$course$/QCM de maths/Seconde/Automatismes Calcul numérique (fractions, puissances, notation scientifique,
ordres de grandeur, vraisemblance d'un résultat), conversions
d'unités et applications numériques de formules, géométrie du
collège (Pythagore, Thalès, trigonométrie, périmètres, aires,
volumes, repérage), lecture de graphiques usuels et de boîtes à
moustaches.

]]> Automatismes — Q01 : Additionner deux fractions Que vaut ⅔ + ¼ ?

]]> a/b + c/d = ad + bc/bd : on réduit au
même dénominateur avant d'additionner les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/12

]]> Erreur : le dénominateur commun 12 est juste, mais les
numérateurs doivent être multipliés eux aussi :
11/12.

]]> 2/12

]]> Confusion avec le produit : ⅔ × ¼ = 2/12.

]]> 3/7

]]> Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il
faut d'abord écrire les deux fractions avec le même
dénominateur.

]]> 11/12

]]> Bonne réponse : au dénominateur commun 12,
⅔ + ¼ = 11/12 = 11/12.

]]> Automatismes — Q02 : Diviser par une fraction Que vaut ¾ ÷ ⅖ ?

]]> a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3/10

]]> Erreur : on a multiplié par ⅖ au lieu de
multiplier par son inverse.

]]> 10/3

]]> Erreur : les deux fractions ont été inversées. Seul le
diviseur ⅖ s'inverse.

]]> 8/15

]]> Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu
de celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon
résultat.

]]> 15/8

]]> Bonne réponse : diviser par ⅖, c'est
multiplier par son inverse 5/2 :
¾ × 5/2 = 15/8.

]]> Automatismes — Q03 : D'une fraction à un décimal et un pourcentage Quelle écriture est égale à ⅜ ?

]]> Pour passer d'une fraction à un décimal, on divise le numérateur
par le dénominateur ; pour passer au pourcentage, on multiplie par
100.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}0375, soit 3{,}75\ \%

]]> Erreur de rang : 3 \div 8 = 0{,}375, et non 0{,}0375.
Contrôle : 0{,}0375 \times 8 = 0{,}3.

]]> 0{,}38, soit 38\ %

]]> Erreur : 0{,}38 est un arrondi, pas une écriture égale :
0{,}38 \times 8 = 3{,}04 \neq 3.

]]> 2{,}67, soit 267\ %

]]> Erreur : c'est une valeur approchée de 8 ÷ 3, la
fraction inversée.

]]> 0{,}375, soit 37{,}5\ \%

]]> Bonne réponse : 3 \div 8 = 0{,}375, et
0{,}375 = \dfrac{37{,}5}{100}.

]]> Automatismes — Q04 : Comparer deux fractions Comment se comparent 5/7 et 7/10 ?

]]> Pour comparer deux fractions positives, on les écrit avec le même
dénominateur et on compare les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5/7 < 7/10

]]> Erreur : on a comparé les numérateurs ou les dénominateurs
séparément. Au même dénominateur : 50/70 > 49/70.

]]> 5/7 = 7/10

]]> Erreur : les produits en croix 5 × 10 = 50 et
7 × 7 = 49 diffèrent ; les fractions ne sont pas
égales.

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : il suffit de réduire au même dénominateur, 70, ou
de comparer les produits en croix.

]]> 5/7 > 7/10

]]> Bonne réponse : au dénominateur 70, on compare
50/70 et 49/70.

]]> Automatismes — Q05 : Comparer par le quotient On compare A = 2¹⁰ et B = 10³, deux nombres strictement
positifs, à l'aide de leur quotient. Que conclure ?

]]> Comparaison multiplicative : pour A > 0 et B > 0,
A/B > 1 ⇔ A > B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \dfrac{A}{B} = 1{,}024, donc A < B

]]> Erreur d'interprétation : un quotient supérieur à 1 indique
que A dépasse B.

]]> A/B = 1, donc A = B

]]> Erreur : 2¹⁰ = 1 024 est proche de 1 000 mais pas
égal ; le quotient vaut 1{,}024.

]]> \dfrac{A}{B} = 0{,}2, donc A < B

]]> Erreur : 2¹⁰ n'est pas 2 × 10 = 20. On calcule
2¹⁰ = 1 024.

]]> \dfrac{A}{B} = 1{,}024 > 1, donc A > B

]]> Bonne réponse : 2¹⁰ = 1 024. Pour deux nombres
strictement positifs, un quotient supérieur à 1 signifie
que le numérateur est le plus grand.

