$course$/QCM de maths/Seconde/Droites du plan Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente
(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,
appartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point
d'intersection, alignement.

]]> Droites du plan — Q01 : Lire la pente Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite
d'équation réduite y = 2x - 1 ?

]]> Équation réduite y = mx + p : m est la pente (variation de
y pour un pas de 1 en x), p l'ordonnée à l'origine.
Ici m = 2, p = -1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x

]]> Erreur de nature : la pente est un nombre fixe, pas
une expression en x.

]]> -1

]]> Erreur : -1 est l'ordonnée à l'origine p (la
hauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

]]> ½

]]> Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de
x, sans l'inverser : m = 2.

]]> 2

]]> Bonne réponse : dans y = mx + p, la pente est m, le
coefficient de x. Chaque pas de 1 vers la droite fait
varier y de 2.

]]> Droites du plan — Q02 : Équation d'une droite tracée [Figure : Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les
points (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe
l'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1
vers la droite.]

Quelle est l'équation réduite de la droite d tracée
ci-dessous ?

]]> Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement
avec l'axe vertical (p = -1), puis la pente entre deux
points du quadrillage (m = 1 - (-1)/1 - 0 = 2).
D'où y = 2x - 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x - 1

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en
-1 (donc p = -1) et monte de 2 entre les deux points
marqués (donc m = 2).

]]> y = -2x - 1

]]> Erreur de signe : la droite monte de gauche à droite,
sa pente est positive.

]]> y = 2x + 1

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des
ordonnées en dessous de l'origine, en -1.

]]> y = x - 1

]]> Erreur de pente : entre (0 ; -1) et (1 ; 1), la
droite monte de 2, pas de 1 : m = 2.

]]> Droites du plan — Q03 : Vecteur directeur d'une droite en équation réduite Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
y = 3x + 2 ?

]]> Pour y = mx + p, le vecteur (1 ; m) est directeur :
« j'avance de 1, je monte de m ». Ici (1 ; 3) (ou
tout multiple non nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(1 ; 3)

]]> Bonne réponse : un pas de 1 en abscisse fait varier
l'ordonnée de la pente m = 3 : le vecteur
(1 ; m) dirige toujours la droite y = mx + p.

]]> u⃗(3 ; 1)

]]> Coordonnées inversées : la pente 3 est la variation
verticale pour 1 d'avance horizontale : (1 ; 3).

]]> u⃗(3 ; 2)

]]> Erreur : tu as recopié les deux coefficients de
l'équation. La direction ne dépend que de la pente :
(1 ; 3).

]]> u⃗(0 ; 2)

]]> Erreur : (0 ; 2) est vertical, il dirigerait une
droite parallèle à l'axe des ordonnées. Le 2 de
l'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction.

]]> Droites du plan — Q04 : Vecteur directeur en équation cartésienne Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
cartésienne 2x - y + 3 = 0 ?

]]> Droite ax + by + c = 0 : vecteur directeur (-b ; a).
Ici a = 2, b = -1 : u⃗(1 ; 2). Vérification par
l'équation réduite y = 2x + 3 : pente 2, directeur
(1 ; 2).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(0 ; 0)

]]> Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a
pas de direction).

]]> u⃗(2 ; -1)

]]> Piège : (a ; b) = (2 ; -1) recopie les coefficients
dans l'ordre. Le vecteur directeur les croise :
(-b ; a).

]]> u⃗(1 ; 2)

]]> Bonne réponse : pour ax + by + c = 0, le vecteur
(-b ; a) est directeur : ici (-(-1) ; 2) = (1 ; 2). (Cohérent : l'équation se réécrit
y = 2x + 3, pente 2.)

]]> u⃗(2 ; 3)

]]> Erreur : 3 est le terme constant c, qui positionne la
droite mais n'influence pas sa direction.

]]> Droites du plan — Q05 : Un point est-il sur la droite ? Le point A(1 ; 5) appartient-il à la droite d'équation
y = 3x + 2 ?

]]> A(x_A ; y_A) appartient à la droite d'équation
y = mx + p si et seulement si y_A = m x_A + p. Ici
5 = 3 + 2 : oui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car 1 ≠ 5

]]> Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée
(cela ne vaut que pour la droite y = x). On teste
l'équation de cette droite.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la droite

]]> Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :
remplacer x et y par les coordonnées du point.

]]> Non, car 5 × 3 + 2 = 17 ≠ 1

]]> Erreur de substitution : c'est x = 1 qu'on injecte dans
3x + 2, et on compare le résultat à y = 5. Tu as
échangé les rôles de x et y.

]]> Oui, car 3 × 1 + 2 = 5

]]> Bonne réponse : les coordonnées de A vérifient
l'équation (y_A = 3x_A + 2) : le point est sur la
droite.

]]> Droites du plan — Q06 : Reconnaître des droites parallèles Les droites d₁ : y = 3x + 1 et d₂ : y = 3x - 4
sont-elles parallèles ?

]]> Droites y = mx + p et y = m'x + p' : parallèles
⇔ m = m' (confondues si de plus p = p').
Ici : parallèles strictes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car leurs ordonnées à l'origine 1 et -4
diffèrent

]]> Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent
seulement les droites d'être confondues. Le
parallélisme se lit sur la pente.

]]> Non, elles sont confondues, car les coefficients de x
sont égaux

]]> Erreur : confondues exigerait la même équation complète
(même pente et même ordonnée à l'origine). Ici 1 ≠ -4 : deux droites distinctes, parallèles.

]]> Non, elles sont sécantes au point (3 ; 3)

]]> Erreur : 3x + 1 = 3x - 4 donnerait 1 = -4, impossible.
Deux droites de même pente ne se coupent jamais.

]]> Oui, car elles ont la même pente 3

]]> Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont
parallèles si et seulement si elles ont la même
pente. Ici m = 3 pour les deux, et les ordonnées à
l'origine 1 ≠ -4 les rendent strictement parallèles
(non confondues).

]]> Droites du plan — Q07 : Point d'intersection Quel est le point d'intersection des droites
d₁ : y = 2x - 1 et d₂ : y = -x + 5 ?

