$course$/QCM de maths/Seconde/Ensembles et logique Élément, sous-ensemble, ensemble vide, réunion, intersection,
complémentaire, cardinal, couple et produit cartésien. Propositions,
connecteurs « et », « ou », négation, contre-exemple. Implication,
réciproque, contraposée, équivalence. Quantification, disjonction
des cas, raisonnement par l'absurde.

]]> Ensembles et logique — Q01 : Appartenance ou inclusion On note A = \{1\,;\,2\,;\,3\}. Laquelle de ces écritures est
correcte ?

]]> ∈ relie un élément à un ensemble (2 ∈ A) ; ⊂
relie deux ensembles (\{2\} \subset A).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 ⊂ A

]]> Erreur : 2 est un nombre, pas un ensemble. On écrit
2 ∈ A (« appartient ») ; le symbole ⊂ relie deux
ensembles.

]]> A \in \{1\,;\,2\,;\,3\}

]]> Erreur : A est égal à \{1\,;\,2\,;\,3\}, il n'en est pas
un élément. On écrirait A = \{1\,;\,2\,;\,3\} ou
A ⊂ A.

]]> \{2\} \subset A

]]> Bonne réponse : \{2\} est un ensemble dont le seul élément,
2, appartient à A : c'est un sous-ensemble de A.

]]> \{2\} \in A

]]> Erreur : les éléments de A sont les nombres 1, 2 et
3 ; l'ensemble \{2\} n'en fait pas partie, il est inclus
dans A.

]]> Ensembles et logique — Q02 : Intersection de deux ensembles On note A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\} et
B = \{2\,;\,4\,;\,5\,;\,8\}. Quel est l'ensemble A ∩ B ?

]]> x ∈ A ∩ B signifie x ∈ A et x ∈ B ;
x ∈ A ∪ B signifie x ∈ A ou x ∈ B.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,8\}

]]> Confusion : c'est la réunion A ∪ B, qui rassemble les
éléments de l'un ou de l'autre.

]]> \{5\,;\,8\}

]]> Erreur : 5 et 8 sont dans B mais pas dans A ; ils ne
peuvent pas appartenir à A ∩ B.

]]> \{2\,;\,4\}

]]> Bonne réponse : A ∩ B contient les éléments qui sont à
la fois dans A et dans B : seuls 2 et 4 conviennent.

]]> \{1\,;\,3\,;\,6\}

]]> Erreur : ce sont les éléments de A qui ne sont pas dans
B. L'intersection garde au contraire les éléments communs.

]]> Ensembles et logique — Q03 : Traduire « ou » par une réunion Dans un lycée, L désigne l'ensemble des élèves qui étudient le
latin et E l'ensemble de ceux qui étudient l'espagnol. Quel
ensemble décrit les élèves qui étudient le latin ou l'espagnol ?

]]> En mathématiques, « ou » est inclusif : un élève qui étudie les
deux langues appartient à L ∪ E.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L ∩ E

]]> Erreur : l'intersection ne contient que les élèves qui
étudient les deux langues à la fois ; c'est le « et ».

]]> L̄ ∩ Ē

]]> Erreur : cet ensemble regroupe les élèves qui n'étudient ni
le latin ni l'espagnol, le contraire de ce qui est demandé.

]]> L ∩ Ē

]]> Incomplet : ce sont les latinistes qui n'étudient pas
l'espagnol. Les hispanisants et les élèves des deux langues
manquent.

]]> L ∪ E

]]> Bonne réponse : la réunion contient les élèves d'au moins un
des deux ensembles, y compris ceux qui suivent les deux
langues.

]]> Ensembles et logique — Q04 : Complémentaire d'un ensemble On note E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\} et A
l'ensemble des nombres pairs de E. Quel est le complémentaire
Ā de A dans E ?

]]> \overline{A} = E \setminus A : les éléments de l'ensemble de
référence E qui n'appartiennent pas à A.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}

]]> Erreur : c'est l'ensemble A lui-même. Le complémentaire
contient ce qui reste de E une fois A retiré.

]]> \{1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}

]]> Bonne réponse : Ā rassemble les éléments de E
qui ne sont pas dans A, c'est-à-dire les nombres impairs
de E.

]]> ∅

]]> Erreur : l'ensemble vide serait le complémentaire de E
tout entier ; ici les impairs de E restent.

]]> \{0\,;\,1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}

]]> Erreur : le complémentaire se prend dans E, et 0
n'appartient pas à E.

]]> Ensembles et logique — Q05 : Cardinal d'un ensemble de diviseurs On note D l'ensemble des diviseurs positifs de 12. Que vaut
\mathrm{Card}(D) ?

]]> Le cardinal \mathrm{Card}(A) d'un ensemble fini A est son
nombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires
(1 et 12, …) pour n'en oublier aucun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Oubli : 1 et 12 divisent tous deux 12. La liste
complète est \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}.

]]> 6

]]> Bonne réponse : D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}, qui compte 6 éléments.