]]> Automatismes — Q06 : Produit de puissances de dix Que vaut 10³ × 10⁻⁵ ?

]]> 10^m \times 10^n = 10^{m + n}, quels que soient les entiers
relatifs m et n.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10⁻¹⁵

]]> Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour
une puissance de puissance, (10ᵐ)ⁿ = 10ᵐⁿ.

]]> 10⁸

]]> Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,
\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}, pas pour un produit.

]]> 10⁻²

]]> Bonne réponse : on additionne les exposants,
3 + (-5) = -2.

]]> 100⁻²

]]> Erreur : la base reste 10 ; on n'a pas à multiplier les
bases entre elles.

]]> Automatismes — Q07 : Écrire un nombre en notation scientifique Quelle est la notation scientifique de 0{,}000\,52 ?

]]> Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et
n entier relatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5{,}2 \times 10^{-4}

]]> Bonne réponse : la virgule se déplace de quatre rangs vers la
droite pour obtenir 5{,}2, d'où l'exposant -4.

]]> 5{,}2 \times 10^{-3}

]]> Erreur de rang : 5{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}005\,2. Il faut
déplacer la virgule de quatre rangs.

]]> 52 × 10⁻⁵

]]> Égal, mais pas en notation scientifique : la partie
décimale doit être comprise entre 1 inclus et 10 exclu.

]]> 5{,}2 \times 10^{4}

]]> Erreur de signe : 5{,}2 \times 10^4 = 52\,000. Un nombre
inférieur à 1 a un exposant négatif.

]]> Automatismes — Q08 : Estimer un ordre de grandeur Sans calculatrice, quel est l'ordre de grandeur de
4\,980 \times 0{,}002\,1 ?

]]> Pour estimer, on arrondit chaque facteur à un seul chiffre
significatif : 5 × 10³ et 2 × 10⁻³.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 100

]]> Erreur d'un rang : 0{,}002 correspond à 2 × 10⁻³,
et 5 × 10³ × 2 × 10⁻³ = 10.

]]> 1

]]> Erreur d'un rang : 5\,000 \times 0{,}002 = 5 \times 2 = 10,
pas 1.

]]> 10

]]> Bonne réponse : 5\,000 \times 0{,}002 = 10. Le calcul exact
donne 10{,}458.

]]> 1 000

]]> Erreur : multiplier par 0{,}002 divise par 500 ; le
résultat est bien plus petit que 4 980.

]]> Automatismes — Q09 : Un résultat invraisemblable Un élève calcule qu'une voiture roulant à 90 km/h pendant
2 h parcourt 3 600 km. Ce résultat est-il vraisemblable ?

]]> Avant d'accepter un résultat, on vérifie son ordre de grandeur et
son sens concret.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : il faudrait 90 ÷ 2 = 45 km

]]> Erreur : la distance est le produit de la vitesse par la
durée, pas leur quotient.

]]> Oui : 90 × 40 = 3 600

]]> Erreur : le calcul 90 × 40 ne correspond à rien dans
l'énoncé. Le contrôle d'ordre de grandeur donne 180 km.

]]> Non : en 2 h à 90 km/h, on parcourt 180 km

]]> Bonne réponse : d = v × t = 90 × 2 = 180 km.
L'élève a sans doute multiplié par 40 ou mélangé des
minutes.

]]> Oui : une voiture roule vite sur autoroute

]]> Erreur : 3 600 km en 2 h ferait 1 800 km/h, la
vitesse d'un avion de chasse.

]]> Automatismes — Q10 : L'opposé d'une différence Quelle expression est égale à -(x - 7) ?

]]> -(a - b) = b - a et -(a + b) = -a - b.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7 - x

]]> Bonne réponse : -(x - 7) = -x + 7 = 7 - x. Le signe
moins change le signe de chaque terme.

]]> x + 7

]]> Erreur : le signe de x n'a pas été changé. Contrôle avec
x = 0 : on doit trouver 7, et pour x = 1, 7 - 1.

]]> -x - 7

]]> Erreur : le signe de -7 n'a pas été changé. Contrôle avec
x = 0 : -(0 - 7) = 7, pas -7.

]]> x - 7

]]> Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte
du signe moins qui les précède.

]]> Automatismes — Q11 : L'inverse d'un inverse Pour x ≠ 0, que vaut \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}} ?

]]> \dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a} : en particulier,
l'inverse de 1/x est x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/x

]]> Erreur : 1/x est l'inverse de x ; l'inverse de
l'inverse ramène à x. Contrôle avec x = 2 : 1 \div 0{,}5
= 2.