]]> Intersection de deux droites en équations réduites : égaler
les expressions de y, résoudre en x, puis calculer y.
2x - 1 = -x + 5 ⇒ x = 2, y = 3 : point
(2 ; 3).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (3 ; 2)

]]> Coordonnées inversées : l'équation 3x = 6 donne
l'abscisse x = 2, puis l'ordonnée y = 3.

]]> (6 ; 11)

]]> Erreur : x = 6 vient d'un oubli de division par 3
dans 3x = 6. Et vérifie toujours dans les deux
équations : -6 + 5 = -1 ≠ 11.

]]> Ces droites ne se coupent pas

]]> Erreur : leurs pentes (2 et -1) sont différentes :
elles sont sécantes en exactement un point.

]]> (2 ; 3)

]]> Bonne réponse : on égale les deux expressions :
2x - 1 = -x + 5, d'où 3x = 6, x = 2, puis
y = 2 × 2 - 1 = 3.

]]> Droites du plan — Q08 : Pente à partir de deux points Quelle est la pente de la droite passant par A(1 ; 2) et
B(3 ; 8) ?

]]> Pente d'une droite par deux points :
m = y_B - y_A/x_B - x_A (variation verticale sur
variation horizontale). Ici m = 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 6

]]> Incomplet : 6 = y_B - y_A n'est que la variation
verticale ; il faut la rapporter à la variation
horizontale Δ x = 2.

]]> ⅓

]]> Fraction renversée : la pente met la variation des
ordonnées au numérateur :
Δ y/Δ x = 6/2.

]]> 3

]]> Bonne réponse : m = y_B - y_A/x_B - x_A = 8 - 2/3 - 1 = 6/2 = 3.

]]> 5

]]> Erreur : y_B + y_A/x_B - x_A = 10/2 ?
La formule utilise des différences au numérateur comme
au dénominateur.

]]> Droites du plan — Q09 : La droite verticale Quelle équation correspond à une droite verticale
(parallèle à l'axe des ordonnées) ?

]]> Deux familles : les droites non verticales (y = mx + p) et
les verticales (x = c), qui échappent à la forme réduite.
C'est pourquoi l'équation cartésienne ax + by + c = 0 est
plus générale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x

]]> Erreur : c'est une droite oblique de pente 2 passant par
l'origine ; elle n'est pas verticale.

]]> y = 2

]]> Erreur : y = 2 regroupe les points d'ordonnée 2 :
une droite horizontale (pente nulle).

]]> x = 2

]]> Bonne réponse : tous les points d'abscisse 2, quelle que
soit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a pas
d'équation réduite (y = mx + p), car sa pente serait
infinie.

]]> Une droite verticale n'a pas d'équation

]]> Erreur : elle n'a pas d'équation réduite, mais elle a
bien une équation cartésienne, de la forme x = c.

]]> Droites du plan — Q10 : Signe de la pente et sens de la droite Que peut-on dire de la droite d'équation
y = -0{,}5x + 3 ?

]]> Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction
affine associée : m > 0 croissante, m < 0 décroissante,
m = 0 constante. Ici : décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle descend de gauche à droite

]]> Bonne réponse : pente m = -0{,}5 < 0, la fonction
affine associée est décroissante : chaque pas vers la
droite fait descendre d'un demi-carreau.

]]> Elle est horizontale, à la hauteur 3

]]> Erreur : horizontale correspond à une pente nulle
(y = 3 par exemple). Ici m = -0{,}5 \neq 0.

]]> Elle monte de gauche à droite

]]> Erreur : une droite monte quand sa pente est
positive. Ici m = -0{,}5 < 0.

]]> Elle passe par l'origine du repère

]]> Erreur : en x = 0, y = 3 ≠ 0 : la droite coupe
l'axe des ordonnées en (0 ; 3).

]]> Droites du plan — Q11 : Trois points alignés ? Les points A(0 ; 1), B(2 ; 4) et C(4 ; 7)
sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés si les droites (AB) et (BC) ont
la même pente (elles partagent déjà B). Ici 3/2
des deux côtés : alignés. Variante : déterminant de
AB⃗ et AC⃗ nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car aucun des trois n'a la même abscisse

]]> Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite
verticale seulement. Une droite oblique traverse
toutes les abscisses.

]]> Oui, car les droites (AB) et (BC) ont la même pente

]]> Bonne réponse : m_{AB} = \dfrac{4-1}{2-0} =
\dfrac{3}{2} et m_{BC} = \dfrac{7-4}{4-2} =
\dfrac{3}{2} : mêmes pentes avec un point commun B,
donc même droite.

]]> Non, car AB⃗ et BC⃗
ne sont pas égaux

]]> Erreur : AB⃗(2 ; 3) et
BC⃗(2 ; 3) sont même égaux, et il
suffirait qu'ils soient colinéaires pour conclure à
l'alignement.

]]> Non, car les longueurs AB et BC sont différentes

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales
(ce serait « B milieu »). On compare les pentes ou
on utilise la colinéarité des vecteurs.

]]> Droites du plan — Q12 : De la cartésienne à la réduite Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation
cartésienne 4x + 2y - 6 = 0 ?

]]> Pour passer en équation réduite : isoler y.
4x + 2y - 6 = 0 ⇒ 2y = -4x + 6 ⇒ y = -2x + 3 : pente -2, ordonnée à l'origine 3.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x - 3

]]> Erreur de signes : en passant 4x et -6 de l'autre
côté, ils changent de signe : 2y = -4x + 6.

]]> y = -2x - 3

]]> Erreur de signe sur la constante : -(-6)/2 = +3.
Vérifie avec un point : x = 0 donne 2y = 6, donc
y = 3.

]]> y = -2x + 3

]]> Bonne réponse : 2y = -4x + 6 puis, en divisant par 2 :
y = -2x + 3.

]]> y = -4x + 6

]]> Oubli de la division : il reste 2y à gauche. On divise
tout par 2 : y = -2x + 3.

]]> Droites du plan — Q13 : Ordonnée à l'origine Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation
y = 3x - 5 ?

