$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation exponentielle Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,
terme de rang n, sens de variation, représentation),
fonctions exponentielles x ↦ aˣ (a > 0,
x ≥ 0) : propriétés admises des puissances, exposant
1/n, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,
ordres de grandeur.

]]> Variation exponentielle — Q01 : Reconnaître une croissance exponentielle Un capital placé à intérêts composés de 5\ % par an
est multiplié par 1{,}05 chaque année. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Taux d'évolution constant ⇔ suite géométrique
de raison le coefficient multiplicateur (1{,}05 pour
+5\ %). C'est le modèle de toutes les croissances
exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique, de raison 1{,}05

]]> Bonne réponse : un taux d'évolution constant se
traduit par un facteur multiplicatif constant : modèle
géométrique (croissance exponentielle).

]]> Arithmétique, de raison 1{,}05

]]> Erreur : arithmétique signifierait ajouter 1{,}05
euro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent
des intérêts.

]]> Arithmétique, de raison 5

]]> Erreur : +5 euros par an correspondrait à des intérêts
simples (calculés sur le capital initial seulement).

]]> Géométrique, de raison 0{,}05

]]> Erreur : multiplier par 0{,}05 effondrerait le capital
à 5\ % de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de
5\ % est 1 + 0{,}05 = 1{,}05.

]]> Variation exponentielle — Q02 : Formule explicite Un capital initial de 2000 euros est multiplié par
1{,}05 chaque année. Quelle formule donne le capital
u(n) après n années ?

]]> Terme de rang n d'une suite géométrique :
u(n) = u(0) × qⁿ. Ici 2000 \times 1{,}05^n :
après 10 ans, environ 3258 euros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u(n) = 2000 + 0{,}05\,n

]]> Erreur : cette formule ajoute 5 centimes par an
(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés
multiplient.

]]> u(n) = 2000 \times 1{,}05^n

]]> Bonne réponse : n multiplications successives par
1{,}05 se condensent en une puissance : 1{,}05^n.

]]> u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n

]]> Erreur : multiplier par n donne une croissance
linéaire. La répétition du facteur exige une
puissance : 1{,}05^n.

]]> u(n) = 2000 \times 0{,}05^n

]]> Erreur : élever 0{,}05 à la puissance écrase le
capital vers 0. Le facteur annuel est 1{,}05.

]]> Variation exponentielle — Q03 : Sens de variation Soit la suite géométrique u(n) = 50 \times 0{,}9^n
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite géométrique à termes positifs : croissante si q > 1,
décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante

]]> Erreur : le premier terme 50 est positif, mais il
donne l'échelle, pas la direction. C'est la position de
la raison par rapport à 1 qui décide.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison q = 1. Ici
chaque terme perd 10\ %.

]]> Décroissante puis croissante

]]> Erreur : une suite géométrique à termes positifs garde
le même sens de variation d'un bout à l'autre ;
multiplier par 0{,}9 réduit à chaque rang, sans jamais
remonter.

]]> Décroissante

]]> Bonne réponse : la raison 0{,}9 est entre 0 et 1.
Multiplier une quantité positive par 0{,}9 la diminue
de 10\ % à chaque rang : 50 ; 45 ; 40{,}5…

]]> Variation exponentielle — Q04 : L'exposant $\frac{1}{n}$ Que vaut 2^{1/2} (deux à la puissance un demi) ?

]]> Extension des puissances (admise au programme) : a^{1/n} =
racine n-ième de a, seule valeur compatible avec
\left(a^{1/n}\right)^n = a^1. Clé du taux d'évolution
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Erreur : 1 s'obtient avec 2⁰, avec 2/2 ou
avec 2 × ½, mais aucune de ces
opérations ne traduit l'exposant ½ :
1² = 1 ≠ 2, alors que \left(2^{1/2}\right)^2 doit
valoir 2.

]]> √2

]]> Bonne réponse : a^{1/n} est la racine n-ième de a :
le nombre positif dont la puissance n redonne a.
Contrôle : \left(2^{1/2}\right)^2 = 2^1 = 2. Valeur
approchée : \sqrt{2} \approx 1{,}41.

]]> ½

]]> Confusion avec l'exposant négatif : 2⁻¹ = ½,
mais l'exposant vaut ici +½. Contrôle :
(½)² = ¼ ≠ 2, alors
que \left(2^{1/2}\right)^2 = 2.

]]> 1{,}5

]]> Erreur : 1{,}5^2 = 2{,}25 \neq 2. La valeur exacte est
\sqrt{2} \approx 1{,}414.

]]> Variation exponentielle — Q05 : Propriétés de $a^x$ Pour a > 0 et x, y ≥ 0, que vaut
aˣ × aʸ ?

]]> Les fonctions exponentielles x ↦ aˣ héritent des
règles des puissances : aˣ aʸ = aˣ⁺ʸ,
(aˣ)ʸ = aˣʸ, a⁰ = 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc aˣʸ

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à
(aˣ)ʸ, la puissance de puissance.

]]> 2aˣ⁺ʸ

]]> Erreur : aucun facteur 2 n'apparaît :
aˣ aʸ = aˣ⁺ʸ tout court.

]]> aˣ + aʸ

]]> Erreur : le produit des puissances ne devient pas
une somme de puissances ; ce sont les exposants qui
s'additionnent.

]]> aˣ⁺ʸ

]]> Bonne réponse : la règle des puissances entières
s'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit
des puissances = somme des exposants.

]]> Variation exponentielle — Q06 : Taux d'évolution moyen Une grandeur a augmenté de 21\ % en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Taux moyen sur n périodes : le coefficient global élevé à
la puissance 1/n (racine n-ième). Ici
1{,}21^{1/2} = 1{,}1 : +10\ % par an. Jamais de
division du taux global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 21\ % par an

]]> Erreur : 21\ % est le taux global sur deux ans,
pas le taux annuel.

]]> 4{,}58\ \% par an

]]> Erreur : 1{,}0458^2 \approx 1{,}094, soit seulement +9{,}4\ \% en deux ans. Le taux annuel moyen vérifie (1 + t)^2 = 1{,}21 :
\sqrt{1{,}21} = 1{,}1, soit 10\ %.

