$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation linéaire Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang
n, sens de variation, représentation graphique) et fonctions
affines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :
modéliser les croissances à accroissement constant, résoudre
des problèmes de seuil.

]]> Variation linéaire — Q01 : Reconnaître une croissance linéaire Un livret rapporte des intérêts simples : chaque année,
le capital augmente de 20 euros exactement. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Croissance linéaire = accroissement constant = suite
arithmétique (u(n+1) = u(n) + r). À opposer à la
croissance exponentielle (taux constant, suite géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique, de raison 20

]]> Bonne réponse : un accroissement constant en valeur
absolue (+20 euros par an) est la signature du modèle
arithmétique (croissance linéaire).

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Erreur : « +20 chaque année » est exactement la
définition d'une suite arithmétique de raison 20.

]]> Géométrique, de raison 20

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par 20
chaque année. Ici on ajoute un montant fixe.

]]> Géométrique, de raison 1{,}20

]]> Erreur : \times\,1{,}20 modéliserait des intérêts
composés de 20\ %. Les intérêts simples ajoutent
toujours le même montant : modèle arithmétique.

]]> Variation linéaire — Q02 : Terme de rang donné Un abonnement coûte 500 euros à l'ouverture (rang 0)
puis 200 euros par mois : u(n) = 500 + 200n. Combien
a-t-on dépensé au total au rang n = 12 ?

]]> Formule explicite d'une suite arithmétique :
u(n) = u(0) + n × r. Elle donne directement le terme
de rang n, sans dérouler tous les rangs intermédiaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2900 euros

]]> Bonne réponse : u(12) = 500 + 200 × 12 = 500 + 2400 = 2900 euros.

]]> 2700 euros

]]> Erreur d'indice : 500 + 200 × 11 = 2700
correspond au rang 11. Au rang 12 : 2900.

]]> 8400 euros

]]> Erreur : 700 × 12 multiplie la somme 500 + 200
par 12. Seul le terme mensuel est multiplié par n :
500 + 200 × 12.

]]> 700 euros

]]> Erreur : 700 = u(1) est la dépense au premier mois.
Pour n = 12, la formule donne 2900.

]]> Variation linéaire — Q03 : Sens de variation Soit la suite arithmétique définie par u(n+1) = u(n) - 3
et u(0) = 100. Quel est son sens de variation ?

]]> Suite arithmétique de raison r : croissante si r > 0,
décroissante si r < 0, constante si r = 0. Parallèle
exact avec le coefficient directeur des fonctions affines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on
retire 3 à chaque rang.

]]> Décroissante

]]> Bonne réponse : la raison -3 est négative, chaque
terme perd 3 : 100, 97, 94… Le signe de la
raison commande tout.

]]> Croissante

]]> Erreur : u(0) = 100 est grand, mais le premier terme
fixe le point de départ, pas la direction. C'est la
raison -3 < 0 qui fait descendre la suite.

]]> Croissante puis décroissante

]]> Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de
variation du début à la fin (ses points sont alignés).

]]> Variation linéaire — Q04 : Représentation graphique d'une suite arithmétique On représente les termes d'une suite arithmétique par les
points de coordonnées (n ; u(n)). Qu'observe-t-on ?

]]> Suite arithmétique ↔ points alignés (version
discrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de
reconnaître une croissance linéaire sur un graphique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite

]]> Erreur : l'accélération est la signature des suites
géométriques (croissance exponentielle). Le modèle
arithmétique avance à pas constant : alignement.

]]> Des points disposés au hasard

]]> Erreur : la régularité du pas r produit au contraire un
alignement parfait.

]]> Une droite continue

]]> Nuance importante : une suite est discrète, sa
représentation est un ensemble de points isolés (alignés),
pas un trait continu.

]]> Des points alignés sur une droite

]]> Bonne réponse : l'accroissement constant r joue le rôle
d'un coefficient directeur : les points (n ; u(0) + rn) suivent la droite y = rx + u(0).

]]> Variation linéaire — Q05 : Taux d'accroissement d'une fonction affine Soit la fonction affine f(x) = 2x + 3. Quand x augmente
de 1, de combien varie f(x) ?

]]> Fonction affine f(x) = mx + p : accroissement constant
m par unité de x (le taux d'accroissement est le
coefficient directeur de la droite). Version continue de la
suite arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De +3, quelle que soit la valeur de x

]]> Erreur : la variation est bien constante, mais elle vaut
2 : 3 est l'ordonnée à l'origine (la valeur en
x = 0), pas la variation par unité.

]]> D'une quantité qui dépend de la valeur de x

]]> Erreur : c'est le propre des fonctions affines :
l'accroissement par unité est constant (c'est même ce
qui les caractérise). Ici f(x+1) - f(x) = 2 pour tout
x.

]]> De +2, quelle que soit la valeur de x

]]> Bonne réponse : f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 = 2 : variation constante, égale au coefficient de x.
Le taux d'accroissement d'une fonction affine est son
coefficient directeur.

]]> De +5, quelle que soit la valeur de x

]]> Erreur : la variation est bien constante, mais 5 = f(1)
est une valeur de la fonction, pas son accroissement
(qui vaut f(1) - f(0) = 5 - 3 = 2).

]]> Variation linéaire — Q06 : Degrés Celsius et Fahrenheit La conversion s'écrit F = 1{,}8\,C + 32. Quelle
température Fahrenheit correspond à 20 degrés Celsius ?

]]> Modèle affine typique (au programme) : F = 1{,}8C + 32
combine un facteur d'échelle (1{,}8) et un décalage
d'origine (32). 20 °C = 68 °F.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 52 degrés Fahrenheit

]]> Erreur : 20 + 32 = 52 oublie le facteur 1{,}8
appliqué aux Celsius.

