$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions de référence et tableaux de signes Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :
ensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction
affine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,
équations et inéquations du type x² = a, x² ≤ a.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q01 : La courbe de la fonction carré Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction
carré x ↦ x², et quelle est son allure ?

]]> Images mentales à connaître : carré : parabole (sommet O, tournée vers le haut) ; inverse : hyperbole ; racine carrée : demi-parabole couchée ; cube : courbe en S ; valeur absolue : courbe en V.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une hyperbole en deux branches

]]> Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction
inverse, avec ses deux branches séparées par les axes.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Erreur : les droites représentent les fonctions
linéaires (x ↦ ax). Le carré n'est pas
proportionnel : sa courbe s'incurve.

]]> Une parabole tournée vers le haut

]]> Bonne réponse : la parabole a pour sommet l'origine (son
minimum) et remonte symétriquement des deux côtés.

]]> Une demi-parabole partant de l'origine

]]> Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la
courbe de la racine carrée, définie seulement sur
[0 ; +∞[.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q02 : Reconnaître une courbe de référence [Figure : Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une
branche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe
des abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur
gauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche
jamais les axes.]

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.
Laquelle ?

]]> Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de x),
points de repère (1 ; 1) et (-1 ; -1), valeur
interdite 0, symétrie par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction racine carrée x ↦ √x

]]> Erreur : la racine carrée n'existe que pour x ≥ 0 :
sa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans
partie négative.

]]> La fonction inverse x ↦ 1/x

]]> Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par
(1 ; 1) et (-1 ; -1), jamais définie en 0, et qui
ne touche jamais les axes.

]]> La fonction carré x ↦ x²

]]> Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,
entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

]]> La fonction cube x ↦ x³

]]> Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et
traverse l'origine ; ici la courbe évite 0 et se casse
en deux branches.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q03 : Ensemble de définition de l'inverse Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse
x ↦ 1/x ?

]]> Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur
absolue : ℝ ; inverse : ℝ privé de 0 ;
racine carrée : [0 ; +∞[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; +∞[

]]> Trop restrictif : les négatifs ont un inverse
(\frac{1}{-2} = -0{,}5). C'est la racine carrée qui
exige du positif.

]]> ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[

]]> Erreur : c'est ℝ privé de 1, or 1 a très
bien un inverse (lui-même). La seule valeur interdite
est 0.

]]> ]-∞ ; +∞[

]]> Erreur : c'est ℝ tout entier, or
1/0 n'existe pas : il faut retirer 0.

]]> ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf 0 (la
division par zéro n'existe pas).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q04 : Ensemble de définition de la racine carrée Quel est l'ensemble de définition de la fonction
x ↦ √x ?

]]> √x est défini pour x ≥ 0 : domaine
[0 ; +∞[, borne 0 comprise. La courbe part de
l'origine et monte de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc ]0 ; +∞[

]]> Presque : √0 = 0 existe parfaitement. C'est
l'inverse qui exclut 0, pas la racine.

]]> [0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans
ℝ, mais √0 = 0 existe : 0 est inclus
(crochet fermé).

]]> [1 ; +∞[

]]> Erreur : \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 existe très bien. La
seule contrainte est x ≥ 0.

]]> ℝ

]]> Erreur : √-4 n'existe pas dans ℝ :
aucun réel au carré ne donne -4.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q05 : Symétrie de la parabole La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à
quel objet ?

]]> (-x)² = x² : la fonction carré prend les mêmes valeurs en
x et -x, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à
l'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques
par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : (-x)² = x² : deux abscisses opposées
ont la même image, la parabole se reflète dans l'axe
vertical.

]]> L'origine du repère

]]> Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise
les courbes de l'inverse et du cube
((-x)³ = -x³).

]]> La droite d'équation y = x

]]> Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées
(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas
la symétrie de la parabole.

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être
symétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque x
n'a qu'une image).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q06 : Cube d'un négatif Que vaut (-2)³ ?

]]> Le cube conserve le signe : x³ > 0 si x > 0, x³ < 0 si
x < 0. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en
passant du négatif au positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc -8

]]> Bonne réponse : (-2) × (-2) × (-2) = 4 × (-2) = -8. Le cube conserve le signe.

]]> 8

]]> Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat
négatif. C'est le carré (deux facteurs) qui efface le
signe.

]]> -6

]]> Erreur : -6 = -2 × 3 confond puissance et
multiplication. (-2)³ multiplie -2 par lui-même trois
fois.

]]> 6

]]> Double erreur : ni la valeur (2³ = 8, pas 6) ni le
signe (le cube d'un négatif est négatif).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q07 : Signe d'un produit de facteurs affines Sur quel intervalle le produit (x - 1)(x + 2) est-il
strictement négatif ?

]]> Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur
change de signe à sa racine (-2 et 1), et le produit est
négatif là où les signes diffèrent : sur ]-2 ; 1[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours
positif

]]> Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive entre les racines.

]]> Sur ]-∞ ; -2[

]]> Erreur : avant -2, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif (moins par moins).

]]> Sur ]1 ; +∞[

]]> Erreur : au-delà de 1, les deux facteurs sont
positifs : produit positif. Le tableau de signes le montre
colonne par colonne.

