$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Modélisation quadratiqueFonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de
symétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant
f(x) = c), sommet, tableau de variations, racines et signe
d'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au
programme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).]]>Modélisation quadratique — Q01 : Orientation d'une paraboleLa courbe de la fonction f(x) = -2x² + 3x + 1 est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?]]>Allure de la parabole y = ax² + bx + c : a > 0 tournée
vers le haut (sommet minimum), a < 0 tournée vers le bas
(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle
quadratique.]]>1.00.00truetrueabcVers le bas, car le coefficient de x² est négatif]]>Bonne réponse : le signe du coefficient de x² commande
l'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au
plus haut.]]>Vers le haut, car 3 et 1 sont positifs]]>Erreur : seuls le coefficient de x² décide de
l'orientation ; les autres termes déplacent la parabole
sans la retourner.]]>Vers le bas, car la courbe passe par 1 en x = 0]]>La conclusion est bonne mais l'argument non :
l'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit
rien de son orientation.]]>On ne peut pas savoir sans tracer]]>Erreur : le signe de -2 suffit : parabole tournée vers
le bas, sans aucun tracé.]]>Modélisation quadratique — Q02 : Racines lues sur la parabole[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et
x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.]
La parabole \mathcal{P} ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?
]]>Racines = abscisses des intersections avec l'axe des
abscisses (là où f(x) = 0). Ici -1 et 3 : la fonction
s'écrit d'ailleurs f(x) = -(x + 1)(x - 3).]]>1.00.00truetrueabc1 et 4]]>Erreur : (1 ; 4) sont les coordonnées du sommet.
Les racines se lisent sur l'axe horizontal.]]>0 et 3]]>Erreur : en x = 0 la parabole vaut 3 (elle coupe
l'axe des ordonnées) : 0 n'est pas une racine.]]>-1 et 3]]>Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points
où la parabole coupe l'axe des abscisses.]]>3 seulement]]>Incomplet : la parabole traverse l'axe deux fois,
aussi en x = -1, à gauche de l'origine.]]>Modélisation quadratique — Q03 : Axe de symétrie[Figure : Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de
sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et
x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.]
Pour la même parabole (racines -1 et 3, sommet en
hauteur 4), quel est l'axe de symétrie ?
]]>L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout
couple de points de même hauteur : méthode f(x) = c du
programme) : x = -1+3/2 = 1. Le sommet est dessus.]]>1.00.00truetrueabcLa droite x = 2]]>Erreur : 2 n'est pas le milieu de -1 et 3
(-1+3/2 = 1). Attention au signe de la racine
négative.]]>La droite y = 4]]>Erreur : y = 4 est une droite horizontale, or l'axe de
symétrie d'une parabole est vertical (4 est la
hauteur du sommet, pas un axe).]]>L'axe des ordonnées]]>Erreur : l'axe des ordonnées (x = 0) ne partage pas la
parabole en deux moitiés symétriques ici (racines -1
et 3 non symétriques par rapport à 0).]]>La droite x = 1]]>Bonne réponse : l'axe est vertical et passe au milieu des racines, -1 + 3/2 = 1, ainsi
que par le sommet.]]>Modélisation quadratique — Q04 : Sommet sans formuleUne fonction polynôme de degré 2 a pour racines 2 et 8,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?]]>Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu
des racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici
x = 5 : les paraboles se dominent par symétrie, pas par
formules.]]>1.00.00truetrueabcEn x = 2, la première racine]]>Erreur : aux racines, la fonction vaut 0 ; entre elles,
elle descend jusqu'au creux, atteint au milieu 5.]]>En x = 5, milieu des racines]]>Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à
mi-chemin des racines : 2 + 8/2 = 5. Aucune
formule à mémoriser : la symétrie suffit.]]>Impossible à dire sans l'expression de f]]>Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la symétrie
de la parabole place le sommet au milieu des racines.]]>En x = 6, car 8 - 2 = 6]]>Erreur : 6 est l'écart entre les racines. Le
sommet est à leur milieu : 2+8/2 = 5.]]>Modélisation quadratique — Q05 : Racines d'une forme factoriséeSoit f(x) = 2(x - 1)(x - 5). Quelles sont les racines de
f ?]]>Forme factorisée a(x - x₁)(x - x₂) : les racines x₁
et x₂ se lisent directement (produit nul). Ici 1 et
5.]]>1.00.00truetrueabc1 et -5]]>Erreur sur la seconde : x - 5 = 0 ⇒ x = +5.]]>-1 et -5]]>Erreur de signe : x - 1 = 0 donne x = +1. Les
racines sont les valeurs qui annulent les facteurs.]]>2, 1 et 5]]>Erreur : le facteur constant 2 ne s'annule jamais, il
ne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la
parabole).]]>1 et 5]]>Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est
nul : x - 1 = 0 ou x - 5 = 0.]]>Modélisation quadratique — Q06 : Signe d'une forme factoriséeToujours avec f(x) = 2(x - 1)(x - 5), sur quel intervalle
f(x) est-il strictement négatif ?]]>Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de a à
l'extérieur des racines, du signe contraire entre
elles. Ici : négatif sur ]1 ; 5[.]]>1.00.00truetrueabcNulle part, car 2 > 0]]>Erreur : le facteur 2 positif n'empêche pas le produit