]]> 12

]]> Confusion : \mathrm{Card}(D) est le nombre d'éléments
de D, pas le plus grand d'entre eux. Ici
D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}.

]]> 4

]]> Oubli de 1 et de 12 eux-mêmes, qui sont aussi des
diviseurs : D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}.

]]> Ensembles et logique — Q06 : Une intersection vide Que signifie l'égalité A ∩ B = ∅ ?

]]> Deux ensembles d'intersection vide sont dits disjoints : en
probabilités, deux événements disjoints sont incompatibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A et B ont les mêmes éléments

]]> Erreur : deux ensembles égaux et non vides ont tous leurs
éléments en commun ; leur intersection est A tout entier.

]]> A et B n'ont aucun élément commun

]]> Bonne réponse : aucun élément n'appartient à la fois à A et
à B. Exemple : \{1\,;\,2\} \cap \{3\} = \varnothing.

]]> Tous les éléments de A sont aussi dans B

]]> Erreur : si A non vide était inclus dans B, tous ses
éléments seraient communs aux deux ensembles, et
A ∩ B = A.

]]> A et B sont tous deux vides

]]> Trop fort : \{1\,;\,2\} et \{3\} ne sont pas vides, et
pourtant leur intersection l'est.

]]> Ensembles et logique — Q07 : Nombre de couples d'un produit cartésien Un ensemble A compte 2 éléments et un ensemble B en compte
3. Combien d'éléments compte le produit cartésien
A × B ?

]]> A × B est l'ensemble des couples (a ; b) avec
a ∈ A et b ∈ B. Un tableau à double entrée en dresse la
liste : \mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times
\mathrm{Card}(B).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 5

]]> Erreur : 2 + 3 compterait les éléments de A puis ceux
de B ; or chaque élément de A s'associe à chacun des
3 éléments de B.

]]> 8

]]> Erreur : 2³ n'a pas de rapport avec le nombre de
couples. On fait un tableau à 2 lignes et 3 colonnes :
6 cases.

]]> 9

]]> Erreur : 3² multiplie 3 par lui-même ; un couple
ne contient qu'un élément de A et un élément de B, soit
2 × 3 possibilités.

]]> 6

]]> Bonne réponse : un couple (a ; b) associe l'un des 2
éléments de A à l'un des 3 éléments de B, d'où
2 × 3 = 6 couples.

]]> Ensembles et logique — Q08 : L'ordre dans un couple Combien d'éléments compte l'ensemble
\{1\,;\,2\} \times \{1\,;\,2\} ?

]]> Un couple (a ; b) est ordonné : (a ; b) = (c ; d) si et
seulement si a = c et b = d. Les coordonnées d'un point du
plan forment un couple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4

]]> Bonne réponse : (1 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 1) et
(2 ; 2). Les couples (1 ; 2) et (2 ; 1) sont
distincts, car l'ordre compte.

]]> 1

]]> Erreur : le produit cartésien n'est pas l'ensemble
\{1\,;\,2\} ; ses éléments sont des couples, au nombre de
2 × 2.

]]> 3

]]> Erreur : (1 ; 2) et (2 ; 1) ont été confondus. Dans un
couple, l'ordre compte : le point (1 ; 2) n'est pas le
point (2 ; 1).

]]> 2

]]> Erreur : les couples (1 ; 1) et (2 ; 2) ne sont pas
les seuls ; un couple peut aussi associer deux éléments
différents.

]]> Ensembles et logique — Q09 : Un ensemble et son complémentaire A est une partie d'un ensemble E, et Ā son
complémentaire dans E. Que vaut A ∩ Ā ?

]]> A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = E :
A et son complémentaire partagent E en deux parties
disjointes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc E

]]> Confusion : c'est la réunion A ∪ Ā qui vaut
E, chaque élément de E étant dans A ou hors de A.

]]> Ā

]]> Erreur : A ∩ Ā est inclus dans A, qui ne
contient aucun élément de Ā.

]]> A

]]> Erreur : A ∩ Ā est inclus dans
Ā, qui ne contient aucun élément de A.

]]> ∅

]]> Bonne réponse : un élément ne peut pas à la fois appartenir
à A et ne pas lui appartenir.

]]> Ensembles et logique — Q10 : Un couple solution d'une équation Lequel de ces couples (x ; y) est solution de l'équation
x + 2y = 4 ?

]]> Un couple (x₀ ; y₀) est solution d'une équation à deux
inconnues quand l'égalité est vraie pour x = x₀ et y = y₀ ;
l'ordre des coordonnées compte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc (2 ; 2)

]]> Erreur : 1 × 2 + 2 × 2 = 6 ≠ 4.

]]> (1 ; 2)

]]> Ordre inversé : avec x = 1 et y = 2, on obtient
1 × 1 + 2 × 2 = 5 ≠ 4. Dans un
couple, la première coordonnée est x.