]]> Sur ]-2 ; 1[

]]> Bonne réponse : entre les racines -2 et 1, les deux
facteurs sont de signes contraires (x + 2 > 0 et
x - 1 < 0) : produit négatif.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q08 : Signe d'un quotient Quel est le signe de x - 3/x + 1 sur l'intervalle
]-1 ; 3[ ?

]]> Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,
avec en plus une valeur interdite au dénominateur (double
barre dans le tableau). Sur ]-1 ; 3[ :
-/+ = -.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif

]]> Bonne réponse : sur cet intervalle, x + 1 > 0 et
x - 3 < 0 : signes contraires, quotient négatif.

]]> Nul sur tout l'intervalle

]]> Erreur : le quotient ne s'annule qu'en x = 3 (numérateur
nul), qui est exclu de l'intervalle ouvert.

]]> Strictement positif

]]> Erreur : teste x = 0 : -3/1 = -3 < 0. Les
règles de signes d'un quotient sont celles d'un produit.

]]> Non défini sur cet intervalle

]]> Erreur : la seule valeur interdite est x = -1
(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout
ailleurs le quotient existe.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q09 : Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement Combien l'équation x² = 7 admet-elle de solutions, et
comment se lisent-elles sur la parabole ?

]]> Résolution graphique de x² = k : intersection de la
parabole et de la droite y = k. Pour k = 7 > 0 : deux
solutions \pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution, car 7 n'est pas un carré parfait : la
droite y = 7 ne rencontre pas la parabole

]]> Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel
positif est le carré de sa racine : (√7)² = 7, et
la droite y = 7 coupe bien la parabole, en deux points
d'abscisses -√7 et √7.

]]> Une seule solution, √7, abscisse de l'unique point
où la droite y = 7 touche la parabole

]]> Oubli : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées, la droite y = 7 la coupe deux fois : en
√7 et en -√7. Contrôle :
(-√7)² = 7 aussi.

]]> Deux solutions, √7 et -√7, abscisses des
points où la droite y = 7 coupe la parabole

]]> Bonne réponse : la droite horizontale y = 7 coupe la
parabole en deux points symétriques par rapport à l'axe
des ordonnées, d'abscisses -√7 et √7
(environ -2{,}65 et 2{,}65).

]]> Une infinité de solutions, une pour chaque point de la
parabole situé au-dessus de la droite horizontale y = 7

]]> Confusion entre équation et inéquation : les points de la
parabole situés au-dessus de la droite y = 7
correspondent à x² > 7 (par exemple x = 3, car
9 > 7). L'équation x² = 7 ne retient que les deux
points posés sur la droite.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q10 : Résoudre une inéquation $x^2 \leq k$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
x² ≤ 9 ?

]]> Pour k > 0 : x² ≤ k ⇔ -√k ≤ x ≤ √k. Ne jamais « prendre la racine » d'une
inégalité sans penser à la branche négative de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [0 ; 3]

]]> Oubli des négatifs : (-2)² = 4 ≤ 9, donc -2
est solution. La parabole est symétrique.

]]> \{-3\,;\,3\}

]]> Erreur : ces deux nombres résolvent l'équation
x² = 9. L'inéquation large englobe tout l'intervalle
entre eux.

]]> ]-∞ ; 3]

]]> Piège majeur : x ≤ 3 n'équivaut pas à x² ≤ 9 :
pour x = -10, x² = 100 > 9. Les grands négatifs ont
de grands carrés.

]]> [-3 ; 3]

]]> Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite
y = 9 ont leurs abscisses entre -3 et 3.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q11 : Comparer des carrés de négatifs On sait que -3 < -2. Comment se comparent (-3)² et
(-2)² ?

]]> Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :
décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur
[0 ; +∞[. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et
l'ordre des carrés s'inversent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les deux carrés ne sont pas comparables

]]> Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires
(9 et 4), parfaitement comparables.

]]> (-3)² > (-2)²

]]> Bonne réponse : 9 > 4. Sur les négatifs, la fonction
carré renverse l'ordre : elle est décroissante sur
]-∞ ; 0], plus un négatif est loin de zéro,
plus son carré est grand.

]]> (-3)² < (-2)²

]]> Erreur : l'inégalité -3 < -2 ne se transmet pas aux
carrés. Mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des
nombres positifs. Ici 9 > 4 : l'ordre s'est
inversé.

]]> (-3)² = (-2)²

]]> Erreur : les signes disparaissent au carré, mais les
grandeurs restent : 9 ≠ 4.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q12 : Résoudre $|x| = 5$ Quelles sont les solutions de l'équation |x| = 5 ?

]]> |x| = k : deux solutions ± k si k > 0, une seule
(0) si k = 0, aucune si k < 0. La courbe en V de la
valeur absolue rend ce compte de solutions visible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 5 seulement

]]> Oubli : |-5| = 5 aussi. La valeur absolue efface le
signe, deux antécédents pour chaque valeur positive.

]]> x = -5 seulement

]]> Erreur : |5| = 5 convient évidemment aussi. L'équation a
deux solutions.