]]> x²

]]> Erreur : contrôle avec x = 2 : 1 ÷ ½ = 2,
pas 4.

]]> x

]]> Bonne réponse : diviser 1 par 1/x revient à
multiplier 1 par x.

]]> 1

]]> Erreur : le quotient ne se simplifie pas en 1. Pour x = 2,
on obtient 2.

]]> Automatismes — Q12 : Des kilomètres par heure aux mètres par seconde Une voiture roule à 72 km/h. Quelle est sa vitesse en mètres
par seconde ?

]]> 1 km/h = 1 000 m/3 600 s : pour
passer des km/h aux m/s, on divise par 3{,}6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20 m/s

]]> Bonne réponse : 72 km/h, c'est 72 000 m en 3 600 s,
soit 72 000 ÷ 3 600 = 20 m/s.

]]> 259{,}2 m/s

]]> Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par
3{,}6 ; multiplier fait l'inverse.

]]> 1{,}2 m/s

]]> Erreur : une heure compte 3 600 secondes, et non 60 ; et
les kilomètres n'ont pas été convertis en mètres.

]]> 72 000 m/s

]]> Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les
heures en secondes.

]]> Automatismes — Q13 : Des mètres par seconde aux kilomètres par heure Un cycliste roule à 15 m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?

]]> Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par
\dfrac{3\,600}{1\,000} = 3{,}6.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 900 km/h

]]> Erreur : 15 × 60 donne des mètres par minute, et une
heure compte 60 minutes de plus.

]]> 15000 km/h

]]> Erreur : on a multiplié par 1 000 au lieu de diviser :
1 m vaut 0{,}001 km.

]]> 54 km/h

]]> Bonne réponse : en une heure, il parcourt
15 × 3 600 m, soit 54 km. On multiplie par
3{,}6.

]]> 54000 km/h

]]> Oubli : 15 × 3 600 est la distance en mètres
parcourue en une heure ; il faut la convertir en km.

]]> Automatismes — Q14 : Convertir une aire Combien de centimètres carrés mesure une surface de 3{,}5 m² ?

]]> Longueur : facteur 100 entre m et cm ; aire : facteur
100² = 10 000 ; volume : facteur 100³ = 1 000 000.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 500 cm²

]]> Erreur : le facteur 1 000 sert pour les volumes entre
dm³ et cm³, pas pour les aires.

]]> 3 500 000 cm²

]]> Erreur : 1 000 000 est le facteur des volumes entre m³ et
cm³. Pour une aire, c'est 100² = 10 000.

]]> 350 cm²

]]> Erreur : 1 m = 100 cm, mais une aire se convertit avec le
carré de ce facteur : 1 m² = 10 000 cm².

]]> 35 000 cm²

]]> Bonne réponse : 1 m² est un carré de 100 cm de côté, soit
100 × 100 = 10 000 cm².

]]> Automatismes — Q15 : Des litres aux centimètres cubes Une bouteille contient 2{,}5 L. Quel est ce volume en cm³ ?

]]> 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 000 mL : 1 mL = 1 cm³.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 25 cm³

]]> Erreur : 1 L vaut 10 dL. En cm³, il faut un facteur
1 000, car 1 L = 1 dm³.

]]> 250 cm³

]]> Erreur : 1 L vaut 100 cL, mais 1 000 cm³ (un cube de
10 cm d'arête).

]]> 25 000 cm³

]]> Erreur : un facteur 10 000 est celui des aires entre m² et
cm². 1 L = 1 000 cm³.

]]> 2 500 cm³

]]> Bonne réponse : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.

]]> Automatismes — Q16 : Une durée en écriture décimale Une durée vaut 2{,}3 h. Comment s'écrit-elle en heures et
minutes ?

]]> Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la
multiplie par 60 : 0{,}5 h = 30 min, 0{,}1 h = 6 min.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 h 30 min

]]> Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une
heure compte 60 minutes, pas 100 : 0{,}3 \times 60 =
18.

]]> 138 h

]]> Erreur d'unité : 138 est la durée totale en minutes,
pas en heures.

]]> 2 h 18 min

]]> Bonne réponse : 0{,}3 h = 0{,}3 \times 60 min
= 18 min.

]]> 2 h 3 min

]]> Erreur : 0{,}3 h ne vaut pas 3 minutes, mais
0{,}3 \times 60 = 18 minutes.

]]> Automatismes — Q17 : Calculer une vitesse moyenne Un automobiliste parcourt 150 km en 1 h 30 min.
Quelle est sa vitesse moyenne ?