]]> 93{,}6 degrés Fahrenheit

]]> Erreur : 1{,}8 \times (20 + 32) ajoute avant de
multiplier. La formule multiplie d'abord : 1{,}8C + 32.

]]> 36 degrés Fahrenheit

]]> Incomplet : 1{,}8 \times 20 = 36, mais il reste à
ajouter le décalage +32.

]]> 68 degrés Fahrenheit

]]> Bonne réponse : 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68.

]]> Variation linéaire — Q07 : Problème de seuil linéaire Avec u(n) = 500 + 200n (dépense cumulée au rang n), à
partir de quel rang la dépense dépasse-t-elle 2000
euros ?

]]> Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre
l'inéquation 500 + 200n > 2000, puis prendre le premier
rang entier convenable : n = 8.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de n = 7

]]> Erreur : u(7) = 1900 < 2000 : le seuil n'est pas encore
franchi au rang 7.

]]> À partir de n = 7{,}5

]]> Erreur de nature : un rang est un entier ; la
solution n > 7{,}5 de l'inéquation s'arrondit au
premier entier supérieur : 8.

]]> Jamais : la suite est bornée

]]> Erreur : une suite arithmétique de raison positive
dépasse tout seuil (croissance sans plafond, quoique
lente).

]]> À partir de n = 8

]]> Bonne réponse : 500 + 200n > 2000 \Leftrightarrow n >
7{,}5 : le premier rang entier au-delà est n = 8
(u(8) = 2100).

]]> Variation linéaire — Q08 : Intérêts simples ou composés ? Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts
composés ?

]]> Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts
simples → arithmétique (linéaire) ; intérêts composés
→ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore
le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Simples : linéaire ; composés : exponentiel

]]> Bonne réponse : intérêts simples, le même montant est
ajouté chaque année (croissance linéaire, suite
arithmétique, calcul sur le capital initial) ; intérêts
composés, le même pourcentage est appliqué chaque année
au capital courant (croissance exponentielle, suite
géométrique).

]]> Les deux reviennent exactement au même à long terme

]]> Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les
composés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus
grand sur les simples (linéaires).

]]> Simples : petits montants ; composés : gros montants

]]> Erreur : la distinction porte sur le mécanisme de
calcul, pas sur la taille des sommes.

]]> Composés : les intérêts sont versés deux fois par an

]]> Erreur : « composés » signifie que les intérêts
produisent eux-mêmes des intérêts, quelle que soit la
fréquence de versement.

]]> Variation linéaire — Q09 : Offre, demande et point d'équilibre L'offre est modélisée par y = 2x + 1 et la demande par
y = -x + 10 (x : prix unitaire). En quel prix x
l'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?

]]> Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :
le point d'équilibre est l'intersection des deux droites.
Égaler les expressions : x = 3, y = 7.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 7

]]> Confusion : 7 est l'ordonnée du point d'équilibre
(la quantité), pas le prix x.

]]> x = 3

]]> Bonne réponse : 2x + 1 = -x + 10 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 (et la quantité d'équilibre vaut
y = 7).

]]> x = 9

]]> Oubli de la division : 3x = 9 donne x = 3, pas
x = 9.

]]> Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles

]]> Erreur : les pentes 2 et -1 diffèrent : les droites
se coupent en exactement un point.

]]> Variation linéaire — Q10 : Coefficient directeur par deux points Une droite passe par les points (2 ; 5) et
(6 ; 13). Quel est son coefficient directeur ?

]]> Automatisme du programme : m = y_B - y_A/x_B - x_A = 2 : la droite monte de 2 par pas de 1 vers la
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9/2

]]> Erreur : 13 + 5/6 - 2 additionne au lieu de
soustraire au numérateur. Formule :
y_B - y_A/x_B - x_A.

]]> 8

]]> Incomplet : 8 est la variation verticale totale ; le
coefficient la rapporte à l'avancée horizontale (4) :
2 par unité.

]]> 2

]]> Bonne réponse : m = 13 - 5/6 - 2 = 8/4 = 2.

]]> ½

]]> Fraction renversée : la variation des ordonnées
(8) se divise par celle des abscisses (4).

]]> Variation linéaire — Q11 : Impôt et taux marginal Un barème d'impôt prévoit : 0\ % jusqu'à 10 000 euros
de revenu, puis 30\ % sur la partie au-delà de
10 000 euros. Quel est l'impôt pour un revenu de
15 000 euros ?

]]> Modèle affine par morceaux (au programme) : chaque taux
s'applique à sa tranche. Impôt = 0{,}3 \times (15\,000 -
10\,000) = 1500 euros ; le taux moyen effectif vaut
10\ %, bien moins que le taux marginal de 30\ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0 euro

]]> Erreur : le revenu ne dépasse le seuil que de 5000
euros, mais dès qu'il le dépasse, la partie excédentaire
est imposée : 1500 euros ici.

]]> 4500 euros

]]> L'erreur répandue sur les impôts : 30\ % de tout le
revenu. Le taux d'une tranche ne s'applique jamais à
tout le revenu, seulement à la partie située dans la
tranche.

]]> 1500 euros

]]> Bonne réponse : le taux marginal de 30\ % ne
s'applique qu'aux 5000 euros au-delà de 10 000
euros : 0{,}3 \times 5000 = 1500.

]]> 3000 euros

]]> Erreur : 30\ % de 10 000 calcule sur la mauvaise
partie : la première tranche est à 0\ %, la taxation
porte sur les 5000 euros excédentaires.

]]> Variation linéaire — Q12 : Linéaire ou pas ? Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un
modèle linéaire (suite arithmétique) ?

]]> Test de reconnaissance : « + le même montant » →
linéaire ; « × le même facteur » (ou ± le même
pourcentage) → exponentiel. Diagnostic indispensable
avant tout choix de modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un capital est multiplié par 1{,}5 chaque année

]]> Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique
(exponentiel), pas linéaire.

