$course$/QCM de maths/Seconde/ArithmétiqueNotations ℕ et ℤ, multiples et diviseurs,
nombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers
raisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests
algorithmiques.]]>Arithmétique — Q01 : Reconnaître un multipleLe nombre 51 est-il un multiple de 17 ?]]>Définition : a est multiple de b s'il existe un entier k
tel que a = kb. Ici 51 = 3 × 17 : 51 est multiple de
17 (et 17 est un diviseur de 51).]]>1.00.00truetrueabcNon, car 17 + 17 = 34 ≠ 51]]>Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de 17
sont 17, 34, 51, 68… : 51 en fait partie
(3 × 17).]]>Oui, car 51 = 3 × 17]]>Bonne réponse : il existe un entier k (ici k = 3) tel
que 51 = k × 17 : c'est la définition d'un multiple.]]>Non, car 51 est impair]]>Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par
2. Un nombre impair peut très bien être multiple de
17 : 51 = 3 × 17.]]>Oui, car 51 se termine par 1, comme tout multiple de 17]]>La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun
critère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre
pour 17. La seule justification valable est
51 = 3 × 17.]]>Arithmétique — Q02 : Écriture d'un nombre pairComment caractérise-t-on un entier pair n ?]]>n pair ⇔ n = 2k avec k entier ;
n impair ⇔ n = 2k + 1. Ces écritures
littérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un
impair est impair).]]>1.00.00truetrueabcn est positif]]>Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. -6 est
pair (-6 = 2 × (-3)).]]>Il existe un entier k tel que n = 2k + 1]]>Erreur : 2k + 1 est l'écriture d'un nombre impair
(un pair plus un).]]>n se termine par 2]]>Insuffisant : 14, 36, 58, 70 sont pairs sans se
terminer par 2. Le critère du dernier chiffre est
« 0, 2, 4, 6 ou 8 », mais la définition est
n = 2k.]]>Il existe un entier k tel que n = 2k]]>Bonne réponse : un nombre pair est un multiple de 2. Cette écriture
n = 2k est l'outil de toutes les démonstrations de
parité.]]>Arithmétique — Q03 : Le cas de zéroLe nombre 0 est-il un multiple de 7 ?]]>0 = 0 × b pour tout entier b : 0 est multiple de
tous les entiers. En revanche, 0 ne divise aucun entier
non nul.]]>1.00.00truetrueabcOui, car 0 = 0 × 7]]>Bonne réponse : la définition demande un entier k tel que
0 = k × 7, et k = 0 convient. 0 est multiple de tout entier.]]>Non, car on ne peut pas diviser par 0]]>Confusion : on ne divise pas par 0, mais ici c'est
0 qu'on divise par 7 (0 ÷ 7 = 0, sans problème).]]>Non, car 0 n'est dans la table de personne]]>Erreur : la « table de 7 » commence bien par
0 × 7 = 0. L'intuition des tables récitées à partir
de 1 fait oublier ce premier terme.]]>Oui, mais seulement si on admet k non entier]]>Erreur : k = 0 est un entier parfaitement valable. Aucune
extension n'est nécessaire.]]>Arithmétique — Q04 : Somme de deux multiplesSoient m et n deux multiples de 7. Que peut-on dire de
leur somme m + n ?]]>Démonstration type (au programme) : m = 7k, n = 7j, donc
m + n = 7(k + j) : multiple de 7. La factorisation par 7
est tout l'argument.]]>1.00.00truetrueabcOn ne peut rien dire en général]]>Erreur : la factorisation m + n = 7k + 7j = 7(k+j)
conclut dans tous les cas.]]>Ce n'est un multiple de 7 que si m = n]]>Erreur : aucune condition n'est nécessaire :
7(k + j) fonctionne pour tous entiers k et j.]]>C'est un multiple de 14]]>Erreur : 7 + 14 = 21 est multiple de 7 mais pas de
14. La somme reste dans les multiples de 7, sans
doubler la base.]]>C'est toujours un multiple de 7]]>Bonne réponse : m = 7k et n = 7j donnent
m + n = 7(k + j), avec k + j entier : c'est la
démonstration du programme.]]>Arithmétique — Q05 : Carré d'un nombre impairSoit n = 2k + 1 un entier impair. Sa mise au carré donne
n² = 4k² + 4k + 1. Que peut-on en conclure ?]]>(2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 : la forme
2 × entier + 1 prouve que le carré d'un impair
est impair, quel que soit k.]]>1.00.00truetrueabcn² = 2(2k² + 2k) + 1 est impair]]>Bonne réponse : n² s'écrit 2 × entier + 1,
la forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration
du programme.]]>On ne peut rien conclure sans connaître k]]>Erreur : l'écriture 2(2k² + 2k) + 1 conclut pour tout entier k : c'est la force du calcul littéral.]]>n² est multiple de 4]]>Erreur : le +1 empêche la divisibilité par 4 (et même
par 2). Exemple : 3² = 9, pas multiple de 4.]]>n² est pair car 4k² + 4k est pair]]>Erreur de lecture : 4k² + 4k est bien pair, mais il
reste le +1 final qui rend le total impair.]]>Arithmétique — Q06 : Compter les diviseursCombien l'entier 12 possède-t-il de diviseurs positifs ?]]>Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12, soit 6 diviseurs.