]]> x = 5 ou x = -5

]]> Bonne réponse : deux nombres sont à distance 5 de zéro :
5 et -5. Graphiquement, la droite y = 5 coupe le
« V » de la valeur absolue en deux points.

]]> Aucune solution, car une valeur absolue est toujours
positive

]]> Contresens : c'est justement parce que |x| ≥ 0 que
l'équation |x| = 5 (avec 5 > 0) a des solutions :
± 5. (C'est |x| = -5 qui n'en aurait pas.)

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q13 : Signe d'une expression affine Quel est le signe de l'expression 2x - 4 selon les
valeurs de x ?

]]> Signe d'une affine ax + b : racine en -b/a,
signe de a après la racine (« signe de a à droite »).
La brique de base de tous les tableaux de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toujours positif

]]> Erreur : en x = 0 : -4 < 0 : toute fonction affine
non constante change de signe en sa racine.

]]> Négatif pour x < 4, positif pour x > 4

]]> Racine fausse : 2x - 4 = 0 \iff x = 2 (diviser 4
par le coefficient 2).

]]> Positif pour x < 2, négatif pour x > 2

]]> Ordre inversé : le coefficient de x est positif
(2) : l'expression monte : négative avant sa racine,
positive après.

]]> Négatif pour x < 2, nul en 2, positif pour x > 2

]]> Bonne réponse : racine en x = 2 (2x - 4 = 0), et
coefficient directeur positif : signe « - puis + ».

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q14 : Comparer des inverses Sachant 0 < a < b, comment se comparent 1/a et
1/b ?

]]> Sur ]0\ ;\ +∞[, la fonction inverse est strictement
décroissante : 0 < a < b ⇒ 1/a > 1/b. Attention : la comparaison échoue si a et
b encadrent 0 (deux branches séparées).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/a = 1/b

]]> Erreur : deux nombres distincts ont des inverses
distincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la
même valeur).

]]> 1/a < 1/b

]]> Erreur : l'ordre ne se conserve pas. Testez a = 2, b = 3 : \frac{1}{2} = 0{,}5 > \frac{1}{3} \approx
0{,}33 : passer à l'inverse RENVERSE les inégalités
(entre positifs).

]]> Impossible à comparer sans connaître a et b

]]> Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut
pour TOUS les couples 0 < a < b : aucune valeur
nécessaire.

]]> 1/a > 1/b

]]> Bonne réponse : l'inverse renverse l'ordre des positifs,
car la fonction inverse est décroissante sur ]0\ ;\ +∞[ : plus le nombre est grand, plus son inverse
est petit (½ > ⅓).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q15 : Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ Soit 0 < a < 1. Comment se comparent a² et a ?

]]> Entre 0 et 1 : a² < a (la parabole sous la
diagonale) ; au-delà de 1 : a² > a. Les points de
croisement : 0 et 1. Une image graphique qui évite bien
des erreurs de majoration.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a² < a

]]> Bonne réponse : le carré rapetisse les nombres entre 0
et 1 : a² = a × a < a × 1 = a (multiplier
par a < 1 diminue). Exemple : 0{,}5^2 = 0{,}25.

]]> a² = a

]]> Erreur : l'égalité a² = a n'a lieu qu'en a = 0 et
a = 1 : strictement entre les deux, le carré est
strictement plus petit.

]]> a² > a

]]> Intuition à corriger : « un carré est toujours plus
grand » ne vaut que pour a > 1. Entre 0 et 1,
élever au carré écrase vers zéro (0{,}1^2 =
0{,}01).

]]> Cela dépend de la valeur de a

]]> Erreur : sur TOUT l'intervalle ]0\ ;\ 1[, la
conclusion est la même : a² < a (la parabole passe
sous la droite y = x).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q16 : Comparer $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$ Sans calculatrice, comment justifier que √3 < √5 ?

]]> Comparer via les variations d'une fonction de référence :
une fonction croissante (racine, cube) conserve l'ordre ; une fonction décroissante (inverse sur ]0\ ;\ +∞[) le renverse. L'argument
attendu cite la fonction et son sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas : les racines ne se comparent pas

]]> Erreur : la croissance de √\ permet justement
de comparer les racines par leurs radicandes.

]]> Par la décroissance de la fonction racine carrée

]]> Erreur : la racine carrée est croissante sur
[0 ; +∞[. Une fonction décroissante
renverserait l'ordre et donnerait √3 > √5,
ce qui est faux (1{,}73 < 2{,}24).

]]> Par la croissance de la fonction racine carrée

]]> Bonne réponse : la fonction racine carrée est
strictement croissante sur [0 ; +∞[, donc 3 < 5 ⇒ √3 < √5. La croissance
transporte l'inégalité des nombres vers leurs racines,
sans aucune valeur approchée.

]]> C'est faux : √3 > √5, car 3 < 5

]]> Erreur : la racine conserve l'ordre (croissante) :
l'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q17 : Résoudre une équation $x^3 = k$ Combien de solutions réelles a l'équation x³ = -8 ?

]]> Contraste carré/cube : x² = k > 0 : deux solutions ;
x³ = k : toujours UNE solution, du signe de k (cube
strictement croissant sur ℝ). La parité de
l'exposant fait toute la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune : un cube n'est jamais négatif

]]> Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est
négatif ((-2)³ = -8) : la fonction cube atteint tous
les réels.