]]> Une forêt gagne 50 hectares chaque année

]]> Bonne réponse : accroissement constant en valeur
absolue (+50 ha/an) : croissance linéaire, suite
arithmétique de raison 50.

]]> Une population augmente de 2\ % chaque année

]]> Erreur : un taux constant (\times 1{,}02) définit
une croissance exponentielle (suite géométrique).

]]> Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année

]]> Erreur : × ½ répété est une
décroissance exponentielle (demi-vie), pas linéaire.

]]> Variation linéaire — Q13 : Avancer de terme en terme Une suite vérifie u₀ = 20 et uₙ₊₁ = uₙ + 5. Que
vaut u₃ ?

]]> Suite arithmétique : uₙ = u₀ + n × r (ici 20 + 5n). Le rang n compte le nombre de pas effectués
depuis u₀ : source du décalage classique d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25

]]> Arrêt prématuré : 25 = u₁ : il reste deux pas
jusqu'à u₃.

]]> 60

]]> Erreur : 20 × 3 multiplie le terme initial : la
suite AJOUTE 5 par étape, elle ne multiplie pas.

]]> 40

]]> Un pas de trop : u₃ est atteint en trois étapes
depuis u₀ (40 serait u₄).

]]> 35

]]> Bonne réponse : trois pas de +5 depuis 20 : 25,
30, 35 (ou directement 20 + 3 × 5).

]]> Variation linéaire — Q14 : Pente négative Que dire de la fonction affine f(x) = -3x + 12 ?

]]> Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux
d'accroissement constant : m > 0 croissance, m < 0
décroissance, et |m| donne la vitesse. Tout est dans la
pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante seulement pour x > 4

]]> Erreur : une droite garde la même pente partout : elle
descend AVANT et APRÈS 4 (4 est juste là où elle
traverse zéro).

]]> Elle est décroissante sur ℝ

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur -3 est le
taux de variation : chaque unité de plus sur x fait
perdre 3 à f(x). Négatif, la droite descend, à
vitesse constante.

]]> Elle est croissante sur ℝ

]]> Mauvais paramètre : le 12 positif est la valeur de
départ (en x = 0) ; le sens de variation se lit sur le
coefficient de x, ici -3 < 0.

]]> Elle n'est ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : seule une fonction constante (m = 0)
échappe au classement : ici m = -3 : décroissante.

]]> Variation linéaire — Q15 : Deux tarifs à comparer Tarif A : 30 euros d'abonnement plus 2 euros par séance.
Tarif B : 5 euros par séance sans abonnement. À partir de
combien de séances le tarif A devient-il avantageux ?

]]> Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions
(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la
droite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le
schéma des choix d'abonnement, forfaits, locations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Jamais : B est toujours moins cher

]]> Erreur : B grimpe de 5 par séance contre 2 pour A :
les droites se croisent (à x = 10) et A passe dessous.

]]> Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de
l'argent

]]> Erreur : à 1 séance : 32 euros contre 5 : les
30 euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement
se rentabilise avec le volume.

]]> À partir de 11 séances (les deux tarifs s'égalent à
x = 10)

]]> Bonne réponse : 30 + 2x = 5x \iff x = 10 : égalité à
10 séances (50 euros), et au-delà l'abonnement
l'emporte (3 euros économisés par séance
supplémentaire).

]]> À partir de 6 séances

]]> Contrôle : à 6 séances : 42 euros (A) contre 30
(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à 10.

]]> Variation linéaire — Q16 : Coût d'un abonnement Une salle de sport coûte 25 euros d'inscription puis 3
euros par séance. Quel est le coût total pour 10
séances ?

]]> Modèle affine du coût : C(x) = (fixe) + (taux) × x : la structure de tous les tarifs à
abonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à
chaque unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 280 euros

]]> Erreur : (25 + 3) × 10 fait payer l'inscription
à chaque séance : elle ne se paie qu'une fois.

]]> 30 euros

]]> Partie fixe oubliée : 3 × 10 = 30 ne compte que
les séances : l'inscription s'ajoute.

]]> 55 euros

]]> Bonne réponse : C(x) = 25 + 3x, et C(10) = 25 + 30 = 55 : partie fixe + partie proportionnelle.

]]> 250 euros

]]> Erreur : 25 × 10 multiplie la partie fixe : la
formule est 25 + 3 × 10.

]]> Variation linéaire — Q17 : Retrouver la fonction affine Une fonction affine vérifie f(2) = 7 et f(5) = 16.
Quelle est son expression ?

]]> Affine par deux valeurs : 1) taux m = f(b) - f(a)/b - a ; 2) constante via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux
points : c'en est une.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 9x + 3

]]> Taux faux : 9 est l'écart des images seul : le taux le
divise par l'écart des antécédents (3) : m = 3.

]]> f(x) = 3x + 1

]]> Bonne réponse : taux = 16 - 7/5 - 2 = 3,
puis f(2) = 7 donne 6 + p = 7, p = 1. Contrôle :
f(5) = 16 ✓.

]]> f(x) = 3x + 7

]]> Ordonnée bâclée : 7 est f(2), pas f(0) : la
constante se calcule : 7 - 3 × 2 = 1.

]]> f(x) = 7/2x

]]> Proportionnalité supposée à tort : \dfrac{7}{2}
\times 5 = 17{,}5 \neq 16 : une fonction affine
générale a aussi une constante.

]]> Variation linéaire — Q18 : Le tableau est-il linéaire ? Un tableau donne : f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7,
f(3) = 10. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?

]]> Test du modèle linéaire : différences constantes à pas
constant (f(x+1) - f(x) identiques). Test du modèle
exponentiel : quotients constants. Deux tests, deux
mondes : LA distinction structurante de l'année.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : quatre points sont toujours alignés

]]> Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou
plus rarement : ici le quatrième sort de la droite des
trois premiers.