(x-1)(x-5) d'être négatif entre les racines.]]>Sur ]5 ; +∞[]]>Erreur : après 5, les deux facteurs sont positifs :
produit positif.]]>Sur ]-∞ ; 1[]]>Erreur : avant 1, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif.]]>Sur ]1 ; 5[]]>Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs
sont de signes contraires : produit négatif (le
coefficient 2 > 0 ne change rien au signe).]]>Modélisation quadratique — Q07 : Associer expression et courbeQuelle est l'allure de la courbe de f(x) = x² + 3 ?]]>Formes de référence (capacité attendue) : x ↦ ax²
(sommet à l'origine), x ↦ ax² + c (sommet
(0 ; c)), x ↦ a(x - x₁)(x - x₂) (racines
lisibles). Ici : sommet (0 ; 3), pas de racine.]]>1.00.00truetrueabcUne parabole de sommet (3 ; 0)]]>Erreur : le +3 agit sur les ordonnées (décalage
vertical), pas sur les abscisses. Sommet (0 ; 3).]]>Une parabole coupant l'axe des abscisses en -3 et 3]]>Erreur : x² + 3 ≥ 3 > 0 pour tout x : cette
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses (aucune
racine).]]>Une droite de pente 3 passant par l'origine]]>Erreur : le terme x² impose une courbe parabolique,
pas une droite.]]>Une parabole de sommet (0 ; 3)]]>Bonne réponse : une parabole tournée vers le haut, dont
le sommet est sur l'axe des ordonnées. C'est la parabole
de x² translatée de 3 vers le haut : sommet
(0 ; 3), axe de symétrie x = 0.]]>Modélisation quadratique — Q08 : Trajectoire paraboliqueLa hauteur d'un ballon est modélisée par h(t) = -5t² + 10t (h en mètres, t en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?]]>Modèle physique type : h(t) = -5t(t - 2), racines 0 et
2 (décollage et retour au sol), sommet au milieu
(t = 1, h = 5 m). La parabole capture la montée puis la
chute.]]>1.00.00truetrueabcÀ t = 1 s, hauteur 10 m]]>Erreur de hauteur : h(1) = 5 m (10 est le
coefficient, pas la hauteur maximale).]]>À t = 2 s, hauteur 10 m]]>Erreur : à t = 2 le ballon retombe au sol
(h(2) = 0) : c'est la seconde racine, pas le sommet.]]>La hauteur augmente sans fin]]>Erreur : le coefficient -5 < 0 tourne la parabole vers
le bas : montée puis descente, avec un maximum au
sommet.]]>À t = 1 s, hauteur 5 m]]>Bonne réponse : h(t) = -5t(t - 2) s'annule en 0 et
2 : sommet au milieu, t = 1, et h(1) = 5 m.]]>Modélisation quadratique — Q09 : Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$Soit f(x) = x² - 6x + 2. En résolvant f(x) = 2, on
trouve x = 0 ou x = 6. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?]]>Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :
résoudre f(x) = c pour un c commode (ici c = 2, le
terme constant : x² - 6x = 0 se factorise en x(x-6)),
puis prendre le milieu des solutions : axe x = 3,
sommet (3 ; f(3)) = (3 ; -7).]]>1.00.00truetrueabcC'est la droite x = 3]]>Bonne réponse : 0 et 6 ont la même image, ils sont
symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc au
milieu, en x = 0 + 6/2 = 3 (méthode du
programme, sans formule).]]>C'est la droite y = 2]]>Erreur : y = 2 est la droite horizontale utilisée
pour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est
vertical.]]>On ne peut rien en déduire]]>Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux
antécédents d'une même valeur encadrent symétriquement
l'axe.]]>C'est la droite x = 6]]>Erreur : 6 est l'un des deux antécédents ; l'axe
passe à mi-chemin entre les deux : x = 3.]]>Modélisation quadratique — Q10 : Tableau de variationsUne fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de x² négatif et son sommet en x = 2. Quel est son tableau
de variations ?]]>Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et
d'autre du sommet. a < 0 : croissante puis décroissante
(maximum au sommet) ; a > 0 : l'inverse (minimum).]]>1.00.00truetrueabcCroissante sur ]-∞ ; 2], décroissante sur
[2 ; +∞[]]>Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la
fonction monte jusqu'au sommet (x = 2), qui est son maximum, puis redescend.]]>Croissante sur tout ℝ]]>Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur
ℝ : la parabole change toujours de sens à son
sommet.]]>Décroissante puis croissante]]>Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond
à un coefficient positif (sommet minimum).]]>Décroissante sur ]-∞ ; 2], car le coefficient
est négatif]]>Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet en haut : avant lui, la fonction monte.]]>Modélisation quadratique — Q11 : Chiffre d'affaires et prixLe chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
p est modélisé par R(p) = p (100 - 2p) (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?]]>Modèle économique du programme : R(p) = p(100 - 2p), nul
en 0 et 50, maximal au milieu p = 25. La parabole
exprime le compromis prix-volume.]]>1.00.00truetrueabcLe plus cher possible]]>Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le
facteur 100 - 2p chute) : le modèle quadratique capture
ce compromis, avec un optimum intermédiaire.]]>p = 100 euros]]>Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :
hors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des
racines 0 et 50.]]>p = 25 euros]]>Bonne réponse : R s'annule en p = 0 et p = 50
(racines de la forme factorisée) : le maximum est au
milieu, p = 25, avec R(25) = 25 × 50 = 1250
euros.]]>p = 50 euros]]>Erreur : à 50 euros, plus personne n'achète
(100 - 2 × 50 = 0) : chiffre d'affaires nul.