]]> (2 ; 1)

]]> Bonne réponse : 1 × 2 + 2 × 1 = 4.

]]> (3 ; 1)

]]> Erreur : 1 × 3 + 2 × 1 = 5 ≠ 4.

]]> Ensembles et logique — Q11 : Reconnaître une proposition Une proposition mathématique est un énoncé qui est soit vrai,
soit faux. Lequel de ces énoncés est une proposition ?

]]> Une proposition contient une affirmation : souvent un verbe ou un
symbole de relation (=, <, ∈…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre égal au double de 5

]]> Erreur : c'est la désignation d'un nombre, 10. La phrase
« le double de 5 vaut 10 » serait une proposition.

]]> Calculer 3 × 4

]]> Erreur : c'est une consigne. Une consigne s'exécute, elle ne
peut pas être vraie ou fausse.

]]> 7 est un nombre premier

]]> Bonne réponse : cet énoncé affirme quelque chose, et on peut
décider qu'il est vrai.

]]> L'expression 3x + 1

]]> Erreur : une expression désigne un nombre ; elle n'affirme
rien, elle n'est ni vraie ni fausse.

]]> Ensembles et logique — Q12 : Négation d'une inégalité stricte Quelle est la négation de la proposition « x > 3 » ?

]]> Négation de x > a : x ≤ a. Négation de x ≥ a :
x < a. Exactement l'une des deux propositions est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x < -3

]]> Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du
nombre comparé.

]]> x ≥ 3

]]> Erreur : pour x = 4, « x > 3 » et « x ≥ 3 »
sont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne
sont jamais vraies ensemble.

]]> x ≤ 3

]]> Bonne réponse : si x n'est pas strictement supérieur à
3, il lui est inférieur ou égal.

]]> x < 3

]]> Oubli d'un cas : pour x = 3, « x > 3 » est fausse et
« x < 3 » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas.

]]> Ensembles et logique — Q13 : Négation d'un « et » Quelle est la négation de la proposition « n est pair et
n > 10 » ?

]]> La négation de « P et Q » est « (non P) ou (non Q) » ; la
négation de « P ou Q » est « (non P) et (non Q) ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n est impair et n ≤ 10

]]> Trop restrictif : n = 4 rend la proposition fausse (car
4 ≤ 10) alors qu'il est pair. Le « et » doit devenir
« ou ».

]]> n est impair ou n < 10

]]> Erreur sur l'inégalité : la négation de n > 10 est
n ≤ 10. Pour n = 10, pair, la proposition de départ est
fausse, et cette option aussi.

]]> n est pair ou n ≤ 10

]]> Erreur : « n est pair » n'a pas été nié. Pour n = 12, la
proposition de départ et cette option sont vraies ensemble.

]]> n est impair ou n ≤ 10

]]> Bonne réponse : la proposition est fausse dès qu'une des deux
conditions manque. On nie chaque partie et le « et » devient
« ou ».

]]> Ensembles et logique — Q14 : Négation d'un « ou » Quelle est la négation de la proposition « x < 0 ou x > 5 » ?

]]> Négation de « P ou Q » : « (non P) et (non Q) ». Ici
x ≥ 0 et x ≤ 5.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ∈ [0 ; 5]

]]> Bonne réponse : la négation est « x ≥ 0 et x ≤ 5 »,
c'est-à-dire 0 ≤ x ≤ 5.

]]> x ≥ 0 ou x ≤ 5

]]> Erreur : le « ou » doit devenir « et ». Telle quelle, cette
proposition est vraie pour tout réel, y compris x = 8.

]]> x ∈\ ]0 ; 5[

]]> Erreur sur les bornes : pour x = 0, « x < 0 ou x > 5 »
est fausse, donc sa négation doit être vraie : 0 en fait
partie.

]]> x > 0 et x < 5

]]> Erreur : la négation de x < 0 est x ≥ 0, pas x > 0 ;
les nombres 0 et 5 manquent.

]]> Ensembles et logique — Q15 : Valeur de vérité d'un « ou » Pour x = 4, la proposition « x > 3 ou x < 1 » est-elle
vraie ?

]]> « P ou Q » est faux seulement quand P et Q sont fausses
toutes les deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car « x < 1 » est fausse

]]> Erreur : il suffit qu'une des deux parties soit vraie pour
qu'un « ou » soit vrai ; c'est le « et » qui exige les deux.

]]> Oui, car les deux parties sont vraies

]]> Erreur : 4 < 1 est faux. Une seule partie vraie suffit, et
c'est ici « x > 3 ».

]]> Oui, car « x > 3 » est vraie

]]> Bonne réponse : une proposition « P ou Q » est vraie dès
que l'une des deux est vraie.

]]> Non, car 4 vérifie une seule des deux parties

]]> Erreur : le « ou » mathématique est inclusif ; il est vrai
quand au moins une partie l'est.

]]> Ensembles et logique — Q16 : Valeur de vérité d'un « et » Pour n = 8, que vaut la proposition « n est pair et n est
un multiple de 3 » ?