]]> Non, le dernier accroissement casse la régularité

]]> Bonne réponse : les accroissements valent +2, +2,
puis +3. Un modèle affine exige des accroissements
constants à pas égal : le passage de 7 à 10
dévie, le modèle est au mieux approximatif.

]]> Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs
constants

]]> Confusion de modèle : le quotient constant caractérise
le modèle exponentiel : le linéaire se teste par les
différences.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement

]]> Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut
augmenter du MÊME montant à chaque pas, et +3 ≠ +2.

]]> Variation linéaire — Q19 : Reconnaître une suite arithmétique Parmi ces suites, laquelle est arithmétique ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes
consécutifs est constante. Cette différence est la raison de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc uₙ₊₁ = uₙ + n

]]> Ce qu'on ajoute change à chaque rang, donc l'accroissement n'est pas
constant.

]]> uₙ₊₁ = 4uₙ

]]> Cette relation multiplie par un facteur constant : la suite est
géométrique, pas arithmétique.

]]> uₙ₊₁ = uₙ²

]]> Cette relation élève au carré : les écarts entre termes consécutifs
varient très vite.

]]> uₙ₊₁ = uₙ - 4

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le
même nombre, ici -4.

]]> Variation linéaire — Q20 : Retrouver la raison Une suite arithmétique vérifie u₃ = 7 et u₈ = 22.
Quelle est sa raison ?

]]> Entre deux termes de rangs p et q, on a u_q = uₚ + (q - p)r. La
raison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des
rangs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son
résultat.

]]> 15

]]> Division oubliée : 15 est l'écart total entre les deux termes, à
répartir sur 5 pas.

]]> 3

]]> Bonne réponse : 5 pas séparent les rangs 3 et 8, donc
r = 22 - 7/5.

]]> 5/2

]]> Nombre de pas mal compté : de u₃ à u₈, il y en a
8 - 3 = 5, et non 8 - 3 + 1.

]]> Variation linéaire — Q21 : Franchir un seuil Une suite arithmétique de premier terme u₀ = 50 et de raison -3
devient négative à partir de quel rang ?

]]> On écrit le terme général uₙ = u₀ + nr, on résout l'inéquation
correspondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Du rang 18

]]> La suite est déjà négative au rang 17, où elle vaut -1.

]]> Du rang 50

]]> Premier terme confondu avec un rang : 50 est la valeur de départ,
pas un numéro de terme.

]]> Du rang 16

]]> Le terme u₁₆ vaut encore 2, donc il reste positif.

]]> Du rang 17

]]> Bonne réponse : uₙ = 50 - 3n s'annule pour n \approx 16{,}7, et
u₁₇ = -1.

]]> Variation linéaire — Q22 : Un forfait et un prix à l'unité Un service coûte 15 euros d'abonnement mensuel plus 0{,}40 euro
par communication. Quelle fonction modélise la dépense mensuelle ?

]]> Une situation à coût fixe plus coût proportionnel se modélise par une
fonction affine. La partie fixe se lit en ordonnée à l'origine, la partie
proportionnelle dans le coefficient directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc f(x) = 15x + 0{,}4

]]> Rôles échangés : l'abonnement est payé une fois, il ne se multiplie
pas par le nombre de communications.

]]> f(x) = 15{,}4x

]]> Termes fusionnés : pour dix communications, cette formule donnerait
154 euros au lieu de 19.

]]> f(x) = 0{,}4(x + 15)

]]> Le prix unitaire s'appliquerait à l'abonnement : pour x = 0, la
dépense serait de 6 euros et non de 15.

]]> f(x) = 0{,}4x + 15

]]> Bonne réponse : le prix unitaire est le coefficient directeur et
l'abonnement l'ordonnée à l'origine.

]]> Variation linéaire — Q23 : Points alignés Pourquoi les points représentant une suite arithmétique sont-ils
alignés ?

]]> Le terme général uₙ = u₀ + nr est une expression affine en n. Les
points de la représentation appartiennent donc à une droite de coefficient
directeur r.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que les rangs sont des entiers

]]> Les rangs sont entiers pour toute suite, y compris géométrique, dont
les points ne sont pas alignés.

]]> Parce que la suite est croissante

]]> L'alignement vaut aussi pour une suite décroissante, et même pour une
suite constante.

]]> Parce que l'accroissement est constant

]]> Bonne réponse : passer d'un rang au suivant décale toujours de la même
hauteur, ce qui dessine une droite.

]]> Parce que les termes sont tous positifs

]]> Le signe n'intervient pas : une suite de raison négative donne des
points alignés qui descendent.

]]> Variation linéaire — Q24 : Des allumettes pour un motif en T On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le
motif n° 1 en compte 5, et on ajoute 3 allumettes pour passer
d'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° 20 ?

]]> Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier
terme u(1) = 5 et de raison 3 : u(n) = 5 + 3(n - 1), donc
u(20) = 62.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 65

]]> Décalage de rang : 5 + 3 × 20 ajoute une fois de trop
les 3 allumettes, car le motif n° 1 en compte déjà 5.

]]> 62

]]> Bonne réponse : du motif n° 1 au motif n° 20, on ajoute
19 fois 3 allumettes, soit 5 + 3 × 19 = 62.

]]> 100

]]> Proportionnalité supposée à tort : 5 × 20 reviendrait
à ajouter 5 allumettes à chaque motif, et non 3.

]]> 60

]]> Premier terme oublié : 3 × 20 ne compte que les ajouts,
sans les 5 allumettes du départ.

]]> Variation linéaire — Q25 : Quand le second tarif devient avantageux Le tarif A coûte 0{,}5x + 20 euros, le tarif B 0{,}9x + 8 euros.
À partir de quelle valeur de x le tarif A est-il le moins cher ?