]]> x = -8/3

]]> Erreur : diviser par 3 ne défait pas un cube : on
cherche le nombre dont le CUBE vaut -8 : c'est -2.

]]> Une seule : x = -2

]]> Bonne réponse : (-2)³ = -8, et la fonction cube,
strictement croissante sur ℝ, ne repasse
jamais deux fois par la même valeur : solution unique.

]]> Deux : x = 2 et x = -2

]]> Réflexe du carré transposé à tort : 2³ = +8 ≠ -8 :
le cube conserve le signe : une seule solution.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q18 : Parabole et diagonale sur $[0\ ;\ 1]$ Sur l'intervalle [0\ ;\ 1], comment se situe la courbe de
y = x² par rapport à la droite y = x ?

]]> La position relative se lit sur le signe de la différence : x² - x = x(x - 1), négatif entre ses racines 0 et 1. La même
étude redonne a² < a pour 0 < a < 1 : deux habits d'un
même fait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus

]]> Erreur : en x = 0{,}5 : 0{,}25 < 0{,}5 : la
parabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus
après 1).

]]> Elles sont confondues sur cet intervalle

]]> Erreur : x² = x seulement aux deux extrémités :
entre les deux, l'écart x - x² est strictement
positif (maximal en 0{,}5).

]]> En dessous

]]> Bonne réponse : x² - x = x(x - 1) ≤ 0 sur [0\ ;\ 1] (produit d'un positif et d'un négatif) : la parabole
plonge sous la diagonale entre les deux points de
contact, en 0 et en 1.

]]> Elles ne se rencontrent jamais

]]> Erreur : x² = x en x = 0 et x = 1 : deux points
communs, bornes exactes de l'intervalle.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q19 : L'allure de la courbe de l'inverse Quelle est la forme de la courbe de la fonction inverse ?

]]> La fonction inverse est définie sur ℝ privé de 0. Sa courbe
comporte donc deux branches, symétriques par rapport à l'origine, qui
s'approchent des axes sans jamais les toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une courbe en U tournée vers le haut

]]> C'est la parabole de la fonction carré. La fonction inverse n'est pas
définie en 0, donc sa courbe est coupée en deux.

]]> Une branche unique partant de l'origine

]]> C'est la courbe de la fonction racine carrée, définie seulement sur
les nombres positifs.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Une droite correspondrait à une fonction linéaire. Ici le produit
x × f(x) vaut 1, ce qui interdit le passage par l'origine.

]]> Deux branches séparées par les axes

]]> Bonne réponse : cette courbe, appelée hyperbole, a une branche dans
le quart en haut à droite et une autre en bas à gauche.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q20 : Sens de variation de la fonction carré Comment varie la fonction carré sur l'intervalle
]-∞ ; 0] ?

]]> La fonction carré décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, le
minimum étant atteint en 0. C'est la lecture du creux de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante

]]> Les images changent : (-1)² = 1 et (-3)² = 9 sont différents.

]]> Elle est croissante puis décroissante

]]> Le changement de sens a lieu en 0 seulement, il n'y a donc qu'un
seul sens de variation sur cet intervalle.

]]> Elle est décroissante

]]> Bonne réponse : plus un nombre négatif est petit, plus son carré est
grand. Ainsi (-5)² = 25 dépasse (-2)² = 4.

]]> Elle est croissante

]]> Contre-exemple : -5 < -2, pourtant 25 > 4. L'ordre est inversé sur
les nombres négatifs.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q21 : Résoudre une inéquation $x^2 \geq k$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation x² ≥ 4 ?

]]> L'inéquation x² ≥ a avec a positif se résout en comparant |x| à
√a. Elle donne deux demi-droites, alors que x² ≤ a donne un
intervalle centré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-2 ; 2]

]]> Inégalité retournée : cet intervalle résout x² ≤ 4. Pour
x = 0, on obtient 0 ≥ 4, ce qui est faux.

]]> ]-∞ ; -2] ∪ [2 ; +∞[

]]> Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint 4 sont ceux qui
s'éloignent d'au moins 2 de l'origine.

]]> ]-∞ ; -2] ∪ [0 ; +∞[

]]> Borne fausse : x = 1 appartiendrait à cet ensemble alors que
1² = 1 < 4.

]]> [2 ; +∞[

]]> Moitié oubliée : x = -3 convient aussi, car (-3)² = 9 ≥ 4.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q22 : L'équation $\dfrac{1}{x} = 0$ L'équation 1/x = 0 admet-elle une solution ?

]]> Un quotient s'annule si et seulement si son numérateur s'annule, le
dénominateur restant non nul. La courbe de la fonction inverse ne coupe
donc jamais l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, une infinité de solutions

]]> Aucune valeur ne convient : plus x grandit, plus 1/x
s'approche de 0 sans jamais l'atteindre.

]]> Non, aucun nombre ne convient

]]> Bonne réponse : un quotient est nul seulement si son numérateur l'est,
or ce numérateur vaut 1.

]]> Oui, la solution est x = 1

]]> Vérification : 1/1 vaut 1 et non 0.