]]> Vitesse moyenne v = d/t, avec t en heures pour
obtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction
d'heure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 100 km/h

]]> Bonne réponse : 1 h 30 min = 1 + 30/60 h,
et v = d/t = 100 km/h.

]]> 225 km/h

]]> Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse
est le quotient d/t.

]]> Environ 115 km/h

]]> Erreur : 1 h 30 min a été écrit 1{,}30 h. Une
heure compte 60 minutes, pas 100.

]]> 150 km/h

]]> Oubli : les 30 minutes n'ont pas été comptées ; on a
divisé par 1 h seulement.

]]> Automatismes — Q18 : Appliquer une formule de physique L'énergie cinétique d'un objet de masse m (en kg) et de vitesse
v (en m/s) vaut E = ½ m v² (en joules). Que vaut
E pour m = 2 et v = 3 ?

]]> Dans ½ m v², la puissance porte sur v seul et se
calcule avant les multiplications.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9 J

]]> Bonne réponse : ½ × 2 × 3² = ½ × 2 × 9 = 9 J.

]]> 36 J

]]> Erreur de priorité : seul v est au carré, pas le produit
m v ; et le facteur ½ manque.

]]> 3 J

]]> Oubli du carré : v² = 3 × 3, et non 3.

]]> 18 J

]]> Oubli du facteur ½ : 2 × 3² = 18,
qu'il faut encore diviser par 2.

]]> Automatismes — Q19 : La contenance d'une cuve Une cuve a un volume de 2{,}4 m³. Combien de litres
contient-elle quand elle est pleine ?

]]> 1 m³ = 1 000 L : une baignoire contient environ 0{,}2 m³,
soit 200 L.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 400 L

]]> Bonne réponse : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L.

]]> 24 000 L

]]> Erreur : 1 m³ vaut 1 000 L, pas 10 000 L. Un facteur
10 000 relie m² et cm².

]]> 240 L

]]> Erreur : le facteur entre m³ et L est 1 000, pas 100.

]]> 24 L

]]> Erreur : un mètre cube est un cube de 10 dm d'arête, soit
1 000 dm³, donc 1 000 L, et non 10 L.

]]> Automatismes — Q20 : Des tonnes aux kilogrammes Combien de kilogrammes représentent 0{,}035 t ?

]]> 1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3{,}5 kg

]]> Erreur : on a multiplié par 100 ; une tonne vaut
1 000 kg.

]]> 35 000 kg

]]> Erreur : 35 000 kg feraient 35 t. On a multiplié par
1 000 deux fois.

]]> 350 kg

]]> Erreur de rang : 0{,}035 \times 1\,000 = 35, pas 350.

]]> 35 kg

]]> Bonne réponse : 1 t = 1 000 kg, et
0{,}035 \times 1\,000 = 35.

]]> Automatismes — Q21 : Calculer l'hypoténuse Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et
AC = 8 cm. Que vaut BC ?

]]> Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de
l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 cm

]]> Bonne réponse : BC² = 6² + 8² = 100, donc
BC = √100 = 10 cm.

]]> 14 cm

]]> Erreur : on additionne les carrés des côtés, pas les
côtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme
des deux autres côtés.

]]> 100 cm

]]> Oubli de la racine carrée : 100 est BC², pas BC.

]]> √28 cm

]]> Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les
additionne : BC² = AB² + AC².

]]> Automatismes — Q22 : Calculer un côté de l'angle droit Un triangle ABC est rectangle en A, avec BC = 13 cm et
AB = 5 cm. Que vaut AC ?

]]> Quand l'hypoténuse est connue, AC² = BC² - AB².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 144 cm

]]> Oubli de la racine carrée : 144 est AC².

]]> √194 cm

]]> Erreur : [BC] est l'hypoténuse ; on soustrait donc
AB² de BC², au lieu de les additionner.

]]> 8 cm

]]> Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur
les longueurs : AC² = 13² - 5².

]]> 12 cm

]]> Bonne réponse : AC² = BC² - AB² = 13² - 5² = 144,
donc AC = 12 cm.

]]> Automatismes — Q23 : Un triangle est-il rectangle ? Un triangle a des côtés de longueurs 5 cm, 7 cm et 9 cm.
Est-il rectangle ?

]]> On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des
deux autres : égalité si et seulement si le triangle est
rectangle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car 9 est le plus grand côté

]]> Erreur : tout triangle a un plus grand côté. Il faut comparer
9² à 5² + 7².

]]> Oui, car 5 + 7 > 9

]]> Erreur : cette inégalité dit seulement que le triangle
existe ; elle ne dit rien d'un angle droit.