]]> Comparer deux tarifs affines revient à résoudre une équation, puis à
décider de part et d'autre du point d'égalité en comparant les
coefficients directeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de x = 30

]]> Bonne réponse : l'égalité 0{,}5x + 20 = 0{,}9x + 8 donne x = 30,
et A croît moins vite ensuite.

]]> Jamais, B est toujours moins cher

]]> Pour x = 100, A coûte 70 euros et B 98 euros : l'ordre finit par
s'inverser.

]]> À partir de x = 12

]]> Écart des parties fixes : 20 - 8 = 12 ne tient pas compte des prix
unitaires.

]]> À partir de x = 20

]]> Partie fixe recopiée : pour x = 20, A coûte 30 euros et B 26
euros, donc B reste avantageux.

]]> Variation linéaire — Q26 : Signe de la raison Que peut-on dire d'une suite arithmétique de raison nulle ?

]]> Le signe de la raison donne le sens de variation : positive la suite
croît, négative elle décroît, nulle elle est constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante

]]> La croissance stricte exigerait une raison strictement positive.

]]> Elle est décroissante

]]> La décroissance stricte exigerait une raison strictement négative.

]]> Elle est constante

]]> Bonne réponse : ajouter 0 à chaque étape laisse tous les termes
égaux au premier.

]]> Elle n'est pas définie

]]> Une raison nulle est parfaitement admissible : la suite vaut alors
toujours son premier terme.

]]> Variation linéaire — Q27 : Taux d'accroissement entre deux valeurs Pour une fonction affine, on lit f(2) = 5 et f(6) = 17.
Quel est son coefficient directeur ?

]]> Pour une fonction affine, le taux d'accroissement entre deux valeurs est
constant et vaut le coefficient directeur. C'est ce qui caractérise une
croissance linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Variation de x recopiée : elle sert de dénominateur au calcul.

]]> ⅓

]]> Quotient inversé : le numérateur est la variation des images, le
dénominateur celle des nombres de départ.

]]> 3

]]> Bonne réponse : 17 - 5/6 - 2 = 12/4 = 3.

]]> 12

]]> Division oubliée : 12 est la variation de f, qu'il reste à
rapporter à celle de x.

]]> Variation linéaire — Q28 : Linéaire ou exponentiel Une population perd chaque année 200 habitants.
Quel modèle décrit cette évolution ?

]]> Une variation d'un nombre fixe d'unités par période relève du modèle
linéaire. Une variation d'un pourcentage fixe relève du modèle
exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite géométrique de raison -200

]]> Une raison géométrique multiplie les termes ; négative, elle ferait
alterner le signe de la population.

]]> Une suite arithmétique de raison 0{,}8

]]> Cette suite perdrait seulement 0{,}8 habitant par an, ce qui ne
correspond pas à l'énoncé.

]]> Une suite arithmétique de raison -200

]]> Bonne réponse : la perte est un nombre fixe d'habitants, donc une
soustraction constante.

]]> Une suite géométrique de raison 0{,}8

]]> Ce modèle correspondrait à une perte de 20 % par an, donc à un
nombre d'habitants perdus qui diminue avec le temps.

]]> Variation linéaire — Q29 : Du premier terme au terme général Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 4 et pour raison
6. Quelle est l'expression de uₙ ?

]]> Pour une suite arithmétique commençant au rang 0, on a
uₙ = u₀ + nr. Si elle commence au rang 1, la formule devient
uₙ = u₁ + (n-1)r.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc uₙ = 4 + 6(n - 1)

]]> Formule du premier terme de rang 1 : ici la suite commence au rang
0, donc u₀ doit valoir 4.

]]> uₙ = 4 + 6n

]]> Bonne réponse : après n pas de 6 à partir de 4, on a ajouté
6n.

]]> uₙ = 6 + 4n

]]> Rôles échangés : le premier terme est la constante, la raison le
coefficient de n.

]]> uₙ = 4 × 6ⁿ

]]> Modèle géométrique : la raison se multiplierait au lieu de s'ajouter.

]]> Variation linéaire — Q30 : Deux droites parallèles, deux tarifs Deux tarifs sont représentés par des droites parallèles.
Que peut-on en conclure ?

]]> Deux fonctions affines de même coefficient directeur diffèrent d'une
constante. Leur comparaison est décidée une fois pour toutes, sans point
d'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le moins cher au départ devient le plus cher

]]> L'ordre ne peut pas s'inverser : l'écart garde le même signe partout.

]]> Les deux tarifs finissent par se croiser

]]> Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point commun, quel que
soit le nombre d'unités.

]]> Les deux tarifs ont le même abonnement

]]> Ce sont les ordonnées à l'origine qui diffèrent, c'est même ce qui
rend les droites distinctes.

]]> Leur écart de prix reste constant

]]> Bonne réponse : des pentes égales signifient une même augmentation par
unité, donc un écart qui ne bouge pas.

]]> Variation linéaire — Q31 : Remonter jusqu'au premier terme Une suite arithmétique vérifie uₙ₊₁ = uₙ - 4 pour tout entier
n, et l'on sait que u₅ = 3. Que vaut son premier terme
u₀ ?

]]> La relation uₙ₊₁ = uₙ + r se parcourt dans les deux sens : vers
l'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre
d'étapes est l'écart des rangs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 19

]]> Un pas oublié : de u₀ à u₅, la suite effectue 5
étapes et non 4.

]]> 12

]]> Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a
d'étapes, elle ne multiplie jamais le terme.

]]> -17

]]> Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers
u₀ ajoute 4 à chaque pas au lieu de le retrancher.

]]> 23

]]> Bonne réponse : chaque pas en avant retire 4, donc chaque pas
en arrière ajoute 4. De u₀ à u₅ il y a 5 pas,
d'où u₀ = 3 + 5 × 4 = 23.