]]> y = mx + p : m = pente, p = ordonnée à l'origine
(l'altitude au départ, en x = 0). Les deux nombres se
lisent directement et racontent toute la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Signe perdu : le terme constant est -5 : la droite
coupe l'axe SOUS l'origine.

]]> 5/3

]]> Confusion : 5/3 est l'abscisse où y = 0 (le
point sur l'axe des abscisses) : l'ordonnée à
l'origine se lit en x = 0.

]]> -5

]]> Bonne réponse : en x = 0 : y = -5 : la droite coupe
l'axe des ordonnées au point (0\ ;\ -5).

]]> 3

]]> Confusion : 3 est le coefficient directeur (la
pente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant.

]]> Droites du plan — Q14 : La droite $y = 2$ Que représente l'équation y = 2 dans le plan ?

]]> y = c : horizontale (pente 0) ; x = c : verticale (pas
de pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de
droite, à reconnaître au premier coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite horizontale

]]> Bonne réponse : l'ensemble de tous les points d'ordonnée
2. La condition ne porte que sur y, x est libre :
ligne horizontale à hauteur 2, de pente nulle.

]]> Le seul point (0\ ;\ 2)

]]> Trop pauvre : (1\ ;\ 2), (-7\ ;\ 2)… conviennent
aussi : une équation à une condition dans le plan
dessine une ligne.

]]> Une droite verticale

]]> Inversé : les verticales s'écrivent x = c (abscisse
fixée) : ici c'est l'ordonnée qui est fixée :
horizontale.

]]> La droite passant par l'origine de pente 2

]]> Confusion : cette droite-là s'écrit y = 2x : ici, pas
de x : pente nulle, hauteur constante.

]]> Droites du plan — Q15 : Parallèle passant par un point Quelle est l'équation de la droite parallèle à y = 2x + 1
passant par le point (0\ ;\ 4) ?

]]> Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à
l'origine avec le point donné (immédiat quand le point est
sur l'axe ; sinon résoudre y_A = m x_A + p).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = -½x + 4

]]> Erreur : -½ construirait une
perpendiculaire (notion de première) : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

]]> y = 2x + 1

]]> Point ignoré : cette droite passe par (0\ ;\ 1), pas
par (0\ ;\ 4) : il faut ajuster la constante.

]]> y = 2x + 4

]]> Bonne réponse : parallèles, car de même pente (2) ; le point
(0\ ;\ 4) est sur l'axe des ordonnées : p = 4
directement.

]]> y = 4x + 1

]]> Rôles inversés : le parallélisme conserve la pente
(2), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui
s'ajuste au point.

]]> Droites du plan — Q16 : Droite par un point et une pente Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient
directeur -2 passant par A(0\ ;\ 3) ?

]]> Équation réduite y = mx + p : deux paramètres, deux
informations nécessaires (pente + un point, ou deux points).
Quand le point est (0\ ;\ p), tout est déjà donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 3x - 2

]]> Rôles échangés : la pente (-2) multiplie x ;
l'ordonnée à l'origine (3) est le terme constant.

]]> y = -2x + 3

]]> Bonne réponse : pente -2 donnée, et A sur l'axe des
ordonnées fournit p = 3 : l'équation s'assemble
directement.

]]> y = 2x + 3

]]> Signe de la pente : le coefficient directeur donné est
-2, et non 2.

]]> y = -2x - 3

]]> Signe : A(0\ ;\ 3) impose p = 3 (la droite coupe
l'axe des ordonnées en 3).

]]> Droites du plan — Q17 : Intersection par le calcul Où se coupent les droites y = x + 1 et y = -x + 5 ?

]]> Intersection : égaler les deux expressions de y, résoudre
en x, remonter à y. Vérifier dans l'autre équation :
le point doit satisfaire les deux à la fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point (3\ ;\ 2)

]]> Coordonnées échangées : x = 2 d'abord (la solution de
l'équation), y = 3 ensuite (son image).

]]> Au point (2\ ;\ 0)

]]> Ordonnée non calculée : en x = 2, les deux droites
passent à y = 3, pas à 0.

]]> Au point (2\ ;\ 3)

]]> Bonne réponse : égaler : x + 1 = -x + 5 donne 2x = 4, x = 2, puis y = 3. Contrôle dans la seconde :
-2 + 5 = 3 ✓.

]]> Elles ne se coupent pas

]]> Erreur : pentes 1 et -1 différentes : les
droites ne sont pas parallèles : intersection garantie
(et unique).

]]> Droites du plan — Q18 : Équation d'une droite par deux points Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
A(1\ ;\ 2) et B(3\ ;\ 8) ?

]]> Par deux points : 1) pente m = y_B - y_A/x_B - x_A ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications
gratuites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 3x - 1

]]> Bonne réponse : pente m = 8 - 2/3 - 1 = 3,
puis A donne 2 = 3 × 1 + p, soit p = -1.
Contrôle avec B : 3 × 3 - 1 = 8.

]]> y = ⅓x - 1

]]> Pente renversée : m = Δ y/Δ x = 6/2 = 3 (les ordonnées au numérateur).

]]> y = 6x - 4

]]> Erreur : 6 est l'écart des ordonnées seul : la pente
le divise par l'écart des abscisses (2) : m = 3.

]]> y = 3x + 2

]]> Ordonnée bâclée : p n'est pas l'ordonnée de A (sauf
si x_A = 0) : on résout 2 = 3 + p, donc p = -1.

]]> Droites du plan — Q19 : Toute droite a-t-elle une équation réduite ? Toute droite du plan admet-elle une équation de la forme y = mx + p ?

]]> L'équation cartésienne ax + by + c = 0 couvre toutes les droites. La
forme réduite y = mx + p n'existe que si b n'est pas nul, donc pour
les droites non verticales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, toutes sans exception

]]> La droite d'équation x = 3 ne s'écrit pas sous cette forme : y y
prend toutes les valeurs possibles.

]]> Non, les droites verticales font exception

]]> Bonne réponse : une verticale a pour équation x = c, car une même
abscisse y correspond à une infinité d'ordonnées.

]]> Non, les horizontales font exception

]]> Une horizontale s'écrit y = p, c'est-à-dire y = 0 × x + p,
donc elle entre dans le cadre.