Méthode : chercher les paires dont le produit vaut 12. Les
diviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses
multiples en nombre infini.]]>1.00.00truetrueabc6]]>Bonne réponse : les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; on les
trouve par paires de produit 12 : 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4.]]>4]]>Incomplet : n'oublie pas les extrêmes 1 et 12, qui sont
toujours diviseurs.]]>5]]>Presque : recompte par paires (1 × 12, 2 × 6, 3 × 4) : cela fait
6 diviseurs.]]>Une infinité]]>Erreur : ce sont les multiples de 12 qui sont en
nombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en
nombre fini.]]>Arithmétique — Q07 : Fraction irréductibleQuelle est la forme irréductible de la fraction
42/56 ?]]>Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. 42/56 = 42 ÷ 14/56 ÷ 14 = ¾.]]>1.00.00truetrueabc6/8]]>Simplification inachevée : 6 et 8 sont encore
divisibles par 2 : 6/8 = ¾.]]>21/28]]>Simplification inachevée : tu as divisé par 2, mais 21
et 28 restent tous deux divisibles par 7 :
21/28 = ¾.]]>⅔]]>Erreur de calcul : les produits en croix
2 × 56 et 3 × 42 diffèrent. La
simplification correcte par 14 donne ¾.]]>¾]]>Bonne réponse : 42 = 14 × 3 et 56 = 14 × 4 :
on simplifie par 14 et il ne reste aucun diviseur commun.]]>Arithmétique — Q08 : Les ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$Quelle affirmation est correcte à propos du nombre -3 ?]]>\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\ldots\} (entiers naturels)
et \mathbb{Z} = \{\ldots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,
\ldots\} (entiers relatifs) : ℕ ⊂ ℤ
et -3 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}.]]>1.00.00truetrueabc-3 ∈ ℕ et -3 ∈ ℤ]]>Erreur : ℕ ne contient aucun nombre négatif.
Les négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de
ℤ.]]>-3 ∈ ℤ mais -3 ∉ ℕ]]>Bonne réponse : ℕ contient les entiers naturels (0, 1, 2, …) et ℤ tous les
entiers relatifs, négatifs compris.]]>-3 ∈ ℕ car 3 ∈ ℕ]]>Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.
3 ∈ ℕ mais -3 n'y est pas.]]>-3 ∉ ℤ car il est négatif]]>Erreur : c'est précisément la raison d'être de
ℤ : accueillir les entiers négatifs
(…, -2, -1, 0, 1, 2, …).]]>Arithmétique — Q09 : Raisonner sur la parité de $n^2$Soit n un entier tel que n² est pair. Que peut-on en
déduire pour n ?]]>Raisonnement par contraposée : « n impair ⇒
n² impair » équivaut à « n² pair ⇒ n
pair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de
√2.)]]>1.00.00truetrueabcn = 2]]>Trop précis : n peut être 0, ± 2, ± 4, etc.
On déduit la parité de n, pas sa valeur.]]>n est pair]]>Bonne réponse : si n était impair, son carré serait
impair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,
n² pair force n pair.]]>n est impair]]>Erreur : teste n = 4 : n² = 16 pair et n pair. Un
carré pair ne peut pas provenir d'un impair.]]>On ne peut rien dire]]>Erreur : la propriété « impair ⇒ carré
impair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La
conclusion n pair est certaine.]]>Arithmétique — Q10 : Somme d'un pair et d'un impairQue peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier
impair ?]]>Table de parité, prouvée par le littéral : pair + pair =
pair ; impair + impair = pair ; pair + impair =
impair (2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1).]]>1.00.00truetrueabcElle est multiple de 3]]>Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par
3 (2 + 3 = 5 n'est pas multiple de 3).]]>Sa parité dépend des nombres choisis]]>Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :
pair + impair = 2(k+j) + 1, impair dans tous les
cas.]]>Elle est toujours paire]]>Erreur : 2 + 3 = 5, impair. L'écriture littérale
2(k+j) + 1 montre que le +1 subsiste toujours.]]>Elle est toujours impaire]]>Bonne réponse : 2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1, forme d'un
nombre impair, quels que soient les entiers k et j.]]>Arithmétique — Q11 : Tester un multiple en PythonEn Python, quelle condition teste si l'entier a est un
multiple de l'entier b (avec b non nul) ?]]>L'opérateur % (modulo) renvoie le reste de la division
euclidienne : a % b == 0 équivaut à « a est multiple de
b ». C'est l'algorithme du programme.]]>1.00.00truetrueabca / b == 0]]>Erreur : a / b est le quotient décimal ; il ne vaut 0
que si a vaut 0. C'est le reste % qui teste la
divisibilité.]]>a % b == 0]]>Bonne réponse : a % b est le reste de la division
euclidienne de a par b ; un reste nul signifie
exactement que b divise a.]]>b % a == 0]]>Sens inversé : cette condition teste si b est multiple
de a. L'ordre des opérandes compte.]]>a == b]]>Erreur : l'égalité est un cas très particulier. 51 est
multiple de 17 sans lui être égal.]]>Arithmétique — Q12 : Multiples communsUn bus A passe toutes les 4 minutes, un bus B toutes les 6
minutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de
minutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?]]>Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de 4
et 6 : 12, 24, 36… Le premier est 12. Lister les
premiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver.]]>1.00.00truetrueabc10 minutes]]>Erreur : 10 = 4 + 6 additionne les périodes ; or 10
n'est pas un multiple commun de 4 et de 6.]]>12 minutes]]>Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun
non nul de 4 et 6. Multiples de 4 : 4, 8, 12… ;
de 6 : 6, 12… : premier commun, 12.]]>2 minutes]]>Erreur : 2 est un diviseur commun de 4 et 6. On
cherche ici un multiple commun (les instants de départ
simultané).]]>24 minutes]]>Erreur : 24 = 4 × 6 est un multiple commun,
mais pas le plus petit : 12 convient déjà
(12 = 3 × 4 = 2 × 6).]]>Arithmétique — Q13 : Définition d'un nombre premierQu'est-ce qu'un nombre premier ?]]>Un entier est premier lorsqu'il est supérieur ou égal à 2 et qu'il
admet exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui-même. Le nombre 1
est donc exclu, et 2 est le seul nombre premier pair.]]>1.00.00truetrueabcUn entier impair que rien ne simplifie]]>La parité n'intervient pas : 2 est premier bien qu'il soit pair,
et 9 est impair sans être premier.]]>Un entier qui n'est divisible que par lui-même]]>Définition incomplète : tout entier est divisible par lui-même.