]]> Variation linéaire — Q32 : L'égalité qui définit la raison Une suite (uₙ) est arithmétique de raison r. Quelle égalité
traduit exactement cette définition ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes
consécutifs est la même pour tous les rangs. Cette différence commune
porte le nom de raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc uₙ₊₁ - uₙ = n pour tout entier n

]]> Accroissement variable : ici l'écart grandit avec le rang, alors
qu'une suite arithmétique avance toujours du même pas.

]]> uₙ₊₁ - uₙ = r pour tout entier n

]]> Bonne réponse : la raison est la différence entre un terme et le
précédent, et cette différence ne change jamais de rang en rang.

]]> \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = r pour tout entier n

]]> Quotient constant : cette égalité définit une suite géométrique,
où l'on multiplie par la raison au lieu de l'ajouter.

]]> uₙ - u₀ = r pour tout entier n

]]> Une seule étape comptée : cet écart vaut r au rang 1, mais
n × r au rang n.

]]> Variation linéaire — Q33 : Conclure sans calculer la raison Une suite arithmétique vérifie u₃ = 40 et u₁₀ = 12. Sans
calculer sa raison, que peut-on affirmer ?

]]> Une suite arithmétique garde le même sens de variation du début à la
fin. Comparer deux de ses termes donne donc immédiatement ce sens,
sans passer par le calcul de la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante, puisque ses deux termes restent positifs

]]> Le signe des termes n'intervient pas : une suite constante aurait
deux termes égaux, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> On ne peut rien affirmer sans connaître le premier terme u₀

]]> Le premier terme fixe le point de départ, pas la direction : deux
termes suffisent pour trancher.

]]> Elle croît, puisque le rang passe de 3 à 10 dans le relevé

]]> Le rang augmente toujours : c'est l'évolution des termes, et non
celle des rangs, qui donne le sens de variation.

]]> Elle décroît, un rang plus grand donnant un terme plus petit

]]> Bonne réponse : les termes d'une suite arithmétique évoluent
toujours dans le même sens, donc une seule comparaison suffit à
conclure.

]]> Variation linéaire — Q34 : Une droite qui descend [Figure : Six points d'abscisses 0 à 5 et d'ordonnées 9 ; 7,5 ; 6 ; 4,5 ;
3 et 1,5 : ils descendent régulièrement, alignés.]

Les points ci-dessous représentent une suite arithmétique : ils sont
alignés sur une droite qui descend. Que peut-on dire de sa raison ?

]]> La raison d'une suite arithmétique se lit comme le coefficient
directeur de la droite des points : positive elle monte, négative elle
descend, nulle elle reste horizontale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement négative

]]> Bonne réponse : la raison joue le rôle du coefficient directeur.
Négative, elle fait perdre la même hauteur à chaque rang.

]]> Elle est strictement positive

]]> Une raison positive fait monter les points d'un rang au suivant,
donc donne une droite qui monte.

]]> Son premier terme est négatif

]]> Le premier terme situe la droite en hauteur, alors que la raison
en donne l'inclinaison.

]]> Elle est nulle, la droite étant tracée

]]> Une raison nulle donnerait des points à la même hauteur, alignés
sur une droite horizontale.

]]> Variation linéaire — Q35 : Deux tarifs lus sur un graphique [Figure : Deux droites. La droite A part de (0 ; 28) et monte lentement ; la
droite B part de l'origine et monte plus vite. Elles se coupent au
point (20 ; 44) ; avant 20 unités A est au-dessus de B, après elle
est en dessous.]

Sur le graphique ci-dessous, les droites de deux tarifs A et B se
coupent au point de coordonnées (20 ; 44). Avant ce point, la
droite de A est au-dessus de celle de B. Quel tarif choisir pour 30
unités ?

]]> Comparer deux tarifs affines revient à repérer leur point
d'intersection, puis à observer laquelle des deux droites passe en
dessous de part et d'autre de ce point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux, qui coûtent tous deux 44 euros

]]> Le point d'intersection ne vaut que pour 20 unités : les deux
tarifs coïncident là, et nulle part ailleurs.

]]> Le tarif B, moins cher quel que soit le nombre d'unités

]]> B n'est le moins cher qu'avant le croisement : au-delà de 20
unités, la position des deux droites s'inverse.

]]> Le tarif A, passé en dessous au-delà de 20 unités

]]> Bonne réponse : deux droites qui se croisent échangent leurs
positions. A étant au-dessus avant 20 unités, elle passe en
dessous après, et devient le tarif le moins cher.

]]> Impossible de conclure sans les deux expressions

]]> Le graphique suffit : le point d'intersection et la position
relative avant celui-ci déterminent entièrement la réponse.

]]> Variation linéaire — Q36 : Coefficient directeur dans une écriture inhabituelle Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation
y = 9 - 4x ?

]]> Une équation réduite s'écrit y = mx + p. Quand les deux termes sont
présentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie x
et lui conserver son signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Termes confondus : 9 est le terme constant, c'est-à-dire
l'ordonnée à l'origine de la droite.

]]> -9

]]> Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de x qui porte le
signe moins, pas le terme constant.

]]> 4

]]> Signe oublié : le terme s'écrit - 4x, donc le coefficient
directeur vaut -4 et la droite descend.

]]> -4

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui
multiplie x, avec son signe. En écrivant y = -4x + 9, il
apparaît clairement.

]]> Variation linéaire — Q37 : Variation sur plusieurs unités Soit f la fonction affine définie par f(x) = 4x - 7. De
combien f(x) augmente-t-elle lorsque x augmente de 3 ?

]]> Pour une fonction affine de coefficient directeur m, une variation
de h sur x produit une variation de m × h sur les images,
quelle que soit la valeur de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De 4

]]> Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les
3 unités annoncées.

]]> De 5

]]> Image calculée au lieu d'un écart : f(3) est une valeur de la
fonction, pas la variation entre deux valeurs.

]]> De 12

]]> Bonne réponse : chaque unité gagnée sur x ajoute 4 à f(x),
donc 3 unités en ajoutent 4 × 3 = 12.