C'est une racine, pas le sommet.]]>Modélisation quadratique — Q12 : Quand choisir un modèle quadratique ?Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?]]>Choisir le modèle d'après le comportement : constant →
constante ; accroissement fixe → affine ; taux fixe
→ exponentiel ; montée puis descente →
quadratique. C'est la carte mentale du programme.]]>1.00.00truetrueabcUne grandeur constante au fil du temps]]>Erreur : une constante se modélise… par une constante.
Le degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent.]]>Une grandeur qui double à intervalles réguliers]]>Erreur : doublement répété = croissance exponentielle (suite géométrique, fonction
aˣ).]]>Une grandeur qui croît puis décroît]]>Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la non-monotonie, avec un maximum ou un minimum : un
sommet unique entre une montée et une descente (ou
l'inverse) : trajectoire, chiffre d'affaires, population
sur un temps court.]]>Une grandeur qui augmente du même montant chaque année]]>Erreur : accroissement constant = modèle linéaire
(affine, suite arithmétique).]]>Modélisation quadratique — Q13 : Ordonnée à l'origine d'une forme factoriséeSoit f(x) = (x - 1)(x - 5). Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?]]>Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer f(0)
(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les
racines (ici 1 et 5). Deux axes, deux questions
distinctes.]]>1.00.00truetrueabcEn y = -5]]>Signe : (-1) × (-5) = +5 : le produit de deux
négatifs est positif.]]>En y = 5]]>Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à x = 0
: on évalue f(0) = (-1)(-5) = 5, produit des deux
parenthèses, positif.]]>En y = 0]]>Erreur : f(0) = 5 ≠ 0 : la parabole ne passe pas
par l'origine.]]>En y = 1 et y = 5]]>Confusion d'axes : 1 et 5 sont les racines, sur
l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un
seul point, f(0).]]>Modélisation quadratique — Q14 : Sommet au milieu des racinesLa parabole f(x) = (x - 1)(x - 5) a pour racines 1 et
5. Quelle est l'abscisse de son sommet ?]]>L'axe de symétrie passe au milieu des racines : x_S = x₁ + x₂/2 : la voie la plus rapide vers le sommet
quand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet
s'obtient ensuite : f(3) = -4).]]>1.00.00truetrueabc3 : le milieu des racines]]>Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à
mi-chemin des racines : 1 + 5/2 = 3.]]>5]]>Erreur : 5 est une racine (f(5) = 0) : le sommet est
entre les deux racines, pas dessus.]]>4 : la moyenne pondérée vers la grande racine]]>Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le
sommet est au milieu exact : 3.]]>6 : la somme des racines]]>Division oubliée : le milieu est la demi-somme :
6/2 = 3.]]>Modélisation quadratique — Q15 : Signe avec parabole renverséeSoit f(x) = -(x - 2)(x - 6). Sur quel intervalle f
est-elle positive ?]]>Entre 2 et 6, les facteurs x - 2 et x - 6 sont de
signes contraires : leur produit est négatif, et son opposé
positif. Hors de cet intervalle, c'est l'inverse. Toujours
tester une valeur pour confirmer.]]>1.00.00truetrueabcSur [2\ ;\ 6] : entre les racines]]>Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole
(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe
entre ses racines : positive sur [2\ ;\ 6].]]>Nulle part : le signe moins rend tout négatif]]>Erreur : testez x = 4 : -(2)(-2) = +4 > 0 : le
moins retourne la parabole sans l'enterrer.]]>Partout]]>Erreur : au-delà des racines (x = 0 : -(-2)(-6) = -12), la fonction plonge : positive seulement entre 2
et 6.]]>À l'extérieur des racines]]>Valable pour a > 0 : ici le coefficient est négatif :
les positions s'inversent : positive ENTRE les racines.]]>Modélisation quadratique — Q16 : Les solutions de $f(x) = c$ par symétrieUne parabole a son axe de symétrie en x = 3. L'équation
f(x) = c admet une solution x = 1. Quelle est l'autre ?]]>Méthode f(x) = c : les solutions vont par paires
symétriques autour de l'axe, et leur milieu est sur l'axe
(ici 1 + (5)/2 = 3).]]>1.00.00truetrueabcx = -1]]>Symétrie par rapport à 0 : la parabole se reflète
autour de x = 3, pas autour de l'axe des ordonnées.]]>x = 3]]>Erreur : 3 est l'axe lui-même : les solutions
l'encadrent (sauf si c est la valeur du sommet, cas
d'une solution unique).]]>Il n'y en a pas d'autre]]>Erreur : 1 ≠ 3 n'est pas sur l'axe : son reflet
5 donne la même image : deuxième solution garantie.]]>x = 5]]>Bonne réponse : les deux solutions de f(x) = c se font
face autour de l'axe : 1 est à distance 2 de l'axe
x = 3, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le
symétrique de 1 par rapport à 3.]]>Modélisation quadratique — Q17 : L'enclos d'aire maximaleAvec 20 mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure x : l'aire vaut A(x) = x(10 - x). Quelle