]]> 10\ % par an, car 1{,}1^2 = 1{,}21

]]> Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux
fois, reproduit l'évolution globale : coefficient
1{,}21^{1/2} = 1{,}1, soit +10\ % par an.

]]> 10{,}5\ \% par an, la moitié de 21\ %

]]> Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas
arithmétiquement, car ils se composent par produit.
Vérifie : 1{,}105^2 = 1{,}221 \neq 1{,}21.

]]> Variation exponentielle — Q07 : Un autre taux moyen Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
1{,}44 en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?

]]> Même méthode : coefficient moyen = 1{,}44^{1/2} = 1{,}2,
taux moyen = 20\ %. L'exposant 1/n du programme
sert exactement à cela.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +22\ % par an

]]> Le piège de la division, 44 ÷ 2 = 22 : or 1{,}22^2
= 1{,}4884 \neq 1{,}44. Le taux moyen passe par la
racine carrée du coefficient global.

]]> +44\ % par an

]]> Erreur : +44\ % est l'évolution totale sur deux
ans, pas annuelle.

]]> +1{,}2\ \% par an

]]> Confusion : 1{,}2 est le coefficient annuel moyen ;
le taux correspondant est sa partie au-delà de 1 :
20\ %.

]]> +20\ % par an

]]> Bonne réponse : 1{,}44^{1/2} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 :
deux hausses successives de 20\ % reconstituent bien
1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44.

]]> Variation exponentielle — Q08 : Décroissance par demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après trois demi-vies ?

]]> Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :
après n demi-vies, il reste (½)ⁿ
de la quantité initiale. Trois demi-vies : ⅛.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅙

]]> Erreur : ½ × 3 au dénominateur ? Les
moitiés se composent par produit :
(½)³ = ⅛.

]]> ⅛

]]> Bonne réponse : (½)³ = ⅛ : moitié, puis quart, puis huitième.

]]> 0 : tout a disparu

]]> Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule
jamais exactement : il reste toujours une fraction
(ici 12{,}5\ \%).

]]> ⅓

]]> Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un
tiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le
reste).

]]> Variation exponentielle — Q09 : Problème de seuil exponentiel Une population de bactéries double chaque heure. Elle
compte 100 individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle 1500 individus ?

]]> Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les
puissances (100 × 2ⁿ) jusqu'à franchir le seuil, à
la main, au tableur ou par calculatrice : n = 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4 heures

]]> Bonne réponse : 100 → 200 → 400 → 800 → 1600 :
après 4 doublements, 100 × 2⁴ = 1600 > 1500
(et 800 < 1500 après 3).

]]> 15 heures

]]> Erreur de modèle : 15 = 1500/100 raisonne
linéairement. Le doublement répété va beaucoup plus
vite : 4 heures suffisent.

]]> 3 heures

]]> Erreur : 100 × 2³ = 800 < 1500 : le seuil n'est
pas encore franchi.

]]> 8 heures

]]> Erreur : après 8 heures, le seuil de 1500 est dépassé
depuis longtemps (dès l'heure 4).

]]> Variation exponentielle — Q10 : Ordre de grandeur d'un doublement répété Une quantité double 10 fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?

]]> Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité
attendue) : 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. L'intuition
linéaire (« × 20 ») sous-estime massivement les
croissances exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 100

]]> Erreur : 100 = 10² sous-estime : 2¹⁰ = 1024,
soit environ 10³.

]]> Environ 1000

]]> Bonne réponse : dix doublements font 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³. Ordre de grandeur précieux : « dix
doublements ≈ un facteur mille ».

]]> Environ 20

]]> L'erreur linéaire type (2 × 10 = 20) : les
doublements se multiplient entre eux, ils ne
s'additionnent pas : 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000,
environ cinquante fois plus que 20.

]]> Environ 500

]]> Presque : 500 est proche de 2⁹ = 512, le facteur
atteint après neuf doublements. Le dixième doublement
porte à 2¹⁰ = 1024.

]]> Variation exponentielle — Q11 : Exponentiel contre linéaire Une population croît de 2\ % par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?

]]> Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre
arithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte
toujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où
l'importance de reconnaître la nature d'une croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources

]]> Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à
petit taux) finit par dépasser n'importe quelle
croissance linéaire : les courbes se croisent
inévitablement.

]]> Le modèle ne permet aucune conclusion

]]> Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et
sa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,
mais lui est sans ambiguïté).

]]> Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande

]]> Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est
tôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :
l'exponentielle gagne toujours à long terme.

]]> Les deux croissances restent proportionnelles

]]> Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite
contre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu
de rester proportionnel.

]]> Variation exponentielle — Q12 : Le facteur de reproduction d'une épidémie Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne 3 (facteur de reproduction R₀ = 3). En partant
d'un cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?

]]> Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :
cas à la génération n = R₀ⁿ. Avec R₀ = 3, la
croissance est explosive (81 cas à la génération 4) :
d'où l'enjeu de faire passer R₀ sous 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3⁴ = 81

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par 3 :
1 → 3 → 9 → 27 → 81 : suite géométrique de
raison R₀.

]]> 27

]]> Presque : 27 = 3³ est la troisième génération. La
quatrième multiplie encore par 3 : 81.

]]> 4³ = 64

]]> Base et exposant échangés : le facteur 3 se répète
4 fois : 3⁴, pas 4³.

]]> 3 × 4 = 12

]]> L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de
génération en génération, elles ne s'additionnent pas :
3⁴ = 81.

]]> Variation exponentielle — Q13 : La puissance $a^0$ Pour a > 0, que vaut a⁰ ?

]]> a⁰ = 1 : le point de départ de toute croissance
exponentielle (V₀ × a⁰ = V₀ : au temps zéro, la
valeur initiale). Les courbes y = aˣ passent toutes par
(0\ ;\ 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1

]]> Bonne réponse : a⁰ = 1 pour tout a > 0 : cohérent
avec la règle des quotients : aⁿ/aⁿ = a⁰ = 1.

]]> a

]]> Décalage : a = a¹ : l'exposant 0 descend d'un cran
en dessous : 1.

