$course$/QCM de maths/Seconde/Calcul littéral, équations et inéquations Identités remarquables, développement et factorisation,
puissances et racines carrées (√ab = √a√b,
√a² = |a|), équations du premier degré, produit nul,
quotient, x² = a, inéquations et opérations sur les
inégalités, isoler une variable dans une formule.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q01 : Développer le carré d'une somme Quel est le développement de (x + 3)² ?

]]> Identité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b². Ici
(x+3)² = x² + 6x + 9. Vérification rapide avec une valeur :
x = 1 donne 16 des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² + 6x + 3

]]> Erreur : le dernier terme est le carré de 3, soit
9, pas 3.

]]> x² + 6x + 9

]]> Bonne réponse : (a + b)² = a² + 2ab + b², avec le
double produit 2 × x × 3 = 6x.

]]> x² + 3x + 9

]]> Erreur : le terme croisé est le double produit
2 × 3 × x = 6x, pas 3x.

]]> x² + 9

]]> L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme
n'est pas la somme des carrés. Le double produit 6x est
indispensable (teste avec x = 1 : (1+3)² = 16 ≠ 10).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q02 : Factoriser une différence de deux carrés Quelle est la factorisation de x² - 25 ?

]]> Troisième identité remarquable :
a² - b² = (a - b)(a + b). Ici x² - 25 = (x - 5)(x + 5),
point de départ des équations produit nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x - 25)(x + 1)

]]> Erreur : ce produit vaut x² - 24x - 25. C'est b² = 25 donc b = 5 qui entre dans la factorisation.

]]> (x - 5)²

]]> Erreur : (x-5)² = x² - 10x + 25, avec un double
produit et un +25. La différence de carrés se
factorise en produit de facteurs conjugués.

]]> Cette expression ne se factorise pas

]]> Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :
x² - 25 = x² - 5² = (x-5)(x+5).

]]> (x - 5)(x + 5)

]]> Bonne réponse : différence de deux carrés,
a² - b² = (a - b)(a + b) avec a = x et b = 5.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q03 : Équation produit nul Quelles sont les solutions de l'équation
(x - 2)(x + 5) = 0 ?

]]> Règle du produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0
ou B = 0. Ici : x = 2 ou x = -5. C'est la raison d'être
de la factorisation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2 ou x = 5

]]> Erreur de signe : x + 5 = 0 donne x = -5. Le signe de
la solution est l'opposé de celui écrit dans le
facteur.

]]> x = -2 ou x = 5

]]> Signes inversés sur les deux facteurs : x - 2 = 0 ⇒ x = 2 et x + 5 = 0 ⇒ x = -5.

]]> x = -10

]]> Erreur : tu as peut-être multiplié 2 × (-5). On ne
combine pas les solutions : chaque facteur nul en donne
une.

]]> x = 2 ou x = -5

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un
de ses facteurs est nul : x - 2 = 0 ou x + 5 = 0.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q04 : Résoudre $x^2 = a$ Quelles sont les solutions réelles de l'équation x² = 5 ?

]]> Équation x² = a : deux solutions ±√a si a > 0,
une seule (0) si a = 0, aucune si a < 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 2{,}5

]]> Erreur : 2{,}5 = 5 \div 2 confond carré et double.
2{,}5^2 = 6{,}25 \neq 5.

]]> x = √5 seulement

]]> Oubli : (-√5)² = 5 aussi. Le réflexe « racine
carrée » ne donne que la solution positive.

]]> x = √5 ou x = -√5

]]> Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :
l'équation x² = a (avec a > 0) a deux solutions,
±√a.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : c'est x² = -5 qui n'a pas de solution réelle
(un carré n'est jamais négatif). Pour 5 > 0, il y en a
deux.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q05 : Équation quotient Quelles sont les solutions de l'équation
x + 1/x - 3 = 0 ?

]]> A(x)/B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 et
B(x) ≠ 0. Réflexe : commencer par noter la valeur
interdite (ici x = 3), puis résoudre le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3 seulement

]]> Erreur : 3 est la valeur interdite. La nullité d'un
quotient se joue au numérateur : x + 1 = 0.

]]> x = -1 ou x = 3

]]> Erreur : x = 3 annule le dénominateur : le quotient
n'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une
solution.

]]> x = -1 seulement

]]> Bonne réponse : un quotient est nul quand son
numérateur est nul et son dénominateur non nul :
x = -1 (et la valeur interdite x = 3 est écartée).

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : x = -1 convient : 0/-4 = 0, et le
dénominateur n'est pas nul en -1.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q06 : Inéquation et division par un négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
-2x + 6 > 0 ?

]]> Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre
strictement négatif change son sens. -2x + 6 > 0 ⇔ -2x > -6 ⇔ x < 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]3 ; +∞[

]]> L'erreur classique : diviser par un nombre négatif
renverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec x = 0 :
-2 × 0 + 6 = 6 > 0, donc 0 est solution, et
0 < 3.

]]> ]-∞ ; 3[

]]> Bonne réponse : -2x > -6 puis, en divisant par -2,
l'inégalité se renverse : x < 3.

]]> ]-∞ ; -3[

]]> Erreur de signe sur la borne : -2x > -6 donne
x < 3, pas x < -3.

]]> ]-3 ; 3[

]]> Erreur : une inéquation du premier degré délimite une
demi-droite, pas un intervalle borné.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q07 : Produit de puissances Que vaut a³ × a⁵ (pour a réel non nul) ?

]]> Règles des puissances : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ;
aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Le produit
ajoute les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a²

]]> Erreur : soustraire les exposants correspond au
quotient a⁵/a³.

]]> a⁸

]]> Bonne réponse : on ajoute les exposants :
a³ × a⁵ = a³⁺⁵ (trois facteurs a suivis de
cinq facteurs a).

]]> 2a⁸

]]> Erreur : aucun facteur 2 n'apparaît. Compter les
facteurs a suffit : 3 + 5 = 8 facteurs.

]]> a¹⁵

]]> Erreur : multiplier les exposants correspond à la
puissance de puissance (a³)⁵. Pour un produit, on les
ajoute.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q08 : Simplifier une racine carrée Quelle est l'écriture simplifiée de √50 ?