valeur de x maximise l'aire ?]]>Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du
produit (0 et 10), sommet au milieu (5). À périmètre
fixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir
comme point de contrôle.]]>1.00.00truetrueabcAucune, l'aire grandit avec x]]>Erreur : le produit x(10 - x) monte puis redescend
(parabole renversée) : le pic est en x = 5.]]>x = 20]]>Erreur : 20 est le grillage TOTAL : le demi-périmètre
vaut 10, et x ne peut pas le dépasser.]]>x = 5]]>Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu
des racines 0 et 10. A s'annule en 0 et 10, le
maximum est en x = 5 (un carré de 25 m²) : la
symétrie fait tout le travail.]]>x = 10]]>Erreur : prendre le côté le plus long possible donne
A(10) = 10 × 0 = 0, un rectangle écrasé :
maximiser un côté tue l'autre.]]>Modélisation quadratique — Q18 : La balle retombeLa hauteur d'une balle est modélisée par h(t) = -5t² + 10t (en mètres, t en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?]]>Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines
(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois
informations physiques lues sur une seule factorisation :
le modèle quadratique en action.]]>1.00.00truetrueabcElle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine]]>Erreur : h(2) = -20 + 20 = 0 : le modèle prévoit la
retombée à 2 secondes.]]>Au sol à t = 10 s ; hauteur maximale 10 m]]>Erreur : factoriser donne -5t(t - 2) : la deuxième
racine est 2, pas 10 (et h(1) = 5, pas 10).]]>Au sol à t = 2 s ; hauteur maximale 5 m à t = 1 s]]>Bonne réponse : h(t) = -5t(t - 2) : racines 0
(départ) et 2 (retombée) ; sommet au milieu t = 1 :
h(1) = 5 m.]]>Au sol à t = 2 s ; hauteur maximale 10 m à t = 1 s]]>Valeur du sommet fausse : h(1) = -5 + 10 = 5 m (le
coefficient -5 écrase la moitié du 10t).]]>Modélisation quadratique — Q19 : Sommet d'une parabole d'expression $ax^2 + c$Une fonction est définie par f(x) = -2x² + 8. Quelles sont
les coordonnées du sommet de sa parabole ?]]>La parabole de x ↦ ax² + c est celle de x ↦ ax²
décalée verticalement de c : son axe de symétrie est l'axe des
ordonnées et son sommet a pour coordonnées (0 ; c).]]>1.00.00truetrueabc(8 ; 0)]]>Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est 0, et
l'ordonnée est la constante 8.]]>(0 ; 8)]]>Bonne réponse : -2x² ≤ 0, donc f(x) ≤ 8, avec
égalité pour x = 0 : le sommet est le point le plus haut,
sur l'axe des ordonnées.]]>(0 ; -2)]]>Coefficient pris pour l'ordonnée : -2 indique seulement
que la parabole est tournée vers le bas.]]>(2 ; 0)]]>Racine confondue avec le sommet : f(2) = 0, mais la
parabole monte jusqu'à f(0) = 8.]]>Modélisation quadratique — Q20 : Deux nombres de même imageUne parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation x = 4, et
l'on sait que f(1) = 9. Que vaut f(7) ?]]>Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même
image. Ici, 1 et 7 sont tous deux à distance 3 de 4.]]>1.00.00truetrueabc-9]]>La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,
pas opposées.]]>4]]>Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image.]]>7]]>Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en
ordonnée.]]>9]]>Bonne réponse : 1 et 7 sont symétriques par rapport à 4, ils ont
donc la même image.]]>Modélisation quadratique — Q21 : Combien de solutionsUne parabole tournée vers le haut a pour sommet le point
(2 ; 3). Combien l'équation f(x) = 1 a-t-elle de solutions ?]]>Le nombre de solutions de f(x) = c se lit en comparant c à l'ordonnée
du sommet : aucune en dessous, une seule à la hauteur du sommet, deux
au-dessus pour une parabole tournée vers le haut.]]>1.00.00truetrueabcUne seule]]>Une unique solution correspondrait à la hauteur du sommet, soit
f(x) = 3.]]>Aucune]]>Bonne réponse : la plus petite valeur de f vaut 3, donc f(x) ne
descend jamais jusqu'à 1.]]>Une infinité]]>Une parabole rencontre une droite horizontale en deux points au plus.]]>Deux]]>Deux solutions apparaissent pour les valeurs supérieures à 3, par
symétrie de part et d'autre de l'axe.]]>Modélisation quadratique — Q22 : De la forme factorisée à la forme développéeQuelle est la forme développée de f(x) = (x - 1)(x + 5) ?]]>Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne
une expression de la forme ax² + bx + c. La forme factorisée reste la
plus commode pour lire les racines et le signe.]]>1.00.00truetrueabcx² + 5x - 5]]>Produit croisé oublié : le terme -x doit être ajouté à 5x.]]>x² - 4x - 5]]>Signe du terme en x : les produits croisés donnent 5x et -x,
dont la somme vaut 4x.]]>x² + 4x - 5]]>Bonne réponse : x² + 5x - x - 5 se réduit en x² + 4x - 5.]]>x² + 4x + 5]]>Signe du terme constant : (-1) × (5) = -5.]]>Modélisation quadratique — Q23 : Le maximum d'un chiffre d'affairesLe chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par
C(p) = -2p² + 40p, où p est le prix unitaire.