]]> Cela dépend de a

]]> Erreur : 2⁰ = 1, 10⁰ = 1, 0{,}5^0 = 1 : la
valeur est universelle (pour a > 0).

]]> 0

]]> Erreur : l'exposant 0 ne signifie pas « rien » mais
« produit vide » : la valeur neutre est 1.

]]> Variation exponentielle — Q14 : Trois années de croissance Une population augmente de 2\ % chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de 3 ans ?

]]> Croissance à taux constant : Vₙ = V₀ × (1 + t)ⁿ :
la durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux
(6{,}12\ \% contre 6\ %) : les fameux intérêts
composés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}02 + 3

]]> Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la
durée devient l'exposant : 1{,}02^3.

]]> 1{,}02^3 \approx 1{,}0612

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie par 1{,}02 : les
3 années s'enchaînent, et le produit des coefficients
vaut un peu PLUS que +6\ %.

]]> 3 \times 1{,}02 = 3{,}06

]]> Erreur : multiplier par 3 multiplierait la population
par 3 : les évolutions s'enchaînent en puissance, pas
en produit par le nombre d'années.

]]> 1{,}06 exactement

]]> Addition des taux : 3 × 2\ % = 6\ % néglige
les intérêts composés : le vrai facteur est 1{,}02^3
\approx 1{,}0612.

]]> Variation exponentielle — Q15 : Deux baisses de $10\ \%$ Une valeur baisse de 10\ % par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?

]]> Baisses répétées : multiplier les coefficients (0{,}9^n),
puis convertir en taux (1 - 0{,}81 = 19\ \%). Les baisses
successives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de
100\ % !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1\ %

]]> Erreur : 1\ % vient du produit des taux
0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01 ; mais ce sont les
coefficients multiplicateurs qui se multiplient, pas les
taux : 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81, soit une baisse de
19\ %.

]]> 19\ %

]]> Bonne réponse : deux années à \times 0{,}9 :
0{,}9^2 = 0{,}81, soit -19\ % : la deuxième baisse
porte sur une valeur déjà réduite, elle retire donc un peu
moins.

]]> 81\ %

]]> Confusion : 81\ % est ce qui reste, pas ce qui
disparaît : la baisse est le complément : 19\ %.

]]> 20\ %

]]> Addition des taux : presque, mais faux : 0{,}9 \times
0{,}9 = 0{,}81 \neq 0{,}80 : le point d'écart est la
baisse « évitée » sur la partie déjà perdue.

]]> Variation exponentielle — Q16 : Capital à intérêts composés Un capital de 1 000 euros est placé à 4\ % par an
(intérêts composés). Que vaut-il après 2 ans ?

]]> Intérêts composés : Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ : le modèle
exponentiel du placement. La différence avec les intérêts
simples (C₀(1 + nt), modèle linéaire) grandit avec les
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 008 euros

]]> Erreur d'échelle : 4\ % de 1 000 vaut 40 euros
par an, pas 4 : après deux ans composés :
1\,081{,}60.

]]> 1\,081{,}60 euros

]]> Bonne réponse : 1\,000 \times 1{,}04^2 = 1\,000 \times
1{,}0816 : la deuxième année rapporte des intérêts sur
les intérêts (1{,}60 euro de plus que 2 × 40).

]]> 1 080 euros

]]> Intérêts simples : 2 × 40 euros ignore les
intérêts produits par les premiers intérêts : composés,
on obtient 1\,081{,}60.

]]> 2 080 euros

]]> Erreur : le capital ne double pas en deux ans à
4\ % : chaque année multiplie par 1{,}04, pas par
2.

]]> Variation exponentielle — Q17 : Le duel à long terme Modèle A : +1 000 par an (linéaire). Modèle B :
+1\ % par an (exponentiel), départ 10 000. Que
dire du long terme ?

]]> Loi générale : toute exponentielle (raison > 1) finit par
dépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de
départ. Le croisement peut être lointain : c'est la morale
des placements, des épidémies et des dettes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils restent à égalité de rythme

]]> Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un
pourcentage croissant : les rythmes divergent
inexorablement.

]]> Impossible à dire sans la durée exacte

]]> Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS
connaître la date de croisement, on sait qu'elle existe.

]]> B finit toujours par dépasser A

]]> Bonne réponse : une croissance exponentielle dépasse tôt
ou tard toute croissance linéaire. Les gains de B
grossissent avec la valeur (1\ % d'une somme qui
enfle), ceux de A restent figés à 1 000 :
l'exponentielle gagne le marathon, même partie très
lentement.

]]> A garde toujours l'avantage

]]> Vrai au départ (1 000 > 1\ % de 10 000 = 100),
faux à terme : quand la valeur de B atteint 100 000,
son gain annuel rejoint les 1 000 de A… puis les
dépasse sans retour.

]]> Variation exponentielle — Q18 : Deux demi-vies du carbone 14 Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
5 730 ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
11 460 ans (deux demi-vies) ?

]]> Décroissance par demi-vie : quantité restante = (½)ⁿ après n demi-vies : le
modèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais
zéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 75\ %

]]> Confusion : 75\ % est la proportion disparue :
il en reste 25\ %.

]]> 50\ %

]]> Une seule demi-vie : 11 460 = 2 × 5 730 : DEUX
périodes se sont écoulées : ¼.

]]> 0\ % : deux moitiés font un tout

]]> Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte
sur ce qui reste : on ne descend jamais à zéro, on
divise par 2 à chaque période.

]]> 25\ % : la moitié de la moitié

]]> Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par
½ : deux demi-vies : (½ )² = ¼.

]]> Variation exponentielle — Q19 : Reconnaître une suite géométrique Parmi ces suites, laquelle est géométrique ?

]]> Une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs
est constant. Ce quotient est la raison de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc uₙ₊₁ = nuₙ

]]> Le facteur change à chaque rang, donc la raison n'est pas constante.

]]> u_{n+1} = u_n + 0{,}9n

]]> On ajoute une quantité variable : ni la différence ni le quotient ne
sont constants.

]]> uₙ₊₁ = uₙ - 9

]]> Cette relation retranche un nombre fixe : la suite est arithmétique,
pas géométrique.