]]> Oui, la solution est x = 0

]]> La valeur 0 est justement interdite : la fonction inverse n'y est
pas définie.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q23 : Quand une expression affine est positive Pour quelles valeurs de x l'expression -3x + 6 est-elle positive ?

]]> Une expression affine ax + b s'annule en -b/a. Elle prend
ensuite le signe de a après cette racine, et le signe contraire avant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour tout réel

]]> L'expression change de signe : elle vaut -3 pour x = 3, ce qui
suffit à écarter cette réponse.

]]> Pour x ≤ -2

]]> Racine mal calculée : -3x + 6 = 0 donne x = 2, et non x = -2.

]]> Pour x ≥ 2

]]> Sens inversé : pour x = 3, l'expression vaut -3, donc elle est
négative après 2.

]]> Pour x ≤ 2

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en 2, et le coefficient -3
étant négatif, elle est positive avant cette valeur.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q24 : Signe d'un produit et ordre des racines Sur quel intervalle le produit (x - 1)(x + 4) est-il négatif ?

]]> Un tableau de signes place les racines dans l'ordre croissant, donne le
signe de chaque facteur, puis celui du produit ligne par ligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur ]-4 ; 1[

]]> Bonne réponse : entre les deux racines, les facteurs sont de signes
contraires, donc leur produit est négatif.

]]> Sur ]1 ; 4[

]]> Racines mal lues : (x + 4) s'annule en -4, pas en 4. Le signe se
lit entre -4 et 1.

]]> Sur ]-1 ; 4[

]]> Signes des racines inversés : les valeurs qui annulent le produit sont
1 et -4.

]]> Sur ]-∞ ; -4[

]]> Pour x = -5, les deux facteurs valent -6 et -1, et leur produit
est positif.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q25 : La courbe de la valeur absolue Quelle est l'allure de la courbe de la fonction valeur absolue ?

]]> Pour x ≥ 0, |x| = x ; pour x < 0, |x| = -x. La courbe est donc
formée de deux morceaux de droites symétriques par rapport à l'axe des
ordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite passant par l'origine

]]> Une droite unique ne conviendrait que si la fonction était linéaire.
Or |-3| = 3 et non -3.

]]> Une parabole tournée vers le haut

]]> La parabole est arrondie en son sommet, alors que la valeur absolue
forme un angle. De plus |2| = 2, pas 4.

]]> Deux branches d'hyperbole

]]> C'est la courbe de la fonction inverse. La valeur absolue, elle, est
définie en 0, où elle vaut 0.

]]> Deux demi-droites formant un V

]]> Bonne réponse : la courbe suit y = -x avant 0 et y = x après,
avec une pointe à l'origine.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q26 : Racine carrée et nombres entre $0$ et $1$ Pour un nombre x compris strictement entre 0 et 1, comment
√x se compare-t-il à x ?

]]> Élever au carré un nombre compris entre 0 et 1 le diminue, donc
l'opération inverse, la racine carrée, l'augmente. C'est ce que montre le
croisement de la courbe avec la droite d'équation y = x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Cela dépend de la valeur de x

]]> La comparaison est la même sur tout l'intervalle : prendre la racine
y rapproche de 1 par le haut.

]]> √x est plus grand que x

]]> Bonne réponse : pour x = 0{,}25, la racine vaut 0{,}5, donc elle
dépasse le nombre de départ.

]]> √x est plus petit que x

]]> C'est vrai au-delà de 1 seulement : √9 = 3 < 9, mais
\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25.

]]> Les deux nombres sont égaux

]]> L'égalité n'a lieu que pour x = 0 et x = 1, exclus par l'énoncé.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q27 : Symétrie de la courbe du cube Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cube ?

]]> Une fonction vérifiant f(-x) = -f(x) a une courbe symétrique par
rapport à l'origine. C'est le cas du cube, alors que le carré vérifie
f(-x) = f(x) et présente une symétrie axiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une symétrie par rapport à l'origine

]]> Bonne réponse : (-x)³ = -x³, donc les points d'abscisses opposées
ont des ordonnées opposées.

]]> Aucune symétrie particulière

]]> La relation (-x)³ = -x³ vaut pour tout réel, elle impose la
symétrie par rapport à l'origine.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> C'est le cas de la fonction carré. Ici (-2)³ = -8 alors que
2³ = 8, les ordonnées ne coïncident pas.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Aucune courbe de fonction n'a cette symétrie : un nombre aurait alors
deux images opposées.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q28 : Valeur interdite dans un tableau de signes Dans le tableau de signes du quotient x - 2/x + 1, que
place-t-on sous la valeur -1 ?

]]> Dans un tableau de signes, un zéro marque une racine et une double barre
une valeur interdite. Les deux se lisent respectivement sur le numérateur
et sur le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une double barre

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule en -1, le quotient n'y est
donc pas défini.

]]> Un zéro

]]> Un zéro signalerait que le quotient s'annule, ce qui arrive seulement
quand le numérateur est nul, ici en 2.

]]> Un signe moins

]]> Aucun signe ne peut être attribué : le quotient n'existe pas pour
x = -1.