Il faut préciser que 1 et lui-même sont les seuls diviseurs.]]>Un entier qui n'est le produit d'aucun entier]]>Formulation fausse : 7 est premier et s'écrit pourtant
7 = 1 × 7. La condition porte sur le nombre de diviseurs.]]>Un entier ayant exactement deux diviseurs positifs]]>Bonne réponse : ces deux diviseurs sont 1 et le nombre lui-même.
C'est pourquoi 1, qui n'en a qu'un, n'est pas premier.]]>Arithmétique — Q14 : Repérer un nombre non premierParmi les entiers 83, 89, 91 et 97, lequel n'est pas premier ?]]>Pour tester la primalité d'un entier n, il suffit de chercher un
diviseur premier inférieur ou égal à √n. Ici √91 vaut
environ 9{,}5, et le test par 7 suffit à conclure.]]>1.00.00truetrueabc83]]>Il est premier : aucun des nombres 2, 3, 5 et 7 ne le divise,
et 9² = 81 < 83 < 100, donc il suffisait de tester jusqu'à 9.]]>89]]>Il est premier : 89 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par
5, ni par 7, et il suffit de tester jusqu'à 9.]]>91]]>Bonne réponse : 91 = 7 × 13. Un nombre impair qui ne finit
ni par 5 ni par 0 peut très bien avoir des diviseurs.]]>97]]>Il est premier : aucun diviseur parmi 2, 3, 5 et 7, et tester
au-delà de 9 est inutile puisque 10² = 100 > 97.]]>Arithmétique — Q15 : Décomposer $360$Quelle est la décomposition de 360 en produit de facteurs premiers ?]]>On divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus
grand : 360 = 2 × 180 = 2² × 90 = 2³ × 45, puis
45 = 3² × 5. La décomposition est unique.]]>1.00.00truetrueabc2³ × 3² × 5]]>Bonne réponse : 8 × 9 × 5 = 360, et 2, 3 et 5 sont
bien premiers.]]>2² × 3² × 10]]>Facteur non premier : 10 se décompose encore en 2 × 5. Le
produit vaut bien 360, mais la décomposition n'est pas terminée.]]>2⁴ × 3² × 5]]>Exposant de trop : ce produit vaut 720, soit le double de 360.
Le facteur 2 n'apparaît que trois fois.]]>2³ × 3 × 15]]>Facteur non premier : 15 vaut 3 × 5. Le produit donne 360,
mais il reste à décomposer un facteur.]]>Arithmétique — Q16 : Divisibilité par $3$Parmi ces entiers, lequel est divisible par 3 ?]]>Un entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses
chiffres l'est. Le critère se réapplique à la somme obtenue si besoin.]]>1.00.00truetrueabc4 521]]>Bonne réponse : 4 + 5 + 2 + 1 = 12, un multiple de 3.
On vérifie que 4 521 = 3 × 1 507.]]>3 721]]>Somme des chiffres égale à 13, qui n'est pas un multiple de 3.
Commencer par 3 ne garantit rien.]]>5 302]]>Somme des chiffres égale à 10, qui n'est pas un multiple de 3.
Un nombre pair n'a aucune raison d'être multiple de 3.]]>4 411]]>Somme des chiffres égale à 10, qui n'est pas un multiple de 3.
Le critère porte sur la somme, pas sur le dernier chiffre.]]>Arithmétique — Q17 : Divisible par $3$, et par $9$ ?La somme des chiffres d'un entier vaut 12. Que peut-on en conclure ?]]>Le critère de divisibilité par 9 est analogue à celui par 3, mais il
exige une somme des chiffres multiple de 9. Une somme égale à 12
assure donc la divisibilité par 3 seulement.]]>1.00.00truetrueabcIl est divisible par 3 mais pas par 9]]>Bonne réponse : 12 est multiple de 3 et non de 9. Exemple :
57 = 3 × 19 n'est pas divisible par 9.]]>Il est divisible par 12]]>Le critère ne dit rien sur 12 : la somme des chiffres de 57 vaut
12, alors que 57 n'est pas un multiple de 12.]]>Il est divisible par 9 mais pas par 3]]>Impossible : tout multiple de 9 est aussi multiple de 3, puisque
9 = 3 × 3.]]>Il est divisible par 3 et par 9]]>Le critère pour 9 exige que la somme des chiffres soit multiple de
9. Or 12 ne l'est pas, et 57 fournit un contre-exemple.]]>Arithmétique — Q18 : Divisibilité par $4$Parmi ces entiers, lequel est divisible par 4 ?]]>Comme 100 est un multiple de 4, seuls les deux derniers chiffres
décident : un entier est divisible par 4 si le nombre qu'ils forment
l'est.]]>1.00.00truetrueabc1 350]]>Les deux derniers chiffres forment 50, qui n'est pas un multiple de