]]> Oui, sauf celles passant par l'origine

]]> Une droite passant par l'origine s'écrit y = mx, avec p = 0 :
c'est un cas particulier, pas une exception.

]]> Droites du plan — Q20 : Une pente négative Une droite passe par A(-2 ; 5) et B(4 ; -1).
Quel est son coefficient directeur ?

]]> Le coefficient directeur vaut
y_B - y_A/x_B - x_A. L'ordre des points est libre, à condition
de le respecter en haut comme en bas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -6

]]> Division oubliée : -6 est seulement la différence des ordonnées, il
reste à diviser par celle des abscisses.

]]> -1

]]> Bonne réponse : -1 - 5/4 - (-2) = -6/6 = -1.

]]> 1

]]> Signe perdu : le numérateur vaut -6 et le dénominateur 6, donc le
quotient est négatif, ce que confirme la droite qui descend.

]]> -⅙

]]> Fraction mal formée : le calcul fait est -1/6, alors que le
numérateur est la différence des ordonnées, soit -6.

]]> Droites du plan — Q21 : Cartésienne à partir d'un vecteur directeur Quelle équation cartésienne a la droite passant par A(1 ; 2) et de
vecteur directeur u⃗(3 ; -1) ?

]]> Pour une droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur (-b ; a) est
directeur. On choisit donc a et b pour retrouver u⃗, puis on
détermine c avec un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x + 3y + 7 = 0

]]> Signe de la constante : le point A donne 1 + 6 + c = 0, donc
c = -7.

]]> x + 3y - 7 = 0

]]> Bonne réponse : le vecteur (3 ; -1) donne les coefficients
a = 1 et b = 3, et A fixe c = -7.

]]> 3x + y - 5 = 0

]]> Vecteur directeur faux : cette droite a pour vecteur directeur
(-1 ; 3), qui n'est pas colinéaire à u⃗.

]]> 3x - y - 1 = 0

]]> Coordonnées recopiées : dans ax + by + c = 0, le vecteur directeur
est (-b ; a), les coordonnées ne se reportent pas directement.

]]> Droites du plan — Q22 : Deux droites de même pente Deux droites distinctes ont le même coefficient directeur.
Que peut-on en déduire ?

]]> Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont
le même coefficient directeur. Elles sont confondues lorsque, en plus,
leurs ordonnées à l'origine coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont confondues

]]> L'énoncé précise qu'elles sont distinctes : c'est leur ordonnée à
l'origine qui diffère.

]]> Elles sont parallèles

]]> Bonne réponse : une même pente signifie une même direction, et comme
elles sont distinctes elles ne se coupent jamais.

]]> Elles se coupent en un point

]]> Deux droites sécantes ont des pentes différentes : c'est justement ce
qui les fait se croiser.

]]> Elles passent par l'origine

]]> La pente ne dit rien de l'ordonnée à l'origine : y = 2x + 1 et
y = 2x - 3 évitent toutes deux l'origine.

]]> Droites du plan — Q23 : Deux droites sans point commun Que donne la résolution du système formé par y = 2x + 1 et
y = 2x - 3 ?

]]> Résoudre le système revient à chercher les points communs aux deux
droites. Trois cas seulement sont possibles : aucun point, un seul, ou
une infinité si les droites sont confondues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution

]]> Bonne réponse : l'égalité 2x + 1 = 2x - 3 conduit à 1 = -3, ce qui
est faux. Les droites sont parallèles et distinctes.

]]> Deux solutions

]]> Deux droites distinctes se coupent au plus une fois : un système
linéaire n'a jamais exactement deux solutions.

]]> Une solution unique

]]> Une solution unique correspond à deux droites sécantes, donc de
pentes différentes. Ici les deux pentes valent 2.

]]> Une infinité de solutions

]]> Ce serait le cas si les deux équations décrivaient la même droite, ce
qui exigerait aussi la même ordonnée à l'origine.

]]> Droites du plan — Q24 : Ordonnée pour une abscisse donnée Une droite a pour équation y = -½x + 3.
Quelle est l'ordonnée du point de cette droite d'abscisse 4 ?

]]> Un point appartient à la droite lorsque ses coordonnées vérifient
l'équation. Il suffit donc de remplacer x par la valeur donnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -2

]]> Constante oubliée : -2 est le produit -½ × 4, il
reste à ajouter 3.

]]> 5

]]> Signe de la pente : le calcul fait est 2 + 3, alors que le
coefficient directeur est négatif.

]]> 3

]]> Abscisse ignorée : 3 est l'ordonnée du point d'abscisse 0, pas
celle du point d'abscisse 4.

]]> 1

]]> Bonne réponse : -½ × 4 + 3 = -2 + 3 = 1.

]]> Droites du plan — Q25 : Parallélisme sur des équations cartésiennes Les droites d'équations 2x - 3y + 1 = 0 et -4x + 6y + 5 = 0
sont-elles parallèles ?

]]> Deux équations cartésiennes décrivent des droites parallèles lorsque les
couples (a ; b) sont proportionnels. Elles sont confondues si la
proportionnalité s'étend à la constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elles sont sécantes

]]> Le déterminant des vecteurs directeurs vaut
3 × (-4) - 2 × (-6) = 0, donc il n'y a pas de point
d'intersection.

]]> Oui, et elles sont confondues

]]> Il faudrait que la seconde équation soit un multiple exact de la
première : le facteur -2 donnerait -2 et non 5 comme constante.

]]> Oui, et elles sont distinctes

]]> Bonne réponse : les vecteurs directeurs (3 ; 2) et (-6 ; -4)
sont colinéaires, mais les constantes ne se correspondent pas.

]]> Non, car les signes sont opposés

]]> Multiplier une équation par un nombre négatif ne change pas la droite
qu'elle décrit.

]]> Droites du plan — Q26 : Vérifier une appartenance sur la cartésienne Le point B(2 ; -3) appartient-il à la droite d'équation
5x + 2y - 4 = 0 ?