]]> Rien, la colonne reste vide

]]> La valeur interdite doit apparaître explicitement, sans quoi
l'ensemble de définition disparaît de la lecture.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q29 : Une équation sans solution Combien l'équation x² = -9 a-t-elle de solutions réelles ?

]]> L'équation x² = a n'a pas de solution si a est négatif, une seule si
a est nul, et deux solutions opposées si a est positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule, x = -3

]]> Vérification : (-3)² vaut 9 et non -9. Le signe moins ne
traverse pas le carré.

]]> Deux, x = -3 et x = 3

]]> Ces deux nombres sont les solutions de x² = 9. L'équation posée a
un second membre négatif.

]]> Aucune

]]> Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut donc
pas valoir -9.

]]> Une infinité

]]> Une équation du type x² = a a zéro, une ou deux solutions selon le
signe de a, jamais davantage.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q30 : Définition d'une racine composée Sur quel ensemble la fonction définie par f(x) = √5 - x
est-elle définie ?

]]> On résout l'inéquation qui exprime la positivité de la quantité sous le
radical. Attention au coefficient négatif devant x, qui renverse le
sens de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc [-5 ; +∞[

]]> Signe mal reporté : la quantité sous la racine est 5 - x, et non
x + 5.

]]> [5 ; +∞[

]]> Inégalité retournée : pour x = 6, on obtiendrait √-1, qui
n'existe pas.

]]> ]-∞ ; 5]

]]> Bonne réponse : la condition 5 - x ≥ 0 équivaut à x ≤ 5.

]]> ℝ

]]> Une racine carrée impose une condition : ici elle exclut tous les
nombres supérieurs à 5.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q31 : Image d'un négatif par la fonction carré Quelle est l'image de -3 par la fonction carré ?

]]> L'image de x par la fonction carré est x², c'est-à-dire le produit
x × x. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le
signe de x.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Bonne réponse : (-3) × (-3) = 9. Le produit de deux nombres
négatifs est positif.

]]> 6

]]> Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant 2 n'est pas
un facteur 2. Le calcul attendu est (-3) × (-3) = 9.

]]> -6

]]> Carré confondu avec le double : l'exposant 2 demande de multiplier
le nombre par lui-même, ce qui donne 9.

]]> -9

]]> Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un
carré n'est jamais négatif, et l'image vaut 9.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q32 : Calculer une image par la fonction cube Soit g la fonction cube, définie par g(x) = x³. Que vaut g(-3) ?

]]> Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le
signe du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube
du carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 9

]]> Un facteur oublié : ce nombre est le carré de -3, alors que le cube
en compte trois et vaut -27.

]]> -9

]]> Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant 3 ne
signifie pas « multiplié par 3 ». Le cube vaut -27.

]]> 27

]]> Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne
un produit positif. Ici le résultat vaut -27.

]]> -27

]]> Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et
(-3) × (-3) × (-3) = -27.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q33 : Appliquer la fonction racine carrée On applique la fonction racine carrée au nombre 36. Quel résultat
obtient-on ?

]]> La racine carrée de a est l'unique nombre positif dont le carré vaut
a. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de
tête.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1296

]]> Opération inverse : ce nombre est le carré de 36. La racine carrée
ramène au contraire vers un nombre plus petit, ici 6.

]]> 6 ou -6

]]> Confusion avec l'équation x² = 36, qui a deux solutions. La racine
carrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,
le positif.

]]> 6

]]> Bonne réponse : 6 × 6 = 36, et la racine carrée d'un
nombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne.

]]> 18

]]> Racine confondue avec la moitié : 18 × 18 dépasse
largement 36. Le nombre cherché est 6.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q34 : Une égalité de la valeur absolue Quelle égalité la fonction valeur absolue vérifie-t-elle pour tout
nombre réel x ?

]]> Une fonction qui vérifie f(-x) = f(x) pour tout réel a une courbe
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. C'est le cas de la valeur
absolue et du carré, mais pas du cube, qui vérifie f(-x) = -f(x).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc |x| = x pour tout réel

]]> Cette égalité ne vaut que pour les nombres positifs : pour x = -4,
la valeur absolue vaut 4 et non -4.

]]> |-x| = -|x|

]]> Une valeur absolue n'est jamais strictement négative, alors que
-|x| l'est dès que x n'est pas nul.

]]> |-x| = x

]]> Égalité mise en défaut par x = -4 : le membre de gauche vaut 4
et le membre de droite vaut -4.

]]> |-x| = |x|

]]> Bonne réponse : la valeur absolue efface le signe, donc un nombre et
son opposé ont la même image.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q35 : Combien de changements de signe Combien de fois l'expression ax + b, avec a ≠ 0, change-t-elle
de signe sur ℝ ?

]]> Une expression affine non constante s'annule une fois et une seule, en
-b/a. Son tableau de signes comporte donc toujours deux
colonnes, séparées par un zéro.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux fois, comme un produit de facteurs

]]> Deux changements supposeraient deux racines, ce qui est le cas d'un
produit tel que (x - 1)(x + 2), pas d'une expression affine.

]]> Une seule fois, en sa racine

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en -b/a, prend le
signe contraire à celui de a avant, et le signe de a après.