4. Finir par un 0 ne suffit pas.]]>1 334]]>Les deux derniers chiffres forment 34, qui n'est pas un multiple de
4. La division donne un reste de 2.]]>1 316]]>Bonne réponse : 16 est un multiple de 4, donc 1 316 aussi.
On vérifie que 1 316 = 4 × 329.]]>1 322]]>Les deux derniers chiffres forment 22, qui n'est pas un multiple de
4. Un nombre pair n'est pas forcément divisible par 4.]]>Arithmétique — Q19 : Jusqu'où tester les diviseursUn entier n ≥ 2 est premier lorsque ses seuls diviseurs positifs
sont 1 et n. On admet que si n n'a aucun diviseur d vérifiant
d ≥ 2 et d² ≤ n, alors n est premier. Jusqu'à quel entier
suffit-il de chercher un diviseur de 149 pour prouver qu'il est
premier ?]]>Si n s'écrit a × b avec a ≤ b, alors a ≤ √n. Un
entier non premier admet donc toujours un diviseur inférieur ou égal à sa
racine carrée, et le test s'arrête là.]]>1.00.00truetrueabcJusqu'à 12]]>Bonne réponse : 12² = 144 ≤ 149 et 13² = 169 > 149, donc il
suffit de tester les diviseurs jusqu'à 12.]]>Jusqu'à 149]]>Inutile d'aller jusqu'au nombre lui-même : il se divise toujours par
lui-même, ce qui n'apprend rien.]]>Jusqu'à 148]]>Tester tous les entiers précédents fonctionne, mais c'est douze fois
plus long que nécessaire.]]>Jusqu'à 74]]>La moitié est un majorant correct mais très large : au-delà de
√149, tout diviseur trouvé aurait déjà un complice plus petit.]]>Arithmétique — Q20 : Produit de deux nombres impairsLe produit de deux entiers impairs est-il pair ou impair ?]]>On écrit les deux entiers sous la forme 2k+1 et 2p+1, on développe,
puis on factorise par 2 tout ce qui peut l'être. Le reste vaut 1, donc
le produit est impair.]]>1.00.00truetrueabcPair une fois sur deux]]>Aucun cas ne donne un produit pair : pour obtenir un facteur 2, il
faudrait qu'un des deux entiers soit pair.]]>Toujours pair]]>Contre-exemple immédiat : 3 × 5 = 15, qui est impair.
Un produit n'est pair que si l'un des facteurs l'est.]]>Toujours impair]]>Bonne réponse : (2k+1)(2p+1) = 2(2kp + k + p) + 1, une écriture de
la forme « double plus un ».]]>Cela dépend du signe des entiers]]>Le signe ne change rien à la parité : (-3) × 5 = -15 est
impair, tout comme 3 × 5.]]>Arithmétique — Q21 : Somme de trois entiers consécutifsQue peut-on dire de la somme de trois entiers consécutifs ?]]>Nommer le premier entier n permet d'écrire les trois termes, de
réduire la somme à 3n+3, puis de factoriser par 3. C'est le
raisonnement type de la démonstration en arithmétique.]]>1.00.00truetrueabcC'est toujours un multiple de 2]]>Contre-exemple : 1 + 2 + 3 = 6 est pair, mais 2 + 3 + 4 = 9 ne
l'est pas.]]>C'est toujours un multiple de 6]]>Contre-exemple : 2 + 3 + 4 = 9 est multiple de 3 sans être
multiple de 6.]]>Cela dépend de l'entier choisi]]>La factorisation 3(n+1) ne dépend pas de n : la propriété vaut
pour tous les entiers.]]>C'est toujours un multiple de 3]]>Bonne réponse : n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1), un multiple de
3 quel que soit l'entier n.]]>Arithmétique — Q22 : Carré d'un nombre pairSi n est un entier pair, que peut-on affirmer sur n² ?]]>Écrire n = 2k puis élever au carré fait apparaître n² = 4k². La
même méthode montre que le carré d'un impair est impair.]]>1.00.00truetrueabcC'est un multiple de 4]]>Bonne réponse : si n = 2k, alors n² = 4k², un multiple de 4.]]>C'est un multiple de 2 seulement]]>Affirmation trop faible : le carré contient deux facteurs 2, donc
il est toujours multiple de 4. Ainsi 6² = 36 = 4 × 9.]]>C'est un multiple de n seulement]]>Vrai mais insuffisant : tout carré est multiple de son nombre de
départ. La question porte sur ce qu'ajoute la parité.]]>C'est un multiple de 8]]>Contre-exemple : 2² = 4 n'est pas un multiple de 8. Seul le
facteur 4 est garanti.]]>Arithmétique — Q23 : Nombres premiers pairsCombien existe-t-il de nombres premiers pairs ?]]>Un nombre pair autre que 2 possède toujours au moins trois diviseurs :
1, 2 et lui-même. Le nombre 2 est donc le seul nombre premier pair.]]>1.00.00truetrueabcUn seul]]>Bonne réponse : seul 2 convient. Tout autre nombre pair admet 2
comme diviseur en plus de 1 et de lui-même.]]>Autant que de nombres premiers impairs]]>Les nombres premiers impairs sont en nombre infini, alors que 2 est
le seul nombre premier pair.]]>Une infinité]]>Un nombre pair supérieur à 2 s'écrit 2k avec k ≥ 2, donc il
possède au moins trois diviseurs.]]>Aucun]]>Oubli du cas 2 : ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 2, il
est donc bien premier.]]>Arithmétique — Q24 : Multiples négatifsLe nombre -15 est-il un multiple de 5 ?]]>Dire que a est un multiple de b signifie qu'il existe un entier
relatif k tel que a = b × k. Le signe de k est libre.]]>1.00.00truetrueabcOui, car -15 = 5 × (-3)]]>Bonne réponse : dans ℤ, un multiple de 5 est un produit
de 5 par un entier relatif, positif ou négatif.]]>Non, un multiple est toujours positif]]>La définition n'impose aucun signe : -15, -10, -5 et 0 sont
tous des multiples de 5.]]>Oui, mais seulement dans ℕ]]>C'est l'inverse : -15 n'appartient pas à ℕ, et c'est
justement dans ℤ que la propriété se lit.]]>Non, car 5 ne divise pas -15]]>La division tombe juste : -15 divisé par 5 donne -3, un entier.]]>Arithmétique — Q25 : Afficher les diviseurs en PythonQuels nombres le programme Python suivant affiche-t-il ?