]]> Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré
parfait. √50 = √25 × 2 = 5√2, grâce à
√ab = √a √b (pour a, b ≥ 0).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2√5

]]> Erreur de décomposition : 2√5 = √4 × 5 = √20, pas √50. Il faut extraire le plus
grand carré : 50 = 25 × 2.

]]> 10√5

]]> Erreur : 10√5 = √500.
Contrôle utile : \sqrt{50} \approx 7{,}07 et
5\sqrt{2} \approx 7{,}07.

]]> 5√2

]]> Bonne réponse : √50 = √25 × 2 = √25 √2 = 5√2 (la règle
√ab = √a√b est démontrée en cours).

]]> 25√2

]]> Erreur : √25 = 5, pas 25. La racine « défait »
le carré : 25 = 5² sort en 5.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q09 : La relation $\sqrt{a^2} = |a|$ Que vaut √(-3)² ?

]]> √a² = |a| pour tout réel a : la racine carrée est
positive par définition. √(-3)² = √9 = 3 = |-3|.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Bonne réponse : (-3)² = 9 et √9 = 3. En
général, √a² = |a| : la racine carrée renvoie
toujours un résultat positif.

]]> 9

]]> Erreur : 9 est le carré ; la racine le ramène à 3.

]]> ± 3

]]> Confusion : le symbole √9 désigne le nombre
positif de carré 9. Le « ± » apparaît en résolvant
l'équation x² = 9, pas dans la valeur de la racine.

]]> -3

]]> Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas
purement : √a² = |a|, jamais négatif. Le signe de
départ est perdu par le carré.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q10 : Isoler une variable dans une formule La loi d'Ohm s'écrit U = R × I. Comment exprime-t-on
I en fonction de U et R (avec R ≠ 0) ?

]]> Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération
inverse. U = RI ⇒ I = U/R. Même méthode
pour d = vt, S = π r², etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc I = U/R

]]> Bonne réponse : I est multiplié par R ; pour
l'isoler, on divise les deux membres par R.

]]> I = U × R

]]> Erreur : multiplier encore par R éloigne de la
solution. On divise pour défaire la multiplication.

]]> I = R/U

]]> Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :
si U = 12 et R = 4, alors I = 3, ce qui correspond à
U/R et non R/U = 1/3.

]]> I = U - R

]]> Erreur d'opération : U = RI est un produit ; on le
défait par une division, pas par une soustraction.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q11 : Opérations sur les inégalités Soient des réels tels que a < b et c < d. Laquelle de ces
inégalités est toujours vraie ?

]]> Seule l'addition membre à membre est toujours licite :
a < b et c < d ⇒ a + c < b + d. Soustraction,
produit et quotient demandent des précautions de signe, ou
sont carrément faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a + c < b + d

]]> Bonne réponse : les inégalités de même sens
s'additionnent toujours.

]]> a/c < b/d

]]> Faux en général (et c ou d pourrait être nul). Même
avec des positifs, diviser des inégalités membre à membre
n'est pas une règle valide.

]]> ac < bd

]]> Faux sans hypothèse de signe : -3 < 1 et -3 < 1, mais
(-3)(-3) = 9 > 1. La multiplication exige des nombres
positifs.

]]> a - c < b - d

]]> Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.
Contre-exemple : 0 < 1 et 0 < 10, mais
0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q12 : Multiplier une inégalité par un négatif Soient a et b deux réels tels que a < b. Que peut-on
dire de -2a et -2b ?

]]> Multiplication d'une inégalité : par un réel positif, le
sens est conservé ; par un réel négatif, il est renversé.
a < b ⇒ -2a > -2b (lien avec la décroissance de
x ↦ -2x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2a = -2b

]]> Erreur : multiplier par une même constante non nulle
conserve la différence entre les nombres, elle ne les
égalise pas.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître les signes de a
et b

]]> Erreur : la règle vaut pour tous les réels : le signe
du multiplicateur (-2) suffit à déterminer le sens.

]]> -2a < -2b

]]> Erreur : teste a = 1, b = 3 : -2a = -2 et
-2b = -6, or -2 > -6. Le facteur négatif inverse
l'ordre.

]]> -2a > -2b

]]> Bonne réponse : multiplier par -2 < 0 renverse
l'inégalité. Exemple : 1 < 3 donne -2 > -6.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q13 : Réduire une expression Comment se réduit l'expression 3x + 5 + 2x - 1 ?

]]> Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les x
ensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se
combine, jamais les familles entre elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6x + 4

]]> Erreur de somme : 3x + 2x = 5x (additionner les
coefficients : 3 + 2).

]]> 5x - 4

]]> Signe : 5 - 1 = +4 (le moins ne porte que sur le
1).

]]> 9x

]]> Mélange interdit : 5 et -1 ne portent pas de x :
on ne peut pas les fusionner avec 3x et 2x.

]]> 5x + 4

]]> Bonne réponse : on regroupe les termes en x (3x + 2x = 5x) et les constantes (5 - 1 = 4).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q14 : Résoudre une équation du premier degré Quelle est la solution de l'équation 2x + 1 = 7 ?

]]> Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition
(-1 des deux côtés), puis défaire la multiplication
(÷ 2). Et toujours vérifier en remplaçant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 3

]]> Bonne réponse : 2x = 6 (retirer 1 des deux côtés),
puis x = 3 (diviser par 2). Contrôle :
2 × (3) + 1 = 7.

]]> x = 7/2

]]> Le +1 a été ignoré : avant de diviser, il faut
d'abord isoler 2x en retirant 1.

]]> x = 4

]]> Ordre des opérations : diviser 7 + 1 = 8 par 2
suppose d'avoir ajouté 1 : or on doit le
retrancher : 7 - 1/2 = 3.

]]> x = 6

]]> Division oubliée : 2x = 6 n'est pas fini : il reste
à diviser par 2.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q15 : Puissance d'exposant négatif Que vaut 10⁻³ ?

]]> a⁻ⁿ = 1/aⁿ : notation des inverses. Pour les
puissances de 10 : l'exposant compte les rangs de la
virgule (10⁻³ : trois rangs vers la gauche) : la base
de l'écriture scientifique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}001

]]> Bonne réponse : 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 : l'exposant négatif signifie
« inverse ».