]]> Jamais : son signe est celui de a

]]> Le signe de a ne vaut qu'après la racine : pour 2x - 4 et
x = 0, l'expression vaut -4 alors que a vaut 2.

]]> Cela dépend du signe de b

]]> Le nombre b déplace la racine sur l'axe, mais il ne modifie pas le
nombre de changements de signe, qui reste égal à un.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q36 : Racine d'une expression affine En quelle valeur l'expression 4x - 12 s'annule-t-elle ?

]]> La racine d'une expression affine ax + b est le nombre
-b/a. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau
de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc x = 48

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient 4 se
divise, il ne se multiplie pas. La racine vaut 3.

]]> x = -3

]]> Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de
l'autre côté du signe égal. La racine vaut 3.

]]> x = 3

]]> Bonne réponse : l'équation 4x - 12 = 0 donne
4x = 12, puis x = 3 après division par 4.

]]> x = 12

]]> Division oubliée : une fois 4x = 12 obtenu, il reste
à diviser par 4, ce qui donne 3.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q37 : Encadrer une racine carrée Entre quels entiers consécutifs le nombre √30 se situe-t-il ?

]]> Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers
consécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine
carrée transporte alors cet encadrement aux racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre 5 et 6

]]> Bonne réponse : 5² = 25 et 6² = 36 encadrent 30.
La fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se
transmet aux racines.

]]> Entre 4 et 5

]]> Encadrement décalé d'un cran vers le bas : 5² = 25 est
inférieur à 30, donc √30 dépasse 5.

]]> Entre 15 et 16

]]> Racine confondue avec la moitié : 15² = 225, un nombre bien plus
grand que 30.

]]> Entre 6 et 7

]]> Encadrement décalé d'un cran vers le haut : 6² = 36 dépasse
déjà 30, donc √30 reste inférieur à 6.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q38 : Nombres de petite valeur absolue Quels sont les nombres réels x qui vérifient |x| < 2 ?

]]> L'écriture |x| désigne la distance de x à zéro. Une condition
|x| < k, avec k strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert
centré en zéro et de demi-longueur k.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ceux de \{-2\,;\,2\}

]]> Ces deux nombres résolvent l'égalité |x| = 2. L'inégalité stricte
retient au contraire tout ce qui se trouve entre eux.

]]> Ceux de ]-∞ ; 2[

]]> Branche négative oubliée : -20 est bien inférieur à 2, mais
sa valeur absolue vaut 20, ce qui dépasse 2.

]]> Ceux de ]-2 ; 2[

]]> Bonne réponse : |x| mesure la distance de x à zéro, et les
nombres situés à moins de 2 de zéro forment cet intervalle.

]]> Ceux de [0 ; 2[

]]> Négatifs écartés à tort : x = -1 convient, car sa valeur absolue
vaut 1, un nombre inférieur à 2.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q39 : Un point commun à toutes les courbes Parmi les cinq fonctions de référence du chapitre, à savoir le carré,
l'inverse, la racine carrée, le cube et la valeur absolue, combien ont
une courbe passant par le point (1 ; 1) ?

]]> Le point (1 ; 1) appartient à toutes les courbes de référence, car
1 est son propre carré, son propre cube, son propre inverse et sa
propre racine. C'est un repère commode pour les tracer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois, le carré, le cube et la racine

]]> Deux fonctions oubliées : l'inverse et la valeur absolue donnent
elles aussi 1 comme image de 1.

]]> Les cinq

]]> Bonne réponse : 1², 1/1, √1, 1³ et |1|
valent tous 1, donc les cinq courbes passent par ce point.

]]> Deux, le carré et le cube

]]> Calcul incomplet : √1, |1| et 1/1 valent eux
aussi 1 et conviennent donc également.

]]> Une seule, la fonction carré

]]> Réponse trop prudente : il suffit de calculer l'image de 1 par
chacune des cinq fonctions pour constater qu'elles valent toutes 1.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q40 : Où la courbe de l'inverse est au-dessus de l'axe Pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction inverse se
situe-t-elle au-dessus de l'axe des abscisses ?

]]> Un quotient de deux nombres de même signe est positif. La fonction
inverse prend donc le signe de x : sa courbe est au-dessus de l'axe
des abscisses sur ]0 ; +∞[ et en dessous sur
]-∞ ; 0[.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour x > 0

]]> Bonne réponse : l'inverse d'un nombre strictement positif est
strictement positif, donc toute cette branche est au-dessus de l'axe.

]]> Pour x < 0

]]> Signe inversé : l'inverse d'un nombre négatif est négatif, ainsi
1/-4 vaut -0{,}25, et cette branche est sous l'axe.

]]> Pour x > 1 seulement

]]> Condition trop forte : \dfrac{1}{0{,}5} vaut 2, donc la courbe
est déjà au-dessus de l'axe entre 0 et 1.

]]> Pour tout x non nul

]]> La branche de gauche est entièrement sous l'axe : 1/-2
vaut -0{,}5, un nombre négatif.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q41 : Sens de variation de la valeur absolue Comment varie la fonction valeur absolue sur ℝ ?