`python
for k in range(1, 13):
if 12 % k == 0:
print(k) `
]]>range(1, 13) parcourt les entiers de 1 à 12, et le test
12 % k == 0 ne fait afficher que ceux dont la division tombe juste.]]>1.00.00truetrueabc1, 2, 3, 4 et 6]]>Borne mal lue : range(1, 13) s'arrête à 12 inclus, donc 12
est bien affiché.]]>1, 2, 3, 4, 6 et 12]]>Bonne réponse : le programme affiche les entiers de 1 à 12 qui
divisent 12, c'est-à-dire ses six diviseurs positifs.]]>1, 2, 3, 4, 6, 8 et 12]]>Entier de trop : 8 ne divise pas 12, car 12 % 8 vaut 4 et non
0. La condition empêche donc son affichage.]]>2, 3, 4 et 6]]>Diviseurs extrêmes oubliés : 1 et 12 vérifient aussi la condition,
car 12 % 1 et 12 % 12 valent 0.]]>Arithmétique — Q26 : Enchaîner deux divisibilitésOn sait que a divise b et que b divise c.
Que peut-on en déduire ?]]>La divisibilité se transmet : il suffit de remplacer une écriture dans
l'autre et de regrouper les facteurs. Cette propriété sert dans presque
toutes les démonstrations d'arithmétique.]]>1.00.00truetrueabcOn ne peut rien conclure]]>Le calcul conclut : en remplaçant b par ak dans c = bm, on
obtient c = a(km).]]>c divise a]]>Sens inversé : avec a = 3, b = 6 et c = 12, le nombre 12 ne
divise pas 3.]]>a divise b + c seulement]]>Conclusion trop faible : a divise bien b+c, mais il divise aussi
c tout seul.]]>a divise c]]>Bonne réponse : b = a k et c = b m donnent c = a(km), donc a
divise c.]]>Arithmétique — Q27 : Divisible par $2$ et par $3$Un entier est divisible par 2 et par 3.
Par quel nombre est-il nécessairement divisible ?]]>Quand deux diviseurs n'ont aucun facteur premier commun, comme 2 et
3, leur produit divise aussi le nombre. La décomposition en facteurs
premiers rend ce raisonnement visible.]]>1.00.00truetrueabcPar 12]]>Contre-exemple : 6 est divisible par 2 et par 3, mais pas par
12. Il faudrait deux facteurs 2.]]>Par 2 + 3, soit 5]]>Les diviseurs se multiplient, ils ne s'additionnent pas : c'est le
produit 2 × 3 qui apparaît dans la décomposition.]]>Par 6]]>Bonne réponse : sa décomposition contient un facteur 2 et un facteur
3, donc le produit 6 le divise.]]>Par 5]]>Aucun rapport : 12 est divisible par 2 et par 3, mais pas par
5.]]>Arithmétique — Q28 : Un produit de diviseurs trompeurUn entier est divisible par 4 et par 6.