]]> 0{,}0001

]]> Un zéro de trop : \frac{1}{1000} = 0{,}001 (trois
rangs après la virgule pour l'exposant 3).

]]> -30

]]> Erreur : 10 × (-3) multiplie au lieu d'élever en
puissance : 10⁻³ est un inverse de puissance.

]]> -1000

]]> Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre
négatif : il le rend petit (1/1000),
toujours positif.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q16 : Développer $(2x + 1)(x - 3)$ Quel est le développement de (2x + 1)(x - 3) ?

]]> Double distributivité : chaque terme de la première
parenthèse multiplie chaque terme de la seconde (2 × 2 = 4 produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre
toutes les erreurs : le calculer en premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x - 2

]]> Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les
multiplier : le produit crée un terme en x².

]]> 2x² - 5x - 3

]]> Bonne réponse : quatre produits : 2x² - 6x + x - 3,
puis réduction : -6x + x = -5x.

]]> 2x² - 3

]]> Termes croisés oubliés : la double distributivité génère
quatre produits : les termes du milieu (-6x et
+x) ne s'annulent pas ici.

]]> 2x² + 5x - 3

]]> Signe : 2x × (-3) = -6x domine le +x : le
terme du milieu est -5x.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q17 : Factoriser par le facteur commun Comment se factorise 6x² + 4x ?

]]> Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les
termes partagent (ici 2 et x), l'extraire, écrire le
reste entre parenthèses. Vérification systématique : le
développement doit redonner l'expression de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x(3x + 4)

]]> Contrôle : 2x × 4 = 8x ≠ 4x : après
extraction de 2x, il reste 2, pas 4.

]]> x(6x + 4)

]]> Factorisation incomplète : le 2 commun à 6 et 4
peut encore sortir : on extrait toujours le facteur
maximal.

]]> 10x³

]]> Erreur : additionner 6x² + 4x en un seul terme est
impossible (degrés différents) : factoriser, c'est écrire sous forme de produit.

]]> 2x(3x + 2)

]]> Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est
2x : 6x² = 2x × 3x et 4x = 2x × 2.
Contrôle en redéveloppant.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q18 : Développer le carré d'une différence Quel est le développement de (x - 4)² ?

]]> (a - b)² = a² - 2ab + b² : trois termes, jamais deux.
Le contrôle par une valeur (x = 4 donne 0) démasque
immédiatement les développements faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² + 16

]]> L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas
la différence des carrés : le double produit -8x est
obligatoire (testez x = 4 : 0² = 0 ≠ 32).

]]> x² - 8x + 16

]]> Bonne réponse : (a - b)² = a² - 2ab + b² : le
double produit vaut -2 × x × 4 = -8x, et le
carré de -4 est +16.

]]> x² - 8x - 16

]]> Dernier signe : (-4)² = +16 : un carré est toujours
positif.

]]> x² - 16

]]> Confusion : x² - 16 = (x-4)(x+4) : c'est l'identité
a² - b², pas le carré de (x - 4).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q19 : Inconnues des deux côtés Quelle est la solution de 3x - 2 = x + 6 ?

]]> Avec des x des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un
côté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de
tout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et
TOUJOURS contrôler dans l'équation de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 8/3

]]> Erreur : le terme x du membre de droite n'a pas été
ramené à gauche ; le regroupement correct donne
2x = 8.

]]> x = 4

]]> Bonne réponse : regrouper les x à gauche (3x - x = 2x), les nombres à droite (6 + 2 = 8) :
2x = 8, x = 4. Contrôle : les deux membres
valent 10.

]]> x = 8

]]> Division oubliée : 2x = 8 donne x = 4 : le
coefficient 2 se retire en dernier.

]]> x = 2

]]> Erreur probable : 6 - 2 au lieu de 6 + 2. Un terme qui change de membre change de signe.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q20 : Racine d'une somme Que vaut √9 + 16 ?

]]> La racine respecte les produits (√ab = √a√b) mais jamais les sommes : √9 + 16 = 5 alors que √9 + √16 = 7. Ce contre-exemple
à 3-4-5 est à garder en réserve.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7

]]> Le piège visé : √9 + √16 = 3 + 4 = 7,
mais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :
√a + b ≠ √a + √b.

]]> 5

]]> Bonne réponse : √9 + 16 = √25 = 5 : on
additionne D'ABORD sous la racine.

]]> 12{,}5

]]> Erreur : 25/2 ne correspond à rien : la
racine de 25 est le nombre positif dont le carré vaut
25 : c'est 5.

]]> 625

]]> Sens inverse : 625 = 25² élève au carré au lieu de
prendre la racine.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q21 : Évaluer une expression en $x = -2$ Que vaut l'expression x² - 3x pour x = -2 ?

]]> Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :
(-2)² = 4, -3 × (-2) = +6. La moitié des erreurs
de calcul littéral sont des parenthèses omises autour des
négatifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10

]]> Bonne réponse : (-2)² - 3 × (-2) = 4 + 6 = 10 :
le carré efface le signe, et « moins fois moins » donne
plus.

]]> 2

]]> Erreur sur le double produit : -3 × (-2) = +6 :
on obtient 4 + 6, pas 4 - 2.

]]> -10

]]> Signe global : les deux termes sont positifs (4
et 6) : total +10.

]]> -2

]]> Deux erreurs de signe : (-2)² = +4 (pas -4) et -3 × (-2) = +6 (pas -6).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q22 : Équation avec une fraction Quelle est la solution de x/3 - 2 = 4 ?

]]> Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur
application : le -2 d'abord (opération la plus externe),
la division par 3 ensuite. Chaque geste s'applique aux
DEUX membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 18

]]> Bonne réponse : x/3 = 6 (ajouter 2), puis
x = 18 (multiplier par 3). Contrôle : 18/3 - 2 = 4 ✓.

]]> x = 2

]]> Erreur : 4 + 2/3 = 2 divise au lieu de
multiplier : pour défaire une division par 3, on
multiplie par 3.

]]> x = 6

]]> Multiplication oubliée : 6 est la valeur de
x/3 : il reste à multiplier par 3.

]]> x = 4/3 + 2

]]> Ordre : le -2 se neutralise en premier (sur les deux
membres entiers), la division par 3 en dernier : x = 6 × 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q23 : Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ L'égalité (a + b)² = a² + b² est-elle vraie pour tous
réels a et b ?