]]> u_{n+1} = 0{,}9u_n

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours
par le même nombre, ici 0{,}9.

]]> Variation exponentielle — Q20 : Raison et taux d'évolution Une population augmente de 6 % par an.
Quelle est la raison de la suite géométrique associée ?

]]> Une évolution de t % par période correspond à une suite géométrique de
raison 1 + t/100. Une raison supérieure à 1 signale une
croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Pourcentage recopié : la population serait multipliée par six chaque
année.

]]> 0{,}94

]]> Coefficient d'une baisse de 6 % : ici la population augmente.

]]> 1{,}06

]]> Bonne réponse : la raison est le coefficient multiplicateur, soit
1 + 0{,}06.

]]> 0{,}06

]]> Taux recopié : multiplier par 0{,}06 ferait perdre 94 % de la
population chaque année.

]]> Variation exponentielle — Q21 : Un capital qui double Un capital placé à 5 % par an double au bout de combien d'années ?

]]> Un problème de seuil sur une suite géométrique se résout en calculant les
puissances successives de la raison, jusqu'à dépasser la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 ans

]]> Au bout de dix ans, le coefficient vaut 1{,}05^{10} \approx 1{,}63,
donc le capital n'a pas encore doublé.

]]> 15 ans

]]> Bonne réponse : 1{,}05^{14} \approx 1{,}98 et
1{,}05^{15} \approx 2{,}08, le doublement est atteint la
quinzième année.

]]> 5 ans

]]> Taux confondu avec une durée : 1{,}05^5 \approx 1{,}28, soit une
hausse de 28 % seulement.

]]> 20 ans

]]> Raisonnement additif : ajouter vingt fois 5 % ignore les intérêts
des intérêts, qui accélèrent la croissance.

]]> Variation exponentielle — Q22 : Terme général d'une suite géométrique Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 200 et pour raison
1{,}1. Quelle est l'expression de uₙ ?

]]> Pour une suite géométrique commençant au rang 0, on a
uₙ = u₀ × qⁿ. Si elle commence au rang 1, l'exposant devient
n - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u_n = 200^n \times 1{,}1

]]> Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance n,
pas le premier terme.

]]> u_n = 200 \times 1{,}1^n

]]> Bonne réponse : après n multiplications par 1{,}1, le premier
terme est multiplié par 1{,}1^n.

]]> u_n = 200 \times 1{,}1^{n-1}

]]> Formule du premier terme de rang 1 : ici u₀ doit valoir 200,
ce qui impose l'exposant n.

]]> u_n = 200 + 1{,}1n

]]> Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se
multiplier.

]]> Variation exponentielle — Q23 : Produit de deux puissances Pour a > 0, à quoi a³ × a⁵ est-il égal ?

]]> La propriété aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ, admise en première, se vérifie
sur des exposants entiers en comptant les facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a²

]]> Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,
a⁵/a³.

]]> a⁸

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux
puissances d'un même nombre.

]]> 2a⁸

]]> Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître
aucun facteur supplémentaire.

]]> a¹⁵

]]> Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de
puissance, (a³)⁵.

]]> Variation exponentielle — Q24 : Un taux moyen sur deux ans Un prix augmente de 21 % sur deux ans.
Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Le taux moyen est celui qui, appliqué à chaque période, donne la même
évolution globale. On le trouve en cherchant le coefficient dont la
puissance égale le coefficient global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 21 %

]]> Taux global recopié : appliqué deux fois, il donnerait une hausse de
46{,}4 %.

]]> 11 %

]]> Estimation approximative : 1{,}11^2 = 1{,}2321, ce qui dépasse la
hausse constatée.

]]> 10{,}5 %

]]> Taux divisé par deux : les taux ne se partagent pas, ce sont les
coefficients qui se multiplient.

]]> 10 %

]]> Bonne réponse : 1{,}1^2 = 1{,}21, donc le coefficient annuel moyen
vaut 1{,}1.

]]> Variation exponentielle — Q25 : Sens de variation selon la raison Une suite géométrique à termes strictement positifs a pour raison
0{,}7. Comment varie-t-elle ?

]]> Pour une suite géométrique à termes positifs, une raison supérieure à 1
donne une suite croissante, une raison comprise entre 0 et 1 une suite
décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante

]]> Seule une raison égale à 1 laisserait les termes inchangés.

]]> Elle est décroissante

]]> Bonne réponse : multiplier par un nombre compris entre 0 et 1
diminue chaque terme.

]]> Elle alterne entre hausse et baisse

]]> L'alternance viendrait d'une raison négative, exclue ici puisque les
termes sont positifs.

]]> Elle est croissante

]]> La croissance demanderait une raison supérieure à 1 pour des termes
positifs.

]]> Variation exponentielle — Q26 : Le linéaire finit par perdre Une grandeur A gagne 100 unités par an, une grandeur B augmente
de 10 % par an. Que se passe-t-il à long terme ?

]]> Dans un modèle linéaire, l'accroissement est constant ; dans un modèle
exponentiel, il est proportionnel à la valeur atteinte, donc lui-même
croissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B finit toujours par dépasser A

]]> Bonne réponse : une croissance exponentielle finit par dépasser
n'importe quelle croissance linéaire, quel que soit le point de
départ.

]]> Les deux finissent par se rejoindre

]]> Elles se croisent une fois, puis l'écart se creuse au profit de B.

]]> Cela dépend uniquement des valeurs de départ

]]> Le point de départ change seulement la date du croisement, jamais son
existence.

]]> A reste devant indéfiniment

]]> Les gains annuels de B augmentent sans limite, alors que ceux de A
restent fixés à 100 unités.

]]> Variation exponentielle — Q27 : Une racine écrite en exposant Pour a > 0, à quoi le nombre a^{\frac{1}{2}} est-il égal ?

]]> L'exposant 1/n correspond à la racine n-ième. C'est la
convention qui rend la propriété aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ valable pour
tous les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/a²

]]> C'est a⁻² : l'exposant fractionnaire et l'exposant négatif ne
jouent pas le même rôle.

]]> a/2

]]> Exposant lu comme un facteur : pour a = 16, la moitié vaut 8 alors
que la racine vaut 4.