Est-il nécessairement divisible par 24 ?]]>Le facteur 2 est compté deux fois si l'on multiplie 4 par 6. Le plus
petit multiple commun de 4 et 6 vaut 12, et c'est lui qui divise
tous ces entiers.]]>1.00.00truetrueabcNon, 12 fournit un contre-exemple]]>Bonne réponse : 12 = 4 × 3 = 6 × 2, mais 12 n'est pas un
multiple de 24.]]>Non, il n'est même pas divisible par 12]]>Il l'est toujours : sa décomposition contient deux facteurs 2 et un
facteur 3, donc 12 le divise.]]>Oui, mais seulement s'il est pair]]>Un multiple de 4 est déjà pair, et 12 reste un contre-exemple.]]>Oui, car 4 × 6 = 24]]>Le produit ne convient que si les deux diviseurs n'ont aucun facteur
commun. Or 4 et 6 partagent le facteur 2.]]>Arithmétique — Q29 : Lire la divisibilité sur la décompositionSoit N = 2⁵ × 3². Parmi ces entiers, lequel divise N ?]]>Un entier divise N si sa décomposition n'utilise que des facteurs
premiers de N, avec des exposants inférieurs ou égaux. Ici N vaut
288, et 288 = 12 × 24.]]>1.00.00truetrueabc27]]>Exposant trop grand : 27 = 3³, alors que N ne contient que deux
facteurs 3.]]>12]]>Bonne réponse : 12 = 2² × 3, et les exposants 2 et 1 ne
dépassent pas ceux de N.]]>15]]>Facteur absent : 15 = 3 × 5, or 5 n'apparaît pas dans la
décomposition de N.]]>64]]>Exposant trop grand : 64 = 2⁶, alors que N ne contient que cinq
facteurs 2.]]>Arithmétique — Q30 : Le produit $n(n+1)$Pour un entier n quelconque, que peut-on dire du produit n(n+1) ?]]>Le raisonnement par disjonction des cas suffit : si n est pair, le
produit l'est ; s'il est impair, alors n+1 est pair et le produit
l'est aussi.]]>1.00.00truetrueabcIl est impair si n est impair]]>Contre-exemple : pour n = 5, le produit vaut 30. Si n est
impair, alors n+1 est pair.]]>Il est pair si n est pair]]>Condition inutile : pour n = 3, le produit vaut 12, qui est pair
alors que n est impair.]]>Il est toujours pair]]>Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est
nécessairement pair, donc le produit contient un facteur 2.]]>Sa parité dépend de la valeur de n]]>Les deux cas mènent à la même conclusion : l'un des deux facteurs est
pair, que n le soit ou non.]]>Arithmétique — Q31 : Le bon diviseur pour simplifierPar quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la
fraction 84/126 pour obtenir directement sa forme
irréductible ?]]>Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur
commun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs
premiers le donnent : on garde tous les facteurs communs.]]>1.00.00truetrueabc21]]>Simplification inachevée : on obtient 4/6, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est 42.]]>6]]>Simplification inachevée : on obtient 14/21, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est 42.]]>42]]>Bonne réponse : 84/126 = ⅔, et ces deux
nombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.]]>14]]>Simplification inachevée : on obtient 6/9, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est 42.]]>Arithmétique — Q32 : La différence $(n+1)^2 - n^2$Soit n un entier. L'expression (n+1)² - n² est-elle paire ou
impaire ?]]>Développer, réduire, puis reconnaître la forme 2k ou 2k + 1 : c'est la
méthode de toutes les démonstrations de parité. Ici, deux carrés
consécutifs diffèrent toujours d'un nombre impair.]]>1.00.00truetrueabcSa parité dépend de l'entier n choisi]]>Le calcul littéral tranche une fois pour toutes : 2n + 1 est impair
quel que soit l'entier n.]]>Toujours impaire, car elle vaut 2n + 1]]>Bonne réponse : (n+1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1, qui
est l'écriture même d'un nombre impair.]]>Toujours paire, car c'est une différence de carrés]]>La forme de l'expression ne décide de rien : après développement, il
reste 2n + 1, un double augmenté de 1.]]>Impaire seulement lorsque n est pair]]>Le résultat 2n + 1 ne suppose rien sur n : pour n = 3, la
différence vaut 7, impaire elle aussi.]]>Arithmétique — Q33 : Somme de deux nombres premiersLa somme de deux nombres premiers est-elle toujours paire ?]]>Pour réfuter une affirmation, un contre-exemple suffit. Le nombre 2 est
le cas particulier à examiner systématiquement quand une propriété
mélange parité et primalité.]]>1.00.00truetrueabcOui, car deux impairs ont une somme paire]]>L'argument oublie 2, le seul nombre premier pair. Avec lui, la
somme est impaire.]]>Non : 2 + 3 = 5 est impair]]>Bonne réponse : un seul contre-exemple suffit. Comme 2 est premier
et pair, toute somme qui l'utilise devient impaire.]]>Non, cette somme n'est jamais paire]]>Affirmation trop forte : 3 + 5 = 8 est pair. La somme est paire dès
que les deux nombres premiers sont impairs.]]>Oui, sauf si les deux nombres sont égaux]]>L'égalité n'a rien à voir : 2 + 7 = 9 est impair avec deux nombres
différents, et 3 + 3 = 6 est pair avec deux nombres égaux.]]>Arithmétique — Q34 : Des œufs dans des boîtesOn range 100 œufs dans des boîtes contenant chacune 6 œufs.