]]> Non, car ses côtés ne sont pas des entiers pairs

]]> Erreur : le triangle de côtés 3, 4, 5 est rectangle et
a des côtés impairs. Seule l'égalité de Pythagore tranche.

]]> Non, car 5² + 7² ≠ 9²

]]> Bonne réponse : 25 + 49 = 74 et 9² = 81. D'après la
contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas
rectangle.

]]> Automatismes — Q24 : Calculer une longueur avec Thalès [Figure : Triangle ABC. Le point M est sur le côté [AB], le point N sur
le côté [AC], et le segment [MN], tracé en bleu, est parallèle
à [BC].]

Sur la figure, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et les droites (MN) et
(BC) sont parallèles. On donne AM = 3, AB = 5 et BC = 8.
Que vaut MN ?

]]> Théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC quand (MN) \parallel (BC).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 13{,}3

]]> Rapport inversé : 8 \times \dfrac{5}{3} \approx 13{,}3
dépasse BC, alors que [MN] est une réduction de [BC].

]]> 1{,}875

]]> Erreur : 3 × ⅝ mélange les rapports. Les
longueurs homologues sont AM et AB, MN et BC.

]]> 6

]]> Erreur : on a retiré AB - AM = 2 à BC. Le théorème de
Thalès porte sur des rapports, pas sur des différences.

]]> 4{,}8

]]> Bonne réponse : MN/BC = AM/AB, donc
MN = 8 \times \dfrac{3}{5} = 4{,}8.

]]> Automatismes — Q25 : Retrouver une longueur sur un côté Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], avec
(MN) \parallel (BC). On donne AN = 4, AC = 10 et
AB = 7{,}5. Que vaut AM ?

]]> \dfrac{AN}{AC} = 0{,}4 : les longueurs du petit triangle valent
40\ % de celles du grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}5

]]> Erreur : on a retiré AC - AN = 6 à AB. Le théorème de
Thalès donne des rapports égaux, pas des différences égales.

]]> 3

]]> Bonne réponse : AM/AB = AN/AC, donc
AM = 7{,}5 \times \dfrac{4}{10} = 3.

]]> 5{,}3

]]> Erreur : \dfrac{4 \times 10}{7{,}5} \approx 5{,}3 ne respecte
pas l'égalité des rapports AM/AB = AN/AC.

]]> 18{,}75

]]> Rapport inversé : 7{,}5 \times \dfrac{10}{4} dépasse AB,
alors que M est sur le segment [AB].

]]> Automatismes — Q26 : Lire un cosinus [Figure : Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 4, BC = 3 et AC = 5.]

Dans le triangle ABC rectangle en B ci-dessous, que vaut
\cos \widehat{BAC} ?

]]> Dans un triangle rectangle : cosinus = adjacent sur hypoténuse,
sinus = opposé sur hypoténuse, tangente = opposé sur adjacent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅘

]]> Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent
par l'hypoténuse, \cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} =
\dfrac{4}{5}.

]]> 5/4

]]> Rapport inversé : un cosinus est toujours inférieur à 1,
car l'hypoténuse est le plus grand côté.

]]> ¾

]]> Confusion avec la tangente, quotient du côté opposé par le
côté adjacent : BC/AB = ¾.

]]> ⅗

]]> Confusion avec le sinus : BC/AC rapporte le côté
opposé à l'angle à l'hypoténuse.

]]> Automatismes — Q27 : Calculer une longueur par la tangente Un triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 10 cm et
\widehat{BAC} = 30°. Que vaut BC, arrondi au millimètre ?

]]> Repérer d'abord l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent
à l'angle, puis choisir le rapport qui relie la donnée et
l'inconnue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 8{,}7 cm

]]> Erreur : 10 \times \cos 30° \approx 8{,}7 utilise le
cosinus ; on cherche le côté opposé connaissant l'adjacent.

]]> 5{,}8 cm

]]> Bonne réponse : tan 30° = BC/AB, donc
BC = 10 \times \tan 30° \approx 5{,}8 cm.

]]> 5 cm

]]> Erreur : 10 × sin 30° = 5 utilise le sinus, qui
rapporte l'opposé à l'hypoténuse ; or [AB] est le côté
adjacent.

]]> 17{,}3 cm

]]> Erreur : \dfrac{10}{\tan 30°} \approx 17{,}3 ; de
tan 30° = BC/10, on tire BC = 10 × tan 30°.

]]> Automatismes — Q28 : Retrouver un angle par son cosinus Dans un triangle rectangle, un angle aigu α vérifie
\cos \alpha = 0{,}5. Que vaut α ?

