 57{,}5

]]> Erreur : la somme pondérée 230 se divise par l'effectif total
20, pas par le nombre de valeurs différentes.

]]> 12

]]> Erreur : 12 est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas
la moyenne.

]]> 11{,}5

]]> Bonne réponse : la somme des valeurs est 230 pour un effectif
total de 20, et \dfrac{230}{20} = 11{,}5.

]]> 11{,}25

]]> Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte
de leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle
apparaît.

]]> Automatismes — Q25 : Déterminer une médiane Quelle est la médiane de la série
12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 20 ; 11 ; 8 ; 14 ?

]]> Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre
croissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux
valeurs centrales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la
série triée en deux moitiés de même effectif.

]]> 14{,}5

]]> Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la
série. La médiane se lit toujours sur la série triée.

]]> 11

]]> Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale
unique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs.

]]> 11{,}5

]]> Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient
7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des
quatrième et cinquième valeurs, 11 et 12.

]]> Automatismes — Q26 : Comparer deux écarts-types Deux classes ont obtenu la même moyenne, 11, à un devoir.
L'écart-type des notes vaut 2{,}1 dans la classe A et 4{,}5
dans la classe B. Que peut-on en conclure ?

]]> Moyenne et médiane sont des indicateurs de position ; écart-type et
écart interquartile sont des indicateurs de dispersion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La meilleure note est forcément dans la classe A

]]> Erreur : une dispersion plus grande rend au contraire plus
probables des notes éloignées de 11, dans les deux sens.

]]> Les notes de la classe A sont plus regroupées autour de la
moyenne

]]> Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion des valeurs
autour de la moyenne ; plus il est faible, plus les notes sont
resserrées.

]]> La classe B a mieux réussi, car son écart-type est plus grand

]]> Erreur : l'écart-type n'indique pas le niveau. Les moyennes sont
égales ; seule la dispersion diffère.

]]> Les deux classes ont les mêmes notes, car leurs moyennes sont
égales

]]> Erreur : une même moyenne peut cacher des répartitions très
différentes, comme le montrent les écarts-types.

]]> Automatismes — Q27 : Comparer deux boîtes à moustaches [Figure : Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Lycée A :
minimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile
14, maximum 18. Lycée B : minimum 2, premier quartile 7, médiane
10, troisième quartile 16, maximum 20.]

Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les temps de trajet,
en minutes, des élèves de deux lycées A et B. Quelle affirmation
est vraie ?

]]> Une boîte à moustaches se lit avec ses cinq valeurs : minimum,
Q₁, médiane, Q₃, maximum. Chaque partie contient environ un
quart des valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux lycées ont le même écart interquartile

]]> Erreur : 14 - 9 = 5 pour A et 16 - 7 = 9 pour B ; les temps
de B sont plus dispersés.

]]> Au moins trois quarts des élèves de B mettent plus de 10
minutes

]]> Erreur : 10 est la médiane de B ; seule la moitié des élèves
environ dépasse cette durée.

]]> La médiane des temps est plus grande pour le lycée B

]]> Erreur : la médiane de B vaut 10, celle de A vaut 12.

]]> Au moins la moitié des élèves de A mettent 12 minutes ou plus

]]> Bonne réponse : la médiane de A vaut 12, donc au moins
50\ % des temps de A sont supérieurs ou égaux à 12.

]]> Automatismes — Q28 : Passer d'un diagramme en barres à une fréquence [Figure : Diagramme en barres. Nombre de frères et sœurs en abscisse,
effectif en ordonnée : 0 pour 5 élèves, 1 pour 9 élèves, 2 pour
7 élèves, 3 pour 3 élèves, 4 pour 1 élève.]

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
25 élèves d'une classe. Quelle est la fréquence des élèves qui
ont au moins deux frères et sœurs ?

]]> Fréquence = effectif de la catégorie ÷ effectif total. On lit
chaque effectif en haut de sa barre, sur l'axe vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 64\ %

]]> Erreur : 9 + 7/25 compte les élèves qui ont un ou deux
frères et sœurs, pas ceux qui en ont au moins deux.

]]> 28\ %

]]> Erreur : 7/25 ne compte que les élèves qui ont
exactement deux frères et sœurs. « Au moins deux » inclut aussi
3 et 4.