]]> Tester une appartenance consiste toujours à remplacer les coordonnées du
point dans l'équation, puis à vérifier si l'égalité est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car le calcul donne -4

]]> Termes oubliés : la constante seule ne suffit pas, il faut d'abord
remplacer x et y par les coordonnées de B.

]]> Oui, car le calcul donne 0

]]> Bonne réponse : 5 × 2 + 2 × (-3) - 4 = 10 - 6 - 4 = 0.

]]> On ne peut pas conclure sans l'équation réduite

]]> La forme cartésienne suffit : un point appartient à la droite dès que
ses coordonnées annulent le membre de gauche.

]]> Non, car le calcul donne 8

]]> Signe de l'ordonnée : remplacer y par -3 donne -6, alors que ce
résultat suppose +6.

]]> Droites du plan — Q27 : Interpréter une pente Une droite a pour coefficient directeur ¾.
Comment se lit ce nombre sur le tracé ?

]]> Le coefficient directeur mesure la variation d'ordonnée pour une
augmentation d'une unité d'abscisse. Écrit en fraction, il se lit
directement comme un déplacement horizontal puis vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On avance de 3 et on monte de 4

]]> Rôles échangés : ce déplacement correspondrait à une pente de
4/3, donc à une droite plus raide.

]]> On part du point d'ordonnée ¾

]]> Ordonnée à l'origine confondue avec la pente : le point de départ est
donné par p, pas par m.

]]> On avance de 4 et on monte de 3

]]> Bonne réponse : le dénominateur donne le déplacement horizontal et le
numérateur la variation verticale correspondante.

]]> On avance de 4 et on descend de 3

]]> Signe de la pente : une pente positive fait monter la droite quand on
se déplace vers la droite.

]]> Droites du plan — Q28 : Alignement par les pentes Les points A(1 ; 2), B(3 ; 6) et C(6 ; 11) sont-ils
alignés ?

]]> Trois points sont alignés lorsque les droites (AB) et (BC) ont le
même coefficient directeur, ce qui revient à la colinéarité de
AB⃗ et BC⃗.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car les abscisses sont croissantes

]]> L'ordre des abscisses ne dit rien de l'alignement : trois points d'une
parabole ont aussi des abscisses croissantes.

]]> Non, les pentes valent 2 et 5/3

]]> Bonne réponse : la pente de (AB) vaut 4/2 = 2 et celle de
(BC) vaut 5/3, elles diffèrent.

]]> On ne peut pas conclure sans tracer

]]> Le calcul suffit et il est plus fiable qu'un tracé, où un écart d'une
unité passe facilement inaperçu.

]]> Oui, les trois pentes valent 2

]]> La pente de (BC) vaut 11 - 6/6 - 3 = 5/3, ce qui
n'est pas 2. Le point C devrait avoir pour ordonnée 12.

]]> Droites du plan — Q29 : Droite passant par l'origine Quelle condition sur m et p caractérise une droite d'équation
y = mx + p passant par l'origine ?

]]> L'ordonnée à l'origine p est précisément l'ordonnée du point
d'abscisse 0. Une droite passe donc par l'origine si et seulement si
p est nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = 0

]]> Cette condition donne une horizontale y = p, qui passe par
l'origine seulement si p vaut aussi 0.

]]> p = 0

]]> Bonne réponse : le point (0 ; 0) vérifie l'équation si et
seulement si p est nul.

]]> m = 1 et p = 0

]]> Condition trop forte : y = 5x passe aussi par l'origine, avec une
pente différente de 1.

]]> m = p

]]> La droite y = 2x + 2 vérifie cette condition sans passer par
l'origine, puisqu'elle coupe l'axe des ordonnées en 2.

]]> Droites du plan — Q30 : L'équation d'une verticale Quelle est l'équation de la droite verticale passant par le point
A(-3 ; 7) ?

]]> Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur, car l'abscisse ne
varie pas. Son équation est de la forme x = c, où c est l'abscisse
commune à tous ses points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = -3

]]> Bonne réponse : sur une verticale, tous les points ont la même
abscisse, ici celle de A.

]]> x = 7

]]> Coordonnée choisie au mauvais rang : 7 est l'ordonnée de A, alors
qu'une verticale se lit sur l'abscisse.

]]> y = -3x

]]> Cette droite passe par l'origine avec une pente de -3 : elle n'est
ni verticale ni passante par A.

]]> y = 7

]]> C'est l'horizontale passant par A : elle rassemble les points de
même ordonnée.

]]> Droites du plan — Q31 : Deux points de même ordonnée Soient A(-3 ; 4) et B(5 ; 4) deux points distincts.
Quelle est l'équation de la droite (AB) ?

]]> Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est
horizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit
y = c, où c est l'ordonnée commune.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 4x

]]> Cette droite passe par l'origine avec une pente 4 : ici la
pente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas.

]]> x = 4

]]> Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et
non l'abscisse, qui est commune aux deux points.

]]> y = -3

]]> Coordonnée prise au mauvais rang : -3 est l'abscisse de A,
alors qu'une horizontale se repère à son ordonnée.

]]> y = 4

]]> Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la
droite est horizontale, à la hauteur 4.

]]> Droites du plan — Q32 : Abscisse d'un point d'ordonnée donnée La droite d a pour équation y = 3x - 2. Quelle est l'abscisse
du point de d dont l'ordonnée vaut 10 ?

]]> Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à
résoudre l'équation mx + p = y₀, alors que le calcul direct d'une
ordonnée se contente d'une substitution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : on résout 3x - 2 = 10, ce qui donne
3x = 12 puis x = 4.

]]> 28

]]> Substitution au mauvais endroit : 10 a été remplacé à la place
de x, alors qu'il faut résoudre une équation.

]]> 10

]]> Rôles échangés : 10 est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors
que la question porte sur l'abscisse.

]]> 12

]]> Division oubliée : après avoir retranché -2, il reste à diviser
par le coefficient directeur 3.

]]> Droites du plan — Q33 : Parallèle par un point hors de l'axe Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite
d'équation y = 2x - 1 et passant par le point
A(3 ; 4) ?

]]> Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc m, puis on
détermine p en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient
l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 2x - 1

]]> C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne
passe pas par le point A.