Combien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?]]>Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division
euclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus
petit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé.]]>1.00.00truetrueabc6 boîtes et 16 œufs]]>Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours
inférieur au nombre d'œufs par boîte.]]>16 boîtes et 4 œufs]]>Bonne réponse : la division euclidienne donne
100 = 6 × 16 + 4, et le reste 4 est bien inférieur
à 6.]]>16 boîtes et 2 œufs]]>Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte
de plus, pas celui des œufs restants.]]>17 boîtes et 4 œufs]]>La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que 4 œufs,
c'est-à-dire le reste.]]>Arithmétique — Q35 : Traduire « n'est pas un entier »Quelle écriture traduit la phrase « 2{,}5 n'est pas un entier
relatif » ?]]>Le symbole ∈ (et sa négation ∉) relie un élément à un
ensemble ; le symbole ⊂ relie deux ensembles. L'ensemble
ℤ ne contient que des entiers, donc pas 2{,}5.]]>1.00.00truetrueabc2{,}5 \notin \mathbb{Z}]]>Bonne réponse : le symbole ∉ se lit « n'appartient pas à », et
relie un nombre à un ensemble, dans cet ordre.]]>\mathbb{Z} \notin \{2{,}5\}]]>Les deux membres sont échangés : l'ensemble se place toujours à
droite du symbole d'appartenance.]]>2{,}5 \subset \mathbb{Z}]]>Mauvais symbole : ⊂ compare deux ensembles entre eux, alors
que 2{,}5 est un nombre.]]>2{,}5 \in \mathbb{Z}]]>C'est l'affirmation contraire : cette écriture dit au contraire que
2{,}5 est un entier relatif.]]>Arithmétique — Q36 : Compléter pour être divisible par $9$Un entier s'écrit avec trois chiffres : 3, 4, puis un
troisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le
nombre soit divisible par 9 ?]]>Un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses
chiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on
cherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de 9.]]>1.00.00truetrueabc2]]>Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà 7, et
7 + 2 = 9, un multiple de 9.]]>8]]>Même confusion : la somme 15 est multiple de 3, alors que le
critère de 9 réclame une somme multiple de 9.]]>Aucun chiffre ne convient]]>Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est
inférieure à 9 : il suffit ici de compléter 7 jusqu'à 9.]]>5]]>Critère de 3 appliqué au lieu de celui de 9 : la somme 12
est multiple de 3, mais pas de 9.]]>Arithmétique — Q37 : Traduire un reste par une écritureLe reste de la division euclidienne d'un entier n par 5 vaut
3. Quelle écriture traduit cette information ?]]>La division euclidienne de n par b s'écrit n = bk + r, où k est
le quotient et où le reste r vérifie 0 ≤ r < b. Cette écriture est
l'outil des raisonnements sur les restes.]]>1.00.00truetrueabcn = 5 × 3]]>Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, 15, alors que
l'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut 3.]]>n = 3k + 5, avec k entier]]>Le diviseur et le reste sont échangés : c'est 5 qui multiplie le
quotient, et 3 qui s'ajoute ensuite.]]>n = 5k + 3 avec k entier]]>Bonne réponse : le diviseur 5 multiplie le quotient k, et le
reste 3 s'ajoute. Il est bien inférieur à 5.]]>n est un multiple de 5]]>Un multiple de 5 a un reste nul. Ici le reste vaut 3, donc
n n'est pas un multiple de 5.]]>Arithmétique — Q38 : Le cas du nombre $1$Le nombre 1 est-il un nombre premier ?]]>Un nombre premier admet exactement deux diviseurs positifs, 1 et
lui-même. Le nombre 1 n'en a qu'un : il n'est ni premier, ni utile dans
une décomposition en facteurs premiers.]]>1.00.00truetrueabcOui : il n'est divisible que par lui-même et par 1]]>Ces deux diviseurs n'en font qu'un seul, puisque 1 est son propre
diviseur. La définition en exige deux distincts.]]>Oui : c'est le plus petit nombre premier]]>Le plus petit nombre premier est 2 : c'est le premier entier à
posséder exactement deux diviseurs.]]>Non : 1 divise tous les entiers]]>La conclusion est bonne, mais la raison ne l'est pas : c'est le
nombre de ses diviseurs qui exclut 1, pas son rôle de diviseur.]]>Non : il n'a qu'un seul diviseur positif]]>Bonne réponse : un nombre premier en possède exactement deux, alors
que 1 n'est divisible que par 1.]]>Arithmétique — Q39 : Diviseur ou multipleOn sait que 7 est un diviseur de 56. Quelle phrase dit exactement la
même chose ?]]>« a divise b », « a est un diviseur de b » et « b est un
multiple de a » sont trois façons de dire qu'il existe un entier k
tel que b = a k.]]>1.00.00truetrueabc56 est un multiple de 7]]>Bonne réponse : les deux phrases traduisent l'égalité
56 = 7 × 8, lue dans un sens ou dans l'autre.]]>56 et 7 ont les mêmes diviseurs]]>Rien de tel : 56 possède huit diviseurs positifs, tandis que 7
n'en a que deux, 1 et 7.]]>56 est un diviseur de 7]]>Les rôles sont inversés : un diviseur d'un entier positif ne dépasse
jamais cet entier.]]>7 est un multiple de 56]]>Les rôles sont inversés : les multiples de 56 sont 56, 112,
168, et 7 n'en fait pas partie.]]>Arithmétique — Q40 : Compter des multiples en PythonQu'affiche le programme Python suivant ?