]]> « P et Q » est vraie seulement quand P et Q le sont
toutes les deux. Exemple : n = 12 la rend vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Fausse, car 8 n'est pas un multiple de 3

]]> Bonne réponse : un « et » exige que les deux parties soient
vraies ; ici la seconde est fausse.

]]> Vraie, car 8 est pair

]]> Erreur : une partie vraie suffit pour un « ou », pas pour un
« et ». Il faudrait aussi que 8 soit multiple de 3.

]]> Fausse, car 8 n'est pas pair

]]> Erreur : 8 = 2 × 4 est pair. La proposition est fausse
à cause de la seconde partie.

]]> Vraie, car au moins une des deux parties est vraie

]]> Erreur : avec un « et », une seule partie fausse rend toute la
proposition fausse.

]]> Ensembles et logique — Q17 : Choisir un contre-exemple On veut montrer que la proposition « pour tout réel x,
x² ≥ x » est fausse. Quel nombre est un contre-exemple ?

]]> Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une proposition
« pour tout » est fausse. Ici, tout x de ]0 ; 1[ en est un.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 0{,}5

]]> Bonne réponse : 0{,}5^2 = 0{,}25, et 0{,}25 < 0{,}5 :
l'inégalité est fausse pour ce nombre.

]]> 1

]]> Erreur : 1² = 1, et 1 ≥ 1 est vrai. L'égalité suffit
pour une inégalité large.

]]> -0{,}5

]]> Erreur : (-0{,}5)^2 = 0{,}25 \geq -0{,}5. Un carré est
positif, donc il dépasse toujours un nombre négatif.

]]> 1{,}5

]]> Erreur : 1{,}5^2 = 2{,}25 \geq 1{,}5. Ce nombre vérifie la
propriété, il ne peut pas la réfuter.

]]> Ensembles et logique — Q18 : Un contre-exemple qui se fait attendre On considère la proposition « pour tout entier naturel n,
n² + n + 41 est un nombre premier ». Quelle valeur de n la
réfute ?

]]> La formule donne des nombres premiers pour n = 0, 1, …, 39 :
de nombreux exemples ne prouvent pas une propriété « pour tout ».
Un seul contre-exemple la réfute.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n = 2

]]> Erreur : 4 + 2 + 41 = 47, qui est premier.

]]> n = 40

]]> Bonne réponse : 40² + 40 + 41 = 40 × 41 + 41 = 41 × 41, qui n'est pas premier.

]]> n = 1

]]> Erreur : 1 + 1 + 41 = 43, qui est premier. Ce cas confirme
la propriété sans la démontrer.

]]> n = 0

]]> Erreur : pour n = 0, on obtient 41, qui est premier.

]]> Ensembles et logique — Q19 : Une proposition « il existe » La proposition « il existe un réel x tel que x² = -1 »
est-elle vraie ?

]]> « Il existe » est vraie dès qu'on exhibe un exemple ; pour la
réfuter, il faut montrer qu'aucun nombre ne convient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : tout réel négatif convient

]]> Erreur : le carré d'un réel négatif est strictement positif ;
aucun ne donne -1.

]]> Non : un carré n'est jamais négatif

]]> Bonne réponse : pour tout réel x, x² ≥ 0, donc
x² = -1 n'a pas de solution réelle.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître x

]]> Erreur : x n'est pas une donnée ; la proposition affirme
l'existence d'un tel nombre, et elle est vraie ou fausse.

]]> Oui : x = -1 convient

]]> Erreur : (-1)² = 1, pas -1. Le carré d'un nombre négatif
est positif.

]]> Ensembles et logique — Q20 : Pour tout ou il existe Laquelle de ces propositions est vraie ?

]]> « Pour tout » se réfute par un contre-exemple ; « il existe » se
démontre par un exemple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un réel x dont le carré x² est strictement négatif

]]> Fausse : un carré est toujours positif ou nul, aucun réel ne
convient.

]]> Pour tout réel x, x² > 0

]]> Fausse : pour x = 0, x² = 0 n'est pas strictement
positif.

]]> Il existe un réel x tel que x² = x

]]> Bonne réponse : x = 0 et x = 1 conviennent ; un exemple
suffit pour une proposition « il existe ».

]]> Pour tout réel x, x² ≥ x

]]> Fausse : pour x = ½, x² = ¼ est plus
petit que x.

]]> Ensembles et logique — Q21 : Une implication vraie Laquelle de ces implications est vraie pour tout réel x ?

]]> « Si P, alors Q » est vraie quand Q est vraie chaque fois
que P l'est. Un seul cas où P est vraie et Q fausse suffit
à la réfuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si x² > 4, alors x > 2

]]> Fausse : x = -3 donne x² = 9 > 4, mais -3 < 2.

]]> Si x² = 9, alors x = 3

]]> Fausse : x = -3 vérifie x² = 9 sans être égal à 3.
C'est la réciproque de l'implication vraie.