]]> Valeurs à connaître : \cos 60° = \sin 30° = 0{,}5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 60°

]]> Bonne réponse : \cos 60° = 0{,}5 ; la calculatrice le
confirme avec la touche \arccos (ou cos⁻¹).

]]> 30°

]]> Confusion : c'est sin 30° qui vaut 0{,}5 ;
\cos 30° \approx 0{,}87.

]]> 0{,}5°

]]> Erreur : 0{,}5 est la valeur du cosinus, pas celle de
l'angle.

]]> 45°

]]> Erreur : \cos 45° \approx 0{,}71. L'angle dont le cosinus
vaut 0{,}5 est plus grand.

]]> Automatismes — Q29 : L'aire d'un disque Quelle est l'aire d'un disque de rayon 3 cm ?

]]> Disque de rayon r : aire π r², périmètre 2π r.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 36π cm²

]]> Erreur : on a élevé le diamètre 6 au carré. La formule
utilise le rayon : π r².

]]> 9π cm²

]]> Bonne réponse : \mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 =
9\pi cm².

]]> 3π cm²

]]> Oubli du carré : l'aire est π r², pas π r.

]]> 6π cm²

]]> Confusion avec le périmètre : 2π r = 6π cm est une
longueur, pas une aire.

]]> Automatismes — Q30 : Le volume d'un cylindre Quel est le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur
4 cm ?

]]> Volume d'un cylindre : aire de la base × hauteur, soit
π r² h. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise
par 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12π cm³

]]> Confusion avec le cône : le facteur ⅓ concerne
les cônes et les pyramides, pas les cylindres.

]]> 36π cm³

]]> Bonne réponse : V = π r² h = π × 3² × 4 = 36π cm³.

]]> 24π cm³

]]> Erreur : 2π r h est l'aire latérale du cylindre, une
surface, pas un volume.

]]> 144π cm³

]]> Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans
π r² h.

]]> Automatismes — Q31 : Le volume d'une boule Quel est le volume d'une boule de rayon 6 cm ?

]]> Boule de rayon r : volume 4/3π r³, aire de la
sphère 4π r².

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 216π cm³

]]> Oubli du facteur 4/3 : π r³ = 216π.

]]> 48π cm³

]]> Erreur : 4/3π r² = 48π ; un volume fait
intervenir le cube du rayon.

]]> 288π cm³

]]> Bonne réponse : V = 4/3π r³ = 4/3 × 216π = 288π cm³.

]]> 144π cm³

]]> Confusion avec l'aire de la sphère : 4π r² = 144π cm².

]]> Automatismes — Q32 : L'aire d'un triangle Un triangle a une base de 8 cm et une hauteur relative à cette
base de 5 cm. Quelle est son aire ?

]]> Aire d'un triangle : b × h/2, avec h la hauteur
relative à la base b.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 20 cm²

]]> Bonne réponse : \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times
\text{hauteur}}{2} = \dfrac{8 \times 5}{2} = 20 cm².

]]> 13 cm²

]]> Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une
somme.

]]> 26 cm²

]]> Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés 8 et
5, qui est une longueur.

]]> 40 cm²

]]> Oubli de la division par 2 : 40 cm² est l'aire du
rectangle de mêmes dimensions.

]]> Automatismes — Q33 : Lire les coordonnées d'un point [Figure : Repère orthonormé gradué de -3 à 3 en abscisse et de -2 à 3 en
ordonnée. Le point P est placé deux unités à gauche de l'axe des
ordonnées et trois unités au-dessus de l'axe des abscisses.]

Quelles sont les coordonnées du point P placé dans le repère
ci-dessous ?

]]> Un point P(x ; y) : x se lit sur l'axe des abscisses
(horizontal), y sur l'axe des ordonnées (vertical).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (-2 ; 3)

]]> Bonne réponse : on lit d'abord l'abscisse sur l'axe
horizontal (-2), puis l'ordonnée sur l'axe vertical (3).

]]> (-3 ; 2)

]]> Erreur : les deux valeurs sont échangées. P est sur la
verticale d'abscisse -2 et l'horizontale d'ordonnée 3.

]]> (3 ; -2)

]]> Ordre inversé : dans un couple de coordonnées, l'abscisse
vient en premier.

]]> (2 ; 3)

]]> Erreur de signe : P est à gauche de l'axe des ordonnées,
son abscisse est négative.

]]> Automatismes — Q34 : Lire une abscisse sur une droite graduée [Figure : Droite graduée de 0 à 3, chaque unité étant partagée en cinq
intervalles égaux. Le point M est placé au troisième trait
après la graduation 1.]