]]> 2a

]]> Pour a = 16, ce calcul donnerait 32, très loin de la racine carrée
qui vaut 4.

]]> √a

]]> Bonne réponse : ce nombre élevé au carré redonne a, puisque
\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^1.

]]> Variation exponentielle — Q28 : Une baisse répétée Une machine perd 15 % de sa valeur chaque année.
Quelle part de sa valeur initiale lui reste-t-il après trois ans ?

]]> Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.
Trois baisses de 15 % donnent 0{,}85^3, et non une baisse de 45 %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement 85 %

]]> Une seule année prise en compte : il reste deux baisses à appliquer.

]]> Environ 61{,}4 %

]]> Bonne réponse : 0{,}85^3 \approx 0{,}614.

]]> Exactement 55 %

]]> Taux additionnés : retrancher trois fois 15 % surestime la perte,
car chaque baisse porte sur une valeur déjà réduite.

]]> Exactement 45 %

]]> Complément de la réponse précédente : la perte réelle vaut environ
38{,}6 %.

]]> Variation exponentielle — Q29 : Un exposant négatif Pour a > 0, à quoi a⁻² est-il égal ?

]]> La convention a⁻ⁿ = 1/aⁿ prolonge la règle du quotient :
a²/a⁴ vaut à la fois a⁻² et 1/a².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -a²

]]> Signe déplacé : la puissance d'un nombre strictement positif est
toujours positive.

]]> 1/a²

]]> Bonne réponse : un exposant négatif donne l'inverse de la puissance
correspondante.

]]> a²

]]> Exposant négatif ignoré : pour a = 3, on obtiendrait 9 au lieu de
⅑.

]]> -1/a²

]]> Même remarque : le signe moins porte sur l'exposant, pas sur le
résultat.

]]> Variation exponentielle — Q30 : L'allure d'une croissance exponentielle Comment se présentent les points d'une suite géométrique croissante à
termes positifs ?

]]> Une suite géométrique croissante progresse par multiplications
successives : chaque pas est plus grand que le précédent, d'où la courbe
qui s'envole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils montent de plus en plus lentement

]]> Ce serait le cas d'une croissance qui ralentit, comme celle de la
fonction racine carrée.

]]> Ils montent de plus en plus vite

]]> Bonne réponse : l'écart entre deux termes consécutifs est
proportionnel au terme atteint, donc il augmente.

]]> Ils oscillent autour d'une valeur

]]> L'oscillation viendrait d'une raison négative, exclue pour une suite à
termes positifs.

]]> Ils sont alignés sur une droite

]]> L'alignement caractérise les suites arithmétiques, dont
l'accroissement est constant.

]]> Variation exponentielle — Q31 : Deux exposants nuls Combien vaut 7⁰ + 5⁰ ?

]]> Pour tout nombre a strictement positif, a⁰ = 1. Cette convention
prolonge la règle du quotient et fait passer toutes les courbes
y = aˣ par le point de coordonnées (0\ ;\ 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Bonne réponse : 7⁰ = 1 et 5⁰ = 1, quelle que soit la base
strictement positive, donc la somme vaut 1 + 1 = 2.

]]> 0

]]> Exposant confondu avec le résultat : l'exposant 0 ne rend pas la
puissance nulle, il la ramène à 1. La somme vaut donc 2.

]]> 12

]]> Exposants ignorés : 7 + 5 serait la réponse si les deux
exposants valaient 1. Avec l'exposant 0, chaque terme vaut 1.

]]> 35

]]> Opération changée : l'énoncé demande une somme, et chaque puissance
d'exposant 0 vaut 1, ce qui donne 2.

]]> Variation exponentielle — Q32 : Retrouver la raison Une suite géométrique vérifie u₃ = 40 et u₄ = 100.
Quelle est sa raison ?

]]> La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le
précédent : q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}. Ce quotient est le même à tous
les rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}4

]]> Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de
départ, donc 100/40 et non l'inverse.

]]> 2{,}5

]]> Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le
précédent, soit \dfrac{100}{40} = 2{,}5.

]]> 60

]]> Différence prise pour la raison : 100 - 40 serait la raison
d'une suite arithmétique. Ici il faut diviser.

]]> 100

]]> Terme recopié : 100 est une valeur de la suite, pas le facteur
qui fait passer d'un terme au suivant.

]]> Variation exponentielle — Q33 : Repérer un modèle exponentiel Parmi ces quatre évolutions d'un loyer, laquelle relève d'un modèle
exponentiel ?

]]> Un modèle est exponentiel lorsque la grandeur est multipliée par un même
nombre à chaque période. Ajouter toujours la même quantité donne au
contraire un modèle linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un loyer augmenté de 60 euros tous les trois ans

]]> Ajout fixe encore, simplement plus espacé dans le temps. La nature
du modèle reste linéaire.

]]> Un loyer augmenté de 20 euros chaque année

]]> Ajout fixe : la hausse ne dépend pas du loyer atteint, c'est un
modèle linéaire, pas exponentiel.

]]> Un loyer inchangé pendant toute la durée du bail

]]> Loyer constant : c'est le cas particulier d'un coefficient égal à
1, sans croissance d'aucune sorte.

]]> Un loyer augmenté de 2\ % chaque année

]]> Bonne réponse : un pourcentage fixe signifie un coefficient
multiplicateur fixe, ici 1{,}02, donc un modèle exponentiel.

]]> Variation exponentielle — Q34 : Allure d'une décroissance exponentielle Une quantité strictement positive est multipliée par 0{,}8 chaque
année. Comment se comporte la courbe qui la représente ?

]]> Une décroissance exponentielle se reconnaît à sa courbe : elle plonge
d'abord nettement, puis s'aplatit en se rapprochant de l'axe des
abscisses sans jamais le toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle baisse d'une même hauteur chaque année, comme une droite

]]> Baisse constante : ce serait un modèle linéaire. Ici la perte est
proportionnelle à la quantité atteinte, donc elle diminue.

]]> Elle baisse pendant quelques années, puis se stabilise à une valeur

]]> Aucune stabilisation : le coefficient 0{,}8 s'applique à tous les
rangs, la quantité continue de baisser indéfiniment.