]]> (a + b)² = a² + 2ab + b² : le double produit n'est pas
une option. Un contre-exemple numérique (une seconde de
calcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe
à cultiver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : le carré se distribue sur l'addition

]]> Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur
les produits ((ab)² = a²b²), jamais sur les
sommes : contre-exemple a = b = 1.

]]> Non, il manque le double produit 2ab

]]> Bonne réponse : (1 + 1)² = 4 alors que 1² + 1² = 2. Le carré d'une somme vaut a² + 2ab + b² :
l'égalité proposée n'est vraie que si 2ab = 0 (l'un
des deux est nul).

]]> Oui, à condition que a et b soient positifs

]]> Erreur : a = b = 1 sont positifs et l'égalité échoue
(4 ≠ 2) : le signe n'y change rien.

]]> Non, elle n'est vraie que lorsque a = b

]]> Erreur : a = b = 1 donne justement 4 ≠ 2 : le
seul salut est ab = 0.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q24 : Traduire un programme de calcul Programme : « choisir un nombre, lui ajouter 3, mettre le
résultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme
appliqué à x ?

]]> Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la
précédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.
Tester avec un nombre concret (x = 1 : 1 → 4 → 16)
départage les candidats en quelques secondes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x² + 3

]]> Ordre inversé : x² + 3 met au carré puis ajoute
3 : le programme fait l'inverse. (Test avec x = 1 :
16 contre 4.)

]]> 2(x + 3)

]]> Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par
lui-même (u²), pas par 2.

]]> (x + 3)²

]]> Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le
carré s'applique au résultat entier : les parenthèses
traduisent l'ordre des étapes.

]]> x + 3²

]]> Erreur : ici le carré ne porte que sur le 3 : x + 9 :
le programme élève au carré tout le résultat.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q25 : Un produit calculé sans poser l'opération En utilisant une identité remarquable, combien vaut 101 × 99 ?

]]> Reconnaître (a+b)(a-b) transforme un produit en différence de deux
carrés. Avec a = 100 et b = 1, le calcul devient immédiat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9 999

]]> Bonne réponse : 101 × 99 = (100+1)(100-1) = 100² - 1², soit
10 000 - 1.

]]> 10 001

]]> Signe inversé : l'identité (a+b)(a-b) donne a² - b², donc on
retranche 1 au lieu de l'ajouter.

]]> 9 900

]]> Terme oublié : 9 900 vaut 100 × 99. Il reste à ajouter
1 × 99.

]]> 10 000

]]> Carré parfait supposé : le produit vaudrait 10 000 si les deux
facteurs étaient égaux à 100, ce qui n'est pas le cas.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q26 : Une équation sans solution Quelles sont les solutions de l'équation 2x + 3 = 2x + 5 ?

]]> Quand les termes en x disparaissent, il reste une égalité entre deux
nombres. Si elle est fausse, l'équation n'a pas de solution ; si elle est
vraie, tous les réels conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels

]]> Ce serait le cas si les deux membres étaient identiques. Ici les
constantes diffèrent, donc l'égalité n'est jamais vraie.

]]> La solution x = 1

]]> Vérification immédiate : pour x = 1, le membre de gauche vaut 5 et
celui de droite 7, ils diffèrent.

]]> La solution x = 0

]]> Vérification immédiate : pour x = 0, on compare 3 et 5, qui ne
sont pas égaux.

]]> Aucune solution

]]> Bonne réponse : retrancher 2x des deux côtés laisse 3 = 5, une
égalité fausse. Aucune valeur de x ne convient.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q27 : Une équation vérifiée partout Quelles sont les solutions de l'équation 3(x - 1) = 3x - 3 ?

]]> Une équation dont les deux membres sont égaux après développement est une
identité : elle est vraie pour toutes les valeurs de l'inconnue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution

]]> Confusion avec le cas contraire : ici l'égalité obtenue après
simplification est vraie, et non fausse.

]]> x = 0

]]> Solution trouvée par réflexe : x = 0 convient, comme n'importe
quelle autre valeur.

]]> Tous les réels

]]> Bonne réponse : développer le membre de gauche donne 3x - 3, donc
les deux membres sont identiques.

]]> x = 1

]]> Solution trouvée par réflexe : x = 1 convient, mais x = 5 aussi,
car les deux membres valent alors 12.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q28 : Puissance d'un produit Quelle est la forme réduite de (2x³)² ?

]]> Élever un produit à une puissance revient à élever chaque facteur, et une
puissance de puissance multiplie les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4x⁶

]]> Bonne réponse : chaque facteur est élevé au carré, et les exposants se
multiplient, donc 2² = 4 et (x³)² = x⁶.

]]> 2x⁶

]]> Coefficient oublié : le facteur 2 est lui aussi élevé au carré, ce
qui donne 4.

]]> 4x⁵

]]> Exposants additionnés : la règle (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ les multiplie.
L'addition vaut pour un produit de puissances.

]]> 4x⁹

]]> Exposants confondus : 3 × 2 vaut 6, alors que 3² vaut 9.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q29 : Une inéquation à coefficient négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation -3x + 2 ≥ 8 ?

]]> Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,
mais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [2 ; +∞[

]]> Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de
l'inégalité. La solution vérifie x ≤ -2.

]]> ]-∞ ; -2]

]]> Bonne réponse : -3x ≥ 6, puis la division par -3
renverse le sens, ce qui donne x ≤ -2.

]]> [-2 ; +∞[

]]> Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le
sens de l'inégalité ; on obtient x ≤ -2.

]]> ]-∞ ; 2]

]]> Signe perdu : de -3x ≥ 6 on tire x ≤ -2, et non
x ≤ 2.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q30 : Factoriser $x^2 + 6x + 9$ Quelle est la forme factorisée de x² + 6x + 9 ?

]]> Reconnaître a² + 2ab + b² demande de vérifier les trois termes : les
deux carrés, puis le double produit. Ici a = x et b = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (x + 3)²

]]> Bonne réponse : 9 = 3² et 6x = 2 × x × 3, l'expression
est donc le carré de x + 3.

]]> (x + 9)²

]]> Constante recopiée : le développement donnerait x² + 18x + 81.
C'est la racine carrée de 9 qui intervient.