Pour quel prix est-il maximal ?]]>Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La
forme factorisée -2p(p - 20) les donne immédiatement.]]>1.00.00truetrueabc40 euros]]>Coefficient recopié : pour p = 40, le modèle donne un chiffre
d'affaires négatif.]]>10 euros]]>Bonne réponse : les racines de C sont 0 et 20, et le sommet se
situe à leur milieu.]]>20 euros]]>C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires
retombe à zéro.]]>200 euros]]>C'est la valeur du maximum, soit C(10) = 200 euros, pas le prix qui
le réalise.]]>Modélisation quadratique — Q24 : Signe d'une fonction de degré 2 sans racineUne parabole tournée vers le haut ne coupe pas l'axe des abscisses.
Quel est le signe de la fonction correspondante ?]]>Une parabole sans racine reste entièrement d'un même côté de l'axe des
abscisses, du côté indiqué par son orientation.]]>1.00.00truetrueabcSon signe dépend du coefficient constant]]>Ce coefficient donne l'ordonnée à l'origine, il ne décide pas du signe
sur tout l'ensemble de définition.]]>Elle est strictement positive partout]]>Bonne réponse : ne jamais couper l'axe et rester au-dessus de son
sommet, qui est lui-même au-dessus de l'axe.]]>Elle change de signe une fois]]>Un changement de signe imposerait de traverser l'axe, donc d'avoir une
racine.]]>Elle est strictement négative partout]]>Une parabole tournée vers le haut prend de grandes valeurs positives
loin de son sommet.]]>Modélisation quadratique — Q25 : Le rôle du coefficient dominantQue change le coefficient a dans l'écriture f(x) = ax² + bx + c,
lorsqu'il passe de 1 à 3 ?]]>Le signe de a donne l'orientation de la parabole et sa valeur absolue
l'ouverture : plus elle est grande, plus la courbe est resserrée autour de
son axe.]]>1.00.00truetrueabcLa parabole se déplace vers la droite]]>Un déplacement horizontal viendrait d'un changement de b, pas du
coefficient dominant seul.]]>La parabole devient plus resserrée]]>Bonne réponse : à distance égale du sommet, les ordonnées sont trois
fois plus grandes, donc la courbe monte plus vite.]]>La parabole garde exactement la même forme]]>L'ouverture change : pour x à une unité du sommet, l'écart
d'ordonnée passe de 1 à 3.]]>La parabole se retourne]]>Le retournement demanderait un changement de signe, or 1 et 3 sont
tous deux positifs.]]>Modélisation quadratique — Q26 : Trouver l'axe sans formuleUne fonction du second degré vérifie f(2) = f(8).
Quelle est l'équation de son axe de symétrie ?]]>Repérer deux nombres de même image suffit à localiser l'axe de symétrie,
sans aucune formule : il passe par leur milieu.]]>1.00.00truetrueabcx = 4]]>Quotient au lieu du milieu : 8/2 ne tient pas compte du
nombre 2.]]>x = 5]]>Bonne réponse : deux nombres de même image sont symétriques par
rapport à l'axe, qui passe par leur milieu.]]>x = 10]]>Somme non divisée : le milieu de 2 et 8 vaut
2 + 8/2 = 5.]]>x = 6]]>Différence au lieu du milieu : 8 - 2 = 6 mesure l'écart entre les
deux nombres.]]>Modélisation quadratique — Q27 : Somme des racines et sommetUne parabole coupe l'axe des abscisses en -3 et en 7.
Quelle est l'abscisse de son sommet ?]]>Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son
sommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par
rapport à cet axe.]]>1.00.00truetrueabc-21]]>Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la
position du sommet.]]>2]]>Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit
-3 + 7/2.]]>4]]>Somme non divisée : -3 + 7 = 4 doit encore être partagé en deux.]]>5]]>Racines soustraites : 7 - (-3)/2 donne la demi-distance
entre elles, pas leur milieu.]]>Modélisation quadratique — Q28 : Quand une trajectoire retombeLa hauteur d'un projectile est donnée par h(t) = -5t² + 20t, en
mètres, avec t en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?]]>Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression
et l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer.]]>1.00.00truetrueabcÀ t = 4 s]]>Bonne réponse : -5t(t - 4) = 0 donne t = 0 au lancer et t = 4 au
retour au sol.]]>À t = 20 s]]>Coefficient recopié : pour t = 20, le modèle donne une hauteur très
négative, donc sans signification.]]>À t = 5 s]]>Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants 0
et 4.]]>À t = 2 s]]>C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut 20
mètres.]]>Modélisation quadratique — Q29 : Où la parabole coupe l'axe des ordonnéesQuelle est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole
d'équation y = 3x² - 4x + 7 avec l'axe des ordonnées ?]]>L'ordonnée à l'origine d'une parabole est la valeur de la fonction en
0, c'est-à-dire le terme constant de son écriture développée.]]>1.00.00truetrueabc7]]>Bonne réponse : pour x = 0, les deux premiers termes s'annulent et
il reste le terme constant.]]>3]]>Coefficient dominant recopié : il décide de l'orientation, pas de
l'ordonnée à l'origine.]]>-4]]>Coefficient du terme en x : il intervient dans la position du
sommet, pas ici.]]>0]]>Ce serait l'ordonnée si le terme constant était nul, donc si la
parabole passait par l'origine.]]>Modélisation quadratique — Q30 : Résoudre une inéquation avec une paraboleUne parabole tournée vers le haut a pour racines 1 et 6.
Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) < 0 ?]]>Une parabole tournée vers le haut passe au-dessus de l'axe des abscisses
à l'extérieur de ses racines et au-dessous entre elles. La fonction est
donc strictement négative pour x strictement compris entre 1 et 6.]]>1.00.00truetrueabcPour x hors de [1 ; 6]]]>C'est là que la fonction est positive : la parabole remonte de part et
d'autre de ses racines.]]>Pour x dans [1 ; 6]]]>Bornes incluses à tort : en 1 et en 6, la fonction s'annule, elle
n'est pas strictement négative.]]>Pour aucune valeur de x]]>La présence de deux racines distinctes impose un passage sous l'axe
entre elles.]]>Pour x dans ]1 ; 6[]]>Bonne réponse : entre les racines, la courbe passe sous l'axe des
abscisses.]]>Modélisation quadratique — Q31 : Du tableau de variations au coefficientLe tableau de variations d'une fonction polynôme de degré 2 indique
qu'elle croît jusqu'à x = 3, puis qu'elle décroît. Que peut-on en
déduire sur le coefficient de x² ?]]>L'orientation de la parabole se lit indifféremment sur le signe du
coefficient de x² ou sur la forme du tableau de variations : montée
puis descente signifie coefficient négatif.]]>1.00.00truetrueabcIl est nul, car la fonction change de sens]]>Un coefficient nul ferait disparaître le terme en x² : la
fonction serait affine et ne changerait jamais de sens.]]>Il est négatif, car le sommet est un maximum]]>Bonne réponse : monter puis descendre place le sommet en haut, ce
qui correspond à une parabole tournée vers le bas.]]>Il vaut 3, abscisse du sommet de la parabole]]>Le nombre 3 situe le sommet sur l'axe horizontal : il ne dit rien
du coefficient de x².]]>Il est positif, car la fonction commence par croître]]>Un coefficient positif donne une parabole tournée vers le haut,
donc une fonction qui descend d'abord, puis remonte.]]>Modélisation quadratique — Q32 : L'expression qui va avec la courbeQuelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui
coupe l'axe des abscisses en -2 et en 3 ?]]>Dans l'écriture a(x - x₁)(x - x₂), les racines se lisent dans les
parenthèses avec le signe opposé, et le signe de a donne
l'orientation de la parabole.]]>1.00.00truetrueabcf(x) = -(x + 2)(x - 3)]]>Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et
chaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées.]]>f(x) = (x + 2)(x - 3)]]>Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe
moins le coefficient de x² est positif et la parabole monte.]]>f(x) = -(x + 2)(x + 3)]]>Une racine sur deux : le facteur x + 3 s'annule en
-3, alors que la courbe doit couper l'axe en 3.]]>f(x) = -(x - 2)(x + 3)]]>Signes des racines inversés : le facteur x - 2 s'annule pour
x = 2, et non pour x = -2.]]>Modélisation quadratique — Q33 : Un relevé qui monte puis descendUne grandeur prend les valeurs 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24
et 21 aux instants 0, 1, 2, ..., 7. Quel modèle convient ?]]>Le modèle quadratique est le premier à envisager devant une grandeur
qui atteint un maximum ou un minimum, puis repart en sens inverse de
façon symétrique.]]>1.00.00truetrueabcAucun modèle simple, car les valeurs ne sont pas régulières]]>Ce relevé est au contraire très régulier : il est symétrique
autour de l'instant 5, où la valeur est maximale.]]>Un modèle exponentiel, car la croissance ralentit nettement]]>Une croissance exponentielle ne s'inverse jamais : elle multiplie
les valeurs par un même facteur à chaque instant.]]>Un modèle linéaire, car les écarts successifs restent réguliers]]>Les écarts valent 9, 7, 5, 3, 1, puis -1 : ils
diminuent au lieu de rester constants.]]>Un modèle quadratique, avec une montée puis une descente]]>Bonne réponse : une seule montée suivie d'une seule descente, avec
un sommet, est la signature d'une fonction polynôme de degré 2.]]>Modélisation quadratique — Q34 : La parabole la plus ouverteTrois paraboles ont pour équations y = 0{,}5x^2, y = 2x² et
y = 5x². Laquelle est la plus ouverte, c'est-à-dire la plus large ?]]>Pour une équation y = ax², le sommet reste à l'origine et seule la
valeur absolue de a agit : plus elle est grande, plus la parabole est
resserrée autour de son axe.]]>1.00.00truetrueabcCelle de y = 2x², au coefficient intermédiaire]]>Cette parabole est plus ouverte que celle de y = 5x², mais plus
resserrée que celle de y = 0{,}5x^2.]]>Celle de y = 5x², au coefficient le plus grand]]>Un grand coefficient fait monter la courbe très vite : la parabole
est au contraire resserrée autour de son axe.]]>Les trois ont la même ouverture, seul le sommet change]]>Les trois ont le même sommet, l'origine du repère : c'est
justement leur ouverture qui les distingue.]]>Celle de y = 0{,}5x^2, au coefficient le plus petit]]>Bonne réponse : pour x = 2, les ordonnées valent 2, 8 et
20. La plus petite fait monter la courbe le plus lentement, donc
l'ouvre le plus.]]>Modélisation quadratique — Q35 : Reconnaître une écriture équivalenteParmi ces écritures, laquelle est égale à x² - 7x + 12 ?]]>Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une
expression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec
le signe opposé, et leur produit donne le terme constant.]]>1.00.00truetrueabc(x - 3)(x + 4)]]>Terme constant faux : le produit (-3) × 4 vaut