]]> Elle baisse de moins en moins vite, sans jamais atteindre zéro

]]> Bonne réponse : la baisse annuelle vaut 20\ % d'une quantité de
plus en plus petite, donc elle se réduit, et un produit de nombres
strictement positifs ne s'annule jamais.

]]> Elle baisse de plus en plus vite, puis atteint zéro au bout de
quelques années

]]> Deux erreurs : la baisse ralentit au lieu de s'accélérer, et une
multiplication répétée par 0{,}8 ne donne jamais zéro.

]]> Variation exponentielle — Q35 : Quotient de deux puissances Pour a > 0, à quoi \dfrac{a^{7}}{a^{4}} est-il égal ?

]]> La règle aˣ/aʸ = aˣ⁻ʸ, admise en première pour tous les
exposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs
communs du numérateur et du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a¹¹

]]> Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,
a⁷ × a⁴, et non pour un quotient.

]]> \dfrac{1}{a^{3}}

]]> Soustraction à l'envers : c'est 4 - 7 qui donnerait cet
inverse. Le numérateur porte le plus grand exposant.

]]> a²⁸

]]> Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de
puissance, (a⁷)⁴.

]]> a³

]]> Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à
soustraire les exposants, soit 7 - 4 = 3.

]]> Variation exponentielle — Q36 : Montant des intérêts après deux ans Un capital de 2000 euros est placé à 3\ % par an, à intérêts
composés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de 2 ans ?

]]> Avec des intérêts composés, le capital suit Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ.
Les intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le
capital initial, jamais le capital final lui-même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 121{,}8 euros

]]> Bonne réponse : le capital atteint 2000 \times 1{,}03^2 = 2121{,}8
euros, dont il faut retirer la mise de départ.

]]> 2121{,}8 euros

]]> Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la
mise de départ, ce qui laisse 121{,}8 euros.

]]> 120 euros

]]> Intérêts simples : deux fois 60 euros néglige les intérêts
produits par les premiers intérêts, soit 121{,}8 euros en tout.

]]> 60 euros

]]> Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la
première année. La seconde en rapporte davantage.

]]> Variation exponentielle — Q37 : Une hausse annulée par une baisse Le prix d'un article augmente de 20\ %, puis baisse de 20\ %.
Quelle est son évolution globale ?

]]> Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.
Une hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le
résultat est toujours une baisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune évolution : le prix ne change pas

]]> Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,
donc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté.

]]> Une hausse de 4\ %

]]> Sens inversé : le produit des coefficients vaut 0{,}96, donc il est
inférieur à 1 et le prix final est plus bas qu'au départ.

]]> Une baisse de 4\ %

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et
1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96, soit une baisse de 4\ %.

]]> Une baisse de 40\ %

]]> Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les
coefficients qui se multiplient, d'où 4\ %.

]]> Variation exponentielle — Q38 : De la variation à la raison Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie
u₆ > u₅. Que peut-on dire de sa raison q ?

]]> Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, le sens de
variation se lit sur la raison : croissante si q > 1, décroissante si
0 < q < 1. La lecture fonctionne aussi dans l'autre sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vérifie q > u₅

]]> Raison et terme confondus : la raison est un facteur, elle ne se
compare pas aux valeurs prises par la suite.

]]> Elle vérifie q = 1

]]> Une raison égale à 1 laisserait tous les termes identiques, donc
u₆ = u₅ et non u₆ > u₅.

]]> Elle vérifie 0 < q < 1

]]> Une raison comprise entre 0 et 1 ferait décroître la suite, donc
on aurait u₆ < u₅.

]]> Elle vérifie q > 1

]]> Bonne réponse : passer de u₅ à u₆ en augmentant suppose un
facteur supérieur à 1, puisque les termes sont positifs.

]]> Variation exponentielle — Q39 : Dix divisions par deux Une quantité est divisée par 2 dix fois de suite. Quelle part de la
quantité initiale en reste-t-il, en ordre de grandeur ?

]]> L'ordre de grandeur à retenir est 2¹⁰ = 1024 ≈ 10³ : dix
doublements multiplient par mille environ, dix divisions par deux
divisent par mille environ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ un centième

]]> Estimation trop haute d'un facteur dix : 2¹⁰ vaut 1024, et
non une centaine.

]]> Environ un vingtième

]]> Raisonnement additif : 2 × 10 = 20 suppose que les divisions
s'ajoutent, alors qu'elles se multiplient.

]]> Environ un millième

]]> Bonne réponse : dix divisions par 2 reviennent à diviser par
2¹⁰ = 1024, soit environ un millième.

]]> Plus rien du tout

]]> Une division répétée n'atteint jamais zéro : il reste toujours une
part, ici environ un millième.

]]> Variation exponentielle — Q40 : Lire un modèle dans un tableau Une grandeur prend les valeurs successives 32 ; 48 ; 72 ;
108. Quel modèle décrit son évolution ?

]]> Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les
différences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un
modèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici

]]> La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur
les différences : chaque valeur est 1{,}5 fois la précédente.

]]> Exponentiel : on multiplie par 1{,}5 à chaque étape

]]> Bonne réponse : les quotients successifs valent tous 1{,}5, donc la
grandeur suit une suite géométrique.

]]> Linéaire : l'accroissement vaut 16, puis 24, et ainsi de suite

]]> Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément
la signature d'une croissance exponentielle.

]]> Linéaire : on ajoute 16 à chaque étape

]]> Premier écart généralisé : on passe bien de 32 à 48 en
ajoutant 16, mais l'écart suivant vaut 24.

]]> Variation exponentielle — Q41 : Une épidémie qui reflue Une épidémie compte 500 cas. Les mesures sanitaires ramènent le
facteur de reproduction à 0{,}8. Combien de cas le modèle prévoit-il
deux générations plus tard ?

]]> Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de
reproduction. Sous 1, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais
l'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 500 cas

]]> Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à 1 fait au
contraire reculer le nombre de cas à chaque génération.

]]> 300 cas

]]> Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est
retranchée deux fois, alors que la seconde porte sur 400 cas.

]]> 400 cas

]]> Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la
première. Il reste une génération à compter.