]]> (x + 6)(x + 3)

]]> Développement faux : ce produit vaut x² + 9x + 18, dont aucun terme
ne correspond.

]]> (x + 3)(x - 3)

]]> Mauvaise identité : ce produit vaut x² - 9, sans terme en x.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q31 : Réduire avec des termes négatifs Comment se réduit l'expression 2x - 7 - 5x + 3 ?

]]> Réduire, c'est regrouper séparément les termes en x et les constantes.
Chaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7x - 4

]]> Signe oublié devant le second terme en x : il faut calculer
2 - 5 = -3, et non une somme de deux nombres positifs.

]]> -3x - 10

]]> Erreur sur les constantes : -7 + 3 = -4, car le dernier terme
s'ajoute au lieu de se retrancher.

]]> -3x - 4

]]> Bonne réponse : les termes en x donnent 2 - 5 = -3, les
constantes donnent -7 + 3 = -4.

]]> -7x

]]> Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en
x. Le résultat garde deux morceaux, -3x et -4.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q32 : Distributivité simple Quel est le développement de 3(2x - 5) ?

]]> La distributivité simple s'écrit k(a + b) = ka + kb : le facteur placé
devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6x + 15

]]> Erreur de signe sur le produit : 3 × -5 = -15, en appliquant
la règle des signes.

]]> 6x - 15

]]> Bonne réponse : 3 multiplie les deux termes de la parenthèse :
3 × 2x = 6x et 3 × -5 = -15.

]]> 6x - 5

]]> Facteur distribué à moitié : le terme -5 doit lui aussi être
multiplié par 3, ce qui donne -15.

]]> 2x - 15

]]> Le premier terme a été oublié : 3 × 2x vaut 6x, et non
2x.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q33 : Écrire un inverse avec un exposant Comment s'écrit 1/x⁴ à l'aide d'un exposant négatif, pour
x non nul ?

]]> Un exposant négatif note un inverse : x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Le signe
- agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -x⁴

]]> Le signe - porte sur l'exposant, pas sur le nombre : -x⁴ est
l'opposé de x⁴, pas son inverse.

]]> (-x)⁴

]]> Cette écriture remplace x par son opposé, ce qui n'a rien à voir
avec l'inverse 1/x⁴.

]]> -x⁻⁴

]]> Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul
l'exposant devient négatif.

]]> x⁻⁴

]]> Bonne réponse : par définition, x⁻ⁿ = 1/xⁿ, donc
1/x⁴ = x⁻⁴.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q34 : Ce qui renverse une inégalité Une inéquation est transformée en appliquant la même opération à ses deux
membres. Laquelle de ces opérations en renverse le sens ?

]]> Additionner ou retrancher ne change jamais le sens d'une inégalité.
Multiplier ou diviser le conserve si le nombre est positif et le renverse
s'il est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La division par le nombre 4

]]> Diviser par un nombre positif conserve le sens : seul un diviseur
négatif le renverserait.

]]> La soustraction du nombre 5

]]> Retrancher un nombre revient à en ajouter l'opposé : l'ordre des deux
membres est conservé.

]]> L'addition du nombre -3

]]> Ajouter un nombre, même négatif, translate les deux membres sans
changer leur ordre : de 2 < 5 on tire -1 < 2.

]]> La multiplication par -3

]]> Bonne réponse : de 2 < 5 on tire -6 > -15. Multiplier par un
nombre négatif renverse le sens.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q35 : Une équation où $x$ est en facteur Quelles sont les solutions de l'équation x² = 4x ?

]]> Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on
ramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par x ferait perdre
la solution 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 0 ou x = -4

]]> Erreur de signe : le facteur est x - 4, qui s'annule pour
x = 4.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Il suffit de tester x = 0 : les deux membres valent 0, l'équation
a donc au moins une solution.

]]> x = 4 seulement

]]> Solution perdue : diviser les deux membres par x suppose x ≠ 0,
or 0 vérifie l'équation.

]]> x = 0 ou x = 4

]]> Bonne réponse : x² - 4x = x(x - 4), produit nul lorsque x = 0
ou lorsque x = 4.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q36 : Le coefficient du terme en $x$ Dans le développement de (3x - 2)(x + 4), quel est le
coefficient du terme en x ?

]]> Dans (ax + b)(x + c), le terme en x vient de deux produits croisés :
ax × c et b × x. Leur somme est le coefficient cherché.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14

]]> Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne
12 - 2 = 10.

]]> 12

]]> Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter -2 × x
pour obtenir 10.

]]> 10

]]> Bonne réponse : les deux produits croisés donnent 3x × 4 et
-2 × x, soit 12 - 2 = 10.

]]> -8

]]> C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans x du
développement, pas le coefficient cherché.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q37 : Un carré calculé de tête En utilisant une identité remarquable, combien vaut 51² ?

]]> Écrire le nombre sous la forme a + b avec a rond, puis appliquer
(a + b)² = a² + 2ab + b², rend le calcul faisable de tête.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2600

]]> Dernier terme oublié : il reste à ajouter 1², soit 1, pour
obtenir 2601.

]]> 2501

]]> Double produit oublié : (a + b)² compte trois termes, dont
100 ici.

]]> 2601

]]> Bonne réponse : 51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.

]]> 2499

]]> Mauvaise identité : a² - b² est le développement de
(a + b)(a - b), pas celui d'un carré.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q38 : Isoler une longueur dans un périmètre Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell vaut
P = 2(L + \ell). Comment exprime-t-on L en fonction de P et
de \ell ?

]]> Isoler une variable, c'est défaire les opérations qui l'entourent, de la
plus extérieure à la plus intérieure, en appliquant chaque geste aux deux
membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L = P - 2\ell

]]> La division par 2 a été oubliée : le facteur 2 porte sur toute la
parenthèse, donc sur L aussi.

]]> L = \dfrac{P}{2} - \ell

]]> Bonne réponse : on divise d'abord par 2, puis on retranche \ell,
en défaisant les opérations dans l'ordre inverse.

]]> L = \dfrac{P}{2\ell}

]]> La formule contient une somme, pas un produit : on ne peut pas passer
\ell au dénominateur.