-12, alors que la constante cherchée vaut 12.]]>(x + 3)(x + 4)]]>Signe du terme en x : deux facteurs positifs donnent +7x,
alors que le terme cherché est négatif.]]>(x - 3)(x - 4)]]>Bonne réponse : le développement donne
x² - 4x - 3x + 12, soit x² - 7x + 12.]]>(x + 3)(x - 4)]]>Signes croisés : ce produit donne la constante -12 au lieu de
12, et le coefficient -1 au lieu de -7 pour le
terme en x.]]>Modélisation quadratique — Q36 : Les quantités qui rendent l'atelier bénéficiaireLe bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par
B(q) = -(q - 10)(q - 50), où q est le nombre d'articles
vendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?]]>Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur
des racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre
elles, il a le signe contraire.]]>1.00.00truetrueabcPour q supérieur ou égal à 50 articles]]>Au-delà de 50 articles, les deux facteurs sont positifs et le
signe moins rend le bénéfice négatif.]]>Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif]]>Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son
opposé est donc bien positif.]]>Pour q situé en dehors de [10 ; 50]]]>Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la
parabole étant tournée vers le bas.]]>Pour q strictement compris entre 10 et 50]]>Bonne réponse : le coefficient de q² est négatif, donc la
parabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple
B(30) est positif.]]>Modélisation quadratique — Q37 : L'instant de la hauteur maximaleUn projectile est lancé du sol et retombe au sol 8 secondes plus
tard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa
hauteur maximale ?]]>Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant
de temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des
deux instants où la hauteur est nulle.]]>1.00.00truetrueabcÀ 8 secondes, au moment où il touche le sol]]>À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non
son point le plus haut.]]>Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte]]>La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend
que des deux instants où le projectile est au sol.]]>À 2 secondes, au quart de la durée du vol]]>La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le
sommet est à la moitié du vol, pas au quart.]]>À 4 secondes, au milieu des deux instants au sol]]>Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les
racines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit
0 + 8/2 = 4.]]>Modélisation quadratique — Q38 : Le temps de chuteUn objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est
modélisée par h(t) = 45 - 5t², où t est le temps écoulé, en
secondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?]]>Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc
h(t) = 0, ce qui ramène à une équation de la forme t² = k dont on
retient la solution positive.]]>1.00.00truetrueabc9 secondes]]>Étape oubliée : 9 est la valeur de t², il reste à
chercher le nombre positif dont le carré vaut 9.]]>4{,}5 secondes]]>Le coefficient 5 multiplie t² et non t : partager la hauteur
en dix ne donne pas le temps de chute.]]>45 secondes]]>Grandeur recopiée : 45 est une hauteur exprimée en mètres, alors
que la question porte sur une durée.]]>3 secondes]]>Bonne réponse : l'objet touche le sol quand h(t) = 0, donc quand
5t² = 45, soit t² = 9 et t = 3, le temps étant
positif.]]>Modélisation quadratique — Q39 : Signe d'un produit à coefficient négatifSoit f la fonction définie sur ℝ par
f(x) = -3x(x - 4). Sur quel ensemble f est-elle strictement
négative ?]]>Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur
des racines, il est celui du coefficient de x² ; entre elles, il est
contraire.]]>1.00.00truetrueabcPour tout réel x, le coefficient -3 étant négatif]]>Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout
entière sous l'axe : f s'annule en 0 et en 4.]]>Pour aucun réel x, la courbe restant au-dessus de l'axe]]>Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses
racines, elle passe sous l'axe.]]>Pour x strictement compris entre 0 et 4]]>C'est l'intervalle où f est positive : par exemple
f(2) = 12.]]>Pour x < 0 et pour x > 4, hors des racines]]>Bonne réponse : les racines sont 0 et 4, et le coefficient de
x² vaut -3. La parabole est tournée vers le bas, donc elle
passe sous l'axe à l'extérieur des racines.]]>Modélisation quadratique — Q40 : Toutes les solutions d'une équationLe sommet de la parabole d'une fonction f polynôme de degré 2 a pour
abscisse 5, et l'on sait que f(2) = 11. Quelles sont toutes
les solutions de l'équation f(x) = 11 ?]]>Les solutions d'une équation f(x) = c se répartissent
symétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est
l'abscisse du sommet.]]>1.00.00truetrueabcx = 2 et x = 5]]>L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu
des deux solutions, qui l'encadrent.]]>x = 2 et x = 8]]>Bonne réponse : 2 est à une distance de 3 de l'axe de
symétrie, et son symétrique 8 a donc la même image.]]>x = 2 et x = -2]]>Symétrie prise par rapport à 0 : le reflet se calcule par rapport
à l'axe de la parabole, d'abscisse 5.]]>x = 2 uniquement]]>Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle
du sommet, ce qui n'est pas le cas ici.]]>Modélisation quadratique — Q41 : Un enclos adossé à un murUn enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage
n'en couvre que trois côtés. Avec 24 mètres de grillage, son aire
vaut A(x) = x(24 - 2x), où x est la longueur d'un côté
perpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?]]>L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de x : son
maximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le
mur change les proportions de l'enclos optimal.]]>1.00.00truetrueabc144 mètres carrés]]>Mur oublié : ce serait l'aire maximale de x(24 - x), mais deux
côtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur 2.]]>6 mètres carrés]]>Longueur prise pour une aire : 6 mètres est le côté qui rend
l'aire maximale, pas cette aire.]]>36 mètres carrés]]>Enclos supposé carré de côté 6 : le côté parallèle au mur
mesure ici 12 mètres, soit le double.]]>72 mètres carrés]]>Bonne réponse : A s'annule en 0 et en 12, donc son
maximum est atteint au milieu, en x = 6, et vaut
6 × 12 = 72.]]>Modélisation quadratique — Q42 : Racines avec un facteur négatifQuelles sont les racines de la fonction définie par
f(x) = -3(x + 2)(x - 7) ?]]>Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que
l'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le
coefficient placé devant n'en donne aucune.]]>1.00.00truetrueabc-2 et -7]]>Second signe inversé : le facteur x - 7 s'annule pour
x = 7, une valeur positive.]]>-3, -2 et 7]]>Le facteur constant -3 ne s'annule jamais : il règle
l'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine.]]>2 et 7]]>Signe oublié : le facteur x + 2 s'annule pour x = -2, et
non pour x = 2.]]>-2 et 7]]>Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et
x + 2 s'annule pour x = -2, tandis que x - 7 s'annule
pour x = 7.]]>Modélisation quadratique — Q43 : Signe d'une image entre les racinesUne parabole tournée vers le haut coupe l'axe des abscisses en -4 et
en 2. Quel est le signe de f(0) ?]]>Le signe d'une fonction polynôme de degré 2 ne dépend que de
l'orientation de sa parabole et de la position du nombre par rapport
aux racines.]]>1.00.00truetrueabcPositif, car 0 est plus grand que la racine -4]]>Une seule comparaison ne suffit pas : 0 est aussi plus petit que
2, donc il se trouve entre les deux racines.]]>Négatif, car 0 est situé entre les deux racines]]>Bonne réponse : entre ses racines, une parabole tournée vers le
haut passe sous l'axe des abscisses.]]>Nul, car la parabole passe par l'origine du repère]]>La courbe ne passe par l'origine que si 0 est une racine, ce qui
n'est pas le cas ici.]]>Positif, car la parabole est tournée vers le haut]]>L'orientation donne le signe à l'extérieur des racines seulement :
entre elles, le signe est contraire.]]>Modélisation quadratique — Q44 : Les deux coordonnées du sommetSoit f(x) = (x - 2)(x - 8). Quelles sont les coordonnées
du sommet de sa parabole ?]]>Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des
racines, et son ordonnée se calcule en remplaçant x par cette
abscisse dans l'expression de la fonction.]]>1.00.00truetrueabc(5 ; 0)]]>Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en
2 et en 8, pas au sommet.]]>(2 ; 8)]]>Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux
sur l'axe des abscisses.]]>(5 ; -9)]]>Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines
2 et 8, soit 5, et son ordonnée est
f(5) = -9.]]>(-9 ; 5)]]>Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des
racines, l'ordonnée est l'image de ce milieu.]]>Modélisation quadratique — Q45 : Sens de variation sur un intervalleUne fonction polynôme de degré 2, dont la parabole est tournée vers le
haut, a pour racines 1 et 9. Est-elle croissante ou
décroissante sur l'intervalle [6 ; 9] ?]]>Une fonction polynôme de degré 2 est monotone de part et d'autre de son
sommet. Localiser ce sommet, ici au milieu des racines, suffit donc à
conclure sur n'importe quel intervalle.]]>1.00.00truetrueabcNi l'une ni l'autre, puisque le sens de variation change en 5]]>Le changement de sens a lieu en 5, qui se situe avant
l'intervalle étudié : celui-ci ne contient pas le sommet.]]>Croissante, l'intervalle étant situé après le sommet]]>Bonne réponse : le sommet est au milieu des racines, en 5, et
une parabole tournée vers le haut remonte après son sommet.]]>Décroissante, la fonction étant négative sur cet intervalle]]>Signe et variation sont deux questions distinctes : la fonction est
bien négative ici, mais elle y remonte vers l'axe.]]>Décroissante, la fonction diminuant jusqu'à sa racine 9]]>Entre 5 et 9, la fonction remonte depuis son minimum
jusqu'à s'annuler en 9.]]>Modélisation quadratique — Q46 : La largeur d'une archeL'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction
f(x) = -0{,}02x^2 + 18, où x et f(x) sont en mètres et où
x = 0 correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de
l'arche au niveau du sol ?]]>La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de f. La
courbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces
racines sont opposées.]]>1.00.00truetrueabc30 m]]>Erreur : 30 m est la distance du milieu à un pied de l'arche.
Par symétrie, la largeur est le double.]]>18 m]]>Erreur : f(0) = 18 est la hauteur de l'arche en son milieu,
pas sa largeur.]]>900 m]]>Erreur : x² = 900 ; il reste à en déduire les deux valeurs
de x, -30 et 30.]]>60 m]]>Bonne réponse : f(x) = 0 donne x² = 900, donc x = -30 ou
x = 30. L'arche s'étend de -30 à 30, soit 60 m.]]>