]]> De 3

]]> Variation de x recopiée : celle de f(x) s'obtient en la
multipliant par le coefficient directeur 4.

]]> Variation linéaire — Q38 : Un tarif à deux paliers Un parking facture 3 euros la première heure, puis 2 euros
par heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de 5
heures ?

]]> Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche
a son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier
palier et la part proportionnelle des suivants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25 euros

]]> Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure
ne se paie qu'une seule fois.

]]> 11 euros

]]> Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les
4 heures restantes à 2 euros, d'où
3 + 2 × 4 = 11.

]]> 10 euros

]]> Premier palier oublié : la première heure est facturée 3
euros, et non 2 euros comme les suivantes.

]]> 13 euros

]]> Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par
le tarif de départ, il reste 4 heures supplémentaires.

]]> Variation linéaire — Q39 : Retrouver le revenu à partir de l'impôt Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à 2000 euros de revenu
mensuel, puis 30\ % de la partie située au-delà. Une personne
paie 900 euros. Quel est son revenu mensuel ?

]]> Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin
inverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de
reconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2270 euros

]]> Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut
remonter au montant dont il représente 30\ %.

]]> 2900 euros

]]> Impôt ajouté tel quel : il ne représente que 30\ % de la
partie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord.

]]> 5000 euros

]]> Bonne réponse : 900 euros représentent 30\ % de la
partie imposable, qui vaut donc 3000 euros. Le revenu ajoute
le seuil : 2000 + 3000 = 5000.

]]> 3000 euros

]]> Seuil oublié : 3000 euros est la seule partie imposée, à
laquelle s'ajoute la tranche non imposée de 2000 euros.

]]> Variation linéaire — Q40 : Un placement à intérêts simples Un capital de 2000 euros est placé à intérêts simples : il rapporte
chaque année 3\ % du capital initial. Quelle est la valeur du
placement au bout de 4 ans ?

]]> Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur
du placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés
multiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle
exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2060 euros

]]> Une seule année comptée : les intérêts sont versés 4 fois, pas
une seule.

]]> 240 euros

]]> Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut
ajouter le capital de départ.

]]> 2240 euros

]]> Bonne réponse : les intérêts annuels valent 60 euros, et
ils sont identiques chaque année, d'où
2000 + 4 × 60 = 2240.

]]> 2251{,}02 euros

]]> Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital
augmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours
sur le capital initial.

]]> Variation linéaire — Q41 : Retrouver le coût fixe Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction
affine du nombre de pièces. Produire 20 pièces coûte 700 euros,
en produire 50 coûte 1150 euros. Quel est le coût fixe,
c'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?

]]> Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande
deux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,
puis le terme constant en reportant l'un des couples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1000 euros

]]> Signe inversé : le coût des 20 premières pièces se retranche
au coût total pour isoler la part fixe.

]]> 400 euros

]]> Bonne réponse : le coût par pièce vaut 15 euros, donc les
20 premières pièces coûtent 15 × 20 euros, et le
coût fixe est 700 - 15 × 20 = 400.

]]> 15 euros

]]> Coût unitaire pris pour le coût fixe : 15 euros est le prix
d'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de
pièces.

]]> 450 euros

]]> Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces
supplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre.

]]> Variation linéaire — Q42 : Un relevé qui n'est pas linéaire Un relevé donne f(0) = 2, f(1) = 6, f(2) = 18 et f(3) = 54.
Un modèle linéaire convient-il ?

]]> Deux tests distinguent les modèles : des différences constantes
signalent le modèle linéaire, des quotients constants le modèle
exponentiel. Ici les quotients valent 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les valeurs sont multipliées par 3 à chaque étape

]]> Bonne réponse : les quotients successifs valent tous 3, ce qui
caractérise le modèle exponentiel, alors que le modèle linéaire
exige des différences constantes.

]]> Oui : les écarts 4, 12 et 36 forment une progression

]]> Des écarts qui progressent sont justement la preuve du contraire :
le modèle linéaire les veut tous égaux.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement à chaque étape

]]> Augmenter ne suffit pas : il faut augmenter du même montant, or les
écarts valent 4, puis 12, puis 36.

]]> Non : aucun modèle usuel ne décrit un tel relevé de valeurs

]]> Un modèle convient pourtant : la multiplication par un même facteur
caractérise la croissance exponentielle.

]]> Variation linéaire — Q43 : Ce que dit l'ordonnée à l'origine La longueur d'un ressort, en centimètres, est donnée par
L(m) = 12 + 0{,}5\,m, où m est la masse accrochée, en grammes. Sa
représentation graphique est une droite. Que représente son ordonnée à
l'origine ?

]]> Dans un modèle affine, le terme constant se lit sur l'axe des
ordonnées et décrit l'état initial, tandis que le coefficient directeur
décrit la vitesse d'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La longueur du ressort sans masse accrochée

]]> Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est la valeur en m = 0,
c'est-à-dire la longueur du ressort au repos.

]]> La masse au-delà de laquelle le ressort casse

]]> Le modèle ne décrit aucune rupture : il relie seulement une masse
accrochée à une longueur.

]]> La longueur atteinte pour une masse de 12 grammes

]]> Pour m = 12, la longueur vaut 18 centimètres : l'ordonnée à
l'origine correspond à la masse nulle.

]]> L'allongement du ressort par gramme accroché

]]> Cet allongement vaut 0{,}5 centimètre : il se lit dans le
coefficient directeur, qui donne l'inclinaison de la droite.

]]> Variation linéaire — Q44 : Un réservoir qui se vide Un réservoir contient 240 litres et se vide de 15 litres par
heure. Au bout de combien d'heures contient-il 90 litres ?

]]> Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit
v(t) = v₀ - dt. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée
revient à résoudre une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 150 heures

]]> Volume pris pour une durée : 150 litres est le volume à
perdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire.