Quelle est l'abscisse du point M sur la droite graduée
ci-dessous ?

]]> Sur une droite graduée, on détermine d'abord la valeur d'une
graduation (unité divisée par le nombre d'intervalles).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}6

]]> Bonne réponse : chaque unité est partagée en 5, donc un
intervalle vaut 0{,}2 ; M est à 3 \times 0{,}2 = 0{,}6
après 1.

]]> 8

]]> Erreur : 8 est le nombre de petits intervalles depuis 0 ;
il faut le multiplier par la valeur d'un intervalle,
0{,}2.

]]> 1{,}3

]]> Erreur : on a compté 0{,}1 par intervalle. L'unité est
partagée en 5 intervalles, pas en 10.

]]> 1{,}03

]]> Erreur : M est au troisième trait, mais chaque intervalle
vaut \dfrac{1}{5} = 0{,}2, pas 0{,}01.

]]> Automatismes — Q35 : Un secteur de diagramme circulaire Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par
un secteur de 90°. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?

]]> Diagramme circulaire : angle = proportion × 360°.
Semi-circulaire : angle = proportion × 180°.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9\ %

]]> Erreur : diviser par 10 ne convertit rien ; la part vaut
90/360.

]]> 90\ %

]]> Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le
rapporte à 360°.

]]> 25\ %

]]> Bonne réponse : le disque entier (360°) représente
100\ % ; 90/360 = 25/100.

]]> 50\ %

]]> Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif
total correspond à 180°.

]]> Automatismes — Q36 : Un secteur de diagramme semi-circulaire Dans un diagramme semi-circulaire, une catégorie occupe un
secteur de 45°. Quelle part de l'effectif total représente-t-elle ?

]]> Dans un diagramme semi-circulaire, 180° représentent
l'effectif total.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12{,}5\ \%

]]> Erreur : \dfrac{45}{360} = 12{,}5\ \% vaut pour un disque
complet ; ici l'effectif total occupe 180°.

]]> 25\ %

]]> Bonne réponse : le demi-disque (180°) représente
100\ %, et \dfrac{45}{180} = 0{,}25.

]]> 50\ %

]]> Erreur : 50\ % correspondrait à un quart de disque, soit
90° sur le demi-disque.

]]> 45\ %

]]> Erreur : un angle n'est pas un pourcentage ; on le rapporte à
180°.

]]> Automatismes — Q37 : Lire un diagramme en barres [Figure : Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs,
de 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4
pour 3 et 2 pour 4.]

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
30 élèves d'une classe. Quelle proportion des élèves a au moins
deux frères et sœurs ?

]]> « Au moins deux » signifie « deux ou plus » : on additionne les
effectifs des valeurs 2, 3 et 4.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ⅘

]]> Erreur : 24/30 compte les élèves qui ont au moins
un frère ou une sœur.

]]> 8/15

]]> Erreur : 16/30 est la proportion des élèves qui en
ont moins de deux, le complément de la réponse.

]]> 7/15

]]> Bonne réponse : 8 + 4 + 2 = 14 élèves sur 30, et
14/30 = 7/15.

]]> 4/15

]]> Oubli : « au moins deux » compte aussi les élèves qui en ont
3 ou 4, pas seulement ceux qui en ont 2.

]]> Automatismes — Q38 : Une médiane lue sur un diagramme en barres [Figure : Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs,
de 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4
pour 3 et 2 pour 4.]

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
30 élèves d'une classe. Quelle est la médiane de cette série ?

]]> Pour une série de 30 valeurs, la médiane est la moyenne des
15ᵉ et 16ᵉ valeurs rangées : les effectifs
cumulés les situent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1{,}5

]]> Erreur : la moyenne des 15ᵉ et 16ᵉ valeurs
est 1 + 1/2 = 1 ; ces deux valeurs sont égales.

]]> 8

]]> Erreur : 8 est un effectif, la hauteur d'une barre. La
médiane est une valeur de la série.

]]> 2

]]> Erreur : 2 est la valeur du milieu de l'axe (0 à 4),
pas celle du milieu de la série rangée.

]]> 1

]]> Bonne réponse : rangées dans l'ordre, les 15ᵉ et
16ᵉ valeurs valent 1 (les effectifs cumulés
passent de 6 à 16 pour la valeur 1).

]]> Automatismes — Q39 : Lire un écart interquartile [Figure : Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4,
premier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14,
maximum 19.]

La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes. Que
vaut son écart interquartile ?