]]> L = \dfrac{P - \ell}{2}

]]> Opérations dans le désordre : \ell n'est retranché qu'après la
division, car il est à l'intérieur de la parenthèse.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q39 : Une équation à barre de fraction Quelle est la solution de l'équation 2x - 1/5 = 3 ?

]]> Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le
dénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré
ordinaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 16

]]> Division finale oubliée : de 2x - 1 = 15 on tire
2x = 16, puis x = 8.

]]> x = 2

]]> La multiplication par 5 a été oubliée : le dénominateur s'élimine
en multipliant les deux membres.

]]> x = 8

]]> Bonne réponse : on multiplie par 5, ce qui donne
2x - 1 = 15, puis on isole x.

]]> x = 7

]]> Erreur de signe : le terme -1 change de signe en traversant le
signe égal.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q40 : Des inconnues à gauche et à droite Quelle est la solution de l'équation 5 - 2x = 3x - 10 ?

]]> Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en x d'un
côté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en
traversant le signe égal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -3

]]> Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe
une seule fois. La vérification dans l'équation le montre.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Les coefficients de x des deux membres sont différents : les termes
en x ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution.

]]> x = 15

]]> Division oubliée : après regroupement on obtient 15 = 5x, il
reste à diviser par 5.

]]> x = 3

]]> Bonne réponse : on regroupe les termes en x à droite et les nombres
à gauche : 15 = 5x, donc x = 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q41 : La valeur interdite d'un quotient Pour quelle valeur de x l'expression 2x - 6/x - 4
n'est-elle pas définie ?

]]> Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,
c'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'expression est définie partout

]]> Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui
arrive ici pour x = 4.

]]> x = -4

]]> Erreur de signe : le dénominateur x - 4 s'annule pour
x = 4, pas pour son opposé.

]]> x = 4

]]> Bonne réponse : pour x = 4 le dénominateur vaut 0, et une
division par 0 est impossible.

]]> x = 3

]]> Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors 0, ce
qui est parfaitement défini.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q42 : Un facteur commun entre parenthèses Comment se factorise (x + 2)(x - 5) + 3(x + 2) ?

]]> Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit
la somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.
Le développement sert de vérification.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3(x + 2)(x - 5)

]]> Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : 3 ne devient
pas un facteur de l'ensemble.

]]> (x + 2)(x - 2)

]]> Bonne réponse : le facteur commun x + 2 se met devant, et il
reste (x - 5) + 3, soit x - 2.

]]> (x + 2)(x - 8)

]]> Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute 3 au contenu
de la parenthèse, ce qui donne x - 2.

]]> (x + 3)(x - 5)

]]> Facteur commun mal repéré : c'est x + 2 qui figure dans les deux
termes, pas 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q43 : Réfuter une égalité par un exemple Un élève affirme que (x + 5)² = x² + 25 pour tout réel x. Quel
calcul suffit à le réfuter ?

]]> Pour réfuter une égalité annoncée pour tout réel, un seul contre-exemple
suffit, et l'on choisit une valeur simple à calculer. Attention à 0 et à
1, qui vérifient parfois l'égalité par hasard.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 1 : on obtient 36 d'un côté, 26 de l'autre

]]> Bonne réponse : (1 + 5)² = 36 et 1² + 25 = 26. Une seule valeur
qui échoue suffit à réfuter une égalité annoncée pour tout réel.

]]> x = 0 : on obtient 25 des deux côtés

]]> Cette valeur vérifie l'égalité : elle ne réfute rien. Il faut au
contraire exhiber une valeur qui la met en défaut.

]]> Aucun : cette égalité est une identité remarquable

]]> L'identité remarquable est (x + 5)² = x² + 10x + 25 : le double
produit manque dans l'égalité proposée.

]]> x = 1 : on obtient 26 des deux côtés

]]> Le premier membre est mal calculé : (1 + 5)² = 6² = 36, et non
1 + 25.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q44 : Simplifier $\sqrt{x^2}$ Pour tout réel x, l'expression √x² est-elle égale à x ?

]]> Pour tout réel x, √x² = |x|. On ne peut donc supprimer la
racine et le carré qu'après avoir vérifié le signe de x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle vaut ± x, deux valeurs possibles

]]> Le symbole √\ désigne un seul nombre, positif ou nul. Deux
valeurs apparaissent en résolvant t² = a, pas ici.

]]> Oui, sauf lorsque x est un nombre entier

]]> Ce n'est pas une question d'entier : \sqrt{(-0{,}5)^2} = 0{,}5, le
signe seul est en cause.

]]> Non : elle vaut |x|, soit -x quand x < 0

]]> Bonne réponse : pour x = -3, √(-3)² = √9 = 3, et non
-3. L'égalité n'est vraie que pour x ≥ 0.

]]> Oui : la racine annule toujours le carré

]]> Les deux opérations ne se compensent que sur les nombres positifs :
une racine carrée n'est jamais négative.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q45 : Remonter un programme de calcul Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par 4, puis
retrancher 6 ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 10 ?

]]> Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en
remplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi
se tester en la substituant dans le programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 16

]]> Division oubliée : après avoir ajouté 6, il reste à diviser par
4 pour revenir au nombre de départ.

]]> 1

]]> Opération inverse mal choisie : le programme retranche 6, il faut
donc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore.

]]> 4

]]> Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant 6
puis en divisant par 4. Vérification : 4 × 4 - 6 = 10.

]]> 64

]]> Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par
4, on remonte donc en divisant par 4.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q46 : Comparer par différence ou par rapport Le prix d'un article passe de 40 euros à 50 euros, celui d'un
autre de 200 euros à 210 euros. Quelle affirmation est exacte ?

]]> La différence b - a mesure une variation additive ; le rapport
b/a, pour des quantités positives, mesure une variation
multiplicative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La seconde hausse est la plus forte, car 210 > 50

]]> Erreur : comparer les prix finaux ne mesure pas une hausse. Il
faut comparer chaque prix final à son prix de départ.

]]> Même hausse en euros, pas en pourcentage

]]> Bonne réponse : la différence vaut 10 euros dans les deux cas,
mais les rapports valent \dfrac{50}{40} = 1{,}25 et
\dfrac{210}{200} = 1{,}05, soit +25\ % et +5\ %.

]]> Les hausses sont de 10\ % chacune

]]> Erreur : 10 est une hausse en euros, pas en pourcentage. Le
pourcentage dépend du prix de départ.