]]> 6 heures

]]> Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le
débit, et non le volume restant.

]]> 10 heures

]]> Bonne réponse : il faut perdre 240 - 90 = 150 litres, à
raison de 15 litres par heure, soit 10 heures.

]]> 16 heures

]]> Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider
entièrement le réservoir, pas pour atteindre 90 litres.

]]> Variation linéaire — Q45 : Deux termes, puis un troisième Une suite arithmétique vérifie u₁ = 5 et u₁₀ = 32. Que
vaut u₂₀ ?

]]> Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par
l'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par
uₙ = u₁ + (n - 1)r, en comptant soigneusement les pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 35

]]> Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de u₁ tout
en comptant les pas à partir du rang 10.

]]> 65

]]> Un pas de trop : la suite commence au rang 1, donc atteindre le
rang 20 demande 19 pas et non 20.

]]> 62

]]> Bonne réponse : 9 pas séparent les rangs 1 et 10, donc
la raison vaut 3. Du rang 1 au rang 20 il y a 19
pas, d'où u₂₀ = 5 + 19 × 3 = 62.

]]> 92

]]> Terme de départ mal choisi : en partant de u₁₀, il ne reste
que les pas séparant les rangs 10 et 20.

]]> Variation linéaire — Q46 : Une suite arithmétique au tableur Dans un tableur, la cellule B2 contient le premier terme u₀ = 500
d'une suite arithmétique de raison -15, et les termes suivants
s'écrivent en dessous. Quelle formule saisir en B3 pour la recopier
ensuite vers le bas ?

]]> La relation de récurrence uₙ₊₁ = uₙ - 15 se traduit par une
formule qui renvoie à la cellule du dessus ; la recopie décale la
référence d'une ligne à chaque fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =B2-15

]]> Bonne réponse : chaque terme s'obtient en retirant 15 au
précédent. Recopiée vers le bas, la formule devient =B3-15,
puis =B4-15, etc.

]]> =500-15

]]> Erreur : recopiée, cette formule donne 485 dans toutes les
cellules. Elle doit faire référence au terme précédent.

]]> =B3-15

]]> Erreur : la cellule B3 ferait référence à elle-même. Le terme
précédent se trouve en B2.

]]> =B2*(-15)

]]> Erreur : multiplier par la raison correspond à une suite
géométrique. Une suite arithmétique ajoute sa raison.

]]> Variation linéaire — Q47 : Un carré bordé [Figure : Carré de 3 carreaux sur 3, blancs, entouré d'une bordure de
carreaux gris : l'ensemble forme un carré de 5 sur 5 comptant 16
carreaux gris.]

Un carré de 5 × 5 carreaux blancs est entouré d'une
bordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure
montre le cas d'un carré de 3 × 3. Combien de carreaux gris
faut-il pour le carré de 5 × 5 ?

]]> Le nombre de carreaux gris u(n) = 4n + 4 augmente de 4 quand le
côté augmente de 1 : c'est une suite arithmétique de raison 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 49

]]> Erreur : (5 + 2)² = 49 compte tous les carreaux, blancs
compris. Il faut retirer les 25 carreaux blancs.

]]> 20

]]> Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour
3 × 3, ce calcul donnerait 12 au lieu de 16.

]]> 24

]]> Bonne réponse : quatre côtés de 5 carreaux, plus les quatre
coins, soit 4 × 5 + 4 = 24. Pour 3 × 3, on
retrouve 16.

]]> 28

]]> Erreur : en comptant 7 carreaux sur chaque côté, chaque
coin est compté deux fois.

]]> Variation linéaire — Q48 : Des croix de plus en plus grandes [Figure : Trois croix de carreaux. La croix 1 a un carreau central et
quatre branches d'un carreau (5 carreaux) ; la croix 2 a des
branches de deux carreaux (9 carreaux) ; la croix 3 a des
branches de trois carreaux (13 carreaux).]

On construit des croix avec des carreaux : la croix numéro n a un
carreau central et quatre branches de n carreaux. On note u(n)
le nombre de carreaux de la croix numéro n. Quelle relation relie
u(n + 1) à u(n) ?

]]> Une quantité qui augmente toujours du même nombre d'une étape à la
suivante se modélise par une suite arithmétique : ici,
u(n) = 4n + 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u(n + 1) = u(n) + 1

]]> Erreur : on n'ajoute pas un seul carreau, mais un à chaque
extrémité, donc quatre.

]]> u(n + 1) = 4 u(n) + 1

]]> Erreur : la croix suivante ne contient pas quatre copies de la
précédente. Avec u(1) = 5, on obtiendrait u(2) = 21 au lieu
de 9.

]]> u(n + 1) = u(n) + 5

]]> Erreur : 5 est le nombre de carreaux de la première croix ; le
carreau central n'est pas ajouté à chaque étape.

]]> u(n + 1) = u(n) + 4

]]> Bonne réponse : passer de la croix n à la croix n + 1
ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches (5,
9, 13, …).

]]> Variation linéaire — Q49 : Le niveau des océans On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000
par une croissance linéaire de 3{,}3 millimètres par an. Selon ce
modèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle
20 centimètres ?

]]> Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation
a n > S : on prend le premier entier n supérieur à
S/a, après avoir mis les grandeurs dans la même
unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En 2200

]]> Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte
de la vitesse de 3{,}3 mm par an.

]]> En 2060

]]> Erreur d'arrondi : au bout de 60 ans, l'élévation reste
inférieure à 200 mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus
tard.

]]> En 2007

]]> Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des
millimètres par an. Il faut convertir 20 cm en 200 mm.

]]> En 2061

]]> Bonne réponse : 20 cm = 200 mm, et 3{,}3\,n > 200 donne
n > 60{,}61 ; le premier entier qui convient est 61, d'où
l'année 2000 + 61.

]]>