]]> y = 2x - 2

]]> Bonne réponse : la pente 2 est conservée, et A donne
4 = 2 × 3 + p, soit p = -2.

]]> y = 2x + 4

]]> Ordonnée à l'origine bâclée : 4 est l'ordonnée de A, qui ne
se trouve pas sur l'axe des ordonnées.

]]> y = 2x + 10

]]> Erreur de signe : en isolant p, le produit 2 × 3 se
retranche à 4, il ne s'y ajoute pas.

]]> Droites du plan — Q34 : De la réduite à la cartésienne La droite d a pour équation réduite y = 3x + 5. Quelle
équation cartésienne décrit la même droite ?

]]> Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du
même côté : y = mx + p devient mx - y + p = 0. Toute équation
proportionnelle à celle-ci décrit la même droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3x - y - 5 = 0

]]> Signe du terme constant changé à tort : seul y change de signe en
traversant le signe égal.

]]> 3x - y + 5 = 0

]]> Bonne réponse : en passant y dans le membre de gauche, il devient
-y, et les deux autres termes gardent leur signe.

]]> 5x - y + 3 = 0

]]> Coefficients intervertis : 3 est la pente et multiplie x,
tandis que 5 est le terme constant.

]]> 3x + y + 5 = 0

]]> Signe de y oublié : cette équation se ramène à
y = -5 - 3x, qui décrit une autre droite.

]]> Droites du plan — Q35 : Deux écritures d'une même droite Les équations y = 2x + 3 et 4x - 2y + 6 = 0
décrivent-elles la même droite ?

]]> Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas
l'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet
alors une infinité de solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, la seconde n'est pas une équation réduite

]]> La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même
droite admet une infinité d'équations cartésiennes.

]]> Oui, mais uniquement au point d'abscisse 0

]]> Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient
sécantes : ici tous les points sont communs.

]]> Non, leurs coefficients directeurs sont différents

]]> La seconde équation donne 2y = 4x + 6, donc une pente
de 2 après division : c'est la même.

]]> Oui, c'est la première multipliée par 2

]]> Bonne réponse : en isolant y dans la seconde équation, on
retrouve exactement y = 2x + 3.

]]> Droites du plan — Q36 : Couper une droite verticale En quel point la droite d'équation y = 2x + 3 coupe-t-elle la
droite d'équation x = 4 ?

]]> Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il
suffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de
l'autre droite pour obtenir l'ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (4 ; 11)

]]> Bonne réponse : l'abscisse vaut 4, et l'ordonnée s'obtient en
remplaçant x par 4 : 2 × 4 + 3 = 11.

]]> (4 ; 5)

]]> Signe du terme constant : il faut ajouter 3 au produit
2 × 4, en respectant son signe.

]]> (4 ; 14)

]]> Rôles échangés dans le calcul : c'est 2 qui multiplie
l'abscisse, et 3 qui s'ajoute ensuite.

]]> (11 ; 4)

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation
x = 4, elle s'écrit donc en premier.

]]> Droites du plan — Q37 : Modéliser un solde qui diminue On dépose 60 euros sur une carte de cantine, puis 8 euros en
sont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde y
après x semaines ?

]]> Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque
étape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient
directeur est la variation par étape, comptée avec son signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = -60x + 8

]]> Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le
retrait hebdomadaire est ce qui multiplie x.

]]> y = -8x + 60

]]> Bonne réponse : le solde part de 60 euros et perd 8 euros
par semaine, d'où un coefficient directeur de -8.

]]> y = 8x + 60

]]> Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite
descendante, donc à un coefficient directeur négatif.

]]> y = -8x - 60

]]> Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au
solde au bout de zéro semaine.

]]> Droites du plan — Q38 : Une horizontale a-t-elle une pente ? La droite d'équation y = 5 admet-elle un coefficient directeur ?

]]> Une droite horizontale y = c a pour coefficient directeur 0 : elle
ne monte ni ne descend. Seules les droites verticales, d'équation
x = c, sont privées de coefficient directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car son équation ne contient pas de x

]]> L'absence de x signifie que son coefficient est nul, et un
coefficient nul reste un coefficient.

]]> Oui, il vaut 0 car elle est horizontale

]]> Bonne réponse : l'équation s'écrit y = 0 × x + 5, donc la
pente est nulle et l'ordonnée à l'origine vaut 5.

]]> Non, une droite horizontale n'en possède pas

]]> Confusion avec les verticales : ce sont elles qui n'ont pas de
coefficient directeur, faute de variation d'abscisse.

]]> Oui, il vaut 5, comme l'indique l'équation

]]> Le nombre 5 est l'ordonnée à l'origine : la pente est le
coefficient de x, qui vaut ici 0.

]]> Droites du plan — Q39 : Équation à partir d'un vecteur directeur Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
A(2 ; 1) et de vecteur directeur u⃗(3 ; 6) ?

]]> Un vecteur directeur u⃗(p ; q) avec p non nul donne la pente
m = q/p. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en
reportant les coordonnées d'un point de la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc y = 6x - 3

]]> Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux
coordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule.

]]> y = 2x + 1

]]> Ordonnée à l'origine bâclée : 1 est l'ordonnée de A, dont
l'abscisse n'est pas nulle.

]]> y = 2x - 3

]]> Bonne réponse : la pente vaut 6/3 = 2, puis le
point A donne -3 comme ordonnée à l'origine.

]]> y = ½x - 3

]]> Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la
variation horizontale, soit 6/3.

]]> Droites du plan — Q40 : Sens de variation sur une équation réordonnée La droite d a pour équation y = 4 - 3x. La fonction affine
associée à d est-elle croissante ou décroissante ?

]]> Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme
y = mx + p. Le sens de variation de la fonction affine associée suit
alors le signe de m.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut 4

]]> L'ordonnée à l'origine est bien 4, mais c'est la pente qui
décide du sens de variation.

]]> Décroissante, car son ordonnée à l'origine est -3

]]> Conclusion juste, justification fausse : -3 est le coefficient
directeur, l'ordonnée à l'origine vaut 4.