]]> Les deux hausses sont équivalentes en tous points

]]> Erreur : seule la variation additive est la même. Rapportée au
prix de départ, la première hausse est cinq fois plus forte.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q47 : Exprimer y en fonction de x Les nombres x et y vérifient 3x + 2y = 12. Quelle est
l'expression de y en fonction de x ?

]]> Pour exprimer une variable en fonction des autres, on l'isole comme
dans une équation du premier degré : on regroupe, puis on divise par
son coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 6 - 3/2x

]]> Bonne réponse : 2y = 12 - 3x, puis on divise les deux membres
par 2.

]]> y = 6 - 3x

]]> Erreur : en divisant par 2, il faut diviser les deux
termes, 12 et 3x.

]]> y = 3/2x - 6

]]> Erreur de signe : en passant 3x dans l'autre membre, on le
retranche.

]]> y = 12 - 3x

]]> Erreur : 12 - 3x vaut 2y. Il reste à diviser par 2.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q48 : Modéliser par une inéquation Une salle de sport propose deux formules : 30 euros par mois
sans frais par séance, ou 10 euros par mois plus 4 euros par
séance. On note x le nombre de séances dans le mois. Quelle
inéquation traduit « la seconde formule est plus avantageuse » ?

]]> Pour modéliser, on exprime chaque quantité en fonction de
l'inconnue, puis on traduit la comparaison demandée par une
inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 14x < 30

]]> Erreur : l'abonnement de 10 euros est payé une fois par mois,
pas à chaque séance.

]]> 10x + 4 < 30

]]> Erreur : les rôles sont échangés. C'est le tarif de 4 euros qui
dépend du nombre de séances.

]]> 10 + 4x > 30

]]> Erreur : cette inéquation traduit les cas où la seconde formule
est la plus chère.

]]> 10 + 4x < 30

]]> Bonne réponse : la seconde formule coûte 10 + 4x euros ; elle
est plus avantageuse lorsque ce coût est inférieur à 30 euros,
soit x < 5.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q49 : Encadrer une racine carrée Entre quels entiers consécutifs se trouve √40 ?

]]> Pour encadrer √a, on cherche deux carrés d'entiers consécutifs
qui encadrent a : si n² < a < (n+1)², alors
n < √a < n + 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre 4 et 5.

]]> 5² = 25, qui est inférieur à 40 : √40 est plus grand que
5.

]]> Entre 39 et 41.

]]> Ces nombres encadrent 40, pas sa racine carrée. On cherche deux carrés
parfaits consécutifs autour de 40 : 36 et 49.

]]> Entre 20 et 21.

]]> La racine carrée n'est pas la moitié du nombre : 20² = 400, bien plus
que 40.

]]> Entre 6 et 7.

]]> Bonne réponse : 6² = 36 et 7² = 49, et 36 < 40 < 49, donc
6 < √40 < 7.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q50 : Racine d'un produit Laquelle de ces égalités est vraie pour tous les réels positifs
a et b (avec a ≥ b quand une différence apparaît) ?

]]> Démonstration du cours : pour a ≥ 0 et b ≥ 0, le nombre
√a√b est positif et son carré vaut ab, donc
√ab = √a√b. Aucune règle de ce genre
n'existe pour les sommes ou les différences.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc √2a = 2√a

]]> Faux : pour a = 2, √4 = 2 alors que
2\sqrt{2} \approx 2{,}83. Le facteur 2 sort de la racine
sous la forme √2 : √2a = √2√a.

]]> √a + b = √a + √b

]]> Faux : pour a = 9 et b = 16, √25 = 5 alors que
√9 + √16 = 7. La racine ne se distribue pas
sur une somme.

]]> √a - b = √a - √b

]]> Faux : pour a = 25 et b = 16, √9 = 3 alors que
√25 - √16 = 1. Pas plus que sur une somme, la
racine ne se distribue sur une différence.

]]> √ab = √a × √b

]]> Bonne réponse : √a × √b est positif et son
carré vaut (√a)² × (√b)² = ab : c'est
donc la racine carrée de ab.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q51 : Le côté d'un carré Un carré a une aire de 20 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

]]> Si un carré a pour aire A, son côté c vérifie c² = A avec c
positif : c = √A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 10 cm

]]> L'aire n'est pas le double du côté : un carré de côté 10 cm a une aire
de 100 cm².

]]> √20 cm, soit environ 4{,}47 cm

]]> Bonne réponse : le côté c vérifie c² = 20 et c > 0, donc
c = √20.

]]> 5 cm

]]> L'aire d'un carré n'est pas quatre fois son côté : 5 × 5 = 25
cm². Le côté vaut \sqrt{20} \approx 4{,}47 cm.

]]> 400 cm

]]> 400 = 20² : on a élevé l'aire au carré au lieu d'en prendre la racine
carrée.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q52 : Première puissance au-dessus d'un seuil Qu'affiche ce programme ?
`python
n = 0
p = 1
while p <= 100:
p = p * 2
n = n + 1
print(n)
`

]]> Algorithme de seuil : on multiplie p par 2 tant qu'il ne
dépasse pas 100. La valeur affichée est le premier exposant
n tel que 2ⁿ > 100.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 128, la valeur finale de la puissance p

]]> Erreur : 128 est la valeur de p à la sortie de la boucle,
mais le programme affiche n, l'exposant.

]]> 8, un tour de plus que l'exposant cherché

]]> Erreur : n augmente en même temps que p est multiplié ;
après le tour où p dépasse 100, la boucle s'arrête sans
nouvel ajout.

]]> 6, dernier exposant où 2ⁿ reste sous 100

]]> Erreur : pour n = 6, p vaut 2⁶, encore
inférieur ou égal à 100 : la boucle fait un tour de plus.

]]> 7, premier exposant où 2ⁿ dépasse 100

]]> Bonne réponse : p prend les valeurs 2⁰, 2¹,
2²… et la boucle s'arrête dès que p dépasse 100,
c'est-à-dire pour n = 7 (2⁷ = 128).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q53 : Choisir la forme adaptée Pour tout réel x, f(x) = (x - 3)(x + 1) = x² - 2x - 3.
Quelle forme permet de résoudre f(x) = -3, et quelles sont les
solutions ?