]]> Si x = 3, alors x² = 9

]]> Bonne réponse : il suffit de calculer 3² = 9.

]]> Si x > 2, alors x > 5

]]> Fausse : x = 3 est supérieur à 2 mais pas à 5.

]]> Ensembles et logique — Q22 : Formuler la réciproque Quelle est la réciproque de l'implication « si un quadrilatère
est un carré, alors c'est un rectangle » ?

]]> Réciproque de « si P, alors Q » : « si Q, alors P ». Elle
peut être fausse alors que l'implication est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si un quadrilatère n'est pas un rectangle, ce n'est pas un carré

]]> Confusion : c'est la contraposée, qui échange et nie
hypothèse et conclusion.

]]> Si un quadrilatère n'est pas un carré, ce n'est pas un rectangle

]]> Erreur : on a nié les deux parties sans les échanger. Ce
n'est ni la réciproque ni la contraposée.

]]> Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré

]]> Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la
conclusion. Elle est fausse ici : un rectangle de côtés 2
et 3 n'est pas un carré.

]]> Un quadrilatère est à la fois un carré et un rectangle

]]> Erreur : une réciproque reste une implication « si …,
alors … », où les rôles de l'hypothèse et de la conclusion
sont échangés.

]]> Ensembles et logique — Q23 : Formuler la contraposée Quelle est la contraposée de l'implication « si n est un
multiple de 4, alors n est pair » ?

]]> Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses
ensemble : démontrer l'une revient à démontrer l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si n est pair, alors n n'est pas multiple de 4

]]> Erreur : seule la conclusion de la réciproque a été niée. La
phrase est fausse : 8 est pair et multiple de 4.

]]> Si n n'est pas multiple de 4, alors n est impair

]]> Erreur : les négations sont dans le mauvais ordre. Cette
phrase est fausse : 6 n'est pas multiple de 4 et il est
pair.

]]> Si n est pair, alors n est un multiple de 4

]]> Confusion : c'est la réciproque, fausse d'ailleurs : 6 est
pair sans être multiple de 4.

]]> Si n est impair, alors n n'est pas multiple de 4

]]> Bonne réponse : la contraposée de « si P, alors Q » est
« si non Q, alors non P ». Elle est vraie, comme
l'implication de départ.

]]> Ensembles et logique — Q24 : Une réciproque fausse L'implication « si x = 2, alors x² = 4 » est vraie. Sa
réciproque l'est-elle aussi ?

]]> Quand l'implication et sa réciproque sont vraies, on a une
équivalence. Ici, x = 2 ⇒ x² = 4, mais pas
l'inverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : la réciproque d'une implication vraie est toujours vraie

]]> Erreur : c'est la contraposée qui a toujours la même
valeur de vérité. Une réciproque peut être fausse.

]]> Non : x = -2 vérifie x² = 4 sans être égal à 2

]]> Bonne réponse : la réciproque « si x² = 4, alors x = 2 »
a un contre-exemple, -2.

]]> Oui : on vérifie que 2² = 4

]]> Erreur : ce calcul prouve l'implication de départ. La
réciproque part de x² = 4 et doit conclure x = 2.

]]> Non : l'équation x² = 4 n'a pas de solution

]]> Erreur : x² = 4 a deux solutions, 2 et -2 ; c'est la
seconde qui met en défaut la réciproque.

]]> Ensembles et logique — Q25 : Ce que l'on sait de la contraposée Une implication est vraie. Que peut-on dire de sa contraposée ?

]]> Pour démontrer « si P, alors Q », on peut démontrer sa
contraposée « si non Q, alors non P » si c'est plus simple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est vraie, elle aussi

]]> Bonne réponse : « si P, alors Q » et « si non Q, alors
non P » disent la même chose ; elles sont vraies ou fausses
ensemble.

]]> On ne peut rien en dire

]]> Confusion avec la réciproque, dont la vérité ne se déduit pas
de celle de l'implication. La contraposée, elle, suit
toujours.

]]> Elle est fausse

]]> Erreur : exemple, « si n est multiple de 4, n est pair »
et « si n est impair, n n'est pas multiple de 4 » sont
vraies toutes les deux.

]]> Elle est vraie seulement si la réciproque l'est

]]> Erreur : la réciproque n'intervient pas. La contraposée a la
même valeur de vérité que l'implication, quelle que soit la
réciproque.

]]> Ensembles et logique — Q26 : Reconnaître une équivalence Laquelle de ces équivalences est vraie pour tous réels x et
y ?

]]> P ⇔ Q signifie que l'implication et sa réciproque
sont vraies toutes les deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc xy = 0 ⇔ x = 0

]]> Fausse : pour x = 3 et y = 0, xy = 0 sans que x soit
nul. Le produit est nul si x = 0 ou y = 0.

]]> x² = 4 ⇔ x = 2

]]> Fausse : le sens ⇒ échoue pour x = -2. Le bon
énoncé est x² = 4 ⇔ x = 2 ou x = -2.