`python
c = 0
for k in range(1, 21):
if k % 3 == 0:
c = c + 1
print(c) `
]]>La variable c sert de compteur : initialisée à 0, elle augmente de
1 à chaque fois que le test k % 3 == 0 réussit, c'est-à-dire à
chaque multiple de 3 rencontré.]]>1.00.00truetrueabc7]]>Borne mal lue : range(1, 21) s'arrête à 20, donc le nombre
21 n'est jamais examiné.]]>20]]>C'est le nombre de tours de boucle : la variable c n'augmente que
lorsque la condition est vérifiée.]]>6]]>Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de 1 à 20 et
compte ceux qui sont multiples de 3 : il y en a 6.]]>3]]>Le diviseur du test a été recopié : la variable c compte les
réussites du test, elle ne vaut pas 3.]]>Arithmétique — Q41 : Divisible par $6$ ?La somme des chiffres du nombre 852 vaut 15. Ce nombre est-il
divisible par 6 ?]]>Comme 6 = 2 × 3 et que 2 et 3 n'ont aucun facteur commun, un
entier est divisible par 6 exactement lorsqu'il est divisible par 2
et par 3.]]>1.00.00truetrueabcNon : 15 n'est pas un multiple de 6]]>Le critère de la somme des chiffres vaut pour 3 et pour 9, jamais
pour 6. Il faut combiner les critères de 2 et de 3.]]>Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit]]>La parité ne suffit pas : 14 est pair sans être divisible par 6,
car 1 + 4 = 5 n'est pas multiple de 3.]]>Non : le chiffre des unités n'est pas 6]]>Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre 6 : ce sont
les critères de 2 et de 3 qui décident.]]>Oui : il est pair et 15 est multiple de 3]]>Bonne réponse : divisible par 2 et par 3, donc par 6. On
vérifie que 852 = 6 × 142.]]>Arithmétique — Q42 : Produit de deux multiples de $3$Soient a et b deux multiples de 3. Que peut-on dire du produit
ab ?]]>On nomme les deux multiples 3k et 3j, on effectue le produit, puis on
regroupe les facteurs. C'est la démonstration type de l'arithmétique :
écrire, calculer, factoriser.]]>1.00.00truetrueabcC'est un multiple de 3, mais pas toujours de 9]]>Le calcul dit le contraire : chaque facteur apporte son 3, donc le
produit contient toujours 9.]]>C'est un multiple de 9]]>Bonne réponse : a = 3k et b = 3j donnent ab = 9kj, avec kj
entier. Les deux facteurs 3 se rencontrent.]]>Cela dépend des entiers choisis]]>La factorisation ab = 9kj vaut pour tous les entiers k et j :
aucun cas particulier n'échappe à la règle.]]>C'est un multiple de 6]]>Contre-exemple : 3 × 3 = 9 n'est pas multiple de 6, car rien
n'impose un facteur 2.]]>Arithmétique — Q43 : Pourquoi une fraction est irréductibleOn sait que 35 = 5 × 7 et que 12 = 2² × 3. Pourquoi la
fraction 35/12 est-elle irréductible ?]]>Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur
n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Les décompositions en facteurs
premiers le montrent d'un coup d'œil.]]>1.00.00truetrueabcLe numérateur est plus grand que le dénominateur]]>La taille des nombres n'entre pas en jeu : 35/14 se
simplifie par 7 malgré un numérateur plus grand.]]>Aucun des deux nombres n'est premier]]>Ce n'est pas la primalité qui compte : 12/18 se simplifie
par 6 bien qu'aucun des deux ne soit premier.]]>Les deux décompositions ont le même nombre de facteurs]]>Le nombre de facteurs ne joue aucun rôle : 10/15 en compte
deux de chaque côté et se simplifie pourtant par 5.]]>Leurs décompositions n'ont aucun facteur commun]]>Bonne réponse : simplifier, c'est supprimer un facteur premier
présent des deux côtés. Ici, aucun n'est partagé.]]>Arithmétique — Q44 : Inclusion de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$Quelle écriture traduit le fait que tout entier naturel est aussi un
entier relatif ?]]>L'ensemble ℕ des entiers naturels est contenu dans l'ensemble
ℤ des entiers relatifs, qui lui ajoute les nombres négatifs.
L'inclusion ne vaut que dans ce sens.]]>1.00.00truetrueabcℤ ⊂ ℕ]]>Sens inversé : -4 appartient à ℤ sans appartenir à
ℕ, donc cette inclusion est fausse.]]>ℕ ∈ ℤ]]>Mauvais symbole : ∈ relie un élément à un ensemble, alors que
ℕ est lui-même un ensemble.]]>ℕ ⊂ ℤ]]>Bonne réponse : tout élément de ℕ appartient à
ℤ, ce qu'exprime le symbole d'inclusion.]]>ℕ ⊂ ℤ et ℤ ⊂ ℕ]]>La seconde inclusion est fausse : les entiers négatifs appartiennent
à ℤ et pas à ℕ.]]>Arithmétique — Q45 : Deux entiers consécutifs tous deux premiersExiste-t-il d'autres entiers consécutifs tous deux premiers que 2 et
3 ?]]>Le couple 2 et 3 est le seul possible, car il est le seul à contenir
un nombre pair qui soit premier. Raisonner sur la parité permet souvent
de conclure sans examiner un seul cas.]]>1.00.00truetrueabcNon, car deux entiers consécutifs ont un diviseur commun]]>La conclusion est bonne, la raison ne l'est pas : deux entiers
consécutifs n'ont jamais d'autre diviseur commun que 1.]]>Oui, par exemple 5 et 7]]>Ces deux nombres sont premiers, mais ils ne se suivent pas : le
nombre 6 les sépare.]]>Non : l'un des deux serait pair et plus grand que 2]]>Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. Au
delà de 2, un nombre pair possède au moins trois diviseurs.]]>Oui, il en existe une infinité]]>L'argument de parité l'interdit : dès que les deux entiers dépassent
2, celui qui est pair n'est pas premier.]]>Arithmétique — Q46 : Le plus grand multiple inférieur à un nombreQue renvoie f(7, 50) ?
`python
def f(a, b):
return a * (b // a) `
]]>Le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b est
a × q, où q est le quotient de la division euclidienne de
b par a ; on a alors b = aq + r avec 0 ≤ r < a.]]>1.00.00truetrueabc49]]>Bonne réponse : 50 // 7 vaut 7, le quotient entier, et
7 × 7 = 49 est le plus grand multiple de 7
inférieur ou égal à 50.]]>1]]>Erreur : 1 est le reste 50 % 7. La fonction utilise le
quotient entier, avec //.]]>7]]>Erreur : 7 est le quotient b // a. La fonction le multiplie
ensuite par a.]]>56]]>Erreur : 56 est un multiple de 7 supérieur à 50. Le
quotient entier est arrondi vers le bas.]]>