]]> 320 cas

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par 0{,}8, donc deux
générations donnent 500 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 320 cas.

]]> Variation exponentielle — Q42 : Ressources par habitant Dans le modèle de Malthus, la population croît de façon exponentielle
et les ressources de façon linéaire. Que devient, à long terme, la
quantité de ressources disponible par habitant ?

]]> Le modèle de Malthus oppose une suite géométrique (la population) à une
suite arithmétique (les ressources). Le quotient des deux se dégrade
sans fin : c'est la conclusion pessimiste du modèle, et sa limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle diminue jusqu'à devenir aussi petite que l'on veut

]]> Bonne réponse : la population finit par croître beaucoup plus vite
que les ressources, donc la part de chacun se réduit sans limite.

]]> Elle se stabilise à une valeur strictement positive

]]> Aucune stabilisation : l'écart entre les deux croissances se creuse
indéfiniment, la part par habitant ne peut pas se fixer.

]]> Elle augmente, puisque les ressources augmentent elles aussi

]]> Les ressources augmentent, mais moins vite que le nombre de
personnes à nourrir : c'est le rapport des deux qui compte.

]]> Elle reste constante, les deux croissances se compensant

]]> Une croissance linéaire ne compense pas une croissance
exponentielle : leurs rythmes divergent inexorablement.

]]> Variation exponentielle — Q43 : Population au bout de plusieurs années Une ville compte 12000 habitants et sa population augmente de
3\ % par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans 4 ans,
à l'unité près ?

]]> Une croissance à taux constant s'écrit Vₙ = V₀ × (1 + t)ⁿ : le
nombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais
un facteur ni un multiplicateur du taux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13440 habitants

]]> Taux additionnés : 4 × 3\ % néglige les hausses portant
sur les hausses déjà acquises.

]]> 13506 habitants

]]> Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc
12000 \times 1{,}03^{4} \approx 13506.

]]> 12360 habitants

]]> Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première
année, il reste 4 - 1 années à appliquer.

]]> 49440 habitants

]]> Durée prise en facteur : multiplier par 4 multiplierait la ville
par 4. La durée est un exposant.

]]> Variation exponentielle — Q44 : Taux moyen sur trois ans Une grandeur a été multipliée par 1{,}331 en trois ans. Quel est son
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Le taux moyen sur n périodes s'obtient en élevant le coefficient
global à la puissance 1/n, puis en retranchant 1. Diviser le
taux global par n donne toujours un résultat faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10\ % par an

]]> Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut
1{,}331^{\frac{1}{3}} = 1{,}1, dont la part au-delà de 1 est le
taux cherché.

]]> 1{,}331\ \% par an

]]> Coefficient pris pour un taux : 1{,}331 est un multiplicateur, le
taux correspondant est sa part au-delà de 1.

]]> 33{,}1\ \% par an

]]> Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années
réunies, pas celle d'une seule année.

]]> 11{,}03\ \% par an

]]> Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont
les coefficients qui se multiplient entre eux.

]]> Variation exponentielle — Q45 : Passer sous la moitié Un matériel perd 20\ % de sa valeur chaque année. Au bout de combien
d'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix
d'achat ?

]]> Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives
du coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à
franchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le
rang cherché.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 ans

]]> Seuil atteint trop tôt : au rang 3, le coefficient est
encore supérieur à 0{,}5, la moitié n'est pas franchie.

]]> 5 ans

]]> Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang 4, et on
cherche la première année qui convient.

]]> 4 ans

]]> Bonne réponse : on déroule les puissances de 0{,}8 jusqu'à passer
sous 0{,}5, ce qui se produit au rang 4.

]]> 2{,}5 ans

]]> Raisonnement linéaire : perdre 20\ % du prix d'achat chaque
année donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur
restante.

]]> Variation exponentielle — Q46 : Un seuil cherché au tableur Une population de 2 000 bactéries augmente de 8\ % par heure. Le
nombre initial est en B2 et l'on recopie vers le bas la formule
=B2*1,08 saisie en B3. Comment trouver l'heure où la population
dépasse 5 000 ?

]]> 2\,000 \times 1{,}08^{11} \approx 4\,663 et
2\,000 \times 1{,}08^{12} \approx 5\,036 : le seuil est franchi à
la 12e heure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lire la première valeur au-dessus de 5 000

]]> Bonne réponse : la colonne contient les termes successifs de la
suite géométrique ; la première valeur au-dessus de 5 000
donne l'heure cherchée, ici la 12e.

]]> Diviser 5 000 par le coefficient 1{,}08

]]> Erreur : ce calcul défait une seule hausse. Le seuil n'est atteint
qu'après plusieurs hausses successives.

]]> Remplacer la formule par =B2+5000

]]> Erreur : cette formule ajoute 5 000 à chaque ligne. Le seuil se
lit dans la colonne, il n'entre pas dans la formule.

]]> Calculer 5 000 - 2 000/8

]]> Erreur : ce calcul suppose une hausse constante de 8 bactéries
par heure, une croissance linéaire.

]]> Variation exponentielle — Q47 : Le triangle de Sierpinski [Figure : Trois figures : un triangle bleu (étape 0), puis trois triangles
bleus deux fois plus petits disposés en triangle (étape 1), puis
neuf triangles bleus encore deux fois plus petits (étape 2).]

Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque
étape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.
La figure montre les étapes 0, 1 et 2. Combien de triangles
bleus compte l'étape 4 ?

]]> Une quantité multipliée par un même nombre q à chaque étape forme
une suite géométrique : u(n) = u(0) × qⁿ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 64

]]> Erreur : 4³ n'est pas le bon calcul. La raison 3 est
élevée à la puissance 4, et non l'inverse.

]]> 12

]]> Erreur : on a ajouté 3 triangles par étape. Or chaque triangle
est remplacé par trois : le nombre est multiplié par 3.

]]> 243

]]> Erreur de rang : 3⁵ correspond à l'étape 5.
L'étape 0 compte un seul triangle, 3⁰ = 1.

]]> 81

]]> Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par 3 à
chaque étape : 1, 3, 9, …, soit 3⁴ = 81 à l'étape
4.