]]> x + 3 = 5 ⇔ x = 2

]]> Bonne réponse : on passe d'une égalité à l'autre en
soustrayant ou en ajoutant 3, dans les deux sens.

]]> x > 1 ⇔ x > 2

]]> Fausse : x = 1{,}5 vérifie x > 1 mais pas x > 2. Seul le
sens ⇐ est vrai.

]]> Ensembles et logique — Q27 : Traduire une phrase par une implication Comment écrire la phrase « tout multiple de 6 est un multiple
de 3 » à l'aide d'une implication ?

]]> « Tout A est un B » se traduit par « si c'est un A, alors
c'est un B ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n multiple de 3 et n multiple de 6

]]> Erreur : la phrase n'affirme pas que n est multiple des
deux nombres ; elle dit que le premier fait entraîne le
second.

]]> n multiple de 6 ⇔ n multiple de 3

]]> Trop fort : l'équivalence exigerait aussi la réciproque, que
9 met en défaut.

]]> n multiple de 6 ⇒ n multiple de 3

]]> Bonne réponse : être multiple de 6 suffit pour être
multiple de 3, car 6k = 3 × 2k.

]]> n multiple de 3 ⇒ n multiple de 6

]]> Sens inversé, et faux : 9 est multiple de 3 sans être
multiple de 6.

]]> Ensembles et logique — Q28 : Une réciproque vraie L'implication « si ABCD est un parallélogramme, alors ses
diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu » est vraie. Que
dire de sa réciproque ?

]]> Une propriété dont la réciproque est vraie donne une
caractérisation : « ABCD est un parallélogramme si et seulement
si [AC] et [BD] ont le même milieu ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est vraie : on a une équivalence

]]> Bonne réponse : un quadrilatère dont les diagonales ont le
même milieu est un parallélogramme. C'est une
caractérisation.

]]> Elle est fausse, comme toute réciproque

]]> Erreur : une réciproque peut être vraie ou fausse ; il faut
l'étudier. Ici elle est vraie.

]]> Elle est vraie seulement pour les rectangles

]]> Erreur : le résultat vaut pour tous les parallélogrammes ; le
rectangle ajoute l'égalité des longueurs des diagonales.

]]> Elle n'a pas de sens pour une figure

]]> Erreur : « si les diagonales ont le même milieu, alors ABCD
est un parallélogramme » est une implication comme une autre.

]]> Ensembles et logique — Q29 : Conclure grâce à la contraposée On sait que « si n est pair, alors n² est pair ». Pour un
entier n, on a n² = 49. Que peut-on en conclure sur n ?

]]> Raisonner par contraposée : pour montrer « si non Q, alors non
P », on peut s'appuyer sur « si P, alors Q ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien, sans connaître la valeur de n

]]> Erreur : la contraposée de la propriété donnée suffit, sans
calculer n (n = 7 ou n = -7).

]]> n est pair, car 49 = 7² et 7 est premier

]]> Erreur : 7 et -7 sont impairs. Le fait que 7 soit
premier n'intervient pas.

]]> n est impair, d'après la contraposée

]]> Bonne réponse : la contraposée « si n² est impair, alors
n est impair » s'applique, car 49 est impair.

]]> n est pair, d'après l'implication

]]> Erreur : l'implication part de « n pair », que l'on ne
connaît pas. Et 49 est impair.

]]> Ensembles et logique — Q30 : Réfuter une implication sur les carrés Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si
x² > 4, alors x > 2 » ?

]]> Un contre-exemple à « si P, alors Q » vérifie P sans
vérifier Q. Ici, les nombres négatifs de grand carré
conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3

]]> Erreur : 3² = 9 > 4 et 3 > 2 ; hypothèse et
conclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication.

]]> 0

]]> Erreur : 0² = 0 ne dépasse pas 4. Un contre-exemple
doit rendre l'hypothèse vraie.

]]> -3

]]> Bonne réponse : (-3)² = 9 > 4, mais -3 < 2 :
l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse.

]]> 2

]]> Erreur : 2² = 4 n'est pas strictement supérieur à
4 ; l'hypothèse n'est pas vérifiée.

]]> Ensembles et logique — Q31 : Choisir les cas d'une disjonction Pour démontrer que n(n + 1) est pair pour tout entier n, on
raisonne par disjonction des cas. Quels cas distinguer ?

]]> Une disjonction des cas sépare toutes les situations possibles en
cas qui les épuisent, puis démontre la propriété dans chacun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc n = 0, puis n = 1

]]> Erreur : deux valeurs ne couvrent pas tous les entiers. Les
cas d'une disjonction doivent épuiser toutes les
possibilités.

]]> n pair, puis n impair

]]> Bonne réponse : si n est pair, le facteur n l'est ; si n
est impair, c'est n + 1 qui est pair. Les deux cas couvrent
tous les entiers.