]]> Décroissante, car sa pente vaut -3

]]> Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme
y = -3x + 4, la pente négative apparaît.

]]> Croissante, car le coefficient de x vaut 3

]]> Signe oublié : le terme en x est précédé d'un signe moins, donc
la pente vaut -3.

]]> Droites du plan — Q41 : Point de rencontre avec l'axe des ordonnées Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite
d'équation y = 2x + 5 avec l'axe des ordonnées ?

]]> L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En
remplaçant x par 0 dans y = mx + p, il reste y = p : c'est
l'ordonnée à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (5 ; 0)

]]> Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,
puisque son ordonnée est nulle.

]]> (0 ; 2)

]]> Coefficient confondu avec la constante : 2 est la pente, alors
que l'ordonnée à l'origine vaut 5.

]]> (0 ; 5)

]]> Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et
2 × 0 + 5 = 5.

]]> (2 ; 5)

]]> Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,
l'abscisse vaut toujours 0.

]]> Droites du plan — Q42 : Du vecteur directeur au coefficient directeur Une droite admet u⃗(2 ; 6) comme vecteur directeur. Quel
est son coefficient directeur ?

]]> Un vecteur directeur u⃗(p ; q) d'abscisse non nulle donne le
coefficient directeur m = q/p. Tout vecteur colinéaire
conduit au même quotient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -3

]]> Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,
sans changement de signe.

]]> ⅓

]]> Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse
au dénominateur.

]]> 3

]]> Bonne réponse : la pente vaut 6/2 = 3, soit la
variation d'ordonnée pour un pas de 1 en abscisse.

]]> 6

]]> Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la
première coordonnée vaut 1.

]]> Droites du plan — Q43 : Lire une situation dans une équation Le prix d'une course de taxi, en euros, est donné par
y = 1{,}2x + 4, où x est le nombre de kilomètres parcourus.
Que représente le nombre 4 ?

]]> Dans une situation modélisée par y = mx + p, le nombre p est la
valeur prise pour x = 0, et le nombre m mesure ce que change chaque
unité supplémentaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme totale payée au bout de la course

]]> Le montant total est y : il dépend de la distance parcourue et
dépasse 4 euros dès le premier kilomètre.

]]> Le prix de chacun des kilomètres parcourus

]]> Ce prix est donné par le coefficient directeur 1{,}2, qui mesure
l'augmentation par kilomètre supplémentaire.

]]> Le nombre de kilomètres de la course payée

]]> Le nombre de kilomètres est la variable x : elle n'est pas fixée
par l'équation, qui vaut pour toutes les courses.

]]> La somme payée avant tout kilomètre

]]> Bonne réponse : pour x = 0, le prix vaut 4 euros. C'est
l'ordonnée à l'origine, ici la prise en charge.

]]> Droites du plan — Q44 : Parallèle en équation cartésienne Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle
d'équation 2x - 3y + 1 = 0 et passant par le point
A(3 ; -1) ?

]]> Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on
conserve donc les coefficients de x et de y, et seul le terme
constant change, déterminé par un point de la nouvelle droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2x - 3y + 9 = 0

]]> Signe du terme constant : en reportant A, on obtient
9 + c = 0, donc c = -9.

]]> 2x + 3y - 9 = 0

]]> Signe du coefficient de y changé : le vecteur directeur n'est
plus colinéaire à celui de la droite de départ.

]]> 2x - 3y - 9 = 0

]]> Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients
de x et de y, et A impose le terme constant -9.

]]> -3x + 2y - 9 = 0

]]> Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les
deux droites ne sont plus parallèles.

]]> Droites du plan — Q45 : Paramètre et droites parallèles Pour quelle valeur de m les droites d'équations
mx - y + 2 = 0 et 4x - 2y + 1 = 0 sont-elles
parallèles ?

]]> Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont
égaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout
l'égalité obtenue, qui est du premier degré en m.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc m = ½

]]> Quotient renversé : c'est le coefficient de x qui se divise par
celui de y, et non l'inverse.

]]> m = 2

]]> Bonne réponse : la seconde droite s'écrit y = 2x + k, et deux
droites parallèles ont le même coefficient directeur.

]]> m = 4

]]> Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après
division par -2 et changement de signe.

]]> m = -2

]]> Signe perdu : en isolant y, le terme 4x change de signe avant
la division par -2.

]]> Droites du plan — Q46 : Reconnaître la droite d'une équation cartésienne [Figure : Repère orthonormé avec quatre droites. d1 (bleue, trait plein)
passe par (0 ; 1) et (1 ; 3). d2 (rouge, tirets) passe par
(0 ; 1) et (1 ; -1). d3 (verte, pointillés) passe par (0 ; 1)
et (2 ; 2). d4 (orange, tirets et points) passe par (0 ; -1)
et (1 ; 1).]

Laquelle des quatre droites tracées ci-dessous a pour équation
cartésienne 2x - y + 1 = 0 ?

]]> Pour tracer une droite d'équation cartésienne, on isole y
(ici y = 2x + 1) ou on cherche deux points : x = 0 donne
(0 ; 1), x = 1 donne (1 ; 3).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d₁

]]> Bonne réponse : 2x - y + 1 = 0 équivaut à y = 2x + 1 :
ordonnée à l'origine 1, pente 2. La droite d₁ passe
par (0 ; 1) et (1 ; 3).

]]> La droite d₃

]]> Erreur de pente : d₃ monte de 1 quand x augmente de
2, sa pente vaut ½, pas 2.

]]> La droite d₂

]]> Erreur de signe : d₂ a pour équation y = -2x + 1. En
isolant y dans 2x - y + 1 = 0, on obtient y = 2x + 1,
de pente positive.

]]> La droite d₄

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : d₄ coupe l'axe des
ordonnées en -1. Pour x = 0, l'équation donne
-y + 1 = 0, soit y = 1.

]]> Droites du plan — Q47 : Lire un vecteur directeur sur une figure [Figure : Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
le point A de coordonnées (-2 ; 3) et le point B de
coordonnées (2 ; 1).]

La droite d tracée ci-dessous passe par les points A et B.
Lequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de d ?