]]> Variation exponentielle — Q48 : Une rumeur en cascade Une rumeur se propage en cascade : à l'étape 1, une personne la
confie à 2 autres ; à chaque étape suivante, chaque personne
qui vient de l'apprendre la confie à 2 nouvelles personnes. À
partir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement
informées dépasse-t-il 1 000 ?

]]> Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les
puissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'étape 500

]]> Raisonnement linéaire : 1 000/2 suppose 2
nouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est
multiplié par 2.

]]> L'étape 9

]]> Trop tôt : à l'étape 9, seules 512 personnes
apprennent la rumeur, moins de 1 000.

]]> L'étape 11

]]> Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape 10,
avec 1024 personnes.

]]> L'étape 10

]]> Bonne réponse : à l'étape n, 2ⁿ personnes apprennent la
rumeur ; 2⁹ = 512 et 2¹⁰ = 1024.

]]> Variation exponentielle — Q49 : Un placement retiré au bout de six mois Un capital de 800 euros est placé à intérêts composés au taux
annuel de 4\ %. On modélise sa valeur au bout de x années
par 800 \times 1{,}04^x. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?

]]> La fonction x ↦ aˣ prolonge la suite géométrique aux
durées non entières : on remplace x par la fraction d'année
écoulée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 802{,}62 euros environ

]]> Erreur : l'exposant 1/12 correspond à un mois. Six
mois correspondent à x = 0{,}5.

]]> 816 euros

]]> Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des
intérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le
modèle exponentiel.

]]> 832 euros

]]> Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour x = 1.

]]> 815{,}84 euros environ

]]> Bonne réponse : six mois font une demi-année, et
800 \times 1{,}04^{0{,}5} \approx 815{,}84.

]]> Variation exponentielle — Q50 : Une fraction de demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque
demi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux
initiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à la moitié d'une
demi-vie ?

]]> Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :
la proportion restante vaut (½)ˣ, pour
tout réel x ≥slant 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ 50\ %

]]> Erreur : 50\ % ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière.

]]> Environ 25\ %

]]> Erreur : (½)² correspond à 2
demi-vies. L'exposant est ici ½.

]]> Environ 70{,}7\ \%

]]> Bonne réponse : au bout de x demi-vies, il reste
(½)ˣ des noyaux ; avec
x = ½, on obtient environ 70{,}7\ \%.

]]> Environ 75\ %

]]> Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne
retire pas la même quantité à chaque instant.

]]> Variation exponentielle — Q51 : Un point intermédiaire Une suite géométrique vérifie u(0) = 4 et u(1) = 9. Pour
compléter son nuage de points par la courbe d'une fonction
exponentielle, on place le point d'abscisse 0{,}5. Quelle est
son ordonnée ?

]]> Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée
du point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique
√u(n) × u(n + 1).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 18

]]> Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique
est la racine carrée du produit.

]]> 6

]]> Bonne réponse : f(x) = 4 × 9/4ˣ, et
f(0{,}5) = 4 \times \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \sqrt{4 \times 9} = 6,
la moyenne géométrique de 4 et 9.

]]> 36

]]> Erreur : le produit 4 × 9 n'est qu'une étape ; il faut
en prendre la racine carrée.

]]> 6{,}5

]]> Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment
qui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire.

]]> Variation exponentielle — Q52 : Un seuil lu sur un graphique [Figure : Neuf points d'abscisses 0 à 8, qui décroissent de plus en plus
lentement : 1 000 ; 800 ; 640 ; 512 ; 410 ; 328 ; 262 ; 210 ; 168.
Une droite horizontale pointillée marque l'ordonnée 300 ; le point
de rang 5 est juste au-dessus, celui de rang 6 juste en dessous.]

Le graphique ci-dessous représente les termes de la suite
u(n) = 1\,000 \times 0{,}8^n et la droite d'équation y = 300. À
partir de quel rang les termes deviennent-ils inférieurs à 300 ?

]]> Un problème de seuil se résout aussi graphiquement : on trace la
droite horizontale du seuil et l'on repère le premier point situé de
l'autre côté. Un calcul à la calculatrice confirme la lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir du rang 6

]]> Bonne réponse : le point de rang 6 est le premier sous la droite
y = 300 ; le calcul le confirme, u(6) ≈ 262.

]]> Jamais, puisque les termes restent positifs

]]> Erreur : rester positif n'empêche pas de passer sous 300. Une
décroissance exponentielle se rapproche de 0 autant qu'on veut.

]]> À partir du rang 5

]]> Erreur de lecture : u(5) ≈ 328, le point de rang 5 est
encore au-dessus de la droite.

]]> À partir du rang 7

]]> Un rang de trop : dès le rang 6, le point est sous la droite.

]]> Variation exponentielle — Q53 : Reconnaître un nuage géométrique [Figure : Deux séries de six points, d'abscisses 0 à 5. Série A (ronds
bleus) : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12, qui montent toujours de 2. Série B
(carrés orange) : 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,4 ; 5,1 ; 7,6, dont les écarts
grandissent.]

Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de deux suites
A et B, toutes deux croissantes. Laquelle peut être une suite
géométrique ?

]]> Points alignés : croissance linéaire, suite arithmétique. Écarts qui
grandissent dans un rapport constant : croissance exponentielle, suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite B, dont les écarts entre termes consécutifs grandissent

]]> Bonne réponse : chaque terme de B vaut 1{,}5 fois le précédent ;
l'écart, proportionnel au terme, grandit. C'est l'allure d'une
croissance exponentielle.

]]> Aucune, car une suite géométrique est toujours décroissante

]]> Erreur : une suite géométrique à termes positifs de raison
supérieure à 1 est croissante.

]]> Les deux, puisqu'elles sont toutes deux croissantes

]]> Erreur : la croissance ne suffit pas. Une suite géométrique se
reconnaît à un rapport constant entre termes consécutifs, et A
ne l'a pas : 4/2 ≠ 6/4.

]]> La suite A, dont les termes montent toujours de la même quantité

]]> Erreur : des écarts constants caractérisent une suite
arithmétique. Ici u(n + 1) = u(n) + 2 : les points de A sont
alignés.

]]>