]]> n premier, puis n non premier

]]> Erreur : savoir que n est premier ne dit pas si n ou
n + 1 est pair (2 et 3 sont tous deux premiers).

]]> n positif, puis n négatif

]]> Erreur : ces cas couvrent bien tous les entiers, mais le
signe de n ne renseigne pas sur la parité du produit.

]]> Ensembles et logique — Q32 : Le départ d'un raisonnement par l'absurde Pour démontrer par l'absurde que √2 est irrationnel, quelle
est la première étape ?

]]> Raisonnement par l'absurde : on suppose la négation de la
conclusion ; si l'on en déduit une contradiction, cette négation
est fausse, donc la conclusion est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Supposer que √2 est rationnel

]]> Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut
démontrer, puis on aboutit à une contradiction.

]]> Supposer que √2 est irrationnel

]]> Erreur : ce serait supposer ce qu'il faut démontrer. Le
raisonnement par l'absurde part de l'hypothèse contraire.

]]> Vérifier que √2 n'est pas entier

]]> Insuffisant : un nombre peut ne pas être entier et être
rationnel, comme 3/2.

]]> Calculer \sqrt{2} \approx 1{,}414

]]> Erreur : une valeur approchée, même très précise, ne dit rien
sur la nature du nombre.

]]> Ensembles et logique — Q33 : La contradiction qui conclut On suppose par l'absurde que ⅓ est décimal : il
existe alors des entiers a et n tels que
⅓ = a/10ⁿ, d'où 10ⁿ = 3a. Où est la
contradiction ?

]]> L'égalité 10ⁿ = 3a ferait de 10ⁿ un multiple de 3, ce qui
est faux : l'hypothèse « ⅓ est décimal » est donc
fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a ne peut pas être un entier positif

]]> Erreur : rien n'interdit a priori à a d'être un entier
positif ; la contradiction vient de la divisibilité par 3.

]]> 10ⁿ n'est pas un multiple de 3

]]> Bonne réponse : la somme des chiffres de 10ⁿ vaut 1, donc
10ⁿ n'est pas divisible par 3, alors que 3a l'est.

]]> 10ⁿ est un nombre pair

]]> Erreur : 10ⁿ est bien pair (pour n ≥ 1), mais 3a
peut l'être aussi ; aucune contradiction n'en découle.

]]> \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333 a trop de chiffres

]]> Erreur : une valeur approchée ne démontre rien. L'argument
porte sur l'égalité exacte 10ⁿ = 3a.

]]> Ensembles et logique — Q34 : Le cas impair d'une démonstration On veut démontrer que n² - n est pair pour tout entier n.
Dans le cas où n est impair, on écrit n = 2k + 1 avec k
entier. Comment s'écrit alors n² - n ?

]]> Dans le cas pair, n = 2k et n² - n = 2k(2k - 1). Les deux cas
couvrent tous les entiers : n² - n est toujours pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 4k² + 1

]]> Erreur : 4k² + 4k + 1 est n² seul, et on a perdu le
terme 4k. Il faut encore retrancher n = 2k + 1.

]]> 4k² + 2k + 2

]]> Erreur de signe : (4k² + 4k + 1) - (2k + 1) = 4k² + 2k, le
terme constant disparaît.

]]> (2k + 1)²

]]> Erreur : c'est n², pas n² - n ; il reste à retrancher
2k + 1.

]]> 2k(2k + 1)

]]> Bonne réponse : n² - n = n(n - 1) = (2k + 1) × 2k,
qui est le double d'un entier, donc pair.

]]> Ensembles et logique — Q35 : Tout nombre premier est-il impair ? La proposition « tout nombre premier est impair » est-elle vraie ?

]]> La proposition correcte est « tout nombre premier différent de
2 est impair ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : 2 est premier et pair

]]> Bonne réponse : 2 n'a que deux diviseurs, 1 et 2 ; c'est
un contre-exemple, qui suffit à réfuter la proposition.

]]> Non : 9 est impair et n'est pas premier

]]> Erreur : 9 réfute la réciproque (« tout impair est
premier »), pas la proposition donnée.

]]> Oui : les nombres premiers 3, 5, 7 sont impairs

]]> Erreur : des exemples ne démontrent pas une proposition
« tout ». Un seul contre-exemple, 2, la réfute.

]]> Oui : un nombre pair est divisible par 2

]]> Incomplet : 2 est divisible par 2 et premier quand même ;
l'argument vaut seulement pour les pairs supérieurs à 2.

]]> Ensembles et logique — Q36 : Négation d'une phrase « tous » Quelle est la négation de la proposition « tous les élèves de la
classe ont la moyenne » ?

]]> Négation de « pour tout x, P(x) » : « il existe x tel que
non P(x) ». On nie la propriété et on change le quantificateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun élève de la classe n'a la moyenne

]]> Trop fort : si un seul élève échoue, la proposition de départ
est fausse sans que tous échouent.