]]> 44\ %

]]> Bonne réponse : 7 + 3 + 1 = 11 élèves ont au moins deux
frères et sœurs, et \dfrac{11}{25} = 0{,}44.

]]> 11\ %

]]> Erreur : 11 est un effectif. La fréquence le rapporte à
l'effectif total, 25.

]]> Automatismes — Q29 : D'un angle à un pourcentage Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves
qui viennent à vélo mesure 72^∘. Quel pourcentage des élèves
viennent à vélo ?

]]> Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux
effectifs : 360^∘ correspondent à 100\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 72\ %

]]> Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,
100\ %, mesure 360^∘.

]]> 40\ %

]]> Erreur : on a rapporté l'angle à 180^∘, un demi-disque.
Le disque entier mesure 360^∘.

]]> 80\ %

]]> Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne
viennent pas à vélo.

]]> 20\ %

]]> Bonne réponse : le disque entier mesure 360^∘ et
\dfrac{72}{360} = 0{,}2.

]]> Automatismes — Q30 : Un taux d'évolution lu sur un graphique [Figure : Courbe d'évolution du prix d'un produit : 40 € en 2020, 50 € en
2021, 45 € en 2022, 60 € en 2023 et 55 € en 2024.]

Le graphique ci-dessous donne le prix moyen, en euros, d'un
produit de 2020 à 2024. Quel est le taux d'évolution de ce prix
entre 2021 et 2023 ?

]]> On lit d'abord les deux valeurs sur le graphique (année en
abscisse, prix en ordonnée), puis on calcule
V₁ - V₀/V₀.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +20\ %

]]> Bonne réponse : le prix passe de 50 à 60 euros, et
\dfrac{60 - 50}{50} = 0{,}2.

]]> +50\ %

]]> Erreur de lecture : c'est l'évolution entre 2020 et 2023, de
40 à 60 euros.

]]> +16{,}7\ \% environ

]]> Erreur de référence : on a divisé par le prix de 2023. Le taux
se calcule par rapport à la valeur de départ, celle de 2021.

]]> +10\ %

]]> Erreur : 10 euros est la variation absolue. Le taux la
rapporte au prix de 2021.

]]> Automatismes — Q31 : Choisir la bonne notation de probabilité On choisit un élève au hasard dans un lycée. On note S
l'événement « l'élève est sportif » et F l'événement « l'élève
est fumeur ». Comment se note la probabilité qu'un élève choisi
parmi les sportifs soit fumeur ?

]]> P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A » : on choisit
dans A et on regarde la part de B. P(A ∩ B) se calcule sur
la population entière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc P_{S}(F)

]]> Bonne réponse : on se restreint aux sportifs, donc on conditionne
par S et l'on cherche la probabilité de F.

]]> P(F)

]]> Erreur : P(F) se calcule sur tout le lycée. Ici, le choix
se fait seulement parmi les sportifs.

]]> P_{F}(S)

]]> Erreur : les rôles sont inversés. L'événement écrit en indice
est celui qui définit la population où l'on choisit.

]]> P(S ∩ F)

]]> Erreur : P(S ∩ F) est la probabilité qu'un élève choisi
dans tout le lycée soit à la fois sportif et fumeur.

]]> Automatismes — Q32 : Une probabilité conditionnelle d'effectifs Lors d'une épidémie, on observe 500 personnes. Parmi les
personnes vaccinées, 30 sont tombées malades et 270 non ;
parmi les non vaccinées, 60 sont tombées malades et 140 non.
On choisit une personne au hasard ; M est l'événement « elle est
tombée malade » et V l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut
P_{\overline{V}}(M) ?

]]> P_{\overline{V}}(M) = \dfrac{\text{effectif de } \overline{V} \cap
M}{\text{effectif de } \overline{V}} : on se restreint à la ligne
des non vaccinés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅔

]]> Erreur : 60/90 vaut P_M(V̄), la part
de non vaccinés parmi les malades.

]]> 3/25

]]> Erreur : 60/500 vaut P(V̄ ∩ M) ; on a
divisé par l'effectif total au lieu du nombre de non
vaccinés.

]]> ⅖

]]> Erreur : 200/500 est la probabilité qu'une personne
ne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade.

]]> 3/10

]]> Bonne réponse : il y a 200 personnes non vaccinées, dont
60 malades, et 60/200 = 3/10.

]]>