]]> La courbe en V descend jusqu'à l'origine puis remonte : la fonction
valeur absolue décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, avec
un minimum égal à 0 atteint en 0.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur ℝ, sans changement de sens

]]> Contre-exemple : 1 < 3 et pourtant |1| = 1 est inférieur à
|3| = 3. Les images augmentent sur les positifs.

]]> Croissante sur ]-∞ ; 0], puis décroissante sur
[0 ; +∞[

]]> Sens inversés : ce tableau décrirait un V retourné, alors que
|-3| = 3 dépasse |-1| = 1.

]]> Croissante sur ℝ, sans changement de sens

]]> Contre-exemple : -3 < -1 et pourtant |-3| = 3 dépasse
|-1| = 1. Les images diminuent sur les négatifs.

]]> Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[

]]> Bonne réponse : pour x négatif, |x| = -x et les images diminuent
quand x augmente ; pour x positif, |x| = x et elles augmentent.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q42 : Inverses de deux nombres de signes contraires On sait que -4 < 2. Comment se comparent alors 1/-4 et
½ ?

]]> La fonction inverse est décroissante sur chacune de ses deux branches,
mais pas de l'une à l'autre. Dès que les deux nombres encadrent zéro, on
compare directement les inverses obtenus, sans invoquer de règle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1/-4 < ½, l'ordre est conservé

]]> Bonne réponse : 1/-4 vaut -0{,}25 et ½ vaut
0{,}5. Un négatif reste inférieur à un positif.

]]> 1/-4 > ½, l'ordre est renversé

]]> Règle appliquée hors de son domaine : passer à l'inverse ne renverse
l'ordre que si les deux nombres ont le même signe.

]]> 1/-4 = ½, les inverses coïncident

]]> Un nombre négatif et un nombre positif ne peuvent pas être égaux :
-0{,}25 et 0{,}5 sont bien distincts.

]]> Ces deux inverses ne se comparent pas

]]> Ce sont deux nombres ordinaires, donc comparables : il suffit de les
calculer pour obtenir -0{,}25 et 0{,}5.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q43 : Cube et carré d'un nombre inférieur à 1 On choisit un nombre a strictement compris entre 0 et 1. Le cube
a³ est-il plus grand ou plus petit que le carré a² ?

]]> Multiplier un nombre positif par un facteur compris entre 0 et 1 le
diminue. Sur ]0 ; 1[, les puissances successives décroissent donc :
a³ < a² < a < 1.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus petit que a²

]]> Bonne réponse : a³ = a² × a, et multiplier par un nombre
inférieur à 1 diminue. Avec a = 0{,}5, on obtient 0{,}125
contre 0{,}25.

]]> Cela dépend de la valeur choisie

]]> La conclusion est la même sur tout l'intervalle : 0{,}9^3 = 0{,}729
est déjà inférieur à 0{,}9^2 = 0{,}81.

]]> Toujours égal à a²

]]> L'égalité a³ = a² ne se produit qu'en a = 0 et a = 1, deux
valeurs écartées par l'énoncé.

]]> Plus grand que a²

]]> Intuition des grands nombres : au-delà de 1 le cube dépasse bien le
carré, mais entre 0 et 1 chaque multiplication rapproche de zéro.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q44 : Parabole et droite $y = 2x$ Pour quelles valeurs de x la parabole d'équation y = x² passe-t-elle
en dessous de la droite d'équation y = 2x ?

]]> Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence de
leurs expressions. Ici x² - 2x = x(x - 2), et le tableau de signes de
ce produit le donne négatif entre 0 et 2.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour x dans ]0 ; 2[

]]> Bonne réponse : la différence x² - 2x = x(x - 2) est négative
entre ses deux racines 0 et 2, donc la parabole y passe sous la
droite.

]]> Pour x dans ]2 ; +∞[

]]> Intervalle mal placé : pour x = 3, la parabole donne 9 et la
droite donne 6, donc la parabole repasse au-dessus après 2.

]]> Pour x dans ]-∞ ; 2[

]]> Négatifs oubliés : pour x = -1, la parabole donne 1 et la droite
donne -2, donc la parabole est au-dessus.

]]> Pour aucune valeur de x

]]> Pour x = 1, la parabole donne 1 et la droite donne 2 : la
parabole est bien en dessous à cet endroit.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q45 : Résoudre $x^3 = x$ Combien de solutions réelles l'équation x³ = x admet-elle ?

]]> On ramène l'équation à un produit nul : x³ = x équivaut à
x(x - 1)(x + 1) = 0. Il ne faut jamais simplifier par x sans savoir
si x est nul, sous peine de perdre une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : -1 et 1

]]> Le nombre 0 est oublié : 0³ = 0, donc 0 est également
solution de cette équation.

]]> Trois : -1, 0 et 1

]]> Bonne réponse : x³ - x = x(x - 1)(x + 1), et un produit est nul
lorsque l'un de ses facteurs l'est.

]]> Une seule : x = 0

]]> Solution partielle : 1³ = 1 et (-1)³ = -1 conviennent aussi,
ce qui porte le compte à trois.

]]> Une infinité, tout réel convient

]]> Vérification immédiate : 2³ = 8, qui diffère de 2. Seuls trois
nombres conviennent.

]]>