]]> La forme factorisée sert à résoudre f(x) = 0 ; pour
f(x) = k, on revient à la forme développée, on ramène tout
d'un côté, puis on factorise : ici x² - 2x = x(x - 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La forme développée : x = 0 ou x = 2

]]> Bonne réponse : x² - 2x - 3 = -3 équivaut à
x² - 2x = 0, soit x(x - 2) = 0, d'où x = 0 ou
x = 2. Vérification : f(2) = (-1) × 3 = -3.

]]> La forme développée : x = 2 seulement

]]> Oubli : diviser x² - 2x = 0 par x fait perdre la
solution x = 0, car f(0) = -3. Il faut factoriser par
x.

]]> La forme factorisée : x = 3 ou x = -1

]]> Erreur : 3 et -1 sont les solutions de f(x) = 0, pas
de f(x) = -3. La forme factorisée ne sert directement que
pour comparer à 0.

]]> La forme factorisée : x = 0 ou x = -4

]]> Erreur : un produit égal à -3 n'oblige pas un facteur à
valoir -3. Contre-exemple : f(-4) = (-7) × (-3) = 21.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q54 : Un quotient nul Résoudre l'équation x - 5/x + 2 = 0.

]]> Un quotient est nul quand son numérateur est nul et son dénominateur ne
l'est pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \{-2\}

]]> -2 annule le dénominateur : c'est une valeur interdite, jamais une
solution.

]]> \{5\,;\,-2\}

]]> Seul le numérateur doit s'annuler. Pour x = -2, le quotient n'est pas
défini.

]]> \{-5\}

]]> x - 5 = 0 donne x = 5 : le signe a été changé à tort.

]]> \{5\}

]]> Bonne réponse : le numérateur s'annule pour x = 5, et le dénominateur
vaut alors 7, qui n'est pas nul.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q55 : Réduire au même dénominateur Pour x ≠ 0, écrire 1/x + 2 sous la forme d'un seul
quotient.

]]> Pour additionner un quotient et un nombre, on écrit le nombre avec le
même dénominateur, puis on additionne les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 + 2x/2x

]]> Le dénominateur commun est x, et non 2x :
1/x + 2x/x = 1 + 2x/x.

]]> 1 + 2x/x

]]> Bonne réponse : 2 = 2x/x, donc
1/x + 2 = 1 + 2x/x.

]]> 3/x + 1

]]> On n'additionne pas les numérateurs et les dénominateurs entre eux. On
écrit 2 = 2x/x, puis on additionne les numérateurs.

]]> 3/x

]]> Le 2 a été ajouté au numérateur sans être mis au dénominateur x :
2 = 2x/x.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q56 : Une équation avec un quotient Pour x ≠ 1, résoudre l'équation 3/x - 1 = 2.

]]> Pour x différent de la valeur interdite, A/B = k équivaut à
A = kB. On vérifie à la fin que la solution n'est pas une valeur
interdite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5/2

]]> Bonne réponse : 3 = 2(x - 1), soit 3 = 2x - 2, donc 2x = 5 et
x = 5/2, qui est différent de 1.

]]> x = 2

]]> Le produit 2(x - 1) a été mal développé : il vaut 2x - 2, et non
2x - 1.

]]> x = 3/2

]]> C'est la valeur de x - 1. Il reste à ajouter 1 : x = 5/2.

]]> x = 5/3

]]> Le quotient a été inversé : x - 1 = ⅔. De
3/x - 1 = 2, on tire x - 1 = 3/2.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q57 : Une inéquation avec l'inconnue des deux côtés Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
2x + 5 ≥ 5x - 4 ?

]]> On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de
l'autre (ax + b ≥ cx + d ⇔ (a - c)x ≥ d - b),
puis on divise en changeant le sens si le coefficient est
négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]-∞ ; 3[

]]> Erreur de borne : l'inégalité est large (≥), donc
3 est solution. Vérification : pour x = 3, les deux
membres sont égaux.

]]> [3 ; +∞[

]]> Erreur : diviser par -3, nombre négatif, change le sens
de l'inégalité. On obtient x ≤ 3.

]]> ]-∞ ; -3]

]]> Erreur de signe : x ≥ -9/-3 se renverse en
x ≤ 3, et -9 ÷ (-3) = 3, pas -3.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Bonne réponse : en regroupant, -3x ≥ -9, puis on
divise par -3, qui est négatif : le sens change, et
x ≤ 3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q58 : Ensemble des solutions Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation 2x - 5 ≤ 4x + 1 ?

]]> On regroupe les termes en x d'un côté, puis on divise par le
coefficient de x en tenant compte de son signe ; on écrit enfin les
solutions sous forme d'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [3 ; +∞[

]]> 6/-2 = -3 : le signe a été perdu.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Deux erreurs : 6/-2 = -3, et le sens change quand on divise
par un nombre négatif.

]]> ]-∞ ; -3]

]]> En divisant par -2, le sens de l'inégalité change : x ≥ -3.

]]> [-3 ; +∞[

]]> Bonne réponse : -2x ≤ 6, puis en divisant par -2 on change le
sens : x ≥ -3.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q59 : Comparer deux forfaits Une location coûte 20 € plus 0{,}50 € par kilomètre avec le forfait
A, et 0{,}90 € par kilomètre avec le forfait B. Pour quelles distances
le forfait A est-il moins cher ?

]]> On traduit « A est moins cher que B » par une inéquation,
20 + 0{,}5d < 0{,}9d, que l'on résout comme une équation en
surveillant le sens de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-delà de 50 km.

]]> Bonne réponse : 20 + 0{,}5d < 0{,}9d équivaut à 20 < 0{,}4d, soit
d > 50.

]]> Au-delà de 22 km environ.

]]> 20 \div 0{,}90 \approx 22 ne tient pas compte du prix au kilomètre du
forfait A. On résout 20 + 0{,}5d < 0{,}9d.

]]> Au-delà de 40 km.

]]> 20 \div 0{,}50 = 40 ne compare pas les deux forfaits. On résout
20 + 0{,}5d < 0{,}9d, soit d > 50.

]]> Pour moins de 50 km.

]]> Sur de courtes distances, les 20 € fixes pèsent lourd : le forfait A
devient moins cher au-delà de 50 km.

]]>