]]> Tout vecteur AB⃗ formé de deux points de la
droite la dirige, ainsi que tout vecteur colinéaire à
AB⃗ : ici (4 ; -2), (2 ; -1),
(-2 ; 1)…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc u⃗(1 ; -2)

]]> Erreur : abscisse et ordonnée sont échangées. En allant de
A à B, on avance de 4 en abscisse et on descend de 2
en ordonnée, d'où (4 ; -2) ou (2 ; -1).

]]> u⃗(-1 ; -2)

]]> Erreur : le déterminant de (-1 ; -2) et de AB⃗(4 ; -2) vaut (-1)(-2) - (-2)(4) = 10 ≠ 0 : ces
vecteurs ne sont pas colinéaires.

]]> u⃗(2 ; -1)

]]> Bonne réponse : AB⃗ a pour coordonnées
(2 - (-2) ; 1 - 3) = (4 ; -2), et
u⃗ = ½AB⃗ lui est colinéaire.

]]> u⃗(2 ; 1)

]]> Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, donc
l'ordonnée d'un vecteur directeur d'abscisse positive est
négative.

]]> Droites du plan — Q48 : Lire une pente négative sur une figure [Figure : Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
les points (0 ; 2) et (4 ; 0), marqués en bleu.]

Quelle est la pente de la droite d tracée ci-dessous ?

]]> Pente m = y_B - y_A/x_B - x_A entre deux points de la
droite. Ici d a pour équation réduite
y = -½x + 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2

]]> Erreur : 2 est l'ordonnée à l'origine, là où la droite
coupe l'axe des ordonnées, pas sa pente.

]]> ½

]]> Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, sa
pente est négative.

]]> -2

]]> Erreur : c'est le quotient inversé, 4/-2. La pente
est la variation de y divisée par la variation de x.

]]> -½

]]> Bonne réponse : entre (0 ; 2) et (4 ; 0), l'ordonnée
baisse de 2 quand l'abscisse augmente de 4 :
m = 0 - 2/4 - 0 = -½.

]]> Droites du plan — Q49 : Une équation de droite par le déterminant Soit A(1 ; 2) et u⃗(3 ; 1). Un point M(x ; y) appartient à la droite
passant par A et dirigée par u⃗ si et seulement si
\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0. Quelle équation
obtient-on ?

]]> M est sur la droite si et seulement si AM⃗
et u⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire de déterminant nul.
En développant, on obtient toujours une équation de la forme
ax + by + c = 0 : c'est la démonstration de la forme générale
d'une équation cartésienne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x - 3y + 5 = 0

]]> Bonne réponse : AM⃗(x - 1 ; y - 2), donc
\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - 1) \times 1 -
(y - 2) \times 3 = x - 3y + 5.

]]> 3x - y - 1 = 0

]]> Erreur de produit en croix : on a calculé
(x - 1) × 3 - (y - 2) × 1. Cette droite passe
bien par A, mais elle est dirigée par
(1 ; 3), pas par u⃗.

]]> x - 3y - 7 = 0

]]> Erreur de signe en développant -3(y - 2), qui vaut
-3y + 6. Contrôle : A ne vérifie pas cette équation,
car 1 - 6 - 7 ≠ 0.

]]> x - 3y = 0

]]> Erreur : on a calculé \det(\overrightarrow{OM}, \vec{u}) au
lieu de \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}). Cette droite
passe par l'origine, pas par A.

]]> Droites du plan — Q50 : Résoudre un système Résoudre le système formé des deux équations x + y = 7 et x - y = 1.

]]> La solution d'un système doit vérifier les deux équations à la fois. On
peut additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue,
puis vérifier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (6 ; 1)

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :
6 - 1 = 5.

]]> (4 ; 3)

]]> Bonne réponse : en additionnant les deux équations, 2x = 8, donc
x = 4, puis y = 7 - 4 = 3.

]]> (8 ; -1)

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :
8 - (-1) = 9.

]]> (3 ; 4)

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais 3 - 4 = -1 et non 1 :
les valeurs de x et de y ont été échangées.

]]> Droites du plan — Q51 : Un système sans solution Combien le système formé des deux équations 2x + 3y = 5 et
4x + 6y = 1 a-t-il de solutions ?

]]> Chaque équation du système est celle d'une droite. Si les coefficients
de x et de y sont proportionnels, les droites sont parallèles :
aucune solution si elles sont distinctes, une infinité si elles sont
confondues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux.

]]> Deux droites distinctes ont au plus un point commun : un tel système a
zéro, une ou une infinité de solutions.

]]> Une infinité.

]]> Il y aurait une infinité de solutions si la seconde équation était
4x + 6y = 10 : les deux droites seraient confondues.

]]> Une seule.

]]> Les deux équations ont des coefficients proportionnels
(4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3), mais pas les seconds membres : les
droites sont parallèles et distinctes.

]]> Aucune.

]]> Bonne réponse : en multipliant la première équation par 2, on obtient
4x + 6y = 10, incompatible avec 4x + 6y = 1. Les deux droites sont
parallèles et distinctes.

]]> Droites du plan — Q52 : Mettre en système Trois cahiers et deux stylos coûtent 9{,}50 € ; un cahier et deux
stylos coûtent 4{,}50 €. Quel est le prix d'un cahier ?

]]> On note c et s les deux prix : 3c + 2s = 9{,}5 et
c + 2s = 4{,}5. La soustraction élimine s : 2c = 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 €

]]> Avec un cahier à 2 €, deux stylos coûteraient 2{,}50 € dans la
seconde égalité, puis la première donnerait 8{,}50 € et non 9{,}50
€.

]]> 2{,}50 €

]]> Bonne réponse : en soustrayant les deux égalités, deux cahiers coûtent
9{,}50 - 4{,}50 = 5 €, donc un cahier coûte 2{,}50 €. Un stylo coûte
alors 1 €.

]]> 3{,}17 € environ

]]> Le calcul 9{,}50 \div 3 oublie les deux stylos. On soustrait les deux
égalités pour les éliminer.

]]> 1 €

]]> C'est le prix d'un stylo. Un cahier coûte 2{,}50 €.

]]>