]]> Écart interquartile : Q₃ - Q₁, la longueur de la boîte. Il
mesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Bonne réponse : la boîte va de Q₁ = 8 à Q₃ = 14, et
14 - 8 = 6.

]]> 3

]]> Erreur : 11 - 8 = 3 va du premier quartile à la médiane,
soit la moitié gauche de la boîte seulement.

]]> 11

]]> Erreur : 11 est la médiane, indicateur de position, et non
un écart.

]]> 15

]]> Confusion avec l'étendue : 19 - 4 = 15 va d'une extrémité
des moustaches à l'autre.

]]> Automatismes — Q40 : Ce que dit un premier quartile [Figure : Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4,
premier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14,
maximum 19.]

La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes.
Quelle proportion des notes est supérieure ou égale à 8 ?

]]> Au moins 25\ % des valeurs sont inférieures ou égales à Q₁,
au moins 75\ % lui sont supérieures ou égales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au plus 25\ %

]]> Sens inversé : ce sont les notes inférieures à Q₁ qui
représentent au plus un quart de la série.

]]> Moins de la moitié

]]> Erreur : 8 est situé avant la médiane 11 ; plus de la
moitié des notes lui sont supérieures ou égales.

]]> Au moins 75\ %

]]> Bonne réponse : 8 est le premier quartile ; au plus
25\ % des notes lui sont strictement inférieures.

]]> Exactement la moitié

]]> Confusion avec la médiane, 11 : c'est elle qui partage la
série en deux moitiés.

]]> Automatismes — Q41 : Comparer deux boîtes à moustaches [Figure : Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Classe A :
minimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile
14, maximum 18. Classe B : minimum 2, premier quartile 7,
médiane 12, troisième quartile 16, maximum 20.]

Les boîtes ci-dessous résument les notes de deux classes A et
B. Quelle affirmation est vraie ?

]]> Pour comparer deux séries, on associe un indicateur de position
(médiane) et un indicateur de dispersion (écart interquartile,
étendue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les médianes sont égales, mais les notes de B sont plus dispersées

]]> Bonne réponse : les deux médianes valent 12 ; l'écart
interquartile vaut 5 pour A et 9 pour B, et
l'étendue 13 pour A, 18 pour B.

]]> La classe A a la plus grande médiane

]]> Erreur : les deux traits de médiane sont à la même abscisse,
12.

]]> La classe B a le plus petit écart interquartile

]]> Erreur : la boîte de B (16 - 7 = 9) est plus longue que
celle de A (14 - 9 = 5).

]]> Au moins la moitié des notes de B dépasse 16

]]> Erreur : 16 est le troisième quartile de B ; au plus un
quart des notes de B lui est supérieur.

]]> Automatismes — Q42 : Une évolution lue sur une courbe [Figure : Courbe croissante de la population, en milliers d'habitants :
180 en 2000, 200 en 2010 et 250 en 2020, points marqués en
bleu.]

La courbe ci-dessous donne la population d'une ville, en
milliers d'habitants. Quel est le taux d'évolution de cette
population entre 2010 et 2020 ?

]]> Taux d'évolution = V₂ - V₁/V₁, avec V₁ la valeur
de départ lue sur la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc +20\ %

]]> Mauvais dénominateur : \dfrac{50}{250} = 0{,}2 rapporte la
variation à la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de
départ.

]]> +38{,}9\ \%

]]> Erreur de lecture : ce taux part de 180 milliers, la valeur
de 2000, et non de 2010.

]]> +25\ %

]]> Bonne réponse : la population passe de 200 à 250 milliers,
et \dfrac{250 - 200}{200} = 0{,}25.

]]> +50\ %

]]> Confusion : 50 milliers est la variation absolue ; le taux
la rapporte à la valeur de départ, 200.

]]> Automatismes — Q43 : Le premier quartile d'une petite série On considère la série rangée 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ;
15. Que vaut son premier quartile Q₁ ?

]]> Q₁ est la plus petite valeur de la série rangée telle qu'au
moins 25\ % des valeurs lui soient inférieures ou égales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 12

]]> Confusion avec le troisième quartile, la 6ᵉ valeur
(\dfrac{3 \times 7}{4} = 5{,}25).

]]> 8

]]> Confusion avec la médiane, la 4ᵉ valeur sur 7.

]]> 5

]]> Bonne réponse : \dfrac{7}{4} = 1{,}75, donc Q₁ est la
2ᵉ valeur de la série rangée, 5.

]]> 4

]]> Erreur : un quartile est une valeur de la série ; on ne fait
pas la moyenne de 3 et 5.

]]>