]]> Au moins un élève de la classe a la moyenne

]]> Erreur : cette phrase peut être vraie en même temps que la
proposition de départ, ce qui est impossible pour une
négation.

]]> Au moins un élève de la classe n'a pas la moyenne

]]> Bonne réponse : pour qu'il soit faux que tous aient la
moyenne, il suffit qu'un seul élève ne l'ait pas.

]]> Tous les élèves de la classe ont une note sous la moyenne

]]> Trop fort : c'est l'affirmation qu'aucun élève n'a la
moyenne, beaucoup plus qu'une négation.

]]> Ensembles et logique — Q37 : Négation d'une phrase « il existe » Quelle est la négation de la proposition « il existe un réel x
tel que x² = 2 » ?

]]> Négation de « il existe x tel que P(x) » : « pour tout x,
non P(x) ». Ici la proposition est vraie (√2), sa
négation est fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un réel x tel que x² = -2

]]> Erreur : nier « x² = 2 » donne « x² ≠ 2 », pas un
changement de signe dans l'égalité.

]]> Pour tout réel x, x² ≠ 2

]]> Bonne réponse : nier qu'il existe un tel réel, c'est affirmer
qu'aucun réel ne vérifie x² = 2.

]]> Pour tout réel x, x² = 2

]]> Erreur : on a changé le quantificateur sans nier la
propriété. Cette phrase et la proposition de départ ne sont
pas contraires.

]]> Il existe un réel x tel que x² ≠ 2

]]> Erreur : le quantificateur doit changer. Cette phrase est
vraie (x = 0) en même temps que la proposition de départ
(x = √2).

]]> Ensembles et logique — Q38 : Une proposition qui dépend d'une variable Pour quels entiers n la proposition « n² + 1 est pair »
est-elle vraie ?

]]> Une proposition contenant une variable peut être vraie pour
certaines valeurs et fausse pour d'autres : on précise lesquelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour les entiers impairs

]]> Bonne réponse : si n est impair, n² est impair et
n² + 1 est pair. Exemple : 3² + 1 = 10.

]]> Pour aucun entier

]]> Erreur : n = 1 donne 2, qui est pair ; la proposition est
vraie pour certains entiers.

]]> Pour les entiers pairs

]]> Erreur : si n est pair, n² est pair et n² + 1 impair.
Exemple : 2² + 1 = 5.

]]> Pour tous les entiers, sans exception

]]> Erreur : n = 2 donne 5, qui est impair ; la proposition
n'est pas vraie pour tout n.

]]> Ensembles et logique — Q39 : Comparer un nombre et son carré En distinguant les cas x ≤ 0, 0 < x < 1 et x ≥ 1, on
étudie l'inégalité x² < x. Pour quels réels est-elle vraie ?

]]> Cas x ≤ 0 : x² ≥ 0 ≥ x. Cas x ≥ 1 : en
multipliant x ≥ 1 par x, x² ≥ x. Reste ]0 ; 1[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x ∈\ ]-∞ ; 0[

]]> Erreur : pour x < 0, x² > 0 > x. C'est le cas où
l'inégalité est fausse à coup sûr.

]]> x ∈\ ]-∞ ; 1[

]]> Erreur : pour x = -1, x² = 1 est plus grand que x. Un
carré dépasse toujours un nombre négatif.

]]> x ∈\ ]1 ; +∞[

]]> Sens inversé : pour x = 2, x² = 4 > 2. Au-delà de 1, le
carré est plus grand que le nombre.

]]> x ∈\ ]0 ; 1[

]]> Bonne réponse : pour 0 < x < 1, on multiplie x < 1 par
x > 0 : x² < x. Dans les deux autres cas, x² ≥ x.

]]> Ensembles et logique — Q40 : Une implication traduite par une inclusion L'implication « si x > 5, alors x > 2 » est vraie. Quelle
inclusion d'intervalles traduit-elle ?

]]> « Si P, alors Q » vraie signifie que l'ensemble des valeurs
qui vérifient P est inclus dans celui des valeurs qui vérifient
Q.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]2 ; 5[\ ⊂\ ]5 ; +∞[

]]> Erreur : ces deux intervalles n'ont aucun élément commun ;
aucune inclusion ne les relie.

]]> ]5 ; +∞[\ ∩\ ]2 ; +∞[\ = ∅

]]> Erreur : 6 appartient aux deux intervalles. Leur
intersection est ]5 ; +∞[, pas l'ensemble vide.

]]> ]5 ; +∞[\ ⊂\ ]2 ; +∞[

]]> Bonne réponse : tout réel qui vérifie l'hypothèse vérifie la
conclusion ; l'ensemble des solutions de x > 5 est donc
inclus dans celui de x > 2.

]]> ]2 ; +∞[\ ⊂\ ]5 ; +∞[

]]> Sens inversé : 3 appartient à ]2 ; +∞[ sans
appartenir à ]5 ; +∞[. Cette inclusion traduirait la
réciproque, fausse.

]]>